Wiskunde logica Werkcollege 1 Jolien Oomens 10 februari 2017

Wiskunde logica

Werkcollege 1 Jolien Oomens 10 februari 2017

Opgave 2

Geef een voorbeeld van een verzameling en een relatie die (a) reflexief maar niet transitief is;

(b) reflexief en transitief maar niet antisymmetrisch is;

(c) reflexief, transitief en symmetrisch maar niet totaal is.

(a) Neem X = R en Rxy ⇐⇒ |x − y | < 1. Er geldt 0 ∼ ¹₂ en ¹₂ ∼ 1, maar 0 6∼ 1. (b) Neem X = R en R = X × X .

(c) Neem X = R en Rxy ⇐⇒ bxc = by c.

We hebben Rxy dan en slechts dan als er een n ∈ Z is zodat x , y ∈ [n, n + 1), dus bijvoorbeeld 0 6∼ 1.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 2 / 6

Opgave 2

Geef een voorbeeld van een verzameling en een relatie die (a) reflexief maar niet transitief is;

(b) reflexief en transitief maar niet antisymmetrisch is;

(c) reflexief, transitief en symmetrisch maar niet totaal is.

(a) Neem X = R en Rxy ⇐⇒ |x − y | < 1.

Er geldt 0 ∼ ¹₂ en ¹₂ ∼ 1, maar 0 6∼ 1. (b) Neem X = R en R = X × X .

(c) Neem X = R en Rxy ⇐⇒ bxc = by c.

We hebben Rxy dan en slechts dan als er een n ∈ Z is zodat x , y ∈ [n, n + 1), dus bijvoorbeeld 0 6∼ 1.

Opgave 2

Geef een voorbeeld van een verzameling en een relatie die (a) reflexief maar niet transitief is;

(b) reflexief en transitief maar niet antisymmetrisch is;

(c) reflexief, transitief en symmetrisch maar niet totaal is.

(a) Neem X = R en Rxy ⇐⇒ |x − y | < 1.

Er geldt 0 ∼ ¹₂ en ¹₂ ∼ 1, maar 0 6∼ 1.

(b) Neem X = R en R = X × X .

(c) Neem X = R en Rxy ⇐⇒ bxc = by c.

We hebben Rxy dan en slechts dan als er een n ∈ Z is zodat x , y ∈ [n, n + 1), dus bijvoorbeeld 0 6∼ 1.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 2 / 6

Opgave 2

Geef een voorbeeld van een verzameling en een relatie die (a) reflexief maar niet transitief is;

(b) reflexief en transitief maar niet antisymmetrisch is;

(c) reflexief, transitief en symmetrisch maar niet totaal is.

(a) Neem X = R en Rxy ⇐⇒ |x − y | < 1.

Er geldt 0 ∼ ¹₂ en ¹₂ ∼ 1, maar 0 6∼ 1.

(b) Neem X = R en R = X × X .

(c) Neem X = R en Rxy ⇐⇒ bxc = by c.

We hebben Rxy dan en slechts dan als er een n ∈ Z is zodat x , y ∈ [n, n + 1), dus bijvoorbeeld 0 6∼ 1.

Opgave 2

Geef een voorbeeld van een verzameling en een relatie die (a) reflexief maar niet transitief is;

(b) reflexief en transitief maar niet antisymmetrisch is;

(c) reflexief, transitief en symmetrisch maar niet totaal is.

(a) Neem X = R en Rxy ⇐⇒ |x − y | < 1.

Er geldt 0 ∼ ¹₂ en ¹₂ ∼ 1, maar 0 6∼ 1.

(b) Neem X = R en R = X × X .

(c) Neem X = R en Rxy ⇐⇒ bxc = by c.

We hebben Rxy dan en slechts dan als er een n ∈ Z is zodat x , y ∈ [n, n + 1), dus bijvoorbeeld 0 6∼ 1.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 2 / 6

Opgave 2

Geef een voorbeeld van een verzameling en een relatie die (a) reflexief maar niet transitief is;

(b) reflexief en transitief maar niet antisymmetrisch is;

(c) reflexief, transitief en symmetrisch maar niet totaal is.

(a) Neem X = R en Rxy ⇐⇒ |x − y | < 1.

Er geldt 0 ∼ ¹₂ en ¹₂ ∼ 1, maar 0 6∼ 1.

(b) Neem X = R en R = X × X .

(c) Neem X = R en Rxy ⇐⇒ bxc = by c.

We hebben Rxy dan en slechts dan als er een n ∈ Z is zodat x , y ∈ [n, n + 1),

dus bijvoorbeeld 0 6∼ 1.

Opgave 2

Geef een voorbeeld van een verzameling en een relatie die (a) reflexief maar niet transitief is;

(b) reflexief en transitief maar niet antisymmetrisch is;

(c) reflexief, transitief en symmetrisch maar niet totaal is.

(a) Neem X = R en Rxy ⇐⇒ |x − y | < 1.

Er geldt 0 ∼ ¹₂ en ¹₂ ∼ 1, maar 0 6∼ 1.

(b) Neem X = R en R = X × X .

(c) Neem X = R en Rxy ⇐⇒ bxc = by c.

We hebben Rxy dan en slechts dan als er een n ∈ Z is zodat x , y ∈ [n, n + 1), dus bijvoorbeeld 0 6∼ 1.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 2 / 6

Opgave 3

Zij f : X → X en bekijk Rf ⊆ X²gegeven door Rfab ⇐⇒ f (a) = b.

(a) Onder welke aannames is een relatie R te schrijven als Rf? (b) Wat weet je over f als Rf reflexief is?

(a) Een functie is welgedefinieerd als er voor elke x -waarde een unieke f (x ) bestaat. Dit betekent precies dat

∀x∃y (Rxy ∧ ∀z (Rxz → y = z)) .

(b) Als Rfaa dan hebben we f (a) = a. Omdat dit voor alle a ∈ X geldt zien we dat f = id_X.

Opgave 3

Zij f : X → X en bekijk Rf ⊆ X²gegeven door Rfab ⇐⇒ f (a) = b.

(a) Onder welke aannames is een relatie R te schrijven als Rf? (b) Wat weet je over f als Rf reflexief is?

(a) Een functie is welgedefinieerd als er voor elke x -waarde een unieke f (x ) bestaat.

Dit betekent precies dat

∀x∃y (Rxy ∧ ∀z (Rxz → y = z)) .

(b) Als Rfaa dan hebben we f (a) = a. Omdat dit voor alle a ∈ X geldt zien we dat f = id_X.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 3 / 6

Opgave 3

Zij f : X → X en bekijk Rf ⊆ X²gegeven door Rfab ⇐⇒ f (a) = b.

(a) Onder welke aannames is een relatie R te schrijven als Rf? (b) Wat weet je over f als Rf reflexief is?

(a) Een functie is welgedefinieerd als er voor elke x -waarde een unieke f (x ) bestaat. Dit betekent precies dat

∀x∃y (Rxy ∧ ∀z (Rxz → y = z)) .

(b) Als Rfaa dan hebben we f (a) = a. Omdat dit voor alle a ∈ X geldt zien we dat f = id_X.

Opgave 3

Zij f : X → X en bekijk Rf ⊆ X²gegeven door Rfab ⇐⇒ f (a) = b.

(a) Onder welke aannames is een relatie R te schrijven als Rf? (b) Wat weet je over f als Rf reflexief is?

(a) Een functie is welgedefinieerd als er voor elke x -waarde een unieke f (x ) bestaat. Dit betekent precies dat

∀x∃y (Rxy ∧ ∀z (Rxz → y = z)) .

(b) Als Rfaa dan hebben we f (a) = a.

Omdat dit voor alle a ∈ X geldt zien we dat f = id_X.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 3 / 6

Opgave 3

Zij f : X → X en bekijk Rf ⊆ X²gegeven door Rfab ⇐⇒ f (a) = b.

(a) Onder welke aannames is een relatie R te schrijven als Rf? (b) Wat weet je over f als Rf reflexief is?

(a) Een functie is welgedefinieerd als er voor elke x -waarde een unieke f (x ) bestaat. Dit betekent precies dat

∀x∃y (Rxy ∧ ∀z (Rxz → y = z)) .

(b) Als Rfaa dan hebben we f (a) = a. Omdat dit voor alle a ∈ X geldt zien we dat f = id_X.

Opgave 4

Geef een voorbeeld van een poset (a) met een minimum; (b) zonder minimaal element;

(c) met een minimaal element ´en zonder minimum.

(a) De geordende verzameling (N, ≤) heeft 0 als minimum, want 0 ≤ n voor alle n.

0 1 2 3 4

. . . (b) De geordende verzameling (Z, ≤) heeft geen minimaal

element, want voor alle n is er een m < n. . . .

−3 −2 −1 0 1 2 3

. . . (c) Bekijk N met Rxy ⇐⇒ (x ≤ y ) ∧ ∃k (y − x = 2k).

0 2 4 6 8

. . .

1 3 5 7 9

. . .

De minimale elementen zijn 0 en 1, maar er is geen minimum.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 4 / 6

Opgave 4

Geef een voorbeeld van een poset (a) met een minimum; (b) zonder minimaal element;

(c) met een minimaal element ´en zonder minimum.

(a) De geordende verzameling (N, ≤) heeft 0 als minimum, want 0 ≤ n voor alle n.

0 1 2 3 4

. . . (b) De geordende verzameling (Z, ≤) heeft geen minimaal

element, want voor alle n is er een m < n. . . .

−3 −2 −1 0 1 2 3

. . . (c) Bekijk N met Rxy ⇐⇒ (x ≤ y ) ∧ ∃k (y − x = 2k).

0 2 4 6 8

. . .

1 3 5 7 9

. . .

De minimale elementen zijn 0 en 1, maar er is geen minimum.

Opgave 4

Geef een voorbeeld van een poset (a) met een minimum; (b) zonder minimaal element;

(c) met een minimaal element ´en zonder minimum.

(a) De geordende verzameling (N, ≤) heeft 0 als minimum, want 0 ≤ n voor alle n.

0 1 2 3 4

. . .

(b) De geordende verzameling (Z, ≤) heeft geen minimaal element, want voor alle n is er een m < n.

. . .

−3 −2 −1 0 1 2 3

. . . (c) Bekijk N met Rxy ⇐⇒ (x ≤ y ) ∧ ∃k (y − x = 2k).

0 2 4 6 8

. . .

1 3 5 7 9

. . .

De minimale elementen zijn 0 en 1, maar er is geen minimum.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 4 / 6

Opgave 4

Geef een voorbeeld van een poset (a) met een minimum; (b) zonder minimaal element;

(c) met een minimaal element ´en zonder minimum.

(a) De geordende verzameling (N, ≤) heeft 0 als minimum, want 0 ≤ n voor alle n.

0 1 2 3 4

. . . (b) De geordende verzameling (Z, ≤) heeft geen minimaal

element,

want voor alle n is er een m < n. . . .

−3 −2 −1 0 1 2 3

. . . (c) Bekijk N met Rxy ⇐⇒ (x ≤ y ) ∧ ∃k (y − x = 2k).

0 2 4 6 8

. . .

1 3 5 7 9

. . .

De minimale elementen zijn 0 en 1, maar er is geen minimum.

Opgave 4

Geef een voorbeeld van een poset (a) met een minimum; (b) zonder minimaal element;

(c) met een minimaal element ´en zonder minimum.

(a) De geordende verzameling (N, ≤) heeft 0 als minimum, want 0 ≤ n voor alle n.

0 1 2 3 4

. . . (b) De geordende verzameling (Z, ≤) heeft geen minimaal

element, want voor alle n is er een m < n.

. . .

−3 −2 −1 0 1 2 3

. . . (c) Bekijk N met Rxy ⇐⇒ (x ≤ y ) ∧ ∃k (y − x = 2k).

0 2 4 6 8

. . .

1 3 5 7 9

. . .

De minimale elementen zijn 0 en 1, maar er is geen minimum.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 4 / 6

Opgave 4

Geef een voorbeeld van een poset (a) met een minimum; (b) zonder minimaal element;

(c) met een minimaal element ´en zonder minimum.

(a) De geordende verzameling (N, ≤) heeft 0 als minimum, want 0 ≤ n voor alle n.

0 1 2 3 4

. . . (b) De geordende verzameling (Z, ≤) heeft geen minimaal

element, want voor alle n is er een m < n.

. . .

−3 −2 −1 0 1 2 3

. . .

(c) Bekijk N met Rxy ⇐⇒ (x ≤ y ) ∧ ∃k (y − x = 2k).

0 2 4 6 8

. . .

1 3 5 7 9

. . .

De minimale elementen zijn 0 en 1, maar er is geen minimum.

Opgave 4

Geef een voorbeeld van een poset (a) met een minimum; (b) zonder minimaal element;

(c) met een minimaal element ´en zonder minimum.

(a) De geordende verzameling (N, ≤) heeft 0 als minimum, want 0 ≤ n voor alle n.

0 1 2 3 4

. . . (b) De geordende verzameling (Z, ≤) heeft geen minimaal

element, want voor alle n is er een m < n.

. . .

−3 −2 −1 0 1 2 3

. . . (c) Bekijk N met Rxy ⇐⇒ (x ≤ y ) ∧ ∃k (y − x = 2k).

0 2 4 6 8

. . .

1 3 5 7 9

. . .

De minimale elementen zijn 0 en 1, maar er is geen minimum.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 4 / 6

Opgave 4

Geef een voorbeeld van een poset (a) met een minimum; (b) zonder minimaal element;

(c) met een minimaal element ´en zonder minimum.

(a) De geordende verzameling (N, ≤) heeft 0 als minimum, want 0 ≤ n voor alle n.

0 1 2 3 4

. . . (b) De geordende verzameling (Z, ≤) heeft geen minimaal

element, want voor alle n is er een m < n.

. . .

−3 −2 −1 0 1 2 3

. . . (c) Bekijk N met Rxy ⇐⇒ (x ≤ y ) ∧ ∃k (y − x = 2k).

0 2 4 6 8

. . . . . .

De minimale elementen zijn 0 en 1, maar er is geen minimum.

Opgave 4

Geef een voorbeeld van een poset (a) met een minimum; (b) zonder minimaal element;

(c) met een minimaal element ´en zonder minimum.

(a) De geordende verzameling (N, ≤) heeft 0 als minimum, want 0 ≤ n voor alle n.

0 1 2 3 4

. . . (b) De geordende verzameling (Z, ≤) heeft geen minimaal

element, want voor alle n is er een m < n.

. . .

−3 −2 −1 0 1 2 3

. . . (c) Bekijk N met Rxy ⇐⇒ (x ≤ y ) ∧ ∃k (y − x = 2k).

0 2 4 6 8

. . .

1 3 5 7 9

. . .

De minimale elementen zijn 0 en 1, maar er is geen minimum.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 4 / 6

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(a) Neem x⁰ ∈ X⁰. Vanwege de surjectiviteit van f bestaat er een x zodat f (x ) = x⁰. Omdat R reflexief is geldt Rxx , dus er geldt ook R⁰f (x )f (x ), oftewel R⁰x⁰x⁰. Dit bewijst dat R⁰ reflexief is. (b) Stel dat x⁰, y⁰, z⁰ ∈ X⁰ zodat R⁰x⁰y⁰ en R⁰y⁰z⁰. Er zijn x , y , z

zodat f (x ) = x⁰, f (y ) = y⁰ en f (z) = z⁰. En nu? x

y z w

−→f x⁰ y⁰= z⁰ w⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet transitief.

De claim is dus onwaar.

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(a) Neem x⁰ ∈ X⁰.

Vanwege de surjectiviteit van f bestaat er een x zodat f (x ) = x⁰. Omdat R reflexief is geldt Rxx , dus er geldt ook R⁰f (x )f (x ), oftewel R⁰x⁰x⁰. Dit bewijst dat R⁰ reflexief is. (b) Stel dat x⁰, y⁰, z⁰ ∈ X⁰ zodat R⁰x⁰y⁰ en R⁰y⁰z⁰. Er zijn x , y , z

zodat f (x ) = x⁰, f (y ) = y⁰ en f (z) = z⁰. En nu? x

y z w

−→f x⁰ y⁰= z⁰ w⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet transitief.

De claim is dus onwaar.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 5 / 6

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(a) Neem x⁰ ∈ X⁰. Vanwege de surjectiviteit van f bestaat er een x zodat f (x ) = x⁰.

Omdat R reflexief is geldt Rxx , dus er geldt ook R⁰f (x )f (x ), oftewel R⁰x⁰x⁰. Dit bewijst dat R⁰ reflexief is. (b) Stel dat x⁰, y⁰, z⁰ ∈ X⁰ zodat R⁰x⁰y⁰ en R⁰y⁰z⁰. Er zijn x , y , z

zodat f (x ) = x⁰, f (y ) = y⁰ en f (z) = z⁰. En nu? x

y z w

−→f x⁰ y⁰= z⁰ w⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet transitief.

De claim is dus onwaar.

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(a) Neem x⁰ ∈ X⁰. Vanwege de surjectiviteit van f bestaat er een x zodat f (x ) = x⁰. Omdat R reflexief is geldt Rxx ,

dus er geldt ook R⁰f (x )f (x ), oftewel R⁰x⁰x⁰. Dit bewijst dat R⁰ reflexief is. (b) Stel dat x⁰, y⁰, z⁰ ∈ X⁰ zodat R⁰x⁰y⁰ en R⁰y⁰z⁰. Er zijn x , y , z

zodat f (x ) = x⁰, f (y ) = y⁰ en f (z) = z⁰. En nu? x

y z w

−→f x⁰ y⁰= z⁰ w⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet transitief.

De claim is dus onwaar.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 5 / 6

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(a) Neem x⁰ ∈ X⁰. Vanwege de surjectiviteit van f bestaat er een x zodat f (x ) = x⁰. Omdat R reflexief is geldt Rxx , dus er geldt ook R⁰f (x )f (x ),

oftewel R⁰x⁰x⁰. Dit bewijst dat R⁰ reflexief is. (b) Stel dat x⁰, y⁰, z⁰ ∈ X⁰ zodat R⁰x⁰y⁰ en R⁰y⁰z⁰. Er zijn x , y , z

zodat f (x ) = x⁰, f (y ) = y⁰ en f (z) = z⁰. En nu? x

y z w

−→f x⁰ y⁰= z⁰ w⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet transitief.

De claim is dus onwaar.

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(a) Neem x⁰ ∈ X⁰. Vanwege de surjectiviteit van f bestaat er een x zodat f (x ) = x⁰. Omdat R reflexief is geldt Rxx , dus er geldt ook R⁰f (x )f (x ), oftewel R⁰x⁰x⁰.

Dit bewijst dat R⁰ reflexief is. (b) Stel dat x⁰, y⁰, z⁰ ∈ X⁰ zodat R⁰x⁰y⁰ en R⁰y⁰z⁰. Er zijn x , y , z

zodat f (x ) = x⁰, f (y ) = y⁰ en f (z) = z⁰. En nu? x

y z w

−→f x⁰ y⁰= z⁰ w⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet transitief.

De claim is dus onwaar.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 5 / 6

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(a) Neem x⁰ ∈ X⁰. Vanwege de surjectiviteit van f bestaat er een x zodat f (x ) = x⁰. Omdat R reflexief is geldt Rxx , dus er geldt ook R⁰f (x )f (x ), oftewel R⁰x⁰x⁰. Dit bewijst dat R⁰ reflexief is.

(b) Stel dat x⁰, y⁰, z⁰ ∈ X⁰ zodat R⁰x⁰y⁰ en R⁰y⁰z⁰. Er zijn x , y , z zodat f (x ) = x⁰, f (y ) = y⁰ en f (z) = z⁰. En nu?

x y

z w

−→f x⁰ y⁰= z⁰ w⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet transitief.

De claim is dus onwaar.

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(a) Neem x⁰ ∈ X⁰. Vanwege de surjectiviteit van f bestaat er een x zodat f (x ) = x⁰. Omdat R reflexief is geldt Rxx , dus er geldt ook R⁰f (x )f (x ), oftewel R⁰x⁰x⁰. Dit bewijst dat R⁰ reflexief is.

(b) Stel dat x⁰, y⁰, z⁰ ∈ X⁰ zodat R⁰x⁰y⁰ en R⁰y⁰z⁰.

Er zijn x , y , z zodat f (x ) = x⁰, f (y ) = y⁰ en f (z) = z⁰. En nu?

x y

z w

−→f x⁰ y⁰= z⁰ w⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet transitief.

De claim is dus onwaar.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 5 / 6

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(a) Neem x⁰ ∈ X⁰. Vanwege de surjectiviteit van f bestaat er een x zodat f (x ) = x⁰. Omdat R reflexief is geldt Rxx , dus er geldt ook R⁰f (x )f (x ), oftewel R⁰x⁰x⁰. Dit bewijst dat R⁰ reflexief is.

(b) Stel dat x⁰, y⁰, z⁰ ∈ X⁰ zodat R⁰x⁰y⁰ en R⁰y⁰z⁰. Er zijn x , y , z zodat f (x ) = x⁰, f (y ) = y⁰ en f (z) = z⁰.

En nu? x

y z w

−→f x⁰ y⁰= z⁰ w⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet transitief.

De claim is dus onwaar.

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(a) Neem x⁰ ∈ X⁰. Vanwege de surjectiviteit van f bestaat er een x zodat f (x ) = x⁰. Omdat R reflexief is geldt Rxx , dus er geldt ook R⁰f (x )f (x ), oftewel R⁰x⁰x⁰. Dit bewijst dat R⁰ reflexief is.

(b) Stel dat x⁰, y⁰, z⁰ ∈ X⁰ zodat R⁰x⁰y⁰ en R⁰y⁰z⁰. Er zijn x , y , z zodat f (x ) = x⁰, f (y ) = y⁰ en f (z) = z⁰. En nu?

x y

z w

−→f x⁰ y⁰= z⁰ w⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet transitief.

De claim is dus onwaar.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 5 / 6

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(a) Neem x⁰ ∈ X⁰. Vanwege de surjectiviteit van f bestaat er een x zodat f (x ) = x⁰. Omdat R reflexief is geldt Rxx , dus er geldt ook R⁰f (x )f (x ), oftewel R⁰x⁰x⁰. Dit bewijst dat R⁰ reflexief is.

(b) Stel dat x⁰, y⁰, z⁰ ∈ X⁰ zodat R⁰x⁰y⁰ en R⁰y⁰z⁰. Er zijn x , y , z zodat f (x ) = x⁰, f (y ) = y⁰ en f (z) = z⁰. En nu?

x y

z w

−→f x⁰ y⁰= z⁰ w⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet transitief. De claim is dus onwaar.

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(a) Neem x⁰ ∈ X⁰. Vanwege de surjectiviteit van f bestaat er een x zodat f (x ) = x⁰. Omdat R reflexief is geldt Rxx , dus er geldt ook R⁰f (x )f (x ), oftewel R⁰x⁰x⁰. Dit bewijst dat R⁰ reflexief is.

(b) Stel dat x⁰, y⁰, z⁰ ∈ X⁰ zodat R⁰x⁰y⁰ en R⁰y⁰z⁰. Er zijn x , y , z zodat f (x ) = x⁰, f (y ) = y⁰ en f (z) = z⁰. En nu?

x y

z w

−→f x⁰ y⁰= z⁰ w⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet transitief. De claim is dus onwaar.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 5 / 6

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(a) Neem x⁰ ∈ X⁰. Vanwege de surjectiviteit van f bestaat er een x zodat f (x ) = x⁰. Omdat R reflexief is geldt Rxx , dus er geldt ook R⁰f (x )f (x ), oftewel R⁰x⁰x⁰. Dit bewijst dat R⁰ reflexief is.

(b) Stel dat x⁰, y⁰, z⁰ ∈ X⁰ zodat R⁰x⁰y⁰ en R⁰y⁰z⁰. Er zijn x , y , z zodat f (x ) = x⁰, f (y ) = y⁰ en f (z) = z⁰. En nu?

x y

z w

−→f x⁰ y⁰= z⁰ w⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet transitief. De claim is dus onwaar.

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(a) Neem x⁰ ∈ X⁰. Vanwege de surjectiviteit van f bestaat er een x zodat f (x ) = x⁰. Omdat R reflexief is geldt Rxx , dus er geldt ook R⁰f (x )f (x ), oftewel R⁰x⁰x⁰. Dit bewijst dat R⁰ reflexief is.

(b) Stel dat x⁰, y⁰, z⁰ ∈ X⁰ zodat R⁰x⁰y⁰ en R⁰y⁰z⁰. Er zijn x , y , z zodat f (x ) = x⁰, f (y ) = y⁰ en f (z) = z⁰. En nu?

x y

z w

−→f x⁰ y⁰= z⁰ w⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet transitief.

De claim is dus onwaar.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 5 / 6

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(a) Neem x⁰ ∈ X⁰. Vanwege de surjectiviteit van f bestaat er een x zodat f (x ) = x⁰. Omdat R reflexief is geldt Rxx , dus er geldt ook R⁰f (x )f (x ), oftewel R⁰x⁰x⁰. Dit bewijst dat R⁰ reflexief is.

(b) Stel dat x⁰, y⁰, z⁰ ∈ X⁰ zodat R⁰x⁰y⁰ en R⁰y⁰z⁰. Er zijn x , y , z zodat f (x ) = x⁰, f (y ) = y⁰ en f (z) = z⁰. En nu?

x y

z w

−→f x⁰ y⁰= z⁰ w⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet transitief.

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(c) Stel dat x⁰ ∈ X⁰ en stel dat R⁰x⁰x⁰. Er is een x ∈ X met f (x ) = x⁰. En nu?

x y −→f x⁰ = y⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet irreflexief.

De claim is dus onjuist.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 6 / 6

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(c) Stel dat x⁰ ∈ X⁰ en stel dat R⁰x⁰x⁰.

Er is een x ∈ X met f (x ) = x⁰. En nu?

x y −→f x⁰ = y⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet irreflexief.

De claim is dus onjuist.

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(c) Stel dat x⁰ ∈ X⁰ en stel dat R⁰x⁰x⁰. Er is een x ∈ X met f (x ) = x⁰.

En nu?

x y −→f x⁰ = y⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet irreflexief.

De claim is dus onjuist.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 6 / 6

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(c) Stel dat x⁰ ∈ X⁰ en stel dat R⁰x⁰x⁰. Er is een x ∈ X met f (x ) = x⁰. En nu?

x y −→f x⁰ = y⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet irreflexief.

De claim is dus onjuist.

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(c) Stel dat x⁰ ∈ X⁰ en stel dat R⁰x⁰x⁰. Er is een x ∈ X met f (x ) = x⁰. En nu?

x y −→f x⁰ = y⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet irreflexief. De claim is dus onjuist.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 6 / 6

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(c) Stel dat x⁰ ∈ X⁰ en stel dat R⁰x⁰x⁰. Er is een x ∈ X met f (x ) = x⁰. En nu?

x y −→f x⁰ = y⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet irreflexief.

De claim is dus onjuist.

Opgave 5

We noemen f : (X , R) → (X⁰, R⁰) een homomorfisme als Rab impliceert dat ook R⁰f (a)f (b). Neem aan dat f surjectief is. (a) Als R reflexief is, is R⁰ dat dan ook?

(b) Herhaal voor transitiviteit (c) Herhaal voor irreflexiviteit.

(c) Stel dat x⁰ ∈ X⁰ en stel dat R⁰x⁰x⁰. Er is een x ∈ X met f (x ) = x⁰. En nu?

x y −→f x⁰ = y⁰

Figuur:Een tegenvoorbeeld: (X⁰, R⁰) is niet irreflexief.

De claim is dus onjuist.

Jolien Oomens Werkcollege 1 10 februari 2017 6 / 6