Hoofdstuk 8 Samengestelde functies

Hoofdstuk 8

Samengestelde functies

V-1

a. Als ze met constante snelheid zou fietsen, dan was de tijd-afstand-grafiek een

rechte lijn geweest.

b. gemiddelde snelheid 30

50 0,6

  km/min. Dat is 36 km/uur.

c.



0, 10



3,5 0 60 21 10 0 A t      V V km/u

d. Mijn raaklijn gaat door de punten (4, 0) en (43, 20)

De snelheid op tijdstip t 10 is ongeveer 20

3960 31 km/u. e.



10 ,15



(15) (10) 60 34,95 15 10 S S S t  _  _{ }   km/u



10 ,11



(11) (10) 60 31,542 11 10 S S S t  _  _{ }   km/u



10 ,10.1



(10,1) (10) 60 30,696 10,1 10 S S S t  _  _{ }   km/u



10 ,10.001



(10,001) (10) 60 30,6 10,001 10 S S S t  _  _{ }   km/u

f. De snelheid van Marian is 30,6 km/u

V-2 a.



0 , 0.001



(0,001) (0) 0,49988 0,001 f f f x  _  _  : de helling in (0, 1) is 0,5



3 , 3.001



(3,001) (3) 0,249984 0,001 f f f x      : de helling in (3, 2) is 0,25 b. Klopt! c. Voer in: y₁ x1 en 2 ( ) |1 X x d y y dx 

 (de afgeleide van y1)

Bij x 24 is de helling gelijk aan 0,1. Voor grotere waarden van x is de helling

kleiner. V-3 a.



2 , 2



(2) ( 2) 0,0625 2 2 f f f x  _{ }   _    b.



1, 0.999



( 0,999) ( 1) 0,65 0,001 f f f x         

c. Voer in: y1 x 2x maximum: (0,53; -0,91)

V-4

a. In elk punt van de grafiek van f is de helling -2

b.



3 , 3.001



(3,001) (3) 0,72 0,001 g g g x      

c. Voer in: y1  2 5 log( )x en zet deze uit.

Voer verder in: y2  2 en 3 ( ) |1 X x

d

y y

dx 

V-5 a. f x'( ) 8 x4 b. g t'( ) 3 c. _{h p'( ) 20 p}4 d. _{s q( ) (3 q5)(3q5) 9 q}2_{25 s q'( ) 18 q} e. _{T t( ) ( t}3 _{3 )(t t}2_{ t) t}5_{ t}4 _3t3 _3t2 _{T t'( ) 5 t}4_4t3_9t2_6t f. _{A x( ) 3 (4 2 ) 12 x}6 _{ x}2 _{ x}6 _6x8 _{A x'( ) 72 x}5_48x7 V-6 a. _{f x'( ) 16 2 x}3 b. _{16 2 x}3 _0 3 3 2 16 8 2 x x x   

c. De uiterste waarde van f is f(2) 24

d. zie een plot van f: de uiterste waarde is een minimum.

V-7

a. _{f x'( ) 2 x}2_2x4

b. _2x2_{2x 4 2(x}2_{ x 2) 2( x2)(x 1) 0}

2 1

x  x  

c. f x'( ) 0 als de grafiek van f daalt: x 1, 2

d. Voor x 2 is f x'( ) 0 (en daalt de grafiek) en vanaf x 2 is f x'( ) 0 (en stijgt de

grafiek). Bij x 2 is er dus sprake van een minimum.

1

a. _{TK 25 500} 0,64 _{1334,38 euro}

b. _{TK 25 501} 0,64 _{1336,09: de extra kosten zijn 1,71 euro.}

c. De extra opbrengst is ongeveer _{78 501} 0,5 _{78 500} 0,5 _{1,74 euro}

d. De opbrengst neemt meer toe dan de kosten, dus de winst neemt iets meer toe.

e. _{TW TO TK 78q}0,5 _25q0,64

f. Voer in: 0,5 0,64

1 78 25

y  x  x maximum: x 581

2 a. b. 2 2 1 ( ) ( ) r x x h x x     en _{p x( ) x x}0,5 _{g x( )} c. h is dalend voor x0.

d. _x2 _{is positief voor alle waarden van x (x} ₀₎

Dus h x( ) 0 voor alle waarden van x.

3 a. 5 5 1 ( ) j x x x    b. _{p x( )x}3,2_x4,3 _x3,24,3 _x7,5 c. _{k x( ) 4( x}2₎4 _4x 2 4 _4x8_{, dus b8.} d. f x( )x x2 23 x113 en 1 1 1 5 5 2 25 2 1 ( ) h x x x x x x          4 a. 1 7 7 ( ) p x  x x c. 1 1 9 5 20 4 5 4 ( ) p x  x x x x x b. 1 1 3 23 2 3 2 ( ) p x x  x x x x d. 1 1 3 2 4 4 4 ) ( x x p x  x  x x 5 a. q (P3)0,251 P12 b. _{q (4,2P}3,7₎3,2 _4,23,2_(P3,7₎3,2 _0,01P11,84 c. _{q (4P}16₎0,125_{(3 )P} 2 _40,125_(P16₎0,125_9P2 _0,84P2_9P2 _7,57 d. 1 1 1 3 3 13 3 3 3 (2 ) 4 2 4 32 q  P  P   P P  P 6 a. A _3x5 _{ 10 B 4 3 x}3,7 _{12 C 5x}0,7 _20 1 5 5 1 3 1 3 3 ( 3 ) 1,27 x x       1 3,7 3,7 2 3 2 3 2 (2 ) 1,30 x x    1 0,7 0,7 ₄ 4 0,14 x x   _  

b. Omdat _3x6 _{0 voor alle waarden van x.}

7 a. u v 5 b. 4u_v 7,35 c. u v 4,1 12,3 1 5 ₅ v u   v 1 4 4 7,35 7,35 u  v  v 4,1 4,1 12,3 _12,3 v u _{  }v d. 3_{u v} 2 _{2 e.} 1 3 2,6 3 (u v ) 27 f. _u3 _8v3 _0 2 2 3 2 2 3 6 2 (2 ) 8 v u v u v v         7,8 7,8 7,8 27 27 27 v u v u v      1 3 3 3 3 1 8 (8 ) 2 u v u v v        8 a. _{Z 0,4 4500} 0,67 _{112 ml/km}

b. _{Z 0,4 40} 0,67 _{4,74 ml/km De hond heeft dan ongeveer 33 ml zuurstof nodig}

x2

x0,5

c. _{Z 0,4L}0,67 1 0,67 0,67 1,49 1,49 2,5 (2,5 ) 3,93 3,93 1200 155.000 walvis L Z L Z Z L kg          9 a. df (1) 1 dx   (2) 0,25 df dx   (3) 0,1111 df dx   b. 2 2 1 '( ) 1 f x x x       c. klopt. 10 a. b. 4 4 4 6 '( ) 2 3 6 g x x x x          c. ja. 11 a. _{h x'( ) 0,7 x}0,3 b. h'(1) 0,7 h'(2) 0,5686 h'(3) 0,5035 h'(4) 0,4618 c. ja. 12 a. _{f x'( ) 1,9 x}0,9 _{c. A' 103g}9,3 _g2 b. _{K' q 3q}2 _{d. N' 8,16p}4,4 13 a. _{f x( ) x x}0,5 _b. 0,5 1 1 2 0,5 2 1 1 1 '( ) 0,5 2 f x x x x x        c. 2 2 1 ( ) g x x x    d. 3 3 2 '( ) 2 g x x x      14 a. '( ) 3 1 3 2 2 S p p p    b. _{g d( ) 5 d}3_d2,5 4 1,5 4 15 '( ) 15 2,5 2,5 g d d d d d d        c. 1 12 2 1 ( ) 3 3 2 T p q q q q      1 2 1 1 4 1 '( ) 3 3 4 T p q q q        d. _TW _4q0,3 _{2q q}3 _4q0,3 _2q113 1 3 0,7 2 2 3 3 0,7 3 1,2 ' 1,2 2 2 TW q q q q      e. 0,5 2 0,5 2 3 4 4 3 A p p p p      0,5 3 3 2 6 ' 2 6 A p p p p       f. 2 221 3 3 1 K t t t t t      1 2 1 4 1 1 2 2 4 3 ' 2 3 2 K t t t t t      ( ) 1 '( ) 2 f x x f x x   x 1 2 3 4 g'(x ) -6 -0,375 -0,074 -0,023

15 a. _{TW(75) 75 30 (100 75 ) €1149,77   } 1,6 _ b. _{TW q( ) O TK 30q(100q}1,6_{) 30 q100q}1,6 c. TW q'( ) 0 0,6 0,6 0,6 '( ) 30 1,6 '( ) 0 1,6 30 18,75 132,33 TW q q W q q q q      

Bij een productie van ongeveer 132 kg is de winst maximaal.

16 a. x y 1125 1125 y x  1125 1125 28125 ( ) (20 5) ( 5) (25 )( 5) 1125 5 125 28125 1250 5 O x x x x x x x x x                 b. _{O x'( ) 5 28125  x}2 2 2 '( ) 0 28125 5 0,000178 75 15 O x x x x y        

Stuk grond: 100 meter lang en 20 meter breed.

17 a. Randpunt 1 2 ( 2 , 4)  b. 2x 5 0 c. 1 2x 6 0 1 2 2 5 2 x x     1 2 6 12 x x  

Het randpunt van g(x) is: 1

3 (12, ). 18 a. 1 3 ( , 3) f R  en 3 4 (9 , 4) g R 

b. 3x 1 0 voor alle mogelijke waarden van x.

c. het minimum van g is -4.

19 a. 50 4 1 1,30 €11,30 P   _  b. 50 400 1 1,30 €1,42 P   _ 

c. In totaal betaal je € 45,20 bij 4 ramen en € 568,- bij 400 ramen.

d. 1,30 50 2,55 1 A    50 1,25 1 A  1 40 39 A A   

e. Omdat 50 0 1

A  voor alle mogelijk waarden van A. Er wordt dus altijd iets bij

€ 1,30 opgeteld.

20

a.

b. verticale asymptoot: x 1

Voor deze waarde van x wordt de noemer gelijk aan 0.

c. Voor hele grote waarden van x wordt de factor

1 1

x nagenoeg gelijk aan 0. De

functiewaarden naderen naar 2.

Horizontale asymptoot: y 2.

21

a. 12,2

2

13,4 19,5

P    euro per m2_{. De kosten worden dan: €}

39.000,-b. Voor alle waarden van A is 12,2 0

A  . Er wordt dus altijd iets bij 13,4 opgeteld.

c. Voor kleine waarden van A worden de kosten per m2 _{heel erg groot.}

22 a. V(38,6)V( 27,4) 39,7  m/s b. 331 1 15 6,5 331 1 15 6,5 331 1,0549 0,0238 273 273 273 h h V            h c. 331 1,0549 0,0238  h 320 1,0549 0,0238 0,97 1,0549 0,0238 0,93 0,0238 0,12 5,05 h h h h km      

d. 90% van de geluidssnelheid is 270,8 m/s. De geluidssnelheid is dus 270,80,9 300,89

331 1,0549 0,0238  h 300,89

Voer in: y₁331 1,0549 0,0238  x en y2 300,89 intersect: x9,6 km

23 a. V(0) 400 liter h(400) 31,6 cm. b. h80 _0,01t2_{400 2560} 2,5 80 2,5 6400 V V     2 2 0,01 2160 216000 t t   2560 V  t  465  t 465 sec.

c. 4000 400 3600  liter in 600 sec. Gemiddelde vulsnelheid is 6 liter/sec.

d. eerste 100 sec: Gemiddelde vulsnelheid=100

100 1 liter/sec.

laatste 100 sec: Gemiddelde vulsnelheid=1100

100 11 liter/sec.

e. Op tijdstip 0 zit er 400 liter water in het reservoir. De waterhoogte is dan 31,6 cm. De waterhoogte stijgt dus 68,4 cm als er 3600 liter bij gevuld wordt. Dat is dan

68,4

3600 0,02 cm/liter.

24

a./b. 0,02 cm/liter en 6 liter/sec, dus 0,02 6 0,12  cm/sec.

c. eerste 100 sec: 35,4 31,6

500 400 0,038 

  cm/liter en 1 liter/sec, dus 0,038 cm/sec.

laatste 100 sec: 100 85,1 15

4000 2900 1100 0,014 

   cm/liter en 11 liter/sec, dus 0,15 cm/sec.

Dus de gemiddelde stijgsnelheid in de laatste 100 sec is groter. d. _{h t( ) 2,5 (0,01 t}2_{400)  0,025t}2_1000 e. gemiddelde snelheid 35,4 31,6 100 (100) (0) 0,037 100 h h     cm/s over de eerste 100

seconden. Over de laatste 100 seconden is de gemiddelde snelheid

100 85,1 100 (600) (500) 0,149 600 500 h h      cm/s. 25 a. ( ) 1 1 0,5 f t u t    b. 1 ( ) 0,5 0,5 g t u t     26 _{u q}( ) 2_ q _19 _{en k u}( )_{ u u t( ) 3 t6 en s u( ) 0,7 u}2 3 ( ) 2 5 ( ) u x x en w u u    27

a. _{u x}( )_{ }0,3_{x en y u}( ) 2_ u _{b. schakels? Eigenlijk niet.}

28 a. 4 4 4 1 3 1 3(2 (0,75) ) 1 6 (0,75)t t y u        

b. Voor grote waarden van t wordt u vrijwel gelijk aan 0. De noemer van y gaat dan

naar 1 waardoor de functiewaarden naar 4 naderen.

29

a. u t( ) 4 t v u( ) 1

u

 w v( ) 16 v en g w( ) w

b. u wordt groot; v wordt bijna 0; w wordt bijna 16 en g(w) wordt bijna 4.

30 a. _{O 2 6}2 _{72 dm}2 b. _{V 0,1 6} 3 _{21,6 dm}3 _{en G0,2 21,6 4,32  kg.} c. _{G0,2 V 0,2 0,1 L}3 _0,02L3 d. 0,2 V 80 _0,1L3 _{400 O 2 15,87}2 _504dm2 400 V  1 3 3 ₄₀₀₀ 4000 15,87 L L   

31 voor mij moeilijk af te lezen a.



10,20



(20) (10) 133 55 7,8 20 10 10 V V V t  _  _  _   l/s. b.



55,133



(133) (55) 56 49,5 0,08 133 55 78 h h h V         cm/l. c./d. h h V 0,65 t V t  _  _ _    cm/s.

eenheden: centimeter liter centimeter

liter seconde  seconde

32 a.



10,20



450 150 30 10 V t  _  _ 





2 450 2 150 150,450 0,06 300 h V     



10,20



1,79 h t  _  b. V



10;10,001



20,001 t   



150;150,02



0,082 h V   



10;10,001



1,63 h t    cm/s c. dV 2t dt  2 1 2 dh dV  V  V 1 (10) (10) (150) 20 1,6330 150 dh dV dh dt  dt dV    cm/l. 33 a. u x( ) 2 3  x en _{y u( )u}4 b. du 3 dx   3 4 dy u du  c. df du dy 3 4u3 12u3 12(2 3 )x 3 dx  dx du         34 a. u x( ) 1 3  x _{w u}4 _{w x'( )  3 4u}3 _{ 12(1 3 ) x} 3 b. _{u x( ) 3 x}2_{8 h2u}1,5 _{h x'( ) 6 x u3} 0,5 _{18x u 18x 3x}2_8 c. _{u x( ) x}3_{7x g u} 3 _{g x'( ) (3 x}2_{ 7) 3u}2 _3(3x2_7)(x3_{7 )x} 2 d. u x( ) 2 x _p4u5 6 6 6 20 20 '( ) 1 20 (2 ) p x u u x         35 a. 1 2 dy du  u 2 2 3 1 3 4 '( ) (3 4) 2 2 4 x A x x u x x       b. _{u x( ) 10 10  x}2 _{en h u( ) u} 2 2 1 20 10 '( ) 20 2 2 10 10 10 10 x x h x x u x x          36

a. omdat de eerste schakel nog een samengestelde functie is.

b. _{y u'( ) 10u}3 _{en u x'( ) 6 x}2 2 2 2 3 3 3 3 60 60 '( ) 6 10 (2 4) x x f x x u u x         

f(x)

x

1

f'(x)

2 x





37 a. _{u x( ) 3 x}2 _{f u( ) u} 2 1 '( ) 2 2 3 x f x x u x       b. u x( ) 9 2  x _{f u( )} 3 _3u 1 u    2 2 6 '( ) 2 3 (9 2 ) g x u x        c. _{u x( ) x}2_5 3 3 6 ( ) 6 h u u u      4 2 4 36 '( ) 2 18 ( 5) x h x x u x      d. u x( ) 3 x v u( ) 1  u _{i v( )v}2 1 6 3(1 3 ) '( ) 3 2 2 2 3 v x i x v u u x       e. u x( ) 4 2  x 2 2 2 ( ) 2 t u u u      3 3 8 '( ) 4 2 4 4 (4 2 ) j x u x         f. u x( ) 2 x2 _{k u( ) u} 3 _{u 3u} 1 u      2 2 1 1 6 '( ) 2 ( 3 ) (2 2) 2 2 2 k x u x u x         38 _{u t( ) 2t}2_{210t900 H u( ) u} 2 2 1 4 210 2 105 '( ) ( 4 210) 2 _{2 2 210 900 2 210 900} t t H t t u _{t t t t}                 60 H  Voer in: 2 1 2 210 900 y   x  x en y2 60 intersect: x 15 '(15) 1,25 H  cm/dag 39 a. K q'( ) 0

b. Vanaf punt A is de grafiek toenemend stijgend.

c. Tot punt A is de grafiek afnemend stijgend.

40

a. Bij grafiek n is er sprake van een afnemende daling

b. bij grafiek m is er een constante stijging en bij grafiek k is er een toenemende

stijging.

c. bij grafiek l is er sprake van een toenemende daling.

d. Bijvoorbeeld: _{p x( )} 2_{log( )x}

e. De helling is constant en positief: de helling van grafiek m.

Grafiek B is negatief (dalende functie) en de daling wordt steeds groter: grafiek l f.

k'(x)

41

a. _{K q'( ) 0,03 q}2_{12q2000} 2

( 12) 4 0,03 2000 0

D      : de grafiek

van K’(q) heeft geen nulpunten. De dalparabool ligt geheel boven de x-as.

b. Vanaf q 200 neemt de helling K’(q)

weer toe. De grafiek gaat dan steeds meer toenemen.

c. De stijging is het kleinst bij q200.

d. De minimale stijging is 800.

De kosten nemen bij een productie van 200 eenheden met 800 euro per eenheid toe.

42 a. 1 8 1 8 1 2 2 8 10 ( ) 8 10 K x x x x x         1 8 2 1 8 2 2 2 8 10 '( ) 8 10 K x x x         b. Voer in: 8 1 1 2 2 8 10 y x    zero: x 40000 Voor x40000 is K minimaal.

c. De grafiek van K’ is stijgend, dus er is vanaf dit punt sprake van een toenemende

stijging.

43

a. De noemer is positief en wordt steeds groter naarmate de t groter wordt. En als de

noemer groter wordt, wordt de breuk steeds kleiner (omdat de teller constant is).

b. Voer in: 1 2 120 (0,05 1) y t 

 en laat de grafiek van 5 ( ) |1 X x

d

y y

dx 

 tekenen.

De grafiek van de hellingfunctie ligt geheel onder de horizontale as (de grafiek van I daalt) en de afname wordt steeds kleiner (dus een afnemende daling).

44 a. 1 1 5 3 6 2 1 3 ( ) 4 2 2 f t  t t  t  t t t  t 2 56 3 '( ) 3 f t  t b. ( ) 3 1 1 (3 1)12 (3 1) 12 3 1 A p p p p p          1 2 1 2 1 1 2 1 3 3 3 '( ) (3 1) 3 2 3 1 2 3 1 2(3 1) A p p p p p           c. _{Z a( ) (2 a 4 )a} 2 _{(2a2 a)}2 _{Z a'( ) 2 (2a 2 a) (2} 1 _{) 8a 12 a 4} a         d. ( ) 7 2 ₂1 7 2 (2 2 3) 1 2 3 Q q q q q q        2 2 2 2 4 '( ) 14 (2 3) 4 14 (2 3) q Q q q q q q q        

45 hm, een beetje lastig aflezen

a. Het ziekteverzuim nam rond de 5e _{dag het sterkst toe.}

b. Omdat met wat minder werknemers de productie nog nauwelijks afneemt.

c. Van tijdstip t 10 tot t 11 nam het aantal werknemers toe van 440 naar 480. De productie neemt dan toe van 3200 naar 3800.

d. Teken zo nauwkeurig een raaklijn aan de grafiek in t 6 en lees de helling af.

Mijn raaklijn gaat door (2, 1200) en (9, 0). dW 171

dt   mensen/dag.

e. Na 6 dagen zijn er ongeveer 500 werknemers.

5 dP dW  en 855 dP dP dW dt dW  dt   46 a. dM 2,94 0,67g 0,33 1 1,9698g 0,33 1 dg        b. dM 0 dg  1 0,33 0,33 0,33 1,9698 1 1,9698 1,9698 7,8 g g g    

c. De melkproductie is dan ongeveer M(7,8)M(6) 0,077 liter minder

47

a. Geheel langs de weg: K 7000 20 €140000,  

Geheel door het bos: _{K 1000 5}2_{2 25 €134629,}2 _{  }

Door het bos is dus goedkoper.

b. De kosten voor het stuk PC zijn dan: 4000 20  €80000,. En de kosten voor het

gedeelte PH zijn: _{1000 1}2_{2 25 €55902,}2 _{  . De totale kosten zijn dan ongeveer}

€135902, c. PC: (5000x) 20 100000 20   x PH: ₂₀₀₀2_x2 _{25 25 4000000 x}2 2 ( ) 100000 20 25 4000000 AK x   x x d. '( ) 20 25 2 ₂ 20 25 ₂ 2 4000000 4000000 x x AK x x x          2 2 2 2 2 8 2 6 '( ) 0 25 20 4000000 25 20 4000000 625 400(4000000 ) 225 16 10 7,1 10 2667 AK x x x x x x x x x x             e.

f. Er moet ongeveer 2333 meter leiding langs

de weg en 3334 meter door het bos gelegd worden. De minimale aanlegkosten bedragen €130000,-x (in meters) AK (in euro) 1000 2000 3000 4000 5000 6000 -1000 50000 100000 150000

Test jezelf

T-1 a. f x( )x21x52 x101 c. 1 4 5 5 5 1,5 ( ) 6 9 9 f x x x x x x        b. 12 12 12 6 1 6 2 ( ) (4 ) 4 f x _ x  _  _x _{ }x _d. 1 3 2,4 0,8 ( ) (0,125 ) 2 f x _{ }x  _{ }x T-2 a. 1 3 u v  b. u 5 v  c. 2 135 u v 4 1 1 3 u _{ }v _u5v 2 2 4 0,03 135 u v v     d. _u3_v5 _{7,3 e.} 1 1 5 15 5 (u v ) 1 f. _2u3_{(3 )v} 3 _0 1 2 3 3 3 5 1 1,67 7,3 7,3 0,52 u v u v u v          1 25 1 25 3 3 75 1 u v u v u v       13 3 3 1 3 27 3 1 3 54 3 1 1 54 2 (3 ) ( ) 0,26 u v v u v u v v            T-3 a. 1 2 4 '( ) 12 f x _{ } x _x b. _{f x( )x x(} 1,3_x2_)x2,3_x1 _{f x'( ) 2,3 x}1,3_x2 c. f x( )x3 x x312 1 221 1 2 2 2 '( ) 3 3 f x  x  x x d. f x( ) 1₂ 5x x 2 5x x      3 3 2 '( ) 2 5 5 f x x x        T-4 a. 600 2 (0) 1500 1200 N    insecten

b. Als t toeneemt, wordt de noemer steeds groter, de breuk steeds kleiner. Er wordt

dus een steeds kleiner wordend getal van 1500 afgetrokken. Het aantal insecten neemt dus toe.

c. 1500 600 1490 2 3t    1 3 600 10 2 3 2 3 60 3 58 19 t t t t      

Na ruim 19 dagen is het aantal insecten meer dan 1490.

d. Voor grote waarden van t wordt de noemer heel erg groot en de breuk vrijwel gelijk

aan 0. Het aantal nadert de 1500.

T-5

a. _{u x}( ) 4 2,7_{ } x _{en f u( ) u}

b. Voor grote waarden van x nadert 2,7-x _{naar 0 en gaat u(x) dus naar 4.}

T-6 a. u t( ) 2 t3 _{h u( )u}4 _{h t'( ) 2 4  u}3 _8(2t3)3 b. u p( ) 2 5  p K u( ) u '( ) 5 1 5 2 2 2 5 K p u p       c. u q( ) 3 q6 _{w u( )} 2 _2u 1 u    2 2 6 '( ) 3 2 (3 6) w q u q        d. _{u x( )x}2_{10 f u( ) 2 u}2 _{f x'( ) 2 x4u8 (x x}2_10) e. _{u t( ) 3 t}4_{4t g u( ) u '( ) (12} 3 ₄₎ 1 12 3 4 6 3 2 2 2 3 4 3 4 t t g t t u t t          f. u p( ) 2 p2 _{w u( )} 3 _3u 1 u    2 2 6 '( ) 2 3 (2 2) h p u p        T-7

a. Vul grote waarden in voor t: de noemers worden groot, de breuken 0.

De functie g nadert de waarde 8.

b. 2 1 2 1000 5000 ( ) 8 1000 ( 8) 5000 ( 8) 8 8 ( 8) g t t t t t               2 3 2 3 1000 10000 '( ) 1000 ( 8) 10000 ( 8) ( 8) ( 8) g t t t t t               c. Voer in: 1 2 3 1000 10000 ( 8) ( 8) y x x     

zero: x2: vanaf dit moment wordt de afgeleide negatief; de functie daalt

minimum: x7: vanaf dit moment wordt de afgeleide minder negatief: afnemende

daling. T-8 a. Voer in: 7 1 10 20000 500 y x    en y2 10000. intersect: x 500 b. 7 7 1 10 ( ) 20000 20000 10 ( 500) 500 TO q q q         7 7 2 2 10 '( ) 10 ( 500) ( 500) TO q q q      

c. TO'(10000) 0,09 0  : de grafiek van TO is dan nog steeds stijgend.

d. O q'( ) 0 voor alle waarden van q. Dat wil zeggen dat de opbrengstfunctie een stijgende functie is; geen maximum dus.

T-9

a. Na 6 minuten zijn de ribben 3 mm korter. De lengte is dan 9,7 cm.

Het volume is dan ongeveer 912,7 cm3_.

b. r 10 0,05 t met r de lengte in cm en t de tijd in minuten. c. _{V r}3 _{(10 0,05 ) t} 3

d. De snelheid waarmee het blokje afneemt is:

2 2 2

'( ) 0,05 3 0,15 0,15(10 0,05 )

e. V'(0) 15cm/min 2 2 1 3 '( ) 5 0,15(10 0,05 ) 5 (10 0,05 ) 33 10 0,05 5,77 0,05 4,23 84,53 V t t t t t t minuten              

Extra oefening – Basis

B-1 a. f x( )x3x52x53 x351 b. f x( ) (3 x34)54 345 (x43)54 0,42x35 c. _{f x( ) (0,12 x}4,3₎3 _0,123_(x4,3₎3 _{578,70x}12,9 d. 1 121 0,25 1 0,25 121 0,25 481 12 12 ( ) ( ) ( ) ( ) 1,86 f x  x     x   x B-2 a. _{f x'( ) 6 x}2_21x4 b. f x( ) x x6( 0,6 1) x5,4 x5 x      _{f x'( ) 5,4 x}4,4 _5x4 c. _{f x( )x}3,5 _{x x}4 _{f x'( ) 4 x}3 d. f x( ) 7₃ 3x2 7x 3 3x2 x      4 4 21 '( ) 21 6 6 f x x x x x        B-3 a. 7x56 0 7 56 8 x x   Het randpunt is (8, -4)

b. De grafiek van g heeft geen randpunt. Functie g(x) is een lineair gebroken functie.

De grafiek is een hyperbool met asymptoten x8 en y  4.

c. De functiewaarden van f worden dan ook steeds groter en die van g komen steeds

dichter bij -4.

B-4

a. _{u t( ) 4 t}2 _{en f u( )} 1 u



b. Voor grote waarden van t nadert _t2 _{naar 0. u(t) komt steeds dichter bij 4 te liggen.}

f(u) nadert dan naar 1 4.

B-5 a. u t( )  7t 5 _{p u( )u}6 _{p t'( )  7 6u}5 _{ 42 ( 7  t 5)}5 b. 1 3 1 2 3 6 ( ) u p  p  p Z u( ) u 2 1 2 1 3 3 _{3 2} 1 1 3 6 1 '( ) ( ) 2 2 p p Z p p p u p p       c. _{u x( ) x}5_{1 f u( ) u}2 _{f x'( ) 5 x}4_{ 2u  10x}4_(x5 _1) d. 1 2 ( ) 4 u p  p _{f u( )} 5 _5u 1 u      1 2 2 1 2 2 5 '( ) 5 2( 4) f p u p      B-6 _{g t'( ) 0,000039 t}2_{0,156t200}

Bij het minimum van g’(t) is dat het geval. Dat is bij t 2000.

Extra oefening – Gemengd

G-1 a. K_bodem( ) 36x  x2 b. K_zijkanten( , ) 4x y    x y 27 108 xy c. _36x2_{108xy 432} 2 2 2 108 432 36 432 36 12 108 3 xy x x x y x x       d. 2 2 2 1 3 3 12 ( ) 4 3 x I x x y x x x x        e. _{I x'( ) 4 x}2 f. _4x2 _0 2 2 x   x

Bij een kist van 2 bij 2 bij 1.33 meter is de inhoud maximaal

g. De afgeleide functie ligt daar boven de x-as en daalt: de functie is dan afnemend

stijgend.

G-2

a. Bij 42°C is de verdubbelingstijd groter. Het duurt langer voordat de hoeveelheid

verdubbeld is. Dit betekent dat de groei minder sterk is.

b. _{u T( ) T}2_{75T 1350 V u( )} 16,9 _{16,9 u} 1 u     2 2 2 2 2 16,9 ( 2 75) 33,8 1267,5 '( ) ( 2 75) 16,9 ( 75 1350) ( 75 1350) T T V T T u T T T T                     c. V T'( ) 0 33,8 1267,5 0 37,5 T T   

Uitdagende opdrachten

U-1

a. afnemend stijgend: K' 0 en dalend

2 1 2

' 4 10

K  q  q

Het minimum van K’ is bij q 4. Voor 0 q 4 is de grafiek van K afnemend

stijgend b. 1 3 2 1 3 2 1 6 6 2 6,5 ( 2 10 ) 2 3 W  q q  q  q   q  q  q 2 1 1 2 2 1 2 ' 4 3 0 ( 1)( 7) 0 1 7 W q q q q q q            

De maximale winst is € 16.333,33 bij een productie van 7000 USB-sticks

U-2 a. 2 2000 20000 ( ) 200 3 10 (3 10) Z t t t      (0) 200 200 200 200

Z     en na verloop van tijd (voor grote waarden van t)

worden beide noemers heel erg groot en de breuken dus vrijwel gelijk aan 0. Het

zuurstofgehalte zal dan weer naar 200 cm3_{/l naderen.}

b. 2 3 2 3 6000 120000 '( ) 2000(3 10) 3 40000(3 10) 3 (3 10) (3 10) Z t t t t t             '(0) 60 0 Z    , dus Z daalt. c. 2 3 3 3 3 6000 120000 6000(3 10) 120000 6000(3 10) '( ) (3 10) (3 10) (3 10) (3 10) (3 10) t t Z t t t t t t             1 3 '( ) 0 3 Z t t  

Na 3 minuten en 20 seconden is het zuurstofgehalte minimaal.

U-3 '( ) 4 1 2 2 1 1 r t t t     

 Voor t 1 is de afgeleide groter dan 0. De grafiek van r is stijgend: langere tijd

levert een hogere opbrengst.

 De noemer wordt groter en de breuk dus kleiner. De grafiek van r’ is dalend: de