UvA-DARE is a service provided by the library of the University of Amsterdam (https://dare.uva.nl)
E.W. Beth als logicus
van Ulsen, P.
Publication date
2000
Link to publication
Citation for published version (APA):
van Ulsen, P. (2000). E.W. Beth als logicus. ILLC dissertation series 2000-04.
General rights
It is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the author(s)
and/or copyright holder(s), other than for strictly personal, individual use, unless the work is under an open
content license (like Creative Commons).
Disclaimer/Complaints regulations
If you believe that digital publication of certain material infringes any of your rights or (privacy) interests, please
let the Library know, stating your reasons. In case of a legitimate complaint, the Library will make the material
inaccessible and/or remove it from the website. Please Ask the Library: https://uba.uva.nl/en/contact, or a letter
to: Library of the University of Amsterdam, Secretariat, Singel 425, 1012 WP Amsterdam, The Netherlands. You
will be contacted as soon as possible.
Hoofdstukk 1
Inleiding g
"There"There is a certain tendency to belittle the value of my work" x
E v e r tt W i l l e m B e t h , w i s k u n d i g e , filosoof e n o r g a n i s a t o r . Evert Willem
B e t h ,, 1908 - 1964, was hoogleraar in de logica en h a a r geschiedenis en de filosofie vann de exacte wetenschappen aan de Universiteit van A m s t e r d a m , vanaf 1946 tott a a n zijn dood.
B e t hh opereerde op een moeilijk grensvlak van disciplines. Hij werd door de filosofenfilosofen als een wiskundige en logicus afgeschreven, door de wiskundigen en logicii — evenmin positief bedoeld — voor een filosoof gehouden. Dit h a d
in-dertijdd — en ook nu nog — t e maken m e t de onbekendheid van zijn vakgebied enn d e miskenning van het belang van zijn verdere bezigheden. Niettemin k w a m dee combinatie van logica, grondslagenonderzoek van de wiskunde, didactiek van dee wiskunde, geschiedenis van de wetenschapsfilosofie (in de meest ruime zin), filosofie,filosofie, wetenschapsfilosofie en organisatorisch vermogen in meer of mindere m a t ee ook bij anderen voor. Die anderen w a r e n , in Nederland in de tijd van B e t h ,, niet de minsten. Men telde hieronder L . E . J . Brouwer, .1. Clay, G. M a n -n o u r y ,, D. va-n Da-ntzig e-n A. Heyti-ng.2 Volledig is de omschrijving o p Beth van toepassing.. Beth behoorde niet tot de wereldtop van de logici in die dagen. Hij speeldee in Nederland wel een grote rol, rnaar m e n kan daar tegen inbrengen, d a tt dit nogal voor de h a n d lag in een land, a r m a a n dienaren van de logica en filosofiee van de wiskunde.
O pp het gebied van de filosofie lag het niet veel a n d e r s . Door Beth zijn geen uitgebreidee verhandelingen geschreven of vele volstrekt nieuwe inzichten g e p u b -liceerd.33 M a a r opnieuw kan rnen de N e d e r l a n d s e situatie n a a r voren halen.
11
Brief E.W. Beth - Th.A. Skolem. 26 juli 1951. Op het hoe en waarom van dit. citaat, gaan wijj in de loop van deze inleiding in. Thoralf Albert Skolem. 1887 1963.
22
Beth heeft enkelen van hen beschreven: (Beth 1955/195Ca) over Jacob Clay, 1882 1955, (Bethh 1956/1957a) over Gerrit Mannoury. 18G7 1956, en (Beth 1947u) over Luitzen Egbertus J a nn (Bertus) Brouwer. 1881 1966; Arend Heyting, 1898 1980. David van Dantzig. 1900 -1959. .
3
B e t hh heeft, wel eens een poging in die richting gedaan, maar veel zoden aan de dijk heeft
Opp het gebied, d a t door h e m o m s c h r e v e n werd als wetenschappelijke filosofie —— hetgeen iets anders is d a n wetenschapsfilosofie — waren er indertijd binnen Nederlandd nog rnaar weinig m e n s e n te vinden. Op het gebied van wetenschaps-filosofie,filosofie, behandeld als wetenschappelijke filosofie, al bijna helemaal n i e m a n d . Opp deze terreinen deed B e t h van zich spreken. Gezien het wetenschappelijke k a r a k t e r ,, zoals B e t h dit zag, van het bedrijven van filosofie en wetenschaps-filosofiefilosofie was een n a a r voren schuiven van 'grootse resultaten' niet voor de h a n d
liggend. .
M e tt Beths opzet heeft m e n zichzelf t e verantwoorden en kan m e n niet zo m a a rr iets construeren en d a a r b i j al t e snel beweren allerlei relaties gelegd t e h e b b e n .. Speculatieve filosofie, die o p dergelijk drijfzand bouwt, h a d niet zijn voorkeur.. Meer nog, hij zag h e t als een uiteenvallen en isoleren van diverse in-tellectuelee disciplines. Ook op m a a t s c h a p p e l i j k terrein hield dit volgens hem de nodigee gevaren in. Indien m e n niet speculatief m a a r op een 'hopelijk' gezondere basiss t e werk g a a t , heeft m e n evenals b i n n e n andere wetenschappen meestenti-jdss te maken m e t onderzoek zonder s p e k t a k e l : het verkennen en bewerken van
veldjee n a veldje. D a a r n a a s t h a d B e t h een grote interesse in ideeëngeschiedenis vann filosofie, wetenschapsfilosofie en logica, meer d a n een gemiddeld logicus in zijnn tijd. Ook o p dit terrein publiceerde hij,
B e t hh vervulde tal van o r g a n i s a t o r i s c h e functies. De in de eerste twintig j a r e n n aa de Tweede Wereldoorlog belangrijke internationale organisaties o p het gebied vann wetenschapsfilosofie en logica w e r d e n m e t zijn deelname opgericht. Ook a a nn de ontwikkeling van de, l a t e r weer teloor gegane, Centrale Interfaculteiten enn de ontwikkeling van de filosofie- en logica-studie in Nederland heeft hij veel bijgedragen.. De noodzaak van h e t verschaffen van mogelijkheden tot publiceren ontgingg Beth niet. Naast de r e d a c t e u r s c h a p p e n van talrijke bladen b e h o o r d e hij,, samen met L.E.J Brouwer en A. H e y t i n g , tot de oprichters van de reeks
StudiesStudies in Logic.
K o r t o m ,, B e t h was een actief w e t e n s c h a p p e r en organisator, die voor een goedd begrip van het o n t s t a a n van de huidige Nederlandse logica een centrale p l a a t ss inneemt.
B e t h ,, w e r k e n w a a r d e r i n g . Het is nu tijd terug te komen o p het citaat,
waarr deze inleiding mee geopend w e r d . H e t is een deel van het volgende citaat: "Duringg the last few years, however, a certain number of papers have been published, thee contents of which, though given a more elaborate form, coincide partly with my remarks.. At the same time, there is a certain tendency to belittle the value of my work.. Under these circumstances, I feel that I have a right to claim, according to the case,, my priority, my independence, or the basic correctness of the general views set forthh in my publications."
Ditt c i t a a t met verongelijkte o n d e r t o o n is afkomstig uit een op 26 juli 1951 gedateerdee brief van Beth a a n T h . A. Skolem. Deze brief had betrekking op een
ditt niet gezet. A1H voorbeeld hiervan wordt het nooit uitgegeven nis. Natuurn en geest' wel aangehaald.. Delen uit de daar behandelde stof zijn later {meestentijds tussen 1945 en 1950) inn diverse artikelen verwerkt.
3 3
doorr Skoleni geschreven recensie over werk van J. Barkley Rosser en Hao Wang.4
M e nn kan zeggen, d a t B e t h s verongelijkte o n d e r t o o n niet helemaal onterecht was, j a ,, zelfs met het verstrijken d e r j a r e n meer b e w a a r h e i d werd. Men moet er wel rekeningg mee houden, d a t B e t h zich weleen» al te snel tekort gedaan voelde enn meende dat men, al d a n niet bewust, tegen h e m s a m e n s p a n d e . Vooral m e t betrekkingg tot zijn meer filosofisch gerichte werk h a d hij dit gevoel. Verder komt err nog een aspect n a a r voren. B e t h haalde nogal eens het uiten van vermoedens enn het kunnen geven van bewijzen door elkaar. Helaas zal m e n , als men door m a t h e m a t i s c h ee logici erkend wil worden, toch h u n conventies voor lief moeten n e m e n . .
Bovendienn geeft B e t h op logisch gebied de i n d r u k v o o r t d u r e n d te hooi en t e g r a ss onderwerpen a a n t e grijpen zonder s y s t e m a t i s c h onderzoek. Een voorbeeld biedenn zijn tableaus. In wezen is dit een bewijstheoretisch onderzoek. Toch onderzochtt hij de metalogica in onvoldoende m a t e systematisch, oplossingen vann problemen komen nogal eens uit de lucht vallen (of blijven d a a r in hangen), enn a a n de samenhang ruct bewijstheoric en de daarbij h o r e n d e metalogische eigenschappenn wordt door h e m niet voldoende a a n d a c h t besteed.
Dee geldigheid van het c i t a a t boven deze inleiding is in later tijd toegenomen. Zowell voor de filosofisch g e t i n t e w e r k z a a m h e d e n alsook niet betrekking tot de logica.. Meer nog, de belangstelling voor zijn filosofische werkzaamheden is welhaastt tot niets afgenomen.5 Voor het logische werk kan m e n zeggen, d a t er n o gg steeds gebruik w o r d t g e m a a k t van de door h e m b e d a c h t e definitie-stelling, dee semantische tableaus en de Beth-modellen. Helaas wordt m e t betrekking tot dee tableaus het wiel zo nu en d a n opnieuw uitgevonden.
E e nn lichte vorrn van speculatie was ook B e t h niet vreemd. Wel was dit veelall een speculeren b e s t a a n d e uit vermoedens h o e in de nabije toekomst een b e p a a l d ee wetenschappelijke ontwikkeling verder zou gaan, en niet een speculatie inn het wilde weg.
Bethss speculaties bleven b i n n e n redelijke grenzen, d a a r d o o r werden zijn wetenschapsfilosofischee en wetenschappelijk filosofische r e s u l t a t e n door een breder publiekk geapprecieerd d a n bij d e meeste a n d e r e filosofen. Dit was eveneens het gevall met zijn resultaten in d e m a t h e m a t i s c h e logica. Wel moest hij zo nu en d a nn vechten voor de erkenning van zijn r e s u l t a t e n .
Tenslottee moet nog worden opgemerkt d a t ook Beth wel eens van mening veranderde.. Het is echter niet zo d a t , wellicht daargelaten denkbeelden uit zijnn vroegste periode, de 'jeugdzonden', hij scherpe wendingen m a a k t e ; veelal zijnn bij hem veranderingen meer een kwestie van nuancering; zeker m.b.t. de
4(Skolemm 1951).
5Ookk Beth had al over liet begrip ten aanzien van zijn bezigheden al enige bedenkingen en
meendee door het laten verschijnen van enkele bundels van zijn werk dit te kunnen bestrijden. Brieff Beth H.J.Prakke (van Gorcum Uitg-, Assen), 27 oktober 1958: "Deze wens berust op dee overweging dat er bij velen onzekerheid en zelfs mis vers tand blijkt te bestaan ten aanzien vann mijn wijsgerig standpunt, zodat men van mijn werk met een zekere vooringenomenheid kenniss neemt. [...] Ten dele meen ik deze verschijnselen te moeten toeschrijven aan het feit, d a tt liet niet zo heel makkelijk is, van mijn wijsgerige opvattingen een samenhangend en min off meer volledig beeld te vormen."
algemenee lijnen van zijn denkbeelden zit er niet veel verandering in en ten opzichtee van het doel van dit onderzoek spelen zelfs Beths nuanceringen een zeer ondergeschiktee rol. De in dit proefschrift b e h a n d e l d e periode uit B e t h s leven speeltt zich bovendien voornamelijk af tussen 1950 en 19C4. Het is misschien wel a a r d i gg om meerdere ' B e t h s ' ten tonele t e v o e r e n , de vraag blijft of dit wel het gevall is, en zeker in dit proefschrift wekt dit meer verwarring d a n duidelijkheid: hierr h e b b e n we a a n één B e t h meer dan v o l d o e n d e .
D ee k e u z e n uit B e t h s n a l a t e n s c h a p . In dit geschrift kan van de vele hier
opgesomdee activiteiten van B e t h slechts in b e p e r k t e m a t e kond worden gedaan. Ditt heeft niet alleen te m a k e n met de belangstelling voor B e t h s werk of de b e p e r k t ee ruimte, m a a r heeft in de eerste p l a a t s te maken m e t waar Beths verdi-enstenn lagen. Met deze gedachten staat de schrijver overigens niet alleen. Het Boekk der Waarheid6 geeft de volgende richtlijnen:
"Naa aanvankelijk werkzaam geweest te zijn op het terrein van de wijsbegeerte der ex-actee wetenschappen in ruimere zin, heeft Beth zich, onder invloed van Tarski, Heyting e.a.,, bewogen in de richting van het grondslagenonderzoek van de wiskunde en logica. Opp dit gebied heeft hij zijn treffendste vondsten gedaan."
M a a rr als men zich afvraagt, w a t Beth zelf v a n de bestudering van de wiskunde vond,, krijgt men een t e r u g h o u d e n d a n t w o o r d : 7
"Andd nevertheless, although I finished my studies of mathematics rather successfully, I neverr developed into a typical mathematician. For instance, I never had much taste or patiencee for problem-solving. Or, rather, if 1 became interested in a certain problem, itt was never because the problem was a hard one, but always because I happened to bee interested in the particular situation from which it has arisen. Already at an early date,, however, I was fascinated by the theories of mathematics and physics because off their deductive strucure."
E nn dit wordt zelfs nog veel duidelijker d o o r h e m vermeld: 8 "I might say t h a t myy interest in m a t h e m a t i c s is essentially b a s e d on its deductive p a r t , or t h a t I a p p r e c i a t ee it mainly inasmuch as it is a t t h e s a m e time logic." [waarmee B e t h niett wil zeggen, d a t wiskunde een onderdeel van de logica is] M a a r ook d a t is niett zijn eerste prioriteit: ° "Rechtstreeks bij t e dragen tot de ontwikkeling van dee wiskunde stel ik me zeker niet in de eerste p l a a t s ten doel. Het is d a n ook een 'meevaller'' dat in de allerlaatste tijd mijn werk ook in deze zin v r u c h t d r a g e n d iss gebleken."
O pp tal van a n d e r e terreinen heeft B e t h bijdragen geleverd. Zijn meest cre-atievee verdiensten liggen echter in de hoek v a n de wetenschap en daar zullen wc onss derhalve toe beperken.
66
DeDe Grote Winkler Prins, dl. 3. Amsterdam (Elsevier). (19727). p . 676. Alfred Tarski [Tajtelbaum],19022 -1983.
Ms,, E.W. Beth, Remarks on the philosophy of mathematics, (origeptibl.; na 1959).
8
M s ,, E.W. Beth, Remarks on the philosophy of mathematics.
9Brieff Beth L.E.J. Brouwer. 15 december 1959. Beths eerste prioriteit ligt anders dan
5 5
E e nn overweging, die er verder toe heeft bijgedragen o m onderzoek naar Beth t ee d o e n , is de uitvoerige door h e m nagelaten correspondentie. Hierdoor was liet mogelijkk tal van zaken nader t e onderzoeken op hun ontstaansgeschiedenis. Hier k o m tt nog bij, dat Beth in de loop der tijden een positie h a d opgebouwd, waarin hijj c o n t a c t e n onderhield met leden van de toenmalige logische 'wereldtop' en de echelonss direct daaronder. Het resultaat is een vrij u i t g e b r e i d e correspondentie, diee ook een interessant licht werpt op andere creatieve logici. Bovendien is err nogal w a t in het vergeetboek g e r a a k t of zeer gespreid a a n te treffen. De b u n d e l i n gg bleek een interessant tijdsbeeld te leveren. Met deze gegevens voor ogenn m o e t men er overigens voor oppassen niet mee t e helpen een vertekend beeldd t e scheppen, iets waarvoor Beth in 1953 al w a a r s c h u w d e .1 0 Volgens B e t h
w o r d tt v o o r u i t g a n g binnen een wetenschap bepaald door kleine groepen van e e r s t e r a n g ss figuren. Deze beïnvloeding is meestal voor b u i t e n s t a a n d e r s niet goedd m e r k b a a r en vaak worden resultaten dan toegeschreven aan mensen die ditt niet verdienen.
O v e r z i c h t .. Deze publicatie valt in twee delen uiteen. E e n eerste deel, d a t b e s t a a tt uit meer algemene zaken en een tweede deel, h e t leeuwendeel, d a t alleen overr B e t h s logische werk gaat.
E rr zal begonnen worden met Beths levensloop.1 1 Hierin wordt s p a a r z a a m i n g e g a a nn o p Beths persoonlijke leven en uitvoeriger o p zijn organisatorische, redactionelee en onderwijsgerichte werkzaamheden. H e t tweede hoofdstuk geeft eenn schets van zijn algemeen-filosofische en wetenschaps-filosofische s t a n d p u n t . D ee periode, die deze hoofdstukken beslaan, loopt van zijn afstuderen in 1932 t o tt a a n zijn overlijden in 1964.
H i e r n aa krijgt men het belangrijkste deel: Beths bijdragen a a n de logica. Vanaff h e t hoofdstuk Semantiek tot en niet het l a a t s t e hoofdstuk Beth-modtlltn v e r t o n e nn de hoofdstukken in de gekozen volgorde een systematische en tegelijk eenn historische lijn. Er zijn tal van zijpaden: B e t h s denkbeelden over bij-voorbeeldd ordening, meetkunde, g r o o t t e n van modellen, wetenschapsfilosofie en filosofiefilosofie in het algemeen zullen hier grotendeels overgeslagen worden. Voor eenn deel hiervan werd juist de beginperiode van Beths c a r r i è r e gekenmerkt: 12 " G e d u r e n d ee rnijn eerste periode '3 werd ik vooral beïnvloed door het werk van C a m a p ;; wrat de natuurphilosophie betreft, ook door Reichenbach. Deze invloe-d e nn bepalen ook nu [1958] nog meinvloe-de rnijn staninvloe-dpunt,1'
V o o r d a tt Beth tot hoogleraar benoemd werd, waren zijn bezigheden met b e t r e k k i n gg tot de systematiek van de logica marginaal. Voor de Tweede Werel-doorlogg b e s t o n d Beths werk uit het beschrijven van historische of recente
ont-l üBrieff E.W. Beth E.J. Dijksterhuis, 27 oktober 1955 (of 1953) (de onzekerheid in jaartal
wordtt veroorzaakt, door de gebruikte schrijfmachine; er is echter een verwijzing naar Dijkster-huis'' oratie op 2G oktober. Eduard J a n Dijsterhuis. 1892 1965. werd in 1953 benoemd tot buitengewoonn hoogleraar in de geschiedenis van de wiskunde en de natuurwetenschappen.
n
O pp jaartal is deze ook nog opgenomen in de supplementen.
1 2
Brieff Beth - F.L.R. Sassen, 11 november 1958. F.L.R. Sassen. 1894 1971. Hans Reichen-bach.. 1891 1953. Rudolph Carnap, 1891 - 1970.
1 3
wikkelingenn binnen de logica, m a a r zonder eigen bijdragen.
D ee periode van de Tweede Wereldoorlog leverde al helemaal weinig op. Het contactt met logici buiten Nederland was door de oorlogsomstandigheden mini-maall en binnen Nederland h a d Beth niets t e zoeken. Bovendien had hij in de j a r e nn voor en tijdens d e Tweede Wereldoorlog moeite om in zijn levensonder-h o u dd t e voorzien. Tijdens de oorlog levensonder-h a d levensonder-hij wel kennis o p g e d a a n van semantiek enn de m o d el theoretische benadering, zoals die te vinden was in het werk van dee door hem zo bewonderde A. Tarski. In later tijd verwoordde Beth dit als volgt:: 1 4 "Later (na C a r n a p en Reichenbach) k w a m e n daarbij invloeden van d e significaa van M a n n o u r y (ook in verband m e t mijn psychologische studie), van hett platonismc van H. Scholz en van de logische methodiek van Tarski (waar-doorr ook Scholz sterk beïnvloed is, hoewel Tarski juist nominalist is). Deze divergerendee tendenties h e b b e n pas in mijn d e r d e periode een zeker evenwicht gevonden." "
Doorr zijn hoogleraarsbenoeming vielen de ergste zorgen van hem af, en m e t dee verworven kennis ging B e t h aan de slag. E e r s t aarzelend, d a a r n a met steeds vasteree gang. Hij wist ook wat hij wilde, logica op de m o d e r n e manier bedrijven: semantiekk en modeltheorie.
Voorr de rnodeltheorie viel in die j a r e n in h e t algemeen de aandacht op de vol-gendee aspecten: het onderzoek n a a r de beslisbaarheid of onbeslisbaarheid van wiskundigee theorieën (veelal algebra) en onderzoek n a a r de formuleerbaarheid vann die theorieën (elementair, tweede-orde, etc.). B e t h begon dit gebied t e onderzoekenn en wist m e t behulp van a l g e b r a en topologie enkele stellingen t e formuleren.. Deze stellingen leunden nog wel sterk o p het werk van anderen. In zijnn pogingen om b e p a a l d e bewijzen te leveren ontwikkelde B e t h een begrip van valuaties,, dat hij vooral in een later s t a d i u m m e t v r u c h t zou gaan gebruiken. Bethh construeerde vereenvoudigingen van volledigheid d.m.v. vereenvoudiging vann elementaire logica en m.b.v. zijn ontwikkelde valuaties. De ervaringen o p g e d a a nn niet valuaties waren nuttig bij zijn latere semantische onderzoek, zoals besprokenn in het hoofdstuk Semantiek.
Ditt onderzoek voerde B e t h ook op een a n d e r p a d : hij ging de sequentencalcu-luss van Gentzen1 5 gebruiken. Dit vormt het begin voor h e t volgende hoofdstuk, dee definitie-stelling, een definitorische volledigheidsstelling. De definitie-stelling zegtt iets over een syntactisch begrip. Het bewijs door B e t h werd gekenmerkt doorr syntactische (hoofdzakelijk) en semantische (bijwagen) componenten. Ook hierr speelde de sequentencalculus van G e n t z e n een belangrijke rol.
Doorr dit werk h a d B e t h veel ervaring o p g e d a a n rnet semantiek en m e t Gentzenss methoden. Dit gaf de aanzet t o t een volgend onderzoekingsgebied: dee tableaus, een combinatie van Gentzen-calcuius en semantiek. De t a b l e a u s leverenn een snelle o p b o u w van uitverkoren valuaties en d a a r m e e een snelle beslissingsmethode.. Dit werk uit de periode 1954 - 1956 wordt behandeld in hett hoofdstuk Semantische tableaus. Van hieruit liepen bij Beth drie
onder-1 4Brieff Beth - F.L.R. Sassen. 11 november 1958. F.L.R. Sassen, 1894 1971; Heinrich
Scholz,, 1884 - 1956.
1 5
7 7
zoekslijneiii verder: bewijs-mechanisatie, natuurlijke deductie en modellen voor intt unionistische logica.
H e tt hoofdstuk De logische machine h a n d e l t over een uitbreiding van de t a b l e a u ss met het doel orn een mechanisatie m e t behulp van r e k e n a p p a r a t u u r t ee verkrijgen. Twee vormen van mechanisatie wilde Beth nastreven; mecha-nisatiee van bewijzen en mechanisatie van geldigheidstesten. Het mede door B e t hh opgezette Euratom-project vormde de impuls voor dit onderzoek. Deze periodee liep van 1956 tot 1964.
D ee tweede lijn is die van de deductieve t a b l e a u s . Beth t r a c h t t e uit zijn semantischee ' gel digh ei ds'- tableaus deductieve 'bewijs'-tableaus te peuren. De omwegg over de semantische tableaus heeft m e n natuurlijk niet nodig, m e n kann ook direct op deductieve systemen o v e r s t a p p e n . Hier doet de invloed vann het intuïtionisme zich gevoelen. Beth ontwikkelde klassiek-deductieve en intuïtioiiistisch-deductievee systemen. D a t b e p a a l t de inhoud van het hoofdstuk
DeductieveDeductieve tableaus en is tevens de o p m a a t tot h e t hoofdstuk Implicatieve syste-men.men. Men kan trachten dieper door te dringen in het verschil tussen klassiek en
intuïtionistischh d.m.v. de deductieve t a b l e a u s . H e t eenvoudigste is dit t e d o e n doorr alleen implicatie te bestuderen. Dit kan m e n vervolgens gaan uitbrei-denn n a a r andere operatoren waaronder m o d a l i t e i t e n en de bijbehorende frag-m e n t e nn bestuderen. O p dit terrein heeft B e t h enkele aardige resultaten weten t ee bereiken, die samenhangen met zijn niet-klassieke valuaties.
Echtee oplossingen voor de intuïtionistische logica — zoals dit Beth voor ogenn stond — zijn hiermee nog niet gegeven; die worden behandeld in h e t vol-gendee hoofdstuk, Beth-modellen. De door B e t h voor de intuïtionistische logica geconstrueerdee tableaus zijn snel gegeven. H e t g r o o t s t e deel van het hoofdstuk wordtt in beslag genomen voor het intuïtionistisch a a n v a a r d b a a r maken van deze tableaus:: het omzetten van het begrip t e g e n m o d e l in d a t van een inpassings-m e t h o d e .. De laatste wordt gebruikt voor de constructie van een klassiek bewijs vann de volledigheidsstelling en een aanzet van een intuïtionistisch bewijs. In het l a a t s t ee geval speelt de waaierstelling van Brouwer een rol. Beths denkbeelden overr deductieve tableaus en geldigheidstesters voor intuïtionistische logica zijn afkomstigg uit dezelfde periode, namelijk van 1955 tot begin jaren zestig.
Menn kan denken, d a t b o v e n s t a a n d e verhaal-lijn meer suggestie d a n werkelijk-heidd is. Gelukkig kan men ook bij Beth te r a d e g a a n , zoals zijn ms. Problemen
derder hedendaagse logica 16 laat zien. Enkele c i t a t e n (pp. 9, 10), die eenzelfde lijn latenn zien:
"Aanvankelijkk had ik mij het bescheiden doel gesteld, een meer eenvoudige toegang tee vinden tot de [... ] volledigheidsbewijzen voor logische systemen [... ] Nadat ik in 19511 een eerste resultaat in deze richting had bereikt, leidde ik in 1953 uit de volledig-heidsstellingg voor de elementaire logica een aantal gevolgtrekkingen af. [. .. ] Daarmee rijstt de vraag, of ook met betrekking tot de leer der definitie een volledigheidsbewijs geldt.. Deze vraag, die merkwaardigerwijs niet eerder zó gesteld was. kon ik in 1953 in bevestigendee zin beantwoorden voor de elementaire logica."
"Dee volledigheidsstelling voor de leer der definitie berust in wezen op een meer ver-fijndee versie van de volledigheidsstelling voor de deductie-theorie, die rekening houdt
1(i
mett het door G. Gentzen in 1934, van een zuiver formeel standpunt uit, opgestelde subformule-beginsel:: bij de afleiding van een conclusie B uit de premissen Ai, A2,...
spelenn alleen de subformules van B en A i , Ai.... een rol. Dit leidde tot de opmerking: 1.. van semantisch standpunt spreekt het subformule-beginsel vanzelf. Reeds vroeger wass ik tot het volgende inzicht gekomen: 2. de volledigheidsstelling voor de elementaire logicaa berust op een herleiding van deze laatste tot de (eenvoudiger) volzinnen-calculus. Inn combinatie met het [... ] gezichtspunt: 3. aÜeidbaarheid betekent afwezigheid van eenn passend tegenvoorbeeld, leidden deze inzichten me tenslotte tot de opstelling van dee methode der semantische taleaux"
"[Bomenn en deelbomen] leidde tot een aanpassing van de methode der semantische tableauxx aan de beginselen der intuit ionistische logica. Tot mijn grote verrassing bleek hett daarna mogelijk, de volledigheid te bewijzen."
"Tott slot wijs ik er even op, dat de zienswijze, die aan al deze onderzoekingen tenn grondslag ligt, een zekere m a t e van verwantschap vertoont met de reeds om-streekss 1880 door K. Kroman verdedigde opvatting van de logische redenering als
gedachten-experimentgedachten-experiment [...] Elke poging tot constructie van een passend
tegenvoor-beeldd is immers als een gedachten-experiment te beschouwen. We kunnen dus onze methodee kort beschrijven, door te zegen, dat we er [... ] naar gestreefd hebben, aan elkee logische redenering een gedachten-experiment van een zeer bepaald soort te doen beantwoorden." "
O v e r w e g i n g e nn m e t b e t r e k k i n g t o t h e t c i t e r e n . Gedurende de tijd, d a t
hett archief van B e t h op de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschap-penn was opgeslagen, besloeg h e t drie archiefkasten. Hieruit moest een keuze g e m a a k tt worden. Bij een t o t o p h e d e n nauwelijks ontgonnen archief als d a t vann Beth kan m e n nog alle k a n t e n o p . E r is echter wel een belangrijke bijkom-stigheid,, die voor een deel de keuze b e p a a l t . E r is in het archief m a t e r i a a l , d a t wellichtt voor uitgave in a a n m e r k i n g zou k u n n e n komen. Dit geldt ook voor dee gevoerde correspondentie. H e l a a s is het zelden zo, dat in correspondentie allee brieven over een bepaald o n d e r w e r p voor publicatie geschikt zijn. Boven-dienn w o r d t vaak t e uitvoerig op bijkomstige zaken ingegaan. D a a r o m kan een s a m e n v a t t e n d ee beschrijving m e t illustratieve c i t a t e n zeker zijn n u t h e b b e n .
Mett citeren m o e t men overigens niet overdrijven. In dit v e r b a n d kan men uitt een bespreking door A. H e y t i n g v a n B e t h s Inleiding tot de wijsbegeerte der
wiskundewiskunde (1940) citeren: ' '
"Mett het streven naar objectiviteit staan blijkbaar in verband de lange citaten, die de schrijverr herhaaldelijk geeft. Het komt mij voor, dat een goede paraphrase, waartoe hij,, naar uit andere gedeelten van zijn werk blijkt, goed in staat is, bijna steeds dee voorkeur zou verdienen. Het gevaar, dat de bedoeling van het oorspronkelijke geschriftt verwrongen wordt, bestaat ook bij een citaat, dat toch altijd uit een groter verbandd losgerukt wordt, terwijl de plotselinge overgangen van stijl het juiste begrip bemoeilijkenn en het boek iets onrustigs geven."
Echter,, in dit werk is een deel van de c i t a t e n evenwel afkomstig uit niet uitgegevenn correspondentie en m a n u s c r i p t e n . Verwijzing naar gepubliceerd werk
9 9
iss in d a t geval d a n ook niet mogelijk: een parafrasering wordt d a n minder wenselijk. .
Hett niet gepubliceerde m a t e r i a a l — manu-, t y p o s c r i p t e n —, d a t wordt ge-b r u i k t ,, is afkomstig uit het Archief E.W. Beth. Dit archief is door de Koninklijke Nederlandsee Akademie van W e t e n s c h a p p e n in bewaring gegeven a a n het Rijks-archieff te Haarlem.1 8 Tenzij anders vermeld is elke geciteerd archiefstuk uit ditt archief afkomstig. Bij brieven worden n a a s t de afzender en geadresseerde dee d a t u m en (soms) de p l a a t s van verzending (in deze volgorde) gegeven. Bij B c t hh g e b e u r t dit laatste (de plaats) bijna nooit, de meeste brieven van hem zijnn in A m s t e r d a m geschreven. Er is weinig m a t e r i a a l uit a n d e r e b r o n n e n d a n hett Archief E.W. B e t h gebruikt. Indien dit het geval is wordt d a t vermeld; voornamelijkk betreft dit m a t e r i a a l uit het Archief A. Heyting. Vooral in het hoofdstukk over Beth modellen is daar gebruik van g e m a a k t om een beeld te gevenn van de begrenzingen, w a a r Beth voor het ontwikkelen van die modellen enn volledigheid rekening mee moest houden. In het B e t h Archief is wrel heel weinigg hierover te vinden, in de correspondentie tussen Heyting en Kreisel des t ee meer.1 9
D ee grote hoeveelheid m a t e r i a a l werpt vanzelf de v r a a g op, waarom er niet meerr ruimte aan zeg filosofische bezigheden gewijd kan worden. Toegegeven m o e tt worden, dat er een g r o t e hoeveelheid correspondentie en m a t e r i a a l over filosofischee en wetenschapsfilosofische onderwerpen aanwezig is. Ook kan m e n zichh afvragen of er geen a a n d a c h t besteed zou m o e t e n worden a a n corresponden-tiee over nog bestaande of al reeds ten onder gegane geleerde genootschappen off de bijdragen van B e t h a a n de inrichting van Tarski's huis. Hierdoor zou dezee studie onoverzienbaar uitdijen. D a a r o m w o r d t er voor gekozen Beths werk niett zo zeer in de breedte, rnaar voor een a a n t a l onderwerpen in de diepte te behandelen. .
N o t i e ss e n c o n v e n t i e s . Voor de afkortingen en symbolen s t a a n twee wegen
o p e n .. De eerste weg b e s t a a t uit een zich conformeren a a n de niet betrekking t o tt de notatie een steeds wisselende tekst van brieven en artikelen. D e tweede wegg b e s t a a t er uit hiermee t e breken en één soort notatie t e gebruiken. In ditt v e r b a n d valt wederom uit Heytings bespreking van Beths Inleiding tot de
wijsbegeertewijsbegeerte der wiskunde te citeren:
"Zekerr gaat het te ver. iedere schrijver met zijn eigen notatie aan te halen, zodat bijvoorbeeldd voor de logica de notaties van Frege, Russell en Lukasiewicz voorkomen. Zelfss voor een ingewijde is het dikwijls moeilijk, in een vreemde notatie thuis te raken; hoeveell last moet een beginner daarmee niet hebben!"
Inn dit geval is er naar H e y t i n g geluisterd. Gekozen is er voor een zo be-grijpelijkk mogelijke mélange. Helaas is er door de Nederlandse regering op dit terreinn nooit een ultieme symbolen-commissie ingesteld o m een b e p a a l d gebruik
1B
Ziee verder de supplementen.
1 9Georgee Kreisel. *192G.
2 üG o t t l o hh Frege. 1848 1925, Bert rand Arthur William, 3e graaf Russell, 1872 1970, Jan
dwingendd voor t e schrijven.2 1 Een tweede moeilijkheid in dit v e r b a n d b e s t a a t
uitt niet door B e t h ingevulde delen in brieven of manuscripten. Dit betreft voor-namelijkk delen van formules en tableaus: niet alles stond op zijn schrijfmachine. Voorzoverr mogelijk is dit door de auteur dezes aangevuld. Een voorbeeld be-treftt het nogal eens weglaten van h bij sequenten (waarvoor in dit geschrift =£ gekozenn is). Deze verbeteringen worden meestal niet in de v o e t n o t e n vermeld o mm een al te grote brij binnen de tekst t e voorkomen.
Bijj Nederlandse c i t a t e n wordt de oorspronkelijke spelling gehandhaafd. De verderee spelling van het Nederlands wordt, o m de lezer niet af t e schrikken of all te zeer te vermoeien, zoveel mogelijk a a n de w a a n van de d a g a a n g e p a s t . Dezee voor de bulk van de tekst gebruikte spelling is evenwel niet toegepast op logischee of wiskundige t e r m e n . Daar is, ook o m een al te grote breuk m e t de correspondentiee t e vermijden, een wat o u d e r e v o r m van spelling gehandhaafd. Somss wordt er tegen het Nederlands gezondigd: zo wordt er vanwege de logische contextt syntax i.p.v. syntaxis gebezigd (wel w o r d t bij dit niet b e s t a a n d e woord a a n g e n o m e nn d a t het evenals syntaxis vrouwelijk is).
2 11 Aan de noodzaak om tot een uniforme uitdrukkingswijze binnen de logica te geraken is de
Associationn for Symbolic Logic echter niet voorbijgegaan. Ooit is er door dit genootschap een
l
spellingsconimiKsie'' geïnstalleerd. Anders dan bij Nederlandse spellingscommissies matigde menn zich geen dictatoriale bevoegdheden aan. Volgens A. Church (brief(kopie) A. Church J . B .. Rosser, W.V. Quine, 4 februari 1953; (Princeton)) moest de commissie de gebruikte
symbolenn omschrijven en niet voorschrijven. Van zelfs p re kend was men aan Beth — vanwege; zijnn combinatie van historische en systematische kennis - niet voorbijgegaan. Per 7 februari 19533 accepteerde Beth (brief Beth - W.V. Quine, 7 februari 1953) de benoeming tot voorzitter. Beginn 1954 trok Beth zich al terug (brief Beth - W.V. Quine, 16 februari 1954). Pas in 1969 werdd het resultaat uitgegeven als Dictionary of symbols of mathematical logic in de serie Studiess in Logic bij North Holland. Alonzo Church, 1903 - 1995, Willard Van Orman Quine, *1908. .
