NHL-STENDEN
Verbanden 4B
Rekenen/Wiskunde & Didactiek
G. van Rijn - 4786092
Naam Gerda van Rijn Studentnummer 4786092 Opleiding PABO Deeltijd
Klas 1A
PPI Helen Goudemond
Module/l.uitkomst Rekenen-wiskunde
Voorwoord
De opdracht voor dit verslag was een behoorlijke uitdaging. Het kostte me veel moeite om tot de kern te komen. Het was een hele worsteling, maar niet in de negatieve zin van het woord.
Dit verslag gaat me later helpen, omdat er bij mij nog zoveel moet gebeuren op het gebied van het domein Verbanden. Ik wil bij deze ook mijn dank betuigen aan Janneke Buikema. Zij heeft toch de tijd genomen om me enkele handvatten te geven voor mijn rekenles. Ik besefte daarna hoe belangrijk het is om veel en goede vragen te formuleren in de rekenles. Het domein Verbanden is allesbehalve stoffig en ik ga me zeker meer verdiepen in dit onderwerp.
Gerda van Rijn
Voorwoord 2
1. Inleiding 6
2. Kennis van Verbanden 7
2.1 Wiskundetaal rond verbanden 7
2.1.1 Verbanden, data en statistiek 7
2.1.2 Soorten grafieken en schema´s 7
2.1.2 Begrippen die horen bij grafieken en schema´s 9
2.1.3 Begrippen bij het ordenen en representeren van informatie 10
2.1.4 Overige begrippen 13
2.1.5 Verschillende type verbanden 15
2.2 Aflezen en invullen van grafieken 16
2.2.1 Grafieken op waarde schatten 16
2.2.2 Welk type grafiek of representatie past bij een situatie 17
3. Verbanden en leerlijnen 19
3.1 Tussendoelen domein Verbanden SLO 19
3.2 Tule, kerndoel 23 (tule.slo, 2019) 22
3.3.1 Verbanden in tabellen, diagrammen en grafieken 23
3.3.2 Verbanden in patronen 24
3.4 Domeinbeschrijving Eindtoets Verbanden 25
4. Kerndoelen volgens curriculum.nu 26
De wiskundige denk-en werkwijzen van Curriculum.nu gaan over 26
4.1 Kerndoelen voor data en statistiek volgens curriculum.nu 27
4.1.1 Data en statistiek onderbouw 27
4.1.2 Data en statistiek in de bovenbouw: 27
4.2 Kerndoelen voor Verbanden volgens curriculum.nu 28
4.2.1 Verbanden in de onderbouw 28
4.2.1 Verbanden in de bovenbouw 28
4.3 Kerndoelen voor speciale verbanden volgens curriculum.nu 29
4.3.1 Speciale verbanden in de onderbouw 29
4.32 Speciale verbanden in de bovenbouw 29
4.4 Kerndoelen over veranderingen volgens curriculum.nu 29
4.4.1 Veranderingen in de onderbouw 29
4.4.2 Veranderingen in de bovenbouw 30
Leerlingen leren: 30
5. Vakdidactiek en verbanden 31
5.1 Het vertalen van informatie naar passende representatie 31
5.1.1 Ordenen van informatie 31
5.1.2 Passende representaties 32
5.1.3 Variabelen 32
5.2 Begeleiden van de leerling bij het ontwikkelen van het ontwerpen van grafieken 33
5.2.1 Interpreteren van grafieken 33
5.2.2 Leerling uitdagen tot het zelf construeren van verbanden 34
Leermateriaal voor kinderen 35
5.2.3 Dynamische representaties 35
5.3 Weergave van de relatie tussen de werkelijkheid en wiskundige representaties 37 5.3.1 Begeleiding bij de ontwikkeling van het ontwerpen van grafieken als abstrahering van de werkelijkheid naar grafieken als zelfstandige wiskundige objecten. 37 5.3.2 Ontworpen onderwijs is passend bij de belevingswereld van de leerling 37
5.3.3 Lieggrafieken 38
5.3.4 Vakoverstijgend werken met verbanden 38
6. Verbanden op de stageschool 39
6.1 Verbanden op mijn stageschool 39
6.2 Mijn rekenles 39
7. Vijf principes van realistisch rekenwiskundeonderwijs 40
7.1 Construeren en concretiseren 40
7.1.1 Leerlingen moeten eigen constructies (ideeën, vondsten) maken om problemen op te
lossen 40
7.1.2 Horizontaal en verticaal mathematiseren 40
7.1.3 Zelf rekenvragen bedenken 41
7.1.4 Construeren en mijn rekenles 41
7.2 Niveaus en modellen 41
7.2.1 Niveaus van formaliseren 41
7.2.2 Formaliseren en de rekenles 42
7.3 Sociale context en interactie 42
7.3.1 Kinderen laten experimenteren en discussieëren 42
7.3.2 Interactie en de rekenles 43
7.4 Reflectie en eigen productie 43
7.4.1 Het komen tot verticaal mathematiseren 43
7.4.2 Reflectie en mijn rekenles 43
7.5 Structureren en verstrengelen 44
7.5.1 De verstrengeling met de werkelijkheid 44
7.5.2 De verstrengeling en de rekenles 44
7.6 Discussiepunten bij realistisch reken-wiskundeonderwijs (van Zanten, 2011) 44
8. Conclusie 46
9. Literatuurlijst 47
BIJLAGE I: Lesbeschrijvingsformulier Verbanden 50
1. Inleiding
De afgelopen maanden heeft het coronavirus terecht het nieuws gedomineerd. De coronacrisis werd in Nederland op de kaart gezet met behulp van cijfers en grafieken, waarin de data dagelijks werd bijgewerkt. De data zegt niets over hoeveel besmettingen er waren maar wel hoeveel besmettingen er zijn gedetecteerd.
Zo hebben we ook te maken met misleidende grafieken. Laat je niet misleiden door angstaanjagende grafieken met exponentiële groei van het aantal coronapatiënten in Nederland. We weten simpelweg te weinig om tot een nauwkeurige voorspelling te komen. Dat is de boodschap van adjunct hoogleraar toegepaste statistiek en
datavisualisatie Casper Albers in de podcast In de wetenschap van de Rijksuniversiteit Groningen (RUG).
Tot kort geleden had ik zelf nog geen kaas gegeten van grafieken, diagrammen, data en statistiek. Ik besef nu hoe belangrijk het is om jezelf, maar ook de kinderen, te wapenen tegen de mogelijke misleiding en verdraaide informatie veroorzaakt door grafieken. Het vermogen van mensen om gegevens te ordenen, te verwerken en (grafische)
representaties hiervan te begrijpen, is van groot belang in een
maatschappij waarin grote hoeveelheden gegevens beschikbaar zijn en snel, eenvoudig en met een kleine kans op fouten, verwerkt kunnen worden met digitale hulpmiddelen. De informatie die zo beschikbaar komt, komt niet altijd overeen met de werkelijkheid: dat maakt een kritische houding (fast-checking) noodzakelijk. (Bewuste) misleiding ligt op de loer met bijvoorbeeld grafieken die een vertekend beeld schetsen omdat er een deel van de informatie niet zichtbaar is (Data, statistiek en kans).
De 21e eeuwse maatschappij is vooral een informatiemaatschappij. Veel informatie, bijvoorbeeld afkomstig van het internet, is schematisch van aard. Het domein Verbanden is een razend interessant onderwerp en deze is ook goed te combineren met andere vak- en vormingsgebieden. Het is een prachtig onderwerp om de kinderen zelf te laten onderzoeken en ervaren.
2. Kennis van Verbanden
2.1 Wiskundetaal rond verbanden
2.1.1 Verbanden, data en statistiek
Doel van het domein Verbanden:
Het kunnen analyseren en interpreteren van gegevens.
Analyseren:
Informatieverwerking en dus het kunnen aflezen van grafieken en functies.
Interpreteren:
Interpreteren en het op waarde schatten van deze gegevens.
Data en statistiek:
Data en statistiek gaat over het verzamelen, verwerken, juist interpreteren en representeren van gegevens en er betrouwbare conclusies aan verbinden.
Statistiek:
De wetenschap, de methode en de techniek van het verzamelen, bewerken, interpreteren en
presenteren van gegevens. Statistiek is dus meer dan grafieken aflezen en grafieken invullen. Er worden ook conclusies aan verbonden.
2.1.2 Soorten grafieken en schema´s
Grafiek:
Een grafiek biedt de mogelijkheid om snel een trend te ontdekken. Door de grafiek te bekijken is al snel te zien of er sprake is van een stijging of een daling of wat het meest voorkomt. Het verzamelen van gegevens (meten) is iets van alle tijden.
Functies van een grafiek:
Een relatie noem je een functie (of een verband) als aan elke waarde op de x-as 1 waarde op de y-as is gekoppeld. Een functie geeft het verband tussen x-waarden en y-waarden aan.
De meest voorkomende grafieken zijn:
- Cirkeldiagram:
Cirkel- of sectordiagram: Een weergave door middel van een in delen (sectoren) onderverdeelde cirkel.
- Staafdiagram:
Een discontinue grafiek die de gegevens weergeeft in losstaande of gestapelde staven. Die staven kun je verwisselen zonder dat er daardoor informatie verloren gaat.
- Lijndiagram:
Een continue grafiek die vaak is bepaald aan de hand van een tijdas. In dit geval geeft de grafiek het verloop van de temperatuur gedurende een etmaal weer.
- Histogram:
Een histogram is de grafische weergave van de frequentieverdeling van in opeenvolgende klassen gegroepeerde data, bijvoorbeeld het verloop van de tijd in jaren. De staven van een histogram kunnen niet onderling verwisseld worden.
Andere grafieken:
- Blad-of steelbladdiagram:
Het lijkt op een tabel, gecombineerd met een staafdiagram of een histogram. Het steelbladdiagram is dus te gebruiken bij discrete en bij continue gegevens.
- Boxplot:
Een boxplot is een grafische weergave van de eerder genoemde vijf kenmerkende getallen uit een verzameling getallen: de laagste waarde (minimum), het eerste kwartiel (Q1), de mediaan (tweede kwartiel), het derde kwartiel (Q3) en de hoogste waarde (maximum) van de getallen. De boxplot geeft dus in 1 keer een overzichtelijke voorstelling van alle
gegevens.
- Blokdiagram:
Een blokdiagram en een stroomdiagram verschillen iets in vormgeving. Ze zijn niet bedoeld om een verzameling data te ordenen zoals in alle vorige gevallen, maar ze geven een
representatie van een proces, systeem of toestand. Dit gebeurt door middel van rechthoekige blokken. Zo is een organogram een voorbeeld van een blokdiagram.
- Beelddiagram of infographic:
Een beelddiagram geeft visueel gegevens weer door middel van afbeeldingen.
Hierbij staat iedere figuur voor een bepaald aantal, afgerond op standaarden. Er worden ook tekeningetjes gebruikt die betrekking hebben op het onderwerp en de getallen zijn erin verwerkt door bijvoorbeeld iets wat veel voorkomt heel groot te tekenen en iets wat weinig voorkomt heel klein. Vaak wordt een beelddiagram gebruikt om discrete, geclassificeerde data weer te geven. Beelddiagrammen kom je steeds vaker tegen. Vooral in recencies worden ze veel gebruitk.
- Puntenwolk:
Een verzameling van punten. Als een puntenwolk wordt weergegeven in een assenstelsel, wordt hij ook spreidingsdiagram genoemd. Een puntenwolk is de weergave van puntenparen. Evenals een steelbladdiagram geeft de puntenwolk alle gegevens weer en hij heeft wat weg van een histogram.
- Stroomdiagram of stroomschema wordt soms ook tot grafieken gerekend:
Een stroomdiagram is een blokdiagram dat een proces weergeeft. Eenvoudige, maar ook zeer complexe processen kunnen in stroomdiagrammen worden weergegeven.
Het getalstelsel dat dan ene rol speelt is het binaire stelstel.
2.1.2 Begrippen die horen bij grafieken en schema´s
Assen
De assen van een grafiek zijn de lijnen waarop de weergegeven grootheden zijn benoemd en eventueel onderverdeeld in eenheden. Vaak hebben assen een naam of titel en staat de betekenis van de getallen
vermeld. Assen zijn bijna altijd horizontaal en verticaal getekend. In een voorbeeld van de tijd – afstand grafiek staat de grootheid tijd op de horizontale as (x-as) met als eenheid bijvoorbeeld minuut. Op de verticale as (y-as) staat de grootheid afstand met als eenheid bijvoorbeeld kilometer. De coördinaten 0,0 raken de assen elkaar en dat noem je de oorsprong. Als de twee coördinaten het rooster raken zijn het roosterpunten. Dat zijn twee hele getallen. Het punt dat geen roosterpunt is, heeft decimalen als
getallen. Als je twee lijnen tekent en als die lijnen elkaar raken noem je en snijpunt. Je kan ook een zaagpunt gebruiken om de as wat kleiner te maken.
Legenda
In een legenda worden betekenissen uitgelegd van kleuren en plaatjes die bijvoorbeeld zijn gebruikt bij grafieken, tabellen, diagrammen en kaarten.
Dalen en stijgen
Een grafiek heeft vaak een stijgende lijn en een dalende lijn. Een horizontale lijn is contstant.
2.1.3 Begrippen bij het ordenen en representeren van informatie
Meetschalen
De schaal die gebruikt wordt in verschillende diagrammen/grafieken kan kwalitatief (beschrijvend):
- de maten zijn in woorden beschreven - Ze benoemen hetgeen is gemeten - Nominaal
- Ordinaal
Kwantitatief (getalsmatig):
- het meten van grootheden, waaraan een numerieke waarde en een eenheid wordt toegrekend - Interval
- Ratio Nominale schaal:
- de meest eenvoudige schaal
- Het simpelweg benoemen, de naam van hetgeen is gemeten.
- provincies,geslacht, kleuren
- deze gegvens kennen geen natuurlijke ordening,
- vaak worden de gegevens daarom op alfabetische volgorde genoteerd
Ordinale schaal
- veelgebruikte kwalitatieve schaal
- Wel een natuurlijke vorlogrde, bv inschalen pijn in het ziekenhuis
- Het is een vijfpuntsschaal: zeer mee oneens- mee oneens - neutraal- mee eens- zeer mee eens
- De volgorde is duidelijk, maar de verschillen zijn niet interpreteerbaar - De begrippen eens en oneens zijn vage begrippen
- Cijfers van Cito-eindtoets zijn ordinaal.
- Je mag niet rekenen met de resulaten
- De verschillende kwalificaties zijn subjectief.
- Je kan er wel een grafiek van maken, deze geeft vaak een goed beeld van de verschillen Intervalschaal
- kwantiatieve gegevens - vaste ordening van getallen
- bekendste intervalschaal is Celsius - Nul graden betekent niet dat er niks is.
- Tijd is ook een intervalschaal, 0 uur is niet niks Ratioschaal
- kwantitatieve gegevens
- getallen kennen een vaste ordening - Absoluut nulpunt
- De onderlinge waarden zijn vergelijkbaar
- Hoogte is een voorbeeld voor een ratioschaal. Grond is het nulpunt
Centrummaten
Op grond van een verzameling data wil een onderzoeker uitspraken doen over een hele populatie. Om dit mogelijk te maken is er een aantal maten ontwikkeld waaromee dat kan.
De maten heten centrummaten omdat ze in het algemeen iets over het midden van de verzameling zeggen.
De meest voorkomende centrummaten zijn:
- De modus:
De modus is een waarneming die het meest voorkomt. In een verzameling gegevens geeft de modus het relatieve centrum aan waar de gegevens omheen vallen. Zo kan de modus van de lengte van leelringne in groep 4 de klasse 120-130 cm zijn. Ook aardig wat leerlingen zullen in de klassen direct daaronder of
daarboven vallen. Een duidelijke minderheid van leerlingen zal korter zijn dan 110 cm en ook relatief weinig leerlingen zijn langer dan 140 cm.
Modaal
Modaal is het bijvoeglijk naamwoord van modus. Met een modaal getal wordt in de statistiek het getal bedoeld dat het meest voorkomt. Het statistisch modale inkomen is het bedrag dat in Nederlands het meest verdiend wordt. Een modaal inkomen wordt het begrip modaal anders gebruikt. Een modaal inkomen is dan niet het gemiddelde of meest voorkomende inkomen, maar is een zogenaamd geprikt getal dat wordt gebruikt als referentiepunt voor bijvoorbeeld de uitvoering van de Zorgverzekeringswet.
- De mediaan:
De mediaan is de middelste waarneming in een reeks geordende waarnemingen. De mediaan is het echte midden van de dataverzameling als de cijfers op volgorde staan. Als er twee waarden in het midden staan, wordt het gemiddelde van deze twee de mediaan genoemd. Er zijn eventueel gegevens onder dit centrum te vinden als erboven.
- Het (rekenkundig) gemiddelde:
Het gemiddelde is de som van alle waarden gedeeld door het aantal waarden. Het rekenkundig
gemiddelde is de enige centrummaat waarvoor gerekend moet worden. Het kan zijn dat de uitkomst van deze berekening geen voorkomende waarde is. In Nederland heeft een gezin gemiddel 1,2 gezin. Dat cijfer wordt gebruikt in berekeningen en coorspellingen over de bevolkingsgroei. Het gemiddelde is het berekende centrum van alle data.
Percentielen
Met de vier verschillende grafieken en de drie meest voorkomende centrummaten kan al veel van de werkelijkheid worden vastgelegd en kunnen voorspellingen worden onderbouwd. Vaak is de
werkelijkheid ingewikkelder, en moet nauwkeuriger of ander gekeken worden en zijn andere benaderingen nodig. Dit komt tot uitdrukking in andere grafieken of door specifieke waarden te berekenen. Het percentiel geeft aan welk percentage van de leerlingen, landelijk gezien, een gelijk of lager aantal goed heeft behaald in vergelijking met andere leerlingen. Percentielen lopen altijd van 0 tot 100. Het percentiel van 50 is de middelste score en dus de mediaan. De mediaan verdeelt de scores in twee helften: 50% onder deze score en 50% erboven. Deze mediaan vormt voor Cito tevens het landelijk gemiddelde. Een percentiel van 58 betekent dat 58% van alle leerlingen een gelijk of lager ´aantal goed´
op een toets heeft behaald. 42% van de leerlingen had de toets in dit geval beter gemaakt. Een leerling met percentiel 58 heeft dus een score net iets boven het landelijk gemiddelde.
Sectoren
In een cirkeldiagram geeft de grootte van de sectoren van een cirkel de frequenties weer. Vaak staan in de een cirkeldiagram de percentages erbij.Met een cirkeldiagram krijg je snel een overzicht van de verhoudingen.Sectordiagrammen (ook wel cirkeldiagrammen) zijn cirkels die onderverdeeld zijn in
sectoren (cirkeldelen), de delen van een cirkelof sectordiagram. Sectoren kun je vergelijken met taartpunten. In dit voorbeeld over sportbeoefening is de cirkel verdeeld in 6 sectoren.
Graden
Om een cirkeldiagram te tekenen, moet je eerst de hoeken van de verschillende sectoren weten. Je hebt geleerd dat een cirkel een hoek heeft van 360°. Om de hoeken te bepalen, maak je een
verhoudingstabel. ... Tel je deze hoeken bij elkaar op dan moet je uitkomen op 360 graden.
Causaal en significant verband Causaal verband:
Dat is het geval wanneer sprake is van oorzakelijkeheid. Als het een de veroorzaker is van het ander.
Significatie:
Dat de verschillen die je waarneemt groot genoeg zijn om niet op toeval te berusten.
Vaststellen van significatie:
Om op basis van dezelfde gegevens te bekijken in welke mate de jonges beter zijn dan de meisjes, moet je nagaan of het verschil tussen jongens en meisjes zo groot is dat dit niet meer toevallig kan zijn. Om dit vast te stellen bestaan er in de statistiek allerlei methodieken. OM te zien of er een significant verschil is tussen de prestaties van jongens en meisjes kun je kijken naar het aantal die een voldoende hebben gehaald en naar de voldoendes in relatie tot de oefentijd.
2.1.4 Overige begrippen
Normale verdeling
Als de grafiek van de verzamelde gegevens eruitziet zoals 5.4.1 dan spreken van van de normale verdeling:
- is ontwikkeld door Gauss. Ook wel verdeling van Gausse genoemd of de kromme van Gauss - Essentie van deze verdeling is dat als een verzameling gegevens groot genoeg is, de resultaten
zich meestal kunnen laten weergeven in zo´n grafiek, bv lengtes van leerlingen groep 3 in Nederland. De extremen links en rechts zijn bepertk en een grote groep in het midden
- BInnen een afstand van 1 standaardafwijking van de verwachtingswaarde(u is het gemiddelde) ligt ongeveer 68% van het oppervlak onder de grafiek van de kansdichtheid van de normale verdeling. ONgeveer 95% ligt binnen de 2 standaardafwijkingen afstand van de
verwachtingswaarde. De curve gaat daarna vrij snel naar 0.
- Voor een normale dichtheidskromme is het mogelijk de standaarddeviatie op het oog te schatten.
De afstand van het buigpunt tot het centrum (gemiddelde en mediaan) is namelijk de standaarddeviatie.
Vijf ijkpunten binnen een verzameling data
Een verzameling data kan nauwkeuriger worden bestudeer door vijf kenmerkende getallen als ijkpunten te kiezen:
1. de laagste waarde
2. het eerste kwartiel, hieronder ligt een kwart van alle waarnemeingen
3. het tweede kwartiel (mediaan), hieronder ligt de helft van alle waarnemingen 4. Het derde kwartiel, hieronder ligt driekwart van alle waarnemingen
5. de hoogste waarde
Als er een even aantal getallen is, dan is de mediaan het gemiddelde van de twee middelste getallen.
Als er in totaal een even aantal getallen is, is Q1 het middelste getal (gemiddelste van de 2 middelste getallen) van de linker helft en Q3 het middelste getal (of het gemiddelde van de twee middelste
getallen) van de rechter helft. ALs het totaal oneven is, dan is de mediaan het middelste getal en Q1 het middelste getal van de linker helft zonder de mediaan en Q3, het middelste getal van de rechter helft eveneens zonder de mediaan.
Hoe de waarden uit elkaar liggen wordt weergegeven door middel van spreidingsmaten.
Er zijn drie spreidingsmaten:
- De spreidingsbreedte (variatiebreedte) is het verschil tussen het hoogste en het laagste waarnemingsgetal.
- De kwartielafstand is het verschil tussen het waarnemingsgetal van het rechterkwartiel en het waarnemingsgetal van het linker kwartiel
- De standaardafwijking (standaarddeviatie) geeft aan of het merendeel van de data heel ver uit elkaar ligt of juist dicht bij elkaar. Hoe dichter bij elkaar (de standaardafwijking is dan klein), des te meer betekenis er aan de resultaten gehecht kan worden. Voor het vaststellen van de
standaarddeviatie is veel rekenwerk nodig.
De standaardafwijking wordt uitgerekend door eerst de variantie te bepalen. Deze wordt bepaald door de afwijkingen ten opzichte van het gemiddelde van de waarde te kwadrateren. Het gemiddelde van deze kwadraten heet de variatie. De wortel uit de variatie heet de standaardafwijking of standaarddeviatie.
Modelleren:
Modelleren is een manier om verschijnselen in de wereld te beschrijven vanuit een wiskundig
perspectief. Modelleren is een belangrijke denk- en werkwijze ten behoeve van functionele wiskunde.
Leerlingen kunnen zo wiskunde als betekenisvol en voorstelbaar ervaren, wat bijdraagt aan verbetering van hun motivatie voor het leergebied. Modelleren gaat over het beschrijven van een situatie met behulp van schematische voorstellingen en/of wiskundige verschijningsvormen zoals formules, vergelijkingen, grafieken, meetkundige figuren en kansverdelingen. Een spreadsheet met formules is een voorbeeld van een wiskundig model. Leerlingen leren een situatie weer te geven in een passend wiskundig model. Zo´n model kan vervolgens gebruikt worden om een probleem op te lossen, een voorstelling te doen of een beslissing te nemen. RW12.1
2.1.5 Verschillende type verbanden
Lineaire verband
De grafiek bij een lineaire functie is een rechte lijn (lijngrafief). Een linaire functie wordt geschreven als y=ax +b of f(x)=ax+ b.a en zijn steeds hetzelfde (constant) en x varieert. Bij een lineaire functie is er sprake van een recht evenredig verband. B=0. Maar soms is er ook een startkapitaal.
Lineair versus evenredig verband Lineair en evenredig:
- Verhouding tussen twee grootheden waarbij de verhouding of het product constant is en niet nul.
- Lijn loopt kaarsrecht.
- Een gevolg van het evenredige verband tussen bv het aantal colaflesjes en prijs in euro. Zo kan er een verspelling worden gedaan buiten de grafiek.
Lineair maar niet evenredig:
- de lijn hoeft niet altijd door 0 te gaan. Bijvoorbeeld een starttarief bij taxi
- Ook wel hyperbool genoemd - telefoonabonnementen
Lineaire vergelijking oplossen
In een tabel bij een lineair of recht evenredig verband kan je de toename gemakkelijk herkennen, mits je ervoor zorgt dat ook in de bovenste rij van de tabel de toename gelijk is.
Bij een recht evenredig verband staat in de tabel altijd onder x = 0 ook y = 0. Bij een recht evenredig verband hoort een verhoudingstabel. Je kan de bovenste rij vermenigvuldigen met eenzelfde getal, zodat je de antwoorden van de onderste rij krijgt (dit is het hellingsgetal).
Kwadratisch verband
De kwadratische functie heeft de vorm van een parabool. Deze functie wordt ook kwadratich verband genoemd. Het is een kwadratische functie, omdat iedere y-waarde te vinden is door de x-waarde te kwadrateren. Deze functie speelt een rol in de handel. Als een handelaar merkt dat als hij de prijs van
een artikel verlaagt, de verkoop omhooggaat, blijkt de grafiek bij deze situatie een halve dalparabool te zijn en de functie kwadratisch.
Exponentieël verband
De exponentiële functie is anders dan de kwadratische functie, omdat niet het grondtal, maar de exponent variabel is. Hierdoor vertoont de grafiek een grote stijging. Een bekend voorbeeld van exponentiële groei gaat over het verband tussen de toename van het aantal bacteriën en de tijd in muten. ER is sprake van een exponentiële groei als het aantal per tijdseenheid met een vast percentage toeneemt. Hij weet dat bij exponentieël verbandl de groei op den duur altijd die van een lineair verband of kwadratisch verband overstijgt.
2.2 Aflezen en invullen van grafieken
2.2.1 Grafieken op waarde schatten
Wanneer je een grafiek gaat maken of analyseren is het goed je te realiseren met wat voor waarden je te maken hebt. De waarden kunnen kwantitiatief of kwalitatief zijn en discreet en continue. Kwalitatieve schalen zijn altijd discreet, kwantitatieve schalen kunnen discreet en continue zijn. Hierdoor kan er bij kwalitatieve schalen nooit gerekend worden en bij kwantitatieve schalen vaak wel, hoewel de berekening vaan ´gek´ uitkomt, bv 1,2 kind.
Discrete en continue data:
Discrete data:
- Data die bestaan uit losse waarnemingen.
- Het aantal zetels van een politieke partij door de jaren heen levert discrete waarnemingen. Elke nieuwe uitslag staat op zich.
- Geschikt voor een staafdiagram of een cirkeldiagram.
Continue data:
- Data die op een continue (doorlopende) schaal passen
- Bijvoorbeeld bij temperatuur worden alle tussenwaarden gepasseerd.
- Geschikt voor lijndiagram en histodiagram - x-as moet continue zijn
- bv lengtes uit de klas door groepen van 110-120 cm, etc - Continue waarden kunnen discreet behandeld worden
2.2.2 Welk type grafiek of representatie past bij een situatie
Representatie:
Een representatie (letterlijk: weergave) is de manier waarop je waarnemingen in een tabel of een andere (grafische) vorm weergeeft. De resultaten van een onderzoek naar sportbeoefening geef je in een cirkeldiagram weer. Het verloop van de temperatuur op een bepaalde dag zet je in een lijngrafiek en de ontwikkeling van de winst per jaar in een histogram. Alle drie de vormen zijn representaties van
waarnemingen.
Dit hoort bij een staafdiagram:
- Als cijfers met elkaar vergeleken worden die geen verband met elkaar hebben, zoals stemmers op PvdA en VVD
- In 1 oogopslag is te zien wat de staat is.
Wanneer gebruik je een lijndiagram:
- Deze geeft aan dat er een relatie is tussen de gegevens en dat er een voorspelling uit opgemaakt kan worden door te bedenken hoe de grafiek verder zou lopen.
- Deze wordt gebruikt om doorlopende, continue processen in beeld te brengen. Zowel de x- als de y-waarden zijn continue waarden.
- Bij verkiezingen moet je deze niet gebruiken. Het is geen doorlopend, door middel van een lijn met elkaar te verbinden, gegeven.
- Koortsverloop van een patiënt of de beurskoersen kunnen wel in een lijfgrafiek weergegeven worden.
Interpoleren
Op grond van een lijngrafiek, bijvoorbeeld ontwikkeling voor de beurs, kunnen er analyses gemaakt worden. Er kunnen zelfs binnen een bepaalde periode waarden worden berekend: interpoleren! Bij koortsgrafiek kan je bijvoorbeeld aflezen dat de patiënt op de derde dag om 15:00 bijna 41 graden koorts had, terwijl op dat moment niet is gemeten.
Extrapoleren
Als een grafiek een bepaalde koers lijkt te gaan krijgen, kunnen ook voorspellingen worden gedaan voor de toekomst.
Verschil tussen een staafdiagram en een histogram
De gegevens die ten grondslag liggen aan een staafdiagram bestaan uit losse waarnemingen, terwijl voor een histogram een doorlopende schaal gebruikt wordt. Voor een histogram geldt dat alleen de waarden op de x-as continue moeten zijn. Voor de lijndiagram moet de y-as ook continue zijn Variabelen
In plaats van te spreken over de samenhang tussen veranderde grootheden kunnen we beter spreken over de samenhang tussen varibelen. Met de term ´variable´ geven we aan dat een grootheid een waarde kan doorlopen binnen een bepaald bereik
(van Galen & Gravemeijer, z.d.).
3. Verbanden en leerlijnen
3.1 Tussendoelen domein Verbanden SLO
Eind groep 2 De leerling
- begrijpt dat je hoeveelheden kunt vergelijken door objecten gesorteerd in rijen te leggen
waardoor een eenvoudig beelddiagram ontstaat (bv.: Voor iedere jongen wordt een blaadje in de rij 'jongens' gelegd en voor ieder meisje een blaadje in de rij 'meisjes'. Hoe weet je nu of er meer jongens of meisjes zijn?).
Eind groep 3
De leerling beheerst de doelen van groep 2; ook op het niveau van groep 3 en
- kan een eenvoudig beelddiagram met plaatjes en staafdiagram met hokjes aflezen.
- kan een eenvoudig staafdiagram maken door het aankruisen of inkleuren van hokjes.
- ziet het verband of patroon in eenvoudig geordende figuren en kan dit patroon voortzetten (zoals bij een ketting met een patroon op kleur of vorm).
- kan kritisch denken en redeneren over patronen in eenvoudig geordende figuren (bv.: In een kettingpatroon zit een inconsequentie. Waarom klopt deze rij met kralen niet?)
Eind groep 4
De leerling beheerst de doelen van groep 2 en 3, ook op het niveau van groep 4 en
- kan gegevens uit een eenvoudige tabel, beeld- en staafdiagram aflezen, interpreteren en er bewerkingen mee uitvoeren.
- kan met gegevens uit een eenvoudige tabel, beeld- en staafdiagram bewerkingen uitvoeren.
- kan gegevens uit een telling geordend verwerken via turven (zoals bij het tellen van verkeer dat langsrijdt). kan gegevens uit een tabel in een voorgestructureerde staafdiagram invullen.
- kan kritisch denken en redeneren over gegevens in eenvoudige tabellen en grafieken.
Eind groep 5
De leerling beheerst de doelen van groep 2 t//m 4, ook op het niveau van groep 5 en
- kan gegevens uit een tabel, beeld- en staafdiagram aflezen, interpreteren en er bewerkingen mee uitvoeren. kan ongeordende gegevens in een eenvoudige tabel verwerken.
- weet wat een legenda is en kan deze aflezen.
- kan eenvoudige verbanden en patronen in rijen getallen en figuren herkennen en op basis hiervan de rijen voortzetten (bv.: 1 - 3 - 5 - 7 - …; 100 - 93 - 86 - 79 - …;).
- kan kritisch denken en redeneren over patronen in rijen met getallen en over gegevens in tabellen en grafieken (bv.: Welk patroon zie je in de volgende rij? 2-12-10-20-18-28-26-…?).
Eind groep 6
De leerling beheerst de doelen van groep 2 t/m 5, ook op het niveau van groep 6 en
- kan verschillende diagrammen en grafieken benoemen: beelddiagram, staafdiagram, cirkeldiagram en lijngrafiek.
- kan beelddiagrammen waarin de beeldfiguren waarden hebben die groter zijn dan 1 aflezen en interpreteren (bv.: Een fiets staat voor 100 fietsen).
- kan gegevens in eenvoudige cirkeldiagrammen en lijngrafieken aflezen en interpreteren.
- kan een lijngrafiek globaal tekenen op basis van een beschrijving in woorden en omgekeerd:
- kan bij de lijngrafiek een beschrijving geven (bv.: Bij een tijdafstand lijngrafiek van een fietstocht kan de leerling vertellen wanneer de fietsers hard reden, stilstonden en langzaam vooruit
gingen). kan patronen in rijen met getallen en (geometrische) figuren herkennen en voortzetten en kan het patroon verwoorden.
- kan kritisch denken en redeneren over gegevens in eenvoudige tabellen, staaf-, beeld- en cirkeldiagrammen en lijngrafieken (bv.: Bij een tijd-afstand lijngrafiek: Wat betekent het als de lijn in de grafiek horizontaal loopt?).
Eind groep 7
De leerling beheerst de doelen van groep 2 t/m 6, ook op het niveau van groep 7 en
- kent de formele wiskundetaal die bij het weergeven van verbanden in tabellen, diagrammen en grafieken wordt gehanteerd: assen, horizontale as, verticale as, x-as, y-as, legenda, stijgen, dalen, toename, afname, constant, steil, vlak en kan deze begrippen ook gebruiken.
- weet wat een assenstelsel is en kan daarbij aangeven welke gegevens op de assen staan en uitleggen welk verband er in de grafiek weergegeven wordt door de staven of de lijnen.
- kan op basis van gegevens in een tabel een eenvoudige lijngrafiek in een voorgestructureerd assenstelsel tekenen.
- kan in een assenstelsel met positieve getallen coördinaten aflezen en punten plaatsen. kan gegevens uit een beschrijving of tabel verwerken in een voorgestructureerde cirkeldiagram (bv.
Percentages inkleuren in een cirkel die in tien gelijke punten is verdeeld).
- kan bij gegevens binnen één situatie uit verschillende tabellen, grafieken en diagrammen met elkaar vergelijken en op basis hiervan uitspraken doen en berekeningen uitvoeren (bv.: In de staafdiagram zie je de ijsverkoop in juni en in de lijngrafiek zie je de temperatuur in juni. Mag je zeggen dat er meer ijs verkocht is op dagen waar de temperatuur ook hoger was?).
- kan kritisch denken en redeneren over informatie die in tabellen, grafieken en diagrammen wordt gepresenteerd (bv.: In het weerrapport over Vlieland zie je de temperatuur, neerslag en aantal
zonuren. Wat is een mooie vakantieperiode op Vlieland voor iemand die niet te warm weer wil, maar wel graag veel zonuren? Leg eens uit.)
Eind groep 8
De leerling beheerst de doelen van groep 2 t/m 7, ook op het niveau van groep 8 en
- kan gegevens in tabellen en grafische voorstellingen aflezen, verwoorden, interpreteren, vergelijken, met elkaar in verband brengen. En de leerling kan op basis hiervan trends
herkennen, conclusies trekken en voorspellingen doen. Ook met gegevens die in een gegeven tabel, diagram of grafiek worden gecombineerd (zoals meer lijnen binnen één grafiek).
- kan gegevens verzamelen, ordenen en weergeven in een passende grafische voorstelling (zoals in een tabel, lijngrafiek, beeld-, cirkel-, of staafdiagram). weet dat in beschrijvingen of patronen een regelmaat (verband) kan zitten. Hij kan deze regelmaat herkennen, uitleggen en voortzetten.
Dit betreft getalsmatige patronen (rijen voortzetten), patronen met (geometrische) figuren en patronen volgens eenvoudige rekenregels (bv.: Het verband tussen de stijging van de prijs bij toename van het aantal).
- kan beargumenteren welke grafische voorstelling: beelddiagram, staafdiagram, lijngrafiek, cirkeldiagram, het beste past bij verzamelde gegevens.
- kan kritisch denken en redeneren over verbanden (zoals over de juistheid van de presentatie van informatie en de juistheid van conclusies die hieruit getrokken (mogen) worden).
Concretisering van Referentieniveau 1S De leerling…
- kent de verschillende vormen waarin informatie geordend weergegeven kan worden: tabel, beeldgrafiek/beelddiagram, staafgrafiek/staafdiagram, lijngrafiek en cirkeldiagram.
- kan beargumenteren welke grafische voorstelling het beste past bij verzamelde gegevens:
staafdiagram, lijngrafiek, cirkeldiagram.
- kan gegevens uit een tabel, beeldgrafiek, staafgrafiek/diagram, lijngrafiek aflezen, interpreteren en op basis hiervan uitspraken doen ook waarin meer gegevens gecombineerd worden (zoals meer lijnen binnen één grafiek).
- kan gegevens binnen één situatie uit verschillende tabellen, grafieken en diagrammen met elkaar vergelijken en op basis hiervan uitspraken doen.
- kan met getalsmatige informatie uit tabellen, diagrammen en grafieken berekeningen uitvoeren en op basis hiervan conclusies trekken en uitspraken doen.
- weet wat een legenda is en kan een legenda bij grafieken en diagrammen lezen en zelf maken.
kan bij getalsmatige informatie een staafgrafiek/staafdiagram, lijngrafiek, tabel en cirkeldiagram construeren en de gegevens hierin verwerken.
- kan een lijngrafiek globaal tekenen op basis van een beschrijving in woorden en omgekeerd door bij de lijngrafiek een beschrijving te geven (bv.: Bij een lijngrafiek van de temperatuur aangeven hoe het verloop van de temperatuur gedurende de dag was).
- kan trends herkennen, conclusies trekken of voorspellingen doen over een toekomstige situatie door gegevens uit verschillende informatiebronnen (zoals tabellen, diagrammen en grafieken met elkaar in verband te brengen).
- weet wat een assenstelsel is en kan aangeven welke gegevens op de assen staan. De leerling kan uitleggen welk verband de lijn in de grafiek weergeeft tussen de gegevens die op de assen staan.
- kan punten in een assenstelsel plaatsen en coördinaten aflezen (positieve getallen). weet dat in beschrijvingen of patronen een regelmaat (verband) kan zitten. Hij kan deze regelmaat
herkennen, uitleggen en voortzetten. Dit betreft getalsmatige patronen (rijen voortzetten), patronen met (geometrische) figuren en patronen volgens eenvoudige rekenregels (bv.: Het verband tussen de stijging van de prijs bij toename van het aantal zien en verklaren).
3.2 Tule, kerndoel 23 (tule.slo, 2019)
De leerlingen leren wiskundetaal gebruiken
Kennen, begrijpen en gebruiken van wiskundetaal, dat wil zeggen begrippen die voorkomen in de reken-wiskunde wereld begrijpen en toepassen, zowel in spreektaal als in wiskundetaal(SLO, 2009) Het zou mooi zijn dat we de kinderen vanaf begin van hun schoolloopbaan zouden uitnodigen tot
wiskundig denken. Het is belangirjk om hiervoor passende activiteiten in te zetten, want het gaat aan de ene kant niet vanzelf, maar aan de nadere kant hefet elk kind het in zich om op zijn of haar eigen niveua wiskundig te denken. Wiskundig denken is da n ook zeker niet voorbehouden aan de kinderen die goed zijn in rekenen en het is ook niet bepertk tot het domein statistiek, al biedt dat wel mooie kansen(Müller, 2020).
Groep 1-2
- Vergelijking van aantallen en groottes (bijv. groot/klein, groter/kleiner, meer/minder, lang/kort, dichtbij, ver weg).
- Cijfers schrijven en lezen en getallen weergeven op de getallenlijn.
Groep 3-4
- Het structureren van getallen.
- Verschillende aspecten van getallen.
- Rekenrek: om de structuur van getallen weer te geven; de (lege) getallenlijn: om getallen te
positioneren, optellingen en producten weer te geven; geld: om de structuur van getallen weer te geven) verbanden (bijv. het staafdiagram om gegevens overzichtelijk weer te geven).
Groep 5-6
- Verdelingen (bijv. tabel, cirkelgrafiek, staafgrafiek) verbanden/ verloop (bijv. dubbele getallenlijn, tabellen, lijngrafiek).
Groep 7-8
- Verbanden van tijd en afstand, groei, en andere tijdgebonden zaken (bijv. lijngrafiek, staafgrafiek:
histogram).
- Breuken en procenten (bijv. stroken, procenten- en breukencirkels).
- Verhoudingen en een klasse van gelijkwaardige verhoudingen (bijv. verhoudingsschema, verhoudingstabel of dubbele getallenlijn).
3.3 Inhoudslijn bij Rekenen-wiskunde Verbanden (SLO, 2019c)
3.3.1 Verbanden in tabellen, diagrammen en grafieken
Aanbodsdoelen fase 1:- gebruiken van staafdiagrammen om hoeveelheden en informatie te ordenen en te vergelijken - construeren van een beelddiagram of staafdiagram (bijv. voor het lievelingsfruit van alle kinderen
m.b.v. plaatjes)
- aflezen van informatie uit grafische voorstellingen (beelddiagram, staafdiagram) (bijv. aflezen welk fruit de meeste kinderen in de groep het lekkerste vinden of hoeveel kinderen banaan het lekkerste vinden)
- lezen van een betekenisvolle eenvoudige tabel zoals een dag- en weekplanning van de eigen groep
Aanbodsdoelen fase 2:
- onderzoeken wat de meerwaarde kan zijn van het ordenen en schematiseren van losse gegevens in een tabel, staaf- of beelddiagram en vanuit een tabel in een staafdiagram - aflezen en interpreteren van gegevens in eenvoudige tabellen, beeld- en staafdiagrammen −
geordend weergeven van ongeordende gegevens (uit tellingen) in een voorgestructureerde beeld- of staafdiagram
- uitvoeren van eenvoudige bewerkingen met gegevens uit tabellen, beeld- en staafdiagrammen − aflezen en interpreteren van legenda's
- kritisch denken en redeneren over gegevens in eenvoudige tabellen, staaf-, en beelddiagrammen
Aanbodsdoelen fase 3:
- weten waarom en waarop informatie op verschillende manieren geordend en weergegeven kan worden
- onderzoeken en verwerken van gegevens in een lijngrafiek
- herkennen en hanteren van formele wiskundetaal voor het weergeven van verbanden in tabellen, diagrammen (cirkel-, beeld-, staaf-) en lijngrafieken zoals assen, assenstelsel,
horizontale as, verticale as, x-as, y-as, legenda, stijgen, dalen, toename, afname, constant, steil en vlak
- aflezen van coördinaten en plaatsen van punten in een assenstelsel met positieve getallen − verzamelen en ordenen van gegevens, beargumenteren welke grafische voorstelling er het beste bij past en verwerken van de gegevens in een grafische voorstelling
- met elkaar in verband brengen van gegevens uit tabellen of grafische voorstellingen en op basis hiervan trends herkennen, conclusies trekken en voorspellingen doen, ook met gegevens die binnen één grafische voorstelling worden gecombineerd
- uitvoeren van bewerkingen met gegevens uit tabellen en grafische voorstellingen
- kritisch denken en redeneren over (de juistheid van) de informatie en verbanden die in grafische voorstellingen worden gepresenteerd en conclusies die hieruit worden getrokken
3.3.2 Verbanden in patronen
Aandachtsdoelen fase 1:- Geen
Aandachtsdoelen fase 2:
- herkennen, verwoorden en voortzetten van eenvoudige verbanden en patronen in rijen getallen en (geometrische) figuren; zelf ontwerpen van patronen in getallenreeksen en (geometrische) figuren
− kritisch denken en redeneren over patronen in rijen getallen en (geometrische) figuren Aandachtsdoelen fase 3:
- herkennen van verbanden in (beschrijvingen van) patronen met (geometrische) figuren, in getalsmatige patronen en in patronen volgens eenvoudige rekenregels; en zelf dergelijke patronen ontwerpen
- − kritisch denken en redeneren over verbanden in (beschrijvingen van) patronen met
(geometrische) figuren, in getalsmatige patronen en in patronen volgens eenvoudige rekenregels
3.4 Domeinbeschrijving Eindtoets Verbanden
Hieronder staat de domeinbeschrijving voor rekenen-wiskunde zoals opgenomen in de toetswijzer bij de Centrale eindtoets PO taal en rekenen (CvTE, 2015).
Domeinbeschrijving eindtoets Tabellen, diagrammen en grafieken
- Lezen en interpreteren van gegevens uit tabellen. Met deze gegevens rekenen en op basis van de gegevens trends ontdekken en voorspellingen doen.
- Lezen en interpreteren van gegevens uit diagrammen zoals cirkeldiagram, staafdiagram (horizontaal, verticaal) en beelddiagram. Met deze gegevens rekenen en op basis van de gegevens trends ontdekken en voorspellingen doen.
- Lezen en interpreteren van gegevens uit lijngrafieken, ook met meer lijnen in één grafiek. Met deze gegevens rekenen en op basis van de gegevens trends ontdekken en voorspellingen doen.
- Verschillende informatiebronnen met elkaar in verband brengen (tabellen, diagrammen en grafieken) en hieruit gegevens lezen, vergelijken en interpreteren. Met deze gegevens rekenen en op basis van de gegevens trends ontdekken en voorspellingen doen.
4. Kerndoelen volgens curriculum.nu
De wiskundige denk-en werkwijzen van Curriculum.nu gaan over Gereedschap en technologie:
Met name de grote opkomst van digitale hulpmiddelen vraagt erom dat we kritisch kijken naar wanneer en hoe deze hulpmiddelen (zoals een rekenmachine) ingezet kunnen worden.
Wiskundig probleemoplossen:
In het echte leven word je zelden met vragen geconfronteerd waar je meteen een standaard oplossingsstrategie voor hebt. Wat doe je als je niet weet wat je moet doen?
Abstraheren:
Concepten worden steeds abstracter, zoals hoeveelheden die veranderen in getallen. Kinderen doen dit in hun eigen tempo, maar moeten hier goed bij begeleid worden.
Logisch redeneren:
De logische opeenvolging van stappen bij rekenen en wiskunde moet veel aandacht krijgen, zodat het vak niet verwordt tot een samenraapsel van ogenschijnlijk onsamenhangende regels Representeren en
communiceren:
Om over rekenen en wiskunde te kunnen denken en communiceren zijn symbolen, taal en grafische weergave nodig.
Modelleren:
De werkelijkheid beschrijven met wiskunde (en rekenen) maakt het vak betekenisvol en de activiteiten uit de les komen daardoor dichter bij hoe in het echte leven met rekenen en wiskunde wordt omgegaan.
Algoritmisch denken:
Met name bij cijferend rekenen worden in het basisonderwijs al algoritmes toegepast. Het is belangrijk dat de leerlingen leren om deze algoritmes op de juiste manier en op het juiste moment toe te
passen(curriculum.nu 2019) (artikel in gesprek met emma)
4.1 Kerndoelen voor data en statistiek volgens curriculum.nu
4.1.1 Data en statistiek onderbouw
In de eerste leerjaren van het primair onderwijs leren de kinderen hoe je niet alleen voorwerpen, maar ook gegevens kunt ordenen. Leerlingen leren turven, gegevens verzamelen en weer te geven in bijvoorbeeld een beelddiagram. Ze leren over deze gegevens te redeneren en te communicren (uitleggen wat je kunt zien in het beelddiagram en wat niet). RW05.2
Leerlingen leren:
- hoe je voorwerpen en gegevens overzichtelijk kunt ordenen en vergelijken en hierover na te denken en te bespreken;
- gegevens te verzamelen en hiervan grafische representaties te maken, bijvoorbeeld een beeld- of staafdiagram
- grafische representaties, zoals een beelddiagram of staafdiagram of turftabel af te lezen en te interpreteren;
- vaktaal te gebruiken zoals: diagram, turven, tabel, beeld, verzamelen, informatie en gegevens.
4.1.2 Data en statistiek in de bovenbouw:
Hier maken de leerlingen kennis met nieuwe en met complexere grafische representaties en leren ze zelf eenvoudige grafische representaties en infographics te maken al dan niet met behulp van ICT. Ze leren rekneen met de centrummaten gemiidelde, modus en mediaan en de uitkomsten te interpreteren.
Daarnaast ontwikkelen de leerlingen een kritische houding ten opzichte van data en statisitiek. ZE leren of de gegevens op een goede manier verzameld zijn, of grafische representaties niet misleidend zijn en of conclusies goed zijn onderbouwd.
Leerlingen leren:
- te specificeren aan de hand van welke gegevens je een eenvoudige onderzoeksvraag kunt beantwoorden. Te denken valt aan een vraag als of de jongens uit je klas groter zijn dan de meisjes uit de klas;
- op verschillende wijzen gegevens te verzamelen, zoals het verzamelen van data in de klas, in de buurt van school of door op internet een gegevensbron te zoeken;
- onderscheid te maken tussen steekproef en populatie
- grafische represenaties te maken bij verzamelde gegevens, op papier en digitiaal
- bij bestaande grafische represenaties leren ze voordelen en nadelen te benoemen van de gekozen represenatie, interpretaties te geven, conclusies te trekken en in sommige gevallen voorspellingen te doen;
- in eenvoudige situaties bij gegeven data de centrummaten rekenkundig gemiddelde, mediaan en modus te berekenen en te interpreteren en hierover te redeneren;
- om kritische vragen te stellen bij de wijze van onderzoek (onder andere in de media). Dit kan betrekking hebben op de wijze waarop gegevens verzameld zijn, de keuze van visualisatie en in hoeverre conclusies bij de feiten correct zijn (factchecking);
- formleren vaktaal gebruiken zoals: grafiek, gemiddelde, modus, mediaan, x-as en y-as, stijgen, dalen en scheurlijn.
4.2 Kerndoelen voor Verbanden volgens curriculum.nu
4.2.1 Verbanden in de onderbouw
De kern van deze bouwsteen ligt in het voortgezet onderwijs. In het primair onderwijs wordt hiervoor een basis gelegd. We zien echter dat heel jonge kiderne al uit zichzelf verbanden leggen. IN de eerste leerjaren leren leerlingen denken en redeneren over verbanden. Ze leren verbanen te zoeken in hun naaste omgeving en deze in eigen woorden te beschrijven, bijvoorbeeld hoe verder je van school woont, hoe langer je moet wandleen. Zom maken ze ook al kennis methet concept ´variabele´.
Leerlingen leren:
- eenvoudige verbanden in eigen woorden te beschrijven, te denken valt aan:´hoe meer kinderen in de groep, hoe meer haakjes je nodig hebt om de jassen op te hangen´;
- gevolgen van een verandering in een variabele te beschrijven. Te denken valt aan: ALs je voor een recept voor 4 personen 6 eieren nodig hebt, wat betekent het voor het aantal eieren als je het recept voor 8 personen moet maken?
- vleksommen met één onbekende op te lossen.
4.2.1 Verbanden in de bovenbouw
In de hogere leerjaren leren leerlingen complexere verbanden te beschrijven. Leerlingen leren woordformules op te stellen bij verbanden en deze via tabellen weer te geven in grafieken.
Leerlingen leren:
- complexere verbanden te herkennen en beschrijven;
- eenvoudige woordformules op te stellen;
- combinaties van mogelijke oplossingen van vlekopgaven met twee onbekenden te vinden;
- bij een woordformule een tabel te maken, bij de tabel een grafiek te maken.
4.3 Kerndoelen voor speciale verbanden volgens curriculum.nu
4.3.1 Speciale verbanden in de onderbouw
Kinderen hebben op jonge leeftijd al gevoel voor patronen en regelmaat. In de eerste leerjaren leren leerlingen denken en redeneren over eenvoudige regelmaat. Ze leren de regelmaat in een reeks vormen en in een getallenrij in eigen woorden te beschrijven en deze regelmaat vervolgens zelf voort te zetten.
Leerlingen leren:
- regelmaat te herkennen in een serie getallen en deze regelmaat in woorden te beschrijven en voort te zetten. Te denken valt aan een rij als: 99, 97, 95,... ´Wat is dan het volgende getal? Hoe weet je dat?´,
- periodieke regelmaat herkennen en te beschrijven, te bedenken valt aan: maak de reeks af:
vierkant, driekhoek, cirk, vierkant,... ´Wat is dan het volgende figuur? Hoe weet je dat?´
4.32 Speciale verbanden in de bovenbouw
In de bovenbouw leren leelringen dat er naast de vaste toe- of afname ook andere soorten regelmaat bestaan die in verbanden weergegeven kunnen worden. Bijvoorbeeld verbanden waarbij er steeds met hetzelfde getal vermenigvuldigd wordt of waarbij er door hetzelfde getal gedeeld wordt.
Leerlingen leren:
- regelmaat in een reeks getallen of in een reeks meetkundige patronen te herkennen, weer te geven in een tabel en te verwoorden. Te denken valt aan regelmaat in reek 1,2,4,8,16,..
4.4 Kerndoelen over veranderingen volgens curriculum.nu
4.4.1 Veranderingen in de onderbouw
In de eerste leerjaren van het primair onderwijs wordt een basis gelegd als het gaat om veranderingen, de nadruk ligt echter in het voortgezet onderwijs. Het gaat hier vooral om het herkennen van
veranderingen en hierover te communiceren en redeneren. Een kind helpt mee tafeldekken en weet dat er elke dag vier mensen aan tafel zitten, maar als er twee mensen meer komen eten dan weet het ook dat er van alles twee meer nodig zijn: twee borden, bekers, messen en vorken. Zo ook als er minder mensen aan tafel zullen zitten. Het kind ervaart al op jonge leeftijd wat het betekent als aantallen af- of toenemen.
Leerlingen leren:
● het herkennen van veranderingen en hierover te communiceren en redeneren, te denken aan het voorbeeld van tafeldekken;
● in eenvoudige beelddiagrammen trends herkennen en beschrijven met dagelijkse termen als groter worden, kleiner worden, gelijk blijven, enzovoorts.
4.4.2 Veranderingen in de bovenbouw
In de hogere leerjaren van het primair onderwijs worden de activiteiten uit de onderbouw voortgezet. De nadruk ligt nog steeds in het voortgezet onderwijs. In eerste instantie leren de leerlingen aan de hand van een model, zoals een grafiek of een tabel bij een situatie te bepalen welke verandering zichtbaar is.
De leerlingen leren kritisch te denken en te redeneren over deze verandering, bijvoorbeeld: 'Wat betekent het als de lijn op een bepaald punt in een tijd-afstand lijngrafiek heel steil loopt?'
Leerlingen leren:
● verandering in een representatie van een verband (grafiek, tabel, beschrijving) te herkennen en te verwoorden, te denken valt aan: af- en toename, stijgen, dalen, constant, groei, verdubbelen, halveren;
● dat verandering in de ene representatie van een verband (grafiek, tabel, beschrijving) doorwerkt in de andere vorm(en). Te denken valt aan: als de voorrijkosten gelijk blijven en het uurtarief toeneemt, dan wordt de grafiek die het totale bedrag weergeeft, steiler;
● absolute en relatieve veranderingen van elkaar te onderscheiden en er over te redeneren. Te denken valt aan: De korting op een product is € 30,- óf 30%. Als dat product € 60,- kost, welke korting kies je dan?
5. Vakdidactiek en verbanden
In de loop der tijd veranderen vakdidactische inzichten van nieuwe onderzoek en nieuwe ideeën over leren en onderwijzen van rekenwiskunde. Dat was zo in het verleden en zal ook altijd wel zo blijven (van Zanten, 2011).
5.1 Het vertalen van informatie naar passende representatie
5.1.1 Ordenen van informatie
We leven in een informatiemaatschappij en om greep te krijgen op die infromatie betekent het dat die moet worden geordend.
Vanwege de maatschappelijke relevantie is besloten om voor te stellen statistiek in het primair onderwijs te introduceren. Het gaat daarbij niet zo zeer om het uitvoeren van allerlei berekeningen, maar meer om een begin te maken met de beschrijvende statistiek: het maken van representaties. Er kan dan ook begonnnen worden met kritisch nadenken over allerlei uitspraken op basis van zulke representaties.
Hierbij gaat het dan over de denk- en werkwijzen
(Müller, 2020).
Laat leerlingen zelf gegevens verzamelen
Frans van Galen Koene Gravemeijer pleit voor het zelf laten maken door van hen zelf verzamelde gegevens. Hij pleit ook dat leerlingen er vroeg mee beginnen, omdat ze bekent zijn met verhoudingen.
Hij geeft aan dat je aan de hand van die verhoudingen om te gaan redeneren met lengteverhoudingen op schaal. En daarna stroken te laten maken voor de hoogte van de tafel. Uiteindelijk hebben ze geen getallen meer nodig, maar vergelijken ze de stroken met het oog. Zo kan je met de lengte van de strook of een staaf ook heel andere verhoudingen visueel maken
(van Galen & Gravemeijer, z.d.).
Voor het basisonderwijs is het heel belangrijk dat leerlingen zelf de verzameling van de gegevens uitvoeren en zelf ook leren hoe je uit een verzameling gegevens een overzicht kunt maken (een basale tabel, een tekening), en wellicht dat er een verband gevonden kan worden door goed naar de
verzamelde gegevens te kijken (Van Galen en Gravemeijer, 2008).
Meten is weten
Door te meten kunnen we niet alleen veranderingen in kaart brengen, maar ook spreiding of variantie.
Net zoals een serie metingen in de tijd ons meer zegt dan één enkele meting, zo zegt een meting aan een individu ons meer wanneer we ook gegeven hebben over andere individuen
(van Galen &
Gravemeijer, z.d.-a).
Ordenen van data via een computer
Voor statistiek is een computer bij uitstek geschikt voor het ordenen en representeren van grote aantallen gegevens.
Computers en alle andere apparaten waar een chip in zit hebben onze wereld ingrijpend veranderd. Ze hebben onder andere gemaakt dat kwantitatieve gegeven een veel grotere rol spelen dan vroeger. We hoeven minder zelf te rekenen - dat kunnen we aan de computer overlaten- maar we moeten wel kunnen redeneren over verbandne binnen al die gegevens. dit vraagt om aanpassingen in het onderwijs, ook in het basisonderwijs (dynamische grafieken).
5.1.2 Passende representaties
Wie iets heeft geteld of gemeten zal de gegevens in eerste instantie opschrijven als een lijst getallen.
Dat bied echter weinig overzicht. Te zien valt dat sommige getallen hoger of lager zijn dan andere, maar de verhouding tussen de getallen blijft onduidelijk. Grafieken zijn een hulpmiddel om die verhoudingen zichtbaar te maken
(van Galen & Gravemeijer, z.d.-b).
Verschillende types grafieken en andere representaties van de data, geven andere informatie over de data. De keuze voor een bepaalde grafiek of representatie kan het begrip van de data beïnvloeden.
Niet alle informatie is even belangrijk. Het is de kunst om relevante informatie te scheiden van minder relevante (Mols,2006).
Kennesbasis Rekenen- wiskunde geeft aan hier rekening mee te houden:
- de keuze van de assen en schaal bij (lijn) grafieken;
- de keuze voor een niet passende soort grafief. (Kennesbasis Rekenen-wiksunde)
5.1.3 Variabelen
Denken in termen van variabelen is iets wat kinderen moeten leren
Het is pas een variabele als een kind weet dat je temperatuur kunt meten, en dat dat getallen oplevert binnen een hele range.Redeneren over veranderde grootheden helpt kinderen te begrijpen wat
computers voor ons doen; die kunnen van alles voor ons regelen, maar we moeten wel doorzien hoe ze beslissingen nemen. Bij het redeneren over variabelen zijn grafieken een krachtig hulpmiddel. Een computer daarbij is fijn, omdat een computer dynamische grafieken kan bieden.
(van Galen &
Gravemeijer, z.d.).
Grafiek als hulpmiddel
Om het verband tussen variabelen in kaart te brengen hebben we een krachtig hulpmiddel in grafieken.
Een tabel met meetresultaten zegt ons minder dan een visuele vorostelling van die meetresultaten. In een grafiek worden lengte en afstand gebruikt als een metafoor. BIj lengte weten kinderen al vrij voreg dat je meet op een schaal, omdat jelengte zo makkelij kunst afpassen. Dat je achter temperatuur of snelheid, of welke andere variabele dan ook, eveneens een schala kunt denken is veel minder vanzelfspreken (van Galen & Gravemeijer, z.d.-a).
Ontbreken van leerstofopbouw op de basisschool
In het basisonderwijs komen grafieken ook op dit moment al aan de orde, maar een duidelijk
leerstofopbouw ontbreekt meestal. Bij verschillende vakken worden leerlingen geconfronteerd met heel diverse vormen van grafieken en het interpreteren van zulke grafieken gaat erg ad hoc.Wij pleiten voor het ontwikkelen van heldere leergangen rond het werken met grafieken.Bij het pleiten voor
systematischer onderwijs rond grafieken gaat het ons echter niet zo zeer om die grafieken opzich, maar om wat daar achterligt: kinderen moeten leren redeneren in termen van variabelen,en moeten leren nadenken over verbanden tussen variabelen(van Galen & Gravemeijer, z.d.-a)
5.2 Begeleiden van de leerling bij het ontwikkelen van het ontwerpen van grafieken
Er is in de bestaande rekenmethoden geen sprake van duidelijk leergangopbouw. Het werken met grafieken komt aan de orde als een verzameling losse activiteiten, die niet gebaseerd lijkt op een analyse van de basisconcepten die de kinderen moeten leren. De grafieken zijn bijna altijd kant- en- klare plaatjes in het schoolboek en dat het onderwijs bestaat uit het leren interpreteren van zulke representaties. Zelden worden kinderen gevraagd om zelf een grafiek te tekenen, en nog minder wordt gevraagd om zelf een geschikte grafiek te bedenken. Het bezwaar daarvan is dat de fundamentele concepten achter zulke representaties zo niet expliciet aan de orde komen (van Galen & Gravemeijer, z.d.-a).
5.2.1 Interpreteren van grafieken
Grafieken zijn krachtige middelen om gegevens op overzichtelijke wijze weer te geven. Grafieken zijn echter niet altijd even gemakkelijk te interpreteren. Dit geldt zowel voor kinderen als voor volwassenen.
Met name grafieken waarin veranderingen in de tijd zijn afgebeeld, zoals bewegingen, vragen om het nodige inzicht. Het zelf het het lichaam ervaren hoe deze grafieken ontstaan en aangepast kunnen worden, lijkt een kansrijke aanpak om het begrijpen van grafieekn al bij basisschoolleerlingen te bevorderen. Grafieken kunnen ons informeren over allerhande zaken, bijvoorbeeld het weer, de beursindex, of over de meest recente sportuitslagen. Veel grafieken geven de relatie weer tussen veranderde grootheden ´over tijd´. Bijvoorbeeld aan de verandering in de temperatuur gedurende een bepaalde periode. Begrijpen hoe dergelijke grafieken van veranderde grootheden over tijd in elkaar zitten lukt het best wanneer je deze zelf construeert (Freudenthal Group, z.d.).
Van veel communicatietechnologie is het niet nodig om te weten hoe zij werkt om er wel gebruik van te maken. Computers maken het mogelijk om met een paar klikken zo´n grafiek te tekenen en dus komen we tegenwoordig overal grafieken tegen. Dat maakt het belangrijk dat leerlingen inzicht ontwikkelen in de principes waarop grafieken zijn gebaseerd (van Galen & Gravemeijer, z.d.-a).
Het is waardevol om met leerlingen te praten over de betekenis van een grafiek. Wat gebeurt er tussen twee waarden? Kun je op grond van de grafiek iets voorspellen wat niet in de grafiek is af te lezen?
Wanneer mag je punten met elkaar verbindne of een lijn doortrekken? Kun je met 1 getal iets over de hele verzameling gegevens zeggen? (van Zanten, z.d.-a).
5.2.2 Leerling uitdagen tot het zelf construeren van verbanden
In de basisschool komen grafieken volgens Frans van Galen Koene Gravemeijer een vrij beperkte manier aan de orde. Hij zegt dat het bijna altijd gaat om het interpreteren van kant en klare grafieken, meestal grafieken met mooi, ronde getallen. Hij pleit voor het zelf maken van grafieken
(van Galen &
Gravemeijer, z.d.).
Als wij pleiten voor statistiek in het basisonderwijs bedoelen we niet dat een nieuw vak zou moeten worden ingevoerd. Het gemiddelde en grafieken horen immers al tot de basisschoolstof. Wel pleiten wij voor een andere benadering en voor andere doelen. Het gemiddelde zou niet een door de leerkracht ingebrachte rekenprocedure moeten zijn, maar voor de leelringen moeten voortkomen uit het
onderzoeken van verdelingen. Het is logsich dat dan ook de mediaan aan de orde zal komen,
waarschijnlijk zelfs als voorloper van het rekenkundig gemiddelde. Het onderwijs over grafieken zou zich niet louter moeten richten op het leren aflezen van kant en klare grafieken, maar ook op het zelf
bedenken en tekenen van grafieken, omdat dat pas maakt dat leerlingen de onderliggende principes gaan begrijpen. De leerlingen moeten op een andere manier gaan denken en discussiëren over
centrummaten en grafieken. Leerkrachten kunnen leerlingen helpen om hun informeel wiskundig denken en de daarbij horende taal te ontwikkelen naar een formeel niveau. Dus niet om een beter voorbereiding voor het vak statistiek in het vo, een vak dat niet alle leerlingen krijgen. Wij peleiten voor het
onderzoeken naar een vorm van statistiek voor iederen
(van Zanten, z.d.).
Een grafiek construeren
Een grafiek wordt ook wel een rekenhulpmiddel genoemd. Het bedenken van een grafiek dwingt de leelringen om op zoek te gaan naar manieren om de gegevens te ordenen. Het tekenen van een grafiek is lastig voor de leerlingen. Vooral als leerlingen nog geen beeld hebben van wat een zinvolle grafiek zou kunnen zijn
(van Galen & Gravemeijer, z.d.-a).
Door het zelf construeren van grafieken kunnen kinderen na gaan denken over wat de verschillende aspecten in de grafiek nu eigenlijk betekenen. De sensomotorische acties van de kinderen vormen hierin het uitgangspunt. Door vragen te stellen over de grafische representaties krijg je meer inzicht in hoe deze kinderen verbanden leggen tussen hun bewegingen en de beijbehorende veranderingen in de grafiek. Hierdoor krijg je niet alleen meer inzicht in hoe kinderen redeneren over grafieken, maar ook hoe het begrip ervan bevorderd kan worden. Zo zien we onder andere dat kinderen op vershcillende
manieren reageren op de door henzelf gecreëerde grafieken en op verschillende niveaus redeneren over de grafische representaties. Kinderen kunnen al complexe grafische representaties van
dynamische data aan en kunnen zo hogere-orde denkvaardigheden tentoonspreiden
(van Zanten, z.d.).
Leermateriaal voor kinderen
- Cobb, McClain en Gravemeijer (2003) en Bakker (2004) gebruikten de minitools die op
www.wisweb.nl te vinden zijn. Dit zijn helaas niet java-applets die op veel computers niet meer gebruikt kunnen worden (van Galen & Gravemeijer, z.d.-a).
- Een alternatief is het Amerikaanse ´Tinkerplots´ (Konold & Miller, 2005). Het bezwaar van dat programma is dat het ontworpen is voor leerlingen van de basisschoolleeftijd t/m studenten in het hoger onderwijs, wat betekent dat jonge leerlingen makkelijk verdwalen in alle opties die open staan
(van Zanten, z.d.).
5.2.3 Dynamische representaties
Kinderen zijn in staat om een verband te leggen tussen de eigen bewegingen en de daaruit voortvloeiende grafische representaties.
Een kind moet door de bewegingen door krijgen dat hij weet welke aspecten van zijn bewegingen hij moet aanpassen, om de gewenste uitkomst in de grafiek te verkrijgen. Dat is het kind bezig met het interpreteren van de grafische representatie en formuleert hij op basis daarvan een bepaalde verwachting. Deze verwachting kan hij uiteindelijk toetsen door de grafiek nogmaals te lopen. De redenering bij Timpn getuig van een hoger-denkniveau. Het denken van Timon gaat dieper dan de een-op-een vertaling van een beweging naar een grafiek. Timon is hier bbewzig met het leggen van verbanden en het opstellen en toesten van verwachtingen; aspecten die onlosmakelijk verbonden zijn met hoger-orde denken (van Zanten, z.d.)
Grafiekenmaker
Grafiekenmaker zijn ontwkkeld binnen het project ´Reken-wiskundeonderwijs voor de
informatiemaatschappij´ van de Ververs Foundation.Grafiekenmaker is de verzamelnaam van een serie computerpogramma´s voor groep 7 en 8 van het basisonderwijs. In feite gaat het om verschillende versie van hetzelfde programma. Grafiekenmaker heeft een didactisch doel: leerlingen kunnen zich via het programma de basisconcepten van grafieken eigen maken. Het is in dat opzicht heel anders dan een programma als Excel, want Excel is vooral geschikt voor gebruikers die de concepten al beheersen en daardoor beredeneerde keuzes kunnen maken bij alle opties die het programma biedt(van Galen &
Gravemeijer, z.d.-a).
Kenmerken van het computerprogramma
Dynamische grafieken. De grafieken ontstaan terwijl de leerlingen experimenteren.
Staafjesgrafiek. Elke meting verschijnt als een los staafje in de grafiek, wat houvast geeft bij het redeneren. Langzame of snelle verandering kan concreet beschreven worden aan de hand van het verschil tussen opeenvolgende staafjes. Een lijngrafiek zou vragen om formuleringen met ‘zoveel toename in zoveel tijd’(Rekenweb, z.d.).
Inzoomen op een bepaald stuk van de grafiek - dus het veranderen van de schaling - wordt door leerlingen op een heel expliciete manier gedaan.
Webquest met werkbladen. De opdrachten kunnen de opgaven zelfstandig maken. Bij voorkeur doen ze dat in tweetallen.
Combinatie van rekenen-wiskunde met natuur- en techniekonderwijs (Rekenweb, z.d.).
De Eurosense:
De ´Eurosense is een sensor waarmee temperatuur, lichtsterkte en geluidssterkte kan worden gemeten.
Hij is speciaal ontwikkeld voor het basisonderwijs. De Eurosense wordt via de USB-ingang aan de computer gekoppeld. Er is een demo-versie van het computerprogramma, waarvoor geen sensor nodig is. Ze werken aan een serie opdrachten rond afkoelen. Je kunt het programma voor het meten van temperatuur downloaden. Dezelfde sensor kan ook gebruikt worden voor het meten van geluidssterkte en voor het meten van de hoeveelheid licht (Rekenweb, z.d.).
Sophie schommelt een grafiek:
Bepaalde aspecten van de schommelbewegingen worden opgepikt door de sensor en zijn terug te zien in de grafiek. Vervolgens gaan de kinderen voor de sensor heen en weer lopen en rennen. Hierbij
worden de veschillen en overeenkomsten tussen de grafische representaties van de schommelbeweging en de loopbeweging meer inzichtelijk. Een nieuwe uitdaging is vervolgens het lopen van een op een geplasticifeerde kaart gegeven grafiek. Essentieel bij deze taak is dat kinderen doorkrijgen dat ze, om de stijgende en dalende lijnen in de grafiek te kunnen reproduceren, moeten variëren in de snelhei en richting van hun bewegingen (Freudenthal Group, z.d.).
