In de loop der tijd veranderen vakdidactische inzichten van nieuwe onderzoek en nieuwe ideeën over leren en onderwijzen van rekenwiskunde. Dat was zo in het verleden en zal ook altijd wel zo blijven (van
5.2 Begeleiden van de leerling bij het ontwikkelen van het ontwerpen van grafieken
Er is in de bestaande rekenmethoden geen sprake van duidelijk leergangopbouw. Het werken met grafieken komt aan de orde als een verzameling losse activiteiten, die niet gebaseerd lijkt op een analyse van de basisconcepten die de kinderen moeten leren. De grafieken zijn bijna altijd kant- en- klare plaatjes in het schoolboek en dat het onderwijs bestaat uit het leren interpreteren van zulke representaties. Zelden worden kinderen gevraagd om zelf een grafiek te tekenen, en nog minder wordt gevraagd om zelf een geschikte grafiek te bedenken. Het bezwaar daarvan is dat de fundamentele concepten achter zulke representaties zo niet expliciet aan de orde komen (van Galen & Gravemeijer, z.d.-a).
5.2.1 Interpreteren van grafieken
Grafieken zijn krachtige middelen om gegevens op overzichtelijke wijze weer te geven. Grafieken zijn echter niet altijd even gemakkelijk te interpreteren. Dit geldt zowel voor kinderen als voor volwassenen.
Met name grafieken waarin veranderingen in de tijd zijn afgebeeld, zoals bewegingen, vragen om het nodige inzicht. Het zelf het het lichaam ervaren hoe deze grafieken ontstaan en aangepast kunnen worden, lijkt een kansrijke aanpak om het begrijpen van grafieekn al bij basisschoolleerlingen te bevorderen. Grafieken kunnen ons informeren over allerhande zaken, bijvoorbeeld het weer, de beursindex, of over de meest recente sportuitslagen. Veel grafieken geven de relatie weer tussen veranderde grootheden ´over tijd´. Bijvoorbeeld aan de verandering in de temperatuur gedurende een bepaalde periode. Begrijpen hoe dergelijke grafieken van veranderde grootheden over tijd in elkaar zitten lukt het best wanneer je deze zelf construeert (Freudenthal Group, z.d.).
Van veel communicatietechnologie is het niet nodig om te weten hoe zij werkt om er wel gebruik van te maken. Computers maken het mogelijk om met een paar klikken zo´n grafiek te tekenen en dus komen we tegenwoordig overal grafieken tegen. Dat maakt het belangrijk dat leerlingen inzicht ontwikkelen in de principes waarop grafieken zijn gebaseerd (van Galen & Gravemeijer, z.d.-a).
Het is waardevol om met leerlingen te praten over de betekenis van een grafiek. Wat gebeurt er tussen twee waarden? Kun je op grond van de grafiek iets voorspellen wat niet in de grafiek is af te lezen?
Wanneer mag je punten met elkaar verbindne of een lijn doortrekken? Kun je met 1 getal iets over de hele verzameling gegevens zeggen? (van Zanten, z.d.-a).
5.2.2 Leerling uitdagen tot het zelf construeren van verbanden
In de basisschool komen grafieken volgens Frans van Galen Koene Gravemeijer een vrij beperkte manier aan de orde. Hij zegt dat het bijna altijd gaat om het interpreteren van kant en klare grafieken, meestal grafieken met mooi, ronde getallen. Hij pleit voor het zelf maken van grafieken
(van Galen &
Gravemeijer, z.d.).
Als wij pleiten voor statistiek in het basisonderwijs bedoelen we niet dat een nieuw vak zou moeten worden ingevoerd. Het gemiddelde en grafieken horen immers al tot de basisschoolstof. Wel pleiten wij voor een andere benadering en voor andere doelen. Het gemiddelde zou niet een door de leerkracht ingebrachte rekenprocedure moeten zijn, maar voor de leelringen moeten voortkomen uit het
onderzoeken van verdelingen. Het is logsich dat dan ook de mediaan aan de orde zal komen,
waarschijnlijk zelfs als voorloper van het rekenkundig gemiddelde. Het onderwijs over grafieken zou zich niet louter moeten richten op het leren aflezen van kant en klare grafieken, maar ook op het zelf
bedenken en tekenen van grafieken, omdat dat pas maakt dat leerlingen de onderliggende principes gaan begrijpen. De leerlingen moeten op een andere manier gaan denken en discussiëren over
centrummaten en grafieken. Leerkrachten kunnen leerlingen helpen om hun informeel wiskundig denken en de daarbij horende taal te ontwikkelen naar een formeel niveau. Dus niet om een beter voorbereiding voor het vak statistiek in het vo, een vak dat niet alle leerlingen krijgen. Wij peleiten voor het
onderzoeken naar een vorm van statistiek voor iederen
(van Zanten, z.d.).
Een grafiek construeren
Een grafiek wordt ook wel een rekenhulpmiddel genoemd. Het bedenken van een grafiek dwingt de leelringen om op zoek te gaan naar manieren om de gegevens te ordenen. Het tekenen van een grafiek is lastig voor de leerlingen. Vooral als leerlingen nog geen beeld hebben van wat een zinvolle grafiek zou kunnen zijn
(van Galen & Gravemeijer, z.d.-a).
Door het zelf construeren van grafieken kunnen kinderen na gaan denken over wat de verschillende aspecten in de grafiek nu eigenlijk betekenen. De sensomotorische acties van de kinderen vormen hierin het uitgangspunt. Door vragen te stellen over de grafische representaties krijg je meer inzicht in hoe deze kinderen verbanden leggen tussen hun bewegingen en de beijbehorende veranderingen in de grafiek. Hierdoor krijg je niet alleen meer inzicht in hoe kinderen redeneren over grafieken, maar ook hoe het begrip ervan bevorderd kan worden. Zo zien we onder andere dat kinderen op vershcillende
manieren reageren op de door henzelf gecreëerde grafieken en op verschillende niveaus redeneren over de grafische representaties. Kinderen kunnen al complexe grafische representaties van
dynamische data aan en kunnen zo hogere-orde denkvaardigheden tentoonspreiden
(van Zanten, z.d.).
Leermateriaal voor kinderen
- Cobb, McClain en Gravemeijer (2003) en Bakker (2004) gebruikten de minitools die op
www.wisweb.nl te vinden zijn. Dit zijn helaas niet java-applets die op veel computers niet meer gebruikt kunnen worden (van Galen & Gravemeijer, z.d.-a).
- Een alternatief is het Amerikaanse ´Tinkerplots´ (Konold & Miller, 2005). Het bezwaar van dat programma is dat het ontworpen is voor leerlingen van de basisschoolleeftijd t/m studenten in het hoger onderwijs, wat betekent dat jonge leerlingen makkelijk verdwalen in alle opties die open staan
(van Zanten, z.d.).
5.2.3 Dynamische representaties
Kinderen zijn in staat om een verband te leggen tussen de eigen bewegingen en de daaruit voortvloeiende grafische representaties.
Een kind moet door de bewegingen door krijgen dat hij weet welke aspecten van zijn bewegingen hij moet aanpassen, om de gewenste uitkomst in de grafiek te verkrijgen. Dat is het kind bezig met het interpreteren van de grafische representatie en formuleert hij op basis daarvan een bepaalde verwachting. Deze verwachting kan hij uiteindelijk toetsen door de grafiek nogmaals te lopen. De redenering bij Timpn getuig van een hoger-denkniveau. Het denken van Timon gaat dieper dan de een-op-een vertaling van een beweging naar een grafiek. Timon is hier bbewzig met het leggen van verbanden en het opstellen en toesten van verwachtingen; aspecten die onlosmakelijk verbonden zijn met hoger-orde denken (van Zanten, z.d.)
Grafiekenmaker
Grafiekenmaker zijn ontwkkeld binnen het project ´Reken-wiskundeonderwijs voor de
informatiemaatschappij´ van de Ververs Foundation.Grafiekenmaker is de verzamelnaam van een serie computerpogramma´s voor groep 7 en 8 van het basisonderwijs. In feite gaat het om verschillende versie van hetzelfde programma. Grafiekenmaker heeft een didactisch doel: leerlingen kunnen zich via het programma de basisconcepten van grafieken eigen maken. Het is in dat opzicht heel anders dan een programma als Excel, want Excel is vooral geschikt voor gebruikers die de concepten al beheersen en daardoor beredeneerde keuzes kunnen maken bij alle opties die het programma biedt(van Galen &
Gravemeijer, z.d.-a).
Kenmerken van het computerprogramma
Dynamische grafieken. De grafieken ontstaan terwijl de leerlingen experimenteren.
Staafjesgrafiek. Elke meting verschijnt als een los staafje in de grafiek, wat houvast geeft bij het redeneren. Langzame of snelle verandering kan concreet beschreven worden aan de hand van het verschil tussen opeenvolgende staafjes. Een lijngrafiek zou vragen om formuleringen met ‘zoveel toename in zoveel tijd’(Rekenweb, z.d.).
Inzoomen op een bepaald stuk van de grafiek - dus het veranderen van de schaling - wordt door leerlingen op een heel expliciete manier gedaan.
Webquest met werkbladen. De opdrachten kunnen de opgaven zelfstandig maken. Bij voorkeur doen ze dat in tweetallen.
Combinatie van rekenen-wiskunde met natuur- en techniekonderwijs (Rekenweb, z.d.).
De Eurosense:
De ´Eurosense is een sensor waarmee temperatuur, lichtsterkte en geluidssterkte kan worden gemeten.
Hij is speciaal ontwikkeld voor het basisonderwijs. De Eurosense wordt via de USB-ingang aan de computer gekoppeld. Er is een demo-versie van het computerprogramma, waarvoor geen sensor nodig is. Ze werken aan een serie opdrachten rond afkoelen. Je kunt het programma voor het meten van temperatuur downloaden. Dezelfde sensor kan ook gebruikt worden voor het meten van geluidssterkte en voor het meten van de hoeveelheid licht (Rekenweb, z.d.).
Sophie schommelt een grafiek:
Bepaalde aspecten van de schommelbewegingen worden opgepikt door de sensor en zijn terug te zien in de grafiek. Vervolgens gaan de kinderen voor de sensor heen en weer lopen en rennen. Hierbij
worden de veschillen en overeenkomsten tussen de grafische representaties van de schommelbeweging en de loopbeweging meer inzichtelijk. Een nieuwe uitdaging is vervolgens het lopen van een op een geplasticifeerde kaart gegeven grafiek. Essentieel bij deze taak is dat kinderen doorkrijgen dat ze, om de stijgende en dalende lijnen in de grafiek te kunnen reproduceren, moeten variëren in de snelhei en richting van hun bewegingen (Freudenthal Group, z.d.).