Drievoudige integralen
In het vervolg wordt {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s}
genoteerd als [a, b] × [c, d] × [r, s].
Laat f een continue functie zijn op G = [a, b] × [c, d] × [r, s].
Dan is f Riemannintegreerbaar over G en de Riemann- integraal van f over G wordt genoteerd als
Z Z Z
G
f (x, y, z) dV
May 25, 2010 1
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Er kan worden bewezen (stelling van Fubini) dat
deze Riemann-integraal op zes verschillende manieren kan worden geschreven als herhaalde integraal.
Als D = [a, b] × [c, d] dan Z Z Z
G
f (x, y, z) dV = Z s
r
Z Z
D
f (x, y, z) d(x, y)
dz Z Z
D
Z s r
f (x, y, z) dz
d(x, y)
May 25, 2010 2
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Als G = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D, µ1(x, y) ≤ z ≤ µ2(x, y)} dan Z Z Z
G
f (x, y, z) dV = Z Z
D
(Z µ2(x,y)
µ1(x,y)
f (x, y, z) dz )
d(x, y)
D kan worden gevonden door het gebied G te projecteren op het vlak z = 0.
en als G = {(x, y, z) | r ≤ z ≤ s, (x, y) ∈ Dz} dan Z Z Z
G
f (x, y, z) dV = Z s
r
Z Z
Dz
f (x, y, z) d(x, y)
dz
[r, s] kan worden gevonden door het gebied G te projecteren op de z-as.
May 25, 2010 3
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
