1
Exact periode 4.2
Tweedegraads vergelijkingen Destilleren
t-test boxplot
? !
2 xact periode 4.2
4 Op zoek naar de onbekende
4.1 Wat wiskundigen willen….
In veel problemen bij chemie of natuurkunde gaat het om het berekenen van een onbekende waarde. Er is een formule waarin alle waarden zijn gegeven behalve één: de onbekende.
voorbeeld:
V m m2 1
m1 = 3,00 kg
=998 kg.m-3 V = 0,001 m3 m2= onbekend
In de wiskunde houdt men ervan om de onbekende x te noemen. Dat maakt het oefenen met formules makkelijker.
001 , 0 998 x3
3 4.2 Eerstegraads-formules
Eerstegraads-formules zijn formules waarin x alleen voorkomt als x1 en niet x2 of x3 of x.
Je lost ze op door alle termen waar x in voorkomt naar links van het =teken te brengen en alle getallen naar rechts (weegschaalmethode)
voorbeeld: Los x op uit 3x-4 = x+8
3x-4 = x+8 3x- x = 8+4 2 x = 12 x = 6
controle: x = 6 invullen in de opgave: 14 = 14 klopt!
4 Oefenen:
4.2
Los x op uit
2 2 . 3
8 15 3 . 7
) 1 ( 2 ) 4 2 ( 3 . . 6
5 2 ) 1 ( 3 . 5
3 15 2 . 4
6 12
3 . 3
22 6 2 . 2
18 3 . 1
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
5 4.3 Tweedegraads-formules.
Tweedegraads-formules zijn formules waarin x voorkomt als x2 en vaak ook nog als x1
voorbeeld:
x2 –3 = 2x +1
Een extra moeilijkheid is dat er soms geen oplossing is.
In veel gevallen zijn er twee oplossingen en soms maar één!
6 4.3.1 Eerst simpel.
We beginnen met de meest simpele vorm:
x
2= getal
De twee oplossingen zijn :
getal en - getal
( : wortel) voorbeelden:x2 = 16 x = 16 = 4 en x = - 16 = -4
x2 = 7 x = 2,65 en x = -2,65
4 x2= x2 + 2 4 x2- x2 = 2 3 x2= 2
x2 = 0,67 x = 0,82 en x = - 0,82
Als het getal in x2 = getal negatief is, zal er geen oplossing zijn omdat de wortels van negatieve getallen niet bestaan.
Er is één oplossing als het getal nul is: x2 = 0 x = 0
7 Oefenen:
4.3.1
0 .
6
2 5 .
5
4 1 3 . 4
2 .
3
25 .
2
1 .
1
2 2
2 2 2 2
x x
x x x x
8 4.3.2 Iets moeilijker
x
2+ cx= 0
Je werkt nu niet met maar je splitst het probleem in tweeën.
Je gaat met haakjes factoren maken en dan pas je de factorenregel toe
Factorenregel:
Als het product van twee factoren nul is, dan is één van de factoren nul (of allebei).
voorbeeld
(x-3)(x+1) = 0 (x-3) = 0 en (x+1) =0 de oplossingen zijn:
x = 3 en x = -1
In het volgende voorbeeld moet je eerst zelf factoren maken!
x2 – 5x = 0 x(x-5) = 0 (nu heb je factoren) x = 0 en
(x-5) = 0 x = 5
9 Oefenen:
4.3.2
2 2
4 2
2 2
0 4
0 ) 1 )(
2 (
0 ) 1 (
0 ) 1 )(
3 (
0 ) 2 (
2 2
2 2
2 2
x x
x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
10 4.3.3 Vet moeilijk!
3x2 –2x –5 = 0
In het voorbeeld hierboven zie je een term met x2, een term met x en een term met alleen een getal.
Dit type sommen is het lastigst.
De methodes van 4.3.1 en 4.3.2 werken niet.
De algemene vorm van dit soort problemen is :
2
0
x b x c a
De factor voor x2 noemen we dus a. De factor voor x noemen we b en het getal noemen we c.
zie voorbeeld hierboven:
5 2 3
c b a
We rekenen eerst de zogenaamde discriminant uit: D
formule: Db2 4ac
De term discriminant komt van discrimineren: onderscheid maken.
Aan D kan je zien hoeveel oplossingen er zijn.
Als D positief is zijn er twee oplossingen Als D nul is , is er één oplossing
Als D negatief is zijn er geen oplossingen.
11 De oplossingen, x1 en x2 vind je met:
a D x b
a D x b
2 2
2 1
De waarde van a, b en c haal je uit de formule:
a x
2 b x c 0
Zorg ervoor dat rechts van de
=
een0
staat!12 Formules Db2 4ac
a D x b
a D x b
2 2
2 1
Het voorbeeld: 3x2 –2x –5 = 0
5 2 3
c b a
D = (-2)2 - 4.3.(-5) = 4 + 60 = 64
er zijn twee oplossingen x1 en x2 want D is positief
67 , 6 1
8 2 6
64 2
6 1 8 2 6
64 2
2 1
x x
Let op, dat je de waarden van a, b en c goed uit de formule haalt.
Maak geen fouten met mintekens.
Als je merkt dat D negatief is, schrijf je op:”Geen oplossing”
13 4.3.3
Hieronder zie je formules.
Bepaal a, b en c.
Bereken D.
Bereken x1 en x2 (indien mogelijk)
Formule a b c D x1 x2
2x2 - 6x + 2 = 0 (voorbeeld) 2 -6 2 20 0,38 2,6
3x2 -2x – 1 = 0 x2 - x + 1 = 0 -2x2 - 8x + 1 = 0 -x2 -3x + 2 = 0 -x2 + 2 = 0 2x2 - 6x = 0 4x2 + 4x – 2 = 0
14 4.4 gemengde opgaven
0 1 2 .
6 3 .
45 6 3
.
6 3
2 .
3 3
3 .
8 16 2 .
2 2
2 2
2 2
2 2
x f
x x e
x x x x d
x x
c
x x
x b
x x
a
15 0
7 12 .
2 0 1 2
. 1
8 3 2 .
0 1 .
2 2
2 2
x x j
x x i
x x h
x x g
16
Excelopdracht. De abcD-formule.
a. Zie hieronder. Overtypen wat niet vetgedrukt is.
b. Geef de cellen in de B-kolom de namen a, b, c, en D
c. Bereken cel B7, B9 en B10 met de formules die rechts staan
d. Opslaan en geef naam: abcD-formule
A B C D
1 abc-formule 2
3 a 2
4 b 2
5 c -4
6
7 D 36
8
9 x1 -2
10 x2 1
11 12
A B C D
1 abc-formule 2
3 a 1
4 b -2
5 c 3
6
7 D -8
8
9 x1 geen oplossing 10 x2 geen oplossing 11
12
a D x b
a D x b
ac b D
c bx ax
2 2 4
0
2 1
2 2
e. Verander cel B5 in 4 (ipv -4). Je ziet dat de berekening van B9 en B10 niet meer lukt omdat D negatief is. De wortel van een negatief getal bestaat niet. Daarom gaan we het werkblad aanpassen. Zie opdracht f. en g.
f. Verander cel B9 en B10. Bij negatieve D-waarde komt er te staan “geen oplossing”.
Zie voorbeeld hieronder
Als D niet negatief is wordt de oplossing berekend zoals in opdracht c.
g. Resultaat opslaan. Geef naam: jouwachternaam_abcD.xls Mail dit bestand naar dlos@scalda.nl
17
Destillatie
1. Principe
Destillatie is een scheidingstechniek. Door een mengsel van verschillende vloeistoffen te verwarmen zal de vluchtigste
vloeistof het eerst verdampen. De damp wordt gekoeld met water en condenseert. De vloeistof wordt opgevangen in een
opvangkolf. De minder vluchtige vloeistof blijft achter.
18 2. Destillatieopstelling
Laboratory distillation set-up using, without a fractionating column 1: Heat source
2: Still pot 3: Still head
4: Thermometer/Boiling point temperature
5: Condenser 6: Cooling water in 7: Cooling water out 8: Distillate/receiving flask 9: Vacuum/gas inlet 10: Still receiver 11: Heat control
12: Stirrer speed control 13: Stirrer/heat plate 14: Heating (Oil/sand) bath
15: Stirrer bar/anti-bumping granules
19 Stap 1 De destillatiekolf wordt verwarmd en het mengsel gaat verdampen. In de damp boven de vloeistof zitten in verhouding meer moleculen van de vluchtige vloeistof (zwarte bolletjes). De minder vluchtige component (witte bolletjes) blijft
voornamelijk in de vloeistof achter.
stap 2. De verwarming gaat verder. De gecondenseerde damp komt in de opvangkolf terecht. Hierin zit voornamelijk de vluchtige component. Zie figuur rechts.
stap 3 Het verwarmen gaat nog steeds door. Het destillaat in de opvangkolf (rechts) bestaat bijna volledig uit de vluchtige stof. In de destillatiekolf is de minder vluchtige stof achtergebleven. Er is een zekere mate van scheiding bereikt.
3. Destillatie in drie stappen
20 4. Azeotroop mengsel
Een azeotroop mengsel is een mengsel waarvan de verhouding in de damp hetzelfde is als in de vloeistof.
Dit mengsel is niet door destillatie te scheiden.
In de opvangkolf komt dezelfde samenstelling als in de destillatiekolf.
vloeistof damp
21
De t-test
1. Doel van de t-test.
Met behulp van een t-test wordt getest of een gemiddelde ( x ) afwijkt van de "werkelijke waarde"
of de algemeen geaccepteerde waarde: µ ( spreek uit: mu).
Voorbeelden zijn:
het testen van een meetmethode m.b.v. een gecertificeerde standaard,
nagaan of een monster afkomstig kan zijn van een materiaal waarvan je de waarde precies weet
het vaststellen van een ziekte door na te gaan of de uitslag van een medische test buiten het referentiegebied ligt.
De t-test komt overeen met de vraag of de "werkelijke waarde" binnen het 95 % betrouwbaarheidsinterval ligt:
x t s
n
22
2. Het uitvoeren van de t-test
Eerst wordt t berekend met de formule:
Dan wordt de berekende t vergeleken met de waarde uit de t-tabel. (zie rechts) Indien de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is,
is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systematische fout.
Als t berekend groter is dan t tabel dan is er aangetoond dat er een verschil is tussen de gemiddelde waarde en de werkelijke waarde
vrijheidsgrad en
90% 95% 99%
1 6.31 12.71 63.7
2 2.92 4.30 9.92
3 2.35 3.18 5.84
4 2.13 2.78 4.60
5 2.02 2.57 4.03
6 1.94 2.45 3.71
7 1.90 2.36 3.50
8 1.86 2.31 3.36
9 1.83 2.26 3.25
10 1.81 2.20 3.11
11 1.80 2.20 3.11
12 1.78 2.18 3.06
13 1.77 2.16 3.01
14 1.76 2.14 2.98
1.64 1.96 2.58
s n x
tberekend
23 Voorbeeld:
Een referentiestandaard bevat 38,9 %(m/m) kwik.
Om een methode te testen waarbij de absorptie van kwikdamp bepaald wordt, vindt men bij het meten van de standaard:
38,9 37,4 37,1 %(m/m)
Geeft de methode een systematische fout?
Het gemiddelde is: 37,8 %(m/m) De standaardafwijking: 0,964 %(m/m)
Zou het verschil tussen x en µ op toeval kunnen berusten of is er een systematische fout?
Berekening van t geeft:
Uit de tabel vindt men voor 2 vrijheidsgraden:
t = 4,30 ( 95 % betrouwbaarheid).
Dus: t berekend< t tabel.
Conclusie: het verschil tussen x en µ kan op toeval berusten, er is niet aangetoond dat er een systematische fout is.
Omdat de berekende t kleiner is dan de t die in de tabel gevonden is, is er geen bewijs gevonden voor de aanwezigheid van een systema- tische fout.
Dit betekent niet dat er geen systematische fout aanwezig is ! Het betekent alleen dat er geen systematische fout aangetoond is.
98 , 964 1
, 0
3 9 , 38 8 ,
37
berekend t
24 3. Vergelijking met het betrouwbaarheidsinterval
Zoals eerder vermeld komt deze test overeen met het nagaan of de gemeten waarden liggen in het 95 % betrouwbaarheidsinterval. Het betrouwbaarheidsinterval bedraagt in dit geval :
= 37,8 4,3·0,964/3 = 37,8 2,4
De waarde voor is 38,9 %(m/m). Dit ligt binnen het gebied van het betrouwbaarheidsinterval.
x t s
n
25
opgaven:
1.
Van een monster is bekend dat het 0,123 %(m/m) zwavel bevat. Met nieuwe snelle methode om snel het zwavelgehalte in kerosine te meten wordt het monster bepaald.
De verkregen resultaten zijn:
0,112 0,118 0,115 0,119 %(m/m) S.
Zijn de verkregen waarden significant te laag?
2.
Van een monster is bekend dat het 35,10 % Mn bevat. Men analyseert het monster op twee verschillende methoden.
Men vindt de volgende waarden.
methode 1: 35,30 % 35,70 % 35,40 % methode 2: 35,02 % 35,02 % 35,01 % Voor welke methode(s) worden de juiste waarden gevonden?
vrijheidsgrad en
90% 95% 99%
1 6.31 12.71 63.7
2 2.92 4.30 9.92
3 2.35 3.18 5.84
4 2.13 2.78 4.60
5 2.02 2.57 4.03
6 1.94 2.45 3.71
7 1.90 2.36 3.50
8 1.86 2.31 3.36
9 1.83 2.26 3.25
10 1.81 2.20 3.11
11 1.80 2.20 3.11
12 1.78 2.18 3.06
13 1.77 2.16 3.01
14 1.76 2.14 2.98
1.64 1.96 2.58
26 3.
Bij een sporter wordt bloed afgenomen.
Zijn Hematocriet (Ht) waarde wordt 7 maal bepaald.
53 54 52 58 55 54 56
Bepaal mbv een t-test of de maximumnorm van 52 overschreden is.
4.
Een groep leerlingen meet bij praktijk Rf-waarden (papierchromatografie).
De waarden staan hieronder.
Is het gemiddelde van de waarden in overeenstemming met de Rf-waarden van chlorofyl-a ?
1 2 3 4 5
0,40 0,35 0,30 0,27 0,28
27 5.
Hieronder zie je de meetresultaten van een analist (A).
Analist A 14.6 14.6 14.7 17.4 14.5
a. Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist A. Zo ja, verwijder deze.
.
b. Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 15,0?
tabel met Q-waarden
betrouwbaarheid aantal
waarnemingen
90% 95% 99%
4 0,76 0,83 0,93
5 0,64 0,72 0,82
6 0,56 0,62 0,74
7 0,51 0,57 0,68
8 0,47 0,52 0,63
9 0,44 0,49 0,60
10 0,41 0,46 0,57
Q verdachte waarde naastliggende waarde spreiding
28
PW4 Een automatische t-test in Excel
Op het voorbeeldblad (hieronder) zie je een t-test in Excel. De vraag is:
Zijn de meetwaarden in kolom D in overeenstemming met de normwaarde 4,0?
.
1. Geef D3 t/m D12 de naam de meetwaarden.
2. Geef de normwaarde In F2 de naam mu.
3. in D15 komt het gemiddelde van D3 t/m D12 (gebruik de GEMIDDELDE-functie van Excel). Geef deze cel de naam xgem 4. In D16 komt de standaarddeviatie van D3 t/m D12(gebruik de STDEV-functie van Excel). Geef deze cel de naam s
5. In D17 het aantal meetwaarden (gebruik de AANTAL-functie van Excel). Geef deze cel de naam n.
6. In G15 bereken je t met de formule
(gebruik in de formule de ABS( )-functie en de WORTEL( )-functie)
7. In G17 komt de tabelwaarde van t (gebruik de VERT.ZOEKEN-functie van Excel) uit kolom B
8. In G 19 komt de conclusie “er is overeenstemming” of “er is geen overeenstemming” (gebruik de ALS-functie van Excel) 9. Opslaan en geef naam: t-test
10. Voer als normwaarde in: 1,06 en de volgende meetwaarden:
1,08 1,04 1,10 1,07 1,08 1,11 1,04 1,02 1,02 Welke uitkomst geeft de t-test?
Opslaan en geef naam: jouw_achternaam_ttest2.
s
n mu
t xgem
29 Mailen naar dlos@scalda.nl
30
Boxplot
Een boxplot is een grafische manier van weergeven van meetwaarden.
Eerst zet je alle waarden op volgorde van laag naar hoog. Hierna bepaal je de mediaan: de middelste waarde.
Dan bepaal je de mediaan van de laagste helft waarden dit noem je mediaanlaag.
Vervolgens bepaal je de mediaan van de hoogste helft waarden dit noem je mediaanhoog. Links en rechts van de box komen horizontale strepen.
De lengte van de strepen van de boxplot kan je bereken door de formule:
Lengte streep = 1,5 * (mediaan hoog - mediaanlaag)
Dit getal tel je bij de mediaan hoog op en van de mediaan laag trek je dit getal af.
31 Nu kan je de boxplot gaan tekenen.
Je tekent de waarde van de mediaan een verticale streep.
Mediaanlaag en mediaanhoog teken je ook in en je maakt hier een hokje van.
Hier na teken je de horizontale strepen.
Als er waarden links of rechts van de strepen zijn, dan zijn dit uitschieters. Je tekent de waarde van de uitschieter in door bij deze waarde op dezelfde hoogte als de strepen een * teken te zetten.
Hieronder zie je een voorbeeld van een boxplot.
* *
Waarom een boxplot wordt toegepast:
32
Om uitschieters te bepalen
Om te kijken waar de meeste waarden liggen
Voorbeeld:
Waarden
20, 6, 14, 12 15, 13, 16, 11, 14, 13
waarden op volgorde
6, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16, 20
de mediaan = 13,5 mediaan laag = 12 mediaan hoog = 15
lengte strepen = 1,5*(15-12) = 4,5 mediaan hoog + 4,5 = 19,5
mediaan laag – 4,5 = 7,5
* *
5 10 15 20
6 en 20 zijn uitschieters.
33 vragen
1. wat is de formule voor het bepalen van de lengte van de strepen?
2. Wanneer heb je een uitschieter?
3. Waarom wordt een boxplot toegepast?
4. Hier zie je acht meetwaarden:
8 5 6 5 4 12 6 7
a. bepaal van deze waarden de mediaan, mediaan laag, mediaan hoog en de lengte van de horizontale strepen
b. teken hieronder de boxplot met eventuele uitschieters.
34
