Exact periode 2.2

Exact periode 2.2

Gemiddelde en standaarddeviatie Betrouwbaarheidsinterval Logaritme

pH

lettersommen balansmethode

gemiddelde en standaarddeviatie van meetwaarden.

Hieronder zie je twee getallenseries die hetzelfde gemiddelde (14) hebben.

Toch zijn de series totaal verschillend.

Met de standaarddeviatie wordt aangeduid hoe ver de waarden gemiddeld van het gemiddelde afliggen.

serie 1 serie 2

x x

12 13,6

13 13,9

14 14

15 14,1

16 14,4

aantal 5 5

som 70 70

gemiddelde 14 14

standaarddeviatie 1,6 0,29

x en s

Hieronder is een berekening van de standaarddeviatie van serie 1 voorgedaan . formule :

Het ∑-teken geeft aan:alles optellen, ook wel genoemd: de som.

n is het aantal waarden.

berekening: x x-xgem (x-xgem)2

12 -2 4

13 -1 1

14 0 0

15 1 1

16 2 4

∑ (som) 10 som/(aantal-1) 2,5

wortel 1,581139

1 )

(



   n

x

s x

Opdracht: Bereken zelf de standaarddeviatie van serie 2

x x-xgem (x-xgem)2

13,6 13,9 14 14,1

14,4

som:

som/(aantal-1):

wortel:

Oefenen:

Bereken van de volgende vier series het gemiddelde en de standaarddeviatie:

a.

9 7 5 6 4 6 5 b.

6,25 6,17 6,30 c.

34 34 34 34 d.

63

Gemiddelde en standaarddeviatie berekenen

Casio fx-82 MS

<mode> 2

1^ste waarde intypen

<M+>

2^de waarde intypen

<M+>

. . .

Laatste waarde intypen

<M+>

Opmerking:

Je ziet steeds staan hoeveel waarden ingevoerd zijn.

Bijvoorbeeld n=3

<Shift> 2

1 < = > geeft het gemiddelde

<Shift> 2

3 < = > geeft de standaarddeviatie

Opmerking:

Nooit gebruiken <Shift> 2 gevolgd door 2 Testen:

Drie getallen 4

5 6

Het aantal is 3 Het gemiddelde is 5 De standaarddeviatie is 1

TI 36X

<2nd> <DATA>

< = >

<DATA>

1^ste waarde intypen

<↓> <↓>

2^de waarde intypen

<↓> <↓>

. . .

Laatste waarde intypen

<↓> <↓>

<STATVAR>

< → >

n: aantal waarden

x

Testen

Drie getallen 4

5 6

Het aantal is 3 Het gemiddelde is 5 De standaarddeviatie is 1

<DATA>

Waarden intypen gevolgd door <enter>

Na de laatste typ je <2nd><DATA>

Druk vier maal op <ENTER>

Achter 1: zie je het aantal waarden (n) Achter 2: zie je het gemiddelde(

x

Testen Drie getallen 4

5 6

Het aantal is 3 Het gemiddelde is 5 De standaarddeviatie is 1

Ti-84 Plus Texas instruments (Met dank aan Jermaine) 1 druk op stat

2 kies edit

3 voer gegevens in met enter

4 druk op stat

5 ga naar de 2^de tabel calc

6 kies 1-Var stats

7 druk op enter

Je hebt nu de standaarddeviatie en de andere gegevens voor het invullen van de formule voor de standaarddeviatie.

-

X = gemiddelde

S= standaarddeviatie

Testen Drie getallen 4

5 6

Het aantal is 3 Het gemiddelde is 5 De standaarddeviatie is 1

Het betrouwbaarheidsinterval (b.i.)

voorbeeld:

Een pH-meting wordt 5 maal uitgevoerd.

uitkomsten:

6,87 6,79 6,82 6,84 6,87

De verschillen worden veroorzaakt door toevallige fouten.

We willen op grond van deze metingen een voorspelling doen van de “werkelijke waarde” :. (spreek uit: mu) Het betrouwbaarheidsinterval geeft aan tussen welke uitersten de “werkelijke waarde” waarschijnlijk zal zitten.

Het betrouwbaarheidsinterval wordt berekend met:

De “werkelijke waarde” zal liggen tussen:

<

n is het aantal metingen.

De t-waarde lees je af uit de tabel,

het aantal vrijheidsgraden = n - 1 en s is de standaarddeviatie

Je vindt voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval in ons voorbeeld:

(s = 0,034)

042 , 0 5

034 , 0 78 ,

2  



n s

 t 

6,78 6,79 6,8 6,81 6,82 6,83 6,84 6,85 6,86 6,87 6,88 6,89

 

 



   n

s x t

 

 



   n

s

x t en

Het gemiddelde is

x  6 , 84

Dit betekent het volgende:

We weten voor 95% zeker dat voor de werkelijke waarde van de pH geldt:

6,84  0,04 dus tussen 6,80 en 6,88.

( In 95 van de honderd gevallen klopt dit.)

Tabel van t-waarden aantal

vrijheidsgraden

90% 95% 99%

1 6.31 12.71 63.7 2 2.92 4.30 9.92 3 2.35 3.18 5.84 4 2.13 2.78 4.60 5 2.02 2.57 4.03 6 1.94 2.45 3.71 7 1.90 2.36 3.50 8 1.86 2.31 3.36 9 1.83 2.26 3.25 10 1.81 2.20 3.11 11 1.80 2.19 3.09 12 1.78 2.18 3.06 13 1.77 2.16 3.01 14 1.76 2.14 2.98

 1.64 1.96 2.58

Opm:

Indien bij opgaven geen

betrouwbaarheidspercentage is gegeven neem je hiervoor 95%.

Oefeningen.

1.

Bereken van de metingen van pag 1 het 90 en 99%- betrouwbaarheidsinterval.

Vul onderstaande tabel verder in:

betrouwbaarheids- percentage

90 % 95 % 99%

t-waarde bij 4 vrijheidsgraden

2.78 Betrouwbaarheids

interval

 0,04

2. Vier metingen van de pH van een bufferoplossing geven de volgende resultaten:

5,12 5,20 5,15 5,17

Bereken het 95 %-betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde.

3. Een laboratoriumchef wil weten of een nieuwe methode de juiste resultaten geeft.

Hij maakt een monster van 10,2 mmol.L

. Hij laat 6 metingen doen.

De nieuwe methode geeft de volgende resultaten:

10,4 10,4 10,6 10,3 10,5 10,5 mmol.L

.

a) Bereken het gemiddelde, de standaarddeviatie en het 95 %-betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde.

b) Valt de echte monsterwaarde binnen of buiten het 95%-betrouwbaarheidsgebied?

4.

Rechts zie je 6 pH-meetwaarden.

Bereken het gemiddelde, de standaarddeviatie en het 95% b.i.

4,76

4,72

4,86

4,88

4,67

4,51

Metingen vergelijken

De concentratie NaOH in mol per liter kan met twee methodes worden bepaald.

Hieronder zie je de resultaten.

Methode 1 Methode 2

0,0956 0,0967

0,0957 0,0965

0,0959 0,0961

0,0960 0,0966

0,0958 0,0964

0,0963

Bepaal van beide methode het gemiddelde, de standaarddeviatie en het betrouwbaarheidsinterval (95%) Ga na of de uitkomsten van de twee methodes met elkaar kloppen; overlappen de betrouwbaarheidsintervallen elkaar?

Formule: b.i. =

± ^𝑡.𝑠

√𝑛

Vrijheids- graden

t

90% 95% 99%

1 6.31 12.71 63.7

2 2.92 4.30 9.92

3 2.35 3.18 5.84

4 2.13 2.78 4.60

5 2.02 2.57 4.03

6 1.94 2.45 3.71

7 1.90 2.36 3.50

8 1.86 2.31 3.36

9 1.83 2.26 3.25

10 1.81 2.20 3.11

11 1.80 2.20 3.11

12 1.78 2.18 3.06

13 1.77 2.16 3.01

14 1.76 2.14 2.98

 1.64 1.96 2.58

Oefenopgave exact lo41 periode 2 Tabellen en formules:

Tabel van t-waarden aantal

vrijheidsgraden

90% 95% 99%

1 6.31 12.71 63.7 2 2.92 4.30 9.92 3 2.35 3.18 5.84 4 2.13 2.78 4.60 5 2.02 2.57 4.03 6 1.94 2.45 3.71 7 1.90 2.36 3.50 8 1.86 2.31 3.36 9 1.83 2.26 3.25 10 1.81 2.20 3.11 11 1.80 2.19 3.09 12 1.78 2.18 3.06 13 1.77 2.16 3.01 14 1.76 2.14 2.98

 1.64 1.96 2.58

tabel met Q- waarden

aantal waar- nemingen

90% 95% 99%

4 ^{0,76 0,83 0,93}

5 ^{0,64 0,72 0,82}

6 ^{0,56 0,62 0,74}

7 ^{0,51 0,57 0,68}

8 ^{0,47 0,52 0,63}

9 ^{0,44 0,49 0,60}

10 ^{0,41 0,46 0,57}

5,54

5,56

5,49

5,50

5,57

5,71

5,60

5,55

5,59

5,58

Q verdachte waarde naastliggende waarde spreiding

 

n s

 t 

Betrouwbaarheidsinterval:

Opgave:

Een laborant heeft de pH van een oplossing 10 maal bepaald.

a. Ga na of er een uitschieter tussen deze waarden zit.

Als dat zo is moet je deze verwijderen.

b. Bereken het gemiddelde c. Bereken de standaarddeviatie

d. Bereken het 95% betrouwbaarheidsinterval.

e. Tussen welke waarden ligt de pH (met 95% betrouwbaarheid)?

g log a = x

betekent: g ^x = a

we noemen:

g: het grondtal a: het argument

x :de exponent

Logaritme (log)

“op zoek naar de macht”

1. De logaritme met grondtal 10

Probeer de volgende problemen eens op te lossen.

Vul de macht van 10 in:

100 = 10^….

10000 = 10^….

10 = 10^….

1 = 10^….

0,1 = 10^….

0,01 = 10^….

De gevraagde exponenten (machten) zijn ook m.b.v. je rekenmachine te bepalen.

Je gebruikt de [log] toets log 100 =2

log 1000 =3

Eigenlijk moet er staan ¹⁰ log 100 = 2. Dit betekent: 10 ² = 100

de betekenis van log (logaritme) is dus:

Zo kan je de exponent van 10 berekenen die 12 oplevert 10^…. = 12 berekenen:

10 log 12 = 1,079181 dus 10^1,079181 = 12

Logaritme is de macht van een grondtal die een bepaald ander getal oplevert. Het is een soort omgekeerde berekening van machtsverheffen.

De ¹⁰ log wordt o.a. gebruikt bij het begrip pH.

Oefenopgaven:

1.1

10 log 21 =1,322 Hoe wordt 10 genoemd?

Hoe wordt 21 genoemd?

Hoe wordt 1,322 genoemd?

1.2

Bereken de volgende logaritmen:

log 5,6=

log 141=

log 0,022=

log 1=

log –21=

1.3

bereken de volgende machten 10 ³ =

10 ^2,21 = 10 ^–1,5 = 10 ⁰ =

2. ^{De pH}

definitie : pH = -log H ⁺

voorbeeld 1

Er is 0,0028 mol HCl opgelost in 1 liter water.

De pH van de oplossing bedraagt dan:

pH = -log H⁺

pH= - log(0,0028) pH= 2,6

Ook de omgekeerde berekening is belangrijk.

Je gebruikt hierbij:

g

log a = x

: a = g

dus:

log H ⁺ = - pH H ⁺ =10 ^-pH

voorbeeld 2

De pH van een oplossing is 4,1.

Bereken de concentratie van de H⁺ ionen (in mmol.L^-1

pH = -log H⁺

4,1 = - log H⁺

H⁺ = 10 ^–4,1 = 0,000079 mol .L^-1 = 0,079 mmol.L^-1

Logaritmische schalen worden vaak gebruikt om hele kleine en hele grote getallen in een grafiek bij elkaar te zetten.

Oefenopgaven:

2.1

De H⁺-concentratie van een HCl-oplossing is 0,0056 mol.L^-1 Bereken de pH.

2.2

Van een HCL-oplossing is de concentratie 0,3 mmol.L^-1 a. Bereken de H⁺-concentratie in mol.L^-1

b. Bereken de pH van de oplossing.

2.3

a. Bereken de H⁺ concentratie van de oplossingen met de volgende pH:

pH H⁺ (in mol. L^-1)

6,1 5,1 2,1

Weegschaal methode.

De weegschaalmethode wordt gebruikt om een vergelijking met één onbekende (x) op te lossen.

11b. Raadsel oplossen met weegschaalmeth.

11c. Raadsel2 oplossen met weegschaalmeth.

Kijk naar bovenstaande presentaties.

Oefenen weegschaalmethode

2x+3=15

3x-4=23

2x-6=x+1

5x+3 = 2x

2x-4 = 2+ 5x

2 − 3𝑥 = 5𝑥 − 10

1 ½ x +2 = ¹/3 x+1

Lettersommen: Optellen en Aftrekken

+ = 2

a+a=2a

+ + + = 4

a+a+a+a=4a

+ + - = 2

3a – a = 2a

Bij elkaar nemen?

+ =

p + a =…………

b :

vereenvoudig: 2a+3p+b-p+3a+2b=

losse cijfers kan je voorstellen als € Zes appels en twee peren en €8 6a +2p+8

Oefenen:

Neem bij elkaar wat bij elkaar kan

1) b + 2p - 5b + 2a – 11 + 2b – 3 + a – p =

2) 3a - 2b + 6 + b – 3 + a – p + 2p + 4b =

Lettersommen: Vermenigvuldigen

Het oppervlak van een rechthoek

bereken je met Oppervlak = lengte*breedte

Als lettersom wordt dit:

A = l * b Anders geschreven:

A = l · b Of:

A = l b

Als we een vierkant hebben met zijde z Krijg je A = z · z= z

Let op: z+z

mag je niet samen nemen.

Voorbeeld:

a+3p-b

+b+3ab-2p+3b

+4b=

a+3p-b

+b+3ab-2p+3b

+4b=

Oppervlak: A (area)

b

l

Oefenen:

1)

2a + b

– ap + a

– b + 3a - 2b

+ a

=

2)

3b - b

+ 4a + 2a

+ b + 3a

- 4b=

3) Bereken de totale oppervlakte van deze figuur:

Lettersommen vereenvoudigen :



















































a ab a b ab a

p q p p

p

c c b a

a c

a b b c c b a

2 4

2 3

2 3

3 3

1 4

2

2

3 2

3

2 2

2

2 2























































2 2

2

3 6

2 3 4

5 4

3

6 2

5 4

7 5 2

4 5

ab b a

b ba a

ab b

a a

a

a b a b

a

x s xy

x

s