1
Het betrouwbaarheidsinterval (b.i.)
voorbeeld:
Een pH-meting wordt 5 maal uitgevoerd.
uitkomsten:
6,87 6,79 6,82 6,84 6,87
De verschillen worden veroorzaakt door toevallige fouten.
We willen op grond van deze metingen een voorspelling doen van de “werkelijke waarde” :. (spreek uit: mu) Het betrouwbaarheidsinterval geeft aan tussen welke uitersten de “werkelijke waarde” waarschijnlijk zal zitten.
Het betrouwbaarheidsinterval wordt berekend met:
De “werkelijke waarde” zal liggen tussen:
<
n is het aantal metingen.
De t-waarde lees je af uit de tabel,
het aantal vrijheidsgraden = n - 1 en s is de standaarddeviatie
Je vindt voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval in ons voorbeeld:
(s = 0,034)
042 , 0 5
034 , 0 78 ,
2
n s t
6,78 6,79 6,8 6,81 6,82 6,83 6,84 6,85 6,86 6,87 6,88 6,89
n
s x t
n
s
x t en
Het gemiddelde is x6,84 en de standaarddeviatie: s= 0,034
2
Dit betekent het volgende:
We weten voor 95% zeker dat voor de werkelijke waarde van de pH geldt:
6,84 0,04 dus tussen 6,80 en 6,88.
( In 95 van de honderd gevallen klopt dit.)
Tabel van t-waarden aantal
vrijheidsgraden
90% 95% 99%
1 6.31 12.71 63.7
2 2.92 4.30 9.92
3 2.35 3.18 5.84
4 2.13 2.78 4.60
5 2.02 2.57 4.03
6 1.94 2.45 3.71
7 1.90 2.36 3.50
8 1.86 2.31 3.36
9 1.83 2.26 3.25
10 1.81 2.20 3.11 11 1.80 2.19 3.09 12 1.78 2.18 3.06 13 1.77 2.16 3.01 14 1.76 2.14 2.98
1.64 1.96 2.58
Opm:
Indien bij opgaven geen
betrouwbaarheidspercentage is gegeven neem je hiervoor 95%.
3
Oefeningen.
1.
Bereken van de metingen van pag 1 het 90 en 99%- betrouwbaarheidsinterval.
Vul onderstaande tabel verder in:
betrouwbaarheids- percentage
90 % 95 % 99%
t-waarde bij 4 vrijheidsgraden
2.78 Betrouwbaarheids
interval
0,04
2. Vier metingen van de pH van een bufferoplossing geven de volgende resultaten:
5,12 5,20 5,15 5,17
Bereken het 95 %-betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde.
3. Een laboratoriumchef wil weten of een nieuwe methode de juiste resultaten geeft.
Hij maakt een monster van 10,2 mmol.l-1 . Hij laat 6 metingen doen.
De nieuwe methode geeft de volgende resultaten:
10,4 10,4 10,6 10,3 10,5 10,5 mmol.l-1 .
a) Bereken het gemiddelde, de standaarddeviatie en het 95 %-betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde.
b) Valt de echte monsterwaarde binnen of buiten het 95%-betrouwbaarheidsgebied?
4
4.
Rechts zie je 6 pH-meetwaarden.
a. Bereken het gemiddelde, de standaarddeviatie en het 95% b.i.
b. Ga na hoeveel extra metingen nodig zijn om het 95% b.i
onder de 0,1 te laten komen. (Neem aan dat de standaardafwijking gelijk blijft.)
0.1 >
4,76 4,72 4,86 4,88 4,67 4,51
