1
Exact - Periode 2 – LTO41
Inhoud Hoofdstuk 3 3.1 Q-test
3.2 Dichtheid van vaste stoffen en vloeistoffen 3.2.1 Definitie
3.2.2 Dichtheid van vaste stoffen 3.2.3 Dichtheid van vloeistoffen 3.2.4 Pyknometer en Interpoleren 3.4 Gemiddelde en Standaarddeviatie
3.4.1. Gemiddelde en Standaarddeviatie van meetwaarden 3.4.2. Gemiddelde en Standaarddeviatie op de rekenmachine 3.5 Betrouwbaarheidsinterval
3.6 Extra oefensommen Hoofdstuk 3
Hoofdstuk 4 4.1 Lettersommen
4.1.1. Lettersommen optellen en vermenigvuldigen 4.1.2. Lettersommen vermenigvuldigen en delen 4.1.3. Lettersommen vereenvoudigen
4.1.4. Lettersommen haakjes wegwerken
4.2 Balansmethode/weegschaalmethode (vergelijking met één onbekende) 4.2.1. Los x op zonder haakjes
4.2.2. Los x op met haakjes 4.3 Formules omschrijven
4.4 Logaritme 4.5 pH
4.6 Extra oefensommen Hoofdstuk 4 4.7 Oefentoets Hoofdstuk 3 en 4
2
3.1 Q-test
Eenzelfde bepaling is meerdere malen gedaan.
Zit er een uitschieter (ook wel genoemd uitbijter) tussen de uitkomsten?
Dit is te ontdekken door een Q-test te doen.
Werkwijze:
• Je zet de waarden in volgorde van laag naar hoog.
• Je kijkt welke waarde verdacht is, de hoogste en/of de laagste.
• Je berekent Q uit de volgende formule:
• Je vergelijkt je uitkomst met de tabelwaarde (zie tabel hieronder). In de tabel staat de betrouwbaarheid. Dit is de betrouwbaarheid van de testuitkomst.
Meestal nemen we 95% betrouwbaarheid.
• Indien Qberekend > Qtabel, dan is (met de gekozen betrouwbaarheid) aangetoond dat de verdachte waarde een uitschieter is.
Q verdachte waarde naastliggende waarde spreiding
= −
tabel met Q-waarden
betrouwbaarheid aantal
waarnemingen
90% 95% 99%
4 0,76 0,83 0,93
5 0,64 0,72 0,82
6 0,56 0,62 0,74
7 0,51 0,57 0,68
8 0,47 0,52 0,63
9 0,44 0,49 0,60
10 0,41 0,46 0,57
3
Voorbeeld:
Een groep deelnemers bepaalt de concentratie NaOH van een oplossing.
Ze vinden:
Jan Karel Mieke Sjaak Evelien Wendy Roy Sharon 0,092 0,101 0,097 0,098 0,100 0,099 0,096 0,084
Zit er een uitschieter tussen deze waarden?
Oplossing:
In volgorde zetten (van laag naar hoog):
Sharon Jan Roy Mieke Sjaak Wendy Evelien Karel 0,084 0,092 0,096 0,097 0,098 0,099 0,100 0,101 De uitkomst van Sharon (0,084) is verdacht.
We gaan Q berekenen:
Verdachte waarde: 0,084 Naastliggende waarde: 0,092 Spreiding: 0,101-0,084 =0,017 Qberekend = 0,47
We kijken in de tabel bij 8 waarnemingen en 95% betrouwbaarheid: Qtabel= 0,52 Conclusie: Qberekend < Qtabel.
Er is dus NIET aangetoond dat de waarde van Sharon een uitschieter is.
4
Oefensommen 3.1 (Q-test)
Ga uit van 95% betrouwbaarheid
a. Ga na of zich tussen de volgende waarden een uitschieter bevindt.
7,12 7,11 7,10 7,21 7,10 7,11 7,10 7,11 7,12
b. Ga na of zich tussen de volgende waarden een uitschieter bevindt.
7,12 7,11 7,10 7,21 7,10 7,16 7,10 7,11 7,12
5
3.2 Dichtheid van vaste stoffen en vloeistoffen
3.2.1. Definitie: Dichtheid
Met dichtheid wordt bedoeld: de massa per volume-eenheid.
Formule:
V
= m ρ
ρ : (spreek uit: ro) dichtheid (in kg.m-3) m : massa (in kg)
V : volume (in m3)
Volume wordt soms aangeduid met „inhoud“.
Dichtheidswaarden van metalen, legeringen, vaste stoffen, vloeistoffen en gassen/dampen staan in BINAS Tabel 8 t/m 12.
Massa wordt bepaald op een analytische balans of een bovenweger.
Oefensom 3.2.1.
V
= m ρ
a. Schrijf de formule in de vorm m =
b. Schrijf de formule in de vorm V =
6
3.2.2. De dichtheid van vaste stoffen
Bij regelmatig gevormde voorwerpen kan na opmeten het volume worden berekend.
Bij een blok:
h b l Vblok = ⋅ ⋅
l: lengte, b: breedte, h: hoogte Bij een cilinder:
..
14159 , 4 3
1 2
=
⋅
⋅
= π d h π
Vcilinder
d: diameter, h: hoogte Bij een bol:
3
6
1 d
Vbol = π⋅
Bij onregelmatig gevormde voorwerpen kan het volume bepaald worden door onderdompeling in een vloeistof die in een maatcilinder zit.
De stijging van het vloeistofniveau is dan gelijk aan het volume.
7
3.2.2. Oefensommen dichtheid vaste stoffen
1. Bereken het volume van de volgende voorwerpen. Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie in het juiste aantal cijfers.
a. Een cilinder met diameter 2,30 cm en hoogte 3,19 cm b. Een blok van 3,0 x 3,0 x 5,0 m
c. Een bolletje met diameter 5,32 mm
2. Een aluminium kubus heeft een zijde van 4,95 cm. Bereken de massa. Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie in het juiste aantal cijfers.
3. Een cilinder heeft een massa van 7,34 kg. De hoogte is 12,3 cm en de diameter bedraagt 8,2 cm.
a. Bereken de dichtheid van de cilinder.
b. Van welke metaal zou de cilinder gemaakt kunnen zijn?
4. Een student gaat de dichtheid van een metalen moer bepalen.
Hij weegt eerst een maatcilinder met 83 ml water: 133,2 g.
Vervolgens weegt hij de moer: 32,4 g.
Tenslotte doet hij de moer in de maatcilinder en leest het waterniveau af: 86 ml.
a. Bereken het volume van de moer.
b. Bereken de dichtheid van de moer.
Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie in het juiste aantal cijfers.
8
3.2.3. De dichtheid van vloeistoffen
Bij een vloeistof bepaal je het volume in een maatcilinder (of nog preciezer: in een maatkolf). De massa van de vloeistof kan worden gevonden door de maatcilinder leeg en vol te wegen.
De vloeistof massa bereken je dan met:
m vloeistof = m maatcilinder gevuld – m maatcilinder leeg Bedenk hierbij dat geldt: 1 ml = 1 cm3.
De dichtheid hangt af van de temperatuur.
De meeste stoffen zetten uit bij temperatuurstijging.
Met andere woorden: het volume neemt toe.
Als gevolg hiervan zal de dichtheid afnemen.
Water gedraagt zich abnormaal:
Van 0 tot 4 °C stijgt de dichtheid van water.
Zie onderstaande figuur.
9
Oefensom 3.2.3 dichtheid van vloeistoffen
Een student gaat de dichtheid van een vloeistof bepalen.
Hij weegt eerst een lege maatkolf: 31,236 g.
Vervolgens weegt hij de maatkolf gevuld met 100,0 ml vloeistof: 115,241 g.
a. Bereken de dichtheid van de vloeistof.
b. Welke vloeistof zou het kunnen zijn?
10
3.2.4. De pyknometer
Een pyknometer is een flesje dat wordt afgesloten door een capillair.
We gebruiken de pyknometer om de dichtheid van een vloeistof te bepalen.
In een pyknometer wordt altijd een vast volume afgemeten.
Daar zorgt het capillair voor: De pyknometer is vol als het capillair vol is (holle meniscus).
De pyknometer moet eerst worden gekalibreerd: Welk volume zit erin als hij vol is?
We bepalen eerst de massa van het water dat in de pyknometer kan:
leeg water
vol massapyknometer pyknometer
massa water
massa = −
Met de formule hieronder bereken je het volume van de pyknometer:
dichtheidwater water massa Vpyknometer =
De dichtheid van water zoeken we op in de tabel (zie volgende pagina).
Als we de temperatuur op 0,1 °C kunnen meten moet je interpoleren.
Interpoleren is het berekenen van een tussenliggende waarde (zie volgende pagina).
Daarna wordt de pyknometer gedroogd en gevuld met de vloeistof waarvan we de dichtheid willen bepalen.
Eerst bepalen we de massa van de vloeistof die in de pyknometer zit.
leeg vloeistof
vol massapyknometer pyknometer
massa vloeistof
massa = − .
De dichtheid vinden we met:
pyknometer volume
vloeistof massa
vloeistof
dichtheid =
11
Interpoleren:
Iemand meet de temperatuur van water: 18,3 °C.
Welke dichtheid hoort daarbij?
Je rekent eerst het dichtheidsverschil per graad:
0,99862-0,98843=0,00019
Per 0,3 °C is het verschil 0,3*0,00019 =0,000057
Dit bedrag moet je aftrekken van de waarde die bij 18°C hoort.
Dichtheid bij 18,3 °C is: 0,99862-0,000057=0,99856 g.cm-3
t dichtheid (graden
C)
g/cm3
15 0,99913 16 0,99897 17 0,99880 18 0,99862 19 0,99843 20 0,99823 21 0,99802 22 0,99780 23 0,99757 24 0,99733 25 0,99707
12
3.2.4 Oefensommen dichtheid van vloeistoffen, pyknometer en interpoleren
1. Een maatcilinder heeft massa 132,5 g als hij leeg is.
Gevuld met 75 ml van een vloeistof bedraagt de massa 186,6 g.
a. Bepaal de massa van de vloeistof.
b. Bepaal de dichtheid van de vloeistof (let op afronden).
c. Welke vloeistof zou het kunnen zijn?
2. Een pyknometer heeft als hij leeg is een massa van 54,16 g.
De pyknometer wordt gevuld met water van 20,6 °C.
De massa bedraagt dan 154,00 g.
Vervolgens wordt de pyknometer gedroogd en gevuld met spiritus.
De massa is dan 129,03 g.
a. Bepaal door interpoleren de dichtheid van water bij 20,6 °C.
b. Bereken het volume van de pyknometer (let op afronden).
c. Bereken de dichtheid va spiritus (let op afronden).
3. Iemand wil de dichtheid van aceton bepalen.
Hij meet een lege pyknometer: 39,22 g.
Gevuld met water van 20,3 °C weegt de pyknometer 138,98 g.
Gevuld met aceton weegt de pyknometer 119,86 g.
a. Bepaal de dichtheid van water bij 20,3 °C.
b. Bereken het volume van de pyknometer (denk aan afronden).
c. Bereken de dichtheid van aceton en rond je antwoord op de juiste wijze af.
t dichtheid (graden C) g/cm3
15 0,99913 16 0,99897 17 0,99880 18 0,99862 19 0,99843 20 0,99823 21 0,99802 22 0,99780 23 0,99757 24 0,99733 25 0,99707
13
3.4 Gemiddelde en standaarddeviatie
3.4.1. Gemiddelde en standaarddeviatie van meetwaarden.
Hieronder zie je twee getallenseries die hetzelfde gemiddelde (14) hebben.
Toch zijn de series totaal verschillend.
Met de standaarddeviatie wordt aangeduid hoe ver de waarden gemiddeld van het gemiddelde afliggen.
serie 1 serie 2
x x
12 13,6 13 13,9
14 14
15 14,1 16 14,4
aantal 5 5
som 70 70
gemiddelde 14 14
standaarddeviatie 1,6 0,29
x en s
14
Hieronder is een berekening van de standaarddeviatie van serie 1 voorgedaan.
Formule:
Het ∑-teken geeft aan: alles optellen, ook wel genoemd: de som.
n is het aantal waarden.
Berekening: x x-xgem (x-xgem)2
12 -2 4
13 -1 1
14 0 0
15 1 1
16 2 4
∑ (som) 10 som/(aantal-1) 2,5
wortel 1,581139
1 )
(
2−
= ∑ − n
x
s x
15
3.4.1. Oefensommen gemiddelde en standaarddeviatie.
1. Bereken zelf de standaarddeviatie van serie 2.
x x-xgem (x-xgem)2
13,6 13,9 14 14,1 14,4
som:
som/(aantal-1):
wortel:
2. Bereken van de volgende vier series het gemiddelde en de standaarddeviatie:
a. 9 7 5 6 4 6 5
b. 6,25 6,17 6,30
c. 34 34 34 34
d. 63
16
3.4.2. Gemiddelde en standaarddeviatie op de rekenmachine Casio fx-82 MS
<mode> 2
1ste waarde intypen
<M+>
2de waarde intypen
<M+>
. . .
Laatste waarde intypen
<M+>
Opmerking:
Je ziet steeds staan hoeveel waarden ingevoerd zijn.
Bijvoorbeeld n=3
<Shift> 2
1 < = > geeft het gemiddelde
<Shift> 2
3 < = > geeft de standaarddeviatie Opmerking:
Nooit gebruiken <Shift> 2 gevolgd door 2 Testen:
Drie getallen 4
5 6
Het aantal is 3 Het gemiddelde is 5 De standaarddeviatie is 1
17 TI 36X
<2nd> <DATA>
< = >
<DATA>
1ste waarde intypen
<↓> <↓>
2de waarde intypen
<↓> <↓>
. . .
Laatste waarde intypen
<↓> <↓>
<STATVAR>
< → >
n: aantal waarden
x
: gemiddeldeSx: standaarddeviatie Nooit gebruiken: σ x
Testen:
Drie getallen 4
5 6
Het aantal is 3 Het gemiddelde is 5 De standaarddeviatie is 1
18 TI-30XB
<DATA>
Waarden intypen gevolgd door <enter>
Na de laatste typ je <2nd><DATA>
Druk vier maal op <ENTER>
Achter 1: zie je het aantal waarden (n) Achter 2: zie je het gemiddelde( x )
Achter 3: zie je de standaarddeviatie (Sx)
Testen:
Drie getallen 4
5 6
Het aantal is 3 Het gemiddelde is 5 De standaarddeviatie is 1
19
Ti-84 Plus
1 druk op stat 2 kies edit
3 voer gegevens in met enter 4 druk op stat
5 ga naar de 2de tabel calc 6 kies 1-Var stats
7 druk op enter
Je hebt nu de standaarddeviatie en de andere gegevens voor het invullen van de formule voor de standaarddeviatie.
-
X = gemiddelde S= standaarddeviatie Testen:
Drie getallen 4
5 6
Het aantal is 3 Het gemiddelde is 5 De standaarddeviatie is 1
20
3.5. Het betrouwbaarheidsinterval (b.i.) Voorbeeld:
Een pH-meting wordt 5 maal uitgevoerd.
Uitkomsten:
6,87 6,79 6,82 6,84 6,87
De verschillen worden veroorzaakt door toevallige fouten.
We willen op grond van deze metingen een voorspelling doen van de
“werkelijke waarde”: μ (spreek uit: mu)
Het betrouwbaarheidsinterval geeft aan tussen welke uitersten de “werkelijke waarde” waarschijnlijk zal zitten.
Het betrouwbaarheidsinterval wordt berekend met:
De “werkelijke waarde” zal liggen tussen:
• n is het aantal metingen.
• de t-waarde lees je af uit de tabel (zie volgende pagina),
• het aantal vrijheidsgraden = n-1 en
• s is de standaarddeviatie
n s t ⋅
±
6,78 6,79 6,8 6,81 6,82 6,83 6,84 6,85 6,86 6,87 6,88 6,89
+ ⋅
n s x t
− ⋅ n
s
x t en
Het gemiddelde is x=6,84 en de standaarddeviatie: s= 0,034
21
Je vindt voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval in ons voorbeeld:
(s = 0,034)
Dit betekent het volgende:
We weten voor 95% zeker dat voor de werkelijke waarde van de pH geldt:
6,84 ± 0,04 dus tussen 6,80 en 6,88 (in 95 van de honderd gevallen klopt dit)
Tabel van t-waarden aantal
vrijheids- graden
90% 95% 99%
1 6.31 12.71 63.7 2 2.92 4.30 9.92 3 2.35 3.18 5.84 4 2.13 2.78 4.60 5 2.02 2.57 4.03 6 1.94 2.45 3.71 7 1.90 2.36 3.50 8 1.86 2.31 3.36 9 1.83 2.26 3.25 10 1.81 2.20 3.11 11 1.80 2.19 3.09 12 1.78 2.18 3.06 13 1.77 2.16 3.01 14 1.76 2.14 2.98
∞ 1.64 1.96 2.58 042 , 0 5
034 , 0 78 ,
2 ⋅ =±
±
Opmerking:
Indien bij opgaven geen
betrouwbaarheidspercentage is gegeven, neem je hiervoor 95%.
22
3.5 Oefensommen betrouwbaarheidsinterval.
1. Bereken van de metingen van het voorbeeld uit 3.5 het 90 en 99%- betrouwbaarheidsinterval.
Vul onderstaande tabel verder in:
betrouwbaarheids- percentage
90 % 95 % 99%
t-waarde bij 4 vrijheidsgraden
2.78 Betrouwbaarheids
interval
± 0,042
2. Vier metingen van de pH van een bufferoplossing geven de volgende resultaten:
5,12 5,20 5,15 5,17
Bereken het 95 %-betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde.
3. Een laboratoriumchef wil weten of een nieuwe methode de juiste resultaten geeft.
Hij maakt een monster van 10,2 mmol.L-1. Hij laat 6 metingen doen.
De nieuwe methode geeft de volgende resultaten:
10,4 10,4 10,6 10,3 10,5 10,5 mmol.L-1.
a) Bereken het gemiddelde, de standaarddeviatie en het 95 %- betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde.
b) Valt de echte monsterwaarde binnen of buiten het 95%-betrouwbaarheidsge- bied?
4. Rechts zie je 6 pH-meetwaarden.
Bereken het gemiddelde, de standaarddeviatie en het 95% b.i.
4,76 4,72 4,86 4,88 4,67 4,51
23
5. Metingen vergelijken.
De concentratie NaOH in mol per liter kan met twee methodes worden bepaald.
Hieronder zie je de resultaten.
Methode 1 Methode 2
0,0956 0,0967
0,0957 0,0965
0,0959 0,0961
0,0960 0,0966
0,0958 0,0964
0,0963
Bepaal van beide methode het gemiddelde, de standaarddeviatie en het betrouwbaarheidsinterval (95%).
Ga na of de uitkomsten van de twee methodes met elkaar kloppen; overlappen de betrouwbaarheidsintervallen elkaar?
24
3.6 Extra oefensommen Hoofdstuk 3 𝜌𝜌 =𝑚𝑚
𝑉𝑉 h
b l Vblok = ⋅ ⋅
..
14159 , 4 3
1 ⋅ 2 ⋅ =
= π d h π
Vcilinder
3
6
1 d
Vbol = π⋅
1. Een ijzeren staaf heeft een diameter van 2,3 cm.
a. Zoek de dichtheid van ijzer op en reken deze om naar g/cm3.
b. Iemand zaagt een stuk van 3,0 cm af. Bereken de massa van het afgezaagde stuk.
c. Welke lengte moet worden afgezaagd om een massa van precies 100,0 g te krijgen?
2. Een aluminium blok is 3,0 cm hoog en heeft een vierkante bodem.
De massa is 16,2 g.
a. Bereken het Volume.
b. Bereken zijde z.
3. De massa van de cilinder met inhoud is links 138 g en rechts 149 g.
De schaalverdeling op de maatcilinder geeft ml aan.
Bereken de dichtheid van het voorwerp in de rechtercilinder.
Correct afronden.
z
25
4. Een pyknometer weegt leeg 51,42 g.
Gevuld met water van 18,8 °C is de massa 149,98 g.
Gevuld met olie is de massa 134,17 g.
Bereken de dichtheid van de olie.
5. Sinaasappels hebben de vorm van een bol.
Zonder schil is de diameter gemiddeld 7,0 cm.
Neem aan dat binnen de schil 100% sap zit.
Hoeveel van deze sinaasappels zijn nodig voor 1 liter sap?
6. Een koperen kabel is 12 km lang.
De diameter van de kabel is 1,8 cm.
Bereken de massa van deze kabel.
t Dichtheid
water
(graden C) g/cm3
15 0,99913
16 0,99897
17 0,99880
18 0,99862
19 0,99843
20 0,99823
21 0,99802
22 0,99780
23 0,99757
24 0,99733
25 0,99707
26
7. Een lege olijfoliefles weegt 115,5 gram.
Een volle fles weegt 184,4 gram.
Bereken de inhoud van de fles.
8. Een koning wil weten of zijn “gouden” kroon echt van goud is.
Hij laat de massa bepalen: 6,93 kg.
Als hij de kroon in een maatcilinder laat zakken stijgt het vloeistofniveau van 432 ml tot 791 ml.
a. Is de kroon van goud?
b. Welke vloeistof is voor deze bepaling ongeschikt?
9a. Q-test.
Hier zie je een aantal concentraties. Ga na of er een uitschieter tussen zit (95%
betrouwbaarheid).
0,0994 0,0996 0,0899 0,1000 0,0999 9b. Gemiddelde, standaarddeviatie en betrouwbaarheidsinterval.
Hier zie je een aantal concentraties.
Bepaal het gemiddelde, de standaarddeviatie en het 95%-betrouwbaarheidsinterval.
0,0994 0,0996 0,0998 0,1000 0,0999
10. Een laborant heeft de pH van een oplossing 10 maal bepaald.
a. Ga na of er een uitschieter tussen deze waarden zit. Als dat zo is moet je deze verwijderen
b. Bereken het gemiddelde c. Bereken de standaarddeviatie
d. Bereken het 95% betrouwbaarheidsinterval
e. Tussen welke waarden ligt de pH (met 95% betrouwbaarheid)?
5,54 5,56 5,49 5,50 5,57 5,71 5,60 5,55 5,59 5,58
27
4.1 Lettersommen
4.1.1. Lettersommen: Optellen en Aftrekken
+ = 2
a+a=2a
+ + + = 4
a+a+a+a=4a
+ + - = 2
3a – a = 2a
Bij elkaar nemen?
+ =
p + a =…………
b :
Voorbeeld: Vereenvoudig 2a + 3p + b – p + 3a + 2b = 5a + 3b +2p
Losse cijfers kan je voorstellen als €.
Zes appels en twee peren en €8.
De lettersom is dan: 6a +2p+8
4.1.1 Oefensommen lettersommen optellen en aftrekken.
Neem bij elkaar wat bij elkaar kan:
a. b + 2p - 5b + 2a – 11 + 2b – 3 + a – p = b. 3a - 2b + 6 + b – 3 + a – p + 2p + 4b =
28
4.1.2 Lettersommen: Vermenigvuldigen
Het oppervlak van een rechthoek bereken je met:
Oppervlak = lengte*breedte
Als lettersom wordt dit:
A = l * b Anders geschreven:
A = l · b Of:
A = l b
Als we een vierkant hebben met zijde z
Krijg je A = z· z= z2
Let op: z+z2 mag je niet samen nemen!
Voorbeeld:
a+3p-b2+b+3ab-2p+3b2+4b=
a+3p-b2+b+3ab-2p+3b2+4b=
a+p+2b2+5b
4.1.2. Oefensommen lettersommen vermenigvuldigen.
a. 2a + b2 – ap + a2 – b + 3a - 2b2 + a2 = b. 3b - b2 + 4a + 2a2 + b + 3a2 - 4b=
c. Bereken de totale oppervlakte van deze figuur (geef het antwoord in letters):
Oppervlak: A (area)
b
l
29
Belangrijke regels om te onthouden over lettersommen:
1. Optellen en aftrekken van 2 verschillende letters gaat niet, dus:
a + b blijft a + b
2. Vermenigvuldigen en delen van 2 verschillende letters gaat wel, dus:
a * b = ab ab * c = abc a:b = a/b
3. Vermenigvuldigen van dezelfde letters wordt kwadraat, dus : a * a = a2
a2 * a = a3
4. Optellen en aftrekken van letters met verschillende machten gaat niet, dus:
z + z2 blijft z + z2
5. Bij het optellen van letters maakt het niet uit in welke volgorde ze staan, dus:
ab + ba = 2ab (of 2ba)
6. En verder:
(-q)2 = q2 p * (-p) = -p2 –(p)2 = -p2
30
4.1.3. Lettersommen vereenvoudigen.
4.1.3. Oefensommen lettersommen vereenvoudigen.
=
− + + +
−
= + +
− +
=
− + +
−
− +
= +
− + +
− +
a ab a b ab a
p q p p
p
c c b a
a c
a b b c c b a
2 4
2 3
2 3
3 3
1 4
2
2
3 2
3
2 2
2
2 2
=
− + +
−
=
− +
+
−
= +
−
− +
=
−
−
− + +
= + +
+ +
−
2 2
2
3 6
2 3 4
5 4
3
6 2
5 4
7 5 2
4 5
ab b a
b ba a
ab b
a a
a
a b a b
a
x s xy
x
s
31
4.1.4. Lettersommen: haakjes wegwerken
Haakjes wegwerken en (indien mogelijk) vereenvoudigen.
Voorbeeld : 3(p - 6) = 3p – 3 . 6 = 3p - 18
4.1.4. Oefensommen lettersommen haakjes wegwerken (deel 1)
1.) 2(a + 3) = 2.) a(b - 2) + 3a = 3.) 2a(a - b) =
4.) 2(a + b) + a(3 + b) = 5.) p(p + q) + q(p - q) = 6.) p(p + q) - q(p - q) =
Voorbeelden:
(a +b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
(a + b)(c - d) = ac - ad + bc – bd
32
4.1.4. Oefensommen lettersommen haakjes wegwerken (deel 2) 7.) (a + 6)(b - 3) =
8.) (a + b)(c + a) = 9.) (b + d)(p - b) =
10.) (a +b)2 = (a + b)(a + b) = 11.) (a - b)2 =
12.) (a - b)(a + b) =
13.) p(p + s) + p2 – ps + p=
14.) a(a + b) - b(a - b) =
15.) x(x + 3) - 3(x + 2) = 16.) c(a + b) - a(b - c) =
17.) 4(x - 6) - 2(3x + 8) = 18.) 2a(3a - 5b) =
33
4.2 Weegschaalmethode
De Weegschaalmethode (ofwel Balansmethode) wordt gebruikt om een vergelijking met één onbekende (x) op te lossen.
Bijvoorbeeld 2x = 4, dan is x = ....
Je gaat te werk zoals op een balans:
Doe links en rechts van het =teken steeds hetzelfde.
Stappenplan weegschaalmethode:
1. Haakjes weg (indien nodig) 2. Alle letters links van = 3. Alle getallen rechts van = Voorbeelden:
1. x+3 = 15
Links en rechts min 3 x+3 -3 = 15 -3
x=12
2. 5*x = 15
Links en rechts delen door 5 (5*x)/5 = 15/5
x = 3 3. 3x-5 = 7
Links en rechts plus 5 3x-5 +5 = 7+5
3x=12
Links en rechts delen door 3 3x/3 = 12/3
x=4
4. 4x-5 =3x-2
Links en rechts min 3x 4x-5-3x =3x-2-3x x-5=-;2
Links en rechts plus 5 x-5+5=-2+5
x = 3
34
4.2.1. Oefenen met de weegschaalmethode
Los x op:
a. 2x + 3 = 15 b. 3x – 4 = 23 c. 2x – 6 = x + 1
d. 5x + 3 = 2x
e. 2x - 4 = 2 + 5x
f. 2 - 3x = 5x – 10
g. 1½x + 2 = 1/3x + 1
35
Vervolg weegschaalmethode: soms moet je eerst haakjes wegwerken!
Haakjes wegwerken en indien nodig vereenvoudigen, Bijvoorbeeld:
3 (p – 6) = 3p – 3 * 6 = 3p – 18
4.2.2. Oefenen met de weegschaalmethode met haakjes.
Los x op uit:
a. 3(x-2) = 2 b. 2(x+1) = x+3
c. 3(2-x) = 12
d. 4(2x+1) = 7x-5
e. 2(x-3) + 3(x-2) = 5
f. 3(4-2x) = 2(5x+1) + 28
g. 3(4x-2) + x – 4 = 3x + 6 + 2(3-2x)
h. 3x - 2(2-x) = 5 – 7x
i. 2(x-3) – 3(x-2) = x-3(x-1)
j. ½(x+1) = 3½ + 2x
k. ½ (3-2x) + x = 2½ (x-2) + 2
l. (x+1)(x-2) = x2-2x+8
36
4.3 Formules omschrijven
Nu je geleerd hebt hoe je lettersommen moet maken, en hoe je de
weegschaalmethode moet toepassen, kun je ook formules die je gebruikt in je opleiding of later in je vak, omschrijven.
Het omschrijven van formules is nodig als je de formule wel kent, je één onbekende hebt, maar de formule nog niet staat in de vorm waarin je de oplossing kunt vinden.
Bijvoorbeeld, je hebt de formule: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑ℎ𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑑𝑑𝑑𝑑 =𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑚𝑚𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ofwel 𝜌𝜌 =𝑚𝑚𝑉𝑉
Je weet dat de massa van een staaf ijzer 0,84 kg is en dat de dichtheid van ijzer 7,87*103 kg.m-3 is. Je kunt dan niet zomaar het Volume uitrekenen. Hiervoor moet je eerste de formule omschrijven.
Voor het omschrijven van formules gebruik je hetzelfde principe als bij de weegschaalmethode: je doet links en rechts van het =teken hetzelfde.
Je gaat eerst links en rechts van het =teken vermenigvuldigen met V.
Je krijgt dan: 𝜌𝜌. 𝑉𝑉 = 𝑚𝑚𝑉𝑉 ∗ 𝑉𝑉 =𝑚𝑚𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝑚𝑚
Vervolgens moet je V ‘vrijmaken’ om een formule te krijgen waarmee je V uit kunt rekenen. Dit doe je door links en rechts van het =teken te delen door ρ.
Je krijgt dan: 𝜌𝜌.𝑉𝑉
𝜌𝜌 = 𝑚𝑚𝜌𝜌 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑉𝑉 =𝑚𝑚𝜌𝜌
Nu kun je met de gegevens over de staaf ijzer het Volume uitrekenen:
𝑉𝑉 = 0,84
7,87 ∗ 103 = (1,07 ∗ 10−4) 𝑚𝑚−3
37
4.3 Oefensommen formules omschrijven 1. De formule voor gaswet is: p.V = n.R.T
a. Schrijf de formule in de vorm p = b. Schrijf de formule in de vorm T = c. Schrijf de formule in de vorm n =
2. De formule voor soortelijke warmte is: Q = c.m.(t2-t1) a. Schrijf de formule in de vorm c =
b. Schrijf de formule in de vorm m = c. Schrijf de formule in de vorm t1 = d. Schrijf de formule in de vorm t2 =
e. Gegeven Q= 4,2.103 J ; m=3,1 kg ; c = 2,4.103 J.kg-1.K-1 ; t1 = 298,15 K Bereken t2.
3. De formule voor de relatie tussen het massa% suiker (x) en de brekingsindex (y) is: y=0,0014x+1,3329
a. Schrijf de formule in de vorm x =
b. Je hebt een monster met een suikeroplossing waarvan de brekingsindex gelijk is aan 1,346. Wat is het massa% suiker in dit monster?
38
4.4 Logaritme
Bij Logaritmes (afgekort: log) ga je “op zoek naar de macht”
We behandelen hier logaritmen met grondtal 10 Probeer de volgende problemen eens op te lossen.
Vul de macht van 10 in:
100 = 10….
10000 = 10….
10 = 10….
1 = 10….
0,1 = 10….
0,01 = 10….
De gevraagde exponenten (machten) zijn ook m.b.v. je rekenmachine te bepalen.
Je gebruikt de [log] toets:
log 100 =2 log 1000 =3
Eigenlijk moet er staan 10 log 100 = 2. Dit betekent: 10 2 = 100
De betekenis van log (logaritme): g log a = x betekent: g x = a
we noemen:
g: het grondtal a: het argument
x :de exponent
39
Zo kan je de exponent van 10 berekenen die 12 oplevert, dus 10…. = 12 berekenen:
10 log 12 = 1,079181 dus 101,079181 = 12
Logaritme is de macht van een grondtal die een bepaald ander getal oplevert.
Het is een soort omgekeerde berekening van machtsverheffen.
De 10 log wordt o.a. gebruikt bij het begrip pH.
40
4.4. Oefensommen logaritme 1. 10 log 21 =1,322
a. Hoe wordt 10 genoemd?
b. Hoe wordt 21 genoemd?
c. Hoe wordt 1,322 genoemd?
2. Bereken de volgende logaritmen:
a. log 5,6 = b. log 141 = c. log 0,022 = d. log 1 = e. log –21 =
3. Bereken de volgende machten:
a. 10 3 = b. 10 2,21 = c. 10 –1,5 = d. 10 0 =
41 4.5 pH
Jullie kennen het begrip pH als een maat voor de zuurgraad van een oplossing.
De pH zegt iets over de concentratie H+-ionen in een oplossing.
Definitie: pH = -log [H+]
[H+] is de concentratie van de H+ ionen uitgedrukt in mol per liter.
Voorbeeld 1
Er is 0,0028 mol HCl opgelost in 1 liter water.
De pH van de oplossing bedraagt dan:
pH = -log [H+]
pH= - log(0,0028) pH= 2,6
Ook de omgekeerde berekening is belangrijk.
Je gebruikt hierbij: g log a = x betekent: a = g x dus: log [H+] = -pH en dus: [H+] = 10-pH
Voorbeeld 2
De pH van een oplossing is 4,1.
Bereken de concentratie van de H+ ionen in mmol.L-1 pH = -log [H+]
4,1 = - log [H+]
[H+] = 10 –4,1 = 0,000079 mol.L-1 = 0,079 mmol.L-1
42
4.5 Oefensommen pH
1. De H+-concentratie van een HCl-oplossing is 0,0056 mol.L-1 Bereken de pH.
2. Van een HCL-oplossing is de concentratie 0,3 mmol.L-1 a. Bereken de H+-concentratie in mol.L-1
b. Bereken de pH van de oplossing.
3. Bereken de H+-concentratie van de oplossingen met de volgende pH:
pH [H+] (in mol.L-1) 6,1
5,1 2,1
43
4.6 Extra oefensommen Hoofdstuk 4
1. Balansmethode, los x op uit:
3x - 1 = 9 - 2x 3 (2 - 3x) = 4 + x 4 (1 + x) = 2 (3 - 2x)
½ (x-1) + 2x = 1/3 (2x + 2)
2. Werk de haakjes weg en vereenvoudig (indien mogelijk):
(a-b)2=
3(a-2)+a(c+2)=
(x-y)(b-a)+3x(a-b) =
3. Formules omschrijven:
ρ = m/V, dus m = pV = nRT, dus T = E = ab + c, dus c =
4. Bereken:
Log 10 = …… → dat betekent: 10….. = …..
Log 95 = …… → dat betekent: 10….. = …..
Log 0,05 = …… → dat betekent: 10….. = …..
44
5. Vul de juiste macht van 10 in:
2 = 10…..
56,81 = 10…..
0,0310 = 10…..
6. Van een HCl-oplossing is de concentratie 0,028 mol per liter. Bereken de pH de oplossing.
7. De pH van een HCl oplossing is 1,12. Bereken de [H+] (in mol per liter).
45
4.7 Oefentoets Hoofdstuk 3 en 4 (3 pagina’s)
46
47
