1
Exact periode 1.2
%
2
Rekenen met procenten (%)..
Pro-cent betekent eigenlijk “per honderd”.
8% van 15,6 wordt dus
Schrijf als breuk.
10%=
50%=
25%=
37%=
12,5%=
3
Bij procentensommen is het handig om te werken met “de factor”
Zie hiervoor de powerpoint:06a Rekenen met procenten
Oefenen
1. Heliumgas kost € 3,00 per liter. De prijs stijgt met 15%. Bereken de nieuwe prijs.
2. Heliumgas kost € 3,00 per liter. De prijs daalt met 6%. Bereken de nieuwe prijs.
3. Heliumgas kost € 3,00 per liter. De prijs wordt verhoogd tot € 3,20. Hoeveel % bedraagt de prijsstijging?
4. Heliumgas kost € 3,00 per liter. De prijs wordt verlaagd tot € 2,85. Hoeveel % bedraagt de prijsverlaging?
5. De prijs van heliumgas is verhoogd met 10%. Na de verhoging kost het € 3,00 per liter. Bereken de prijs voor de verhoging.
6. De prijs van heliumgas is verlaagd met 10%. Na de verlaging kost het € 3,00 per liter. Bereken de prijs voor de verlaging.
4
Duplo’s
Een duplo doen betekent: de meting herhalen ter controle. De onderlinge afwijking mag dan (bijvoorbeeld) maximaal 0,5% zijn. Als het meer is wordt een derde maal gemeten.
Formule:
De verticale strepen geven aan dat van meetwaarde - duplo de absolute waarde moet worden genomen.
Dit betekent: De uitkomst moet positief worden (of nul)
7. Iemand meet een hoeveelheid NaCl twee maal.
Meetwaarde 3,090 g Duplo 3,088 g
Bereken de procentuele afwijking.
8. Iemand meet 2,01 g/ml en doet een duplo 1,99 g/ml. Valt de afwijking binnen de norm van 0,5%?
9. Iemand meet 2,01 g/ml. De norm van %-afwijking is 0,5%. Bereken de hoogste en laagste waarde die nog net binnen de norm vallen.
5
Extra Oefensommen procenten
10.
IJzer kost € 2,34 per kg.
De prijs stijgt eerst met 5% en daarna met 6%. Bereken de eindprijs.
11.
Iemand heeft € 49 euro op de bankrekening.
De rente bedraagt 3,74% per jaar Bereken het bedrag na 10 jaar.
12. Kees wordt bij z’n baas geroepen. De baas zegt: “ je gaat 15% minder verdienen.”
Meteen daarna zegt z’n baas. “Ik heb er spijt van, je krijgt er 15% bij. “ Verdient Kees nu weer hetzelfde als voor de gesprekken met z’n baas?
13.
Geconcentreerd zwavelzuur kost €18,00 per liter De prijs daalt tot € 16,90
Bereken de prijsdaling in %
6 14.
Geconcentreerd zwavelzuur kost €18,00 per liter De prijs daalt met 8 %
Bereken de nieuwe prijs.
15.
De prijs van geconcentreerd zwavelzuur is met 3,5% gedaald.
Na de prijsdaling kost 1 liter €17,30
Bereken wat de prijs was voor de prijsdaling.
7 16.
Iemand wil weten hoeveel % water in halvarine zit.
Hij weegt een leeg bakje : m b =52,21 g
Hij doet halvarine in het bakje en weegt opnieuw:m b+h= 73,88 g
Hij verhit het bakje met inhoud totdat al het water is verdampt.
Hij weegt opnieuw: m b+h-w 65,25 g.
Bereken hieruit het massapercentage water in halvarine.
(Tip: Bedenk eerst de formule)
17. *100%
meetwaarde duplo meetwaarde
percentage afwijkings
onderling
De uitkomst van een concentratiebepaling is 12,6 mmol/l Er wordt een duplobepaling gedaan: 13,0 mmol/l
Bereken de procentuele afwijking.
Link procenten
8
Exponentiele groei en rente
1. Exponentiele groei.
Bij veel processen is er sprake van groei. Denk aan bacteriën die zich vermenigvuldigen en denk aan spaargeld dat door rente steeds meer wordt.
De groei wordt exponentieel genoemd als de tijd (t) in de exponent (van de macht) staat.
Als groei exponentieel is, zal er telkens in een bepaalde tijd verdubbeling zijn.
De grafiek vertoont een lijn die steeds steiler gaat lopen.
Stel een bacterie heeft 1s nodig om te delen.
We beginnen met 1 bacterie.
Na 8s zijn er dan 256 bacteriën.
De formule wordt
Hierbij is T2 de tijd waarin het aantal bacteriën verdubbelt.
9
Oefenen
1.
We beginnen met 1,0 .103 bacteriën. Een bacterie heeft 12 s nodig om te delen.
Hoeveel bacteriën zijn en na 8,0 minuten?
2. Een aantal gistcellen groeit volgens
Aantal gistcellen = 4,6.103 *2 t/5 (tijd in minuten)
a. Hoeveel gistcellen zijn er op tijdstip t =0 s ? b. In hoeveel tijd verdubbelt het aantal gistcellen?
c. Hoeveel bacteriën zijn er na een half uur?
10
2. Rente
Ook bij uitbetalen van rente hebben we te maken met groei.
Als de rente een vast percentage per jaar is, komt er per jaar steeds meer bij!
Het bedrag groeit jaarlijks en dus wordt van een steeds groter bedrag het percentage genomen.
Als je € 100 euro tegen 4,5% “wegzet” heb je na 50 jaar: €903.
Je vindt dit bedrag door de factor te berekenen waarmee het bedrag elk jaar wordt vermenigvuldigd.
Bij 4,5% is die factor 1,045
€100 wordt na 1 jaar 104,5 euro want er komt €4,5 bij.
De factor is dan 1,045 want €100*1,045=€104,5.
Elk jaar wordt het bedrag opnieuw met dit bedrag vermenigvuldigd.
Bedrag = beginbedrag * factor
tijdZo kom je op €903 na 50 jaar.
11
Oefenen:
3.
Iemand heeft €1250 op een bankrekening.
De rente is 3,25% per jaar.
Bereken het totale bedrag na 30 jaar.
Afronden op hele euro’s
4.
Teken in Excel de groeigrafiek van het voorbeeld op pagina 1 Lees uit de grafiek af na hoeveel tijd het aantal bacteriën 200 is
5.
Teken in excel de groeigrafiek van het voorbeeld op pagina 3.
Lees uit de grafiek af na hoeveel tijd het bedrag is verdubbeld.
12
Exponentiële afname.
Als een waarde afneemt, kan de afname exponentieel zijn.
Net als bij exponentiële groei betekent dit dat de tijd t in de exponent van de macht staat.
Maar de exponent is negatief!
Laten we als voorbeeld nemen: de afname van de hoogte ht van de schuimkraag op een glas pils.
Formule: 0
2
T1/2t
t
h
h
h0 is de beginhoogte, net na het tappen.
T1/2 heet de halveringstijd; de tijd die nodig is om de hoogte tot de helft te laten afnemen.
Stel de beginhoogte is 4,0 cm is en de halveringstijd T1/2 is 8 minuten, dan betekent dit dat elke 8 minuten de hoogte wordt gehalveerd.
Tijd (min) Hoogte schuimkraag (cm)
0 4,0
8 2,0
16 1,0
24 0,5
32 0,25
13 Opgave:
Teken hieronder de grafiek van het voorbeeld op pagina 1; tijd horizontaal → , hoogte vertikaal ↑.
en schrijf rechts de formule
Aan de grafiek zie je dat de afname in het begin snel gaat en daarna steeds langzamer.
Theoretisch wordt de hoogte nooit nul.
Omdat 2
1 hetzelfde is als
2
1 kan de formule hierboven ook geschreven worden als: 1/2 2 10
T t
t h
h
Formule: ht=
14
Oefenopgaven.
1. Bereken (zie voorbeeld hierboven) de schuimkraaghoogte na 11 minuten.
2. Een fietsband is lek. De (over)druk in de fietsband zakt volgens de volgende formule:
2
30200
t
p
t
p in kPa (kilopascal) en t in minuten.
Bereken de druk in de band na 10 minuten en na 100 minuten.
3.
In de grafiek hieronder zie je de afname van
15
het aantal (N) radioactieve atomen.
a. Bepaal uit de grafiek het beginaantal (N0) en de halveringstijd.
b. Schrijf de formule voor het aantal atomen op.
c. Hoeveel radioactieve atomen zijn en na 36 uur?
4. Maak in Excel een grafiek van opgave 2 Neem voor de tijd van 0 tot 100 minuten.
aantal radioactieve atomen
0 200 400 600 800 1000 1200
0 2 4 6 8 10 12
tijd in uur
N N
