Exact Periode 6.2

(1)

Exact Periode 6.2

Gepaarde t-test

t-test voor gemiddelden Electriciteit

(2)

Exact Periode 6.2 2

De gepaarde t-test

De gepaarde t-test gebruik je als er door twee analisten ( of met twee methodes) aan een serie verschillende monsters is gemeten.

Het is dan niet toegestaan de t-test voor gemiddelden te gebruiken omdat we hier met verschillende monsters hebben te maken die niet gemiddeld mogen worden. Ook het bepalen van de standaarddeviatie zou onzinnig zijn.

Je berekent dan per monster de verschillen tussen de uitkomsten van beide methodes.

Met deze verschillen voer je een t-test uit; zo’n verschil is dan x.

Het gemiddelde kan nu negatief zijn.

Van de verschillen bereken je ook de standaarddeviatie σ.

De formule.

In de ideale situatie is er (gemiddeld) geen verschil.

In de oorspronkelijke t-formule neem je voor  dus 0.

De formule wordt dan:

𝒕

𝑩𝒆𝒓𝒆𝒌𝒆𝒏𝒅=^{|𝒙̅−𝝁|∙√𝒏}_𝝈

Met μ = 0 geeft

𝒕

𝑩𝒆𝒓𝒆𝒌𝒆𝒏𝒅=^{|𝒙̅|∙√𝒏}_𝝈

Het aantal vrijheidsgraden is het aantal meetparen min 1.

Indien de berekende t-waarde groter is dan de tabel waarde, dan is aangetoond dat de uitkomsten verschillend zijn.

Vrijheidsgraden t

90% 95% 99%

1 6.31 12.71 63.66

2 2.92 4.30 9.92

3 2.35 3.18 5.84

4 2.13 2.78 4.60

5 2.02 2.57 4.03

6 1.94 2.45 3.71

7 1.90 2.36 3.50

8 1.86 2.31 3.36

9 1.83 2.26 3.25

10 1.81 2.20 3.11

11 1.80 2.20 3.11

12 1.78 2.18 3.06

13 1.77 2.16 3.01

14 1.76 2.14 2.98

 1.64 1.96 2.58

(3)

Exact Periode 6.2 3 Opdrachten

1

Er zijn twee methodes om %alcohol te meten. Ze worden op 6 verschillende drankjes toegepast.

Monsternummer Methode 1 Methode 2

1 13,2 13,0

2 14,8 14,6

3 10,2 10,3

4 11,1 10,8

5 7,6 7,6

6 6,2 5,9

Is er verschil aantoonbaar tussen methode 1 en methode 2?

2

Men wil weten of twee analisten dezelfde resultaten leveren.

Men geeft beiden drie verschillende monsters.

Monster analist1 analist2

1 4,67 4,74

2 45,78 51,56

3 12,41 12,56

a. Ga m.b.v. een significantietest na of de analisten verschillende resultaten geven.

b. Is aan deze gegevens te zien wie van deze analisten het meest precies is?

Verklaar je antwoord.

(4)

Exact Periode 6.2 4

De t-test voor gemiddelden

Bij de t-test voor gemiddelden wordt onderzocht of de gemiddelden van twee groepen waarnemingen met elkaar in overeenstemming zijn.

Zo kan bijvoorbeeld geconstateerd worden dat twee monsters uit een zelfde container komen.

Het gaat dus niet om de vergelijking van een gemiddelde met een standaardwaarde , zoals bij de gewone t-test.

Er zijn twee mogelijkheden.

a. De standaarddeviaties mogen worden samengesteld

Je mag de standaarddeviaties alleen samenstellen als uit een (tweezijdige) F-test blijkt dat er geen verschil in precisie is aangetoond tussen groep 1 en groep 2.

Samengestelde σ berekenen:

𝜎 = √ (𝑛

₁

− 1) ∙ 𝜎

₁²

+ (𝑛

₂

− 1) ∙ 𝜎

₂²

𝑛

₁

+ 𝑛

₂

− 2

t berekenen;

𝑡 = |𝑥 ̅̅̅ − 𝑥

₁

̅̅̅|

₂

𝜎 ∙ √ 1

𝑛

₁

+ 1 𝑛

₂

Aantal vrijheidsgraden: n1 + n2 - 2 t berekend vergelijken met t tabel.

Net als bij een gewone t-test is er verschil aangetoond als t berekend > t tabel

(5)

Exact Periode 6.2 5 b. De standaarddeviaties mogen niet worden samengesteld

Je mag de standaarddeviaties niet samenstellen als uit een (tweezijdige) F-test blijkt dat er verschil in precisie is aangetoond tussen groep 1 en groep 2.

t berekenen:

𝑡 = |𝑥 ̅̅̅ − 𝑥

₁

̅̅̅|

₂

√𝜎 𝑛

¹₁²

+ 𝜎

₂²

𝑛

₂

Aantal vrijheidsgraden =n

1

(=Aantal van groep met grootste σ) - 1

t berekend vergelijken met t tabel. Net als bij een gewone t-test is er verschil aangetoond als t berekend > t tabel

(6)

1.

Op zee wordt een olievlek aangetroffen. Men verdenkt een tanker van illegaal olie lozen.

Uit de vlek en uit de tanker worden oliemonsters genomen. Hiervan bepaalt men het zwavelgehalte.

Men vindt:

S-gehalte (%) vlek S-gehalte (%) tanker

0,101 0,120

0,108 0,132

0,102 0,140

0,110 0,119

0,126

Bepaal of er overeenstemming is tussen de gemiddelden.

2.

Hieronder zie je pH waarden van oplossingen uit twee bekerglazen.

Kunnen de oplossingen uit het zelfde vat komen?

Bekerglas1 5,14 5,14 5,13 5,13 5,14

Bekerglas2 5,16 5,15 5,16 5,16 5,16 5,14 5,15

(7)

Exact Periode 6.2 7 Tabel F-waarden (95% betrouwbaarheid)

Horizontaal Vrijheidsgraden teller (grootste σ) Verticaal Vrijheidsgraden noemer

Vrijheidsgraden Teller →

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 ∞

1 647,79 799,50 864,16 899,58 921,85 937,11 948,22 956,66 963,28 968,63 984,87 993,10 1018,26 2 38,51 39,00 39,17 39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 39,43 39,45 39,50 3 17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47 14,42 14,25 14,17 13,90

4 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 8,84 8,66 8,56 8,26

5 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 6,43 6,33 6,02

6 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 5,27 5,17 4,85

7 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 4,76 4,57 4,47 4,14

8 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 4,10 4,00 3,67

9 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 3,96 3,77 3,67 3,33

10 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,78 3,72 3,52 3,42 3,08

15 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,29 3,20 3,12 3,06 2,86 2,76 2,40

20 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 3,01 2,91 2,84 2,77 2,57 2,46 2,09

∞ 5,02 3,69 3,12 2,79 2,57 2,41 2,29 2,19 2,11 2,05 1,83 1,71 1,00

(8)

Exact Periode 6.2 8 Weerstand R

Weerstand geeft aan hoe moeilijk is de weg voor de stroom bij het doorlopen van het spanningsverschil. Heel beroemd is de wet van Ohm:

𝐼 =𝑈_𝐴𝐵 𝑅 Hierin is :

I de stroomsterkte in A

UAB het spanningsverschil in V.

R de weerstand in Ω (Ohm).

Soortelijke weerstand, 

Om stoffen, wat weerstand betreft, goed te kunnen vergelijken werkt men met een kubus van 1m bij 1m bij 1 m van die stof. De weerstand van die kubus noemt men soortelijke weerstand. Soortelijke weerstand is een eigenschap van een stof .

Het symbool voor soortelijke weerstand is  (spreek uit rho) In tabel 8, 9 en 10 van BINAS staan waarden van 

formule:

A Rl

Hierin is

R: weerstand in Ω

 : soortelijke weerstand in Ω·m A: de doorsnede van de geleider in m² l : de lengte van de geleider in m

Met de formule hierboven kan je de weerstand van een metaaldraad uitrekenen als het materiaal en de afmetingen zijn gegeven.

A

(9)

Exact Periode 6.2 9 Stroomsterkte; geleiding.

Met stroomsterkte (I) wordt bedoeld: de hoeveelheid lading die per seconde langs komt.

De eenheid is dus coulomb per seconde (C/s) maar we werken meestal met de ampère (A) De stroomsterkte wordt bepaald door twee dingen

1. Het spanningsverschil UAB (eenheid volt, V)

2. De geleiding G (eenheid Mho of siemens S)

Geleiding geeft aan hoe goed de lading kan stromen. Het hangt af van de afmetingen van de geleider en van de stof waar de geleider van is gemaakt. De eenheid van geleiding is Mho of Siemens (S)

Formule: I = UAB * G Voorbeeld:

Bovenstaande staven zijn van dezelfde stof gemaakt . Staaf 2 heeft de grootste geleiding.

1

2

(10)

1.1

a. Hoeveel lading heeft een elektron?

b. Door een stroomdraad loopt een stroom van 1,00 A. Hoeveel elektronen komen er per seconde langs?

1.2

I = UAB * G

Schrijf de formule in de vorm G =

1.3

Een stroomdraad is aangesloten op een spanningsverschil van 1,50V. Door een draad loopt een stroom van 21,0 mA. Bereken de geleiding.

1.4

Een draad is aangesloten op een spanningsverschil van 1,50V. De geleiding van de draad is 3,00 kS. Bereken de stroomsterkte door de draad.

(11)

Exact Periode 6.2 11 Soortelijke geleiding; conductiviteit σ.

Om stoffen, wat geleiding betreft, goed te kunnen vergelijken werkt men met een kubus van 1m bij 1m bij 1 m van die stof. De geleiding van die kubus noemt men soortelijke geleiding.

Soortelijke geleiding, ook wel genoemd conductiviteit, is een eigenschap van een stof . Het symbool voor conductiviteit is σ (spreek uit sigma)

In de tabel hieronder zie je een aantal voorbeelden.

stof conductiviteit σ (in Ω^-1·m^-1)

koper 5,9·10 ⁷

aluminium 3,7·10 ⁷

silicium 1,6·10^-3

messing 1,4·10 ⁷

PVC 10 ^–13

formule:

l G  A Hierin is

G: geleiding in S (=Ω^-1) σ : conductiviteit in Ω^-1·m^-1

A: de doorsnede van de geleider in m² l : de lengte van de geleider in m

Met de formule hierboven kan je de geleiding van een metaaldraad uitrekenen als het materiaal en de afmetingen zijn gegeven.

Een stof die de stroom niet geleidt wordt een isolator genoemd.

A

(12)

2.1

Een aluminiumstaaf is 2,5m lang. De doorsnede van de staaf is 0,8 mm². Bereken de geleiding.

2.2 l G  A

Schrijf de formule in de vorm σ =

2.3

De geleiding van een draad is 0,445 S. De diameter van de draad is 0,15 mm.

De draad is 1,8m lang.

a. Bereken de doorsnede van de draad in m² ²

4d A 



b. Bereken de conductiviteit van de stof waarvan de draad is gemaakt.

c. Welke stof zou het kunnen zijn?

(13)

Exact Periode 6.2 13 Geleiding in metalen.

Een eigenschap van metaalatomen is dat eén elektron zo ver van de kern af is dat hij vrij kan bewegen van het ene ion naar het andere.

De positieve ionen zitten vast. We noemen dat het ionenrooster.

Als er een spanningsverschil is, bewegen de vrije elektronen door het ionenrooster.

Er loopt dan een stroom door het metaal; alleen de negatieve elektronen in zijn beweging.

De positieve ionen  bewegen niet door het metaal heen .

Geleiding in oplossingen.

Als er een stroom door een oplossing loopt zijn de positieve en de negatieve ionen in beweging.

De negatieve ionen bewegen naar de pluspool, de positieve ionen bewegen naar de minpool.

In een vloeistoffen stromen de plusladingen dus ook!

+ +

+

+ + +

+

(14)

Exact Periode 6.2 14 Molaire iongeleidbaarheid Λ

Bij oplossingen kan de conductiviteit berekend worden uit de concentratie. Ook moet bekend zijn welke stof is opgelost. met andere woorden:

welke ionen in de oplossing zitten.

Deze berekening gebruik je de molaire iongeleidbaarheid Λ (spreek uit: labda).

Deze waarden staan in tabel 41 (oude druk:66 )

σ = c∙Λ=c∙(𝜆₊+ 𝜆₋)

Hierin is :

σ de conductiviteit in Ω^-1·m^-1 Λ de molaire iongeleidbaarheid c de concentratie in mol·m^-3

 + molaire iongeleidbaarheid van het positieve ion in S·m²·mol^-1

 - molaire iongeleidbaarheid van het negatieve ion in S·m²·mol^-1

N C

(15)

3.1

Oplossing 1 bestaat uit 1,0 mmol HCl in 1 liter water.

Oplossing 2 bestaat uit 1,0 mmol NaCl in 1 liter water.

Welke oplossing heeft de grootste conductiviteit?

3.2

De concentratie van een NaCl-oplossing bedraagt 0,010 mol per liter.

Bereken de conductiviteit.

3.3

De conductiviteit van een NaCl-oplossing bedraagt 2,2 Ω^-1·m^-1. Bereken de concentratie.

3.4

De conductiviteit van een zilverzout is 1,38 Ω^-1·m^-1 De concentratie is 0,10 mol·L^-1

a. Bereken de concentratie in mol·m^-3 b. Bereken(λ++λ-)

c. Welk zout is het?

(16)

Exact Periode 6.2 16

Elektriciteit en Veiligheid

Aan werken met elektriciteit zijn diverse gevaren verbonden.

a. Elektrocutie.

Veel lichaamsfuncties worden vanuit de hersenen elektrisch aangestuurd. Als er een stroom van buiten af ( boven de 10 à 20 mA) door ons lichaam stroomt kan dat dodelijk zijn. Als we op de grond staan (aarde = 0V) en we raken een

leiding aan waar hoge spanning op staat loopt de stroom door ons lichaam naar aarde. De grootte van de stroom hangt af van de spanning en van onze lichaamsweerstand. Een vochtige huid maakt de lichaamsweerstand ca 10 maal lager en dus de stroom 10 maal zo groot….

b. Kortsluiting

Kortsluiting houdt in: een (bijna) weerstandsloze verbinding tussen de twee polen van de spanningsbron. De stroom wordt zeer groot waardoor veel warmte vrijkomt. Het gevolg kan zijn dat de isolatie smelt en/of dat er brand ontstaat.

Beveiliging zekering

Veel toestellen en installaties zijn beveiligd met een zekering of stop. Een zekering “slaat door” als de stroom te groot wordt. In een smeltzekering bevindt zich een smeltdraad die bij een bepaalde temperatuur vloeibaar wordt; het contact is verbroken. Op een zekering staat bij welke stroom hij doorslaat. Ook kunnen de letters F (fast) of S (slow) worden vermeld.

Randaarde.

Veel snoeren zijn drie-aderig : Fase, nul en aarde.

Fase is wisselspanning (220V) Kleur: bruin Nul is ca. 0V Kleur blauw

Aarde is exact 0V kleur geel/groen.

De metalen mantel ven toestellen hoort geaard te zijn. Dit gebeurt m.b.v. randaarde.

(17)

Exact Periode 6.2 17 Spanningszoeker.

Met een spanningszoeker kan je op een veilige manier ontdekken of er een spanning op een leiding staat. De punt van de spanningszoeker komt tegen de leiding en je duim houd je tegen de metalen dop. Als er spanning is gaat er via je lichaam een stroom naar aarde lopen.

De stroom laat een lampje oplichten in de spanningszoeker .

De aardlekschakelaar

In de groepenkast bevindt zich vaak een aardlekschakelaar (zie figuur). Een aardlekschakelaar schakelt de stroom uit zodra er stroom naar aarde “weglekt”. De stroom in de faselijn is dan ongelijk aan de stroom in de nullijn. Hier reageert de schakelaar op. Oorzaak is vaak: slechte isolatie.

(18)

Exact Periode 6.2 18 vermogen P

In elektrische apparaten wordt energie omgezet. Het vermogen is hoeveelheid energie die per seconde wordt omgezet. Het symbool van vermogen is P. De eenheid is J/s meestal gebruiken we watt (W). Met de onderstaande formule kan het vermogen worden berekend:

𝑃 = 𝑈 ∙ 𝐼 kilowattuur (kWh)

De omgezette energie kan berekend worden uit

tijd P E .

De eenheid van energie is dan Joule. Voor grootte energie-eenheden wordt de kilowattuur kWh gebruikt. In de formule hierboven wordt P in kilowatt (kW) ingevuld en de tijd in uur (h). De eenheid van energie wordt dan kWh.

(19)

19

Oefensommen stroom spanning weerstand vermogen

Formules:

UAB = I.R P= UAB. I E =P.t

1. geef de betekenis van de letters in de formules hierboven. Vermeld ook de bijbehorende eenheden.

2. a. Op een lamp staat 12V- 35W. Wat betekent dit?

b. Bereken de stroom die door dit lampje loopt als deze brandt.

c. Bereken de weerstand van dit lampje als deze brandt

d. Hoeveel energie is omgezet als het lampje 8 uur blijft branden? Geef je antwoord in J en in kWh e. Bereken de kosten als 1 kWh €0,16 kost.

3. Op een groep zijn een koelkast (125 W) en een elektrische oven (1,25 kW) aangesloten. (spanning van het lichtnet: 230 V) a. Bereken de totale stroom

b. Bereken de weerstand van de oven

4. Een stop slaat door bij 10A.

a. Hoeveel lampen van 60 W kunnen maximaal via deze stop worden aangesloten? (spanning van het lichtnet: 230 V) b. Zijn de lampen in serie of parallel geschakeld? Geef uitleg.