Zij V een vectorruimte over een lichaam K (we beperken ons tot het geval K = R of C). Een seminorm op V is een afbeelding k k : V → R ≥0 met de volgende eigenschappen:

II. Hilbertruimten, Fourierreeksen en operatoren.

Een belangrijk onderdeel van de mathematische fysica bestaat uit de studie naar de oplossingen van vergelijkingen. De oplossingen van zulke vergelijkingen die hun oorsprong vinden in een fy- sisch probleem zijn doorgaans van een speciaal type, bijvoorbeeld continue functies. De klasse van oplossingen maakt dan deel uit van een zekere functieruimte. Aan de functieruimten die we beschouwen wordt doorgaans nog een extra structuur opgelegd. Zo is het gebruikelijk te eisen dat de betreffende functieruimte een vectorruimte is (over de re¨ele of complexe getallen). Om te kun- nen spreken over nabijheid van oplossingen wordt de vectorruimte voorzien van een afstand of een norm. Dit maakt het mogelijk om een oplossing te benaderen d.m.v. een rij functies. Nog extra structuur krijgen we als we de vectorruimte voorzien van een inwendig product. In dit hoofdstuk bestuderen we een aantal aspecten van dergelijke functieruimten.

§2.1 Banachruimten en Hilbertruimten.

Zij V een vectorruimte over een lichaam K (we beperken ons tot het geval K = R of C). Een seminorm op V is een afbeelding k k : V → R _≥0 met de volgende eigenschappen:

a. kvk ≥ 0 als v ∈ V .

b. kλvk = |λ|kvk voor v ∈ V , λ ∈ K.

c. kv + wk ≤ kvk + kwk (de driehoeksongelijkheid).

De seminorm heet een norm als bovendien geldt dat a’. kvk > 0 als v ∈ V , v 6= 0.

Een vectorruimte V waarop een norm is gedefinieerd, noemen we een genormeerde vectorruimte. Zij V een genormeerde vectorruimte; laat {f n } ^∞ _n=1 een rij in V zijn. We noemen zo’n rij een Cauchy- of fundamentaalrij als voor elke ² > 0 er een N (²) bestaat zodanig dat voor m, n > N (²) geldt dat kf _n − f _m k < ². In het geval dat V = R ^N of C ^N geldt dat iedere fundamentaalrij convergeert, d.w.z. er is een f ∈ V zodanig dat kf − f n k → 0 als n → ∞. Een vectorruimte V waarvoor geldt dat iedere fundamentaalrij convergeert, heet volledig. Een volledige genormeerde ruimte noemen we ook wel een Banachruimte.

Een inwendig product op een re¨ele of complexe vectorruimte V is een afbeelding h , i : V × V → K met de volgende eigenschappen:

i. hv, w + w ⁰ i = hv, wi + hv, w ⁰ i voor v, w ⁰ , w ∈ V . ii. hv, λwi = λhv, wi voor v, w ∈ V , λ ∈ C.

iii. hv, wi = hw, vi voor v, w ∈ V . iv. hv, vi > 0 als v ∈ V en v 6= 0.

Merk op dat uit de eerste drie eigenschappen volgt dat hv + v ⁰ , wi = hv, wi + hv ⁰ , wi en hλv, wi = λhv, wi voor v, v ⁰ , w ∈ V en λ ∈ K. Verder volgt uit hv, vi = 0 dat v = 0 _V .

Opmerking: Indien K = R dan kan complexe conjugatie worden achterwege gelaten. Het inwendig product is dan bilineair en symmetrisch en positief-definiet. In het complexe geval is het inproduct sesquilineair, hermites en positief-definiet.

Opmerking: Als eigenschappen (i)-(iii) gelden maar (iv) vervangen is door iv’. hv, vi ≥ 0 als v ∈ V ,

dan spreken we van een semi-inwendig product.

Een inwendig product induceert een norm op V d.m.v. kf k ² = hf, f i, zodat een vectorruimte met

inwendig product ook een genormeerde vectorruimte is. Als zo’n vectorruimte tevens volledig is

t.a.v. de door het inwendig product ge¨ınduceerde norm, noemen we deze een Hilbertruimte.

Propositie 2.1: (Ongelijkheid van Schwarz). Zij V een vectorruimte met semi-inwendig product.

Dan geldt voor x, y ∈ V

|hx, yi| ≤ kxkkyk (2.1)

en in het geval van een (echt) inwendig product geldt gelijkheid slechts als x, y lineair afhankelijk zijn.

Bewijs: Als y 6= 0 zijn we klaar. Neem dus aan dat y 6= 0. Voor elke λ ∈ C geldt dat 0 ≤ hx − λy, x − λyi = hx, xi − 2Re λhx, yi + |λ| ² hy, yi.

Laat nu λ = hy, xi/hy, yi. De ongelijkheid volgt dan meteen. In het geval dat het semi-inproduct een echt inproduct is, geldt gelijkheid alleen in het geval dat x − λy = 0. ¦

Gevolg 2.2:

i. (driehoeksongelijkheid voor normen):

kx + yk ≤ kxk + kyk voor x, y ∈ H.

ii. (de stelling van Pythagoras:) Als x, y ∈ H en hx, yi = 0, dan is kx + yk ² = kxk ² + kyk ² . Bewijs:

kx + yk ² = hx + y, x + yi = hx, xi + hy, xi + hx, yi + hy, yi = kxk ² + 2Re hx, yi + kyk ² ≤

≤ kxk ² + 2|hx, yi| + kyk ² ≤ kxk ² + 2kxk · kyk + kyk ² = (kxk + kyk) ² . ¦

Voorbeelden:

1. De eindig-dimensionale vectorruimten R ⁿ en C ⁿ met het standaard-inproduct zijn Hilbertruimten.

2. H = ` P _∞ 2 (K) is de vectorruimte van rijtjes (x 1 , x 2 , . . .) met x i ∈ K (K = R of C) zodanig dat

n=1 |x _i | ² convergeert. Voor x, y ∈ H is het inproduct gedefinieerd door hx, yi = P _∞

n=1 x _n y _n . Merk op dat volgens de ongelijkheid van Schwarz

ï ¯

¯ ¯

¯ X N n=1

x n y n

¯ ¯

¯ ¯

¯

! 2

≤ X N n=1

|x n | ² · X N n=1

|y n | ²

zodat het inproduct inderdaad goed gedefinieerd is. Het is niet moeilijk om aan te tonen dat H volledig is. H is dus een Hilbertruimte. We noteren ` 2 (C) meestal als ` 2 .

3. H = ` ₁ is de vectorruimte van rijtjes (x ₁ , x ₂ , . . .) met x _i ∈ K (K = R of C) zodanig dat P _∞

n=1 |x _i | convergeert. Voor x ∈ H is de norm gedefinieerd door kxk = P _∞

n=1 |x n |. H is volledig en dus een Banachruimte.

4. Laat nu Ω = [a, b] ⊂ R zijn, waarbij −∞ ≤ a < b ≤ ∞. Op de vectorruimte V = C(Ω) = C(Ω, K) van continue (re¨eel- of complexwaardige) functies op Ω is een semi-inwendig product gedefinieerd door hf, gi = R

Ω f (x)g(x)dx. Dit is geen inwendig product, omdat uit R

Ω |f (x)| ² dx = 0 niet

noodzakelijk volgt dat f = 0 (een voorbeeld wordt gegeven door een functie f die overal 0

is op Ω met uitzondering van een eindig aantal punten). Verder is C(Ω) niet volledig: laat

Ω = [0, 1] en nummer de rationale getallen op [0, 1] (bijv. n 1 = 0, n 2 = 1, n 3 = 1/2, n 4 = 1/3, n ₅ = 2/3, n ₆ = 1/4, n ₇ = 3/4, . . .). Laat de rij functies f ₁ , f ₂ , f ₃ , . . . gedefinieerd zijn door f _i (x) =

n 1 als x = n 1 , . . . , n i−1

0 anders . De rij vormt een Cauchyrij in V maar er is geen limietfunctie in V : de functie f (x) =

½ 1 als x ∈ Q

0 als x 6∈ Q is niet integreerbaar. Door over te gaan op een ruimer inte- graalbegrip (de Lebesgue-integraal) zijn limieten van integreerbare functies (zoals f ) wel integreer- baar (de integraal is in het geval van f gelijk aan nul). Functies die Riemann-integreerbaar zijn, zijn ook Lebesgue-integreerbaar en de integraal heeft in beide gevallen dezelfde waarde. Beschouw nu op V de 2-norm gegeven door kf k ² =

Z

Ω

|f (x)| ² dx (waarbij de integraal de Lebesgue-integraal is). V is niet gesloten t.a.v. convergentie m.b.t. deze norm. De afsluiting van V (die de limieten van fundamentaalrijen in V bevat) is de vectorruimte L 2 (Ω) van kwadratisch integreerbare functies op Ω. L ₂ (Ω) is wel volledig.

Op L ₂ (Ω) leggen we nu een equivalentierelatie: twee functies f, g ∈ V zijn equivalent (notatie f ∼ g) als R

Ω |f (x) − g(x)| ² dx = 0 (we zeggen dan dat f = g bijna overal op Ω). Dit geeft een equivalen- tierelatie. Een equivalentieklasse bevat alle functies die bijna overal gelijk zijn aan een willekeurige functie uit dezelfde klasse; de verzameling equivalentieklassen vormt de quoti¨entverzameling L ₂ (Ω).

L ₂ (Ω) is een Hilbertruimte met inwendig product gegeven door hf, gi = Z

Ω

f (x)g(x)dx. De waarde van de integraal is onafhankelijk van de keuze van de representanten f en g en hangt dus alleen van de klassen van f en g af. Het feit dat de quoti¨entverzameling een vectorruimte vormt, volgt uit het feit dat als f ∼ f ⁰ , g ∼ g ⁰ dan f + g ∼ f ⁰ + g ⁰ en λf ∼ λf ⁰ .

5. Een ander maar soortgelijk voorbeeld van een Hilbertruimte is de ruimte L ₂ (Ω) _w waarbij w een op (a, b) strict positieve (gewichts)functie is en het inproduct wordt gegeven door

hf, gi = R

Ω f (x)g(x)w(x)dx, waarbij hf, f i en hg, gi eindig zijn.

Definitie: Zij H een Banach- of Hilbertruimte. Een lineaire deelruimte U ⊂ H heet gesloten als de limiet van elke fundamentaalrij in U in U ligt.

Zij U een lineaire deelruimte van een Hilbertruimte H. De verzameling U ^⊥ = {x ∈ H : hx, ui = 0 voor alle u ∈ U } heet het orthogonaal complement van U . Merk op dat U ∩ U ^⊥ = {0}; echter is i.h.a. U ⊕ U ^⊥ 6= H (wel als H eindige dimensie heeft).

Lemma 2.3: U ^⊥ is een gesloten lineaire deelruimte van H.

Bewijs: Het is duidelijk dat U ^⊥ weer een lineaire deelruimte van H is. Zij {x n } een fundamentaalrij in U ^⊥ . Deze rij heeft een limiet x ∈ H. We moeten aantonen dat x ∈ U ^⊥ : aangezien voor u ∈ U

|hx, ui| = |hx − x _n , ui| ≤ kx − x _n k · kuk en het rechterlid naar 0 convergeert, is hx, ui = 0 voor alle u ∈ U . ¦

Zij U een lineaire deelruimte van H en x ∈ H. De afstand d(x, U ) van x tot U is gedefinieerd als het infimum van alle afstanden d(x, u) voor u ∈ U . Als u ∈ U en v ∈ U ^⊥ , dan is ku−vk ² = kuk ² +kvk ² en dus is d(v, U ) = kvk.

Voorbeeld: Beschouw in de Hilbertruimte H = ` ₂ de lineaire deelruimte W die alle rijtjes (x ₁ , x ₂ , . . .)

bevat zodanig dat x _i 6= 0 voor slechts eindig veel i. W is niet gesloten en W ^⊥ = {0}. De afslui-

ting W van W bevat alle limieten van fundamentaalrijen in W en is de kleinste gesloten lineaire

deelruimte in H die W bevat. Er geldt dat W = W ^⊥⊥ = H.

Propositie 2.4: (1) Laat H een Hilbertruimte zijn en W een gesloten lineaire deelruimte. Dan is er voor elke x ∈ H een unieke y ∈ W zodanig dat kx − yk = d(x, W ). Verder is x − y ∈ W ^⊥ . (2) H = W ⊕ W ^⊥ .

(3) W ^⊥⊥ = W .

We bewijzen Propositie 2.4. in de volgende paragraaf.

§2.2. Orthogonale stelsels en Fourierreeksen.

Zij H een Hilbertruimte. Een deelverzameling S heet een orthogonaal stelsel als he, f i = 0 voor e, f ∈ S, e 6= f . Als bovendien he, ei = 1 voor alle e ∈ S dan heet het stelsel orthonormaal. Een orthogonaal (resp. orthonormaal) stelsel {e ₁ , e ₂ , . . .} heet volledig als er voor iedere f ∈ H een rij complexe getallen {a 1 , a 2 , . . .} bestaat zodanig dat kf − P _N

i=1 a i e i k → 0 als N → ∞. Een volledig orthonormaal stelsel noemen we ook een orthonormale basis van H.

Lemma 2.5: Een orthogonaal stelsel S in H dat 0 niet bevat, is lineair onafhankelijk.

Bewijs: Neem aan dat λ ₁ e ₁ + . . . + λ _n e _n = 0 waarbij λ ₁ , . . . , λ _n scalairen zijn en e ₁ , . . . , e _n ∈ S.

Het inproduct met e _j nemen geeft 0 = λ _j he _j , e _j i en dus λ _j = 0. ¦

Propositie 2.6: Laat {e _j } ^∞ _j=1 een orthonormale basis van de Hilbertruimte H en x ∈ H. Dan geldt:

i. he _m , x − X N

i=1

he _i , xie _i i = 0 voor m = 1, . . . , N .

ii. kx − X N i=1

he i , xie i k ² = kxk ² − X N i=1

|he i , xi| ² .

iii.

X N i=1

|he _i , xi| ² ≤ kxk ² .

iv. kx − X N i=1

a _i e _i k ² ≥ kx − X N i=1

he _i , xie _i k ² en gelijkheid geldt dan en slechts dan als a _i = he _i , xi voor i = 1, . . . , N .

Bewijs: (i.) Triviaal.

ii. Dit volgt onmiddellijk uit (i.).

iii. Dit volgt uit (ii) door op te merken dat het linkerlid en dus ook het rechterlid niet-negatief zijn.

iv. Volgens (i) en Gevolg 2.2(ii) is kx −

X N i=1

a i e i k ² = kx − X N i=1

he i , xie i k ² + k X N i=1

(he i , xi − a i )e i k ² . Hieruit volgt de bewering meteen. ¦

Ongelijkheid (iii) heet de ongelijkheid van Bessel. Uit (iv) volgt dat de beste benadering van x in de lineaire deelruimte opgespannen door e ₁ , . . . , e _N wordt gegeven door

X N i=1

he _i , xie _i . Verder volgt uit (iii) en (iv) dat het orthogonale stelsel {e _i } ^∞ _i=1 volledig is dan en slechts dan als

kxk ² = X ∞ i=1

|he _i , xi| ² voor alle x ∈ H. (2.1)

(2.1) heet de identiteit van Parseval of de volledigheidsrelatie. Uit (2.1) volgt ook dat het stelsel {e _i } ^∞ _i=1 volledig is dan en slechts dan als er geen x ∈ H, x 6= 0 is die orthogonaal is met alle e _i . Dit betekent ook dat x ∈ H geheel bepaald is door de Fourierco¨effici¨enten he _i , xi. De reeks X ∞

i=1

he _i , xie _i heet wel de (gegeneraliseerde) Fourierreeks van x. Merk op dat de Fourierco¨effici¨enten niet geheel willekeurig kunnen worden gekozen, omdat ze aan de ongelijkheid van Bessel moeten voldoen en i.h.b.

X ∞ i=1

|he _i , xi| ² < ∞ moet zijn. Anderzijds geldt dat in het geval dat H = L ² (Ω) met Ω = [a, b] ∈ R er voor elke rij getallen c ₁ , c ₂ , . . . waarvoor geldt dat P _∞

i=1 |c _i | ² < ∞, er een g ∈ H bestaat zodat c _i = he _i , gi voor alle i:

Stelling 2.7: (Riesz-Fisher) Laat {c _n } ^∞ _n=1 een rij getallen zijn zodanig dat P _∞

n=1 |c _n | ² convergeert, en H een Hilbertruimte met orthonormale basis {e k } ^∞ _k=1 . Dan is er een unieke x ∈ H waarvan de Fourierco¨effici¨enten t.o.v. de basis {e _n } ^∞ _n=1 gelijk zijn aan de getallen c _n en kxk ² = P _∞

n=1 |c _n | ² . Bewijs: Laat voor N = 1, 2, . . .: x N = P _N

n=1 c n e n . Omdat voor M > N geldt dat kx M − x N k = P _M

n=N +1 |c _n | ² , is de rij {x _n } een fundamentaalrij. Wegens de volledigheid van H is er een x zodanig dat kx − x _n k → 0 als n → ∞. Kies een vaste m. Dan is voor N ≥ m, he _m , x _N i = c _m en dus, met de ongelijkheid van Schwarz,

|he _m , xi − c _m | = |he _m , x − x _N i| ≤ kx − x _N k → 0 als N → ∞ en dus is he _m , xi = c _m voor alle m. Tenslotte is

kxk ² = lim

N →∞ kx _N k ² = lim

N →∞

X N m,n=1

c _m c _n he _m , e _n i = X ∞ n=1

|c _n | ² . ¦

Voorbeelden:

i. Laat Ω = [−1, 1]. Een volledig orthonormaal stelsel op L ² ([−1, 1]) wordt gegeven door de genormeerde Legendre-polynomen

q

2n+1

2 P _n (x) (n = 0, 1, . . .). Hierbij is P _n een polynoom van graad n met P n (1) = 1 en

Z ₁

−1

P n (x)P m (x)dx = δ mn

2 2n + 1 .

ii. Op L ² ([−π, π]) is het stelsel {e n } ^∞ _n=−∞ waarbij e n (x) = ^{√ 1} _2π e ^inx een volledig orthonormaal stelsel.

Laat f (x) = e ^iax . Daar he _n , f i = 1

√ 2π Z _π

−π

e ^−inx e ^iax dx = r 2

π (−1) ⁿ sin aπ

a − n , is de Fourierreeks van f gelijk aan 1

π X ∞ n=−∞

(−1) ⁿ sin aπ

a − n e ^inx . In dit geval geldt zelfs gelijkheid op (−π, π) en voor x = π geldt

cos aπ = e ^iaπ + e ^−iaπ

2 = 1

π X ∞ n=−∞

sin aπ a − n dus π cot aπ =

X ∞ n=−∞

1 a − n = 1

a + 2 X ∞ n=1

a a ² − n ² .

iii. Voor Ω = R en w(x) = e ^−x

vormen de Hermite-polynomen H _n (n = 0, 1, 2, . . .) een volledig orthogonaal stelsel t.a.v. het inproduct met gewichtsfunctie w, d.w.z.

Z

R

H _n (x)H _m (x)e ^−x

dx = 0

als m, n ≥ 0, m 6= n.

Nu volgt het bewijs van Propositie 2.4:

Bewijs: Neem eerst aan dat W eindig-dimensionaal is. Als {f 1 , . . . , f n } een orthonormale basis is van W , dan is volgens Propositie 2.6(iv) y = P _n

k=1 hf _j , xif _j het unieke element van W met minimale afstand tot x en tevens is y − x ∈ W ^⊥ . Neem nu aan dat W oneindig-dimensionaal is.

Laat d = d(x, W ). Er bestaat een rij {y _n } ^∞ _n=1 in W zodanig dat d _n = kx − y _n k en d _n ↓ d als n → ∞. Laat voor m, n ∈ N en m > n, d m,n de afstand zijn van x tot de lineaire deelruimte W m,n

opgespannen door y _n en y _m . Dan is d ≤ d _m,n ≤ d _m ≤ d _n . Omdat W _m,n eindig-dimensionaal is, is er een t ∈ W _m,n zodanig dat kx − tk = d _m,n . Dan volgt, omdat x − t ∈ W _m,n ^⊥ , m.b.v. de stelling van Pythagoras (Gevolg 2.2(ii)) dat

ky n − y m k ≤ ky n − tk + kt − y m k = q

d ² _n − d ² _m,n + q

d ² _m − d ² _m,n ≤ 2 p

d ² _n − d ² .

Omdat het rechterlid naar 0 gaat als m > n → ∞, is de rij {y _n } een fundamentaalrij en heeft dus een limiet y ∈ W . Dan is kx − yk = d. Verder geldt voor w ∈ W

kx − wk ² = kx − yk ² + ky − wk ² + 2Rehx − y, y − wi.

Als x−y 6∈ W ^⊥ dan bestaat er een w ⁰ ∈ W zodanig dat hx−y, w ⁰ i 6= 0. Kies nu w = y−²w ⁰ , waarbij

² ∈ C zodanig is gekozen dat |²| ² kw ⁰ k ² + 2Re ²hx − y, w ⁰ i < 0. Maar dan is kx − wk < kx − yk = d, tegenspraak. Conclusie: H = W + W ^⊥ en aangezien W ∩ W ^⊥ = {0}, is H = W ⊕ W ^⊥ en y = P W (x) is de orthogonale projectie van x op W .

Tenslotte volgt uit H = W ^⊥ ⊕ W ^⊥⊥ en W ⊂ W ^⊥⊥ , dat W = W ^⊥⊥ . ¦

Opmerking: Laat H en H ⁰ twee Hilbertruimten zijn met aftelbare orthonormale bases. Dan zijn H en H ⁰ isomorf in de zin dat er een vectorruimte-isomorfisme φ : H → H ⁰ bestaat zodanig dat hx, yi _H = hφ(x), φ(y)i _H

. Als immers {e _n } ^∞ _n=1 en {f _n } ^∞ _n=1 orthonormale bases zijn van H resp. H ⁰ , dan laat φ(e _n ) = f _n en zet φ lineair en continu voort. Een Hilbertruimte H heet separabel als er een aftelbare deelverzameling W van H is zodanig dat H de afsluiting W is. Een Hilbertruimte H is separabel dan en slechts dan als H een eindige of aftelbare orthonormale basis heeft. Separabele Hilbertruimten zijn ` ₂ (K), L ₂ (a, b) en L ₂ (a, b) _w . Een orthonormale basis van H = L 2 (a, b) resp. L 2 (a, b) w wordt verkregen door de verzameling polynomen {1, x, x ² , . . .} te orthonormaliseren (m.b.v. de methode van Gram-Schmidt) t.o.v. het inproduct in H. Dit laatste resultaat is (een speciaal geval van) de stelling van Stone-Weierstrasz. Op deze wijze ontstaan, voor verschillende gewichtsfuncties, de orthogonale polynomen, zoals de Legendre-polynomen (voor w(x) = 1 en [a, b] = [−1, 1]) en de Hermite-polynomen (met w(x) = e ^−x

en [a, b] = R).

§2.3 Klassieke Fourierreeksen.

Zij a > 0 een re¨eel getal en f : [−a, a] → C een op [−a, a] absoluut integreerbare functie (d.w.z.

f en |f | zijn integreerbaar op [−a, a]; stuksgewijs continue functies zijn i.h.b. absoluut inte- greerbaar). De (klassieke) Fourierreeks van f is gedefinieerd als lim N →∞

P _N

k=−N c k exp(ikπx/a), waarbij c _k = 1

2a Z _a

−a

f (ξ) exp(−ikπξ/a)dξ. De Fourierco¨effici¨enten c _k zijn zo gedefinieerd dat als f een trigonometrisch polynoom is op [−a, a], m.a.w. als f (x) = P _N

k=−N d _k exp(ikπx/a) dan geldt dat d k = c k , dus f (x) is gelijk aan zijn eigen Fourierreeks. Merk op dat omdat de functies

² _k (x) = 1

√ 2a exp(ikπx/a) een orthonormaal stelsel vormen op L ₂ ([−a, a]), de klassieke Fourier-

reeks van een stuksgewijs continue functie op [−a, a] gelijk is aan de gegeneraliseerde Fourierreeks

m.b.t. het orthonormale stelsel {² k (x)} ^∞ _k=−∞ . De Fourierco¨effici¨enten zijn op slechts een factor na in beide gevallen gelijk.

Voorbeeld: Beschouw op [−π, π] de functie f (x) =

 



(π − x)/2 als 0 < x < π

0 als x = 0, ±π

(−π − x)/2 als −π < x < 0

. De Fourier- co¨effici¨enten van f zijn:

c k = 1 2π

Z ₀

−π

(−π − x)e ^−ikx dx + Z _π

0

(π − x)e ^−ikx dx = 1 2π

Z _2π

0

(π − x)e ^−ikx dx = 1

ik (k 6= 0) (de tweede gelijkheid geldt omdat de functie periodiek met periode 2π tot geheel R kan worden voortgezet) en c ₀ = 0. De Fourierreeks is dan

X ∞ k=1

e ^ikx − e ^−ikx

ik = 2

X ∞ k=1

sin kx

k . De Fourierreeks representeert zo de functie op geheel R. De Fourierreeks kan ook geschreven worden in termen van cos(kπx) = (e ^ikx +e ^−ikx )/2 en sin(kπx) = (e ^ikx −e ^−ikx )/2i als a 0 /2 +

X ∞ k=1

a k cos(kπx/a) + b k sin(kπx/a) waarbij a _k = 1

a Z _a

−a

f (ξ) cos(kπξ/a)dξ en b _k = 1 a

Z _a

−a

f (ξ) sin(kπξ/a)dξ. In het bovenstaande voor- beeld zijn de co¨effici¨enten a _k = 0 omdat f een oneven functie is.

Er zijn verschillende voorwaarden waaronder de klassieke Fourierreeks puntsgewijs resp. uniform naar f convergeert. We noemen zonder bewijs het volgende criterium:

Stelling 2.8 (convergentiecriterium van Dini): Laat f : R → C een stuksgewijs con- tinue periodieke functie met periode 2a zijn. Als voor zekere x ₀ ∈ R geldt dat de functie

f (x ₀ + y) + f (x ₀ − y)

y − s absoluut integreerbaar is op [0, a], dan convergeert de Fourierreeks van f (x) in x ₀ puntsgewijs naar s/2. Als f bovendien continu is, dan is de convergentie zelfs uniform op R.

Merk op dat aan de voorwaarden voldaan is als f stuksgewijs continu is en als f in x 0 rechts- en linksdifferentieerbaar is. s/2 is dan gelijk aan het gemiddelde van de linker- en rechterlimiet (f (x ₀ +) + f (x ₀ −))/2. In het geval van het voorbeeld geldt dus dat π − x = 2

X ∞ k=1

sin kx k voor 0 < x < 2π. De convergentie is echter niet uniform vanwege de discontinu¨ıteiten.

§2.4. Begrensde operatoren.

Laat H, H ⁰ genormeerde vectorruimten zijn. Een lineaire operator van H naar H ⁰ is een afbeelding T : D → H ⁰ zodanig dat T (λf + µg) = λT (f ) + µT (g) voor f, g ∈ D ⊂ H en λ, µ ∈ R of C.

Hierbij is D een gesloten lineaire deelruimte van H. D (of D(T )) heet het domein van T . Voorbeelden.

1. Laat H = ` ₂ (K). De (links- en rechts)verschuivings-operatoren:

L(x ₁ , x ₂ , x ₃ , . . .) = (x ₂ , x ₃ , . . .), R(x ₁ , x ₂ , x ₃ , . . .) = (0, x ₁ , x ₂ , . . .)

zijn lineaire operatoren met als domein geheel H.

2. Zij H een Hilbertruimte. Voor a ∈ H is de afbeelding i a : H → C gegeven door i a (x) = ha, xi een lineaire operator.

3. Een paar voorbeelden voor het geval dat H = L 2 (a, b):

i. Voor f ∈ H en g ∈ H vast is T (f ) = R

Ω f (x)g(x)dx een lineaire operator van H naar K. Een dergelijke operator heet een integraaloperator.

ii. Laat D de verzameling van continue functies (preciezer: functies met een continue representant) in H zijn. Voor c ∈ [a, b] is de evaluatie-operator E _c (f ) = f (c) een lineaire operator van H naar R resp. C met domein D.

iii. De differentiaaloperator D = _dx ^d beeldt f ∈ H af op zijn afgeleide f ⁰ ∈ H. Het domein is een echte deelverzameling van de verzameling van differentieerbare functies in H: laat f (x) = √

x − a. Dan is D(f )(x) = 1/(2 √

x − a) dus f ∈ L ₂ (a, b) maar Df ligt niet in L ₂ (a, b) omdat R _b

a (x − a) ⁻¹ = ∞.

Een bijzondere klasse van lineaire operatoren wordt gevormd door de begrensde operatoren: een lineaire operator T : H → H ⁰ heet begrensd indien er een M > 0 bestaat zodanig dat kT (f )k < M voor alle f ∈ H met kf k ≤ 1. De norm van een begrensde operator T is gedefinieerd als

kT k = sup

kf k=1

kT f k = sup

f 6=0

kT f k

kf k . (2.2)

Er geldt: als S, T : H → H ⁰ begrensd zijn, dan is S + T begrensd en kS + T k = sup

kf k=1

k(S + T )f k ≤ sup

kf k=1

kSf k + kT f k = kSk + kT k

en ook is kaSk = |a|kSk als a ∈ K. De begrensde operatoren T : H → H ⁰ vormen dus zelf een genormeerde vectorruimte B(H, H ⁰ ). Als H = H ⁰ dan vormen de begrensde operatoren (met de compositie als vermenigvuldiging) een algebra en we noteren dan B(H).

De operatornorm heeft nog een extra eigenschap t.o.v. een gewone norm: voor S ∈ B(H, H ⁰ ) en T ∈ B(H ⁰ , H ⁰⁰ ): kST k ≤ kSk · kT k. Immers, voor x ∈ H is kST xk ≤ kSkT xk ≤ kSkkT kkxk.

Propositie 2.9: Als H ⁰ een Banachruimte is, dan is B(H, H ⁰ ) zelf een Banachruimte.

Bewijs: Laat {T _n } een fundamentaalrij van lineaire operatoren in B(H, H ⁰ ) zijn. Voor x ∈ H is kT n (x) − T m (x)k ≤ kT n − T m kkxk, dus {T n (x)} is een fundamentaalrij in H ⁰ . Omdat H ⁰ volledig is, heeft de rij een limiet T (x). Het is nu eenvoudig om na te gaan dat T een lineaire operator is en dat kT k = lim _n→∞ kT _n k. I.h.b. is T begrensd. ¦

Voorbeelden:

1. Op een eindig-dimensionale vectorruimte is elke lineaire afbeelding begrensd.

2. Laat H = ` ₂ . Beschouw de (links- en rechts)verschuivings-operatoren:

L(x ₁ , x ₂ , x ₃ , . . .) = (x ₂ , x ₃ , . . .), R(x ₁ , x ₂ , x ₃ , . . .) = (0, x ₁ , x ₂ , . . .) Er geldt dat L, R ∈ B(H) en kLk = kRk = 1.

3. De operator id _H : H → H die elke v ∈ H op zichzelf afbeeldt, is begrensd met norm 1.

4. Voor H een Hilbertruimte is voor v ∈ H de operator i _v : H → K gedefinieerd door i _v (x) = hv, xi.

Volgens de ongelijkheid van Schwarz is |i v (x)| ≤ kvkkxk. Anderzijds is i v (v) = kvk ² . i v is dus een

begrensde operator en ki _v k = kvk.

5. De evaluatie-operator E c en de differentiaaloperator _dx ^d op L 2 (a, b) zijn niet begrensd. (Zie de opgaven.)

Propositie 2.10: Laat H, H ⁰ genormeerde vectorruimten zijn. Een lineaire operator T : H → H ⁰ is begrensd dan en slechts dan als T continu is.

Bewijs: Stel dat T begrensd is. Voor x, y ∈ H is kT (x) − T (y)k ≤ kT kkx − yk, dus T is continu.

Omgekeerd, stel T : H → H ⁰ is niet begrensd; dan is er een rij {y _i } ^∞ _i=1 met y _i ∈ H en ky _i k = 1 zodat kT (y i )k = a i → ∞. Dan ky i /a i k → 0 maar kT (y i /a i )k = 1, dus is T niet continu. ¦

Gevolg: Zij T ∈ B(H, H ⁰ ). Dan is ker(T ) = {x ∈ H : T (x) = 0} een gesloten deelruimte van H.

Bewijs: Laat {x _n } ^∞ _n=1 een Cauchyrij in ker(T ) zijn. De rij heeft een limiet x ∈ H. Omdat T continu is, is T (x) = lim _n→∞ T (x _n ) = 0 en dus x ∈ ker(T ).

We bekijken voorbeeld 4 nog wat nader. De ruimte H ^∗ = B(H, K) heet de duaal van H. H ^∗ bevat alle operatoren van de vorm i _v met v ∈ H. Omgekeerd geldt ook:

Stelling 2.11: (representatiestelling van Riesz) Voor elke f ∈ H ^∗ bestaat er een v ∈ H zodanig dat f = i _v .

Bewijs: Als f = 0, dan is v = 0. Als f 6= 0, dan is de dimensie van (ker(f )) ^⊥ gelijk aan 1.

Immers als x, y ∈ (ker(f )) ^⊥ , dan is f (x)y − f (y)x ∈ ker(f ) en dus is f (x)y − f (y)x = 0 m.a.w.

x, y zijn lineair afhankelijk. Kies w ∈ (ker(f )) ^⊥ zodanig dat kwk = 1. Nu is v = wf (w): immers is f (w) = hv, wi en als x ∈ ker(f ), dan is f (x) = 0 en hv, xi = 0. Omdat ker(f ) gesloten is, is H = ker(f ) ⊕ (ker(f )) ^⊥ . Omdat f en i v lineair zijn en overeenstemmen op ker(f ) en (ker(f )) ^⊥ , stemmen ze overeen op H. ¦

Opmerking: Op H ^∗ kunnen we een inproduct defini¨eren d.m.v. hi v , i w i = hw, vi. H ^∗ wordt zo een Hilbertruimte. Elke Hilbertruimte is isomorf met zijn eigen duaal: φ : H → H ^∗ zodanig dat φ(v) = i _v een (antilineair) isomorfisme van Hilbertruimten is dat het inproduct op complexe conjugatie na invariant laat: hv, wi = hφ(w), φ(v)i.

Definitie. T ∈ B(H) heet inverteerbaar (op B(H)) als T bijectief is en als T ⁻¹ ∈ B(H). λ ∈ C heet een regulier punt van T als de operator T − λ · id _H inverteerbaar is. De verzameling ρ(T ) van reguliere punten van T heet de resolvente verzameling van T . Het complement σ(T ) = C\ρ(T ) heet het spectrum van T . Merk op dat σ(T ) de eigenwaarden van T bevat (dit zijn de complexe getallen λ zodanig dat T (x) = λx voor zekere λ ∈ H), maar groter kan zijn.

Uit het volgende lemma volgt dat σ(T ) een begrensde deelverzameling van C is.

Lemma 2.12: (a) Laat T ∈ B(H) en kT k < |λ|. Dan is T − λ · id _H begrensd en inverteerbaar en (T − λ · id _H ) ⁻¹ = − 1

λ X ∞ n=0

µ T λ

¶ _n .

(b) Als S, T ∈ B(H) en T is inverteerbaar en kT − Sk < kT ⁻¹ k ⁻¹ , dan is S inverteerbaar.

Bewijs: (a) Daar kT /λk < 1, is P _∞

n=0 kT k ⁿ /|λ| ⁿ een convergente reeks en de limiet van een rij be- grensde operatoren is zelf een begrensde operator volgens Propositie 2.9 m.a.w. S = P _∞

n=0 (T /λ) ⁿ is begrensd. Verder geldt dat

(T − λ · id _H ) X N n=0

(T /λ) ⁿ = −λ ¡

id _H − (T /λ) ^{N +1} ¢

= X N n=0

(T /λ) ⁿ (T − λ · id _H )

en door de limiet voor N → ∞ te nemen zien we dat (T − λ · id _H )S = −λ · id _H .

(b.) kST ⁻¹ − id H k ≤ kT ⁻¹ kkS − T k < 1 dus volgens (a) is ST ⁻¹ inverteerbaar. Maar dan is S bijectief en S ⁻¹ = T ⁻¹ (ST ⁻¹ ) ⁻¹ , dus is S ⁻¹ begrensd. ¦

Gevolg 2.13: Zij T ∈ B(H). Het spectrum σ(T ) is een begrensde en gesloten verzameling.

Bewijs: Uit lemma 2.12(a) volgt dat voor λ ∈ σ(T ) geldt dat |λ| ≤ kT k. Uit (b) volgt dat als λ ∈ ρ(T ), en |µ − λ| < kT ⁻¹ k ⁻¹ , dan µ ∈ ρ(T ). Dus ρ(T ) is een open verzameling. ¦

Opmerking: Het spectrum bevat in elk geval de eigenwaarden van een operator: als T (x) = λx voor zekere x 6= 0 en λ ∈ C, dan is T −λ·id niet inverteerbaar. Het spectrum kan echter groter zijn dan de verzameling eigenwaarden. Beschouw de right-shift R : ` 2 → ` 2 . Het is niet moeilijk om na te gaan dat R geen eigenwaarden heeft. Maar omdat het beeld van R het orthogonaal complement van het opspansel van e ₁ = (1, 0, . . .) is, is R niet-inverteerbaar, en dus is 0 ∈ σ(R). In feite geldt zelfs: σ(R) = {λ ∈ C : |λ| ≤ 1}.

Laat H, H ⁰ Hilbertruimten zijn en T ∈ B(H, H ⁰ ). Voor elke x ∈ H ⁰ is de afbeelding y → hx, T yi een begrensde afbeelding van H naar K, dus een element van H ^∗ . Volgens stelling 2.10 is er dan een v ∈ H zodanig dat hx, T yi = hv, yi voor y ∈ H. We schrijven v = T ^† x. Er geldt dus

hx, T yi = hT ^† x, yi (y ∈ H, x ∈ H ⁰ ). (2.3) T ^† : H ⁰ → H heet de geadjungeerde van T . Het is eenvoudig om in te zien dat T ^† een lineaire operator is en dat T ^†† = T . Bovendien is T ^† begrensd. Er geldt nl:

Lemma 2.14: Als T ∈ B(H, H ⁰ ) dan T ^† ∈ B(H ⁰ , H) en kT k = kT ^† k.

Bewijs: Dit volgt onmiddellijk uit het feit dat kT k = sup

kxk=kyk=1

|hx, T yi|. (2.4)

We bewijzen (2.4): zij x ∈ H ⁰ en y ∈ H met kxk = kyk = 1. Dan is |hx, T yi| ≤ kxkkT yk ≤ kT k. Kies verder x = T y/kT yk. Dan is hx, T yi = kT yk, en dus is sup _kxk=kyk=1 |hx, T yi| ≤ sup _kyk=1 kT yk = kT k. ¦

Definitie: T ∈ B(H) heet zelfgeadjungeerd of hermites als T = T ^† . Propositie 2.15: Zij T ∈ B(H, H ⁰ ). Dan geldt

ker(T ^† ) = (im(T )) ^⊥ , im(T ^† ) ⊂ (ker(T )) ^⊥ . Als im(T ^† ) gesloten is, dan geldt zelfs im(T ^† ) = (ker(T )) ^⊥ .

Bewijs: Zij x ∈ ker(T ^† ). Dan is hx, T yi = hT ^† x, yi = 0 voor alle y ∈ H. Dus is x ∈ (im(T )) ^⊥ . De redenering geldt ook in omgekeerde richting. Stel nu y = T ^† z voor zekere z ∈ H ⁰ en laat x ∈ ker(T ). Dan is

hy, xi = hT ^† z, xi = hz, T xi = 0.

Als im(T ^† ) gesloten is, dan geldt: im(T ^† ) = ¡

im(T ^† ) ¢ ⊥⊥

= (ker(T )) ^⊥ volgens Propositie 2.4 en de eerste identiteit (waarbij we gebruiken dat T ^†† = T ). ¦

§2.5. Compacte operatoren.

Laat H, H ⁰ Banachruimten zijn. Een begrensde operator T : H → H ⁰ heet compact als voor elke

begrensde rij {x _n } ^∞ _n=1 in H de rij van beelden {T (x _n )} ^∞ _n=1 een convergente deelrij in H ⁰ heeft.

Voorbeelden:

i. Als H, H ⁰ eindig-dimensionaal zijn, dan is het beeld van de eenheidsbol {x ∈ H : kxk = 1} onder de continue afbeelding T begrensd en gesloten in H ⁰ , en dus compact. Elke lineaire operator in B(H, H ⁰ ) is dus compact.

ii. Een lineaire operator T ∈ B(H, H ⁰ ) waarvan de dimensie van het beeld T (H) eindig is, heet een operator van eindige rang. Operatoren van eindige rang zijn compact. We geven een voorbeeld van zo’n operator: laat a, b ∈ R, H = L ₂ ([a, b]), laat K(x, y) = P _n

i=1 φ _i (x)ψ _i (y) waarbij φ _i , ψ _i : [a, b] → C continue functies zijn. De lineaire operator T : H → H gegeven door T (f )(x) = R _b

a K(x, y)f (y)dy is compact.

iii. Laat H een oneindig-dimensionale Hilbertruimte zijn. Dan is de identiteitsoperator id H begrensd, maar niet compact. Immers, kies een orthonormaal stelsel {e _n } ^∞ _n=1 . Dan is voor n 6= m:

kT e _n − T e _m k = ke _n − e _m k = √

2. De rij {T e _n } bevat dus geen convergente deelrij.

iv. Een operator K : H → H heet een Hilbert-Schmidtoperator als tr(K ^† K) eindig is. Hilbert- Schmidtoperatoren zijn compact. Een voorbeeld van een Hilbert-Schmidtoperator is de operator K : L 2 ([a, b]) → L 2 ([a, b]) gegeven door Kf (x) = R _b

a K(x, t)f (t)dt waarbij a, b ∈ R en K : [a, b] × [a, b] → C een continue functie is. Laat nl. {f _n } ^∞ _n=1 een orthonormale basis zijn van de Hilbertruimte. Dan is

tr(K ^† K) = X ∞ n=1

hKf _n , Kf _n i = X ∞ n=1

Z _b

a

Z _b

a

Z _b

a

K(x, t)K(x, u)f _n (t)f _n (u)dudtdx =

= Z _b

a

Z _b

a

K(x, t)K(x, t)dtdx < ∞.

Propositie 2.16: Laat H, H ⁰ Hilbertruimten zijn. Zij {K n : H → H ⁰ } ^∞ _n=1 een convergente rij compacte operatoren. Dan is K = lim _n→∞ K _n compact.

Bewijs: Zij {x _n } ^∞ _n=1 een begrensde rij in H en kx _n k ≤ M . Dan heeft de rij {K ₁ x _n } een convergente deelrij {K ₁ x ⁽¹⁾ n }. De rij {K ₂ x ⁽¹⁾ n } heeft een convergente deelrij {K ₂ x ⁽²⁾ n }. In het algemeen is voor m = 1, 2, . . . de rij {K _m x ^(m) n } convergent en {x ^(m) n } is een deelrij van {x ^(m−1) n }. Beschouw nu de rij {y _n = x ⁽ⁿ⁾ n }. Dit is een deelrij van {x _n } en de rijen {K _m y _n } convergeren voor elke m. Kies nu

² > 0 en N zo groot dat kK − K N k < ²/M . Kies N ⁰ zo groot dat voor m > n ≥ N ⁰ geldt dat kK _N y _n − K _N y _m k < ². Dan is voor m > n ≥ N ⁰

kKy _n − Ky _m k ≤ kKy _n − K _N y _n k + kK _N y _n − K _N y _m k + kK _N y _m − Ky _m k < ² + ² + ² = 3².

De rij {Ky n } is dus een fundamentaalrij en dus convergent. ¦

Voorbeeld: Laat K : ` 2 → ` 2 gegeven zijn door K(x 1 , x 2 , x 3 , . . .) = (x 1 , x 2 /2, x 3 /3, . . .). Dan is K = lim _n→∞ K _n waarbij K _n (x ₁ , x ₂ , . . .) = (x ₁ , x ₂ /2, . . . , x _n /n, 0, 0, . . .) van eindige rang is. Dus is K compact.

Men kan aantonen dat elke compacte operator K = B(H) voor H een Hilbertruimte de limiet is van een rij operatoren van eindige rang. Dit geldt niet in het geval dat H een Banachruimte is. Omdat de geadjungeerde van een eindige-rangoperator weer van eindige rang is en K ^† = lim _n→∞ K _n ^† als K = lim _n→∞ K _n , geldt:

Propositie 2.17: Als K ∈ B(H) een compacte operator is met geadjungeerde K ^† , dan is K ^†

compact.

Voor het spectrum van een compacte operator geldt nu het volgende resultaat:

Stelling 2.18 (spectraalstelling voor compacte operatoren): Zij H een oneindig-dimensionale Hilbertru- imte en K ∈ B(H) een compacte operator. Dan zijn de volgende beweringen waar:

a. 0 ∈ σ(K).

b. Ker(K − λ · id _H ) is eindig-dimensionaal als λ 6= 0.

c. Als λ 6= 0, dan is hetzij λ ∈ ρ(K) of λ is een eigenwaarde van K.

d. σ(K) is hetzij een eindige verzameling hetzij een aftelbaar oneindige begrensde verzameling met 0 als enige ophopingspunt.

Om de spectraalstelling te bewijzen, tonen we eerst een aantal deelresultaten aan.

Propositie 2.19: Laat S, K ∈ B(H) waarbij bovendien K een compacte operator is. Dan zijn de operatoren SK en KS compact.

Bewijs: Zij {x _n } een begrensde rij in H. Dan is {Sx _n } ook begrensd en dus heeft {KSx _n } een convergente deelrij. KS is dus compact. Ook heeft {Kx n } een convergente deelrij {Kx n

} met limiet y. Omdat S begrensd is, convergeert de rij {SKx _n

} dan naar Sy. Dus is SK een compacte operator. ¦

Stelling 2.20: Zij K ∈ B(H) een compacte operator en λ 6= 0 een complex getal. We schrijven id voor id _H .

i. Laat K _λ ^(m) = Ker(K − λ · id) ^m voor m = 1, 2, . . .. Dan breekt de rij van inclusies K _λ ⁽¹⁾ ⊂ K _λ ⁽²⁾ ⊂ . . . na eindig veel stappen af, m.a.w. er is een q zodat K _λ ^(q) = K _λ ^(q+1) . Verder zijn de deelruimten K _λ ^(m) eindig-dimensionaal en dus gesloten.

ii. Laat R ^(m) _λ = Im(K − λ · id) ^m voor m = 1, 2, . . .. Dan is R ^(r) _λ gesloten als r ≥ q (met q als in (i)).

Verder breekt de rij van inclusies R ⁽¹⁾ _λ ⊃ R _λ ⁽²⁾ ⊃ . . . na eindig veel stappen af, m.a.w. er is een r zodat R ^(r) _λ = R ^(r+1) _λ .

iii. Laat q resp. r de kleinste getallen zijn zodat in de rij inclusies in (i) en (ii) gelijkheid optreedt.

Dan is q = r. Verder is H = K _λ ^(q) ⊕ R ^(q) _λ .

Bewijs: (i.) Stel dat de dimensie van K _λ ⁽¹⁾ oneindig is. Dan is er een orthonormaal stelsel B = {e ₁ , e ₂ , . . .} in K _λ ⁽¹⁾ (merk op dat we zo’n orthonormaal stelsel m.b.v. de methode van Gram- Schmidt kunnen maken). B is een begrensde verzameling; anderzijds is ke n − e m k = √

2 voor n 6= m, en dus is kKe _n − Ke _m k = √

2|λ|. De rij {Ke _n } heeft dus geen convergente deelrij.

Tegenspraak. Aangezien volgens Prop.2.19 (K − λ · id) ^m = (K _m + (−λ) ^m · id) met K _m compact, is ook dim K _λ ^(m) eindig voor m > 1. In het bijzonder zijn de lineaire deelruimten K _λ ^(m) gesloten.

Het is nu eenvoudig in te zien, dat als K _λ ^(q) = K _λ ^(q+1) , dan is ook K _λ ^(q+j) = K _λ ^(q+j+1) voor j ≥ 1.

Als de rij K _λ ⁽¹⁾ ⊂ K _λ ⁽²⁾ ⊂ . . . niet afbreekt, dan bestaat er dus (volgens Propositie 2.4) een orthonor- maal stelsel vectoren {f 1 , f 2 , . . .} met f m ∈ K _λ ^(m) en f m ∈ (K _λ ^(m−1) ) ^⊥ . Dan is Kf m = λf m + g m

met g _m ∈ K _λ ^(m−1) dus voor n > m is kK(f _n − f _m )k = kλf _n + h _n k ≥ |λ| waarbij h _n ∈ K _λ ⁽ⁿ⁻¹⁾ . De rij {Kf _n } heeft dus geen convergente deelrij, tegenspraak.

ii. Laat q het kleinste getal zijn zo dat K _λ ^(q) = K _λ ^(q+1) . We tonen aan dat R ^(r) _λ gesloten is voor r ≥ q.

Laat hiertoe {x _n } een begrensde rij in R ^(r) _λ zijn die convergeert naar x ∈ H. Dan is x _n = (K−λ) ^r y _n .

Omdat K _λ ^(r) gesloten is, is H = K _λ ^(r) ⊕ (K _λ ^(r) ) ^⊥ en dus kunnen we y _n ∈ (K _λ ^(r) ) ^⊥ kiezen. Als de rij

{y n } een begrensde deelrij {y ⁰ _n } heeft, dan convergeert ((K − λ · id) ^r − (−λ) ^r )y _n ⁰⁰ = K r y _n ⁰⁰ voor een

deelrij {y _n ⁰⁰ } van {y _n ⁰ } naar een limiet y (K _r is compact). Maar dan convergeert de rij {y ⁰⁰ _n } zelf naar

y ⁰ = (x − y)(−λ) ^−r en dus is x = (K − λ) ^r y ⁰ en x ∈ R _λ ^(r) . Als de rij {y _n } geen begrensde deelrij heeft, dan is lim _n→∞ ky _n k = ∞, en als w _n = y _n /ky _n k, dan (K − λ)w _n = (K _r − (−λ) ^r )w _n → 0 voor n → ∞. Anderzijds heeft de rij {K _r w _n } een convergente deelrij {K _r w ⁰ _n }. Maar dan convergeert de rij {w ⁰ _n }. Noem de limiet w. Dan geldt kwk = 1, Kw = λw en w ∈ (K _λ ^(r) ) ∩ (K _λ ^(r) ) ^⊥ = {0}.

Tegenspraak. Het bewijs dat de rij inclusies R _λ ⁽¹⁾ ⊃ R ⁽²⁾ _λ ⊃ . . . afbreekt verloopt analoog aan het bewijs voor K _λ ^(m) .

iii. Laat x ∈ K _λ ^(q) ∩ R ^(q) _λ . Dan is x = (K − λ) ^q y en (K − λ) ^q x = 0. Dan is (K − λ) ^2q y = 0, dus x = (K − λ) ^q y = 0. Laat nu x ∈ K _λ ^(q) , x 6∈ K _λ ^(q−1) . Dan y = (K − λ) ^q−1 x ∈ R ^(q−1) _λ ∩ K _λ ⁽¹⁾ . Als R _λ ^(q) = R ^(q−1) _λ , dan is y = (K − λ) ^q w voor zekere w en uit w ∈ K _λ ^(q+1) = K _λ ^(q) volgt dan dat y = 0, tegenspraak. Conclusie: r ≥ q. We tonen nu aan dat H = K _λ ^(q) + R ^(m) _λ voor alle m ≥ 1. Laat x 6∈ K _λ ^(q) = K _λ ^(r) , en laat y = (K − λ) ^r x. Dan is er een w zodanig dat y = (K − λ) ^r+1 w en dus is (K − λ) ^r ((K − λ)w − x) = 0. Dus x = (K − λ)w + x ⁰ met x ⁰ ∈ K _λ ^(q) , dus H = R ⁽¹⁾ _λ + K _λ ^(q) . Laat nu x ∈ R ⁽¹⁾ _λ . Dan is x = (K − λ)y met y ∈ H dus y = y ⁰ + y ⁰⁰ met y ⁰ ∈ R ⁽¹⁾ _λ , y ⁰⁰ ∈ K _λ ^(q) zodat R _λ ⁽¹⁾ = R ⁽²⁾ _λ + K _λ ^(q) en dus ook H = R ⁽²⁾ _λ + K _λ ^(q) . Zo verdergaand vinden we dat H = R ^(m) _λ + K _λ ^(q) voor alle m ≥ 1 en i.h.b. is voor m ≥ q de som een directe som H = R _λ ^(m) ⊕ K _λ ^(q) . Maar omdat tevens R ^(m+1) _λ ⊂ R _λ ^(m) voor alle m, is R ^(q) _λ = R ^(q+1) _λ en dus is r ≤ q. Conclusie: q = r en H = R _λ ^(q) ⊕ K _λ ^(q) . ¦

Bewijs van Stelling 2.18:

a. Zij K een compacte operator. Als K niet-inverteerbaar is, dan ligt 0 in σ(K). Als K inverteer- baar is, en K ⁻¹ begrensd, dan is KK ⁻¹ = id _H compact volgens Propositie 2.19, maar dit is in tegenspraak met voorbeeld (ii). Dus K ⁻¹ is niet begrensd en 0 ∈ σ(K).

b. Dit volgt direct uit Stelling 2.20.

c. Laat λ 6= 0. Neem aan dat λ ∈ σ(K). Dan is hetzij λ een eigenwaarde van K of (K − λ) is bijectief maar (K − λ) ⁻¹ is niet begrensd. In het laatste geval is er een rij {x n } met kx n k = 1 zodanig dat (K − λ)x _n naar 0 convergeert. Omdat K compact is, is er een convergente deelrij {Kx ⁰ _n } van {Kx _n }. Maar dan convergeert de rij {x ⁰ _n } naar een element x met kxk = 1 en (K − λ)x = 0. Maar dan is K − λ · id niet bijectief, dus dit geeft een tegenspraak.

d. Laat λ 6= 0 en laat K λ : R ^(q) _λ → R _λ ^(q) de restrictie zijn van K tot R ^(q) _λ . Volgens stelling 2.20(iii) is λ geen eigenwaarde van K λ , verder is K λ compact omdat R ^(q) _λ gesloten is. Volgens (c) is dan λ ∈ ρ(K _λ ) en omdat ρ(K _λ ) open is, is λ geen verdichtingspunt van σ(K _λ ).

Verder geldt: als µ 6= λ, µ 6= 0 in σ(K) ligt, dan is het een eigenwaarde van K, en dus ook een eigenwaarde van K λ : immers stel Kx = µx voor zekere x ∈ H, x 6= 0. Dan is (K − λ) ^q x = (µ − λ) ^q x 6= 0 en (K − λ) ^q x ∈ R ^(q) _λ , en dus ook x ∈ R ^(q) _λ . Maar dan is µ ∈ σ(K λ ). Conclusie: λ is geen verdichtingspunt van σ(K). ¦

Opmerking: Er zijn compacte operatoren zonder eigenwaarden. In dit geval bestaat het spectrum alleen uit het nulelement. Een voorbeeld is de Hilbertruimte H = ` ₂ (C) met K ∈ B(H) gedefinieerd door K(x 1 , x 2 , x 3 , . . .) = (0, x 1 , x 2 /2, x 3 /3, . . .).

§2.6. De spectraalstelling voor compacte zelfgeadjungeerde en normale operatoren.

Als H een Hilbertruimte is en K ∈ B(H) is zowel compact als zelfgeadjungeerd, dan geldt het

volgende resultaat:

Stelling 2.21: Zij K een compacte zelfgeadjungeerde operator op een Hilbertruimte H. Dan geldt:

i. K heeft een eigenwaarde.

ii. Alle eigenwaarden van K zijn re¨eel.

iii. Eigenvectoren behorende bij verschillende eigenwaarden van K zijn orthogonaal.

iv. H = H ₀ ⊕W waarbij W = ⊕ _λ6=0 H _λ en waar H _λ = Ker(K −λ·id) de eigenruimte is bij eigenwaarde λ.

v. Voor x ∈ H geldt dat

Kx = X ∞ k=1

λ _k (e _k , x)e _k (2.5)

waarbij λ ₁ , λ ₂ , . . . de eigenwaarden ongelijk aan 0 van K zijn, met multipliciteit geteld en {e _k } ^∞ _k=1 een orthonormaal stelsel is van eigenvectoren bij de eigenwaarden λ ₁ , λ ₂ , . . ..

Bewijs:

i. Omdat K begrensd is, bestaat k = sup _kxk=1 hx, Kxi en ` = inf <sub>kxk=1</sub> hx, Kxi. Als k = ` = 0, dan is hx, Kxi = 0 voor alle x ∈ H. Omdat K zelfgeadjungeerd is, is dan ook hx, Kyi = 0 voor alle x, y ∈ H en K is de nuloperator. In het andere geval kunnen we aannemen dat k 6= 0 (door zo nodig

−K i.p.v. K te beschouwen). Er is dan een rij {x _n } met kx _n k = 1 zodanig dat k _n = (x _n , Kx _n ) en k _n ↑ k. De operator L = k · id − K is begrensd en positief semi-definiet (d.w.z. (x, Lx) ≥ 0 voor alle x ∈ H). Dan is (x, y) := hx, Lyi een semi-inproduct en dus geldt de ongelijkheid van Schwarz:

|(y, Lx)| ² ≤ (y, Ly)(x, Lx). Nu geldt voor y ∈ H, kyk = 1:

|hy, Lx _n i| ≤ hx _n , Lx _n ihy, Lyi ≤ (k − k _n )kLk.

Als Lx _n = 0, dan is Kx _n = kx _n en zijn we klaar. Als Lx _n 6= 0, dan vinden we door y = Lx _n /kLx _n k te nemen dat

kLx _n k = kKx _n − kx _n k ≤ (k − k _n )kLk

dus de rij {Kx _n − kx _n } convergeert naar het nulelement. Anderzijds is er, omdat K compact is, een deelrij {x ⁰ _n } zodanig dat Kx ⁰ _n convergeert. Noem de limiet z. Merk op dat z 6= 0 omdat k 6= 0 is (anders convergeert de rij {kx ⁰ _n } naar 0, tegenspraak). Nu convergeert {K ² x ⁰ _n −kKx ⁰ _n } enerzijds naar 0, en anderzijds naar Kz − kz. Dus Kz = kz en z is een eigenvector bij eigenwaarde k.

ii. Laat λ een eigenwaarde van K zijn en Kx = λx, x 6= 0, dan is λ(x, x) = (x, Kx) = (Kx, x) = λ(x, x) dus λ = λ.

iii. Laat λ en µ verschillende eigenwaarden zijn en laat Kx = λx, Ky = µy en λ 6= µ. Dan λ, µ ∈ R en

λ(x, y) = (Kx, y) = (x, Ky) = µ(x, y) en dus is (x, y) = 0.

iv. Omdat volgens stelling 2.18 λ = 0 het enige verdichtingspunt is van eigenwaarden en de eigen-

ruimten bij de andere eigenwaarden eindig-dimensionaal zijn, en verder de eigenruimten H _λ bij ver-

schillende eigenwaarden orthogonaal zijn, zijn er hoogstens aftelbaar veel eigenwaarden λ ₁ , λ ₂ , . . .

en is de directe som W = ⊕ ^∞ _k=0 H λ

goed gedefinieerd, waarbij de som is genomen over alle eigen-

waarden λ _k (waarbij λ ₀ = 0). Laat W de afsluiting van W zijn. Dan is H = W ⊕ W ^⊥ . We