E.W. Beth als logicus - Hoofdstuk 10 Beth modellen

UvA-DARE is a service provided by the library of the University of Amsterdam (https://dare.uva.nl)

E.W. Beth als logicus

van Ulsen, P.

Publication date

2000

Link to publication

Citation for published version (APA):

van Ulsen, P. (2000). E.W. Beth als logicus. ILLC dissertation series 2000-04.

General rights

It is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the author(s)

and/or copyright holder(s), other than for strictly personal, individual use, unless the work is under an open

content license (like Creative Commons).

Disclaimer/Complaints regulations

If you believe that digital publication of certain material infringes any of your rights or (privacy) interests, please

let the Library know, stating your reasons. In case of a legitimate complaint, the Library will make the material

inaccessible and/or remove it from the website. Please Ask the Library: https://uba.uva.nl/en/contact, or a letter

to: Library of the University of Amsterdam, Secretariat, Singel 425, 1012 WP Amsterdam, The Netherlands. You

will be contacted as soon as possible.

Hoofdstukk 10

B e t hh modellen

"Persönlich"Persönlich bin ich augcnhlicklidi noch immer mit den semantischen Tafeln beschaftigt.beschaftigt. Ich habejetzt dio Methode aufdic intuitionistische Logik übertragen undund dieseïbe in cinem Vollstandigkeitsbeweis verwendet der nicht, wie die

bis-herigen,herigen, vou eincm dem formalcn System angepassten, sondern von dom in derder intuitionistischen Mathematik selbst üblichcn Begriff eines Mudelïs (oder Gegenbeispieïs)Gegenbeispieïs) ausgeht. Voni intuitionistischcii Standpunkt aus ist das Ergcb-uisuis uncrwartet und schwer zu verdauen, wie es inir erscheint, obzwar es nichts

gegengegen den Intuitionismus als solclicn bewcist." 1

10.11 De basis van de Beth-modellen

10.1.11 Spreiding en tegenmodel

Z o e k t o c h tt n a a r e e n i n t u ï t i o n i s t i s c h e i n t e r p r e t a t i e

I n t e r p r e t a t i e s .. Aanvankelijk waren er alleen informele interpretaties,

'ver-klaringen'' van de betekenis van de intuïtionistische logische operaties. H e y t i n g (1931),, later vollediger in Heyting (1934), gaf, v o o r t b o u w e n d op beschouwingen vann Brouwer, een verklaring in termen van de primitieve begrippen ' c o n s t r u c -tie11 en 'constructief bewijs'; Kohnogoroff (1932) formuleerde onafhankelijk zijn i n t e r p r e t a t i ee van de intuïtionistische propositielogica als een calculus van p r o b -lemen.. Heyting en Kohnogoroff zagen dit oorspronkelijk als verschillende inter-pretaties,, veel later zou Heyting ze in Heyting (1958a) gelijk stellen ( v a n d a a r dee a a n d u i d i n g als Brouwer - Heyting - Kolmogoroff i n t e r p r e t a t i e in de recente l i t e r a t u u r ) . .

Inn dit s t a d i u m waren er veel misverstanden te overwinnen, zoals o.a. blijkt uitt de eindeloze polemiek door de heren Barzin en E r r e r a gevoerd. Met een kort citaatt uit Glivenko (1928), p . 225, kan de onenigheid worden omschreven: " O n s'efïorcee parfois, comme M M . Barzin et E r r e r a 1'ont fait, d'intcrprctcr Ie contenu dee la logique brouwerienne en introduisant la notion de propositions tierces,

1_{Uitt de brief E.W. Beth H. Stholz, 10 november 1956. Tafel = tableau.}

c'est-a-diree de propositions qui ne sont ni vraies ni fausses. J e vais moiitrer que danss la logique brouwerienne, 1'introduction des propositions tierces est a u t a n t illégitirnee q u e d a n s la logique classique, de sort que la logique brouwerienne nrest nullementt u n e logique t r i p a r t i t e . " 2

N a d a tt Tarski (1935a) een precieze formulering voor waarheid in de klassieke contextt h a d geformuleerd, rees vanzelf de v r a a g of iets dergelijks ook mogelijk wass voor de intuïtionistische logica. Voor de propositie-logica gaf Tarski (1938) zelff al een a n t w o o r d d.m.v. een semantiek met valuaties w a a r v a n de w a a r d e n openn verzamelingen in een topologische r u i m t e waren.

Inn twee opzichten bleef er echter een kloof bestaan tussen h e t bereikte en hett wenselijke m.b.t. de formele semantiek van de intuïtionistische logica.

(a)) Voor een volledigheidsbewijs was Tarski, en vele auteurs n a h e m , gedwong-enn op m e t a m a t h e m a t i s c h niveau klassieke, niet-intuïtionistische m e t h o d e n toee t e l a t e n (niet d a t Tarski dit als een probleem beschouwde).

(b)) In p l a a t s van de, van de klassieke nogal radicaal afwijkende semantiek m e tt oneindig veel waarheidswaarden zoals bij Tarski en velen n a h e m , kan menn o o k vragen n a a r een semantiek die intuïtief dichter bij d e klassieke s e m a n t i e kk s t a a t : A is geldig d.e.s.d. als voor alle intuïtionistisch zinvolle i n t e r p r e t a t i e ss * de u i t s p r a a k A* intuïtionistisch waar is (een i n t e r p r e t a t i e moett een domein voor het individuenbereik aanwijzen en relaties voor de relatie-symbolenn in ^4).

Beidee lacunes waren vooreerst moeilijk t e vullen; gezien dit v a c u u m waren b e n a d e r i n g e nn als die van Kleenc (1945) m e t zijn numerieke realiseerbaarheid interessant. .

Dee l e e m t e n (a) en (b) werden pas veel later gevuld, en wel m e t n a m e door (hett vervolg op) werk van B e t h en Kreisel.

Inn de discussie betreffende de mogelijkheid van intuïtionistische volledig-heidsbewijzenn is vaak sprake van een zekere verwarring, die zijn o o r s p r o n g vindt inn Heytings e e r s t e formaliscringsartikcl (1930), p . 42, waar hij enerzijds o p m e r k t : "Ess ist prinzipiell unmügüch, ein System von Formeln aufzustellen, das mit der intui-tionistischenn Mathematik gleichwertig ware, denn die Möglichkeiten des Denkens lassen sichh nicht auf eine endliche Zahl von ini Voraus aufstellbaren Regeln zurückführen/' M a a rr anderzijds, een bladzijde later:

"Diee Vollstandigkeit im weiteren Sinne, welche besagt, dafi jede Formel, welene eine richtigee Beziehung zwischen Aussagen darstellt. aus den Axiomen gefulgert werden kann.. und welche alsu wieder auf die mathematische Interpretation des Formalsysterns bezugg nimmt, kann, wie schon oben bemerkt worden ist, aus prinzipiellen Gründen nichtt gefordert werden."

Hett eerste c i t a a t heeft het over alle mogelijkheden om iets te bewijzen; en zelfs in dee klassieke wiskunde h e b b e n we geen mogelijkheden om een dergelijke totaliteit t ee karakteriseren. Anderzijds is het niet uitgesloten dat voor u i t s p r a k e n in een ^Zïee voor verdere discussie de artikelen van Heyting, Barzin, Errera en andereu rond 1930. Vergelijkk Heyting (1980), pp. 252 260 en Heyting (1958a), p.108-109.

10.1.10.1. De. basis van de Beth-modellen 269 9

welomschrevenn taal geldigheid samenvalt met bewijsbaarheid in een b e p e r k t systeemm — en dit is precies w a t volledigheid van de klassieke predicatenlogica i n h o u d t . .

B e t hh k o m t o p . Vanaf 1945 begon B e t h belangstelling voor deze kwesties t e

krijgen.. Hij wenste een c o m b i n a t i e van intuïtionistische logica, Tarski's waar-heidsdefmitiee en een w a a r a c h t i g e intuïtionistische interpretatie. Voor het laatste wildee hij eindige spreidingen en keuzerijen, waar Brouwer gebruik van m a a k t e bijj de opbouw van zijn a n a l y s e , in gaan zetten. Beth was in die tijd echter nogg niet bij machte o m zijn gedachten formeel uit te werken. P a s bij zijn ontwikkelingg van s e m a n t i s c h e t a b l e a u s bedacht hij, d a t men hiermee wellicht ookk een intuïtionistische s e m a n t i e k kan construeren. Tussen beide pogingen in 19477 en 1955 ligt er bij B e t h een gat. In die periode was zijn belangstelling voorr h e t intuïtionismc niet verdwenen, m a a r produceerde hij niet werk d a t vergelijkbaarr is met w a t hij de d a a r o p komende jaren zou afleveren. Wel hield hijj voordrachten die zijn kermis m.b.t. het opzetten van een intuïtionistisch volledigheidsbewijss o n d e r b o u w d e n .

Mett zijn semantiek z e t t e B e t h zich af tegen een al t e operationalistische a a n p a kk van een intuïtionistische semantiek. R,asiowa is een goed voorbeeld van h e tt tegendeel. Zij h a d d e n o d i g e bedenkingen tegen een dergelijke, voor h a a r onnodigee achtergrond. D e volgende passage wordt gegeven, o m d a t de d a a r i n vermeldee gedachten w e l h a a s t exemplarisch zijn: 3

"Thee inclusion of two chapters on intuitionism is not an indication of the authors' positivee attitude towards intuit ion istic ideas.4 Intuitionism, like other non-classical logics,, has no practical application in mathematics. [... ] It is amazing that vaguely dennedd philosophical ideas concerning the notion of existence in mathematics have led too the creation of formalized logical systems which, from the mathematical point of view,, proved to be equivalent to the theory of lattices of open subsets of topological spaces.55 [...] we have not included the latest results of Beth and Kreisel concerning otherr notions of satisfiability than the algebraic notion of satisfiability which we have adopted.1' '

B e t hh vond d a t het beschouwen ran intuïtionistische logica als alweer het zoveelstee systeem — en h e t dientengevolge metalogisch alleen m e t een klassiek redeneer-systeemm dit van een operationele kant aanpakken — geen recht deed a a nn het intuïtionismc: 6

"Alreadyy in 1938 a completeness proof for the intuitionistic calculus was given by Tarski.. They [Rasiowa en Tarski] start from Heyting's formulation of intuitionistic logicc and, for this formal system, they establish a certain interpretation which is en-tirelyy based upon the structural properties of the system and has hardly any connection withh intuitionistic mathematics itself.1'

3

(Rasiowaa & Sikorski 1963), p . 8-9.

4

D a tt was het bij Beth ook niet in alle opzichten.

5

Ziee de supplementen, topologie.

Vann intuïtionistische zijde, met name Heyting, was men d a a r m e e evenmin gelukkig.. Meer nog, de gedachte, dat men het b e s t u d e r e n van het intuïtionisrne —— en de praktijk d a a r v a n — kan vervangen door h e t bestuderen v a n a a n g e d r a -genn semantieken, was volgens Heyting een onjuiste. Een goed voorbeeld v o r m t h e tt vermelde onderzoek door Klecne; niet over dit onderzoek zelf, m a a r wel m . b . t .. daaruit getrokken onjuiste gevolgtrekkingen — niet door Klecne, m a a r well door anderen — m e r k t e Heyting tegen Kreisel op: 7

"II have no objections against anything Kleene has written about intuitionism, but I protestt against the idea which is rather common, that his results permit to abolish intuitionismm and to study the theory of recursive functions or that of realizability instead.. Every result of Kleene is relative to a given formalization of intuitionistic mathematics,, and one can never be sure that this formalization is complete. T h e questionn whether an intuitionistic reasoning can be formalized in the system, can onlyy be answered after that the reasoning be made. Consequently an intuitionistic mathematiciann runs at every moment the risk of applying methods which do not fit intoo the system"

Kleenee neemt volgens Heyting8 overal de nodige voorzichtigheid in acht: "I m a i n t a i nn t h a t I have n o objection against a n y t h i n g Kleene has w r i t t e n a b o u t intuitionism,, because Kleene always covers his r e t r e a t . " : dit blijkt ook in Kleene (1952a),, p. 514: " T h e negation -tix{A{x) V -u4(ar)) of t h a t formula \ix{A(x) V

->A(x))]->A(x))] is classically u n t r u e , b u t (by t h e corollary) realizable, a n d hence

in-tuitionisticallyy t r u e , if we accept realizability (intuitionistically established) as sufficientt for intuitionistic t r u t h . '

V o l l e d i g h e i d .. W a s h e t vanuit intuïtionistisch o o g p u n t wel mogelijk

volledig-heidsbewijzenn t e geven? In Heyting (1956) werd over de 'onmogelijkheid' van eenn intuïtionistisch bewijs gesproken: 9 "no formal system can be proved to representt adequately an intuitionistic theory. T h e r e always remains a residue off ambiguity in t h e i n t e r p r e t a t i o n of t h e signs". De teneur d a a r liep echter meerr n a a r een definitie-technisch probleem: het al d a n niet in voldoende m a t e omschrevenn k u n n e n zijn van wat de intuïtionisten bedoelen. Beth (1956rf), p .. 382, vatte dit evenwel ten onrechte op als een betwijfelen van de mogelijkheid t o tt volledigheid in d e metalogische zin. In B e t h (1956rf) werd dit b e s t r e d e n m e t eenn verwijzing n a a r het door hemzelf ontwikkelde systeem.

Inn Heyting (1968a), p . 317, werd opnieuw de mogelijkheid van een volledig-heidsbewijss betwijfeld. Deze keer werd dit gebaseerd op denkbeelden van Kreisel enn Gödel — d.w.z. Gödel (1933) zoals t e vinden in Kreisel ( 1 9 5 8 a ) .l ü Deze b e z w a r e nn berusten o p w a t door de verschillende soorten volledigheidsbewijzen a a nn principes geïmpliceerd wordt. Van sommige formules kan men zich afvragen off deze intuïtionistisch wel a a n v a a r d b a a r zijn.1 1 B e t h (1959c) (voorgedragen in

7

Brieff A. Heyting - G. Kreisel, 26 mei 1955, (Archief A. Heyting: brieven Kreisel).

ö

Brieff Heyting - G. Kreisel, 12 juli 1955, (Archief Heyting, brieven Kreisel).

9_{(Heytingg 1956), p . 102., 3}f _alinea. l ü

M . b . t ,, bovenvermeld artikel van Gödel geeft Kreisel (1958a) ten onrechte Gödels 'Zum intuitionistischenn Aussagenkalkül' op,

10.1.10.1. De basis van de Beth-modellen 271 1

1957)) g a a t hiertegen in; Beth ging daarbij uit van Kreisel (1957).

Hett belangrijkste onderscheid is het verschil tussen zwakke en sterke volledig-heidd voor de Heyting-calculus.1 2 E e r s t enkele begrippen. D loopt over species,

P*P* loopt over subspecies van DTi (d.w.z. de relaties o p D). An de beperking van

dee individuele variabelen van A t o t D. Bew(m,n) is het bewijspredicaat voor Heytiiig-calculuss gerelateerd a a n een gekozen toekenning van Gödel-getallen: m hett GÖdel-getal voor een formule m e t Godel-getal n; [„4] is het Gödel-getal voor

A. A.

1.. sterk. Formule A is volledig onder: als A geldig is, d a n is .4 bewijsbaar, ofwell V D V P ; . . . VPZAD{Pf . . . P ; ) -> 3pBew(jj, \A])

2.2. zwak. Als voorgaande, m a a r m e t dubbele ontkenning: VZ?VP,* . . . VP^*

AADD(PÏ(PÏ ... PA?) - ^3pBew(p, \A\)

Implicaties:: voor A(n,a) een primitief recursieve relatie tussen keuzcrijen a en natuurlijkee getallen n [en a uit de (0, l)-waardige binaire spreiding, zie het nog tee tonen Kleene en Vesley-plaatje] b e s t a a t er een formule A:

(a)) Wa—i-i3nA(n,a) —» V a 3 n A ( n , a ) , onder sterke volledigheid. (b)) V«->-<3n.4(n,a) —> - i - i V a 3 n A ( n , a ) , onder zwakke volledigheid.

(c)) Volgens Kreisel (1961), ( J S L : p . 141), impliceert het negatieve fragment vann H P C ^3nA{n) -4 3nA(n).

Kreisell (1961), (JSL: p . 141) meerit, d a t de laatste formule onder (c) zeker niett plausibel is voor de geïntendeerde interpretaties en vervolgt: "so it is plau-siblee t h a t H P C cannot be proved to be. strongly complete" On t h e o t h e r h a n d , (b) iss not so implausible, and m a y be provable on t h e basis of as yet undiscovered axiomss which hold for t h e intended interpretation [ . . . ] . So the problem whether

HPCHPC is weakly complete, is still open"

Volgenss Veldman (1976) h a d m e n over het algemeen de indruk, d a t een intuïtionistischh vollcdigheidsbewijs moeilijkheden met zich m e e b r a c h t : "[B]ut argumentss by K. Gödel a n d G. Kreisel gave people the feeling t h a t a n intuition-isticc completeness theorem would b e impossible [(Kreisel 1961)]. A (strong) completenesss t h e o r e m would imply ->->WxA(x) — VxA(x) for any primitive re-cursivee predicate ^4 of n a t u r a l n u m b e r s , a n d one has no reason t o believe this forr t h e usual intuitionistic i n t e r p r e t a t i o n . Nevertheless, t h e following [Veldman (1976)]] contains a correct intuitionistic completeness t h e o r e m for intuitionistic predicatee logic. So t h e old a r g u m e n t s by Gödel a n d Kreisel should n o t work forr the proposed semantical c o n s t r u c t i o n of intuitionistic logic. They d o not, indeed.. T h e reason is, loosely s p e a k i n g , t h a t negation is t r e a t e d positively."

Hett is echter niet zo, d a t H e y t i n g voortijdig de mogelijkheid t o t een intuïtio-nistischh volledigheidsbewijs ontkende, hij zag het alleen somber in: l3

" N a a rr Kreisel (1961).

"Itt is possible to find conditions which every intuitionistic proof in a certain field of mathematicss must satisfy; Brouwer has used such conditions in his proof of the fan theoremm (clearest exposition [zie Brouwer (1954)]). Thus you are right that perhaps suchh conditions can lead to a completeness proof for some systems of intuitionistic logic.. On the other hand I do not see how it could be mathematically proved that suchh a completeness proof is impossible; one can say at most that it seems highly improbable." "

B e t h ss i n z i c h t e n

B e t h ss k e u z e r i j e n i n 1 9 4 7 . Al in de jaren dertig en veertig h a d Beth zich

zoo nu en dan met de logische en filosofische kanten ran h e t intuïtionisme bezig g e h o u d e n .1 44 Opmerkelijke denkbeelden d i e n a a n g a a n d e vallen uit die periode niett t e halen. M a a r vanaf 1943, en meer nog in een artikel uit 1947 zocht hij een wegg o m met behulp van een semantiek op de wijze van Tarski intuïtionistische b e g r i p p e nn te k u n n e n b e h a n d e l e n : 15

"Ass soon however; as we enter into the relations between mathematical entities (and

theirr properties and relations) and mathematical constructions on the one side, and mathematicall statements (formulae, definitions) and proofs on the other, we are to combinee mathematical and metamathematical method, that is to say, we must apply thee semantical method."

D a tt semantische deel werd in B e t h (19476), p . 576, in de spreidingen gezocht: "Thee adoption of the semantical point of view gives rise to two questions, namely:

1.. whether there is, for any formal definition, a corresponding spread in the sense off non-formalized intuitionistic mathematics;

2.. whether there is, for any spread in the sense of non-formalized intuitionistic mathematics,, a corresponding formal definition of the type, described before. Thee first question may be answered in the affirmative without any hesitation." M e tt betrekking t o t de spreidingen merkte Beth (19476), p . 576 op: "Any s p r e a dd is determined by twro progressions M* and M of functions; consequently

1 4_{D ee artikelen Beth (19356) en Beth (1936) waren o.a. daar een gevolg van: de consistentie}

vann de klassieke rekenkunde als een voorbrengsel van de consistentie van de intuïtionistische rekenkunde.. Beth had dit geschreven zonder de eerdere resultaten dienaangaande van Gödel enn Gentzen te kennen. De uitvoering kwam Beth op kritiek van Gentzen te staan: brieven G.. Gentzen Beth, 25 en 29 januari 1937, (Göttingen)). Ook het door Beth (in de brief Bethh - G. Gentzen, 28 januari 1937, (Amersfoort)) naar voren brengen van Church {1936a) (eenn recensie van Beth (1936)) werd door Gentzen (brief Gentzen Beth, 29 januari 1937, (Göttingen))) ter zijde geschoven: "Sie (und Herr Barzin) sind also ini Irrtum, weiin Sie glauben,, den von Gödel und mir bewiesenen Satz von neuera bewiesen zu haben. Leider hat auchh Church in seinem Referat, das mir bekaimt ist, diese irrige Auffassung wiedergegeben." Hett door Beth tenslotte opgestelde 'complément', waarin hij de zaak recht zette, had wel Gentzenss instemming (brief G. Gentzen Beth, 6 februari 1937, (Göttingen)).

1 5

( B e t hh 19476}, p. 575. Hieraan voorafgaand was de Nederlandse versie ms. Semantische beschouwingenbeschouwingen over intuïtionistische wiskunde, deze was als een opsomming van bespiegelin-genn gevoegd bij de brief Beth L.E.J. Brouwer. 7 juli 1945, (Amersfoort). In Beth (19476)

wordtt dienaangaande in noot 1 vermeld: "This paper was written in July 1945, immediately afterr the liberation of our country.'" Wie het stuk op de zitting van de Akademie op 29 novem-berr 1947 ingediend heeft is de schrijver dezes onduidelijk: alleen leden konden dit, missschien wass het Brouwer. Volgens Beth (1959c), p. 15 was hij al in 1943 begonnen.

10.1.10.1. De basis van de Be.th-madellen 273 3

t h ee question arises, in which m a n n e r these progressions should be defined: it willl be evident, t h a t we should a p p l y recursion procedures." Later zou Beth zijnn denkbeelden in verband brengen m e t Brouwers iia-oorlogsche Cambridge-lessen.1_*55 _{Constructief a a n v a a r d b a r e metastelliiigen zoals een}

volledigheidsbe-wijss waren in 1947 nog een ver verwijderde mogelijkheid. Er moet worden opgemerkt,, d a t d e constructie van ' a n y s p r e a d is determined by two progres-sionss M* a n d M of functions' een rol zal spelen in Beths volledigheidsbewijs bijj het beschouwen van zijn modellen als tweetallen (j\4,Ar), die ieder op zich

geconstrueerdd zijn vanuit twee reeksen (M.1.M2, {A'i, A 2 ,

B e t hh (1947ft) b e s t o n d uit een aarzelend tasten naar een weg en zeker nog niet hett bewandelen d a a r v a n . In de j a r e n d a a r n a bestudeerde hij aspecten, die hem laterr van pas zouden komen bij het formuleren van zijn semantiek.1 7 Beth zocht inn zijn voordracht t e Berkeley in 1952 n a a r een andere formulering van de stelling vann Heine-Borel. Al in Brouwer (1926) wordt er op gewezen, dat de algemene vormm van de stelling van Heine-Borel intuïtionistiseh niet a a n v a a r d b a a r is. Wel iss dit het geval niet het toepassen van d e nodige inperkingen. Dit werd nog niet gegotenn in de terminologie van later tijd, m a a r Brouwer (1926) verschafte wel hett raamwerk d a a r t o e .1

Bethh bewoog zich in 1947 op een t e r r e i n , waarop ook S.C. Klecne werkzaam was.. Hierbij m o e t worden opgemerkt, d a t volgens Beth (19476), p p . 576, 577, inn het intuiïtionistische geval men niet n a a r willekeur over recursieve functies kann beschikken:

"Anyy spread is determined by two progressions M* and M of functions; consequently thee question arises, in which manner these progressions should be defined; it will be evident,, that we should apply recursion procedures. [... ] If, in the definition of the progressionss M* and M, we stick recursions of a definite type, only part of the spread in thee sense of non-formalized intuitionistic mathematics will be capable of being defined inn the formal manner described above, In this connection we should ask. whether fromm the intuitionistic point of view only recursions of a certain definite type are to bee admitted; in my opinion, we should rather admit an indefinite range of types of recursion." "

Hiermeee is in de ogen van Beth bij o p h a n g i n g a a n de spreidingen niet elke recursievee functie geschikt. Odifreddi (1989), p . 118, gebruikt dit en schrijft ditt resultaat t o e a a n Kleene (1943) en Beth (1947ft).19 Odifreddi geeft het weerr in de bewoordingen, dat elke constructieve functie recursief is, m a a r dat hett omgekeerde niet altijd o p g a a t .2 0 M e t het onderzoek naar die functies was Kleenee al o p het einde van de Tweede Wereldoorlog begonnen (volgens Kleene

I(i

Dezee lessen zijn naderhand door D. Van Dalen uitgegeven als Brouwer (1981). Beth had inn zijn tijd slechts een rudimentaire vorm tot zijn beschikking.

J7_{Bijvoorbeeld:: ras. E.W. Beth. Compactness proofs in intuitionistic mathematics,}

voor-drachtt van 15 mei 1952, Math. Colloquium, U.C., Berkeley (twee versies).

1 8

Hett is opmerkelijk, dat Beth in geen enkele van zijn publicaties een verwijzing naar dit artikell van Brouwer geeft.

19_{Volgenss Kleene (1948) was Beth (19475) onafhankelijk van de resultaten van Kleene (1945)}

enn Nelson (1947). Zie hierover ook Kleene (19526), p. 681.

2 0

(1952fc),, p . 681 al in 1941).2 l Hiertoe h a d hij zich ook o m de door intuïtionisten gebruiktee rijen en verzamelingen (soort, species) t e b e k o m m e r e n .

D ee rijen kunnen ontwikkeld worden met of zonder restricties. H e t is mogelijk omm tijdens de ontwikkeling restricties te veranderen ( t o e t e voegen, weg t e halen).. Zo kan een aanvankelijk zonder restricties a a n g r o e i e n d e rij vanaf een gegevenn moment een rij m e t restricties worden. Veelvuldig heeft men te m a k e n mett een beginrij (initiaalsegment). Notaties: Q , / ? , . . . : rijen; a(n): de eerste n waarden:: beginrij (initiaalsegment) t o t op de n-de w a a r d e van a ; a(n): de n-de waardee binnen de rij Q .

SpreidingenSpreidingen (spreads) zijn een ondersoort van de species. E e n spreiding

kann per knoop oneindig v e r t a k k e n d en van oneindige lengte zijn. Wij zijn hierr vooral in de per k n o o p eindig vertakkende spreidingen, de waaiers (fans), geïnteresseerd.. Met de waaiers kan m e n overgaan t o t het v o r m e n van een intuïtionistischh continuum en a a n de h a n d hiervan t o t het vormen van een intuïtionistischh a a n v a a r d b a r e analyse. D a a r n a a s t vormt hier de Hoofdstelling

vanvan de eindige spreidingen (waaierstelling, fan stelling) een belangrijk b e s t a n d

-deel:: als alle takken van een eindig vertakkende spreiding van eindige lengte zijn, d a nn is die spreiding als geheel van eindige lengte.

Menn kan tegen spreidingen aankijken als een (desnoods op het horizontale vlakk oneindig) uitwaaierende b o o m . De takken kan m e n als keuzerijen inter-preteren.. De duaal splitsende b o o m is hier een ondersoort van. Als illustratie eenn duaal splitsende b o o m die is overgenomen uit Kleene & Vesley (1965), p.. 49. Deze b o o m representeert de universele spreiding (spread), b e s t a a n d e uitt (wellicht afbrekende) keuze-rijen ( 1 , 1 , . . . ) , ( 1 , 0 , . . . ) , e t c , en de k n o p e n m e t afgebrokenn keuze-rijen. De oorsprong wordt als ( ) g e n o m e n , verder heeft m e n bijj een splitsing vanaf een k n o o p een 0 op links en een 1 o p rechts erbij.2 2

II O

(o)) ! ; i (i) (Q.o)) i (0,1) I | ~ Ö ö ) | ( U ) (0,0,0)) | (0,0,1) | etc.

Alss volgt geeft Heyting a a n hoe de verschillende principes en b e g r i p p e n m e t elkaarr t e maken hebben: 2i

"Thee fan theorem is limited to finitary, consequently decidable. spread directions 2121

Volgens Beth was Kleene hiermee niet altijd bij de les, Hij meende bij Kleene met be-trekkingg tot intuïtionistisch e aanvaardbaarheid enkele schoonheidsfoutjes ontdekt te hebben. Ditt meende hij te moeten uitmeten in het typoscript On the intuitionistic validity of certain theoremstheorems in the theory of recursive functions uit 1953. Op aanraden van Heyting heeft Beth err vanaf gezien dit samen met een brief naar Kleene te sturen en heeft verder geen moeite gedaann het ergens geplaatst te krijgen. Zie hiertoe de brief A. Heyting Beth, 9 november 1953,, (Laren); brief Beth A. Heyting, 7 november 1953; en de niet verzonden brief B e t h -S.C.. Kleene, 16 november 1953. Met zijn Beth-modellen had B e t h in later tijd een extra wapenn in handen gekregen. Derhalve wordt in Beth (1959c), p . 16, 17, alsnog ingegaan op Kleenee (1952a), p . 284, stelling 8. Later in dit hoofdstuk zullen wij dit opnieuw tegenkomen.

22_{Vergelijkk hiermee Beths en Kreisels zuid-west (0) en zuid-oost (1) afslagen in hun}

onder-lingee correspondentie (brief Beth - G. Kreisel, 21 maart 1958; brief G. Kreisel Beth. 28 maartt 1958, (Reading)) en in Beth (1959c).

10.1.10.1. De basis van de Beth-modellen 275 5

[Brouwer:: arrows]:24 the application of the finiteness condition is quite obvious in the lastt step of the proof. Your example^ shows me that you have in mind not the fan theorem,, but the theorem on bar induction, which is implicit in Brouwer's proof of thee fan theorem. Brouwer was aware of the fact that his proof method applies to non-finitaryy spread directions; whether he ever considered non-decidable species of finitee sequences, I do not know. He was interested in spreads for reasons which were partlyy mathematical (intuitionistic equivalent for the classical continuum), partly phil-osophicall (generating of mathematical objects by a person): the craving for extreme generalityy was less strong than it is now. [.. . ] As far as I can see, bar induction is validd for non-decidable species of finite sequences as well."

Bovenstaandd c i t a a t levert do volgende p u n t e n op:

1.. Weiorde. 2. Bar-inductie en bar-stelling, zij berusten op de a a n g e n o m e n orde.. 3. Waaiers telling, waarin de bar-inductie verwerkt is. 4. Vorming van een continuum.2 66 5. Eisen op de gebruikte rijen en de spreidingen.

Wijj zullen enkele van deze begrippen nog t e g e n k o m e n in de loop van dit verhaal.

G e b r u i kk v a n t a b l e a u s v a n a f 1 9 5 5 . E r g e n s gedurende de periode 1954

—— 1955 moet Beth de combinatie tussen spreidingen en bomen (semantische tableaus)) opgemerkt hebben, of zoals hij l a t e r in 1957 in een brief a a n H e y t i n g o p m e r k t e :: 2T "Inderdaad ga ik uit van een klassiek, en dus intuïtionistisch a a n -vechtbaarr modelbegrip, m a a r mijn beschouwingen hebben dan ook b e t r e k k i n g o pp de klassieke logica. Bovendien is een groot deel van de constructie n i e t t e m i n intuïtionistischh a a n v a a r d b a a r , daar de bij een logisch probleem behorende b o o m -constructiee een verzameling van modellen levert, die door een finiete spreiding kann worden voorgesteld."

Vann hieruit was de volgende s t a p n a a r een a n d e r e modellering van d e te gebruikenn modellen: 2 8

a

[T]hee introduction of the notion of a choice sequence brings a subjective element into thee situation. But. as Heyting rightly observes, this subjective element is eliminated if wee agree to concentrate upon such properties of choice sequences as appear after a finite numberr of choices. This attitude implies, however, a radical change in the semantic

notions.notions. The classical rules determine [. .. ] the validity or non-validity of a formula on eacheach branch separately [... ] These difficulties vanish, if we agree to determine validity

orr non-validity, not on individual branches, but collectively on all those branches which havee a certain initial element in common, that is, on a subtree" ~

E nn nu het volgende belangrijke p u n t : 3Ü "Dit leidde tot een aanpassing van ^4Ziee Brouwer (1954) als een laatste expositie over dit onderwerp.

ff G. Kreisel A. Heyting, 11 september 1962, (New York); maar zie ook eerdere brievenn van Kreisel.

J t i_{Ditt punt valt buiten het directe gebruik van de Beth-modellen, maar heeft natuurlijk wel}

propagandistischee waarde voor de Beth-modellen.

J 7

Brieff Beth A. Heyting. 3 mei 1957, (Baltimore), De verwijzing heeft betrekking op Beth (1957c).. Heyting zal wel het zijne hebben gedacht over deze uitspraak.

2 88

Beth (1956d), p. 379. 'This attitude . . . notions7 cursief door mij, verder cursief door Beth.

2 9

Subtree:: deelboorn. topologische begrip van omgeving, ' b a r .

dee m e t h o d e der semantische t a b l e a u x aan de beginselen der intuïtionistische logica,, die in 1931 door A. H e y t i n g is opgesteld. Tot mijn grote verbazing bleekk het d a a r n a mogelijk, de volledigheid te bewijzen van de intuïtionistische elementairee logica zonder, als in het klassieke geval, een beroep t e d o e n op het oneindigheidsbb egrip.1!

B e t hh t r a c h t t e hiermee een m e t h o d e t e introduceren, die aan d e intuïtionis-tischee eisen voldeed. Hij kreeg d a a r b i j met twee moeilijkheden t e m a k e n . De eerstee is die, waarmee een ieder k a m p t , namelijk ervoor te zorgen d a t syntax enn semantiek o p de juiste m a n i e r m e t elkaar oplopen. De tweede d a a r a a n inhe-r e n t ee moeilijkheid b e s t a a t in h e t eigenlijke bewijs van de volledigheidsstelling. Alss m e n deze met constructief a a n v a a r d b a r e begrippen en m e t h o d e n wil uit-voerenn kan m e n niet zonder m e e r over het gehele klassiek-wiskundige a p p a r a a t beschikken.. In het volgende c i t a a t vertelt Beth hoe de weg n a a r volledigheid m o e tt lopen: 3 1

Eerstt het klassieke deel: "Als semantische Ta/e/für die Sequenz K A bezeichne

ichh eine stammbaumartige Anordnung von Formeln welche sich 1. als Versuch der Kon-struktionn eines Gegenbeispiels, und 2. als Versuch einer Ableitung in einem gewissen formalenn System F auffassen lasst. Aus der Tatsache, dass zwangslaufig einer dieser beidenn Versuche gelingen muss, ergibt sich sofort der Gödelsche Vollstandigkeitssatz, demzufolgee zu jeder Sequenz entweder eine Ableitung in F oder ein Gegenbeispiel existierenn muss."

E nn n u overgaand op het intuïtionistische geval: "Es lasst sich nun die Konstruktion derr semantischen Tafeln der intuitionistischen Einstellung anpassen; die semantische Tafell ist dann zusatzlich noch 3. als Versuch der Umformung eines beliebigen Modells dess Konjunktivs K in ein Modell des Disjunktivs A zu betrachten. Die Tatsache, dasss das Gelingen von 3. zwangslaufig das Geüngen von 2. impliziert, liefert dann diee Begründung eines intuitionistischen Vollstandigkeitssatzes für die intuïtionistische Pradikatenlogikk erster ürdnung. Der Beweis ist dem des Brouwerschen Hauptsatzes fürr finite Mengen nahe verwandt (wie ja auch der Gödelsche Vollstandigkeitssatz eng zusammenhangtt mit dem Satz von Heine-Borel).'1

Voorr de oplossing van h e t tweede probleem heeft men in de eerste plaats t ee m a k e n met het gebruik van c o m p a c t h e i d binnen een klassiek bewijs. Beths a a n p a s s i n gg van zijn semantische t a b l e a u s was bedoeld om de intuïtionistische tegenhangerr d a a r v a n , de waaierstelling van Brouwer, toe t e k u n n e n passen: 3 3 "Wennn die Konstruktion der Tafel gedeutet wird als ein Versuch, ein Gegenbeispiel zuu konstruieren, so ist nach wie vor für den Beweis, dass für jede nicht abgeschlossene semantischee Tafel auch tatsachlich ein entsprechendes Gegenbeispiel existiert, ein in-tuitionistischh nicht akzeptabeler Kompaktheitsschluss zu verwenden. Es Hegt jedoch Wetenschappen.. Amsterdam, 8 oktober 1956.

3 11 _{Ms. E.W. Beth, Semantische Tafeln für die intuïtionistische Pradikatenlogik erster}

Ord-nung,nung, samenvatting door E.W. B e t h van een voordracht onder dezelfde titel ter gelegenheid vann het IV. Osterr. Mathematikerkongress, Wenen, 17 22 september 1956.

^-Stellingg van Heine-Borel: zie hoofdstuk over semantiek en Engelking (1989).

3 3

M s .. E.W. Beth, Semantische Tafeln für die intuitionistische Pradikatenlogik erster Ord-nung.nung. voordracht ter gelegenheid van IV. Osterr. Mathematikerkongress, Wenen. 17 22 septemberr 1956.

10.1.10.1. De basis van de Beth-modellen 277 7

intuitionistischh betrachtet eine andere Deutung viel naher, namlich, als ein Versuch, jedess Modell der Vorformeln [antecedentaire formules, de gehele et-rij] einer Sequenz zuu zerlegen in endlich viele Untermodelle, deren jedes eine wohlbesthnmte Nachformel [eenn succedentaire formule uit de vel-rij] erfüllt. Gibt es ein Verfahren, dass für jedes vorgegebenee Modell die erwünschte Umformung herbeiführt, so muss immer auch die betreffendee Sequenz ableitbar sein, und die semantische Tafel ist geschlossen. Der Beweiss ist dem zweiten Brouwerschen Beweis für den Hauptsatz der finiten Mengen nahee verwandt.1'

T e g e n m o d e ll v s . i n p a s s i n g . B e t h is in de loop van 1955 ermee begonnen zijn

theoriee bekend te maken: zijn eerste lezing over d i t onderwerp hield hij tijdens eenn colloquium te Parijs (26 s e p t e m b e r tot 1 o k t o b e r 195a).3 4 De uiteindelijke versiee van het artikel is vergeleken met Beth (1956rf) onbeholpen en onvolledig. Bovendienn ontbreekt er een intuïtionistisch a a n v a a r d b a a r vollcdigheidsbewijs. O pp dat moment had Beth zelf n o g de nodige scepsis a a n g a a n d e dit onderwerp: 3 5

"Inn my paper on intuitionistic logic, 1 take a non-intuitionistic attitude, and convince myselff that, if an intuitionist uses a law of logic not contained in Heyting:s system, then II can find an intuitionistic counter-example to prove that this law is not acceptable fromm an intuitionist point of view. For the denumerable case, the lemma of infinity is nott needed, we only need the (metamathematical) principle of the excluded third. As

forfor the classical logic, an entirely constructive completeness proof cannot be given. But

thee counter-example, the existence of which is proved by non-constructive methods, iss in itself constructive/'

Uitt een brief, later d a t j a a r , a a n Hey ting valt af t e lezen hoe Beth begon m e tt het gebruiken van s e m a n t i s c h e tableaus voor intuïtionistische doeleinden. Dee volgende passage d a a r u i t dient als een korte inleiding op de Beth-modellen enn geeft tevens de volgorde a a n , waarin de verschillende problemen behandeld zullenn worden: a e

"Onss gesprek heeft namelijk tengevolge gehad, dat vanmorgen de betekenis van de dis-junctievee splitsing me opeens voor ogen stond. Men moet van het begin af sequenten

beschouwenn van het algemene type A\, A-i- Am => Bi. B2,. , B„ , waaraan de

vol-gendee betekenis moet worden gehecht: ieder model van Ai. A2, -, Am is de vereniging

vann eindig veel submodellen, die elk aan een der condities B\. Bz. . . . , Bn voldoen,

Wee gaan nu niet een tegenmodel-constructie beproeven, maar een

inpassingscon-structie,structie, als door Brouwer indexBrouwer, L.E.J.beschreven. We stellen ons voor een

3 4

Laterr uitgegeven als Beth (1958a). Dit noemde Beth in Beth (1956d). p. 2, niet zonder redenn een 'preliminary report'. Op dezelfde pagina wijst Beth op de kritische opmerkingen vann Tarski en Heyting op zijn stuk tijdens het colloquium. In hoeverre dit verbeteringen achteraff opgeleverd heeft m.b.t. de pas veel later uitgegeven voordracht is de schrijver dezes onbekend. .

3r_{'Brieff Beth A. Robinson. 5 september 1955. Met 'my paper' zal wel Beths pas veel later}

verschenenn eersteling Beth (1958a) op het gebied van intuïtionistische semantiek bedoeld worden:: daar ontbreekt dan ook een volledigheidsbewijs. Cursivering door mij.

^ B r i e ff Beth A. Heyting, 18 november 1955. Cursief door mij. Met betrekking tot de disjunctïevee splitsing zie ook Beth (1958a). Gerelateerd aan de brief aan Robinson en zijn Parijsee voordracht is Beth na a m p e r twee maanden van idee veranderd m.b.t. de mogelijkheid vann een intuïtionistisch volledigheidsbewijs.

bepaaldbepaald (gegeven) model van de Ays en tevens een nog onbepaald model, dat een

verenig-ingg is van de submodellen als bovenbedoeld. Noem die modellen }A en A'. We gaan M enn A' elk hoe langer hoe verder in submodellen splitsen [automatisch veroorzaakt bij dee decompositie van formules, vergelijk de stapsgewijze ontwikkeling van een tableau]. Splitsingg van M. levert in het tableau een conjunctieve splitsing, splitsing van A' een disjunctievee splitsing. De constructie loopt succesvol af, als we M. in stukjes hebben gesplitst,, die alle passen in een bepaald stukje van A'.

Bovenstaandee interpretatie leidt natuurlijk tot een ingrijpende herziening van het gehelee stuk. We kunnen de boom voor Af gegeven denken, de boom voor A' kan volgenss een vast recept (semantisch tableau) worden geconstrueerd. Denk de stukjes vann A' genummerd. Als de sequent op intuïtionistisch acceptabele wijze bewezen is. dann staat voor elke tak van de boom voor M het nummer vast van het stukje van de boomm voor A' waarin hij terecht komt.

Ditt feit levert de grondslag voor de toepassing van de [waaier] stelling van Brouwer.,! Hett p a a r < A l , A > werd door B c t h een Herbrand-veld genoemd, o m d a t dit begripp volgens h e m de stelling van H e r b r a n d vertegenwoordigt.3 8 D e H e r b r a n d -veldenn vormen een eindige spreiding (waaier). In dit opzicht volgde hij Beth (19476).. Op zichzelf genomen was dit geen slechte m e t h o d e . Helaas bracht dit mett zich mee, d a t B e t h ook zijn semantische t a b l e a u s in tweeën ging delen en n a a s tt de beide modellen, M. en Af, n u ook twee b o m e n ging optekenen. Mis-schienn werd dit (door hein) uit een o o g p u n t van didactiek gedaan, noodzakelijk wass het echter niet; de eindige spreiding was er t o c h al. Alle plaatsen van nu niet meerr opgetekende formules (ze zitten in de ene of in de andere b o o m ) werden leegg meegenomen: beide bomen h e b b e n bij B e t h dezelfde ruimtelijke constructie m.b.t.. elkaar en m.b.t. de oorspronkelijke (semantische tableau) b o o m (dat werd zelfss een nieuwe stelling).

O n t v a n g s tt v a n d e B e t h - m o d e l l e n

Bethh gaf uiteindelijk twee vormen van een volledigheidsbewijs gerelateerd a a n hett door hem geformuleerde mtuïtionistische systeem FO. De duidelijkste for-muleringg is te vinden in Beth (19596): 3<J

1.. Klassiek: Voor elke sequent Ai,..., An => Bi,..., Bm geldt één van de

tweee volgende voorwaarden:

(a)) Het semantische tableau voor Ai,..., An => Bi,..., Bm is gesloten,

d u ss geldt (intuïtionistisch) A i , . . . , An => Bi,..., Bm, en derhalve is

Ai,...,Ai,..., An => Bi,..., Bm afleidbaar in FO.

(b)) Het semantische tableau voor Ai,..., An =^ Bi,...,Bm is niet

ge-sloten,, d u s is er een tegenmodel voor A\,...,An => B\,..., Bm, on

derhalvee is A\,..., An => Bi,..., Bm niet afleidbaar in FO.

3 7

Hiermeee zal wel Beths, in 1958 uitgegeven, Parijse voordracht mee bedoeld zijn.

3 8

(Bethh 1956(f), p. 387: "[T]he construction of the Herbrand field provides the counterpart too Herbrand's Theorem."

3 9_{Voorr FO, zie de supplementen. De opsomming van het klassieke deel naar Beth (19596),}

10.10. ï. De. basis van de Beth-modellen 279 9

2.. Intuïtionistisch (zwakker d a n p u n t 1):

Alss een sequent Ai,.. .,An => Bi,... , Zïm intuïtionistisch geldig is, d a n

iss deze sequent afleidbaar in h e t intuïtionistische systeem FO.

Dee kritiek was vooral op B e t h s intuïtionistisch uitgevoerde bewijs gericht. Mett betrekking t o t het klassieke bewijs was men milder. Dit bracht niet zich mee,, dat een groot deel van de o p - e n aanmerkingen gericht was o p het voor-bereidendee werk a a n g a a n d e beide stellingen en het resultaat van de klassiek uitgevoerdee stelling.

Hcytingg (1958b) z a g niets in B e t h s intuïtionistisch uitgevoerde bewijs: "How-ever,, this reasoning [het gebruik van Brouwers waaier stelling] a p p e a r s n o t t o be correct;; probably only a negative form of t h e completeness theorem can be provedd intuitionistically." Eveneens betreffende Beth (195Grf) merkte Kreisel op:: 4 0 "Your intuitionistic proof: I a m afraid I do not u n d e r s t a n d this proof a t all." "

Ookk Kleene (1957) leverde kritiek, w a a r o n d e r op de door Beth gememoreerde keuzenrijen.. Later m a a k t e ook H e y t i n g d a a r melding van: 4 1 "Je artikel over intuïtionistischee logica bleek t o t een vrij uitvoerige discussie tussen Kleene en Kreisell geleid t e h e b b e n . Nieuw voor mij was hierin, d a t je interpretatie van negatiee en implicatie alleen geldt, als m e n alleen geheel vrije keuzerijen toelaat, enn niet zodanige, die door een wet b e p a a l d zijn." Het soort keuzenrijen zou een belangrijkk p u n t g a a n vormen.

Bethh zelf h a d zeker oog voor tekortkominge n in het bewijs in Beth (1956rf), m a a rr vond wel: 4 2

"Withh respect to the intuitionistic proof, ray own attitude is ambivalent. This proof seemss to belong to intuitionistic higher-order logic, for which no formal standards aree available at present. On the other hand, all proofs of the fan theorem which I havee seen seem to be fallacious. Looking at the matter under this aspect, duplicating Brouwerss proof' is a polite expression for imitating 'Brouwer's fallacy'."

Bethh hield zich bezig om in zijn intuïtionistische bewijs Brouwers waaier-stellingg t e kopiëren waar eenvoudig toepassen wellicht een minder verwrongen enn meer heldere bewijsgang h a d opgeleverd. P u n t twee van kritiek behelsde de gebruiktee modellen, semi-modellen e n h u n verhouding.

Inn Beth (1959&) wordt slechts kort n a d e r op de kritiek ingegaan: "it will not b ee necessary here t o s t a t e these objections which have been raised, from different viewpoints,, by A. H e y t i n g a n d by K. Gödel and G. Kreisel. In my opinion, the difficultiess are c o n n e c t e d r a t h e r with t h e s t a t e m e n t of t h e completeness theorem

4ü_{Brieff G. Kreisel Beth, 18 december 1957, (Reading), p. 3.} 41

Brieff A. Heyting - Beth, 19 januari 1958, (Notre Dame). Zie ook de nog te geven citaat uitt de brief G, Kreisel - Beth, 23 maart 1958, (Reading), waarin een definitie van absoluut vrijee keuzenrijen, en de brief Beth G. Kreisel, 1 april 1958, waarin Beth instemt met Kreisels analyse. .

42

Brieff Beth - G. Kreisel, 23 december 1957. Kreisel constateerde in zijn brief aan Beth vann 30 december 1957 (Reading) dan ook terecht: "Since you are yourself in doubt about the intuitionisticc completeness proof [... ]."

t h a nn with its proof. T h e h y p o t h e s i s in t h e theorem can b e r e s t a t e d as follows: Alll models M! which fulfil t h e conjunctive A also fulfil t h e disjunctive B [maar d a nn is de sequent A D afleidbaar in F0]." De consequenties, die uit deze

overwegingg voortvloeien k u n n e n pas op het einde van h e t nog t e behandelen bewijss worden besproken.

Zoalss reeds gezegd, over h e t klassieke bewijs werd welwillender geoordeeld. Volgenss Kreisel gaf het klassieke bewijs eerder aanleiding o m van daar uit bij een intuïtionistischh bewijs te komen d a n het mede door Beth gegeven intuïtionistische bewijs.4 4 4

J a m m e rr voor Beth, m a a r h e t loskomen van de kritieken zat wel erg dicht a a nn tegen B e t h s tweede, o p s t a p e l s t a a n d e , uitvoerige explicatie over dit on-derwerp:: B e t h (19Ó9&). In een brief in december 1957 n a a r Kreisel m e r k t e Bethh al op, d a t het hem onmogelijk was o p de valreep onvolkomenheden in zijn volledigheidsstellingenn te verbeteren: 4 5

"Soo it seems better to include a summary of my material in its present state and to mentionn both the fact that certain objections have been raised and my own attitude onn the above lines. 1 plan to go into the problem of intuitionistic higher-order logic whenn the book is ready. It is perhaps necessary to say that I do not plan to establish suchh a system in accordance with general requirements of a constructive character, butt rather in agreement with intuitionistic mathematics as it stands/'

B e t hh heeft deze plannen a a n g a a n d e de Beth-modellen n a het verschijnen vann Beth (1959&) niet meer uitgevoerd. Forrnalisatie v a n en werken in een intuïtionistischee hogere-orde logica is door hern wel terloops bekeken, m a a r nooitt echt beoefend. Hiermee z e t t e Beth zich enigzins b u i t e n spel: de rol van de diversee soorten sequenten, de recursieve functies en een steeds algemener wor-dendee terminologie en c o n s t r u c t i e - m e t h o d e n met betrekking t o t intuïtionistische begrippenn werden door h e m niet opgepakt. Dit a p p a r a a t werd bovendien niet voorr niets gehanteerd. Zonder deze formaliseringen loopt m e n kans a a n tal ran zakenn voorbij t e gaan en m e t g a t e n in bewijzen te blijven zitten. Anderzijds k u n n e nn bij een te rigoureuze a a n p a k deze formaliseringen d e eenvoud en de oor-spronkelijkee denkbeelden van B e t h met hun onderlinge s a m e n h a n g versluieren.

Hett kan zijn, d a t Beth intussen meer geïnteresseerd was g e r a a k t in de com-binatiee van Kripke-semantiek m e t de derivatieve logica van hemzelf. B e t h reageerdee nogal gelaten o p Kreisels mededeling, dat deze bezig was met een verbeterdee versie van B e t h s bewijs. In een eerder s t a d i u m h a d hij aan B e t h geschreven:: 4 6 'T regard your work as a very i m p o r t a n t contribution to t h e subject.. For this reason it seems t o m e desirable to give a flawless proof of your result."" Drie j a a r later kon hij a a n Beth melden: 4' " D u r i n g t h e summer we preparedd at Stanford a Project report, concerning t h e completeness of intuition-isticc logic including (a) [ . . . ] , (c) a very detailed version of your completeness

4 4_{(Kreisell 1956), brief G. Kreisel Beth, 18 december 1957. (Reading).}

4 5_{Brieff Beth - G. Kreisel, 23 december 1957. In een latere brief van 1 april 1958 van Beth}

aann Kreisel brengt Beth dit nogmaals onder woorden.

4ti

Brieff G. Kreisel - Beth. 19 december 1957, (Reading),

10.1.10.1. De basis van de Beth-modellen 281 1

prooff with a full proof of its applicability to decidable subsystems, (d [... ]" On-derr (c) heeft men d e verwijzing naar Dyson & Kreisel (1961). Beths laconieke antwoordd luidde als volgt: 4 8 "I shall be very interested to see your Project

report.report. If I do n o t find time to read it carefully, it would certainly provide

excellentt material for a seminar either by myself or by Heyting a n d me." Er is well in het Eur atom-project door Beth r u i m t e g e m a a k t om de diverse r a p p o r t e n vann Kreisel te b e s t u d e r e n . Een voorbeeld hiervan zijn de werkzaamheden van A.. Ghose. Tot interessante resultaten heeft dit niet geleid.

10.1.22 Syntax en semantiek

Dee basis van Beths s y n t a x werd gevormd door het intuïtionistische deel van G 33 uit Kleene (1952a). Hiermee b e r u s t t e indirect B e t h s syntactische basis op Heytingss artikelen van begin jaren dertig. A a n de h a n d hiervan contrueerde B e t hh een tableau-sequentensysteem. Dit werd l a t e r weer overgenomen in Dyson

&& Kreisel (1961).4 9

Betreffendee het systeem FO kan worden toegevoegd, d a t Beths semantiek (vann tableau-sequenten) de op h a a r kop g e z e t t e s y n t a x omvat: 5 0 "If read upsidee down, the above rules may also be c o n s t r u e d as instructions for the constructionn of a semantic tableau." Deze o m d r a a i i n g werd al geformuleerd inn B e t h (1956d), p . 363: "Before we continue t h e systematic development, itt may be observed t h a t t h e above clauses (1) — (8) may be interpreted as ruless for the construction of semantic t a b l e a u B e t h (19556) for t h e sequent

A\A\,, A-2,..., Am Bi, B-2,..., Bn." Sequenten en tableau-sequenten zijn twee

kantenn van eenzelfde zaak volgens Beth (19596), p . 450 (III).

Hett algemene geval b e s t a a t ook hier uit een sequent van de vorm Ai,..., An =>

Bi,...,BBi,...,Bmm.. In B e t h s notatie; de conjunctieve antecedent-verzameling [Ai, . . . .

AAnn]] en de disjunctieve succedent-verzameling {Bi,. .. , I ?m} .5 1

Bethh m a a k t e binnen de intuïtionistische tableau-sequenten gebruik van dis-junctievee (vel)- en conjunctieve (et)- splitsingen (die waren er bij Kleene ook a l ) .5 22 In het bijzonder is de door Beth toegevoegde intuïtionistische sequenten-regcll 8 van belang: 5 3

F1959a.8.. A ^ A, [«I] A ^ A „ . A>, A. A ,» A[vel] A > F, A AA => Ai, A-2. ....Ak A => A. r mett de omkering voor de tableau-sequent (regel 8):

AA => Ai,A*.... ,Ak

AA => Ai [vel] A =t> A-2, ..., Ak. Ai

Hiermeee schreef hij een p e r m u t a t i e van formules voor. die regressie en oneindig langee takken kan veroorzaken. In Dyson &, Kreisel (1961) komt regel 8 niet voor.

4 8_{Brieff Beth - G. Kreisel, 5 december 1960} 4 9

Voorr Beths sequenten, zie de supplementen.

r,ü

{Bethh 19596), p. 450.

" V e r w a rr de antecedent-verzameling niet met om commentaar heen gezette haakjes.

5 i

Voorr conjunctieve splitsingen heeft men de sluitingseis. dat beide subtableaus gesloten moetenn worden, voor de disjunctieve splitsingen minstens één.

Well zijn daar toegevoegd de regels [DK61]-8a. 'als A , A => T, d a n A , A => P voorr atoorn .4, en de regel [DK61]-8b. 'als A => A, T, dan A =* A [or] A => T, X'. Hett toevoegen van regel [DK61]-8a werd al eerder door R . 0 . G a n d y a a n Beth alss wenselijk geuit om d a a r m e e def. 7.3 in B e t h (I956d) algemener t e m a k e n .5 4 M e nn heeft met het in acht n e m e n van de voorschriften voor de tableau-sequentenn (regel 8) te m a k e n m e t een tableau-afwikkeling van de volgende

55 5 rarm. rarm. A ii A

1* *

D ee tableaus, die men uit de t a b l e a u - s e q u e n t e n ontwikkelt, zijn niet volledig oplopendd met de voorschriften v a n de klassieke semantische t a b l e a u s . Naast hett disjunctieve en het conjunctieve sluiten heeft men twee e x t r a voorschriften voorr de succedentaire negatie.

add regel 2b. waar niett waar? A,, ~>A [ A = 0 ] 00 [-iA verwijderd]

Bovendienn is het niet meer t o e g e s t a a n , zoals bij semantische t a b l e a u s , overal inn h e t succedent n a a r willekeur in d e p e r s t a p verkregen tableau-sequenten for-muless wisselen. De plaats v a n d e 'meegenomen' formules is nu van belang evenalss de plaats van de net g e b r u i k t e (aan decompositie o n d e r w o r p e n ) for-mule.. Hiermee kan men r e p e t i t i e en oneindig doorlopen van takken verkrijgen. Ditt zijn we al eerder tegengekomen bij de deductieve implicatieve logica in het hoofdstukk 'Implicatieve s y s t e m e n '

Alss voorbeeld het tableau voor de sequent 0 =ï A V ->A): 5 6 juist t nogg onbepaald

->(A->(A V -^A) [vel] ]

ii

I I

Dee A V ->A m e t * op rechts vanwege de door regel 8 toegestane herhaling van -i(AV-iA)) op links (uit de h o o g s t e kolom als de directe reductie van ->->(AV^A))

r>4_{Brieff R.O. Gandy Beth. 24 juni 1958, (Leeds).} 5

*Naarr Beth (1956rf), P- 363.

10.1.10.1. De basis van de Beth-modellen 283 3

enn met de omzetting d a a r v a n n a a r T{A\t -*A) op rechts [*]. In het tableau sluit h e tt disjuncticf samenhangende tableau op de o n d e r s t e linkertak vanwege A \ A, enn sluit vanwege de disjunctieve s a m e n h a n g het volledige t a b l e a u .5 7 M e n kan zichh nog wel afvragen w a a r o m Beth in zijn voorbeeld de laatste disjunctieve splitsingg in F(A) en F(->A,A) voor de afsluiting nodig vindt en niet al op

F{A,-iA)F{A,-iA) op rechts [**] afsluit

—i—I(J44 V —ij4) levert een sluitende b o o m o p en n a a r m e n later zal zien A V -^44 een niet sluitende b o o m . De beide voorbeelden bieden tevens evenzovele illustratiess bij Brouwer (1923), p . 877:

"Dee klassieke opvatting postuleert voor iedere eigenschap het alternatief van juistheid enn ongerijmdheid van ongerijmdheid. Voor de intuïtionistische opvatting is ongerijmd-heidd van ongerijmdheid weliswaar een gevolg van juistheid, doch niet met juistheid aequivalent,, terwijl het alternatief van ongerijmdheid of ongerijmdheid van ongeri-jmdheidd evenmin wordt erkend als dat van juistheid of ongerijmdheid.'"

Inn Beth (1956rf), p . 364 w o r d t voor ->~i(A V ->A) ook een 'syntactische' afleiding gegeven,, waarbij het tableau o p zijn kop wrordt gezet, t e beginnen met ~>(A V

->A)<->A)< A => A en eindigend m e t 0 => - I - I ( J 4 V - I A ) . Hier doen alleen de takken mee

diee betrokken zijn bij het e i n d r e s u l t a a t . De oneindige takken vallen d a a r m e e al m e t e e nn af.

W a a r d e nn e n k o l o m n a m e n Het zal de lezer opgevallen zijn, dat in de

vooraf-g a a n d ee kolomnamen sprake was van 'waar1 vs. 'niet w a a r ? ' en van "juist' vs. 'nogg onbepaald'. Beth g e b r u i k t e in publicaties ' w a a r ' vs. 'niet waar?'. In zijn brieff van 18 november 1955 a a n Heyting h a d hij het over 'bepaald' vs. 'on-b e p a a l d ' .. Men kan zich ook a a n s l u i t e n 'on-bij het huidige taalge'on-bruik: ''on-bewijs'on-baar' vs.. 'niet bewijsbaar'. Hier zal de voorkeur a a n 'juist' vs. 'nog onbepaald' wrorden gegeven,, zoals al in het l a a t s t e voorbeeld is t o e g e p a s t . Helemaal triviaal was dit niet.. Heyting meende in 1955: 5Ö 'Me ne c o m p r e n d s pas en quoi 1'échec d ' u n e t e n t a t i v ee de derivation d ' u n e formule fournit u n coiitre-exemple. Il me p a r a ï t quee M. Beth introduit u n e valeur logique indéterminée a cöté du vrai et d u faux,, ce qui ne correspond pas a 1'interprétation de la logique intuitionniste." Wellichtt h a d Heyting nog t e zeer de drie w a a r d e n van M. Barzin en A. E r r e r a inn herinnering. Beth gebruikte in zijn Parijse 1955' lezing het tweetal ' v r a i ' en '(faux)',, waarbij '(faux)' niet voor 'faux' s t a a t , m a a r de rol van 'nog o n b e p a a l d '

"Voorbeeldd naar (Beth 1956d), P- 364; (Beth 19596), p . 451].

5 ö

E nn Brouwer vervolgt: "Een sequentie van Ti ongerijmdheidspraedicaten [...] kan vol-genss de klassieke opvatting door herhaalde schrapping telkens van twee op elkaar volgende dezerr praedicaten hetzij tot ongerijmdheid, hetzij tot juistheid worden herleid. Men zou nu eenn ogenblik kunnen menen, dat voor de intuïtionistische opvatting dergelijke schrappingen geheell zijn uitgesloten, en dat dientengevolge sequenties van ongerij rnd he ids praedicaten van verschillendd aantal steeds ongelijkwaardig zouden moeten zijn. Dit is echter niet het geval; integendeell zijn de bedoelde schrappingen ook voor de intuïtionistische opvatting geoorloofd.

mitsmits het laatste, ongerijmdkeidspraedtcaat der sequentie er van uitgesloten blijve [ . . . ] . Voor

dee intuïtionistische opvatting is [... ] een eindige sequentie van on gerij mdhe ids praedicaten tee herleiden hetzij tot ongerijmdheid van ongerijmdheid, hetzij tot ongerijmdheid.''' Cursief doorr Brouwer.

5 9

vervult.. B e t h h a n t e e r d e zeker niet het d r i e t a l V r a i ' , 'faux' en 'indcteriiiinéV.6 0

10.22 Constructie van Beth-modellen

Tott nu toe heeft men met tableaus en tegenmodellen te maken gehad. Afgezien vann de vraag of de door Beth voorgeschreven regels voor de tableau-sequenten a d e q u a a tt zijn, moeten ze ook nog eens intuïtionistisch a a n v a a r d b a a r zijn: zij vormenn de basis van Beths volledigheidsbewijs. Beth heeft hiertoe omvormingen bedacht,, die de boodschap van de tegenmodellen en tableaus onverlet laten, m a a rr bovendien de intuïtionisten tevreden moeten stellen. De bedoeling is om Brouwerss waaierstelling te incorpereren. D a a r t o e zal Beth beginnen vanuit het ideee van een sequent met d a a r a a n gekoppeld een t a b l e a u . De sequent A => T is (klassiek)) geldig in een model, indien de conjunctie A\ A A An en de disjunctie

B\B\ V - V Bm geldig zijn in d a t model: zo een model moet alle A\,..., An en

minstenss één Bj uit Bi,..., Bm vervullen.6 1 L a a t M. de conjunctie A\ A- -AA„

(intuïtionistisch)) vervullen. D a n moet het model M. van Ai A A An a a n een

decompositiee in eindig veel submodcllcn onderworpen kunnen worden, waarbij elkk van die submodellen minstens één van d e B; uit Bi V- - VBm vervult. M e t zet

derhalvee een model M. voor Ai A- * AAn in een model A ' voor Bi V- V i ?m om.

Hoee dit in zijn werking gaat is van later zorg. Eerst m o e t e n bomen (spreidingen) mett hun bewerkingen vastgelegd worden en de manier, waarop men precies te werkk g a a t o m een model voor een formule te vinden d.m.v. de reductie van zo eenn formule.

10.2.11 Boom-constructies

Beth-modellenn worden ook wel boorn-modellen genoemd. De b o o m s t a a t op zijnn kop, men loopt vanaf de oorsprong n a a r beneden.

oo — boom B, B =< B, O , P , R , f,F > , is een partieel geordende verzameling: oo B is de verzameling van de elementen (knopen, punten) p,p\, - . . , Q-,Qi, oo relatie R is een relatie tussen elementen van B en geeft de ordening o p B aan.. R(p, q) speelt de rol van directe opvolger-relatie: q volgt direct op p . Vanwegee het binaire splitsen k u n n e n er m a x i m a a l twee directe opvolgers zijn;; dit i.t.t directe voorganger: voor elke knoop q, q ^ O, is er precies éénn knoop p niet R(p,q).

üü

Grofwegg vloeien deze overwegingen voort uit de aanname, dat men een bewering A op eenn bepaald moment niet "waar' kan omschrijven, als men op dat moment voldoende grond heeftt om die bewering A te bewijzen. Als 'nog onbepaald', wanneer men dit nog niet kan: een dergelijkee bewering A is dus niet onwaar, m a a r ook niet waar op zo een moment. Als men eenn bewering —<A (ofwel L_{.4 leidt tot ongerijmdheid') heeft onder 'waar' of 'bepaald', wil dat}

zeggen,, dat op een bepaald moment men niet alleen A niet kan bewijzen maar dat dit ook niett vanaf dat moment eens wel mogelijk zou kunnen zijn op een later moment.

till Vergelijk de semantische tableaus: daar moest men alle leden van het conjunctieve deel, maarr geen enkel lid van het disjunctieve deel door zo een tegenmodel laten vervullen.

10.2.10.2. Constructie, van Beth-mode.llen 285 5

oo Een b o o m heeft één begin, de oorsprong O, en één of meer eindknopen (bladeren).. Het begin kan ook de eindknoop zijn. Tussen de oorsprong en dee eindknopen lopen t a k k e n , die door knopen en h u n o r d e bepaald worden (menn denke ook aan keuze-rijen).

oo Vertex (eerste v e r t a k k i n g s p u n t ) . Hiermee wordt h e t eerste p u n t P bedoeld vann waaruit de (deel) b o o m g a a t splitsen: het is het vertakkingspunt met hett kleinste / - g e t a l (zie lager). De nul-boom bevat geen enkel punt. oo tak t (Beth: branch, p a t h : en voor Beth pas in latere i n s t a n t i e een keuzerij)

iss een m a x i m a a l lineair geordende verzameling b i n n e n een b o o m (een tak kann d u s niet splitsen, m a a r wel over een splitsing lopen); een tak is ook eenn b o o m .

oo functie f (Beth: r a n k ) : de toekenning van een getal a a n een knoop, dat aangeeftt hoever een k n o o p van de oorsprong verwijderd is. De functie ƒ geeftt d a a r m e e de gelaagdheid a a n van de boom: f (O) — 1 en als R(p,q), d a nn f{q) = f(p) + 1. Voor elke k < f{P) (P is vertex) is er precies éénn knoop p met f(p) = k. Hiermee wil B e t h zeggen, d a t er tussen de oorsprongg en de vertex geen splitsingen kunnen zijn. Met de functie ƒ kan m e nn de lengte van de t a k k e n vaststellen en kijken welke de langste is (of zijn). .

oo functie F: deze heeft als domein B en als waardenbereik een andere verza-meling:: in ons geval van de nog t e formuleren Beth-modellen b e s t a a t deze uitt formule-verzamelingen (disjunctieve en conjunctieve). Bij de formu-leringg van de boom-constructie sec is F eigenlijk overbodig.

E rr is een tweetal begrippen, d a t nadere aandacht v r a a g t : deelbooni en af-k n o t t i n g .. Dit zijn twee o n m i s b a r e bouwstenen bij de constructie van Beths volledigheidsbewijzen.. M.b.v. de deelbooni definieert B e t h geldigheid, m.b.v. de afknottingg verkrijgt Beth de ondergrenzen, die hij nodig heeft in zijn intuïtio-nistischee volledigheidsbewijs en om zijn variant o p de waaierstclling rond te krijgen. .

oo deelboom (Beth: o n d e r b o o m , subtree; bar): voor een p u n t p 6 B is

BBpp =< B7*, O , p , P * , ƒ*, F* > een boom, gerelateerd a a n de b o o m B —<

B,, O, P , P , ƒ, F > . Bp b e s t a a t uit alle q € B, die o p een t a k liggen waarop ookk p ligt. (p kan natuurlijk op een aantal takken liggen: m e n heeft d a n t ee m a k e n met een vereniging, waarbij de knopen vanaf de oorsprong tot enn m e t p gemeen zijn. Vergelijk dit begrip met d a t van de omgeving van />,, zoals in de nog t e behandelen topologische beschrijving en met de bar) oo B o o m B heet de vereniging van zijn eindig vele deelbomen B',B",...,

alss B de vereniging is van de verzamelingen B ' , B " , . . . . En omgekeerd heett de opsomming van de eindig vele deelbomen B\ B"',... van boom B dee decompositie van die b o o m B, als eveneens B de vereniging is van de verzamelingenn B', B " , . . . .

oo afknotting (Beth: t r u n k ) Bk = < Bt, 0 , P * , P * , / * , F * > is een boom,

f-niveau,, hier /r, en snijdt over d a t p u n t de b o o m a.h.w. horizontaal doormidden:: m e n blijft derhalve een b o o m h o u d e n , m a a r deze bestaat alleenn uit een t o p s t u k van de oorspronkelijke b o o m tot o p de punten p mett f(p) = k. Hierbij: BA. = {p E B\f(p) < k}, P*,R*J\F* zijn de

restrictiess van PR, f, F tot Bfc, en P * = P, als f(P) < fc, en P* - O

anders.. In het l a a t s t e geval ligt het eerste vertakkingspunt van de b o o m onderr de grens van waaruit men de afknotting neemt: de afknotting loopt inn dit geval over een a a n t a l lineair liggende knopen en neemt men per definitiee O als 'eerste v e r t a k k i n g s p u n t ' .

constructieconstructie van een b o o m B is elke rij van afknottingen van 5 , waarvan

dee lengten een bovengrens k hebben d.e.s.d. als k de lengte van B (d.w.z. dee lengte van de langste t a k van B) is.

V o o r b e e l d . . qi qi O O 94 4 qa qa qs qs 9? ? Bovenstaandd p l a a qr, qr, q<> q<> qn qn tje: : q» q» 9 i o o // = 2 ff = 3 ff = 4 ff = $ ff = 6 ff = T O O q i i qa a qs s q * * qe e qs s qr r q« « qv qv qu qu qw qw

a.. Links. Boom B met:. Functie ƒ: f {O) = lj(qi) = 2, ƒ(92) = ƒ (93) = 3 , / ( ï 4 )) = ƒ (?s) = 4, f{q6) = f(q7) = f(qs) = 5 , . . . De vertex P b e s t a a t uit 91

mett / ( m ) = / ( P ) = 2 Takken: < 0 , 9 1 , 9 3 . 9 4 , 9 6 > , < 0 , 9i,9:*,95,97 > , b .. Rechts. D e (afknotting 5 / =5) niet: B*. van afknotting Bk voor fc — 5 b e s t a a t

uit:: { 0 , 9 i , 92, 93,94,95,96,97,9s}- De vertex van afknotting B5 b e s t a a t uit 91.

Stel,, dat m e n geknot zou h e b b e n op ƒ = 2, d a n zou het eerste vertakkingspunt vann de afknotting Bf-i per definitie uit O b e s t a a n .

O O 9 i i 93 3 qa qa II qi 0 0 q i i 94 4 9e e || q s 11 qr q6 6 q» » q u u q s s q i o o ƒƒ = 1 ff = 2 // = 3 // = 5 // = 6 ff = 7 97 7 98 8 9» » 9 i i i 910 0

Bovenstaandd plaatje geeft de deelboorn Bqn ( b a r , bar(q$)) van boom ö weer. De Bpp van deelboorn Bp, en v o o r p = 95, b e s t a a t uit: {O, 91,93,95,97, 9 s , 9 a 9 i o , 9 n } -Dee vertex P * van deelboorn Bqh _{is 95, met / f 9 5 ) = / ( P * ) — 4.}

10.2.22 Definities voor m o d e l - c o n s t r u c t i e s

G e l d i g h e i dd e n m o d e l

S e m i - m o d e l .. B e t h definieerde met b e h u l p v a n b o m e n , deelbomen en

10.2.10.2. Constructie van Beth-modellen 287 7

Eenn semi-model „M is ccn b o o m < B, 0>P, i?, ƒ, F >. Nu g a a t de functie F eenn rol spelen: de waarden F(p) van de functie F zijn de formules op een punt

p.p. In B e t h s lezing uit 1955 (Beth 1958a), p . 80 wordt een semi-model als een

binairee b o o m genomen, waarvan elk p u n t hoogstens m e t één formule {in de lateree versies; conjunctieve/ disjunctieve verzameling) gecorreleerd is.

GeldigheidGeldigheid wordt met behulp van een semi-model gedefinieerd. D u s nu eerst een

omschrijvingg van de voorwaarden, die worden opgelegd a a n een semi-model. Per tee b e h a n d e l e n item zal als korte verklaring de formulering uit B e t h s lezing van 19555 ( B e t h 1958a) en Beth (1956a1) gebruikt worden; bovendien w o r d t ook kort dee s y n t a c t i s c h e notie vermeld).6 2

Inn l a t e r tijd worden o n d e r s t a a n d e relaties a a n g e d u i d m e t b e h u l p van forceren

(forcing)(forcing) en gebruikt men het symbool ||- [en '[j'-' voor 'niet | j - ' ] daartoe.

K o r tt zal dit ook bij sommige items vermeld w o r d e n .6 3 E e n verdere toevoeging b e s t a a tt uit valuatie-functies v, v(A,p) = 1 of Oen voovp^q m e t R(p:q) [</directe

opvolgerr van p]: R(p, q) en v(A,p) = 1, danv(A.q) = 1. Voor elementaire logica heeftt m e n bovendien een domein nodig. Een duidelijke vermelding, waaruit zijn d o m e i n e nn b e s t a a n , ontbreekt bij B e t h .

Menn kan ook formuleren met takken in de vorm van keuzerijen, in dit geval a b s o l u u tt vrije keuzerijen6 4 (notatie: an - de begiririj t o t op de ri-dc plaats: Vaa 6 p: alle takken (rijen), die door p u n t p lopen en t e n opzichte waarvan p u n tt p d e rol van vertex vervult). Keuzerijen k w a m e n niet bij B e t h voor: later zullenn wij zien, dat Beth er expliciet afstand van g e n o m e n heeft o m deze in zijn geldigheidsdefinitiee t e verwerken. Men kan wel zijn geldigheidsdefmitie gaan i n t e r p r e t e r e nn met keuzcrijen.

Eenn formule A heet geldig op het scrni-model M.(M. |= A) onder:

1.. A is atomair, M |= A< en M. als volgt gedefinieerd: A\ = \Ji£i Ai1'1, ^

eindigg (AiF' deelboom), z.d.d. rnet elk van d e eerste vertakkingspunten

(vertices)) pi,p>,... A zelf of een conjunctie, waarin A o p t r e e d t , gecor-releerdd is — ofwel A komt op elke t a k van Ai voor.

Forcing:: met een expliciet vermelde valuatie zou m e n het als volgt kunnen u i t d r u k k e n :: voor een knoop p, p \\~ A d.c.s.d., als er een ' b a r ' , zeg bar(p), voorr knoop p bestaat zodanig d a t voor alle q £ bar(p),v(A,q) = 1. Met rijenn en met verwijzing n a a r een domein en een éénplaatsig predicaat: p

||-P(a)P(a) onder Va € p3n(an \\- P(a)).

Syntactisch:: uien beschikt over een constructie o m A te bewijzen. 2,, A = -<B, en niet voor elke deelboom «Mp van Ai geldt A4P \= B — ofwel

A44 vervult geen enkele deelboom .M*. die A vervult.

Forcing:: p |[- ->A als voor alle q, die opvolger zijn van p: q $- A.

ö2_{Vergelijkk hiermee de in de supplementen gegeven sequenten en tableau-sequent en voor}

intuïtionistischee logica. De benummering daar en hier loopt met elkaar op.

6 3

Ziee hiertoe ook (Troelstra & van Dalen 1988). p. 677 e.v. en {van Dalen 1986). p. 249 e.v.

6 4_{Ziee ook Troelstra (1977), hoofdstuk 7: 'Choice sequences and completeness of intuitionistic}