De stelling van Stewart

De stelling van Stewart (1717-1785) en toepassingen ermee op

zwaartelijnen, bissectrices en buitenbissectrices.

De stelling van Stewart luidt als volgt:

Is D een willekeurig punt van de zijde BC van _ABC zo, dat CD p en BD q , dan is

2 2 2

a AD       q b p c p q a

Bewijs:

Volgens de projectiestelling *) geldt in _ABD:

2 2 2 ₂

AD c q  qr. Eveneens volgens de projectiestelling geldt in _ABC

2 2 2 _{2 2} 2 2 2 b c a  ar ar a c b  2 2 2 2 a c b r a    . Dit ingevuld in 2 2 2 ₂ AD c q  q r geeft 2 2 2 2 2 2 ₂ 2 a c b AD c q q a        2 2 2 2 2 2 a AD ac aq qa qc qb  _{a AD} 2 _qb2_ac2_qc2_aq2_qa2_ 2 2 _{( )} 2 _{( )} a AD qb  a q c aq q a  _{a AD} 2 _{      q b}2 _{p c}2 _{p q a} . *) De projectiestelling in _ABD bewijzen we als volgt:

2 2 2 2 2 2 In geldt: In geldt: ( ) ABE AE c r ADE AE AD q r         _  _c2_r2 _AD2_q2_{2qr r} 2 _AD2 _c2_q2_2qr

In plaats van gebruik te maken van de projectiestelling bij het bewijs van de stelling van Stewart kunnen we ook (eenvoudiger) de cosinusregel gebruiken. De projectiestelling past wellicht wat beter in het "tijdsbeeld"

In het geval, dat AD zwaartelijn is en dus

1 2

p q  a gaat de stelling van Stewart over

van 2 2 2 a AD       q b p c p q a in 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 a AD  a b  a c  a a a  2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 AD  b  c  a

Deze laatste formule kan men ook schrijven als 2 2 2 1 2 2

2

b c  AD  a . In deze vorm wordt hij dikwijls gebruikt, als er sprake is van de som van de kwadraten van twee lijnstukken, die een eindpunt gemeen hebben.

Stelling bissectrice: Het kwadraat van de bissectrice van een hoek in een driehoek is gelijk aan het product van de zijden, die de hoek vormen, verminderd met het product van de stukken, waarin de bissectrice de overstaande zijde verdeelt.

We moeten dus bewijzen, dat in _ABC geldt: _AD2 _{bc pq .}

Bewijs:

De stelling van Stewart luidt: _{a AD} 2 _{      q b}2 _{p c}2 _{p q a}

. De bissectrice stelling luidt : q p c b:  : .

Gecombineerd vinden we:

2 2 2 : : a AD q b p c p q a q p c b qb pc               _ 2 2 2 a AD       q b p c p q a 2 a AD p c b q c b p q a             2 _{( )} a AD  c b p q    p q a _{a AD} 2 _{      c b a p q a} 2 AD    b c p q.

Een tweede bewijs voor de stelling van de bissectrice , dus

2

AD bc pq , gaat als volgt:

Teken de omgeschreven cirkel van ABC. De bissectrice AD snijdt de boog BC, waarop A niet ligt in E.

Nu geldt _AEC_ABD, immers BAD EAC en

1 2 ( boog ) ABD AEC AC    . Hieruit volgt: (AD DE AB ) : AC AD:  2 AD AD DE AB AC .

Volgens de machtsstelling geldt AD DE CD BD   . Uit 2 AD AD DE AB AC AD DE CD BD          _ volgt 2 AD CD BD AB AC  _AD2 _{ AB AC CD BD   } 2 AD    b c p q.

We bekijken nog het geval van de buitenbissectrice. Het kwadraat van de buitenbissectrice van een hoek van _ABC, die niet door twee gelijke zijden gevormd wordt, is gelijk aan het product van de stukken, waarin de buitenbissectrice de overstaande zijde uitwendig verdeelt, verminderd met het product van de beide andere zijden.

We moeten dus bewijzen, dat 2

Voor het bewijs spiegelen we _ACD in AD. Door de spiegeling geldt CDA C DA' ,

'

C D p en AC'b.

AD is nu bissectrice van BDC', dus geldt _AD2 _{BD C D AB AC '   ' dus} 2

AD    p q b c.

We kunnen ook de stelling van Stewart toepassen op AC in _ABD. We vinden dan

2 2 2

BD AC BC AD CD AB BC CD BD  dus _{q b} 2 _{ a AD}2_{     p c}2 _{a p q}

2 2 2

a AD        q b p c a p q _{a AD} 2 _{      q b}2 _{p c}2 _{a p q}

. Volgens de bissectricestelling geldt in _BDC': c b q p:  :  pc bq . Uit 2 2 2 a AD q b p c a p q pc bq            _ volgt 2 a AD          p c b b c q a p q 2 _{( )} a AD bc p q    a p q _{a AD} 2 _{bc a(    ) a p q AD}2 _{        b c p q p q b c} .