H7: Goniometrische functies

Hoofdstuk 7:

Goniometrische functies

V-1. V-2. a. b. x , x0, x , x2 en x 3 c. f x( ) 1 voor 1 2 x   en 1 2 2 x  d. f x( ) 1 voor 1 2 x   en 1 2 1 x   e. De periode is 2 1 2 V-3. a. b. 3 1 1 4 , 4 , 4 x   x   x   en 3 4 x   c. f x( ) 1 voor x  , x 0 en x d. f x( ) 1 voor 1 2 x   en 1 2 x   e. De periode is 2 2  V-4. a. 1 1 4 2 sin(1 )  2 d. 2 1 3 2 cos( 1 ) g. 1 1 6 2 sin( 1 ) b. 2 1 3 2 cos( )  e. 5 1 6 2 sin( ) h. 3 1 4 2 sin(1 )  2 c. 1 1 3 2 sin( )  3 f. 1 1 6 2 cos(1 )  3 V-5. a. symmetrisch in de lijn 1 2 x  b. puntsymmetrisch in (0, 0) c. puntsymmetrisch in ( , 0) d. symmetrisch in de lijn 1 2 x  en puntsymmetrisch in ( , 0) e. symmetrisch in de lijn 1 2 x  en in de lijn 1 2 1 x   . f. puntsymmetrisch in ( , 0) V-6. a. g(x) ontstaat uit de

grafiek van f(x) door een lijnvermenigvuldiging toe te passen t.o.v. de x-as met factor 3.

De grafiek van h(x) ontstaat door op f(x) een

lijnvermenigvuldiging toe te passen t.o.v. de y-as met factor 1 3.

b. De grafiek van m(x) ontstaat uit die van k(x) door de grafiek van k(x) 2 omhoog te graden 0 30 45 60 90 120 135 150 180 radialen 0 1 6 41 13 12 23 34 56  x y 0,5  1,5 2 2,5 3 -0,5 - 0,5 1 1,5 -0,5 -1 -1,5 x y 0,5  -0,5 - 0,5 1 1,5 -0,5 -1 -1,5

( ) cos(2 )

f x



x

x y  - 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y  - 1 2 3 4 5 -1 -2 g(x) h(x) f(x) m(x) n(x) k(x)

V-7.

a. Lijnvermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 1

6. Amplitude: 1 en periode: 26  13. b. Lijnvermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 5, lijnvermenigvuldiging t.o.v. de x-as

met factor 2 en een verschuiving van 1 2

2  naar rechts. Amplitude: 2 en periode: 2

0,2 10.

c. Een verschuiving van 0,22 naar links en een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor -1. Amplitude: 1 en periode: 2 .

d. Een lijnvermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 5 en een lijnvermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 1

4 . Amplitude: 5 en periode: 24  12.

e. Een lijnvermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor –2 en een verschuiving van 1 naar boven. Amplitude : 2 en periode: 2 .

f. Een lijnvermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 1

, een lijnvermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 10 en een verschuiving van  naar rechts en 10 omhoog. Amplitude: 10 en periode: 2 ₂

  .

V-8. zwart: periode is 2 , amplitude 2 l x( ) 2sin( x2 ) groen: periode is  , amplitude 1 m x( ) cos(  2 )x blauw: periode is 2 , amplitude 1 1

2

( ) sin( )

h x   x  rood: periode is 4 , amplitude 2 1

2

( ) 2cos( )

1. a. De periode van u is 2 1 880  440s. b. 1 frequentie periode c. 1 600 2 sin( ) sin(1200 ) u _ t _{ }t 2. a. amplitude: 1 periode: 2 1 500 250    frequentie: 1 250 1 _250 Hz. b. amplitude: 0,02 periode: 2 300 150  _  _frequentie: 150 150 1 _47,75     Hz. c. amplitude: 1 periode: 2 1 256 128    frequentie: 1 128 1 _128 Hz. d. amplitude: 9 periode: 2 1 12 6    frequentie: 1 6 1_6 Hz. 3. a. De periode is 2 1

4  2. De frequentie van deze trilling is 12

1 2 

  . Deze wordt verdubbeld tot 4

. Dan wordt de periode 14 ₄1

   en 14

2 ₈

b  

  _.

De nieuwe formule wordt: u6sin(8 )t b. De frequentie wordt dan _1,5 2 3

    . De periode wordt 13 ₃1    en 13 2 ₆ b     _.

De nieuwe formule wordt: u 6sin(6 )t .

4. frequentie van 20 Hz: de periode is 1

20 en 201

2 ₄₀ b_  _{ } frequentie van 20.000 Hz: de periode is 1

20.000 en 20.0001

2 _40.000

b_  _{ }

5.

a. Voor zowel u als v is de amplitude 3, de periode 2 1 40 20 p 



  en de frequentie 20. b. De grafiek van v is 0,01 naar rechts verschoven t.o.v. de grafiek van u.

c. Dat is het 0,01 1

0,05  5 deel van een periode. 6. a. De periode is 2 1 80 40 p     .

b. De grafiek van u is 0,005 naar rechts

verschoven t.o.v. die van v. Het faseverschil is

1 40

0,005 _0,2

c. Dezelfde frequentie en dus ook dezelfde periode; dus sin(80 ) . Amplitude is 0,8; dust

0,8 sin(80 ) . Het faseverschil is 0,3. Det

verschuiving: 1

400,3 0,0075 : 0,8 sin80 ( t0,0075)

De verschuiving van w t.o.v. u is 0,0025. Het faseverschil is 1 40 0,0025 _0,1 7. a. De periode van f en g is 2 . De verschuiving 1 2 , het faseverschil is 14. t u 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 -0,01 -0,02 0,5 1 -0,5 -1 x y 1 sin x cos x

b. De periode van k en l is  , de verschuiving 1

4 en het faseverschil is ook 14. c. Het faseverschil tussen m en n is ook 1

4. 8.

a.

b. maximum is 2 en het minimum  2: amplitude is 2 en de evenwichtsstand y 0. De periode is 2 en de horizontale verschuiving 1 4 naar rechts. Dus 1 4 2 sin( ) y  x  .

c. maximum is 2 en het minimum  2: amplitude is 2 en de evenwichtsstand y 0. De periode is 2 en de horizontale verschuiving 3 4 naar rechts. Dus 3 4 2 sin( ) y  x  . d. De verschuiving tussen f en g is 1 2 ; dat is een faseverschil van 1 4. 9.

a. groen: f x( ) sin(x) en rood: g x( ) sin( )x

b. een veelvoud van  naar rechts verschuiven of een veelvoud van  naar links verschuiven. Spiegelen in de x-as of spiegelen in de y-as.

c. l x( ) cos( )x

d. m x( ) cos(  x) cos( )x : grafiek en beeldgrafiek vallen samen.

10.

a. Als je de grafiek van f(x) spiegelt in de y-as (y sin(x)) en vervolgens  naar rechts verschuift (y sin( ( x )) sin(  x)) valt de grafiek weer samen met die van f(x).

b. Nee: cos( x) cos( )x 11.

a.

b. sin(x) sin( )x

c. cos(x) cos( )x

12.

a. De eenheidscirkel snijdt de lijn y x in punt R en de y-as in punt B. 1 4 POR   ROQ      (gespiegeld in y x) 1 1 4 2 2 ( ) AOQ            

b./c. De coördinaten van punt Q zijn: 1 1

2 2

(cos(   ), sin(   ))

En vanwege de spiegeling in y x geldt ook dat de coördinaten van

(sin( ), cos( )) Q   zijn. Hieruit volgt: 1 2 sin( ) cos(    ) en 1 2 cos( ) sin(    ) x y  2 3 1 2 -1 -2

sin

cos

y



x



x

x y  2 3 1 2 -1 -2 x y  2 - 0,5 1 -0,5 -1

13.

a. 1 1 1 1

4 2 4 4

sin(x ) cos(  (x )) cos(  x)

b. 1 1 1 5

3 2 3 6

cos(1 x) sin(  (1  x)) sin( x )

c. 1 1 1 1 1

3 2 2 2 2

cos(2x ) cos( (2x )) cos(1  2 ) sin(x  (1  2 ))x

          

sin(2 x)

d. 1 1 1 1

2 2 2 2

sin(2x ) sin( 2x ) cos(  ( 2x )) cos(2x )

          

14. Q is de loodrechte projectie van P op de x-as: Q(cos(x), 0)

Driehoek OPQ is rechthoekig, dus er geldt de stelling van Pythagoras:

2 2 2 2 2 (cos( )) (sin( )) 1 OQ PQ OQ x x     15. a. 4 2 25cos ( ) 1x  b. 2 5 9 sin ( )x  1 2 21 25 1 1 5 5 cos ( ) cos( ) 21 cos( ) 21 x x x      2 4 9 2 2 3 3 sin ( ) sin( ) sin( ) x x x     

c. _{4cos ( ) cos ( ) 5cos ( ) 1}2 _{x } 2 _{x } 2 _{x }

2 1 5 1 1 5 5 cos ( ) cos( ) 5 cos( ) 5 x x x      16. a. amplitude: 1 en periode:  b. g x( ) sin(2 ) x c. Als f x( )g x( ) dan is f x( )g x( ) 0 of ( ) 1 ( ) f x g x 

d. Ja, ze vallen samen. e. klopt

f. 2 2 1

2

( ) sin ( ) cos ( ) cos(2 ) cos(2 ) sin( (2 ))

v x  x  x   x  x    x  1 1 2 2 sin( 2x ) sin(2x )       17. a. 1 1 1 3 3 3

( ) sin( ) gespiegeld in x as sin( ) naar rechts sin( 1 )

f x _ x_  _{} _{  }y x_  _{  } y x_  , 2 1 1 2 3 ( ) sin( 1 ) y as V g x x       b. 1 1 1 1 1 1 1 1 5 2 3 2 3 2 2 3 2 6

( ) sin( 1 ) sin( 1 ) cos( ( 1 )) cos( )

g x   x    x      x   x  18. a. 1 5 1 5 6 , 6 , 26 , 26 x  x   x   x  b. c. 1 2 2 1 3 3 3 3 1 , , , 1 x   x    x  x 

19. a. 1 1 1 2 2 3 sin( x)  3 sin(1 ) 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 3 3 1 2 2 2 4 4 x k x k x k x k                         b. sin(2 ) sin(3 )x  x 1 2 5 5 2 3 2 2 3 2 2 5 2 2 x x k x x k x k x k x k x k                               c. 1 2 sin(4x) sin( x ) 1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 2 2 2 3 10 5 4 2 4 ( ) 2 3 1 2 5 1 2 x x k x x k x k x k x k x k                                          d. cos(2x) cos( x2 ) 2 3 2 2 2 2 2 ( 2 ) 2 2 3 2 2 x x k x x k x k x k x k x k                                  e. 1 1 2 6 2 3 cos(2x )  cos( ) 1 2 1 2 6 3 6 3 5 1 6 2 5 3 12 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 x k x k x k x k x k x k                                        f. 1 1 3 2 sin(x ) sin(  x) 1 1 1 1 3 2 3 2 5 1 1 6 3 2 5 12 2 ( ) 2 2 2 2 x x k x x k x k x x k x k                                       g. 2 3 cos( x) cos(2   x) 2 2 3 3 2 1 3 3 1 5 2 2 2 (2 ) 2 1 2 2 1 6 x x k x x k x k x k x k x k                                   h. 1 2 cos( x) cos(2   x) 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 3 3 2 2 2 (2 ) 2 2 1 2 2 4 1 x x k x x k x k x k x k x k                                              20. 1 6 sin(2 ) sin(x   x) 1 1 6 6 5 1 6 6 1 2 18 3 2 2 2 ( ) 2 3 2 2 x x k x x k x k x k x k                               

21.

a. sin(2 ) cos( )x  x b. cos( 2 ) sin( )x  x

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 6 3 sin(2 ) sin( ) 2 2 ( ) 3 2 2 x x x x x x x k x k x k                             1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 6 3 cos( 2 ) cos( ) 2 2 2 ( ) 2 3 2 2 x x x x x x x k x k x k x k                                             c. 1 1 2 3 sin( x) cos( x) d. 1 2 cos( 2 ) sin(x  x) 1 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 2 3 5 1 1 1 6 2 6 2 3 2 5 5 sin( ) sin( ) 2 2 2 3 12 x x x x x x x k x k x k x k                                     1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 4 3 5 5 cos( 2 ) cos( ( )) 2 1 2 1 2 2 2 3 x x x x x x x k x k x k x k                                             22. a. _{2sin ( ) sin( ) 1 0}2 _{x  x  } 1 2 5 1 1 6 6 2 (2sin( ) 1)(sin( ) 1) 0 sin( ) sin( ) 1 1 2 1 2 2 x x x x x  k  x  k  x  k                   

b. _{cos ( ) 2cos( ) 1 0}2 _{x  x   c. sin ( ) sin( ) 30 0}2 _{x  x  }

2 (cos( ) 1) 0 cos( ) 1 2 x x x  k         (sin( ) 6)(sin( ) 5) 0 sin( ) 6 sin( ) 5 x x x x geen oplossingen        d. _{3cos( ) 2sin ( ) 0x } 2 _{x } 2 2 1 2 1 2 3 3 3cos( ) 2(1 cos ( )) 0

2cos ( ) 3cos( ) 2 (2cos( ) 1)(cos( ) 2) 0 cos( ) cos( ) 2 x 2 1 2 x x x x x x x x k x k                         e. _{sin ( ) 1 cos( )}2 _{x   x} 2 2 1 1 2 2 1 cos ( ) 1 cos( )

cos ( ) cos( ) cos( )(cos( ) 1) 0 cos( ) 0 cos( ) 1 2 1 2 2 x x x x x x x x x  k  x  k  x  k                        23. a. 1 2 sin( )x  cos(x ) b. 1 3 cos(2x1 ) sin(3 x 2 )  1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 cos( ) cos( 1 ) 1 2 2 x x x x x x x k x k                              5 6 5 5 6 6 5 1 6 6 23 2 30 5 sin( 2 ) sin( 3 2 ) 2 3 2 2 3 3 1 2 5 3 2 x x x x x x x k x k x k                                        

24.

a. y₀ d ( ( )) |y x_{1 X x}

dx 

 tekent de hellingsgrafiek van y1

b. f x'( ) cos( ) x c. g x'( ) sin( )x 25. a. f x'( ) 5 sin( )x b. g x'( ) cos( ) x c. k x'( ) 1 cos( ) sin( )  x  x d. Met de kettingregel: 1 1 1 3 3 3 '( ) 3sin( ) sin( ) l x   x    x

26. Hoe verzinnen ze het! Met deze vragen word je niet populair.

a. 1

2

'( ) 2cos(2 ) sin(2 ) 2 2 sin(2 )cos(2 )

k x   x   x      x x

b. 2 2 1 2

5 5 5 5

'( ) 3cos( (2 )) 1 cos( (2 ))

U s    s       s c. _{h x'( ) 2 3 sin (5 ) cos(5 ) 5 30sin (5 ) cos(5 ) } 2 _{x  x  } 2 _{x  x} d.

2 2

2 2

(1 3sin( )) 2sin( ) 2cos( ) 3cos( ) 2sin( ) 6 sin ( ) 6 cos ( ) '( ) (1 3sin( )) (1 3sin( )) t t t t t t t r t t t              2 2sin( ) 6 (1 3sin( )) t t    

e. f t'( ) t 2cos(2 ) 1 sin(2 ) sin(2 ) 2 cos(2 )t   t  t  t t 27.

a. _{f x( ) sin ( ) (sin( ))} 2 _{x  x} 2 _{sin( ) sin( )x  x f x'( ) 2sin( ) cos( ) x  x}

'( ) 2cos( ) sin( ) 2sin( ) cos( ) '( )

g x  x   x   x  x  f x

b. s x'( )f x'( )g x'( ) 2sin( )cos( ) x x  2sin( )cos( ) 0x x  dus s x( )c En dat klopt ook, want _{s x( ) sin ( ) cos ( ) 1} 2 _{x } 2 _{x }

c. v x'( ) 2sin( )cos( ) x x  2sin( )cos( ) 4sin( )cos( )x x  x x

d. v x'( ) 0 1 2 1 1 1 2 2 2 sin( ) 0 cos( ) 0 0 ( , 1) ( , 1) (0, 1) ( , 1) ( , 1) (1 ,1) en (2 , 1) x x x k  x  k                        28. a. periode 2 0,4 5   s b. p t'( ) 20 cos(0,4 ) 0,4 t    8 cos(0,4 ) t '(1) 7,766

p   . De afgeleide is negatief, de luchtdruk daalt, dus de persoon ademt uit.

c. Maximale snelheid is 8 (amplitude van p'(t)) en komt voor op de tijdstippen

0, 5, 10, ...

29.

a. f x( ) 0

Voer in: y12sin( ) 3cos( )x  x zero: x2,16  x 5,30

b. f x'( ) 2cos( ) 3sin( ) x  x

"( ) 2sin( ) 3cos( ) (sin( ) 3cos( )) ( )

f x   x  x   x  x  f x

c. f x"( ) 0 voor dezelfde x-waarden waarvoor f x( ) 0

d. g x( )asin( )x bcos( )x

'( ) cos( ) sin( )

"( ) sin( ) cos( ) ( sin( ) cos( )) ( )

g x a x b x

g x a x b x a x b x g x

 

       

Ja die eigenschap geldt voor al die functies. 30. a. u x( ) sin( ) x en f u( ) u '( ) cos( ) u x  x en '( ) 1 2 f u u  _: '( ) cos( ) 1 cos( ) 2 sin( ) 2 sin( ) x f x x x x   

b. De afgeleide bestaat niet voor sin( ) 0x 

sin( ) 0 0 en x x x    

Tussen deze x-waarden is sin( )x groter dan 0.

c. 12 1 2 2 3 1 1 4 _{2 2} 2 2 '( ) 2 0,42 f  _  _{   } en 3 1 4 2 ( ) 2 0,84 f    3 4 0,84 0,42 1,83 0,42 1,83 b b y x          31. a. fa b, '(0) 3 en fa b, (0) 0 b. a5 (a is de amplitude) , , '( ) cos( ) '(0) 3 a b a b f x ab bx f ab    3 5 b

De tweede vergelijking geldt voor alle waarden van a en b. 32.

a. f x'( )abcos( (b x c ))

b. c en d hebben te maken met een verschuiving, dus niets met de afgeleide. De

amplitude van de afgeleide functie wordt ab.

c. 1. d valt weg bij de afgeleide, waardoor de evenwichtsstand van f’(x) gelijk wordt aan 0. 2. de periode van f en f’ is 2 b . 33. a. g x'( ) 3cos(3 ) x b. 1 3 ( ) sin(3 ) F x  x x y 0,5  1,5 2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

34. a. 1 2 ( ) cos( ) sin(2 ) F x   x  x c. 3 4 ( ) 2 cos(4 ) H x  x x b. 1 1 2 3 ( ) cos(2 ) sin(3 ) G x   x  x d. 3 5 ( ) cos(5 ) 2sin(2 ) K x  x  x 35. a.





₀ 0 sin( )x dx cos( )x 1 1 2        



2





2 0 0 sin( )x dx cos( )x 1 1 0         







0 0 sin( )x dx cos( )x _ 1 1 2          



b. Elk deel ingesloten door de grafiek van f en de x-as heeft een oppervlakte van 2.

c. 1 2 sin( )x  5 6 ₅ 6 1 6 1 6 5 1 6 6 5 1 1 1 1 1 1 2 2 2 12 2 12 3 (sin( ) )) cos( ) ( 3 ) ( 3 ) 3 x x Opp x dx x x             



  _  _        36. a. b. 1 1 2 2 0 0 (3 sin( x dx) 6cos( x) 6    _ _ 



.

De oppervlakte onder de grafiek van f tussen de grenzen 0 en  is 6 (gekleurde vlakdeel)

c. 1 1 2 2 (3sin( x dx) 6cos( x) 0        _ _ 



.

De oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de x-as, de grafiek van f en de lijn x  (gearceerd) is even groot als het gekleurde vlakdeel.

37. a. 3 4 ( ) cos(4 ) sin( ) F x   x  x d. 1 2 ( ) cos(2 ) K x   x b. 1 2 ( ) 2 1 sin(4 2 ) G x  x  x e. 1 3 3 ( ) sin( ) L x  x c. 1 2 2 ( ) cos( ) H x   x f. _{M x( ) sin ( )} 2 _x 38. a. sin( ) cos(x)x  1 2 1 1 2 2 1 2 1 4 1 1 1 1 4 2 4 2 sin( ) sin( ) 2 ( ) 2 2 2 ( , 2) (1 , 2) x x x x k x x k x k x k en                                  b.





1 4 1 4 1 4 1 4 1 1

(sin(x) cos( )) cos( ) sin( ) 2 2 2 2

Opp x dx x x     



        x y  2 3 - 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

39. a. 2 12 12 3 12 '( ) 8 sin( ( 14)) sin( ( 14)) T t _{ }  t_{   } _  t_{ en T'(14) 0} b. 18 18 96 12 12 6 6 (10 8cos( ( 14)) 10 sin( ( 14)) 172,93 Opp  t dt t  t  



  _   _  c. 172,93 18 6 14,41 C _ 

d. De gemiddelde temperatuur tussen 6 uur ’s morgens en 6 uur ’s avonds. 40. a. 1 2 0 sin( )x dx 1  



1 2 0 sin(2 )x dx 1  



1 2 1 3 0 sin(3 )x dx  



1 2 0 sin(4 )x dx 0  



b. Het gebied ingesloten door de grafiek van f en de x-as is boven de x-as even groot als onder de x-as.

c. p4k met k een geheel getal. 41.

a. _{M x'( ) A 3cos ( )}2 _{x  sin( )x  3 cos ( )sin( )A} 2 _{x x A 1}

b. _{N x'( ) A 4sin (2 ) cos(2 ) 2 8 sin (2 )cos(2 )}3 _{x  x   A} 3 _{x x} 1

4 A

c. 2 2

cos( ) 0 sin( ) sin( ) '( ) cos ( ) cos ( ) x A x A x P x x x        A1 d. 2 4 4 3

sin (2 ) 0 2sin(2 ) cos(2 ) 2 4 sin(2 )cos(2 ) 4 cos(2 ) '( )

sin (2 ) sin (2 ) sin (2 )

x A x x A x x A x Q x x x x             1 3 A  42. a.

b. Verticale asymptoten als cos( ) 0x 

1 2 x   k  c. f x( ) 0 sin( ) 0 0 2 , , 0, , 2 x x k x x x x x                 De periode van f(x) is  . 43. tan(0) 0 12 1 2 1 1 6 3 3 tan(  )  3 12 1 2 5 1 6 3 3 tan( ) _   3 1 2 1 2 2 1 4 2 tan(  ) 1 12 1 2 3 1 3 tan(  )  3 12 1 2 3 2 3 tan( ) _   3 44.

a. tan( ) sin( ) sin( ) tan( ) cos( ) cos( ) x x x x x x        

b. tan( ) sin( ) sin( ) tan( ) cos( ) cos( ) x x x x x x            sin( x) sin( )x x y  2 - -2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

45.

a. 1

2

tan( x) 3 b. 1

2

tan(2 ) tan(x   x) c. 2cos( ) 3 tan( )x  x

1 1 2 3 2 3 2 x k x k             1 2 1 2 1 1 6 3 2 3 x x k x k x k                 2 2 2 2cos ( ) 3 sin( ) 2(1 sin ( )) 3sin( ) 2sin ( ) 3 sin( ) 2 0 x x x x x x      

d. _{tan ( ) 1}2 _{x  (2sin( ) 1)(sin( ) 2) 0x  x  }

1 1 4 4 tan( )x 1 tan( ) 1x x  k  x  k              1 2 5 1 6 6 sin( ) sin( ) 2 2 2 x x x  k  x  k             e. 1 2

tan(2 )x  tan(x ) f. 3 sin( )x  3 cos( )x

1 2 1 2 1 2 1 1 6 3 tan(2 ) tan( ) 2 3 x x x x k x k x k                        1 3 1 6 3sin( ) 3 cos( ) tan( ) 3 x x x x  k       46. a. b. 1 tan( ) 4 x  c. 1 tan( ) 0 x  tan( ) 3 1,25 1,89 1,25 x x k x x          1 4 3 1 1 1 2 4 2 4 tan( ) 1 ( ) 0 , , x x k f x voor x                 _ _ 47. a./b. ( ) sin( ) cos( ) x f x x  2 2 2 2 2

cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos ( ) sin ( ) 1 '( )

cos ( ) cos ( ) cos ( )

x x x x x x f x x x x         c. 2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos ( ) sin ( ) cos ( ) sin ( ) sin( )

'( ) 1 1 tan ( )

cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos( )

x x x x x f x x x x x x        _{ }     48. a. 2 2 2 6 '( ) 3 cos (3 ) cos (3 ) f x x x    b. 41 2 2 1 1 '( ) 2 cos ( 2 ) 2cos ( 2 ) g x x x           c. 2 2 1 1

'( ) sin( ) cos( ) tan( ) sin( ) ( 1)

cos ( ) cos ( ) h x x x x x x x        49. a. 1 2 1 4 4 (1) tan( 1 ) tan( ) 1 f      1 1 '( ) x f x   x 

2 1 2 2 ( 2 ) '(1) 1 1 1 1 f b b b y x  _                    50.

a. _{f( x) tan(( x) ) tan (} 2 _ 2 _{ x) tan( ) ( tan( ))x}2 _{  x} 2 _{tan( ) tan ( )x}2 _ 2 _{x f x( )} b. De periode van g(x) is 2 . c. 1 1 1 1 1 5x 2  k  en 2 2x  2  k  1 1 2 2 2 5 x   k  en  x k  2 x k  d. 2 3 sin( )x  2 2 2 2 4 3 9 2 5 9 1 1 3 3 2 3 2 5 1 3 ( ) cos ( ) cos ( ) 1 cos ( ) cos( ) 5 cos( ) 5 sin( ) tan( ) 5 cos( ) 5 x x x x x x x x             51. a. b. _{tan ( )}2 _{x  3 tan( ) 0x } 1 3 1 3 0) ( tan( ) (tan( ) 3) 0 tan( ) 0 tan( ) 3 (0, en , 0) x x x x x k  x  k               c. 2 2 2 1 2 tan( ) '( ) 2tan( )

cos ( ) cos ( ) cos ( ) a a x a f x x x x x      d. f_a'( ) 0x  en f x_a( ) 1 1 2 2 tan( ) tan( ) x a x a   2 2 2 1 1 1 4 2 4 2 1 4 a a a a       2 2 a   a 52. a. 4 5 (1 , 0.97) P 0,97 1,8 1,8 0 : 0,54 (sin( ) 0,54 x) 0,35 OP y x x Opp x dx   



  b. f x'( ) cos( ) x De helling in P is f p'( ) cos( ) p x y 0,5 -0,5 1 2 3 4 5 6 -1 -2

c. y cos( )p x b 

sin( ) cos( ) sin( ) cos( )

cos( ) sin( ) cos( ) ( )cos( ) sin( )

p p p b b p p p y p x p p p x p p p             d. (x p )cos( ) sin( ) 0p  p  sin( ) cos( ) ( )cos( ) sin( ) tan( ) tan( ) p p x p p p x p p x p p           53.

a. De periode van f x3( ) sin ( ) 3 x is 2 en die van

4

4( ) sin ( )

f x  x is  . b. De amplitude is 1

2 en ook de evenwichtsstand is y  12. Bij x0 is de functie minimaal, dus een -cosinus.

1 1 4( ) 2 2cos(2 ) f x   x 54. a. b. 2 sin( )x x  x 1 2 5 1 6 6 (2sin( ) 1) 0 0 sin( ) 2 2 x x x x x  k  x  k              c. f x'( ) 2 cos( ) 2sin( ) x x  x en f'(2) 0,154 0 

d. Voer in: y12xsin( )x maximum: x 2,03 Het maximum ligt dus rechts van x2

e. F x'( ) 2x sin( )x   2 cos( ) 2cos( ) 2x  x  xsin( )x f x( )





₀

0

2 sin( ) 2 cos( ) 2sin( ) 2

Opp x x dx x x x    

_

     55. a. AOM 90o _{en AOP  2 (90}o_{) 180} o_2 b. BOP 180o AOP 180o(180o2 ) 2  

In driehoek AOM geldt: cos( ) AM

AO AM    . Nu geldt: AP  2 AM 2cos( ) c. sin( ) sin(2 ) 2cos( ) PQ AP   

  _{. Hieruit volgt:} sin(2 ) 2sin( )cos( )   

d. cos( ) 1 cos(2 ) 2cos( ) AQ AP       . Hieruit volgt: 2 2 1 cos(2 ) 2cos ( ) cos(2 ) 2cos ( ) 1        

e. _{cos(2 ) 2cos ( ) 1 2cos ( ) (sin ( ) cos ( )) cos ( ) sin ( ) } 2 _{  } 2 _{ } 2 _{ } 2 _{ } 2 _{ } 2 _{  (1 sin ( )) sin ( ) 1 2sin ( )}2 _{ } 2 _{  } 2 _

f. 2 2 2 2 2 sin( ) cos( ) 2 2 _{cos ( ) sin ( )} 2 cos ( ) cos ( )

sin(2 ) 2sin( )cos( ) 2 tan( )

tan(2 )

cos(2 ) cos ( ) sin ( ) 1 tan ( )

                      x y  2 - -2 2 4 6 -2 -4 -6 -8 -10

56. a. 2 1 2 3 5t 50 sin(t ) 5t 25 3 t 0         5 ( 5 3) 0 0 5 3 8,66 t t t t       

Na 8,66 seconde is het voorwerp weer op de grond: x 25 5 3 216,5 m verder.

b. _5t2_{50 sin( ) 0t  } 5 ( 10 sin( )) 0 0 10 sin( ) t t t t        

c. s 50 10 sin( ) cos( ) 500sin( )cos( ) 250 sin(2 )        

d. s is maximaal 250 als 1

4   .

T-1. a. periode 1 2 2 ₄    b. periode is 1 3s: 13 2 ₆ B _  _{ } 2sin(6 ) w  t T-2.

a. f en g hebben dezelfde periode: 4. Dus 2 1

4 2 b_  _{ } 1 2 ( ) sin( ) g x  x b./c. f  4v 0,25 1 2 1 ( ) 0,5 0,3sin( ( 1)) v f x  x      T-3. a. 1 1 1 2 2 2

cos(  3 )x sin(  (  3 ))x sin(3 ) sin( 3 )x x

          : p 3, q k 2 b. 1 2 2 2 2 3 9 ( 2) cos ( )x  cos ( ) 1x  c. 2 2 2 2 12 5 25 sin ( ) (x  3) sin ( )x  1 2 7 9 1 1 3 3 cos ( ) cos( ) 7 cos( ) 7 x x x      2 13 25 1 1 5 5 sin ( ) sin( ) 13 sin( ) 13 x x x     

d. _{sin ( ) cos ( ) (1 cos( ))}2 _{x } 2 _{x   x} 2 _{cos ( ) 1}2 _{x }

2 2

2

1 2cos( ) cos ( ) cos ( ) 1

2cos ( ) 2cos( ) 2cos( ) (cos( ) 1) 0 cos( ) 0 cos( ) 1 x x x x x x x x x             T-4. a. sin(2 3 ) sin(x   6 )x 1 2 2 2 3 3 9 9 2 3 6 2 2 3 ( 6 ) 2 3 2 9 2 2 x x k x x k x k x k x k x k                                            b. 1 2 cos(2 ) cos(x    x) 1 1 2 2 1 1 2 2 2 4 2 1 5 5 3 3 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 1 2 1 x x k x x k x k x k x k x k                                      c. 1 1 2 2 cos(2 x) sin(4 x) 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 1 2 14 7 4 cos(2 ) cos( 4 ) 2 4 2 2 2 ( 4 ) 2 7 2 2 1 2 x x x x k x x k x k x k x k x k                                           d. _{2sin (2 ) 3 sin(2 x) 2 0}2 _{x   } 1 2 5 1 6 6 (2sin(2 ) 1)(sin(2 ) 2) 0 sin(2 x) sin(2 ) 2 2 2 2 2 x x x x  k  x  k                x y 6 0 -0,5 -1 -1,5

T-5.

a. f x'( ) 2cos(3( x0,25 )) 3 6cos(3(   x0,25 ))

b. g x'( ) 1 sin(5 2 ) 2 1 2sin(5 2 )   x      x

c. _{h x'( ) 0,5 4 sin (3 ) cos(3 ) 3 6sin (3 ) cos(3 ) } 3 _{x  x  } 3 _{x  x}

d. en nog zo’n rampgeval: k x( ) 3cos (5 ) 2 x

3 3 30 sin(5 ) '( ) 3 2cos (5 ) sin(5 ) 5 cos (5 ) x k x x x x         T-6. a.





1 2 ₁ 2 0 0

(2sin( ) cos(x))x dx 2cos( ) sin(x)x 1 2 1           



b. 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 ₀ 8 2 2 8 0 (2 x 2sin(4 ))x dx 2x x cos(4 )x ( ) ( )           _   _       



c. 2 2 1 2 1 1 2 3 1 1

(sin(x) 2cos(3 x dx)  _{ }cos(x) _sin(3x)_     _{  }



d. 1 2 1 2 1 1 1 2 0 2 2 0

(2sin( ) sin(2 ))x x dx 2cos( )x cos(2 )x 1 1     _  _     



T-7. a. b. f x( ) 0 1 2 1 1 1 2 2 2 cos( ) 0 , , 1 x x k x x x              c. sin( ) 0x  , 0, , 2 x  x  x  x   d. Voer in: 1 cos( ) sin( ) x y x  en y2 2 intersect: x0,46  x 3,61 e. f x( ) 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 4 1 1 1 1 4 2 4 2

cos( ) sin( ) cos( )

2 2 ( ) 2 2 2 ( ) 1 , 1 ,1 x x x x x k x x k x k x k f x voor x                                   _ _

f. ( ) cos( ) tan( ) 1 tan( ) sin( ) tan( ) x h x x x x x     2 1 cos ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 _{1 1 1} '( ) 0

tan ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) 1 sin ( )

x h x x x x x x x x   _         x y  2 - 2 4 -2 -4

2 1 2 1 1 2 2 3 3 1 1 4 4 4 4 3 1 4 4 sin ( ) sin( ) 2 sin( ) 2 1 1 ( , 2) ( , 2) x x x x x x x en                    T-8. a. Voer in: 1 1 3cos(12 ) y  x en 1 2 2sin(2 ) y  x intersect: x0.86, x 3.61, x4.95 b. 3,61 1 1 2 2 0,86 (2sin( x) 3cos(1 x dx)) 8,01



T-9. a. De periode is 2

200 0,01 s. Dat betekent 100 trillingen per seconde.

b. u x'( ) 0,3cos(200 ) 200 t   60 cos(200 ) t '(0) 60 u   mm/s T-10. a. f x( ) 0 2 2 2 sin( ) 0 0 sin( ) 0 2 3 4 5 x x x x x k x x x x x                       b. _{F x'( )  p sin( ) 2x}2 _{ x  2pxsin( )x}2 1 2 2p 1 p     c. 2 1 2 1 1 2 ₀ 2 2 0 sin( ) cos( ) 1 Opp x x dx x     



 _{ }    