Top van een parabool

De top van een parabool

Bekijk de kwadratische functie y=a x2

+bx +c . Met behulp van kwadraatafsplitsen vinden we:

y=a x2+bx +c=a

(

x2+b ax

)

+c=a

(

x 2 +b ax +

(

b 2 a

)

2 −

(

b 2 a

)

2

)

+c ¿a

(

(

x + b 2a

)

2 −

(

b 2 a

)

2

)

+c=c− b 2 4 a=a

(

x + b 2 a

)

2 +4 ac−b 2 4 a =a

(

x+ b 2 a

)

2 − D 4 a , waarbij D=b2−4 ac de discriminant is van a x2+bx+c .

We hebben dus y=a x2+bx +c herleid tot y=a(x + p)2+q .

De top van de grafiek van een dergelijke functie is het punt (− p , q) , want de grafiek van

y=a(x + p)2+q krijgen we uit de grafiek van y=a x2 (die als top het punt (0,0) heeft) door een verschuiving van p naar links en q naar boven.

We hebben dus het volgende gevonden.

Voor de top van de grafiek van de functie y=a x2

+bx +c geldt: xtop= −b 2 a en ytop= −D 4 a .

Merk op dat we ytop kunnen uitrekenen zonder xtop te kennen! Maar je kunt de top

natuurlijk ook bepalen door eerst xtop te berekenen via xtop=

−b

2 a en deze waarde van x_top gebruiken om y_top uit te rekenen door middel van ytop=a

(

xtop

)

2

+b ∙ x_top+c .

Voorbeeld 1

y=2 x2_{−5 x+7 . Bereken de top van de grafiek.} x_top=−−5 2∙ 2 ¿ 5 4 ; ytop= −D 4 a= −−31 8 =3 7 8 .

Een andere (meer bewerkelijke) methode voor het berekenen van ytop is :

ytop=2∙

(

5 4

)

2 −5∙5 4+7=2 ∙ 25 16− 25 4 +7= 25 8 − 25 4 +7= −25 8 +7=3 7 8 . Voorbeeld 2

De extreme waarde van de functie fp(x)=p x 2 +(p+2)x +5 is gelijk aan 3. Bereken p . Methode 1 x_top=−p+2 2 p , dus ytop=p ∙

(

−p+2 2 p

)

2 + (p+2 )∙−p+2 2 p +5 ¿p ∙( p+ 2) 2 4 p2 −¿ ( p+2 )2 2 p ¿ ( p+2 )2 4 p −¿ 2 ( p+2)2 4 p +5=¿ ( p+2 )2−2( p+2 )2 4 p +5 ¿−( p+2) 2 4 p +5 .

We moeten oplossen y_top=3 , −( p+ 2)2

4 p +5=3 , −( p+ 2)2 4 p =−2 , −( p+2) 2_{=−8 p ,} ( p+2)2−8 p=0 , p2+4 p+4−8 p=0 , p2−4 p +4=0 , ( p−2)2=0 , p=2 . Methode 2

Er moet gelden dat ytop=3 ,

−D 4 a =3 , −( p+ 2)2−20 p 4 p =3 , (p+2) 2 −20 p=−12 p , p2+4 p+4−8 p=0 , p2−4 p +4=0 , (p−2)2=0 , p=2 . Methode 3

De vergelijking fp( x )=3 , oftewel p x2+(p+2) x+2=0 , heeft precies een oplossing, dus de

discriminant van deze laatste vergelijking moet gelijk zijn aan 0. D=( p+2)2

−4 ∙ p∙ 2=0 , p2+4 p+4−8 p=0 , p2−4 p +4=0 , ( p−2)2=0 , p=2 .