E.W. Beth als logicus - Hoofdstuk 8 Deductieve tableaus

UvA-DARE is a service provided by the library of the University of Amsterdam (https://dare.uva.nl)

UvA-DARE (Digital Academic Repository)

E.W. Beth als logicus

van Ulsen, P.

Publication date

2000

Link to publication

Citation for published version (APA):

van Ulsen, P. (2000). E.W. Beth als logicus. ILLC dissertation series 2000-04.

General rights

It is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the author(s)

and/or copyright holder(s), other than for strictly personal, individual use, unless the work is under an open

content license (like Creative Commons).

Disclaimer/Complaints regulations

If you believe that digital publication of certain material infringes any of your rights or (privacy) interests, please

let the Library know, stating your reasons. In case of a legitimate complaint, the Library will make the material

inaccessible and/or remove it from the website. Please Ask the Library: https://uba.uva.nl/en/contact, or a letter

to: Library of the University of Amsterdam, Secretariat, Singel 425, 1012 WP Amsterdam, The Netherlands. You

will be contacted as soon as possible.

Deductievee tableaus

"Alle"Alle diese Untarsuchungen waren semantisch oder modcll-thcoretisch mndiert. AusAus diesem Umstand ergab sich die Fragc, inwieweit man in dieser Beziehung audiaudi rein deduktionstheorctisch oder formal vorgchen könnte. Es soil diese FrageFrage nicht missverstanden werden. Natürlich kann jedes Kalkül, wenn man eses einmal hat, rein formal beschriehen und untersucht werden. Es handelt sich hierhier aher vielmehr darum, den Aufbau des Kalküls deduktionstheoretisch zu motivieren.motivieren. Es besteht hier ein grosser Unterschied im Vergleich mit der se-mantischenmantischen Begründung. Wenn die semantische Grundlagc vorgegeben ist, so istist die entsprechendc Dcdnkthmsthcorie eindeutig bestirnmt. Die

deduktions-theoretischetheoretische Motivierung hat nur cinen heuristischen Wert, tr'agt m.M.n. zur

EinsichtEinsicht doch etwas foei.'' l

8.11 Definities

8.1.11 Overwegingen vooraf

B e t h ss a f b a k e n i n g e n v a n h e t d e d u c t i e b e g r i p

Dee semantische tableaus werden gebruikt o m formules snel t e testen o p geldigheid Dee techniek en de constructie van dergelijke t a b l e a u s werden door Beth gehaald uitt een bewijs theoretisch a p p a r a a t . Men kan de t a b l e a u s op hun b e u r t voor de constructiee van een bewijs gebruiken (dit kan gelezen worden als een uitdrukking vann volledigheid).

Dezee problematiek was al vanaf het allereerste begin bij Beth opgekomen. Bethss doel was een equivalent, niet van Gentzens sequenten, maar van diens natuurlijkee deductie. Louter bewijstechnisch h a d hij het syntactische onderzoek all eerder k u n n e n afkappen. De natuurlijke deductie werd door Both na de nodige bewerkingenn a a n g e b o d e n in een lineaire variant. Ver liggen de sequenten en

11

X_Jït ms. voordracht E.W. Beth, Deduktive und semantische Tafeln für die rein-implikative Loqik,Loqik, Math. Institut, Universitat Marburg/Lahn, 27 november 1959.

216 6 HoofdstukHoofdstuk 8. Deductieve tableaus

natuurlijkee deductie niet uit elkaar. Reeds Gentzen bewees de equivalentie van dee door hein gehanteerde systemen.2

Bethss motief voor het verdere u i t d i e p e n naar natuurlijke deductie was ideo-logischh van a a r d . B e t h vond in de 'natuurlijke deductie1 het best het 'natuurlijke verloop11 van een redenering weerspiegeld. Dit was een p u n t , w a a r hij in vele geschriftenn telkens weer op t e r u g k w a m : J

"Hett begrip van inferentie [deductie] en van inferentieel [deductief] tableau enerzijds enn het begrip van logisch gevolg en van semantisch tableau anderzijds karakteriseren tweee zeer verschillende opvattingen van de implicatie. [...]. Het is evident, dat de inferentiëlee logica beter beantwoord aan ons begrip van de logica als een wetenschap-pelijkee studie van de inferentie en het is dus niet verwonderlijk dat menig logicus een zekeree voorliefde betoond heeft voor de inferentieële opvatting der implicatie.

Anderzijdss is het de tweewaardige implicatie die voorkomt in de klassieke wiskunde, zodatt de zuiver inferentiële logica der implicatie niet adequaat is aan de analyse van het wiskundigg denken. Het zou dus wenselijk zijn — door een duwtje — de tweewaardige logicaa nader bij de inferentiële logica te brengen om een logisch systeem tot stand te brengenn dat de voordelen bezit van de inferentiële logica en tegelijkertijd beantwoord aann de tweewaardige opvatting der implicatie.

Hett komt uiteindelijk neer op het assimileren van het semantisch tableau met het inferentieell tableau, zodat enerzijds de eventuele verdringing4 van sommige formules gerespecteerdd wordt [... ] zonder dat anderzijds de mogelijkheden om het tableau af tee sluiten aangetast worden."

Bovenstaandee lijkt duidelijk en zal ook de procedure vormen, die in dit hoofd-stukk uitgebreid a a n de orde komt. M a a r ook in 1960 beweerde B e t h : 5

"Inn general, a closed semantic tableau cannot be immediately converted into a formal deduction.. This conversion seems possible only if the semantic tableau is at the same timee a deductive tableau in which case an intuitionistic deduction results. This I can, however,, only state as an empirical rule because so far I have studied the situation onlyy with a view to classical logic."

Hett laat zien, d a t B e t h soms deductieve tableaus gelijk stelt a a n intuïtionistisch aanvaardbaar,, d a n weer ook klassieke logica de deductieve tableaus niet onthou-denn wil. Het geeft een ambivalentie, die nooit goed bij hern verdwenen is; hier zall in de loop van dit hoofdstuk op worden teruggekomen. B e t h s motieven zijnn niet altijd even duidelijk. Soms probeerde B e t h met een, wellicht ver-warringg wekkende, naamgeving b e p a a l d e bijgedachten de pas af t e snijden: ö "Danss notre R a p p o r t 1 (du 1 m a i 1961) 7, la logique inférentielle fut appelée

'logique'logique intuitionistè'; nous avons choisi un terme p l u t o t neut re pour éviter

toutee discussion philosophique." In d i t geval wordt 'inferentieel' gelijkgesteld aann intuïtionistisch, zoals ook blijkt uit Beth (1967), p . 39: "De klassieke logica iss sterker dan de inferentiële logica [... ] Iedere inferentieel mogelijke deductie

2

Ziee Gentzen (19356). 3

(Betbb 1960c). 4

Verdrmging:: een technisch punt bij de deductieve tableaux; komt nog aan de orde. 5_{Brieff Beth - Kreisel, 5 december 1960.}

6

(Bethh 1961a). 7

iss ook klassiek mogelijk." M a a r volgens Beth zijn ((A —> D) —> A) -» A (wet vann Peirce) en 3x(3yA(y) —> A{x)) (wet van P l a t o ) niet inferentieel, m a a r wel klassiekk geldig.

L a t e rr zal op Beths naamgeving en bedoeling verder worden ingegaan. Voor-eerstt zal er aan worden voorbijgegaan en alleen bekeken worden hoc Beth de deductievee tableaus, tezamen niet lineaire deducties, technisch formuleerde zon-derr bij v o o r b a a t iets uit te sluiten.

D e d u c t i e - b e w i j z e nn u i t t a b l e a u s

M e nn kan het gestelde doel bereiken vanuit de semantische tableaus, m a a r ook vanuitt een 'nieuw' tableau-systeem. Als men begint m e t een semantisch tableau, d a nn heeft dit enkele bewerkingen te ondergaan. Men kan ook direct m e t het nieuwree systeem beginnen: geldigheid en bewijs in één. Kenmerken zijn formule-herhalingen,, inschrijven van hypothesen en de n a m e n van toegepaste regels; hiermeee slibt een tableau al aardig dicht en zeker wordt het adagium van het semantischee tableau, een minimale inzet van formules en hulpmiddelen, er door geschonden.. Dit leidt dus niet t o t een snelle geldigheidstest. Het heeft enige tijdd g e d u u r d voordat Beth een uitgewerkt systeem t o t zijn beschikking h a d . In 19555 begon hij er mee, r o n d 1962 was hij klaar. W a t betreft de formulering van dee regels zal wrorden uitgegaan van een niet uitgegeven typoscript, d a t niet lang voorr zijn heengaan klaar gekomen is en het meest volledig verslag doet van zijn pogingen:88 _{"Pour arriver a une m e t h o d e de d e d u c t i o n a d e q u a t e il faudrait done}

dévclopperr une variante d u t a b l e a u sémantique qui p a r t a g e en mêmc t e m p s dess a d v e n t a g e s du tableau déductif. Un tel t a b l e a u respecterait la supplantion dee certaines formules sans que pour cette raison la cloture des sous-tableaux intéressess soit affectée. Or ce problcine a d m e t plusieurs solutions."

B e t hh ging bij al zijn pogingen uit van de volgende constante: een pakket premissen,, en deze premissen leiden tot één conclusie. Binnen de redenering

(afwikkelingg van het tableau) kan men gebruik m a k e n van hypothesen, die er-genss worden ingevoerd (zij worden in het door B e t h ontwikkelde mechanische systeemm door de regels veroorzaakt) en later ingetrokken moeten worden. Soms zijnn er geen premissen en begint men met h y p o t h e s e n : regel F E toegepast o p dee conclusie ofwel conditionalisering. Dit zal de leidraad vormen voor dit en eenn deel van het volgende hoofdstuk. Soms g e b r u i k t e B e t h een inzet a a n de T -- of premisse-zijde, die niet in de oorspronkelijke vraagstelling voorkwam: ax-i o m a ' ss of andere, waar bevonden, formules, dax-ie bax-ijdragen tot de oplossax-ing van w a a rr Beth anders niet uitkwam: het afsluiten van het tableau. Dit gebeurde

Ö

E.W.. Beth. Les tableaux sémantiques et la deduction naturelle. Vanwege de referenties naarr artikelen in het typoscript zal het wel rond 1962 geschreven zijn. Een aantekening in hett typoscript bevat de woorden 'La Pléiade1. Wellicht was het bedoeld als een bijdrage aan

EncyclopédieEncyclopédie de la Pléiade, (Logiuue et connaissance). Paris, 1967. Dit deel werd uitgegeven onderr supervisie van zijn Geneefse kennis J. Piaget. In dit ms. zijn geen nieuwe gedachten,

methodenn of een uitbreiding van het al bestaande materiaal aanwezig, wel verbeteringen en verduidelijkingen.. Het een prettig leesbare expositie: alles staat bij elkaar en er wordt niet eenn teveel aan uitleg gegeven, waarmee Beth soms de lezer plaagt.

218 8 HoofdstukHoofdstuk 8. Deductieve tableaus

voorall in Beths l a a t s t e j a r e n . In zo een geval heeft men de mogelijkheid van hypothesen,, premissen en a x i o m a ' s .

B e t hh hanteerde voor de reducties de volgende opzet: links de premisse-zijde, rechtss de conclusie-zijde (inplaats van w a a r en onwaar). Voorwaarde: # A > 0 enn # r < 1

premissen n

A A

conclusie e

r r

B e t hh beschreef zijn systeem als t a b l e a u s m e t speciale deductie-regels; paral-lell d a a r a a n kan een natuurlijke d e d u c t i e geconstrueerd worden, die eventueel ookk het tableau zelf 'ingeschoven1 kan worden. In de sectie 'Van reductie n a a r d e d u c t i e '' wordt d a a r t o e behandeld:

1.. Voorschriften t o t tableau-reducties m e t een waar-onwaar indeling. De onwaar-kantt d r a a g t de e x t r a v o o r w a a r d e van niet meer d a n één formule perr reductiestap m e t zich mee.

2.. De bij geval 1 h o r e n d e lineaire d e d u c t i e .

3.. Het onder geval 1 genoemde t a b l e a u , als m e n daar de lineaire deductie zoalss onder geval 2 inschuift (hier varianten genoemd en van een ster voorzien):: hier heeft m e n een premissen-conclusie indeling

Doorr het geven van deze regels heeft m e n 'direct' de sleutel t o t de o m z e t t i n g vann semantische t o t deductieve t a b l e a u s in h a n d e n .

Err zijn diverse m e t h o d e n om, m e t de tableaus als uitgangspunt, a a n een lineairee (natuurlijke) deductie t e k o m e n .9 De diverse methoden geven hetzelfde eindresultaat.. Van b e l a n g is w a t m e n d o e t m e t de deductieve component. B c t h iss niet zo duidelijk in h e t aangeven van zijn bedoelingen. Hoe d a n ook, hij voert hett nergens precies uit.

Menn kan vanuit Beths u i t g a n g s p u n t twee kanten op: a. een in de t a b l e a u s ingeschrevenn m e t h o d e zoals deze v o o r k o m t in Beth (1962a) en b . een rn.b.v. semantischee waar- vs. o n w a a r - t a b l e a u s b u i t e n de tableaus opgestelde natuurlijke deductie,, zoals in h e t niet gepubliceerde m a n u s c r i p t Les tableaux sémantiques uitt (niet veel) later tijd.

Inn het geval (a) g a a t er m e n er van uit, d a t alle informatie rn.b.t. de lineaire natuurlijkee deductie in het tableau g e s t o p t wordt; toch b e s t a a t dit weer vaak uitt een combinatie van in t a b l e a u s ingeschreven en d a a r n a a s t te ontwikkelen materiaall — zuiver o p de g r a a t is B e t h nergens. Men heeft hier te m a k e n met hett vermelde premissen-conclusie t a b l e a u m e t één formule ter rechterzijde. In ditt geval moet men de opgevouwen lineaire deductie nog letterlijk recht zien breien.. Vooral in B e t h (1962a) treft m e n omschrijvingen aan hoe m e n t e werk moett gaan, m a a r het duidelijkst zijn meestal de gegeven voorbeelden. In ons gevall van een vereenvoudigde weergave v a n de tableaus draait men eenvoudig o mm de figuur van een afgesloten t a b l e a u heen.

B e t hh placht bij de de reducties in d e t a b l e a u s n u m m e r s te noteren, die n a a r dee reductie-regels (en tevens deduct ie-regels) verwijzen. Hij placht dit t e doen

9_{Menn kan met Beth, maar ook met Gentzen, bomen construeren, die men kan omzetten in} lineairee vormen. Voor rechttrekken van bomen, zie (Curry 1965).

doorr een horizontale lijn onder de formule, waarop een regel werkt, te trekken enn deze horizontaal duor het gehele t a b l e a u te laten lopen. Bij die lijn schreef hij inn de m a r g e het nummer van de t o e t e passen regel. O p deze wijze gaf hij soms ookk (bijvoorbeeld met een stippel-lijn over de volle b r e e d t e van het tableau) eenn h y p o t h e s e aan; zo heeft m e n het invoeren o p w a a r en intrekken op onwaar vann een hypothese aangegeven. Als uien bij het in volgorde o m z e t t e n van een t a b l e a uu in een lineaire deductie dit meeneemt, heeft m e n meteen de gegevens voorr het toepassen van regels en h y p t h e s e n genoteerd.

Inn h e t geval (b) treft uien twee c o m p o n e n t e n : 1. een semantisch waar-onwaar t a b l e a uu m e t één formule op rechts, 2. de met b e h u l p van geval 1 opgezette lineairee natuurlijke deductie: 1 0 _{"Schéinas de d e d u c t i o n . Nous voulons}

main-t e n a n main-tmain-t émain-tudier les rappormain-ts qui exismain-tenmain-t en general e n main-t r e la nouvelle version d'un t a b l e a uu sémantique cloture et la d e d u c t i o n c o r r e s p o n d a n t e . A une application duu schérna de reduction [de tableaus] il correspondra d a n s la d e d u c t i o n un frag-m e n tt a v a n t la structure suivante."

M e nn kan er over redetwisten wat de gemakkelijkste of meest geavanceeerde me-t h o d ee is. Beide meme-thoden h e b b e n h u n voors en me-tegens.

a.. Als m e n de deductieve c o m p o n e n t in het afgesloten tableau heeft ingebouwd, d a nn w o r d t voor linearisering de volgende bewerking voorgeschreven.

1.. M e n d r a a i t komende vanuit h e t begin van de linkerkolom over het alge-meenn tegen de de klok in t o t m e n bij het begin van de rechterkolom is aangekomen:: fig. 1.

2.. Bij een afsluiting d r a a i t m e n om de tak heen van links n a a r rechts tegen d ee klok in. Men g a a t over van T n a a r F: fig. 2.

3.. Bij splitsing draait m e n m . b . t . die splitsing m e t de klok mee: fig.

3-tt 2. | | t 3. i

i i

T T r

. . Inn alle gevallen schrijft men de formules al draaiende één voor één op, de lineaire d e d u c t i ee wikkelt zich af. Het r e s u l t a a t hiervan is een rietjes lineair opgeschreven n a t u u r l i j k ee deductie. Gentzens eliminatie-regels van o p e r a t o r e n komt uien tegen alss m e n n a a r beneden g a a t , de introductie-regels als m e n n a a r boven gaat. b .. E r b e s t a a t , gebaseerd op een combinatie van t a b l e a u s met deductie-regels, eenn m i n d e r omslachtige en meer mechanische m e t h o d e (naar A.S. Troelstra). Dezee o m v a t het stap voor s t a p aflopen van de horizontale lagen van een tableau, enn d a a r b i j de deductieve c o m p o n e n t de dan o n t s t a n e geordende rijtjes in te schuiven.. De toepassing van de regels, die per s t a p over de gehele figuur lopen (nett zoals bij Gentzen) komen in dit geval iets fraaier t o t hun recht. Het uitein-delijkee r e s u l t a a t is hetzelfde als onder geval a. B e t h zelf gebruikte, zoals al vermeld,, in zijn deductieve t a b l e a u s eveneens horizontale lagen; hij m a a k t e tot o pp zekere hoogte gebruik van beide m e t h o d e n . Met de explicatie van de tweede

I Ü_{Typoscriptt E.W. Beth, Les tableaux sémantique et la deduction naturelle, p, 1.} 1 11

220 0 HoofdstukHoofdstuk 8. Deductieve tableaus

m e t h o d ee zal gewacht worden tot na de b e h a n d e l i n g van enkele reductie- en deductie-regels.1** Beths behandeling in 'Les s é m a n t i q u e s logiques' sluit hier hett beste op aan.

B e t hh h a n t e e r d e naast zijn deduct ie voorschriften nog een andere manier van h e t weergevenn van zijn deducties: de deductie-schemas. Deze zijn in latere werk zoalss Beth (1962a), p . 144 t e r u g te vinden en h a d d e n volgens Beth tot doel o m vergelijkingsmateriaall te leveren met de s y s t e m e n van Gentzen en Jaskowski.1 3 B e t h ss deductie-schema's zijn gestroomlijnde d e d u c t i e s zoals bij Gentzen:1 4 ze zijnn t e vergelijken met die uit het werk van P r a w i t z (1965). Er zullen in de loop vann de volgende sectie enkele voorbeelden gegeven worden, die vooral uit 'Les s é m a n t i q u e ss logiques' gehaald zijn; d a a r n a a s t w o r d e n zijn niet gestroomlijnde deductiess vermeld.

8.1.22 Van reductie naar deductie

Opmerkingen: :

oo In de tableaus en de deducties worden ' ("' en ' |_' gebruikt voor het invo-eren,, ' ] ' en 'J' voor het intrekken van h y p o t h e s e n . Beth gebruikte hiertoe horizontalee stippellijnen in de t a b l e a u s , d e d u c t i e s en deductie-schema's. oo Gewoonlijk schrijft m e n de deductie, een g e o r d e n d rijtje, verticaal op: hier

zullenn de deductie-rijtjes vaak horizontaal w o r d e n opgeschreven om r u i m t e t ee besparen.

oo In de hier gegeven weergave worden d e door B e t h in zijn tableaus geplaat-s t ee formule-verzamelingen, A'geplaat-s en T'geplaat-s, weggelaten — uitgezonderd bij de quantoren. . P r o p o s i t i o n e l ee o p e r a t o r e n 1.. Sluiting. R e d u c t i ee en deductieschema: waar r C C onwaar r C C sluit t 1 J

Voorr een automatisering van deductieve bewijzen van alleen het intuïtionistische propo-sitionelee deel. zie Hendriks (1996).

1 3

O o kk in {Beth 1962e), p. 53; (Beth 1960c), p. 18; {Beth 1961c), p. 10; (Beth 1967), pp. 40, 533 (p. 40 is uit een door Beth nieuw geschreven hfdst.; p . 53 uit een lezing uit 1956, de auteur vann dit geschrift lijkt het toe, dat in de 1956-voordracht nog geen deductie-schema's te vinden warenn en ze pas later zijn toegevoegd). Ook in Beth (1959&), p. 283, 284 komt men een stadiumm hiervan tegen.

Bethh had gezien zijn tableaus Gentzens N-systemen op het oog {der Kalkül des natürlicheri SchlieÖens).. Deze berusten op op erator-in voer of -eliminatie {dus geen sequenten). Men hanteertt een aanname, waarop de regels werken. Het uiteindelijke resultaat wordt tenslotte vann de aanname onafhankeiijk gemaakt. Een axioma-schema wordt hier derhalve niet gebruikt

Deductie: :

<£11 C , . . . . C » , triviale deductie, herhaling. 2.. Implicatie. R e d u c t i e ,, deductie en deductie-schema: A A A^B A^B waar r A - } B B onwaar r \~A\~A B~\ B

Deductiee 2a: < .4 -4 /?, , 4 , . . . . £ , » , m o d u s ponens [Gentzens F B ] .1 5 Merk o p ,, d a t in deze reductie en de bijbehorende deductie — uit 'Les tableaux s é m a n t i q u e s ' ,, p. 11 — Beth niet veelvuldig een conclusie C g e b r u i k t . Dit deed hijj wel in het volgende geval: het t a b l e a u 2a* met tweemaal een conclusie C. Uitdrukkelijkk koppelde hij het gebruik hiervan a a n zijn b e n a d e r i n g van impli-catiee vanuit Gentzens sequenten — zoals in 'Les t a b l e a u x s é m a n t i q u e s ' , p . 2; ziee over het waarom de bespreking van deductieve tableau-sequenten verderop inn dit hoofdstuk. In onderstaand t a b l e a u is de naam van de hier toe te passen deductie-regel,, Gentzens F B ofwel n i p , net zoals bij B e t h s n u m m e r ver wijzing o pp de j u i s t e plaats gezet. Dit zal hier verder niet zo precies meer gebeuren van-wegee teveel opgeëiste plaats in de t a b l e a u s . Men kan [FB, mp] o o k achter de B plakkenn als verantwoording van het r e s u l t a a t van de toepassing van [FB, mp]. Vanwegee het dichtslibben van de t a b l e a u s zal dit bijschrijven van de naaien van dee regels tot enkele voorbeelden b e p e r k t blijven.

prem. . A^fA^f D

[FB..

Add r e d u c t i e 2b: hier is de toegepaste regel [bij Beth het cijfer 2b, meteen o p n a a mm FE] ingeschreven alsook het invoeren en intrekken van de hypothese.

AA —> B als r e s u l t a a t van F E .

1 5

Voorr alle afkortingen uit Gentzens deductieve systeem, zie Gentzen (1935a), pp. 186, 1877 e.v. Men leze . . . B als . . . Beseitigung, evenzo . . . E voor . . . Einführung. F . .. voor Folgt . . .. (FB: Folgt-Beseitigung, ofwel modus ponens) E . . . voor Es gibt . . , , etc.

A A A^>A^> B A A B B 2b. . [^ ^ AA -4 B [FE] BI I

222 2 HoofdstukHoofdstuk 8. Deductieve, tableaus

D e d u c t i ee 2b. <£ [A [+ hyp], . . . , B\,A -+ B [- hyp] » , conditionalisering [Gentzenss FE].

D e d u c t i ee v o l g e n s T r o e l s t r a ' s m e t h o d e . Wc g a a n uit van het volgende

zichh sluitende tableau; onwaar r C)C) -> ((.4 - + 5 ) - > ( i 4 C)) stap 0 (A(A -> C) stap 1 stapp 2 stapp 3 BB I stap 4 waar r A - >> ( B - > C A 4 J J J A A onwaar r ( A - > ( f l l ( A - » B ) ) A - + C C C C i?? -» C stap 5 \\ B C \ stap 6

Alss m e n een tableau van boven n a a r beneden c o n s t r u e e r t , d a n construeert men p e rr s t a p een deductie met nog in te vullen s t u k k e n . Deze stukken zijn, zolang m e nn n o g niet tot de onderste laag van het t a b l e a u gekomen is, eigenlijk onbek-e n d onbek-e n .. Monbek-en kan zonbek-e ook m onbek-e t nog in tonbek-e vullonbek-en formulonbek-e-vonbek-erzamonbek-elingonbek-en E, E ' , . . . e t c .. aangeven. Men vult ze a a n al naar beneden g a a n d per t a k en per laag. Men krijgtt d a n zeer in het algemeen de voorstelling: -C A , E , T ^>. Met de volgende s t a pp wordt dit tot < A , A',S',T',T » . Er k u n n e n formule-verzamelingen leeg zijn,, bovendien k u n n e n er meer 'onbekende' formule-verzamelingen E ' , 5 " , . . . inn een geordend rijtje, d a t één laag beschrijft, o p d u i k e n . Dit wordt veroorzaakt doorr splitsingen, waar bijvoorbeeld een invoer en een intrekking van hypothesen p l a a t ss vindt.

M e nn k a n nu de deductie-regels 2a en 2b gaan herschrijven, z o d a t ze in boven-s t a a n dd boven-straatje paboven-sboven-sen:

2a.. de uitgangsdeductie is van de vorm « A , A 4 B , A ' » n a de regel <C A , A - f B M , B , A '' » .

2b.. < A , A [+ hyp], Z,B,A -+ B [ - h y p ] , A ' »

Bijj elk tableau T , d a t na toepassing van regel R t o t T ' w o r d t , heeft men de bijbehorendee deductie Z?s om t e vormen tot Z\,'.

N o t a t i e :: G := .4 -> ( B -> C ) , H := (A -) B) -y (A -> C ) , F:=G^H. In dit voorbeeldd wordt gewerkt met 'onbekende' form ui e-ver zamelingen. In een later voorbeeldd zal het m e t stippeltjes gebeuren.

stapp 0 «C H, F ~3>, F conclusie.

stapp 1 < G [+ hyp 1], E', H, F [ hyp 1]>

stapp 2 < G [+ hyp 1], A->B[+ hyp 2], =", A -+ C, H [- hyp 2], F [ hyp 1 ] » stapp 3 < G [+ hyp 1], A - B [+ hyp 2], A [+ hyp 3], E'". C, A -+ C [ hyp

3],, B [ hyp 2], F - hyp 1 ] »

stapp 4 < G [+ hyp 1], A - B [+ hyp 2], .4 [+ hyp 3], [A, ] B. E"", C, . 4 - f C [ hyp 3 ] , B [[ hyp 2], F [ - h y p l ] »

stapp 5 < G [+ hyp 1], .4 -> B [+ hyp 2]. A [+ hyp 3], [A, ] B , [A, ] B -> C, ='"", C,

A-*CA-*C [ hyp 3], H [ hyp 2], F [ hyp 1 ] >

stapp 6 < G [+ hyp 1], A-*B[+ hyp 2]. A [+ hyp 3], [A,] B, [ A ] B ~¥ C, [B,] C,

Inn laatste geordende rijtje, onder s t a p 6, is de onbekende weggewerkt, het is de gevraagdee deductie. Desgewenst kan men dit laatste rijtje verticaal schrijven, enn men heeft de gewoonlijk gebruikte notatie van een d e d u c t i e .

R e d u c t i e -- e n d e d u c t i e - r e g e l s , v e r v o l g 3.. Negatie. Reductie: : 3a. . 3aH H A A p p ->A ->A c c C C A A A A A A C C 3b. . P P

r ^ ^

^ 1 1

Deductiee 3a: <Si —>A, . NB],, (3a*: variant)

Deductiee 3b: <C \A [+ hyp], [Gentzenss NE].

4.. Disjunctie. Reductie: :

A , C , , 3>,, 'ex falso sequitur quod libct' [Gentzens 44 [- hyp], ^§>, 'reductio ad a b s u r d u m ' 4a. . AWAW B B B 4a* 4a* \A \A 4 VV B [et] ]

ci i

c c

IB B

Deductiee 4a*: « A V i ? , [ i [ + hyp], . . . , C J , | £ [+ hyp], . . . , C J , C [- hyp] » . Hierr treft m e n Gentzens V-eliminatie, onderscheiding van gevallen, constructieve dilemmaa of zoals in Gentzens systeem N met O B b e n o e m d , a a n . C is een aan

AWAW B gerelateerde ('relatieve') conclusie. Dit valt als volgt onder woorden te

brengen:: 'als m e n AVB heeft en als men C uit A kan afleiden, en als men C uitt D kan afleiden, d a n kan men C concluderen.'

4b. . AVAV B A.B A.B A A A A 4b" " AA VB AVBAVB AVB \ A \ B

Deductiee 4b: <C -4. A V B » , <£ D, A V B 3>, 'disjunctieve- verzwakking' [Gentzenss OE]. De reductie van V o p de rechterkolom blijft een speciaal geval, waaroverr later meer. Men kan deze reductie nemen als een v o o r t z e t t i n g over tweee gevallen ( B e t h , Kleene), met keuze n a a r het geval, d a t w a t o p b r e n g t (een bewijs);; m e n kan ook t r a c h t e n binnen één tableau disjunctief t e splitsen (dia-gramm 4b*) zoals B e t h in intuïtionistische logica — later in dit hoofdstuk hierover meer. .

j .. Conjunctie. Reductie: :

224 4 HoofdstukHoofdstuk 8. Deductieve tableaus

AAAA B

A.B A.B 5b. .

AAB AAB \\ A \ B

5a.. <C A A B,A ~3>, <C A A B,B :§>, specificatie van t e r m e n [Gentzens UB]. Vergelijkk de natuurlijke deductie-regel 5a m e t 4b, en vergelijk deze ook met de desbetreffendee regels van Kleene.

5b.. <§C ... ,A,... ,B,A A B 3>, conjunctieve opsomming [Gentzens UE].

T r o e l s t r aa t e n t w e e d e m a l e . Een tweede voorbeeld m.b.v. Troelstra's

meth-o d ee m e t wat meer meth-o p e r a t meth-o r e n : het tableau sluit meth-op alle takken:

stapp 0 stapp 1 stapp 2 stapp 3 stapp 4 stapp 5 E rr zal deze keer gewerkt worden met stippeltjes i.p.v. formule-verzamelingen. Bovendienn wordt hier a a n g e n o m e n : H := ( i V B) —> C, G : = (A —> C) A (B —>

C)C) enF:=H~yG (AV V A A AyAy B A,B A,B B)-*C B)-*C A-+C A-+C C C C C ((.44 V B) - f C ) - > {{A {A{A -» C) A (B -> C) - » C ) A A B B AvB AvB A,B A,B (B(B - C)) B-*C B-*C C C CC | hypp 1 ] » C,, G [AI]., H C,, 4 -* C GG j - h y p l ] » [ - h y pp 2], B [+ hyp 3], . . . , GG \ h y p l ] > CC [ hyp 2], B [+ hyp hypp 1 ] » stapp 0 <C . .. . F 3>, f conclusie. stapp 1 <^H [+ hyp 1], . . . , G, H -+ G stapp 2 4C # [+ hyp 1] i 4 » C , B -stapp 3 < # [ + hyp 1], A [+ hyp 2], ..

C,C, B^C [- hyp 3], G [A/], # -* u [ nyp ij^>

stapp 4 <

H

[+ hyp 1], >1 [+ hyp 2], ...,

A

V

B, C, A

3],, ...,

A

V B

C, U -* C

[

- hyp 3],

G. H ^G [-

hyp ij»

stapp 5 <£ ƒ/ [+ hyp 1], A [+ hyp 2], . 4 v B [V/]: C, A -> C [ hyp 2], B [+ hyp

3],, AW B [VJ], Ct B -> C [- hyp 3], G, H -* G [- hyp 1 ] »

W e d e r o mm geeft de laatste s t a p de volledige deductie.

D ee p r e d i c a t e n .

6.. Universele quantor. R e d u c t i e : :

6a. . VxA(x) VxA(x)

A(p) A(p) 6a" "

VxA(x) VxA(x) A(p)A(p) [AB] C C

c c

r r

D e d u c t i ee 6a: <C Vx.Ax.A(p) 3>, universele instantiatie [Gentzens AB]. In 6a m a gg p willekeurig gekozen worden. (6a*: variant)

D e d u c t i ee 6b: -C A, [j4(a)],V:rAr,r ^>, universele generalisatie [Gentzens AE]. Inn 6 b m a g a niet optreden in voorgaande formules (dus niet in A . V x A ( x ) , of

r). .

7.. Existentiële quantor. R e d u c t i e : :

A TT A 7a.. 3xAx 7a* 3xA(x)

A(a)) \A{a) [EB]

C C

Deductiee 7a: <C A , 3xAx, [A(a) [+ hyp], . . . , C J , C [- hyp], T > , existentiële i n s t a n t i a t ee [Gentzens EB]. In 7a m a g a niet voorkomen in voorgaande formules (duss niet in A , 3xA(x), of F [of in C]), en ook niet in formules, die men tussen 3x^4(3:)) en A(a) ontwikkeld heeft. (7a*: variant).

Deductiee 7b: <C A(p),3xAx , existentiële generalisatie [Gentzens E E ] . In 7b m a gg p willekeurig gekozen worden.

Inn verband rnet d e inzet van de C zullen wij in dit geval een voorbeeld voor 7a [EB]] uit de regels voor natuurlijke deductie uit Gentzen (1935a), p.187 laten zien.. De r e d e n e r i n g verliep als volgt. Stel d a t men een eigenschap P heeft, neemm Pa voor een a a a n en stel d a t met behulp van Pa men C heeft bewezen, enn a niet meer in C voorkomt of C van een dergelijke a niet afhankelijk is, d a nn heeft m e n C onafhankelijk van de a a n n a m e Pa bewezen (en kan m e n Pa alss a a n n a m e i n t r e k k e n , een gebruik van existentiële i n s t a n t i a t e (expositie) bij natuurlijkee d e d u c t i e ) . Deze regel is hierin m e t VE [OB] (onderscheiding van gevallen,, c o n s t r u c t i e v e dilemma) vergelijkbaar (hier onder regel 4a*).

SSxxpxpx £ s l A\/B ^ ^

A-I[UE]] ^XIX c— A y a v c _ V-E[OB]

C-- o

E e nn filosofisch p r o b l e e m . Als voorbeeld van een door B e t h opgezet t a b l e a u

enn s a m e n h a n g e n d e deductie is zijn logische a a n p a k van het probleem Locke -Berkeley.. Dit p r o b l e e m is door Beth met de nodige variaties in een reeks van artikelenn steeds opnieuw besproken,1 6

Hett probleem k o m t er op neer, d a t men in de m e e t k u n d e — of liever, vaak in dee wiskunde — voor een algemeen geldig bewijs een speciaal geval construeert. Menn voert het bewijs uit voor het speciale geval en hiermee trekt men uit d a t specialee geval een algemeen geldige conclusie. Men kan hierin een discrepantie zien.. Met dit p r o b l e e m hebben Locke, Berkeley en K a n t zich bezig gehouden. Volgenss B e t h heeft m e n hier te maken met een voorbeeld van de expositie-me-t h o d ee van Arisexpositie-me-toexpositie-me-tcles: parafraserend naar een verexpositie-me-taling door Beexpositie-me-th: Als A a a n geenn enkele B t o e k o m t , dan ook B a a n geen enkele A. W a n t stel d a t B a a n een

AA toekomt, en l a a t d a t individu c zijn. Dan kan het niet waar zijn, d a t A a a n

geenn enkele B t o e k o m t , want A komt aan c toe, en c is een B.

Inn de variant B e t h (1967) — eigenlijk 1956 — werd dit als volgt omgezet:

AA komt a a n geen enkele B toe: V.r(B(x) -* ->A(x)): en B komt aan geen enkele AA toe: Vy{A{y) —¥ ->B(y)). En gaf liet afgesloten tableau:

1 ( i_{(Bethh 1956e), (Beth 1961/1962c), (Betli 1967). hfdst. 4 (vlgs. de bezorgers een voordracht} uitt 1956).

r r

c c

c] c]

226 6 HoofdstukHoofdstuk 8. Deductieve tableaus waar r 1.. V(B(a;) -» ->A(x)) 4.. /4(c) 6.. B(c) 7.. B(c) -> -.X(c) onwaar r VÏ/(A(Ï,)) -> -nB(y) 2. .4(c)) -> -.B(c) 3. -.B(c)) 5. B(c)) 8. 9.. - Ï A ( C ) A ( c ) 10.

E nn dit levert door Beth de volgende deductie: <C 1. V(Z?(.T) -4 -^4(3")) [pre-misse],, 4. f .4(c) [+ h y p . 1], 6. ff D(c) [+ hyp. 2], 7. B ( c ) -> ^A(c) [uit 1 ], 8.. B(c) [uit 6], 9. -A(t-) [uit 7, 8 ], 10. .4(c) [uit 4] JJ, 5. ^D{c) [- h y p . 2] J, 3.. A{c) -> -.B(c) [- hyp. 1], 2. Vy(.4(y) - j - ^B{y) [uit 3] »

8.22 Deductieve tableaus en logische systemen

8.2.11 Klassieke deductieve tableaus

E rr werden regels gegeven voor een klassiek deductief t a b l e a u - s y s t e e m . Men verkrijgtt er echter geen klassieke logica mee. De moeilijkheid wordt veroor-zaaktt door de eis van niet meer d a n één formule onder de conclusie-kolom. Als eenn s t a p een nieuwe formule o p rechts opleverde, d a n werd een al aanwezige verwijderd:: de verdringing van een o u d e door een nieuwe formule. In Kleene's G33 werd dit mechanisme gebruikt om het klassieke van het intuïtionistische systeemm t e scheiden. Door B e t h is om a a n dit euvel t e g e m o e t te komen een 'introductie'-regell onder hypothese ingevoerd.1 7 Door de negatie-invoer is het mogelijkk om formules van rechts n a a r links te verplaatsen. O p links zijn er geen restricties,, m e n kan de formule b e w a r e n , over de takken s p r e i d e n , en later waar hett nodig is door middel van de negatie- reductie-iegel delen v a n het tableau af latenn sluiten.1 8 regell 3c. h

:

Deductiee 3c: -C |_->.4 [+ hyp], ...,A\.A [- hyp], ; » , de klassieke (maar niet intuïtionistische)) reductio ad a b s u r d u m .

Alss voorbeeld zal de klassiek geldige formule van Peirce d i e n s t doen.

((A->((A-> B) -> A) -+ A \{A\{A - B) A~\ A~\

\\ A ^ B

\\A\\A BH

11 _{Bij de klassieke semantische tableaus is er alleen reductie, geen introductie aanwezig (en}

iss daar ook niet nodig).

l ss _{Moeilijkheden in de vorm van overvloedige verdubbelingen verkrijgt men bij het inzetten}

vann constanten ter rechterzijde. Ook deze heeft men, indien men ze voor later gebruik bewaren wil,, onder hypothese en met negatie naar de ander kant over te hevelen.

Ditt tableau sluit wel op de rechter-, m a a r niet o p de linker tak. Met n e g a t i e onderr hypothese (in te zetten op de laatste p l a a t s o p de linkertak o p links om vervolgenss zonder negatie naar rechts t e halen) sluit Peirce wel:

((.44 ->B)^-A)-ïA \{A\{A ->B)-*A

W-A W-A

USA USA

D ee procedure verliest zijn kracht bij fragmenten, waarin geen p l a a t s voor negatiee is. Daar heeft men andere regels nodig om die fragmenten klassiek geldigg te laten zijn. E é n hiervan, het klassieke implicatief-deductieve fragment, zall later besproken worden.

8.2.22 Intuïtionistische deductieve tableaus

D i s j u n c t i e v ee s p l i t s i n g

Indienn men alles onverlet laat heeft m e n nog niet direct een intuïtionistisch systeem.. Er zijn e x t r a eisen nodig. Deze kan men halen uit een disjunctief gebruikk bij tableau-splitsingen voor zowel een e x t r a splitsing van V op rechts (enn A op links). De splitsingen voor V op links (en A op rechts) blijven conjunc-tief.100 Dit geschiedt op p u n t e n waar anders geen splitsing aanwezig is ( m a a r well een verdubbeling van de tableaus). Overigens werd dit ook al in Kleene (1952a)) in systeem G3-intuïtionistisch gehanteerd. Door Beth zijn er geen on-derzoekingenn naar deze kwestie binnen de deductieve tableaus meer uitgevoerd, well voor de later nog te behandelen Bethmodellen en Ivaluaties m e t h u n h u l p -t a b l e a u s .. Volgens B e -t h was he-t belangrijks-te verschilpun-t -tussen de s e m a n -t i s c h e t a b l e a u ss en de intuïtionistische modellen gelegen in de behandeling van V o p de rechterkolom:: 2ü

"[Ajndd I am trying to adapt them to intuitionistic demands. The main difficulty is, of course,, the treatment of A' V Y in the right column. So far I found two devices (the secondd one follows from the first one):

1.. If A is a decidable predicate, then replace .Y V Y" by 3x((A(x) —> X) A(->A(x) —

r } ) ; ;

2.. introduce a second way of splitting tableaus, such that the original tableau is closedd if one of its subtableaus is closed.

Butt unfortunately I have not found time to go more thoroughly into these matters/' B e t h ss tweede opmerking d r u k t de disjunctieve splitsing uit. H i e r t o e kan m e nn ook gebruik m a k e n van parallel-tableaus waarvan er slechts één hoeft t e sluitenn (ook Beths navolger P. Lorcnzen zou d a a r gebruik van maken). In een lezingg in 1955 heeft B e t h hierover al gesproken — uitgegeven als Beth (1958a), m e tt op p . 79 de disjunctieve splitsing in een semantisch tableau.

19

Conjunctievee splitsing: beide takken moeten afsluiten; disjunctieve splitsing: minstens éénn van de takken moet afsluiten.

228 8 HoofdstukHoofdstuk 8. Deductieve tableaus

L e e rr v a n d e k o r t s t e v a r i a n t , b e s l i s b a a r h e i d

B c t hh heeft in het beginstadium van zijn onderzoekingen een poging gewaagd omm m e t t a b l e a u s en de begrippen 'het kritische getal' (van een afleiding), het ' k o r t s t ee t a b l e a u ' en de 'kortste afleiding' een sprong n a a r het i n t u ï t i o n i s m e te o n d e r n e m e n . .

B e t hh vroeg zich af of de geconstrueerde afleiding, wanneer de t e bekijken for-mulee ook intuïtionistisch acceptabel is, al d a n niet binnen de door i n t u ï t i o n i s t e n g e h a n t e e r d ee systemen past. Meestal is het intuïtionistische bewijs langer d a n h e tt c o r r e s p o n d e r e n d e 'kortste' bewijs binnen klassieke systemen. B e t h m e e n d e , d a tt dit niet altijd opgaat, en kwam tot de veronderstelling, d a t een klassiek geaccepteerdee formule ook intuïtionistisch acceptabel is alleen d a n warmeer het k o r t s tt mogelijke klassieke bewijs van die formule ook intuïtionistisch een bewijs iss (een niet altijd t e beantwoorden v r a a g blijft of men wel het k o r t s t mogelijke bewijss in h a n d e n heeft).

B e t hh gebruikte in zijn hierna te geven algemene formulering als volgt h e t b e g r i pp 'kritisch getal': Het kritische, getal (van een afleiding) is h e t a a n t a l der individuen,, die geïntroduceerd moeten worden voordat het tableau gesloten kan worden.2 11 Stel, d a t men bezig is met het opstellen van een t a b l e a u . Men heeft ergenss onderweg een formule A(jp), waarbij p over individuele c o n s t a n t e n loopt. Hett kan zijn, d a t m e n een a a n t a l c o n s t a n t e n , zeg a i , a ^ , . . . moet aflopen voordat m e nn t o t VxA(x) kan komen. Men kan het a a n t a l a; gaan bijhouden.

Algemenerr formuleerde B e t h m.b.v. kritisch getal zijn g e d a c h t e als volgt. Stel,, d a t m e n een systeem F heeft. Stel, d a t als men enkele b e p e r k i n g e n a a n F oplegtt men F * verkrijgt, en F * de intuïtionistische tegenhanger v a n F is. Stel d a tt m e n een afleiding B(A) in F heeft met een kritisch getal n. D e v r a a g of m e nn al d a n niet in F * een analoge2 2 afleiding B{A)* heeft — mogelijk m e t een a n d e r ee weg, m a a r wel met eenzelfde kritische getal (zelfs een g r o t e r kritisch getall kan volgens Beth) — kan gereduceerd worden tot een v r a a g betreffende afleidbaarheidd b i n n e n het intuïtionistische systeem. Deze l a a t s t e v r a a g kan volgenss B e t h , en hiermee verwijzend n a a r Gentzen, effectief beslist worden. Niet alleenn vermeldde Beth dit in zijn artikel, m a a r schreef hierover ook A. Tarski enn S.C. Kleene a a n .2 3

Tegenoverr Kleene werd het probleem door B e t h beperkter geformuleerd. M e nn v e r t r e k t vanuit een tegenvoorbeeld.2 4 Stel, m e n wil formule C afleiden uit dee formules A en B. Men construere hiertoe een semantisch t a b l e a u , waarbij doorr middel van het tegenvoorbeeld moet blijken, d a t C niet uit A en B volgt.

B e t hh g e b r u i k t e als voorbeelden enkele op p . 487 van Kleene (1952 a) voorko-m e n d ee forvoorko-mules: de intuïtionistisch ongeldige forvoorko-mule Vx(,4Vi?.r) — (AvVxBx) (stellingg i38-b(i)); en de intuïtionistisch geldig formule ->~i(Vx(A V Bx) —ï (A V

*ix.Bx)*ix.Bx) (stelling 58-b(ii)). Met semantische tableaus kan men de klassieke

gel-digheidd van beide formules (58-b(i) en 58-b(ii)) aantonen. Door het sluiten van

2 1_{Ziee (Beth 1955a) en de brief Beth S.C. Kleene, 29 april 1955.} 2222

Analoog:Analoog: d.w.z. met dezelfde premissen en conclusie. 2 a

Brieff Beth A. Tarski, 29 maart 1955. En Brief Beth S.C. Kleene. 29 april 1955. ^ B r i e ff Beth S.C. Kleene. 29 april 1955.

7ïï = T ( V x ( A V Bx) —Y {A V VxBx)) legt men vast, d a t er geen tegenvoor-beeldd b e s t a a t . Beths voorbeeld T\ heeft een model, waarvan #(Domein) = 1. Bovendienn heeft het t a b l e a u T\ alle informatie in zich opgeslagen waarom er geenn tegenvoorbeeld mogelijk is. Deze informatie wordt doorgespeeld naar de deductievee afleiding. E v e n z o een redenering voor 7-j = T{^^{Vx(A V Bx) —>

(A(A WxBx))). M a a r nu heeft m e n toevallig meteen een intuïtionistische

beslis-singsproceduree en deductieve afleiding gegeven.

Volgenss Beth kan m e n hieruit een beslissingsprocedure afleiden voor het volgendee probleem; Is. als A klassiek geldig is, A d a n ook intuïtionistisch geldig (off juist niet)? Tegenwerpingen in de vorm van 3x(AxA-*Ax) V ->3x(Ax A->Ax) werdenn door- Beth terzijde geschoven worden door te eisen, d a t een variabele niett tweemaal onder eenzelfde q u a n t o r mag optreden.

Hett antwoord van Kleene m e t betrekking tot bewijzen, die afhankelijk zijn vann gebruikte aantallen variabelen kwam op het volgende neer: 2 5 " T h e r e can be noo decision procedure for t h e p r o b l e m 'let A be a formula which holds classically; doess A also hold intuitionistically?'." De redenering van Kleene verliep als volgt aann de h a n d van enkele probleemgevallen.

oo L a a t A een elementair-logische formule zijn, die klassiek wel m a a r intuï-tionistischh niet geldig is. Nu is de volgende stelling nodig:

Voorr elk vast primitief (of algemeen ) recursief predicaat R(x,y) is er eenn effectieve p r o c e d u r e , w a a r d o o r bij een gegeven willekeurig getal x een predicaat-letterr formule Kx gevonden kan worden z.d.d. 3yR{x,y) -O Kx bewijsbaarr is in de predicaat-calculus — neem R(xyy) <-¥ T\ ( X , X , Ï / ) .2 0 D a nn voor elke x is A V Kx klassiek bewijsbaar.

E e nn recursieve p r o c e d u r e o m te beslissen of het intuïtionistisch ook be-wijsbaarr is, b e s t a a t d a a r e n t e g e n niet.

oo E e n ander voorbeeld. N e e m een formule van de vorm A —> 3xG(x). Hierbijj d r u k t A een elementair axioma-systeem uit. A —> 3xG(x) kan klassiekk bewijsbaar zijn voor een waarde van x (gerelateerd a a n het domein vann A) en tegelijk niet intuïtionistisch bewijsbaar voor die x.

Hett hebben van een klassiek bewijs helpt derhalve niet om t e beslissen of err een andere x b e s t a a t waarvoor G(x) geldt onder de a a n n a m e van A. Kleene'ss algemene conclusie was dan ook: 21 _{"At any r a t e I do n o t see how} t oo rule o u t such possibilities; a n d so it does not seem implausible t h a t increas-ingg t h e number of individuals t a k e n into consideration might give r o o m for a correctt proof intuitionistically in place of one correct classically b u t incorrect intuitionistically." "

2 5_{Brieff S.C. Kleene - Beth, 7 juni 1955, (Madison).}

2ii2ii_{Ti(z,x,y):Ti(z,x,y): y is de uitkomst van de berekening van de waarde van de functie niet een}

geassocieerdd getal z voor de invoerwaarde x. Voor n: TTl(z,x\,... ,xn,y) idem de vorige.

rnn aar dan voor de invoerwaarden 1 1 , . . . ,xn, TTi, dus ook voor T\. is primitief recursief (althans

zoalss in Kleene (1952a), p. 281). T\{z,x,y) üal later een rol spelen m.b.t. de uitdrukkingen

Vx(A(x)Vx(A(x) V ->A(x)) en -Wx{A{x) V ^A(x)).

230 0

Inn het naschrift van B e t h (19556) werd n o g m a a l s op deze kwestie ingegaan, enn als volgt Kleene gelijk gegeven. Neem een willekeurige formule A. L a a t B klassiekk geldig, m a a r intuïtionistisch ongeldig zijn. D a n is A Vi? klassiek geldig. L a a tt nu de veronderstelde beslissingsprocedure B'P er op werken.

oo Stel dat door middel van BV de formule A V B intuïtionistisch ongeldig is.. Maar d a n m o e t A ook intuïtionistisch ongeldig zijn.

oo Stel d a t A\/ B intuïtionistisch geldig is. D a n moet A wel intuïtionistisch geldigg zijn, w a n t AV B kan niet intuïtionistisch geldig zijn als A of B niet intuïtionistischh geldig.

B e t hh eindigde door er op te wijzen, d a t , ook al zou men denken h i e r m e e een beslissingsproceduree voor intuïtionistische geldigheid t e hebben, deze gedach-t e n g a n gg onjuisgedach-t is o m d a gedach-t een dergelijke beslissingsprocedure niegedach-t k a n b e s gedach-t a a n ( C h u r c h ) . .

8.2.33 Achtergronden

B e t h ss bedoelingen

E e nn precies a n t w o o r d o p de v r a a g naar B e t h s bedoelingen m e t de deductieve tableauss kan helaas niet gegeven worden. In h e t begin van dit hoofdstuk treft m e nn al een wirwar van w a a r vs. onwaar en premisse vs. conclusie a a n . H o e m o e t m e nn dit plaatsen? Vanaf het begin in 1955 waren Beths ideeën d a a r o v e r niet gefixeerd,, wellicht ook nooit geheel geëxpliciteerd. Telde klassieke 'deductieve1 logicaa mee, was h e t alleen intuïtionistische logica? Hierdoor is er nogal eens vann n a a m gewisseld. Ook de inrichting van d e regels o n t k w a m hier niet aan. Genoemdd is de door de tijd heen wisselende hoeveelheid ingeschreven conclusie-C ' s .. B e t h (1962a), p . 143: "It will be clear t h a t s t a r t i n g from a closed semantic tableauu and intercalating suitable applications of s c h e m a t a 5c a n d 5a [behan-delingg van negatie], we can always obtain a formal deduction of a t y p e which, besidess being based on t h e principles of classical logic, reflects our 'intuitive' conceptionss r e g a r d i n g deductive reasoning."

Eenn ander voorbeeld voor de omschrijving en vergelijking van b e i d e soorten tableauss vindt m e n in B e t h (1962a), p . 28:

"Ass compared to the method of deductive tableaux [dt], semantic tableaux [st] provide uss with a stronger method of deduction. That is, any deduction permitted by the first methodd [dt] can also carried out by the second [st], whereas the second method [st] makess allowance for certain deductions which the first method [dt] does not permit. Wee shall show, however, that nevertheless each deduction by the second method [st] cann be transformed into a certain deduction by the first method [dt] if only the set A off the premisses is suitably enlarged."

W a tt bedoelt B e t h hier m e t deductief en semantisch? O p dezelfde bladzijde leest men:: "A entails C from a deduction-theoretic p o i n t of view, if C can b e o b t a i n e d fromm A by some a d e q u a t e m e t h o d of formal d e d u c t i o n as characterized by t h e requirementss [... ] As a concrete example of a n a d e q u a t e m e t h o d of deduction

wee introduced t h e m e t h o d of deduction by closed deductive t a b l e a u x . T h e constructionn of a d e d u c t i v e tableau for the sequent A => C was based on t h e closuree a n d r e d u c t i o n s c h e m a t a " . En: l'A entails a C from a semantic p o i n t of vieww if, whenever all premisses A in A are true under a valuation r , C m u s t also b ee t r u e under t h a t valuation v. In this case we found it convenient to consider moree general p r o b l e m s of entailment, characterized by sequents A =£ A, A a n d AA being a r b i t r a r y finite sets of formulas A a n d f?."

Tenslottee het verschil tussen semantische en deductieve tableaus in B e t h (1961c):: a l d a a r w o r d t er onderscheid gemaakt tussen

a.. Klassieke logica m e t 1. semantische tableaus (waar-onwaar); 2. axiomatiek; 3.. n a t u u r l i j k e deductie.

b.. Intuïtionistische implicatieve logica niet 1. deductieve tableaus (premissen, conclusie);; 2. axiomatiek; 3. natuurlijke deductie.

Hett onderscheid tussen semantische tableaus, en deductieve tableaus is hier teruggebrachtt t o t h e t onderscheid in klassieke logica, en intuïtionistische impli-catievee logica. Dit kan m e t het oog op wat komen g a a t nog verder verduidelijkt wordenn t o t h e t onderscheid tussen

a.. klassieke logica m e t al d a n niet een voorschrift van hoogstens één formule terr rechterzijde, t e z a m e n met intuïtionistische logica, en

b .. intuïtionistische propositionele implicatieve logica met hoogstens één for-mulee op r e c h t s .

Inn Beth (1967), p p . 38, 39, vindt men nog:

groepp 1: l a . het afgesloten deductief tableau; l b . de natuurlijke redenering verkre-genn door o m z e t t i n g van en afgesloten deductief tableau.

groepp 2: 2a. afgesloten semantisch tableau; 2b. het 'deductief' aangevulde seman-tischee t a b l e a u ; 2c. de natuurlijke redenering verkregen door aanvulling en o m z e t t i n gg van een afgesloten semantisch t a b l e a u .

Bethh vond l a gelijkwaardig a a n l b , en vond eveneens 2a, 2b en 2c onderling gelijkwaardig.. G r o e p 1 n o e m d e hij intuïtionistisch, groep 2 klassiek.

Inn het begin van zijn combinatie van deductie en tableaus was B e t h vrij duidelijk,, pas l a t e r is dit verminderd: op het eind h e r v o n d hij in 'Les t a b l e a u s sémantiques11 de duidelijkheid uit het begin: met alle systemen kan m e n d e d u c -tievee tableaus c o m b i n e r e n , alleen de kronkels van de in zijn tableaus opgeslagen deductiess heeft m e n recht te trekken. Dit is misschien het gevolg van het uit elkaarr trekken van het t a b l e a u m a t i g e deel zoals weerspiegeld door de reductie-regelss en een deductief deel. Het in elkaar schuiven van reductie en deductie zoalss hier w o r d t uitgevoerd, vertroebelt dit dan weer. Een andere vereenvoudig-ingg is het om alles in principe semantische tableaus t e noemen. Men kan d a n voorwaardenn o p d e reductie-regels opleggen of structurele eisen g a a n stellen. Menn heeft d a n :

232 2 HoofdstukHoofdstuk 8. Deductieve, tableaus

2.2. als onder 1, m a a r d a n met e x t r a regels, zoals niet m e e r d a n één formule

o pp de F-zijde.

3.. verdere optuiging met toeters en bellen van het s e m a n t i s c h e t a b l e a u zoals deductie-regelss of intuïtionistisehe opschik.

O n d a n k ss dit blijft het grootste bezwaar b e s t a a n : het o n t b r e e k t bij Beth aan eenn simpel, mechanisch uitvoerbaar voorschrift voor de t r a n s f o r m a t i e s vanuit eenn gegeven afgesloten semantisch t a b l e a u naar een d e d u c t i e . Wel is er voor elkee formule, die een gesloten semantisch tableau oplevert, een gesloten deductief t a b l e a u .. Met B e t h s latere werk (tableaus en deductie gescheiden) is dit, afgezien vann verdringing, welhaast volledig mechanisch uit t e v o e r e n . M a a r m e t de doorschuivingg onder negatie op links kan men elke verdringing omzeilen en met dee inzetbaarheid op de p u n t e n die er t o e doen elke formule, die semantisch afsluitt zonder één formule op rechts ook m e t deze voorwr_{aarde klassiek deductief}

afsluiten. .

S e q u e n t e nn e n a x i o m a t i e k

D e d u c t i e v ee t a b l e a u - s e q u e n t e n Ook gerelateerd a a n d e deductieve tableaus

heeftt B e t h tableau-sequenten geconstrueerd De m e t h o d e is zoals bij de seman-tischee t a b l e a u s , m a a r m e t extra voorwaarden: niet meer d a n één formule op de succedent-plaats,, tezamen met het verdringingsmechanisme.

Uitt de discussie over de naamgeving bleek, d a t de irnplicatieve systemen door B e t hh bij u i t s t e k gezien worden als dragers van het begrip 'deductieve tableau'. Hett betreft de omschrijving van deductieve tableaus als p l a a t j e s bij d e ontleding vann w a t door B e t h omschreven wordt als een 'deductief p r o b l e e m ' .2 8 _{Dit h o u d t}

inn orn m e t sequenten s t a p voor s t a p de s t a t u s van een formule t e bepalen. E e nn voorbeeld. Men heeft formule-verzamelingen F en A . M e n v r a a g t of de enee verzameling uit de andere afleidbaar is, dus of ze een premisse-conclusie-relatiee h e b b e n . Men heeft dan in de woorden van B e t h h e t deductieve probleem FF => A . Men werkt vanuit implicatie, derhalve valt dit p r o b l e e m te reduceren tott vragen van het volgende soort. Is T, A —> B => A , of T => A —> B wel juist? Menn krijgt d a n een splitsing van problemen. Het p r o b l e e m F , A — B => A inn het probleem F , A -» B =* A, én het probleem T,A —> B,B => A . Het probleemm r => A —ï B in het probleem F, A => B.

T,A-¥T,A-¥ B^ A

T=>

B

A

B ^ A [et]

B

A

A

B

B o v e n s t a a n d ee opzet lijkt zeer sterk op die van Kleene en Gentzen. Daar wordtt niet gesproken over een deductief probleem, m a a r over een (syntactische) beslissingsmethode.. Er werden door hen echter geen p r e d i c a t e n onder het mes genomen.. Beiden slepen per s t a p niet alle afgehandelde formules mee, zoals in Bethss tableau-sequenten wel gebeurt. Ze werken zonder s n e d e , en Kleene zelfs

2 ö_{D i tt zijn punten, waarin Beth overeenkomsten vertoont met redeneerwijzen zoals in Kleene} (1952a)) en in Gentzen (1935&), p. 407-408. Overigens vindt men de zienswijze van interpre-tatiee van beweringen als problemen en het oplossen van complexe beweringen als het oplossen vann problemen, die gevormd worden door de componenten, al in Kolmogoroff (1932).

zonderr structurele regels. De meest eenvoudige vorm biedt Kleene's systeem G3a.. Als voorbeeld w o r d t hier al parafraserend Kleene (1952a), p . 483, gevolgd mett de vraag: Is A V ->A geldig in de intuïtionistische G 3 ? Dit geeft bij Kleene dee aanleiding tot de volgende redenering.

Menn h a d in de intuïtionistische G3 een bewijs voor => AV—>A moeten h e b b e n . M a a rr => A V —>A is geen axioma. De vraag wordt geplitst naar de s t a t u s van

=ï=ï A óf die van => ->A (intuïtionistische G3 V op rechts). Maar => A noch

=> ->A komen in a a n m e r k i n g voor de s t a t u s van a x i o m a . Bovendien kan => ^4 niett het resultaat van een of andere gevolgtrekking b i n n e n de intuïtionistische G33 zijn. Blijft over de v r a a g naar de s t a t u s van => ->A. Hieraan komt m e n door eenn inferentie door middel van de succedentaire negatie uit vanuit de premisse

AA =>. Echter A is geen axioma en niet het r e s u l t a a t van een gevolgtrekking

All met al is het niet mogelijk om bij een axioma t e komen, en is binnen de intuïtionistischee G 3 de formule .4 V -*A niet afleidbaar.2 0 _{Als volgt wordt deze}

proceduree door Kleene van onder naar boven beschreven: tt 3. A =» tt 2. A [vel] =» -n.4 tt 1. =» A V -..4 " ~

A n d e r ee s y s t e m e n e n a x i o m a t i e k . Volgens B e t h verkrijgt men met zijn

sys-t e e mm Gensys-tzens syssys-teem N K .3 0 Door het verwijderen van de regels 2c (implicatie) enn 3c (negatie), de beide invoerregels (onder hypothese) onder de reducties, ver-krijgtt men Gentzens intuïtionistische systeem N J . 3 1 Men verkrijgt volgens B e t h eenn analoog voor G e n t z e n s LK door als a x i o m a s c h e m a a a n te nemen: 3 2

1.. A,A=>T,A

E nn d a a r n a a s t de volgende deductieregels: 3 3

A\A^A\A^ B =>T,A A * , A - > B,B ^T A , ^ = > TtA-* B.B

A,, A -> B => P A => T, A -> B etc.. voor de overige o p e r a t o r e n .

Voorr de o m z e t t i n g n a a r de axiomatiek g a a t B e t h uit van Hilbert & Acker-m a Acker-m ii (1928), d a t een voortzetting is van het door Gentzen gebruikte Hilbert (1928).. Bij Gentzen kon m e n al omzettingen aflezen van sequenten in Gentzens natuurlijkee inductie in H u b e r t s axiomatiek.3 , 1 De v r a a g is of men de axiomatiek doorr middel van een omweg over de lineaire natuurlijke deductie moet

verkrij-29

Vergelijkk dezelfde redenering voor een beslissingsprocedu r e iri Gentzen voor hetzelfde pro-bleem:: Gentzen (19356), p. 407-408 onder §1.3.

3 0

M s .. E.W. Beth, Les tableaux sémantiques et la deduction naturelle, p. 18a.

3 11 _{Regel 2c komt in het hoofdstuk over i m p l i c a t i v e systemen ter sprake; 2c is net als 3c een} regell om verdringing te omzeilen.

3 J

M s .. E.W. Beth,Les tableaux sémantiques e t c , p. 18a, 19. 3 3

(Bijj regel 2a was door Beth in de conclusie-sequent de verschrijving A => r*«j4 —» D genomenn i.p.v. A, A —* B => T*.

34

Voorr de equivalenties tussen LHK ' = L H J met A V --A], LK en NK (Huberts axiomatiek enn Gentzens sequenten en natuurlijke deductie voor klassieke logica), zie Gentzen (19356), p .. 429 e.v.; voor de equivalenties tussen LJ, LHJ en NJ (nu voor intuïtionistische logica), zie Gentzenn (19356), pp. 420, 422 en 424. Volgens Gentzen was LHJ vergelijkbaar met Heyting (1930a),, Heyting (19306) en Heyting (1930c).

234 4 HoofdstukHoofdstuk 8. Deductieve tableaus

genn of d a t m e n een axiomatisch afleiding (wellicht na de nodige transformaties) directt uit een t a b l e a u kan aflezen.

8.33 Dialoog-tableaus

8.3.11 O v e r e e n k o m s t e n en verschillen

Dee dialoog-tableaus ran Lorenzen vormen een combinatie van Kleene's intuï-tionistischee G 3 (hoogstens één formule op rechts met verdringing, conjunctieve enn disjunctieve splitsing) en Beths t a b l e a u s .3 5 Lorenzen h a d evenwel niet het opstellenn van (lineaire) natuurlijke deducties t o t doel. Lorenzen n o e m d e zijn tableauss een dialoog-spel, waarmee hij een effectieve of operationele logica kon simuleren.. Lorenzen sloeg hiermee in de eerste plaats een b r u g n a a r een formele argumentatie-leer,, in de tweede plaats n a a r een volgens h e m intuïtionistische, m a a rr eigenlijk beter nog (volgens Beth) een Hilbertse (strikte) o p e r a t i e v e logica. Tegenwoordigg worden de dialoog-logica's nogal eens als een op zichzelf s t a a n d e ontdekkingg opgevoerd. Wellicht is dit waar met betrekking tot de toepassin-gen,, echter niet als m e n alles vanuit een zuiver formeel gezichtspunt beschouwt.

Zeerr duidelijk was Lorenzen op dit p u n t in een brief naar Beth: 3 6 _"Defmiert

m a nn die Verwendungsweise der logischen Partikeln in naheliegender Weise, u n d schreibtt m a n darm die Dialoge auf, so e n t s t e h e n (mit unwesentlichen Umstellun-gen)) genau I h r e Tableaus." Indien m e n niet formeel te werk g a a t zijn er volgens Lorenzenn wel verschillen: 3 7 "Es scheint mir bemerkenswert, wie genau die 'dialogische'' K o n s t r u k t i o n der tableaus mit der 'semantischen' ü b e r e i n s t i m m t . Philosophischh scheint der gröfite Unterschied zu bestehen (ontologisch vs ope-rativ,, realistisch vs. nominalistisch) — und doch wieder scheint es dasselbe zu sein." "

B e t hh was zeer geïnteresseerd in dergelijke toepassingen: 3 8 "Ich b a t t e zwar meinerseitss eine Anspielung in dieser R i c h t u n g gernacht in meinem Vortrag

RemarksRemarks on intuitionifitic logic, h a b e diesen Ansatz aber niemals weiter

aus-geführt.3 99 Hire D e u t u n g ist freilich wieder anders." Beth h a d met zijn tableaus eenn a n d e r e intentie: 4 0

"Selberr habe ich in meiner Arbeit eine andere Richtung verfolgt, indem ich 1. die Konstruktionn der Tableaux auch rein formal zu motivieren versuche, und 2. auch

35_{WelIichtt door H. Scholz werd Beth vooreerst opmerkzaam gemaakt op P. Lorenzen, zie} hiertoee de brieven H. Scholz - Beth, 15 juli 1946 en 13 augustus 1949, (Munster).

3G_{Brieff P. Lorenzen Beth, 17 augustus 1959. (Kiel). Voor de diverse dialoog-systemen en} stellingen,, zie (Krabbe 1985).

3T_{Brieff P. Lorenzen Beth. 18 novemberf?) 1959, (Kiel)} 3 8

Brieff Beth P. Lorenzen 23 augustus 1959.

3 9 i_{R e m a r k ss on . . . ' zie (Beth 1959c). Beth (1959c) werd voorgedragen op het door A.} Heyt-ingg te A m s t e r d a m (26 31 augustus 1957) georganiseerde colloquium Constructivity m math-ematics.ematics. Ook P. Lorenzen was op het colloquium aanwezig en heeft daar de lezing (Lorenzen 1959)) ten gehore gebracht. Merk op, dat Beth met Beth (1959c) in aanwezigheid van Loren-zenn in 1957, dus twee j a a r eerder dan de eerste nagelaten sporen van Lorenzen, al bezig was "tableaus'' voor spelen t e gebruiken.

4 0

(wiee Wajsberg und Schröter) die funktional unvollstandigen Kalkiile, anfangend mit demm rein-impükativen Kalkül, herangezogen habe. Hier ist natürlich wenig neues zu erwarten.. es gestalten sich die Sachen aber sehr einfach und elegant. Z.B. wird die Rollee von Peirce:s Law hier sehr einleuchtend."

Mett de dialoog-logica van Lorenzen kwam Beth in aanraking vlak vóór het congress over iiifinitistische m e t h o d e n , d a t van 2 tot 9 september in 1959 te W a r s c h a uu gehouden zou w o r d e n .4 1 P. Lorenzen was van plan d a a r de lezing

EinEin dialogische* Konstruktivitatskriterium {Lorenzen 1961) t e geven. Voordat

beidenn n a a r Warschau z o u d e n afreizen h a d Lorenzen op 17 a u g u s t u s 1959 met B e t hh contact gezocht o m diens a a n d a c h t te vestigen op de lezing en hein te wijzenn o p de overeenkomsten tussen zijn dialoog-logica en B e t h s t a b l e a u s .

8.3.22 Bedoeling van d e dialoog-tableaus

D ee dial oogtableaus kan m e n zien als een soort formeel spel. Er zijn twee p a r -tijen:: de opponent en d e p r o p o n e n t . De proponent zet een formule in. De o p p o n e n tt heeft als t a a k o m m e t alle toegestane middelen te voorkomen, d a t de p r o p o n e n tt de geldigheid van een formule kan aantonen. Als volgt was Lorenzen o pp de dialogische logica g e k o m e n : 4 2

"Beii dem Versuch, den in meiner 'Einführung in die operative Logik und Mathematik' gebrauchtenn Terminus 'denniert' zu definiëren; bin k b darauf gekommen, naher zu untersuchen,, wie die logischen Partikeln verwendet werden, wenn sie in einem Dialog {zwischenn einem Proponenten P und einem Opponenten O) auftreten."

Evenalss bij Beths t a b l e a u s (waar vs. onwaar, premissen vs. conclusie) heeft m e nn ook hier een tweedeling. D e p(roponent) s t a a t op de rechterkolom, de o ( p p o n e n t )) op de linkerkolom: 4 3 "d.h., er [de proponent] ist verpflichtet die Konklusionn zu b e h a u p t e n , wenn sein Opponent die Pramissen b e h a u p t e t . " De p r o p o n e n tt zal trachten h e t t a b l e a u af te laten sluiten (het winnen van de pro-p o n e n t ) ,, de opro-ppro-ponent zal t r a c h t e n het tableau opro-pen te houden (het verliezen vann de proponent): 4 4 " M a n kann nun definiëren, dafi eine Formel 'logisch guitig'' ist, wrenn es für Sie in diesem Dialogspiel eine Gewinnstrategie gibt. (für diee Prirnaussagen wird v e r e i n b a r t , dafi O alle Primaussagen b e h a u p t e n darf, P nuxx diejenigen die O schon b e h a u p t e t h a t ) . " Remise is niet mogelijk: 4 5 _"Mit

nicht-firiitenn Mitteln wird m a n — so verrnute ich — im AnschluC an Ihren Vollstandigkeitsbeweiss beweisen können, dafi für jede Formel entweder eine Gewinnstrategiee für P o d e r eine Gewinnstrategie für O (d.h. ein Gegenmodell) existiert."" 4 6

4 11 _{Beths bijdrage was nihil. Hij is wel naar Polen toegegaan, maar had de organisatoren al} meegedeeldd op dat moment meer aardsere onderwerpen te bestuderen; zie de brieven Beth H.. Ra-siowa. 2 december 1958, Beth A. Mostowski. 25 juli 1959.

4 J

Brieff P. Lorenzen - Beth. 17 augustus 1959, (Kiel). " B r i e ff P. Lorenzen Beth, 17 augustus 1959, (Kiel). 4 4_{Brieff P. Lorenzen - Beth, 17 augustus 1959. (Kiel).} 4 5

Brieff P. Lorenzen Beth, 27 september 1959. (Kiel). 4 ü

I nn het op Beth-niodellen gebaseerde spel in Beth (1959c) is wel remise mogelijk; Beth (1959c),, p. 18: "but if A and B stick to this tactics, then the game will remain undecided."

236 6 HoofdstukHoofdstuk 8. Deductieve tableaus

R e g e l s s

D ee regels van h e t dialoog-spel vallen uiteen in r e d u c t i e - en spelregels (soort van s t r u c t u r e l ee regels).

E rr zijn al enkele algemene richtlijnen gegeven. Eén punt kan iets verdui-delijktt worden, namelijk de formule-verzamelingen a a n de antecedentaire en de succedentairee k a n t . De succedentaire kant kan niet uitgroeien, de a n t e c e d e n t a i r e kantt wel. Dit is niet t o t het genoegen van de o p p o n e n t , want de p r o p o n e n t kan zichh v o o r t d u r e n d o p de daar aanwezige formules b e r o e p e n . Door het h e r h a a l d k u n n e nn oproepen van formules heeft men r e p e t i t i e en kan men intuïtionistisch geldigee formules zoals ^~>(AW->A) ook hier geldig krijgen. In navolging van B e t h (1965&),, p. 133, valt derhalve deze wassende formulebuidel van de o p p o n e n t niett als diens groter wordende rijkdom, m a a r als diens toenemende h a n d i c a p t e omschrijven. .

Bijj Lorenzen b e t e k e n t het uiten van een c o m p l e x e bewering, d a t m e n een bewijss voor een complexe bewering heeft. De r e d u c t i e geeft a a n , hoe m e n een bewijss uit de samenstellende delen heeft op t e b o u w e n . Bij de reductie heeft m e n t ee m a k e n niet enkele afwijkende tekens: ?A (de bewering A wordt betwijfeld),

JAJA (de uitdaging IA wordt ingetrokken, de t e g e n p a r t i j wint op een t a k ) , [A]

(dee éénmalige inzet van A kan tot later b e w a a r d w o r d e n ) . Men kan d e dialoog-t a b l e a u ss evenals B e dialoog-t h s dialoog-tableaus omzedialoog-tdialoog-ten in dialoog-dialoog-tableau-sequendialoog-ten.4 7 Deze kann m e n omzetten in een lineaire afleiding.48 D e hulpsyinbqlen ?, '^en [ ] worden doorr Lorenzen bij h e t formuleren van de sequenten weggelaten; zij spelen formeel geenn enkele rol evenals de daarbij horende formules ?A, JA. [A]: hierdoor k u n n e n d u ss ook geen formules verdrongen worden.

Twreee voorbeelden van reductie: 4 9

opponent t '!(A'!(A V B) [vel] ] proponent t AA VB AA j B opponent t A A proponent t A->A-> B [B] [B]

P{AP{A V D) geeft een disjunctieve splitsing. H e t is a a n P om o p de u i t d a g i n g

doorr O in te g a a n . P kan kiezen om op één van beide takken voort t e g a a n , alss één van beide t a k k e n afsluit, dan wordt er ook o p de splitsing afgesloten. Doorr Lorenzen w o r d t slechts verder doorgegaan o p de winnende t a k , alleen dezee wordt genoteerd. Men heeft hier derhalve t e m a k e n met een o n v o l d r a g e n m o d e l .. De reductie voor V aan de opponent-zijde verloopt zoals bij B e t h m e t eenn conjunctieve splitsing.

D ee quantoren h e b b e n bij Lorenzen op het ideologische vlak een eigen b e h a n

-Dee 'tacticks' in de zich ontwikkelende boom bestond voor beide partijen uit het kiezen van bepaaldee takken in een boom (voor elke partij een nadere), de eerste, die afweek verloor tenslotte,, bij het volharden in de gunstige keuze door beide partijen blijft het spel onbeslist.

47

{Lorenzenn 1962), p. 30. Beth had vooral niet het werk van Lorenzen uit de beginperiode vann de dialoog-logica te maken. Later zijn er tal van verbeteringen ingebracht, m a a r die zijn hierr niet direct ter zake doende.

4 8

(Lorenzenn 1962), p. 32. 4 9