Het werpen van speer, kogel, bal, enz 1)

Bij de geringe snelheden en het grote soortelijk gewicht van die voorwerpen speelt de luchtweerstand slechts een geringe rol en is de baan de zo geliefde ‘kogelbaan’ onzer schoolvraagstukjes.

Het is welbekend dat de officiële kogelbaan onder 45oopstijgen moet om een zo groot mogelijke dracht te bereiken. Dit is echter weer een van de vele gevallen, waarin de werkelijke omstandigheden heel ver van de onderstellingen der schoolmechanica verwijderd zijn! Neem proeven op het sportterrein; span een touw op 4 m hoogte, en laat degene die werpt eerst dicht bij het touw, dan verder en verder gaan staan, terwijl hij telkens opdracht krijgt, vlak langs het touw te gooien, en zo hard hij kan. Op die wijze krijgt u proeven bij allerlei stijghoeken, en zult stellig vinden, dat de gunstigste hoek ver beneden 45oblijft, meestal in de buurt van 30o.

Dit ligt voor een klein gedeelte aan het feit dat de worp op een hoogteh begint, maar op een hoogte 0 eindigt, wat in de 45o-formule niet in rekening gebracht was. De hoofdzaak is

1) E. Lampe: Mathematik und Sport (Teubner 1929). - E. Lampe, Zs. math. naturwiss. Unterr. 58, 1927 en

echter,dat de beginsnelheid v geen constant getal is, maar sterk van de stijghoek afhangt! Blijkbaar is hier niet alleen de physica, maar ook de physiologie van ons lichaam bij betrokken, waardoor de beweging van het werpen beter in de ene dan in de andere richting gelukt.

Men kan aantonen, dat de beginsnelheid

, wanneer α de hoek is waaronder het werptuig begint op te stijgen,h de hoogte waarop men het loslaat,x de dracht. Bepaal deze grootheden op het sportterrein uit enkele proeven; h mag ruw geschat worden, voor α kunnen we 30oaannemen. U kunt nuv₀berekenen (zie het tabelletje!).

Alsh klein is ten opzichte van x zoals bij het speerwerpen en nog meer bij slagbal, wordt de uitdrukking veel eenvoudiger:

totale energie totale energie T × U U T α v₀ x l m h ook voor arm- bewe- ging 54 kgm 42 kgm 3,5kgm 38 kgm 30o 15 m/sec 8 m 1,4 m 5 kg 1,7 m kogel 46 11 0,4 11 30o 21 35 1,75 0,5 1,8 speer 67 4 0,1 4 30o 28 66 2,35 0,1 1,8 slagbal

We berekenen ook de kinetische energieT en de potentiële energie U die aan het werptuig meegedeeld zijn. In de laatste kolom is aangegeven hoe groot de totale energie wordt, als men bedenkt dat de snelheid niet alleen aan het voorwerp, maar ook aan de massa van de arm wordt meegedeeld (m = 1,6 kg). De energieën worden dan van dezelfde orde van grootte voor deze zo verschillende soorten sport.

Bij gegeven beginsnelheid is de gunstigste hoek α voor het werpen gegeven door de uitdrukking

Hoe groter de beginsnelheid, hoe meer deze hoek nadert tot 45o, hij is echter altijd kleiner. Met de benaderde waarden die we voorv hebben gevonden, berekenen we nu de gunstigste hoeken: kogel, 37o; speer, 40o; slagbal, 41o.

Bij het schijfwerpen is de beweging zo eenvoudig en overzichtelijk, dat een mechanische schematisering zich zonder bezwaar laat uitvoeren. Degene die werpt draait om een vertikale as en zwaait de schijf, zijn lichaam trekt naar één kant, de schijf naar de andere kant; het lichaam is zwaarder en beschrijft slechts een kleine baan, de schijf is lichter en beschrijft een grote kring. Een zo grote middelpuntvliedende kracht wordt ontwikkeld, dat de vingers grote moeite hebben om de schijf vast te houden; op het juiste ogenblik laten ze los, en de schijf vliegt weg in de richting van de raaklijn. Uit de dracht, die 35 m kan bedragen, vinden we bij benadering de beginsnelheidv₀= √gx = √10.35 = 19 m/sec.

De middelpuntvliedende versnelling bedraagt danv2/r = (19)2/0,85 = 400 m/sec2, 40 maal meer dan de versnelling der zwaartekracht. De schijf, die slechts 2 kg weegt, oefent dus bij het zwaaien een kracht van 80 kg uit!

44. Springen.

Het ver-springen, zonder aanloop, gelijkt als mechanisch probleem in zekere mate op de worpbeweging. Ook hier zou het onjuist zijn, klakkeloos de eigenschappen der klassieke kogelbaan toe te passen, en als gunstigste stijghoek die van 45oaan te houden, want er zijn tal van complicerende omstandigheden. 1o. De beginsnelheid die we met alle inspanning onzer krachten aan het lichaam kunnen meedelen hangt af van de richting waarin gesprongen wordt. 2o. Vóór we van de springplank vrijkomen hebben we aan het lichaam reeds arbeidsvermogen moeten meedelen, en wel des te meer naarmate we in steilere richting springen. 3o. De armen zwaaien opwaarts, en helpen door hun traagheid om het lichaam mee te slepen. 4o. De afstand waarover gesprongen is wordt niet gemeten naar de verplaatsing van het zwaartepunt, dat de eigenlijke kogelbaan beschrijft, maar naar de afstand tussen de voeten bij het vertrek en bij het neerkomen. Deze laatste omstandigheid maakt dat het lichaam van den springer een draaiing moet uitvoeren, zodat hij voorover hellend de sprong begint, en achterover hellend neerkomt. Hij moet zich dus bij het afzetten een impuls geven, dat gericht is vóór zijn zwaartepunt langs (vgl. fig. 32), en de aldus verkregen draaiing moet hij versnellen door optrekken der benen en naar beneden brengen van de armen, zodat zijn traagheidsmoment kleiner wordt (§ 42).

punt daarbij een horizontale afstandl = 2,50 m heeft afgelegd, en neem aan dat gesprongen is onder een hoekα = 45o. Uit de uitdrukking

Het springen met aanloop geeft den springer een horizontale voorwaartse snelheid h, die zich samenstelt met de eigenlijke sprongsnelheids tot een resultante v. Aangezien we bij het rennen snelheden halen kunnen van 10 m/sec, bij het springen zonder aanloop van 5 m/sec, ish ≈ 2s; de snelheid van de aanloop is hier dus van grote betekenis. Al naar gelang van de richting waarin de springer zich afzet zal de resulterende snelheidv₀verschillende waarden kunnen aannemen, en tegelijk zal de stijghoek α, waaronder de sprong begint, van waarde veranderen; men ziet hier dus zeer mooi hoe in de formule

de grootheidv van α afhangt. Dit kan precies uitgerekend worden. Men vindt dat de grootste afstand bereikt wordt als de springer zich steil afzet onder een hoek van 68o; de combinatie met de horizontale snelheid maakt dat de baan dan feitelijk onder 22oopstijgt. - Dergelijke berekeningen hebben echter slechts beperkte geldigheid, omdat ze alleen toepasselijk zijn op vereenvoudigde modellen van de werkelijke lichaamsbeweging.

Nog veel ingewikkelder en moeilijker te schematiseren is hethoogspringen met de polsstok. Laten we vooreerst het lichaam als helemaal star denken. De voornaamste praktische vraag die de sportbeoefenaar stelt is die naar de gunstigste hoek α waaronder de polsstok bij 't begin van de sprong in de grond geprikt moet worden. Hierbij spelen twee overwegingen een rol. 1o. We grijpen de polsstok op een hoogte van ongeveer 2 m boven de grond, dus op 2/sinα meter van het uiteinde dat op de grond komt te staan; de springer kan zich dus ten hoogste verheffen over 2/sinα - 2 meter. 2o. Dit zal echter slechts gelukken, indien de aanloopsnelheidh voldoende groot is. Loodrecht op de polsstok is de snelheidscomponente h sin α, plus nog de snelheid s waarmee de springer zich afzet; de vertikale componente van deze beginsnelheid is dusv = cos α(h sin α + s); de hoogte die bereikt wordt laat zich dan eenvoudig berekenen als die van een opwaarts geworpen steen, zij wordt

Is deze hoogte kleiner dan die, berekend naar onze eerste overweging (1o), dan lukt de sprong niet; is ze groter, dan houden we energie over. Het gunstigste geval is dat waarin precies

Voorh = 8 m/sec, s = 3, 5 m/sec, vindt men α = 30oongeveer: de polsstok moet dus sterk hellend in de grond gezet worden, we moeten hem op 4 m van het uiteinde vastgrijpen.

In werkelijkheid zouden we nog het zwaaien van het lichaam in rekening moeten brengen, het zich optrekken met de armen, het intrekken der benen, enz.