Kromme banen bij tennis en andere spelen.

Toen herinnerde ik mij, dat ik dikwijls een tennisbal zulk een kromme baan had zien volgen, als hij met een schuin gehouden racket geslagen werd. Want. aangezien hij zowel een draaiende als een voortgaande beweging krijgt, moet hij de lucht om zich heen sterker samenpersen aan de zijde waar de bewegingen elkaar versterken, dan aan de andere zijde.

I. Newton, brief aan Oldenburg 1671-72. (Uitg. Horsley, 4. 297).

Bij allerlei balspelen kan de bal een snelle draaiing om zijn as krijgen, als de slag aankomt in een richting die niet door het middelpunt gaat; het impuls van de slag en de

traagheidsreactie van dat middelpunt (= zwaartepunt) veroorzaken dan een koppel, dat de bal aan het draaien brengt. De voetbal- of vuistbalspeler verkrijgt dit effekt, door de nauwkeurige keuze van het punt waar hij de bal raakt; bij tennis of hockey is het voldoende, het slagtuig schuin op de slagrichting te houden; bij handbal, waterpolo, schijfwerpen, brengt de speler met een snelle handbeweging de rotatie teweeg, net vóór hij de bal of de schijf loslaat.

Het merkwaardige is nu, dat dergelijke sneldraaiende ballen een baan beschrijven, die geheel abnormale krommingen vertoont. Ze wijken altijd af in de richting naar dewelke hun voorste punt wentelt: ‘de bal loopt zijn neus achterna’. Een te laag getroffen rugby-bal bijvoorbeeld draait aan de vóórzijde opwaarts, en beschrijft een baan die dikwijls opwaarts gekromd is. De tennisspeler geeft aan zijn bal bij voorkeur de tegenovergestelde draaiing; hij kan hem dan met grote snelheid wegslaan, en toch bereiken dat de bal spoedig naar beneden komt en nog binnen de vereiste afstand achter het net stuit. Evenzo kunnen afwijkingen naar

rechts of links optreden, die nog gemakkelijker te onderscheiden zijn. - Tracht dergelijke effekten te bereiken; schat het bedrag der afwijking! De verklaring ligt in het feit, dat de bal in zijn aswenteling de lucht om zich heen enigszins meeneemt (fig. 33); aan de ene zijde A beweegt die lucht tegengesteld aan de algemene luchtstroom, die de bal tegemoet waait, aan de andere zijde B in dezelfde richting. Bij A zal daarom de drukking groter worden dan bij B, en hierdoor zal de bal zijdelings afwijken, juist in de richting die we hebben

waargenomen. Deze merkwaardige aerodynamische werking is niets anders dan het beroemde Magnus-effekt, waarop de bouw der rotor-schepen van Flettner berust.

Een andere eigenaardigheid vertonen de draaiballen als ze stuiten en teruggekaatst worden. In het korte ogenblik van de

Fig. 33. De kromme baan van een sneldraaiende golfbal.

aanraking met de grond krijgt er de bal tengevolge van zijn draaiing een horizontale snelheidscomponente bij. Hij springt dan soms in de meest onverwachte richtingen terug, precies zoals de ‘effektballen’ bij het biljartspel; in sommige gevallen keert hij zelfs terug naar wie hem weggeslagen heeft!

50. Kiskassen.

Snel draaiende voorwerpen vertonen een wonderlijke stabiliteit, waardoor ze zich schijnbaar heel gek gedragen! Zolang ze maar snel genoeg draaien houden ze hun stand in de ruimte onveranderd, vallen dus ook niet om, waar een gewoon voorwerp dat wel zou doen. Het is dezelfde eigenschap dertraagheid, die bij de slinger (ook een draaiend voorwerp!) al zorgde voor het bewaren van het slingervak, en welke wij hier in verhoogde mate tot uiting zien komen.

De diabolo blijft in evenwicht op een touw hangen, en valt in dezelfde stand naar beneden waarin hij omhooggeworpen was. De weggeworpen schijf beschrijft een kromme baan, maar haar vlak behoudt voortdurend dezelfde helling ten opzichte van de horizon.

Platte keien of oesterschelpen die men zó werpt dat ze een rustig wateroppervlak onder een heel kleine hoek treffen, nadat men hun bij 't werpen een snelle draaibeweging heeft gegeven,

weerkaatsen1)

tegen het wateroppervlak maar bewaren hun stand; ze kunnen zelfs

verscheiden malen achtereenvolgens het water raken, telkens intussen verder ‘zeilend’ (wel 10 maal!). Voor de bestudering van dit verschijnsel is het van belang goede foto's te maken, en de vorm van de kurve te onderzoeken die op een bepaald ogenblik alle gevormde golfjeskringen omhult.2)

Zeer typisch is het zich geleidelijk oprichten, dat men af en toe bij een geworpen zeilsteen kan waarnemen. Is dit te wijten aan onvoldoend snelle draaiing? Of veeleer daaraan, dat de bewegingsrichting toevallig een vrij grote hoek met het draaiingsvlak vormt, zodat de luchtweerstand een

Fig. 34. Een sneldraaiende priktol, in horizontale stand op een touw rustend zonder te vallen!

koppel op de zeilsteen uitoefent (§ 78)?

51. De tol.

De drijftol en de priktol vertonen de gyroskopische verschijnselen het mooist3)

. Een rustende tol valt om, een draaiende tol blijft staan. De zwaartekracht heeft echter het gevolg dat hij eenprecessiebeweging gaat uitvoeren: zo noemt men het langzaam omlopen van de zacht hellende as, die een kegelmantel beschrijft.

Fig. 35. Precessiebeweging van een tol.

Merk op dat de precessiebeweging bij een tolin dezelfde zin gebeurt als de aswenteling (fig. 35); dat hangt onmiddellijk samen met het feit, dat de tol gesteund wordtonder zijn

1) Dit is natuurlijk een andere soort terugkaatsing dan een gewone botsing. De hydrodynamische theorie van het verschijnsel is nog niet ontwikkeld.

2) Zs. math. naturw. Unterr. 66, 383, 1935. 3) J. Perry: Spinning Tops. London, 1901.

Een priktol of drijftol die flink aan het draaien gebracht is vertoont eerst een duidelijke precessie; maar de helling der as wordt geringer, de tol gaat meer en meer rechtop staan, tot hij helemaal vertikaal staat en ‘zingt’. Langzamerhand echter ziet men de precessie opnieuw duidelijker en geleidelijk sneller

worden, de tol helt meer en meer; nu bemerkt men dat de as nog een derde soort beweging uitvoert, kleine schommelingetjes om de grote precessiebeweging, die heftiger worden naarmate de tol langzamer draait; eindelijk valt hij om. - Klaarblijkelijk is dit laatste het gevolg van de wrijving, die de draaiing van de tol remt en hem tenslotte tot stilstand brengt. Maar hoe moeten we het eerste gedeelte van het proces begrijpen, het zich oprichten van de as? - ‘Ik vraag mij af of een der lezers de verklaring hiervoor kan vinden; een knap wiskundige onder hen zal u zeggen dat de verklaring stellig ergens te vinden is in het mechanica-leerboek van Routh, of dat hij in elk geval iemand aan de universiteit kent die het zeker weet, en dat hij denkt dat hij het zelf ook wel geweten heeft, alhoewel hij nu de ingewikkelde wiskundige redeneringen vergeten heeft waarop hij eenmaal zijn scherpzinnigheid oefende.’1)

De verklaring staat echter in geen van de klassieke werken, en die welke Perry gemeend heeft te kunnen geven, houdt geen steek. Pas zeer onlangs werd de oplossing gevonden2), een bewijs dat er uit zulk een alledaags verschijnsel toch steeds nieuwe lering te halen valt. - Het is nml. bekend, dat de precessiebeweging van de tol in werkelijkheid gecompliceerd wordt door kleine knikbewegingetjes die de as om haar gemiddelde stand uitvoert, de zogenaamdenutaties. Zodra wij de tol op de grond zetten, begint hij een eindje te vallen; door zijn traagheid valt hij verder dan de helling die met de normale precessie-beweging zou overeenkomen. Daardoor krijgt de zwaartekracht een grotere componente, en treedt er dus een extra-krachtenkoppel op, dat er naar streeft de tol naar beneden te drukken, maar waaraan hij ontsnapt door zijdelings uit te wijken en zich daarna weer op te richten. Weer is het zijn traagheid die hem iets over de gemiddelde precessiestand heen haalt, en in deze steilste stand werkt ditmaal, vergeleken met de gemiddelde precessietoestand, een oprichtend krachtenkoppel, dat ook weer door zijdelings uitwijken beantwoord wordt. Zolang de tol op een wiskundig scherpe spits draait, is het oprichtende extrakoppel bij de steile stand even groot als het neerdrukkende extrakoppel bij de diepste stand.

Maar als de punt van de tol stomp is, komt er een detail in de nutatiebeweging dat voor ons doel van belang is. Let eens

1) Vrij naar Perry, t.a.p. blz. 67.

2) A.D. Fokker: Hoepels en tollen (Arch. Mus. Teyler, Ser. III, 9, 343, 1941). Hier is getracht deze verklaring in eenvoudige woorden weer te geven, natuurlijk buiten verantwoordelijkheid van Prof. Fokker.

op de afstand tussen de twee aangrijpingspunten: het zwaartepuntZ, waar de zwaartekracht aangrijpt; en het contactpuntC met de vloer, waar de reaktie van deze vloer tegen drukt. De afstandCZ tussen die twee punten wordt een weinig groter als de tol meer rechtop gaat staan. Maar juist in deze phase der beweging zijn de oprichtende extra-krachten aan het werk: het oprichtende koppel is dus altijd een weinig groter dan het neerdrukkende,gemiddeld richt de tol zich op. De potentiële energie die de tol daarbij wint, ontleent hij aan de kinetische energie der nutaties, die geleidelijk uitsterven. - Het effekt neemt toe evenredig met de kromtestraal van de tolteen. Iedere jongen weet immers ook dat dit oprichten beter gaat met een tol die een stompe ‘appelpunt’ heeft, dan met een slankere ‘perepunt’; ook dat is ons nu begrijpelijk.

Aan de snelheid der precessiebeweging kunnen we zien hoeveel maal per sekunde de tol om zijn as draait. StelT = duur van de precessie-omwenteling, t = duur van de aswenteling; dan is

Hierin ish = afstand van het zwaartepunt tot de spits; g = versnelling van de zwaartekracht; ϱ = ‘traagheidsstraal’ (als

Fig. 36.

de afstand van een deeltje A tot de as voorgesteld wordt doorr, is ϱ2het gemiddelde der waarden vanr2voor alle deeltjes) (fig. 36).

Men ziet dat bij een onzer gewone tollen de waarden dezer grootheden van de volgende orde zijn:h = 5 cm; g = 981 cm/sec2; ϱ = 2. Dan wordtT = 0,032/t of 1/t = 30T. Als dus de tol zijn precessiebeweging in 1 sekunde uitvoert, is dit een teken dat hij 30 maal per sekunde om zijn as draait. Een langzamer precessie wijst op nog meer omwentelingen.

Bekijk eens van dit standpunt de drijf- en priktollen van de jongens op straat, en vraag u af of dergelijke snelheden aannemelijk zijn.

Het aantal omwentelingen is te schatten, door een witte krijtstreep straalsgewijs op de tol te trekken en hem 's avonds bij het licht van een (op wisselstroom brandende) gloeilamp te bekijken; aanvankelijk ziet men niets, maar

weldra bemerkt men een ster met drie stralen die een ogenblik stilstaat; iets later zijn het er 4, dan 5, enz. Aangezien een gloeilamp op wisselstroom flikkert met een periode van 0.01 sekunde, betekent uw waarneming dat de omwenteltijd van de tol eerst wellicht van de orde van 0,01 sekunde was en dan verlangzaamde tot 0,03, 0,04, 0,05. ... sec. - Nog mooier slaagt de waarneming bij verlichting met natriumlampen.

Zoek in het grint een keitje dat er min of meer eivormig uitziet,

Fig. 37. Een langwerpig keitje (I) richt zich op wanneer men het snel aan het draaien brengt (II).

en doe het tussen beide duimen en wijsvingers op een goed effen tegelvloerzo snel mogelijk om zijn korte as draaien. Het steentje tolt een ogenblik om die as (fig. 37 I), maar kantelt weldra, en als het snel genoeg draait richt het zich helemaal op en wentelt nu om de lange as (II). Als men omgekeerd de kei eerst om de lange as laat tollen, ziet men de beweging niet veranderen. - Dit eigenaardige verschijnsel werd het eerst ontdekt door W. Thomson en Blackburn tijdens een vakantie, aan het strand doorgebracht, waar ze veel geschikte

Fig. 38. Het uitgooien van een priktol met eenkort touw.

keien vonden. De verklaring is waarschijnlijk dezelfde als van de zich oprichtende tol. Eind September vindt u onder de eikebomen tal van eikeltjes die uit hun napje losgekomen zijn; schop tegen het uiteinde van een eikeltje zodat het snel om zijn as gaat rollen op het gladde asfalt van de weg; tot uw verrassing zult u zien dat het zich ineens rechtop op zijn punt te draaien stelt! Dit gaat veel gemakkelijker dan de proef met het keitje.

Overhet werpen van de priktol zijn leuke waarnemingen en proeven gedaan1)

; maar ik moet bekennen dat ik er niet goed in geslaagd ben die na te bootsen: ik vrees dat ik op het gebied van het priktollen geen deskundige meer ben! - Bij het werpen gebeuren er twee dingen: 1. de tol wordt aan het draaien gebracht; 2. tegen dat het touw bijna afgerold is, wordt er een koppel op die gyrostaat uitgeoefend. Hiermee rekening houdend, kan men een tamelijkkort touw gebruiken, dit opwinden op de wijze van een linkse schroefdraad (fig. 38), de tolmet

de punt naar boven houden, en met de rechterhand uitwerpen; door de werking van het koppel keert de tol zich dan onderste boven en komt in de normale stand op de grond. Gebruikt men eenlang touw, dan is de draaibeweging al te groot vóór het koppel gaat werken; in dit geval werpt men dus metde punt benedenwaarts gericht; de kunst is om goed horizontaal uit te gooien, en op dat ogenblik geen draaiingsmoment aan de tol mee te delen.