Wiskunde voor 2 havo

(1)

Wiskunde voor

2 havo

Deel 2, Antwoordenboek

Versie 2013

Samensteller

(2)

Het auteursrecht op dit lesmateriaal berust bij Stichting Math4All. Math4All is derhalve de rechtheb- bende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie.

Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal

Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0).

Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via info@math4all.nl.

Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

(3)

Inhoud

1 Lineair en hyperbolisch 2 1.1 Recht evenredig 2 1.2 Lineaire verbanden 5 1.3 Lineaire vergelijkingen 8 1.4 Omgekeerd evenredig 11 1.5 Hyperbolische verbanden 13 1.6 Totaalbeeld 17

2 Meetkundige berekeningen 20 2.1 Pythagoras 20

2.2 Lengtes berekenen 23 2.3 Oppervlakte ruimteﬁguur 26 2.4 Inhoud ruimteﬁguur 29 2.5 Doorsneden 31

2.6 Vergroten 34 2.7 Totaalbeeld 36

3 Kwadratisch en exponentieel 39 3.1 Kwadratische verbanden 39 3.2 Kwadratische vergelijken 44 3.3 Exponentiële verbanden 47 3.4 Exponentiële vergelijkingen 50 3.5 Ongelijkheden 51

3.6 Totaalbeeld 55

4 Statistiek 58

4.1 Centrummaten 58 4.2 Spreidingsmaten 61 4.3 Klassenindeling 63 4.4 Schattingen 67

4.5 Statistische uitspraken 70 4.6 Totaalbeeld 71

(4)

1 Lineair en hyperbolisch

1.1 Recht evenredig

a

1 600 × 0,13 = 78 euro.

b Ja, of de bank moet nog bijkomende kosten rekenen.

c 𝐸 = 0.13 ⋅ 𝐷. De graﬁek is een rechte lijn door de oorsprong van het assenstelsel en het punt (100, 13).

a

2 Als u� = 100 dan is 𝑅 = 125 euro.

Als u� = 200 dan is 𝑅 = 250 euro.

b Als u� = u� dan is 𝑅 = 12,50 ⋅ u� euro.

Als u� verdubbelt tot u� = 2u� dan is 𝑅 = 12,50 ⋅ 2u� = 25 ⋅ u� euro.

En dat is twee keer zoveel.

c 𝑅 wordt dan ook drie keer zo groot.

d Die graﬁek is een rechte lijn door de oorsprong van het assenstelsel.

(5)

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > LINEAIR EN HYPERBOLISCH

STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 3

e Dit getal bepaalt de helling van die graﬁek.

a

3 ^42,50₅₀₀ ⋅ 1800 = 153 dus €153,00.

b 𝐾 = 0,085 ⋅ u� als 𝐾 de kosten per jaar en u� het aantal afgedrukte velletjes papier.

c Ja, de evenredigheidsconstante is 0,085

d Die graﬁek is een rechte lijn door de oorsprong van het assenstelsel en door (1800, 153). Kies wel een geschikte schaalverdeling, zie ﬁguur.

e De evenredigheidsconstante bepaalt de helling van de graﬁek.

a

4 12 minuten is 720 seconden en daar komen nog 26 seconden bij.

b Omdat de fietser met een vrijwel constante snelheid fietst. Als hij dan twee keer zo lang fiets, legt hij ook een twee keer zo grote afstand af.

c Een rechte lijn door de oorsprong van het assenstelsel en (bijvoorbeeld) het punt (1; 24,1).

d 24,1 ⋅ u� = 12 oplossen geeft u� = 12 /24,1 ≈ 0,50 uur. Dus na ongeveer een half uur.

a

5 Omdat zijn snelheid constant 120 km/uur blijft. De evenredigheidsconstante is 120.

b Een rechte lijn door de oorsprong van het assenstelsel en (bijvoorbeeld) het punt (1; 120).

c 120 ⋅ u� = 300 oplossen geeft u� = 300 /120 ≈ 2,5 uur. Dus na ongeveer een 2,5 uur.

a

6 Eerst 𝐶 delen door 10 en dan vermenigvuldigen met 18 komt neer op 𝐶 vermenigvuldigen met 18 /10 = 1,8 . Daar moet je dan nog 32 bij optellen.

b De tabel zie je hieronder. Neem op de 𝐶-as om de cm de getallen 0, 10, 20, ..., 100. Neem op de verticale as voor elke 100^∘bijvoorbeeld 1 cm.

𝐶 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

𝐹 32 50 68 86 104 122 140 158 176 194 212

𝑅 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

c Aan de getallen waar je 𝐶 mee vermenigvuldigt.

d Vergelijk in je tabel bijvoorbeeld de uitkomsten bij 𝐶 = 10 en 𝐶 = 20.

a

7 Neem, want als bijvoorbeeld 𝐶 verdubbelt van 10 naar 10, dan gaat 𝐾 van 283 naar 293. Dus 𝐾 verdubbelt dan niet.

b −273°C.

a

8 𝐾 = 0,19 ⋅ u�

b Ja, want als u� verdubbelt, dan verdubbelt ook 𝐾. Neem een geschikt getallenvoorbeeld.

(6)

c Een rechte lijn door de oorsprong van het assenstelsel en bijvoorbeeld (100, 19) d Ja, de brandstofkosten zijn recht evenredig met u�.

e Nee, want er zijn ook kosten die niet van het aantal kilometers afhangen zoals wegenbelasting, verzekering, en dergelijke.

a

9 Bij de ﬁrma’s I en II.

b Firma I: u� = 1,00 ⋅ u�

Firma II: u� = 0,80 ⋅ u�

c Firma I: deze vraagt een hogere prijs per kilometer.

d €5,00

e u� = 5 + 0,50 ⋅ u�

f Als je twee keer zoveel km aﬂegt, betaal je niet twee keer zoveel. (Geef een getallenvoorbeeld!) a

10 Graﬁek II, want daar wordt de kaarslengte gelijkmatig (elk uur evenveel) minder.

b De graﬁeken van de kaarslengte gaan niet door de oorsprong van het assenstelsel.

c Met 5 cm per uur.

a

11 Bij de formules I en III.

b Bij formule I: u� = 5 /0,85 = ¹⁰⁰₁₇ Bij formule II: u� = 5 − 0,85 = 4,15 Bij formule III: u� = 5 /8,5 =¹⁰₁₇

Bij formule IV: eerst −1,5u� = −3,5 en dan u� = −5,5 /−1,5 =¹¹₃ a

12 Omdat u� een constante is.

b u� = 40 ⋅ 20 = 800 m.

c 700 = u� ⋅ 20 geeft u� = 700 /20 = 35 m/s.

d 1500 = 60 ⋅ u� geeft u� = 1500 /60 = 25 s.

e u� = ^u�_u�

f u� = ^u�_u�

a

13 Bereken eerst hoeveel km er tussen de eerste en de laatste kilometerstanden zit. Daarvoor had hij 465 liter benzine nodig. En nu nog even delen...

b €0,14

c Omdat je er van uit gaat dat deze berekende gemiddelde kosten per km het hele jaar ongeveer hetzelfde blijven, maar dat hoeft niet. De benzineprijs kan omhoog gaan, je rijgedrag kan veranderen (meer in de stad rijden of juist niet, etc.).

d 𝐾 = 0,14u� en deze formule geeft 0,14 ⋅ 18000 = 2520 euro voor dat jaar.

e Nee, want er zijn meer kosten om rekening mee te houden, zoals wegenbelasting, onderhoud van de auto, verzekering, enz.

14 Eigen antwoord.

(7)

1.2 Lineaire verbanden

a

1 600 × 0,13 + 2,50 = 80,50 euro.

b Nee, want de transactiekosten blijven per betaalopdracht gelijk.

(Je moet dan natuurlijk niet eerst DDK 600,00 en dan in een tweede transactie nog eens DKK 600,00 kopen, want in dat geval verdubbelen ook je transactiekosten.)

c 𝐸 = 0,13 ⋅ 𝐷 + 2,50. De graﬁek is een rechte lijn door de punten (0, 2,5) en (100, 15,5). (Maak eventueel eerst een tabel.)

a

2 Maak een graﬁek bij deze tabel:

u� 0 10 20 30 40 50

𝐾 30,00 32,50 35,00 37,50 40,00 42,50

b Doen. Het startgetal is de uitkomst bij 0. Voor het hellingsgetal neem je een punt op de graﬁek en je verhoogt de tijd met 1 stap, de kosten gaan dan 0,25 euro omhoog. Het zal wel erg klein worden in je graﬁek, dus misschien zet je liever een tijdstap van 10 minuten. Je gaat dan ook 10 keer het hellingsgetal omhoog.

c Het startgetal wordt verlaagd en dus komt de hele graﬁek 10 eenheden lager te liggen. De helling verandert niet!

d Het hellingsgetal wordt verlaagd en dus gaatt de hele graﬁek iets minder steil omhoog lopen. Het startgetal verandert niet!

a

3 Bedrijf A: u� = 9,90 + 0,25 ⋅ u�

Bedrijf B: u� = 0,36 ⋅ u�

b Maak zelf de graﬁeken bij deze tabel.

belminuten u� 0 50 100

bedrijf A u� (in €) 9,90 22,40 34,90 bedrijf B u� (in €) 0,00 18,00 36,00

c Bij bedrijf B want de graﬁek is een rechte lijn door de oorsprong.

d De grafiek is een rechte lijn, er komt per minuut een vast bedrag bij. Bij de grafiek van A is de rich- tingscoëfficiënt 0,25 en bij de grafiek van B is de richtingscoëfficiënt 0,36.

e Bij bedrijf B, dat is dan nog het goedkoopst.

a

4 50 − 0,25 ⋅ 60 = 35 euro.

b 50 − 0,25 ⋅ 200 = 0 euro. Ouders kiezen voor zo’n abonnement opdat hun kinderen niet onbeperkt geld uitgeven aan het bellen (of internetten met de smartphone).

c Dat de graﬁek een rechte lijn is naar rechts steeds kleinere waarde heeft. Hij loopt dan dus schuin omlaag.

d De formule wordt dan 𝐵 = 50 − 0,30 ⋅ u�. De graﬁek gaat dan nog steiler naar beneden lopen.

a

5 Omdat de kaars gelijkmatig opbrandt: als hij twee keer zo lang brandt dan wordt de lengte van het opgebrande stuk ook twee keer zo groot.

(8)

b Na bijvoorbeeld 1 uur branden is de kaars 23,5 cm en na 2 uur branden is hij 22 cm. Dat is bepaald niet twee keer zo groot. Nee, de kaars wordt juist kleiner!

c 𝐿 = 25 − 1,5 ⋅ u�

d 25 − 1,5 ⋅ 16 = 1 cm.

e De graﬁek is een rechte lijn met startgetal 25 en richtingscoëﬃciënt −1,5.

a

6 Je zoekt punten waarvan je de coördinaten zo nauwkeurig mogelijk kunt aﬂezen of waarvan je de coördinaten weet omdat ze gegevn zijn in de tekst. Bij voorkeur neem je één van die punten op de verticale as.

b Je weet dan meteen de startwaarde.

c Door de verschillen in breedte (het horizontale verschil) en hoogte (het verticale verschil) van beide afgelezen punten te berekenen. En daarna deel je het hoogteverschil door het breedteverschil.

d 𝑇 = 20 − 6 ⋅ 1,5 = 11°C.

e Doe dit op dezelfde manier als in het voorbeeld. Je vindt: 𝑇 = 15 − 6 ⋅ h.

a

7 Je kunt het antwoord met de applet controleren.

b Je kunt het antwoord met de applet controleren.

c Neem hier even de tijd voor, het is een nuttige vaardigheid. Laat punt 𝐴 op de u�-as liggen.

d u� = 6. De richtingscoëﬃciënt van een horizontale lijn is 0.

e Als beide punten 𝐴 en 𝐵 op de u�-as liggen. Het lukt dan niet omdat het breedteverschil in zo’n geval 0 is, een getal waar je niet door kunt delen.

a

8 Het breedteverschil van beide punten is 6 − 2 = 4 en hun hoogteverschil is 8 − 3 = 5. Het hellingsgetal is daarom ⁵₄ = 1¹₄.

b Ga je 1 naar links, dan moet je 1¹₄ (het hellingsgetal) naar beneden om bij het bedoelde punt op de graﬁek te komen. Je vindt dus het punt (1, 1³₄).

c Je moet dan vanuit punt 𝐴 twee roosterlijnen naar links, dus 2⋅1¹₄ = 2¹₂naar beneden om het bedoelde punt te bereiken. De coördinaten van dit punt zijn (0,¹₂). Het startgetal is ¹₂.

d Bijvoorbeeld u� = ¹₂+⁵₄⋅ u�.

e −2 = ¹₂+⁵₄⋅ −2 klopt.

a

9 Je kunt het antwoord met de applet controleren.

b Je kunt het antwoord met de applet controleren.

c Doen.

d u� = 6. De richtingscoëﬃciënt van een horizontale lijn is 0.

e Als beide punten 𝐴 en 𝐵 op een verticale lijn liggen. Het lukt dan niet omdat het breedteverschil in zo’n geval 0 is, een getal waar je niet door kunt delen.

a

10 Omdat je naast een vast bedrag per jaar een vast bedrag per m³betaalt.

verbruik u� (in m³) 0 50 100 150 200

kosten 𝐾 in gebied A (in €) 36,00 126,00 216,00 306,00 396,00 kosten 𝐾 in gebied B (in €) 48,00 125,50 203,00 280,50 358,00

b Gebied A:⁹⁰₅₀ = 1,8 dus €1,80 per m³en de formule is 𝐾 = 36 + 1,80 ⋅ u�.

Gebied B: ^77,50₅₀ = 1,55 dus €1,55 per m³en de formule is 𝐾 = 48 + 1,55 ⋅ u�.

c Zie ﬁguur.

(9)

d Substitueer u� = 120 in beide formules. In gebied A zijn de kosten €252,00 en in gebied B betaal je

€234,00.

e In het gebied waar het hellingsgetal het kleinst is, dus in gebied B.

a

11 De graﬁek in ﬁguur II.

b 0,5

c Bij de graﬁek van ﬁguur III.

d Figuur I: u� = 2 + 0,5u�

Figuur II: u� = 0,5u�

Figuur III: u� = 3 −²₃u�

a

12 Graﬁek II, want deze graﬁek loopt langzamer naar beneden dus de bijbehorende kaars brandt langzamer op.

b Beide graﬁeken vormen een rechte lijn, ieder uur brandt er evenveel van de kaars op.

c Graﬁek I: 𝐿 = 30 − 3u�

Graﬁek II: 𝐿 = 25 −⁵₃u�

d De kaars van graﬁek II is langer. Vul u� = 4 in beide formules in.

a

13 Het hellingsgetal is²₅ = 0,4. De formule is daarom u� = 10 + 0,4u�.

b Het hellingsgetal is⁻¹⁰₅ = −2. De formule is daarom u� = 10 − 2u�.

c Het hellingsgetal is¹²₅ = 2,4. De formule is daarom u� = 2,4u�.

d Het hellingsgetal is⁰₅ = 0. De formule is daarom u� = 10.

14 De 1000 m kabel weegt 750 kg. Dat is 750 /1000 = 0,75 kg per m. Er gaat 200 m van de volle haspel af, dus het gewicht wordt 200 ⋅ 0,75 = 150 kg minder. Blijft over: 800 − 150 = 650 kg.

Je kunt dit probleempje ook oplossen door een formule te maken van het lineaire verband tussen het gewicht 𝐺 (in kg) van kabelhaspel plus kabel en het aantal m kabel u� dat er nog op zit. De graﬁek hierbij gaat door (0, 50) en (1000, 800). Hiermee vind je 𝐺 = 50 − 0,75u�. Dan neem je u� = 800 en je vindt hetzelfde antwoord.

a

15 Afschrijving, onderhoud, belasting, verzekering.

b Bezineauto: €0,14 Dieselauto: €0,05

c Bezineauto: 𝐾 = 2400 + 0,14u�

Dieselauto: 𝐾 = 3800 + 0,05u�

d Bezineauto: €4920,00 Dieselauto: €4700,00.

e Doen. Vanaf 15556 km/jaar is de diesel voordeliger. (Bij deze aannames.)

(10)

16 Eigen antwoord.

1.3 Lineaire vergelijkingen

a

1 𝐾 = 24000 + 3,50 ⋅ u� euro.

b 𝑅 = 7,20 ⋅ u� euro.

c Bij de formule voor de opbrengst. (Waarom ook alweer...?) d Om winst te maken moet de opbrengst groter zijn dan de kosten.

e Eigen antwoord. Zie de ?Uitleg?.

a

2 = = =

b Bij winst moet de opbrengst niet gelijk zijn aan de productiekosten, maar juist groter.

c u� = 6487 geeft 𝑅 = 46706,40 en 𝐾 = 46704,50 dus is dan inderdaad 𝑅 > 𝐾.

u� = 6486 geeft 𝑅 = 46699,20 en 𝐾 = 46701,00 dus is dan 𝑅 < 𝐾.

a

3 = = = =

Contrôle: 15 ⋅ 3 + 38 = 10 ⋅ 3 + 53 klopt. (Links en rechts van het isgelijkteken komt er 83 uit.)

b = = = =

Contrôle: 5 ⋅ −7,5 − 36 = −96 − 3 ⋅ −7,5 klopt. (Links en rechts van het isgelijkteken komt er −73,5 uit.)

c = = = =

Contrôle: 25 ⋅¹⁵⁰₇ − 150 = 18 ⋅¹⁵⁰₇ klopt. (Links en rechts van het isgelijkteken komt er ²⁷⁰⁰₇ uit.)

(11)

d = = = =

Contrôle: 15200 + 0,8 ⋅ 5666²₃= 8400 + 2 ⋅ 5666²₃klopt. (Links en rechts van het isgelijkteken komt er 19733¹₃ uit.)

a

4 Beide graﬁek dalen vanaf u� = 0.

b Doen. Als het goed is vind je dezelfde formules als in het voorbeeld.

c ⁴₉ deel van een uur is 26²₃ minuten, dus 26 minuten en 40 seconden.

d 4 uur en 26 minuten, dus in totaal 266 minuten.

5 Stel bij elke graﬁek een formule op:

> kaars I: 𝐿 = 20 − u�

> kaars II: 𝐿 = 30 − 2,5u�

Beide kaarsen zijn even lang als: 20 − u� = 30 − 2,5u�. Oplossen geeft:

=

Kaars I is langer dan kaars twee als beide kaarsen meer dan 6 uur en 40 minuten hebben gebrand.

a

6 Beide zijden van de vergelijking worden met 6 vermenigvuldigd om alle breuken in één keer kwijt te raken.

b Beide zijden −5u� en beide zijden +30u�. De volgorde is onbelangrijk.

c Links van het isgelijkteken: 6 − (u� − 12) = 6 + −1 ⋅ (u� − 12) = 6 + −1 ⋅ u� − −1 ⋅ 12 = 6 − u� + 12.

Rechts van het isgelijkteken: 3 ⋅ (12 − 3u�) = 3 ⋅ 12 − 3 ⋅ 3u� = 36 − 9u�.

d 2,25 invullen in de oorspronkelijke vergelijking met de haakjes moet aan beide zijden hetzelfde getal opleveren.

a

7 Beide zijden met 6 vermenigvuldigen en je krijgt 2u� + 20 = 60 zodat 2u� = 40 en u� = 20.

b Haakjes uitwerken geeft 6 −¹₂u� = 2u� − 27 en dus 12 − u� = 4u� − 54 zodat 5u� = 66 en u� = 13,2 c Haakjes uitwerken geeft −3u� + 1 = 7 en daaruit vind je u� = −2.

d Beide zijden met 10 vermenigvuldigen geeft 2u� − 8 = 20 − 5u� zodat 7u� = 12 en u� =¹²₇. 8 Kies telkens een nieuwe vergelijking en los deze stap voor stap op.

a

9 = = =

(12)

b = = = =

c = = = =

d = = = =

a

10 = = =

b = = = = =

c = = = =

d = = = = =

(13)

a

11 Je moet nu eerst formules opstellen voor beide lineaire verbanden: u�1= 3 − u� en u�2= 1,25u�.

En dan los je met de balansmethode op: 3 − u� = 1,25u�. Dit geeft: u� = 1¹₃. b Bekijk de graﬁeken. Je vindt: u� > 1¹₃

c Kies zelf een paar waarden voor u� en vul ze in.

a

12 16 − 120 ⋅ 0,6 = 15,28, dus ze meten ongeveer 15,3°C.

b 𝑇 = 16 − 0,006ℎ c 16 − 0,006ℎ < 0

d 16 − 0,006ℎ00 geeft ℎ = 2666²₃, dus het antwoord is ℎ > 2660 m (dat betekent: groter dan 2660 m dus vanaf 2670 m).

a

13 Ongelijkheid: 36 + 1,80 ⋅ u� < 48 + 1,55 ⋅ u�.

De bijbehorende vergelijking 36 + 1,80 ⋅ u� = 48 + 1,55 ⋅ u� heeft als oplossing u� = 48 m³. Dus zijn de kosten in A kleiner dan in B als u� < 48 m³.

b Ongelijkheid: 48 + 1,55 ⋅ u� > 200.

De bijbehorende vergelijking 48 + 1,55 ⋅ u� = 200 heeft als oplossing u� = 98 m³. Dus zijn de kosten in B groter dan €200 als u� > 98 m³.

a

14 2400 + 0,14u� > 3800 + 0,05u�

b De bijbehorende vergelijking 2400 + 0,14u� = 3800 + 0,05u� heeft als oplossing u� = 15555⁵₉. Dus de ongelijkheid heeft als oplossing u� > 15555⁵₉

c Een heel nauwkeurige schatting van het aantal km waarbij hij voordeliger in een dieselauto kan rijden is zinloos, want niemand weet precies vooraf hoeveel km je in een jaar gaat rijden. Dus het antwoord zou moeten zijn: vanaf ongeveer 16.000 km per jaar kan hij beter de dieselauto aanschaﬀen, als hij daar onder blijft is de auto op benzine voordeliger.

a

15 𝐾u�= 1450 + 0,025 ⋅ u�

b 𝐾u�= 0,08 ⋅ u�

c 1450 + 0.025 ⋅ u� = 0.08 ⋅ u� geeft u� ≈ 26364. Dus grofweg na 26.400 km.

1.4 Omgekeerd evenredig

a

1 16 /120 =₁₅² uur en dus 8 minuten.

b 16 /60 = ₁₅⁴ uur en dus 16 minuten.

c Als de snelheid twee keer zo groot wordt, wordt de reistijd niet twee keer zo groot maar juist gehalveerd.

d Bijvoorbeeld u� =¹⁶_u�. a

2 24 /8 = 3 m.

b 24 /4 = 6 m.

c 24 u� m.

d Wordt de lengte twee keer zo groot, dan wordt de breedte juist gehalveerd, dus ¹₂ keer zo groot.

a

3 32 /80 ⋅ 60 = 24 minuten.

b 32 /40 ⋅ 60 = 48 minuten.

c Doen, je krijgt een stuk van een hyperbool.

d Je reistijd wordt dan heel erg groot. De graﬁek gaat dus in de buurt van de verticale u�-as heel sterk omhoog.

(14)

e Je reistijd wordt dan bijna 0. De graﬁek gaat dus voor grote waarden van u� vlak boven de horizontale u�-as lopen.

a

4 Bijvoorbeeld u� = 2 geeft u� = ¹₂ = 0,5 dus (2, 0,5) voldoet aan de formule. Controleer zo ook de andere twee punten.

b 0,01; 0,00001.

c 0,01; 0,00001.

d 3 =^u�₂ geeft u� = 6.

e Delen door 0 geeft geen reële uitkomst.

a

5 Bij u� = 25 hoort u� = ¹⁰⁰⁰⁰₂₅ = 400.

En bij u� = 50 hoort u� =¹⁰⁰⁰⁰₅₀ = 200.

b Doen, je krijgt een mooie hyperbool.

c 2u� + 2u� = 410 betekent u� + u� = 205.

d Maak de ﬁguur compleet. Je ziet dan dat de graﬁeken twee snijpunten hebben. Bepaal die met behulp van inklemmen. Je vindt (24, 80) en (80, 24). De rechthoek is dan 24 bij 80.

a

6 Bij u� = 10000 liter hoort u� =³²⁰⁰⁰₁₀₀₀₀ = 3,20 euro.

En bij u� = 20000 liter hoort u� = ³²⁰⁰⁰₂₀₀₀₀= 1,60 euro.

Een verdubbeling van de productie betekent dus een halvering van de vaste kosten per liter.

b Bijvoorbeeld u� = ³²⁰⁰⁰_u� . c u� > 64000

a

7 3800 /19000 = 0,20 euro/km.

b Als u� twee keer zo groot wordt, dan wordt u� gehalveerd.

c Formule: u� =³⁸⁰⁰_u� .

Maak hierbij een geschikte tabel. Zie ﬁguur voor de graﬁek.

d u� = ³⁸⁰⁰_u� = 0,10 als u� = 38000. Dus ze moet meer dan 38000 per jaar km rijden.

a

8 Formule: 𝐴 = 10u�.

𝐴 is recht evenredig met u�.

b Formule: u� =²⁰⁰_u� .

u� is omgekeerd evenredig met u�.

c Formule: 𝐴 = 2u�².

Het verband tussen 𝐴 en u� is niet recht evenredig en niet omgekeerd evenredig.

a

9 Omdat u� ⋅ u� = 1200 is u� = ¹²⁰⁰_u� . b Formule: u� = 91 − u�.

c Maak eerst tabellen. Zie ﬁguur.

(15)

d Het weiland wordt 16 bij 75 m.

10 Graﬁek I: omgekeerd evenredig verband met u� = ⁸_u�

Graﬁek II: lineair verband met u� = 8 − u�

Graﬁek III: recht evenredig verband met u� = 0,75u�

Graﬁek IV: omgekeerd evenredig verband met u� =¹⁶⁰_u�

a

11 ₁₀₀⁶⁰ ⋅ 60 = 36 minuten.

b ⁶⁰₈₀⋅ 60 = 45 minuten.

c Als de rijsnelheid verdubbelt, halveert de reistijd. Een bijpassende formule is u� =³⁶⁰⁰_u� . d 144 km/h. (Hopelijk geen bekeuring...)

a

12 ¹²⁰⁰⁰⁰_u� < 6000 b u� =¹²⁰⁰⁰⁰₆₀₀₀ = 20.

c Zo’n gewicht kan maximaal 20 m van steunpunt van de draaiarm hangen.

d Het gewicht mag maximaal 5217 kg zijn.

1.5 Hyperbolische verbanden

a

1 16 /120 =₁₅² uur en dus 8 minuten. Daar komt nog 5 minuten bij voor het tanken, totaal dus 13 minuten.

b 16 /60 = ₁₅⁴ uur en dus 16 minuten. Daar komt nog 5 minuten bij voor het tanken, totaal dus 21 minuten.

c Als de snelheid twee keer zo groot wordt, wordt de reistijd niet gehalveerd.

d Het tanken kost ₆₀⁵ =₁₂¹ uur. Een mogelijke formule is u� =¹⁶_u� +₁₂¹. a

2 32 /80 ⋅ 60 + 5 = 29 minuten.

b 32 /40 ⋅ 60 + 5 = 53 minuten.

c Als u� twee keer zo groot wordt (van 40 km/h naar 80 km/h) dan wordt u� niet gehalveerd.

d Doen, je krijgt een stuk van een hyperbool.

e Je reistijd wordt dan heel erg groot. De graﬁek gaat dus in de buurt van de verticale u�-as heel sterk omhoog.

f Je reistijd benadert dan de 5 minuten. De graﬁek gaat dus voor grote waarden van u� vlak boven de horizontale asymptoot u� = 5 lopen.

(16)

a

3 Bijvoorbeeld u� = 2 geeft u� = ¹₂ + 2 = 2,5 dus (2, 2,5) voldoet aan de formule. Controleer zo ook de andere twee punten.

b 2,01; 2,00001.

c 102; 10002.

d 3 =^u�₂+ 2 geeft 1 = ^u�₂ en dus u� = 2.

e Delen door 0 geeft geen reële uitkomst. Dat geldt voor alle waarden van u�.

f De graﬁek wordt naar boven of beneden (dus in de u�-richting) verschoven.

a

4 Een nuttig ‘spel’ om met een medeleerling te spelen. Wie doet alles goed?

b Het gaat hier om een lineair verband. Als u� = 0 gaat de graﬁek door 𝑂(0, 0) en kun je ook spreken van een recht evenredig verband.

Het veranderen van u� betekent het veranderen van het hellingsgetal (de richtingscoëfficiënt) van de grafiek. De grafiek gaat dan draaien om het startpunt (0, u�).

Het veranderen van u� heeft tot gevolg dat het startpunt (0, u�) hoger of lager komt te liggen. De graﬁek verschuift dan in de u�-richting.

c Vul deze punten in de formule in en controleer dat je aan beide zijden van het isgelijkteken hetzelfde krijgt.

d Er zijn twee losse delen omdat er bij u� = 0 geen uitkomst hoort. De verticale asymptoot is daarom de u�-as en de horizontale asymptoot is de lijn u� = 2.

e Een nuttig ‘spel’ om met een medeleerling te spelen. Wie doet alles goed?

f Het gaat hier om een hyperbolisch verband. Als u� = 0 kun je ook spreken van een omgekeerd evenredig verband.

Het veranderen van u� doet de graﬁek uitrekken of inkrimpen. Wat er dan precies gebeurt leer je later nog.

Het veranderen van u� heeft tot gevolg dat de graﬁek verschuift in de u�-richting. Je kunt dat goed zien aan de horizontale asymptoot.

a

5 Bekijk nu welke formule in het voorbeeld is gevonden en vergelijk die met jouw eigen formule. Zijn ze hetzelfde?

(Houd er rekening mee dat^0.04+10u�_u� = 0.04 + ¹⁰_u�.) b Een hyperbolisch verband.

c Maak een graﬁek bij deze tabel. Laat u� lopen van 0 tot en met 0,20.

u� 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

u� geen 0,14 0,09 0,073 0,065 0,06 0,057 0,054 0,053 0,051 0,05

d Je vindt met behulp van de tabel bij c, dat u� = 0,06 als u� = 500. Het antwoord wordt (bekijk je graﬁek):

u� > 500

e Eerst aan beide zijden van het isgelijkteken 0,04 aftrekken en je krijgt¹⁰_u� = 0,02. Door analogierekenen vind je u� =_0,02¹⁰ = 500. (Bekijk eventueel alvast ?Voorbeeld?.)

a

6 𝐾 = ³²⁰⁰⁰_u� + 5,60.

b 𝐾 = ³²⁰⁰⁰₁₀₀₀₀+ 5,60 = 8,80 euro.

c u� > 80000. Gebruik een tabel (met graﬁek) of ga slim rekenen.

a

7 ¹⁹²⁰_u� + 5 = 25

(17)

b = = =

c Met 96 km/h of meer.

a

8 ⁶⁰⁰_u� = 12 geeft u� = ⁶⁰⁰₁₂ = 50.

b u� = ¹⁸⁰_4,5 = 40

c _u�−20⁴⁴⁰⁰ = 11 geeft u� − 20 =⁴⁴⁰⁰₁₁ = 400, dus u� = 420

d ^2u�−50₁₅₀₀ = 0,5 geeft 2u� − 50 = 1500 ⋅ 0.5 = 750, dus u� = 400 a

9 Je schets wordt een hyperbool met de u�-as als verticale asymptoot en als horizontale asymptoot de lijn u� = 5. Verder teken je de lijn u� = 17. Bij het snijpunt vind je de gevraagde waarde van u�.

b ⁹⁶⁰_u� = 12 geeft u� = ⁹⁶⁰₁₂ = 80.

c u� > 80 a

10 𝐾 = ¹⁵⁰_u� + 0,02

b Als je u� verdubbelt (bijvoorbeeld van 1000 naar 2000) dan wordt 𝐾 niet gehalveerd (𝐾 gaat dan van 0,17 naar 0,095).

c Zie ﬁguur. (Maak eerst een tabel.)

d Eerst los je¹⁵⁰_u� + 0,02 = 0,05 op. Dit geeft ¹⁵⁰_u� = 0,03 en dus u� = 5000.

Nu kijk je in je graﬁek en je vindt u� > 5000. Dus bij minstens 5000 kopieën komt de school uit de kosten.

a

11 ²⁴⁰⁰_u� = 3,2 geeft u� =²⁴⁰⁰_3,2 = 750.

b ⁵⁰_u� = 250 geeft u� =₂₅₀⁵⁰ = 0,2.

c ^u�−15₃₀₀ = 1,3 geeft u� − 15 = 390 en dus u� = 405.

d u� − 5 = ⁸⁰⁰₅₀ = 16 en dus u� = 21.

12 Graﬁek I: u�2= 6 − 0,5u�

Graﬁek II: u�3=³_u�+ 1 Graﬁek III: u�1= ⁴_u�

Graﬁek IV: u�4= 0,2u� + 4 a

13 Maak eerst tabellen. Zie ﬁguur (gemaakt met GeoGebra).

(18)

b Je vindt (2,6; 3,6).

c De twee oplossing is u� ≈ −1,6.

a

14 De formule voor u� afhankelijk van u� is u� = ²_u�+ 5. Die kun je zelf vinden door eerst de waarde van u�

uit de gegeven horizontale asymptoot af te leiden en dan het gegeven punt in te vullen.

Bij u� = 10 hoort u� = 5,2.

b Je vult nu beide punten in de formule u� =_u�û�+ u� in. Dit geeft: 9 =û�₂+ u� en 8 =₄û�+ u�. Hieruit volgt dat

u�

4 = 1 en dus dat u� = 4. En daaruit kun je u� aﬂeiden: bijvoorbeeld 9 =⁴₂+ u� geeft u� = 7. De complete formule wordt: u� =⁴_u�+ 7.

Bij u� = 10 hoort u� = 7,4.

a

15 u� = 0,14 +²⁴⁰⁰_u�

b Los op 0,14 +²⁴⁰⁰_u� = 0,19.

Dit geeft u� = 48000. Dus je moet meer dat 48000 km per jaar rijden om uit de kosten te komen als je een benzineauto hebt.

c u� = 0,05 +³⁸⁰⁰_u�

d Los op 0,05 +³⁸⁰⁰_u� = 0,19.

Dit geeft u� ≈ 27183. Dus je moet meer dat 27182 km per jaar rijden om uit de kosten te komen als je een dieselauto hebt.

a

16 𝐾 = 30 + 0,96u�

b Van een lineair verband.

c Je moet oplossen: 30 + 0,96u� < 100.

30 + 0,96u� = 100 geeft u� ≈ 72,9.

Je moet mag dus niet meer dan 72 m³water verbruiken.

d u� = 0,96 +³⁰_u�

e Van een hyperbolisch verband.

f Je moet oplossen: 0,96 +³⁰_u� < 1.

0,96 +³⁰_u� = 1 geeft u� = 750.

Je moet dus meer dan 750 m³water verbruiken om dit te bereiken. (Elke dag minstens 10 uur onder de douche!?)

(19)

1.6 Totaalbeeld

a

1 Bij graﬁek I, want deze graﬁek is een rechte lijn door de oorsprong van het assenstelsel.

b u� = 1,5

c Ook tien keer zo groot.

a

2 Beide graﬁeken zijn rechte lijnen.

b Het hellingsgetal is u� = −0,5 en een bijpassende formule is u� = 4,5 − 0,5u�.

c 4,5 − 0,5 ⋅ 41 = −16, dus dit punt ligt inderdaad op graﬁek II.

a

3 1,5u� = 4,5 − 0,5u�

b Schrijf de uitwerking netjes op. Je vindt: u� = 2,25.

c Laat weer duidelijk de berekening zien. Je vindt: (2,25; 3,375).

d Je oefent jezelf met AlgebraKIT.

a

4 Je weet dan het snijpunt van beide graﬁeken. Daarna kun je aan de graﬁeken zien aan welke kant van dit snijpunt u�₁< u�₂.

b De u�-waarde van het snijpunt is: u� = 2,25.

Aan de graﬁeken zie je nu dat de oplossing van de ongelijkheid u� < 2,25 is.

a

5 Als de waarde van u� bijvoorbeeld twee keer zo groot wordt, dan wordt de waarde van u� gehalveerd, dus door twee gedeeld.

b (16; 0,5) c (0,25; 32)

d De graﬁek gaat dan steeds dichter bij de u�-as lopen zonder deze ooit te raken. De u�-as is de horizontale asymptoot van de graﬁek.

e De graﬁek gaat dan steeds dichter bij de u�-as lopen zonder deze ooit te raken. De u�-as is de verticale asymptoot van de graﬁek.

a

6 Maak eerst een tabel. Zie ﬁguur. Het is een hyperbolisch verband.

b (16; 2,5) c (0,25; 34)

d De graﬁek gaat dan steeds dichter bij de lijnu� = 2 lopen zonder deze ooit te raken. De lijn u� = 2 is de horizontale asymptoot van de graﬁek.

e De graﬁek gaat dan steeds dichter bij de u�-as lopen zonder deze ooit te raken. De u�-as is de verticale asymptoot van de graﬁek.

f Je krijgt eerst ⁸_u�= 3 en dit geeft u� = ⁸₃= 2²₃. g Alle u�-waarden waarvoor geldt u� > 0 en u� < 2²₃.

(20)

a

7 Tweemaal zo lang regenen geeft een tweemaal zo grote waterhoogte omdat de waterhoogte gelijkmatig stijgt (elke minuut evenveel).

b ℎ = 0,6 ⋅ u�

c Maak een tabel. De graﬁek wordt een rechte lijn door 𝑂(0, 0) en (10, 6).

d 0,6

e 0,6 ⋅ u� = 20 geeft u� = _0,6²⁰ = 33¹₃ minuten.

a

8 ℎ = 21 + 0,55 ⋅ u�

b Maak een tabel. De graﬁek wordt een rechte lijn door 𝑂(0, 21) en (10, 26,5).

c De graﬁek van ℎ gaat niet door de oorsprong van het assenstelsel.

d 0,6

e De graﬁek loopt minder steil omhoog dan die van ?opgave?. Het hellingsgetal is iets kleiner.

f 21 + 0,55 ⋅ u� = 50 geeft u� =_0.55²⁹ = ⁵⁸⁰₁₁. Dus nog ruim 52 minuten.

a

9 Je vindt 6 ⋅ u� = 90 en dus u� = 15.

b Je vindt −2,5 ⋅ u� = −450 en dus u� = 180.

c Haakjes uitwerken geeft 5u� − 30 = 32 + u� en dat levert op 4u� = 62 en dus u� = 15,5.

d Je vindt 4u� − 24 = 2u� − 5 en dat geeft 2u� = 19 en dus u� = 9,5.

10 Teken de graﬁeken van u�₁= 6 − 2u� en u�₂= 0,5u� − 1 in één ﬁguur. (Zie hieronder.)

Los de vergelijking 6 − 2u� = 0,5u� − 1 op. Je vindt u� = 2,8. De oplossing van de ongelijkheid lees je uit de graﬁek af: u� > 2,8.

a

11 Bij 5000 kopieën: €0,50.

Bij 25000 kopieën: €0,10.

b Bij vijf keer zoveel kopieën wordt de prijs per kopie met éénvijfde vermenigvuldigd.

c 𝐵 =²⁵⁰⁰_u� + 0,05

d Het is een hyperbolisch verband. Maak een tabel en teken dan de bijbehorende hyperbool met horizontale asymptoot 𝐵 = 0,05 en verticale asymptoot de 𝐵-as.

e Je moet²⁵⁰⁰_u� + 0,05 < 0,20 oplossen. Het oplossen van de bijbehorende vergelijking geeft u� = 16666²₃. Dus bij 16667 kopieën of meer is de school uit de kosten.

a

12 Je krijgt⁴_u� = 10 en u� = 0,4.

b Je krijgt 15 = ²_u� en u� = ₁₅². a

13 Vanaf 600 m³betaal je minder per kubieke meter gas.

b Vaste kosten per jaar: €40.

Prijs per m³:¹³⁰⁻⁴⁰₆₀₀ = 0,15, dus €0,15.

c Vaste kosten per jaar en vaste prijs voor de eerste 600 m³: €130.

Prijs per m³boven de 600 m³:^170−130₄₀₀ = 0,10, dus €0,10.

d 𝐾 = 70 + 0,10u�

e Als u� > 1300 m³per jaar.

a

14 In het centrum is u� = 0. Dus is u� = 1 +¹⁰⁰₂₀ = 6.

b u� = 1 +¹⁰⁰₄₅ = 3,2

c Bij 1. Als de afstand heel groot wordt, oneindig groot, is een beving niet meer te voelen. Dan wordt de term met de breuk 0. Blijft altijd de eerste term over, onafhankelijk van de afstand.

d Maak een graﬁek bij deze tabel.

u� 0 5 10 15 20

u� 6 3,2 1,8 1,4 1,2

(21)

e Zet je tabel voort en bepaal daarmee wanneer je voor het eerst onder de 1,1 komt. Je vindt 32 km of meer.

(22)

2 Meetkundige berekenin-

gen

2.1 Pythagoras

a

1 16 eenheden.

b 9 eenheden.

c 25 eenheden. Inderdaad is de oppervlakte van dit vierkant gelijk aan die van de twee andere vierkanten:

9 + 16 = 25.

d Omdat 5 × 5 = 25. Je kunt ook zeggen: Omdat √25 = 5.

e Doen.

a

2 Doen.

b Door de wortel te trekken uit de oppervlakte van het blauwe vierkant.

c Doen.

(23)

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > MEETKUNDIGE BEREKENINGEN

a

3 Zijde 𝐴𝐵.

b Zijden 𝐴𝐶 en 𝐵𝐶.

c Doen. Bereken de oppervlakte van dit vierkant nu door de oppervlaktes van de vierkanten op de rechthoekszijden op te tellen en niet meer door het vierkant te verdelen.

d 𝐴𝐵 = √13 ≈ 3,61.

e De lengte in de tekening klopt bij benadering met het antwoord bij d.

a

4 De oppervlakte van dit vierkant is 5²+ 3²= 34.

b 𝐴𝐵 = √34 ≈ 5,83.

c De lengte in de tekening klopt bij benadering met het antwoord bij b.

d Doen, je kunt het beste oefenen met de applet in de ?Uitleg?. Eventueel oefen je samen met een medeleerling en geef je elkaar rechthoekige driehoeken op.

a

5 De oppervlakte van dit vierkant is 4²+ 3²= 25.

b 𝐴𝐵 = √25 = 5. Een benadering is niet nodig omdat 25 een kwadraat is. Dit komt af en toe voor bij de stelling van Pythagoras.

c De lengte in de tekening klopt bij benadering met het antwoord bij b.

6 𝑃𝑅 = u� is de hypothenusa, dus 12²+ 10²= u�². Dit geeft u�²= 244 en dus u� = √244 ≈ 15,6 cm.

Conclusie: 𝑃𝑅 ≈ 156 mm.

a

7 Beide zijden hebben een lengte van u� + u�, want ze bestaan elk uit de twee rechthoekszijden van de rechthoekige driehoek 𝐴𝐵𝐶 achter elkaar gelegd.

b Ook nu hebben beide zijden een lengte van u� + u�, want ze bestaan elk uit de twee rechthoekszijden van de rechthoekige driehoek 𝐴𝐵𝐶 achter elkaar gelegd.

c Dat is gelijk aan de oppervlakte van de vierkanten I en II plus vier gelijke rechthoekige driehoeken die allemaal gelijk zijn aan Δ𝐴𝐵𝐶.

d Dat de oppervlakte van vierkant III gelijk moet zijn aan die van de vierkanten I en II samen.

e De redenering hiervoor ziet er wel sterk uit. Maar er zijn wat haken en ogen...

Hoe weet je bijvoorbeeld zeker dat al die rechthoekige driehoeken binnen de gestippelde vierkanten ook echt gelijk zijn aan Δ𝐴𝐵𝐶? Een echt zorgvuldig bewijs kun je in de wiskunde alleen leveren binnen een goed opgebouwde theorie. Daarmaak je alleen in de bovenbouw bij vwo wiskunde B kennis mee.

a

8 6²+ 4²= 𝐴𝐵² geeft 𝐴𝐵 = √52.

b Doen. Geef elkaar een opgave op (bijvoorbeeld op papier) en laat de ander het antwoord berekenen.

Controleer je antwoord met de applet in ?Voorbeeld?.

a

9 Doen.

b 18²+ 30²= 𝑃𝑅². Dit geeft 𝑃𝑅 = √1224 ≈ 34,99 cm.

10 𝐴𝐶²= 3²+ 5²= 34, dus 𝐴𝐶 = √34.

𝐷𝐸²= 5,5²+ 13,2²= 204,49, dus 𝐷𝐸 = √204,49 = 14,3.

𝐾𝐿²= 15²+ 7²= 274, dus 𝐾𝐿 = √274.

a

11 Nu krijg je: 1,5²+ 𝑄𝑅²= 3,5². Dit geeft: 𝑄𝑅²= 3,5²− 1,5²= 10.

En dus is: 𝑄𝑅 = √10 ≈ 3,16 m.

b Nu krijg je: 𝑃𝑄²+ 3²= 3,5². Dit geeft: 𝑃𝑄²= 3,5²− 3²= 3,25.

En dus is: 𝑃𝑄 = √3,25 ≈ 1,80 m. De voet van de ladder moet op 180 cm van de muur.

a

12 Doen.

b 16²+ 𝑄𝑅²= 30². Dit geeft 𝑄𝑅 = √644 ≈ 23,38 cm.

(24)

13 Oefen dit goed!

a

14 Controleer je antwoorden met de applet. Gebruik het aanvinkvakje.

b Doen.

a

15 Omdat 20 + 20 = 40 geldt in deze driehoek de stelling van Pythagoras: 𝐴𝐶²+ 𝐵𝐶²= 𝐴𝐵². En omdat die alleen in rechthoekige driehoeken geldt, moet deze driehoek dus wel rechthoekig zijn. Ga na, dat

∠𝐶 de rechte hoek is.

b 𝐴𝐵²= 10²+ 2²= 104 𝐴𝐶²= 9²+ 2²= 85 𝐵𝐶²= 1²+ 4²= 17

In deze driehoek geldt de stelling van Pythagoras dus niet.

c 𝐴𝐵²= 9²+ 2²= 85 𝐴𝐶²= 8²+ 2²= 68 𝐵𝐶²= 1²+ 4²= 17

In deze driehoek geldt de stelling van Pythagoras. De driehoek is rechthoekig.

a

16 Gebruik passer en geodriehoek.

Omdat 4²+ 5²≠ 6².

b Gebruik passer en geodriehoek.

Omdat 5²+ 12²= 13².

17 𝐵𝐶²= 6²− 5²= 11, dus 𝐵𝐶 = √11.

𝐾𝐿²= 6,5²− 2,5²= 36, dus 𝐾𝐿 = √36 = 6.

𝐷𝐹²= 6,5²+ 2,5²= 48,5, dus 𝐷𝐹 = √48,5.

𝑄𝑆² = 6,5²− 5² = 17,25, dus 𝑆𝑅² = 6² − 17,25 = 18,75 en 𝑇𝑅² = 18,75 + 2² = 22,75, zodat 𝑇𝑅 = √22,75.

18 Zie ﬁguur.

19 De ladder moet √8²+ 2²= √68 ≈ 8,25 m lang zijn.

20 Het beeldscherm is √189 inch breed en dat is ongeveer 34,9 cm. Dit computerscherm heeft een lengte van 349 en een breedte van 254 mm.

21 √51200 ≈ 226,3 cm. Het kleed moet een diameter van minstens 227 cm hebben.

a

22 10²+ 7,5²= 12,5², dus deze driehoek is rechthoekig met ∠𝐵 als rechte hoek.

b 2²+ 2²≠ 3², dus deze driehoek is niet rechthoekig.

c 10²+ 24²= 26², dus deze driehoek is rechthoekig met ∠𝐻 als rechte hoek.

d 25²+ 25²= 50, dus deze driehoek is rechthoekig met ∠𝐾 als rechte hoek.

a

23 Het wordt een symmetrische driehoek, die je kunt verdelen in twee rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden van 3 m.

b Het dak bestaat uit twee rechthoeken van 10 m bij √18 ≈ 4,24 m.

(25)

c De totale dakoppervlakte is ongeveer 42,4 m².

Daarvoor zijn 742 dakpannen nodig (naar beneden afronden kan vanwege de schoorsteen).

(De maten van het dak zullen ongetwijfeld in werkelijkheid zo worden gekozen dat het met gehele dakpannen kan worden bedekt.)

a

24 Manier 1: een constructie; manier 2: haakse hoek gebruiken; manier 3: de 3,4,5-regel.

b 3²+ 4² = 5², dus in zo’n driehoek geldt de stelling van Pyhtagoras. Het is dus een rechthoekige driehoek.

c Noem de tussenruimtes tussen de knopen u� cm. Je kunt dan een driehoek maken met zijden van 3u�, 4u� en 5u�. Omdat (3u�)²+ (4u�)²= (5u�)², geldt in deze driehoek altijd de stelling van Pythagoras en dus is hij altijd rechthoekig.

a

25 Teken de ﬁguur na.

De kleinste vierkanten zijn 1 bij 1 cm.

b In het midden komen er vierkanten tegen elkaar en daar is de boom dus niet meer uit te breiden of je moet vierkantjes over elkaar heen leggen.

c Je moet heel nauwkeurig tekenen. Er komen nog twee stappen bij, maar er zijn nu meer plekken waar

‘takken’ over elkaar gaan lopen.

d Je moet heel nauwkeurig tekenen. Er komen nog twee stappen bij, maar er zijn nu meer plekken waar

‘takken’ over elkaar gaan lopen.

2.2 Lengtes berekenen

a

1 Bijvoorbeeld van Δ𝐴𝐵𝐹. Of van Δ𝐴𝐹𝐸.

b De stelling van Pythagoras in Δ𝐴𝐵𝐹 geeft: 𝐴𝐹²= 6²+ 6²= 72 en dus is 𝐴𝐹 = √72 ≈ 8,49.

c Alle zijvlaksdiagonalen zijn even lang, dus 𝐴𝐸 = √72 ≈ 8.49 a

2 Bijvoorbeeld van Δ𝐴𝐶𝐺. Of van Δ𝐴𝐺𝐸. Maar ook van Δ𝐴𝐹𝐺 en Δ𝐴𝐺𝐷.

b De stelling van Pythagoras in Δ𝐴𝐶𝐺 geeft: 𝐴𝐺²= 6²+ (√72)²= 108 en dus is 𝐴𝐺 = √108 ≈ 10,39.

a

3 In Δ𝐴𝐵𝐶, de rechte hoek is ∠𝐵.

b In Δ𝐴𝐶𝐺, de rechte hoek is ∠𝐶.

c Doen, je berekent eerst de lengte van 𝐸𝐷. Als het goed is vind je voor deze lichaamsdiagonaal dezelfde lengte als die van 𝐴𝐺

a

4 𝐴𝐹²= 20²+ 5²= 425 geeft 𝐴𝐹 = √425 ≈ 20,6 cm.

b Zijn route is een rechte lijn van 𝐴 naar 𝐺 op de uitslag van de balk.

𝐴𝐺²= 20²+ 15²= 625 geeft 𝐴𝐺 = √625 = 25 cm.

(26)

c Zijn route is een rechte lijn van 𝐴 naar 𝐺 dwars door de balk, dus een lichaamsdiagonaal.

𝐴𝐶²= 20²+ 10²= 500 geeft 𝐴𝐶 = √500 cm. En dan is 𝐴𝐺²= (√500)²+ 5²= 525 dus 𝐴𝐺 = √525 ≈ 22,9 cm.

5 Zeker langer dan de langste afmeting van het pakje. Maar het moet er ook schuin inpassen...

Je berekent dus de lengte van een lichaamsdiagonaal.

Voor de diagonaal u� van het grondvlak geldt u�²= 5,5²+ 4,0²= 46,25.

Voor de lichaamsdiagonaal u� geldt dus u�²= 46,25 + 9,5²= 136,5 zodat u� = √136,5 ≈ 11,7 cm.

Het rietje moet minstens 117 mm lang zijn.

a

6 In Δ𝑇𝑀𝑆 met als rechte hoek ∠𝑆.

b Begin met het vierkante grondvlak van 4 bij 4 cm. En zet dan loodrecht op het midden van elke zijde van dit grondvlak de lengte van 𝑇𝑀 uit. Je kunt nu de vier opstaande gelijkbenige driehoeken afmaken.

c 𝐴𝑆²= 2²+ 2², dus 𝐴𝑆 = √2²+ 2²= √8.

En daaruit volgt: 𝐴𝑇²= (√8)²+ 6²= 44 en dus 𝐴𝑇 = √44 ≈ 6.6 cm.

d Begin met het vierkante grondvlak van 4 bij 4 cm. En cirkel dan vanuit elk hoekpunt van dit grondvlak de lengte van een opstaande ribbe uit. Je kunt nu de vier opstaande gelijkbenige driehoeken afmaken.

a

7 u� = √6²− 3²= √27 b ℎ = √(√27)²− 3²= √18 a

8 𝑇𝐶 = √5²+ 8²= √89 b 𝑇𝐴 = √6²+ 8²= √100 = 10 c Eerst 𝐷𝐵 = √5²+ 6²= √61.

Dan 𝑇𝐵 = √(√61)²+ 8²= √125.

9 ℎ = √1,2²− 0,3²= √1,35 ≈ 1,16

10 Eerst reken je de lengte uit van een diagonaal van de bodem van het bakje: √15²+ 15²= √450 cm.

De diagonaal in het grondvlak recht onder het rietje, het rietje zelf en het onderste stuk u� van de opstaande ribbe waar het rietje tegen aan ligt, vormen een rechthoekige driehoek. Daarin is (√450)²+ u�² = 23². En dus is de gevraagde hoogte u� = √79 ≈ 8,9 cm. Ongeveer 9 cm dus, veel nauwkeuriger antwoorden hebben niet veel zin.

11 De beide benen hebben een lengte van 11 cm.

De hoogte wordt dan ℎ = √11²− 4²= √105 cm.

En dus is de oppervlakte¹₂ ⋅ 8 ⋅ √105 = 4√105 cm².

12 Parallellogram 𝐴𝐵𝐶𝐷 heeft een hoogte van 𝐷𝐸 = √10²− 2²= √96 en dus is de oppervlakte 13√96.

Vlieger 𝐾𝐿𝑀𝑁 bestaat uit twee gelijke driehoeken, beide met basis 𝐿𝑁 en hoogte 4. Het snijpunt van 𝐿𝑁 en 𝐾𝑀 noem je 𝐻, dan is 𝐿𝐻 = √10²− 4²= √84 en 𝑁𝐻 = √5²− 4²= 3. De oppervlakte van de vlieger is dus 2 ⋅¹₂⋅ (3 + √84) ⋅ 4 = 12 + 4√84.

Trapezium 𝑃𝑄𝑅𝑆 kun je verdelen in een rechthoek van 8 bij 3,5 en twee halve rechthoeken. Van de halve rechthoek 𝑅𝑆𝑇 zijn de rechthoekszijden 8 en √10²− 8²= 6. Van de halve rechthoek 𝑃𝑄𝑈 zijn de rechthoekszijden 8 en √8,6²− 8²= √9,96. De oppervlakte van het trapezium is dus 8 ⋅ 3,5 +¹₂⋅ 8 ⋅ 6 +¹₂ ⋅ 8 ⋅ √9,96 = 52 + 4√9,96.

a

13 √8,70²− 6,75²≈ 5,49 m.

b De oppervlakte van het vooraanzicht is 𝜋 ⋅ 4,35² ≈ 59,45 m². De oppervlakte van de rechthoek is 6,75 ⋅ 5,49 ≈ 37,06 m². Dus is 22,39 van de 59,45 m²niet voor het verkeer bestemd. Dat is ongeveer 38%.

(27)

14 Δ𝐴𝐵𝐶:

Eerst bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras 𝐴𝐷 = √26²− 24² = 10 en 𝐵𝐶 =

√24²+ 24²= √1152. De oppervlakte is dus ¹₂⋅ 34 ⋅ 24 = 408 en de omtrek is 60 + √1152.

Δ𝐸𝐹𝐺:

Eerst bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras 𝐺𝐻 = √60²− 40² = √2000 en 𝐺𝐸 =

√(√2000)²+ 20² = √2400. De oppervlakte is dus ¹₂ ⋅ 20 ⋅ √2000 = 10√2000 en de omtrek is 80 +

√2400.

Pijlpuntvlieger 𝐾𝐿𝑀𝑁:

Eerst bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras 𝐾𝑀 = 12 en 𝑀𝑁 = 𝑀𝐿 = √12²+ 10²=

√244. De oppervlakte is dus 120 en de omtrek is 52 + 2√244.

Cirkel min vierkant:

Eerst bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras de diameter u� van de cirkel. Je vindt u� =

√8²+ 8²= √128. De oppervlakte is dus 𝜋⋅(¹₂√128)²−8⋅8 = 32𝜋−64 en de omtrek is 𝜋⋅√128+32.

a

15 ¹₂⋅ 6 ⋅ 𝑃𝑆 = 6 geeft 𝑃𝑆 = 2.

b Gebruik de stelling van Pythagoras: 𝑄𝑆 = √4²− 2² = √12. Dit levert op 𝑅𝑆 = 6 − √12 en dus 𝑃𝑅 = √(6 − √12)²+ 2²≈ 3,23.

16 Het deel van het rietje binnen het glas is de hypothenusa van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 13 cm en 10 cm. De lengte van dit deel van het rietje is dus √10²+ 13²= √269 ≈ 16,4 cm.

Er steekt dus nog 7,6 cm van het rietje buiten het glas.

17 De vloer is een vierkant met zijden van √50 m. Dan is 𝐴𝐶 = √(√50)²+ (√50)² = 10. En dus is de gevraagde hoogte 𝑇𝑆 = √10²− 5²= √75 ≈ 8,67 m.

a

18 Bereken eerst een diagonaal van de vloer van de lift en daarmee de lichaamsdiagonaal. Je vindt ongeveer 3,5 m.

b Ja, dat kan omdat de linker en rechter zijvlaksdiagonalen √2²+ 2,5²≈ 3,20 zijn.

19 Bereken alle drie de zijden van de driehoek en controleer of de stelling van Pythagoras klopt. Nu is 𝐻𝐺 = 200 en 𝐻𝑃 = 𝑃𝐺 = √20000. En dan klopt de stelling van Pythagoras en is deze driehoek inderdaad rechthoekig.

20 Stel 𝐴𝐵 = u�. Dan is 𝐵𝑃 = 𝐵𝑇 = 10 − u�.

Even Pythagoras opgraven: 3²+ u�²= (10 − u�)².

Dit geeft 10 − 2u� = 9 en dus u� = 91 /20 = 4,55 . Punt 𝐵 zit 4,55 m boven de grond.

a

21 Omdat er twee gelijke hoeken zijn.

(28)

b √1²+ 1²= √2

c u�²+ u�²= 16²geeft u� = √128 ≈ 11,3 cm.

Je kunt ook de halve geodriehoek als gelijkbenige rechthoekige driehoek zien. Die is dan 8 bij 8 bij 8√2 en ook dat is ongeveer 11,3 cm.

d Als je twee van deze driehoeken met de langste rechthoekszijde tegen elkaar legt, krijg je een gelijkzijdige driehoek. De kortste rechthoekszijde is dan de helft van een zijde van die gelijkzijdige driehoek.

Als die kotste rechthoekszijde lengte 1 heeft, heeft de gelijkzijdige driehoek zijden met lengte 2.

e √2²− 1²= √3.

f De hypothenusa is dan 30 cm en de langste rechthoekszijde is 15√3 cm.

a

22 De diameter is ongeveer⁴⁰⁰⁰⁰_𝜋 ≈ 12732, dus de straal is ongeveer 6366 km.

b Maak een schets waarin je de Aarde als cirkel voorstelt met een straal van 6366 km. De tunnel van 300 km wordt een rechte lijn die twee punten 𝐴 en 𝐵 op het aardoppervlak verbindt. De straal van de Aarde teken je nu vanuit het middelpunt 𝑀 naar 𝐴 en naar 𝐵. Ook teken je die straal vanuit 𝑀 door het midden 𝑆 van 𝐴𝐵. Je kunt dan 𝑀𝑆 berekenen: 𝑀𝑆 ≈ √6366²− 150²≈ 6364 km. Dus zou de tunnel in het midden maar liefst 2 km diep komen te liggen!

a

23 Je vindt 𝐴𝐺 = √50.

b De stelling van Pythagoras in Δ𝐴𝐵𝐶 geeft: 𝐴𝐶²= u�²+ u�².

De stelling van Pythagoras in Δ𝐴𝐶𝐺 geeft: 𝐴𝐺²= 𝐴𝐶²+ u�²= u�²+ u�²+ u�². c 𝐴𝐺²= 5²+ 4²+ 3²= 50 geeft weer 𝐴𝐺 = √50.

2.3 Oppervlakte ruimteﬁguur

a

1 Zie ﬁguur.

b 12 ⋅ 18 +¹₂ ⋅ 12 ⋅ 6 = 252 cm².

c Het voorvlak kun je verdelen in een rechthoek van 12 bij 18 en twee rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden van 6 cm. Die driehoeken zijn gelijkbenig en rechthoekig en hebben dus twee hoeken

(29)

van 45^∘. In het hoogste punt van het voorvlak zitten daarom twee hoeken van 45^∘ tegen elkaar. De totale hoek is dan 90^∘.

d Het dak bestaat uit twee rechthoeken waarvan de éne iets groter is dan de andere vanwege de dikte van het hout. De openingen die door het dak worden afgedekt zijn rechthoeken van √6²+ 6²= √72 ≈ 8,5 cm bij 12 cm.

Het kleinste dakdeel is daarom 10,5 bij 16 cm en het grootste dakdeel is 11,5 bij 16 cm.

a

2 Een rechthoek.

b 𝐾𝐿 = √2²+ 2²= √8

c De bovenkant en de onderkant van het prisma zijn vijfhoeken met een oppervlakte van 6⋅6−¹₂⋅2⋅2 = 34 cm².

Het vlak 𝐾𝐿𝑀𝑁 heeft een oppervlakte van 6 ⋅ √8 cm².

De totale oppervlakte is daarom 2 ⋅ 6 ⋅ 6 + 2 ⋅ 6 ⋅ 4 + 34 + 6√8 = 154 + 6√8 cm². 3 𝐵𝑃 = 𝐶𝑄 = √8²+ 6²= 10.

De totale oppervlakte is 6 ⋅ 12 + 6 ⋅ 6 + 2 ⋅ 9 ⋅ 8 + 6 ⋅ 8 + 6 ⋅ 10 = 360 cm². 4 Het grondvlak heeft een oppervlakte van 100 cm².

Elk opstaand zijvlak heeft een hoogte van √10²− 5²= √75.

De totale oppervlakte is daarom 100 + 4 ⋅¹₂⋅ 10 ⋅ √75 = 100 + 20√75.

5 Elk opstaand grensvlak heeft een hoogte van √4²− 2²= √12.

De totale oppervlakte is daarom 4 ⋅¹₂⋅ 4 ⋅ √12 ≈ 27,71 cm². 6 Zie ﬁguur. Bereken eerst 𝐴𝑇 = 𝐶𝑇 = √52.

De oppervlakte is 6 ⋅ 6 + 2 ⋅¹₂⋅ 6 ⋅ 4 + 2 ⋅¹₂⋅ 6 ⋅ √52 = 60 + 6√52 cm².

7 Als je de in de lengte openknipt en plat legt, krijg je een rechthoek met een lengte van 1000 mm. De breedte is de omtrek van een cirkel met een straal van 8 mm. De gevraagde oppervlakte is daarom 2𝜋 ⋅ 8 ⋅ 1000 = 16000𝜋 ≈ 50265 mm².

a

8 Doen.

b Die twee punten moeten straks één punt worden op de grondcirkel.

De grondcirkel van de kegel heeft een omtrek van 2𝜋 ⋅ 2 = 4𝜋 cm.

De grote heeft een omtrek van 2𝜋 ⋅ 6 = 12𝜋 cm.

De grondcirkel is dus _12𝜋^4𝜋 = ¹₃ deel van de grote cirkel. De sectorhoek moet daarom ¹₃ ⋅ 360 = 120^∘ graden zijn.

c Doen.

d De oppervlakte van de grote cirkel is 𝜋 ⋅ 6²= 36𝜋. Van de kegelmantel is de oppervlakte dus ¹₃⋅ 36𝜋 = 12𝜋.

(30)

e Nu moet je eerst nog 𝐴𝑇 berekenen als 𝐴 een punt van de grondcirkel en 𝑇 de top is. Daarvoor gebruik je de stelling van Pythagoras: 𝐴𝑇 = √12²+ 5²= 13.

Nu heeft de grote cirkel een omtrek van 24𝜋 en de grondcirkel een omtrek van 10𝜋. De sector is dus

10𝜋

24𝜋=₁₂⁵ deel van de grote cirkel.

De oppervlakte van de grote cirkel is 𝜋 ⋅ 12² = 144𝜋. Van de kegelmantel is de oppervlakte dus

5

12⋅ 144𝜋 = 60𝜋.

a

9 De breedte van elk dakdeel (een rechthoekige driehoek) wordt 4 m genomen. De oppervlakte wordt zo iets te groot geschat en dat is beter dan dat alles krap berekend is.

b De voorgevel bestaat uit twee rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden van 8 en 4 m. De langste rechthoekzijde van een dakdeel is de hypothenusa van zo’n rechthoekige driehoek in de voorgevel.

Dus is de lengte √4²+ 8²= √80.

c Doen.

d Deze dakgoot is de hypothenusa van een dakdeel en is daarom √4²+ (√80)²= √96 m lang.

a

10 Zie ﬁguur.

De ribben in het grondvlak zijn 2 m en √1²+ 1²= √2 m.

De nok van de tent is 2 m.

Alle andere schuine opstaande ribben zijn √1²+ 1,5²= √3,25 m.

b Elke driehoek van de uitslag is gelijkbenig met twee benen van √3,25 m en een basis van √2 m. De hoogte daarvan is√(√3,25)²− (¹₂√2)²= √2,75 m.

De totale oppervlakte is 4 ⋅¹₂⋅ √2 ⋅ √2,75 + 2 ⋅ 2 ⋅ √3,25 ≈ 11,90 m². a

11 Teken een vooraanzicht en teken daarin rechthoekige driehoeken waarin je de stelling van Pythagoras kunt gebruiken om de lengtes van de twee dakdelen te berekenen.

Het rechter dakdeel heeft een lengte van √200²+ 35²≈ 203 cm.

Het linker dakdeel heeft een lengte van √100²+ 35²≈ 106 cm.

b De totale oppervlakte van het dak is ongeveer 200 ⋅ 203 + 200 ⋅ 106 = 61800 cm²en dat is ongeveer 6,18 m².

a

12 √240²+ 100²= 260 cm.

b De totale oppervlakte aan glas is ongeveer 2 ⋅¹₂⋅ (320 + 120) ⋅ 240 + 2 ⋅ 450 ⋅ 260 + 450 ⋅ 120 = 393600 cm²en dat is ongeveer 39,5 m².

13 De oppervlakte van de halve cilinder is¹₂⋅2𝜋⋅5,5⋅20 = 110𝜋 m². Je hebt dus voor ongeveer 110𝜋⋅1,5 ≈ 518,4 m²verf nodig.

a

14 De hoogte van die piramide is 35 cm. Driehoek 𝐴𝐵𝑇 heeft een basis van 200 en een hoogte van

√90²+ 35²= √9325. En dus een oppervlakte van ¹₂⋅ 200 ⋅ √9325 = 100√9325.

b Driehoek 𝐵𝐶𝑇 heeft een basis van 180 en een hoogte van √100²+ 35²= √11225. En dus een oppervlakte van¹₂⋅ 180 ⋅ √11225 = 90√11225.

c De totale oppervlakte van het dak is 200 ⋅ √9325 + 180 ⋅ √11225 ≈ 38384 cm².