Kwadratische verbanden

a 1 Zie tabel. u� 0 1 2 3 4 5 u� 0 1 4 9 16 25 b Zie tabel. u� −1 −2 −3 −4 −5 u� 1 4 9 16 25

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > KWADRATISCH EN EXPONENTIEEL

c Zie figuur. Deze figuur is gemaakt met behulp van GeoGebra.

d Volgens de formule u� = 2,5²= 6,25.

Trek je een recht lijnstukje tussen (2, 4) en (3, 9), dan zit halverwege het punt (2,5; 6,5) en klopt bij u� = 2,5 de waarde van u� (namelijk 6,5) niet met de waarde volgens de formule.

Dit kun je voor veel meer punten controleren! a

2 De waarden die u� kan aannemen zijn in principe onbeperkt, dus je kunt nooit de hele grafiek zien. b Nee, negatieve u�-waarden zijn bij deze formule niet mogelijk.

c Voor u� = 3 en voor u� = −3. d Voor u� = √10 en voor u� = −√10.

a

3 Zie de tabel.

u� −4 0 4 8 10 12 16 20 24

ℎ −0,46 0,50 1,14 1,46 1,50 1,46 1,14 0,50 −0,46

b Doen. Denk er aan dat de grafiek ook bestaat voor waarden die voor de baan van de tennisbal niet kunnen.

c De verticale lijn door (10; 1,5). d Het punt (10; 1,5).

e Het net staat (zie figuur in de uitleg) op 12 m van het tenniskanon. Als je u� = 12 invult in de formule, krijg je ℎ = 1,46. Dus de bal zit dan op 1,46 m hoogte en het net is maar 1 m hoog.

f ℎ = 0 als u� ≈ 22,2 m. a

4 Doen.

b Je kunt natuurlijk de tabel op veel manieren aanpassen, gewoon dezelfde u�-waarden nemen en opnieuw de uitkomsten uitrekenen is op zich prima. Maar het gemakkelijkst is het verhogen van alle u�-waarden

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > KWADRATISCH EN EXPONENTIEEL

STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 41

met 10; je hoeft dan de u�-waarden niet te veranderen!

Teken nu zelf de grafiek. Hij ziet er hetzelfde uit als die bij a, alleen 10 naar rechts geschoven. De top wordt (10, 0).

c In de tabel vermenigvuldig je alle uitkomsten met −0,01. De grafiek wordt dan een bergparabool en hij wordt ‘platter’ omdat alle uitkomsten met 0,01 worden vermenigvuldigd.

d In de tabel tel je bij alle uitkomsten 1,5 op. De grafiek wordt dan 1,5 naar boven verschoven.

e Je begint met de grafiek van u� = u�² evenwijdig aan de u�-as 10 naar rechts te verschuiven. Dan verme-nigvuldig je alle uitkomsten van de grafiek die daarbij ontstaat met −0,01 om de volgende grafiek te krijgen. Deze grafiek wordt dan tenslotte nog 1,5 omhoog (evenwijdig aan de u�-as) geschoven. a

5 Je krijgt de formule u� = 0,5 ⋅ (u� − 1)²+ 3.

Je begint met de grafiek van u� = u�² evenwijdig aan de u�-as 1 naar rechts te verschuiven. Dan verme-nigvuldig je alle uitkomsten van de grafiek die daarbij ontstaat met 0,5. Tenslotte schuif je de grafiek nog 3 omhoog (evenwijdig aan de u�-as). Controleer dit met de applet.

b Je krijgt de formule u� = 2 ⋅ (u� − 1)²− 3.

Je begint met de grafiek van u� = u�²evenwijdig aan de u�-as 1 naar rechts te verschuiven. Dan vermenig-vuldig je alle uitkomsten van de grafiek die daarbij ontstaat met 2. Tenslotte schuif je de grafiek nog 3 omlaag (evenwijdig aan de u�-as). Controleer dit met de applet.

c Je krijgt de formule u� = −(u� − 2)²+ 4.

Je begint met de grafiek van u� = u�² evenwijdig aan de u�-as 2 naar rechts te verschuiven. Dan verme-nigvuldig je alle uitkomsten van de grafiek die daarbij ontstaat met −1. Tenslotte schuif je de grafiek nog 4 omhoog (evenwijdig aan de u�-as). Controleer dit met de applet.

d Doen.

a

6 Je begint met de grafiek van u� = u�² evenwijdig aan de u�-as 5 naar rechts te verschuiven. Dan verme-nigvuldig je alle uitkomsten van de grafiek die daarbij ontstaat met −0,5. Tenslotte schuif je de grafiek nog 8 omhoog (evenwijdig aan de u�-as).

b De verticale lijn door de top (5, 8).

c Maak een tabel. Je vindt (0, −4,5) op de u�-as en (1, 0) en (9, 0) op de u�-as a

7 Bekijk de tabel in het voorbeeld voor het antwoord.

b Omdat je dan een te klein deel van de grafiek krijgt te zien. De top van de parabool wordt nog niet bereikt.

c Doen. (Je weet al hoe de grafiek er uit ziet!)

d Bij u� = 1 vind je ℎ = 0,69. Dezelfde uitkomst vind je bij u� = 21. a

8 Maak een grafiek bij deze tabel.

u� −2 −1 0 1 2 3 3

u� 14 4 −2 −4 −2 4 14

b De symmetrieas is de verticale roosterlijn door de top (1, −4).

c Uit de grafiek kun je aflezen dat er twee waarden voor u� zijn waarbij de uitkomst 0 is. Dat zijn u� ≈ −0,4 en u� ≈ 2,4. Vul je deze waarden stuk voor stuk in de formule in, dan krijg je beide keren ongeveer 0 als uitkomst. (Helemaal precies lukt dit niet, je gevonden waarden zijn maar benaderingen!)

a

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > KWADRATISCH EN EXPONENTIEEL

u� −8 −6 −4 −3 −2 −1 0 2 4

u� 4,95 0,55 −2,25 −3,05 −3,45 −3,45 −3,05 −1,05 2,55

b Omdat de uitkomsten bij u� = −1 en u� = −2 gelijk zijn (net als die bij u� = 0 en u� = −3) is de symmetrieas is de verticale roosterlijn waarvoor geldt u� = −1,5. De top heeft dus ook als u�-waarde −1,5. Als je deze waarde invult in de formule krijg je u� = −3,5. De top is dus (−1,5; −3,5). (Overigens kun je deze top ook wel direct uit de formule aflezen. Controleer dat en onthoud hoe je die top uit de formule kunt halen.)

c Uit de grafiek kun je aflezen dat er twee waarden voor u� zijn waarbij de uitkomst 1 is. Dat zijn u� ≈ −6,2 en u� ≈ 3,2. Vul je deze waarden stuk voor stuk in de formule in, dan krijg je beide keren ongeveer 1 als uitkomst. (Helemaal precies lukt dit niet, je gevonden waarden zijn maar benaderingen!)

d Deze vergelijking heeft maar één oplossing, namelijk u� = −1,5. e Deze vergelijking heeft geen oplossingen, dat zie je in de grafiek. a

10 Omdat het getal waarmee je het kwadraat vermenigvuldigt negatief is, krijg je een bergparabool. De u�-coördinaat van de top lees je binnen het kwadraat (dus binnen de haakjes) af: als u� = 3 is het kwadraat in zijn geheel 0 en dat is de uiterste waarde die een kwadraat kan hebben. Als dat kwadraat dan 0 is, blijft alleen u� = 4 als uitkomst over. De top is dus (3, 4).

b Teken de grafiek bij deze tabel.

u� −1 0 1 2 3 4 5 6 7

u� −4 −0,5 2 3,5 4 3,5 2 −0,5 −4

c Doen. a

11 Dalparabool met top (1, 5). b Dalparabool met top (−2, 1). c Dalparabool met top (4, 1). d Bergparabool met top (−2, 0).

e Dalparabool met top (0, 4). f Bergparabool met top (1, 4). a

12 ℎ = 2,2 m. b Het punt (3, 4).

c Doen, je hebt de figuur nodig voor d.

d Op ongeveer 5,2 m voor de verticale lijn door het midden van de basket. a

13 Dalparabool met top (6, 1) en als symmetrieas de verticale lijn door deze top. b Bergparabool met top (−2, 0) en als symmetrieas de verticale lijn door deze top. c Bergparabool met top (10, 100) en als symmetrieas de verticale lijn door deze top. d Dalparabool met top (0, −4) en als symmetrieas de u�-as.

a

14 90 km/uur is 25 m/s. En dan is 𝑅 = 25²/16 ≈ 39,1 m. b Maak een grafiek bij deze tabel.

u� 0 10 20 30 40

u� 0 6,25 25 56,25 100

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > KWADRATISCH EN EXPONENTIEEL

STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 43

d De oplossing van de vergelijking is u� ≈ 32,2 m/s en dat is ongeveer 116 km/uur. a

15 Bergparabool met top (−2, 1). b Dalparabool met top (0, 2).

c Formule herleiden: u� = 4(u� − 3) + 2 = 4u� − 4. Lineaire formule met richtingscoëfficiënt 4. d Bergparabool met top (3, 8).

a

16 Teken grafieken bij deze tabel.

u� −2 −1 0 1 2 3 4 5

u�1 3 1 0 0 1 3 6 10

u�2 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

b De formule u�1= 0,5u�²− 0,5u� hoort bij een kwadratisch verband, de grafiek is (lijkt) een parabool. De grafiek van u�2= 0,5u� + 1 is in ieder geval een rechte lijn.

c Het gaat om de u�-waarden van beide snijpunten. Uit de grafiek lees je af: u� ≈ 0,7 of u� ≈ 2,7. Ga zelf na dat deze waarden voor u� voor u�1en u�2(vrijwel) hetzelfde opleveren.

a

17 Iedere speler speelt tegen u� − 1 tegenspelers. b Zie tabel.

u� 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

u� 0 90 380 870 1560 2450 3540 4830 6320 8010 9900

c Gebruik de grafiek en verfijn de tabel. Je vindt dat dit het geval is bij maximaal 71 deelnemers. a

18 Substitueer u� = 640 in de formule.

b Substitueer u� = 0 in de formule en je vindt u� = 3 m.

c Substitueer u� = 7,5 (of u� = −7,5) in de formule en je vindt u� ≈ 3,02 m. d Substitueer u� = 622,5 (of u� = −622,5) in de formule en je vindt u� ≈ 144 m.

a

19 Zie tabel. Bij u� = −1 is de verandering ten opzichte van u� = −2 ingevuld.

u� −1 0 1 2 3 4 5

u� 3 5 7 9 11 13 15

verandering 2 2 2 2 2 2 2

b Zie tabel. Bij u� = −1 is de verandering ten opzichte van u� = −2 ingevuld.

u� −1 0 1 2 3 4 5

u� 7 5 7 13 23 37 55

verandering −6 −2 2 6 10 14 18

tweede verandering 4 4 4 4 4 4 4

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > KWADRATISCH EN EXPONENTIEEL

In document Wiskunde voor 2 havo (pagina 41-46)