Wiskunde voor 1 havo/vwo

(1)

1 havo/vwo

Deel 2

Versie 2013

Samensteller

(2)

Het auteursrecht op dit lesmateriaal berust bij Stichting Math4All. Math4All is derhalve de rechtheb- bende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie.

Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal

Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0).

Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via info@math4all.nl.

Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

(3)

1 Hoeken 5 1.1 Hoeken 6 1.2 Hoeken meten 12 1.3 Hoeken tekenen 19 1.4 Gelijke hoeken 25 1.5 Hoeken berekenen 31 1.6 Totaalbeeld 36

2 Negatieve getallen 41 2.1 Wat is negatief? 42

2.2 Negatieve getallen optellen 48 2.3 Negatieve getallen aftrekken 54

2.4 Negatieve getallen vermenigvuldigen 61 2.5 Negatieve getallen delen 67

2.6 Totaalbeeld 72

3 Graﬁeken 77

3.1 Globale grafieken 78 3.2 Grafieken aflezen 86 3.3 Grafieken tekenen 94 3.4 Som- en verschilgrafiek 100 3.5 Maximum en minimum 106 3.6 Periodieke grafieken 114 3.7 Totaalbeeld 121

4 Kijkmeetkunde 127 4.1 Kijklijnen 128 4.2 Kijkhoeken 136 4.3 Aanzichten 142 4.4 Bouwtekeningen 150 4.5 Perspectief 152 4.6 Totaalbeeld 158

5 Verbanden 165 5.1 Verbanden 166 5.2 Formules 172

5.3 Van formule naar graﬁek 178 5.4 Kort maar krachtig 184 5.5 Vergelijkingen 191 5.6 Totaalbeeld 198

(4)

6 Diagrammen 203 6.1 Schema's 204

6.2 Afstandstabellen 213 6.3 Gemiddelden 220 6.4 Frequentietabellen 225 6.5 Diagrammen 233 6.6 Steelbladdiagram 242 6.7 Cirkeldiagram 247 6.8 Totaalbeeld 254

Register 260

(5)

www.math4all.nl. In de tekst staan dan ook regelmatig verwijzingen naar die website. Waar je precies moet zijn op die website kun je zien in de kopregel van iedere pagina.

Bij bestudering van het lesmateriaal kom je in de tekst ook aanwijzingen tegen. Je ziet dan bijvoorbeeld in de tekst:

Bekijk eerst:

www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Afstanden > Toepassen Je kunt met de muis elk deel van de wereld bekijken en er op inzoomen.

Als zo’n aanwijzing in een opgave staat, kun je die opgave waarschijnlijk alleen maar maken als je inderdaad op de website hebt gekeken.

Ieder hoofdstuk bestaat uit een aantal paragrafen en wordt steeds afgesloten met een paragraaf To- taalbeeld waar de leerstof wordt samengevat en/of herhaald. Iedere paragraaf is ingedeeld in vaste rubrieken die houvast geven bij de bestudering van het lesmateriaal.

> Verkennen

> Uitleg

> Theorie en Voorbeelden

> Verwerken

> Toepassen

Indien er in het lesmateriaal wordt verwezen naar werkbladen dan kun je deze terugvinden op de website.

(6)

(7)

1 ^Hoeken

Hoeken 6 Hoeken meten 12 Hoeken tekenen 19 Gelijke hoeken 25 Hoeken berekenen 31 Totaalbeeld 36

(8)

1.1 Hoeken

Verkennen

Opgave 1

Hier zie je de plattegrond van een appartement in een ﬂatgebouw. Hij staat ook op het werkblad.

Er zijn nogal wat kamers die niet de vorm van een rechthoek hebben.

a Welke kamers hebben de vorm van een rechthoek?

b De hobbyruimte heeft twee rechte hoeken. Geef die met een rechte hoek teken aan.

c De hobbyruimte heeft ook twee hoeken die niet recht zijn. Eén van beide noem je scherp en de andere stomp. Zet een tekentje in de scherpe hoek.

d Op welke schaal is deze tekening gemaakt?

e In de hobbyruimte moeten vierkante plavuizen van 40 cm bij 40 cm op de vloer komen. Teken de hobbyruimte na en teken in je ﬁguur de plavuizen.

f Hoeveel plavuizen moeten in de juiste vorm worden geslepen?

Uitleg

Iedere hoek heeft een hoekpunt en twee benen.

Bij het hoekpunt zet je een hoofdletter. In de hoek zet je een boogje.

De naam van de hoek is: hoek 𝐴.

In plaats van hoek 𝐴 schrijf je ook wel ∠𝐴.

In een ingewikkelde ﬁguur gebruik je meestal drie letters om een hoek aan te geven.

De middelste letter hoort dan bij het hoekpunt.

In deze ﬁguur is ∠𝐵𝐴𝐶 door een boogje aangegeven.

(9)

Deze vierhoek stelt een op maat geslepen vloertegel voor. Er zijn vier hoeken.

a Welke van deze vier hoeken is recht?

b Welke benen heeft ∠𝐵?

c Welke hoeken zou je kleiner noemen dan de rechte hoek?

Opgave 3

Teken de ﬁguur in de Uitleg op pagina 6na. (Hij hoeft niet precies hetzelfde te zijn, maar wel ongeveer die vorm hebben.)

a Waarom moet je de hoeken bij 𝐴 met drie letters aangeven?

b Schrijf beide hoeken bij 𝐴 met drie letters op. Zijn ze gelijk, denk je?

c Waarom is dat voor ∠𝐶 niet noodzakelijk?

d Zet een sterretje in ∠𝐴𝐷𝐸 en een rondje in ∠𝐴𝐸𝐷. Welke van beide lijkt je groter?

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

De benen van hoek B staan verder uit elkaar dan de benen van hoek A:

∠𝐵 > ∠𝐴.

Hoek C is gelijk aan hoek A, alleen de benen zijn korter:

∠𝐶 = ∠𝐴

De lengten van de benen van de hoek hebben geen invloed op de grootte van de hoek. (Eigenlijk hebben die benen helemaal geen lengte, het zijn halve lijnen die in het hoekpunt beginnen maar oneindig ver doorlopen.)

(10)

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN

Opgave 4

Hier zie je de vierhoek van opgave 2 op pagina 7nog eens.

a Welke hoek is het grootst?

b Welke hoek is het kleinst?

c Zet alle hoeken op volgorde van klein naar groot.

Opgave 5

Je ziet hier zes hoeken.

a Welke hoek lijkt op het eerste gezicht het grootst? Hoe kun je zeker weten of hij dat ook is?

b Welke hoeken zijn even groot?

c Schrijf de hoeken op van klein naar groot.

Voorbeeld 2

Sommige bijzondere hoeken hebben een naam gekregen:

> Als beide benen loodrecht op elkaar staan spreek je van een rechte hoek.

> Een hoek die kleiner is dan een rechte hoek heet een scherpe hoek.

> Als beide benen in elkaars verlengde liggen, spreek je van een gestrekte hoek.

> Een hoek die kleiner is dan een gestrekte hoek, maar groter dan een rechte hoek is een stompe hoek.

> Een hoe die groter is dan een gestrekte hoek heet een overstrekte hoek.

(11)

Bekijk de ﬁguur van opgave 2 op pagina 7nog eens.

a Welke hoek is stomp?

b Welke hoeken zijn scherp?

c Controleer met de rechte hoek van je geodriehoek dat ∠𝐴 inderdaad recht is.

Opgave 7

Schrijf bij elk van de hoeken van opgave 5 op pagina 8of hij scherp, of recht, of stomp is.

Opgave 8

Teken een stompe hoek met hoekpunt 𝐴.

a Verdeel ∠𝐴 in twee scherpe hoeken. Lukt dit altijd?

b Verdeel ∠𝐴 in een stompe en een scherpe hoek. Lukt dit altijd?

c Kun je ∠𝐴 in twee stompe hoeken verdelen?

d Kun je ∠𝐴 altijd verdelen in een rechte hoek en een scherpe hoek?

Opgave 9

Bekijk de plattegrond van het appartement in opgave 1 op pagina 6. Let op de entree.

a Hoeveel stompe hoeken heeft de entree? Zijn er ook scherpe hoeken?

b Hoeveel rechte hoeken heeft de entree?

c Eén van de hoeken van de entree is een overstrekte hoek. Waar zit die hoek?

d Hoeveel scherpe hoeken heeft de woonkamer?

Verwerken

Opgave 10

Hieronder staan zes verschillende hoeken getekend.

(12)

a Zet ze op volgorde van klein naar groot.

b Welke hoeken zijn scherp?

c Welke hoeken zijn stomp?

d Welke hoek is gestrekt? En welke is overstrekt?

Opgave 11

Een muur op een zolderkamer moet behangen worden. De muur is 3 meter lang en de banen behang zijn 50 cm breed. Op één rol zit 8 m behang. De eerste baan behang zit er al op.

a Welke hoek is de grootste hoek van deze muur?

b De rol behang is scheef afgesneden. Wanneer je een nieuwe baan afsnijdt past het scheef afgesneden stuk dan precies op het volgende stuk muur?

c Hoeveel rollen behang zijn er nodig voor deze muur?

Opgave 12

Je kent vast het tangramspel nog wel. In driehoek nummer 3 zie je een rondje en een rechte hoek teken staan. Deze ﬁguur staat ook op het werkblad.

a Zet in iedere hoek die ook recht is het rechte hoek teken.

b Zet een rondje in de hoeken die gelijk zijn aan de hoek waar een rondje in staat.

c Zijn de hoeken waar geen rechte hoek teken of rondje in staat gelijk aan elkaar? Zet in de gelijke hoeken hetzelfde tekentje.

(13)

Hier zie je een rechthoekig trapezium met daarin twee diagonalen.

Hierin geef je hoeken met drie letters aan.

a Schrijf de twee rechte hoeken met drie letters op.

b Is ∠𝐴𝑆𝐵 scherp of stomp?

c Welke hoek is even groot?

Toepassen

Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting.

Opgave 14: De wijzers van een klok

De wijzers van een klok vormen een hoek. Daarmee wordt meestal de kleinste hoek bedoeld die ze met elkaar maken. Zie

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken > Toepassen

a Waarom is het belangrijk om af te spreken dat de hoek tussen de wijzers van een klok de kleinste hoek is?

b Maken de wijzers om 4:00 uur een scherpe of een stompe hoek met elkaar?

c En wat voor hoek maken ze als het 4:30 uur is?

d Op welk tijdstip maken de wijzers een gestrekte hoek met elkaar. Geef één voorbeeld.

e Op welke twee gehele uren maken de wijzers van de klok een rechte hoek met elkaar?

Opgave 15: Biljart

Als een biljartbal tegen de donkergroene rand van het biljart stuit, maakt hij een bepaalde hoek. De speler die aan de beurt is om te stoten speelt met de witte bal rechtsonder op het biljart.

Teken de baan die deze witte bal moet aﬂeggen om als eerste de rode bal te raken via één band. Schrijf in de hoek die de bal bij deze band maakt of hij scherp is of stomp. Gebruik de ﬁguur op het werkblad.

(14)

1.2 Hoeken meten

Verkennen

Opgave 1

Hier zie je een windroos met de windrichtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk van die hoekjes heet 1 graad. Bij het Noorden (N) hoort 0 graden (en dus ook 360 graden).

a Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzet- ten?

b Geldt dit ook voor andere windrichtingen?

c Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

d Hoeveel graden hoort er bij het Noord-Oosten? En bij Noord-Noord-Oost?

e Hoeveel graden hoort er bij Zuid? En bij Zuid-Zuid-Oost?

f Hoeveel graden hoort er bij West? En bij West-Noord-West?

Uitleg

Als je wilt weten hoe groot een hoek precies is, moet je er een cirkel opleggen met het middelpunt precies in het hoekpunt. Op die cirkel maak je dan een schaalverdeling, bijvoorbeeld een verdeling in 12 uren zoals op een klok.

Het is tegenwoordig gebruikelijk om zo’n cirkel in 360 gelijke hoekjes te verdelen die graden heten.

Een kompasroos bijvoorbeeld is verdeeld in 360 graden. Je ziet de schaalverdeling op de cirkel lopen van 0 tot 360. (Hoewel de 0 niet is neergezet, want op dezelfde plaats als 360.)

Elk hoekje is 1 graad.

Je schrijft 1°.

Op je geodriehoek (geometrische driehoek, ‘geometrie’ is ‘meetkun-

de’) staat een halve kompasroos, die dus loopt van 0° tot 180°. Bekijk je geodriehoek maar eens goed.

Je gebruikt hem om hoeken te meten.

Opgave 2

Gegeven is een rechte hoek 𝐴.

a Teken ∠𝐴. Hoeveel graden passen er in de rechte hoek?

b Hoeveel graden is de helft van een rechte hoek? Is zo’n hoek scherp of stomp?

c Hoeveel graden is een kwart van een rechte hoek? Is zo’n hoek scherp op stomp?

(15)

Bekijk je geodriehoek.

a Welke verschillen zijn er tussen de verdeling in graden van de kompasroos (of windroos) en de geodriehoek?

b Hoe groot (dus hoeveel graden) is een gestrekte hoek?

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Als je helemaal ronddraait leg je 360° af:

een volle hoek is 360°.

Dit betekent:

> een rechte hoek is een kwart van zo’n volle hoek, dus 90°

> een gestrekte hoek is de helft van een volle hoek, dus 180°

> een scherpe hoek ligt tussen de 0° en de 90° in

> een stompe hoek ligt tussen 90° en 180° in

Opgave 4

Je ziet hier een scherpe hoek en een stompe hoek.

a Tussen welke aantallen graden ligt de scherpe hoek 𝐵?

b Is ∠𝐵 kleiner of groter dan een halve rechte hoek?

c Schat de grootte van ∠𝐵.

d Schat ook de grootte van ∠𝐴.

Opgave 5

Bij het werken met de geodriehoek is het vooraf schatten van de grootte van een hoek erg handig. Er staan immers telkens twee getallen bij een maatstreepje.

Je ziet hier zes hoeken.

Schat van elk hoek de grootte.

(16)

Voorbeeld 2

Zo moet je de geodriehoek op een hoek leggen om hem te meten:

Opgave 6

Hier en op het werkblad zie je een driehoek met drie scherpe hoeken. Om te meten hoeveel graden die hoeken zijn gebruik je je geodriehoek. Soms moet je de zijden van de driehoek langer maken.

a Schat eerst de grootte van ∠𝐴.

b Leg vervolgens je geodriehoek zo op deze hoek, dat de 0 (het midden van de langste zijde) op het hoekpunt 𝐴 ligt, de langste zijde langs een been van de hoek ligt en de hoek wordt bedekt. Bepaal nu de grootte van ∠𝐴 in graden nauwkeurig.

c Meet vervolgens de twee andere hoeken.

(17)

Het meten van een scherpe hoek kun je oefenen via

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken meten > Practicum

Je maakt eerst een scherpe hoek door de punten 𝐴, 𝐵 en 𝐶 te verplaatsen. Dan draai je met het punt

‘draaien’ de geodriehoek in de goede stand en verschuif je hem met ‘verschuiven’ naar de goede plek.

Je kunt de driehoek nog een beetje bijdraaien en verschuiven tot hij precies goed ligt. Lees nu het juiste aantal graden af en controleer je antwoord. Oefen jezelf (of met een medeleerling).

Voorbeeld 3

Bij het meten van een hoek moet je er goed op letten of hij scherp of stomp is!

Hier zie je hoe een stompe hoek wordt gemeten: ∠𝐴 ≈ 142°.

Opgave 8

Hier en op het werkblad zie je een driehoek met twee scherpe en één stompe hoek. Om te meten hoeveel graden die hoeken zijn gebruik je je geodriehoek. Soms moet je de zijden van de driehoek langer maken.

a Welke hoek is stomp?

b Waarom kan een driehoek geen twee stompe hoeken hebben?

c Schat eerst de grootte van de stompe hoek en meet hem vervolgens in graden nauwkeurig.

(18)

Opgave 9

Het meten van een stompe hoek kun je ook oefenen via

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken meten > Practicum

Je maakt eerst een stompe hoek door de punten 𝐴, 𝐵 en 𝐶 te verplaatsen. Je legt dan de geodriehoek op de juiste plaats. Lees nu het juiste aantal graden af en controleer je antwoord. Oefen jezelf (of met een medeleerling).

Opgave 10

Leg uit hoe je met je geodriehoek een overstrekte hoek meet. Geef een voorbeeld.

Verwerken

Opgave 11

Hieronder en op het werkblad staan zes verschillende hoeken getekend.

Meet elke hoek in graden nauwkeurig.

Opgave 12

Hier en op het werkblad zie je een plattegrond de kamer van Marie- ke. Ze krijgt nieuwe vloerbedekking. Dat zijn vloertegels van 50 cm bij 50 cm. Om ze in de juiste vorm te snijden meet ze de hoeken van haar kamer die niet recht zijn.

a Meet alle niet rechte hoeken van Marieke’s kamer.

b Teken de vloertegels op de plattegrond.

c Hoeveel hele tegels heeft ze nodig? En hoeveel moeten er worden bijgesneden?

(19)

DeToren van Pisastaat scheef.

Meet op de foto hiernaast de hoek die de toren van Pisa met de grond maakt. Hoeveel graden wijkt dit af van de 90°?

Opgave 14

Je ziet hier en op het werkblad een driehoek en een pijlpuntvlieger.

a Meet de hoeken van de driehoek in graden nauwkeurig.

b Hoeveel graden zijn de hoeken van deze driehoek samen?

c Meet de hoeken van de pijlpuntvlieger in graden nauwkeurig.

d Hoeveel graden zijn de hoeken van deze pijlpuntvlieger samen?

Opgave 15

Hier zie je een rechthoekig trapezium met daarin twee diagonalen. Hierin geef je hoeken met drie letters aan.

a Meet ∠𝐴𝑆𝐵. Gebruik de ﬁguur op het werkblad.

b Welke hoek is even groot? Controleer je antwoord door meten.

c Meet de hoeken 𝐴𝐵𝐶 en 𝐵𝐶𝐷. Hoeveel graden zijn de hoeken van het trapezium samen?

(20)

Toepassen

Opgave 16: Hoekmeter

Er bestaan allerlei instrumenten om hoeken te meten. Ze worden vooral gebruikt in de bouw en door landmeters. Lees hierover

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken meten > Toepassen

Maak een overzicht van minstens drie verschillende hoekmeters en de beroepen waarbij ze gebruikt worden. Beschrijf ook hoe ze worden gebruikt.

Opgave 17: Vliegerij

Je ziet hier op het werkblad een kaart van een deel van Nederland.

Elke cm op deze kaart is 5 km. Je kunt vliegveld Teuge zien liggen. Een vliegtuig vliegt een bepaalde afstand met een bepaalde koers. De afstand geef je in km en de koers in graden. Die koers is steeds een hoek met het Noorden, net als op de kompasroos met de wijzers van de klok mee gemeten. Als je aangeeft dat een vliegtuig vliegt volgens (40°|20) dan bedoel je dat het 20 km vliegt met een koers van 40° ten opzichte van het Noorden. (40°|20) heet de koersvector.

Je ziet hier een vlucht getekend. Die vlucht kan worden beschreven door vier koersvectoren.

a Schrijf elk van die vier koersvectoren op.

b Bedenk zelf zo’n rondvlucht vanaf Teuge en laat een medeleerling de koersvectoren bepalen.

(21)

Opgave 1

In de vliegerij wordt de vliegrichting bepaald met een kompasroos zoals deze. Je gaat nu op roosterpapier een koers uitzetten, 1 cm komt overeen met 1 km. Een koers is een aantal graden ten opzichte van het Noor- den, gemeten met de wijzers van de klok mee.

a Teken eerst op doorzichtig papier zelf een kompasroos, trek eventueel de ﬁguur hierboven over. Punt 𝑉 stelt het vliegveld voor, zet het ergens als roosterpunt op je roosterpapier.

b Je wilt eerst 5 km met een koers van 30° vliegen. Teken dit op je papier, gebruik je kompasroos op doorzichtig papier.

c Vervolgens ga je 6 km met een hoek van 110°. Teken dit.

d Daarna wil je weer terug naar het vliegveld 𝑉. Wat wordt je koers?

Uitleg

Zo teken je met je geodriehoek een hoek:

> Teken het hoekpunt en het eerste been van de hoek.

> Leg de lange zijde van je geodriehoek langs dit been met de 0 op de plaats van het hoekpunt.

Zet een streepje bij het juiste aantal graden (is het een scherpe of een stompe hoek?).

> Teken het tweede been van de hoek.

> Zet de juiste letter bij het hoekpunt.

In Voorbeeld 1 op pagina 20zie je hoe je een scherpe hoek tekent. In Voorbeeld 2 op pagina 21zie je hoe je een scherpe hoek tekent.

Opgave 2

Je wilt een hoek 𝐴 tekenen van 30°.

a Teken het hoekpunt 𝐴 en één been van de hoek.

b Teken nu aan de hand van de beschrijving in de uitleg de gevraagde hoek 𝐴.

c Laat een medeleerling je tekening controleren door de hoek na te meten.

(22)

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Hier zie je het tekenen van een scherpe hoek: ∠𝐴 = 72°.

Opgave 3

Teken de volgende hoeken: ∠𝐴 = 60°, ∠𝐵 = 24° en ∠𝐶 = 87°.

Opgave 4

Maak de volgende ﬁguur af als ∠𝐷 = 31° en ∠𝐸 = 76°. Gebruik het werkblad.

(23)

Hier zie je het begin van een driehoek 𝐴𝐵𝐶. 𝐴𝐵 = 6 cm, ∠𝐴 = 45° en ∠𝐵 = 70 °.

a Teken zelf deze ﬁguur en teken ∠𝐵 in punt 𝐵 zo, dat je Δ𝐴𝐵𝐶 krijgt.

b Hoe groot is ∠𝐶?

Voorbeeld 2

Hier zie je het tekenen van een stompe hoek: ∠𝐴 = 113°.

Opgave 6

Teken de volgende hoeken: ∠𝐴 = 160°, ∠𝐵 = 124° en ∠𝐶 = 97°.

(24)

Opgave 7

Maak de volgende ﬁguur af als ∠𝐷 = 131° en ∠𝐸 = 93°. Gebruik het werkblad.

Opgave 8

Hier zie je het begin van een driehoek 𝐴𝐵𝐶. 𝐴𝐵 = 6 cm, ∠𝐴 = 30° en ∠𝐵 = 100 °.

a Teken de ﬁguur na. Teken ∠𝐵 in punt 𝐵 zo, dat je Δ𝐴𝐵𝐶 krijgt.

b Hoe groot is ∠𝐶?

Verwerken

Opgave 9

Teken de volgende vier hoeken: ∠𝐴 = 65°, ∠𝐵 = 170°, ∠𝐶 = 111° en ∠𝐷 = 14°.

Opgave 10

Hier zie je een plattegrond de kamer van Marieke. Ze krijgt nieuwe vloerbedekking. Dat zijn vloertegels van 50 cm bij 50 cm. Om ze in de juiste vorm te snijden meet ze de hoeken van haar kamer die niet recht zijn.

a Meet alle niet rechte hoeken van Marieke’s kamer. Gebruik het werkblad.

b Teken de vier vloertegels die moeten worden bijgesneden en in de niet rechte hoeken moeten komen.

(25)

Van driehoek 𝐴𝐵𝐶 is het begin getekend. ∠𝐶 = 62°.

a Maak de driehoek af. Gebruik het werkblad.

b Meet de grootte van ∠𝐴 en ∠𝐵 in graden nauwkeurig.

c Hoeveel graden zijn de hoeken van de driehoek samen?

Opgave 12

Een robot beweegt op een groot vlak. Hij begint in punt 𝑆 (het startpunt) in een bepaalde richting vooruit te rijden. Je kunt zijn bewegingsrichting veranderen met een afstandsbediening. Daarmee kun je een hoek instellen.

Stel je bijvoorbeeld 10° in, dan draait de bewegingsrichting tegen de wijzers van de klok in met 10°.

a Je laat de robot eerst 5 cm vooruit bewegen, dan 4 cm onder 10°, dan 3 cm onder 20°, dan 2 cm onder 30° en tenslotte 1 cm onder 40°. Teken de baan van de robot.

b Je laat de robot nu rechtstreeks naar het startpunt teruglopen. Hoeveel cm en onder welke hoek moet hij lopen?

c Je laat de robot eerst 4 cm vooruit lopen, dan 4 cm onder 10°, dan 4 cm onder 20°, enzovoorts. Steeds dezelfde afstand, maar een hoek die telkens 10° groter wordt. Komt deze robot weer in het startpunt 𝑆 uit?

d Wat gebeurt er als je de robot eerst 4 cm vooruit lopen, dan 5 cm onder 10°, dan 6 cm onder 20°, enzovoorts. Steeds wordt de afstand 1 cm groter en hoek 10° groter.

Toepassen

Opgave 13: Driehoeken tekenen

Een driehoek wordt vaak bepaald door drie gegevens: een zijde en twee hoeken, twee zijden en een hoek, drie zijden. Lees hierover

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken tekenen > Toepassen

a Teken zelf beide driehoeken die worden beschreven.

b Teken Δ𝐾𝐿𝑀 met ∠𝐾 = 60°, ∠𝑀 = 40° en 𝐾𝑀 = 4 cm. Meet vervolgens de grootte van ∠𝐿.

c Teken Δ𝐷𝐸𝐹 met ∠𝐸 = 117°, 𝐷𝐸 = 4 cm en 𝐸𝐹 = 3 cm. Meet vervolgens beide andere hoeken van de driehoek.

d Teken Δ𝐺𝐻𝐼 met 𝐺𝐻 = 5 cm, 𝐻𝐼 = 4 cm en 𝐺𝐼 = 3 cm. (Gebruik je passer.) Meet de drie hoeken van deze driehoek.

(26)

Opgave 14: Vliegerij

Zoek via Google-maps een deel van een kaart van Nederland rond vliegveld Teuge tussen Apeldoorn en Deventer en druk die kaart af. Zorg dat Teuge ongeveer in het midden ligt en je naar alle kanten ongeveer 10 km kunt vliegen.

Een vliegtuig stijgt op vliegveld Teuge op en vliegt een bepaalde afstand met een bepaalde koers. De afstand geef je in km en de koers in graden. Die koers is steeds een hoek met het Noorden, net al op de kompasroos met de wijzers van de klok mee gemeten. Als je aangeeft dat een vliegtuig vliegt volgens (40°|20) dan bedoel je dat het 20 km vliegt met een koers van 40° ten opzichte van het Noorden. (40°|20) heet de koersvector.

a Teken de vlucht met de koersvectoren (40°|5), (110°|4), (240°|5) en geef aan waar het vliegtuig dan vliegt.

b Bereken de koersvector voor de terugvlucht naar vliegveld Teuge.

c Bedenk zelf zo’n rondvlucht vanaf Teuge en laat een medeleerling de vlucht tekenen en de koersvector van de terugvlucht bepalen.

(27)

Opgave 1

Hier zie je de tafelbladen van vier hoektafeltjes die precies in de hoeken van Marieke’s kamer passen. Marieke wil elk blad zo schilderen dat er twee gelijke helften ontstaan met een verschillende kleur.

a Hoe krijgt ze dat voor elkaar?

De vier tafelbladen passen tegen elkaar.

b Hoe groot is de hoek die de vier tafelbladen dan maken?

c Welke twee tafelbladen maken samen een hoek van 180°?

d Tafelblad I heeft een hoek van 101°. Van welke tafeltje weet je nu ook de hoek?

Uitleg

De lijn die een hoek in twee gelijke hoeken verdeelt, heet de deellijn of bissectrice van die hoek. Zo teken je de deellijn van een hoek:

> Meet hoe groot de hoek is, bijvoorbeeld 64°.

> Deel het aantal graden door twee: 64° / 2 = 32°.

> Pas 32° af en teken de deellijn.

Er zijn nog andere situaties waarin hoeken gelijk zijn. Daarvan zie je er enkele in de voorbeelden. Het gaat om X-hoeken, F-hoeken en Z-hoeken.

Dat hoeken gelijk zijn geef je aan door er hetzelfde tekentje (een boogje, een rondje, een sterretje) in te zetten.

Opgave 2

Hier zie je een hoekpunt 𝐴 met twee hoeken ∠𝐴1en ∠𝐴2die samen een gestrekte hoek vormen.

a Meet ∠𝐴₁op en teken de deellijn van ∠𝐴₁. Gebruik het werkblad.

b Hoe groot is ∠𝐴2?

c Teken de deellijn van ∠𝐴₂.

d Welke hoek maken de twee getekende deellijnen met elkaar?

Moet je die hoek opmeten?

(28)

Opgave 3

Teken Δ𝐴𝐵𝐶 met 𝐴𝐵 = 6 cm, ∠𝐴 = 50° en ∠𝐵 = 70°.

a Teken de deellijn van ∠𝐴.

b Teken ook de deellijnen van ∠𝐵 en ∠𝐶.

c Valt je iets op?

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Deze vier hoeken vormen een volle hoek. Je ziet hoe ze zijn genummerd.

Je ziet dat ∠𝐴1= 53°. Dan is:

> ∠𝐴1en ∠𝐴2zijn samen 180°.

Dus ∠𝐴2= 180° − 53° = 127°.

> ∠𝐴3en ∠𝐴2zijn samen 180°.

Dus ∠𝐴3= 180° − 127° = 53°.

> Dus ∠𝐴₃= ∠𝐴₁.

Je noemt ∠𝐴₁ en ∠𝐴₃ wel overstaande hoeken of X-hoeken.

Ook als ∠𝐴₂een andere grootte heeft blijven deze overstaande hoeken gelijk. Op dezelfde manier kun je laten zien dat ∠𝐴₂en ∠𝐴₄gelijk zijn. Ook dat zijn overstaande hoeken.

Je hebt nu laten zien: Overstaande hoeken zijn altijd gelijk.

Opgave 4

Bekijk de applet in

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Gelijke hoeken > Voorbeeld 1

Je kunt ∠𝐴₁ aanpassen door in de applet de rode punten te verplaatsen.

a Stel ∠𝐴₁in op 37°. Hoe kun je dan de grootte van ∠𝐴₂ weten?

b Leg nu uit waarom ∠𝐴3= ∠𝐴1. c Leg ook uit waarom ∠𝐴4= ∠𝐴2.

(29)

Bekijk de ﬁguur hiernaast.

a Waarom is nu ∠𝐴1≠ ∠𝐴3?

b Stel je voor dat ∠𝐴1 = 56°. Van welke hoek weet je dan ook de grootte? Hoe groot is die hoek?

Voorbeeld 2

Hier zie je nog twee situaties waarin hoeken gelijk zijn. Omdat de lijnen u� en u� evenwijdig zijn, zijn:

> F-hoeken zoals ∠𝐴₁en ∠𝐵₁gelijk.

> Z-hoeken zoals ∠𝐴₂en ∠𝐵₄gelijk.

Dat komt omdat lijn u� en punt 𝐵 eigenlijk alleen evenwijdige ver- schuivingen zijn van lijn u� en punt 𝐴. De hoeken verschuiven dan gewoon mee...

De F-hoeken herken je aan de vorm van een (soms omgekeerde) F die ze maken. En zo herken je de Z-hoeken aan de Z-vorm.

Opgave 6

Bekijk de applet in

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Gelijke hoeken > Voorbeeld 2

a Met welke hoek vormt ∠𝐴₂een stel F-hoeken?

b Met welke hoek vormt ∠𝐴₂een stel Z-hoeken?

c Leg uit waarom ∠𝐴₄= ∠𝐵₂.

d Stel in ∠𝐴₂= 30°. Hoe groot is dan ∠𝐵₃?

(30)

Opgave 7

Bekijk de volgende ﬁguur. De lijnen u� en u� zijn evenwijdig, evenals de lijnen u� en u�.

a Waarom is ∠𝐴1≠ ∠𝐵1? b Waarom is ∠𝐴₁= ∠𝐶₁? c Waarom is ∠𝐶₁≠ ∠𝐷₃?

d Welke hoek is ook gelijk aan ∠𝐴1? En waarom?

e Stel dat ∠𝐴1= 60°. Van welke hoeken weet je nu ook hoe groot ze zijn? Schrijf ze allemaal op.

Opgave 8

In deze ﬁguur zijn de lijnen u� en u� evenwijdig. Verder is ∠𝐴₁= 43°.

Bereken alle andere genummerde hoeken in deze ﬁguur.

Verwerken

Opgave 9

Teken zelf drie van deze hoeken en in elke hoek de deellijn.

(31)

Hier zie je een plattegrond de kamer van Marieke. Ze krijgt nieuwe vloerbedekking. Dat zijn vloertegels van 50 cm bij 50 cm. Om ze in de juiste vorm te snijden meet ze de hoeken van haar kamer die niet recht zijn.

Waarom hoeft ze maar twee hoeken te meten? Welke twee bijvoorbeeld?

Opgave 11

Teken Δ𝐴𝐵𝐶 met ∠𝐴 = 50°, 𝐴𝐵 = 6 cm en 𝐴𝐶 = 4 cm.

a Laat zien dat de bissectrices van de hoeken van deze driehoek door één punt 𝑆 gaan.

b Om punt 𝑆 zitten nu zes hoeken. Geef met gelijke tekentjes aan welke van die hoeken gelijk zijn.

Opgave 12

Bereken in deze ﬁguur alle hoeken als de lijnen u� en u� evenwijdig zijn en gegeven is: ∠𝐵4 = 40° en

∠𝐵6= 25°.

(32)

Toepassen

Opgave 13: Doelman

Het uitlopen van de doelman op een doorgebroken speler die op doel wil schieten is een mooi voorbeeld van het toepassen van een deellijn. Lees

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Gelijke hoeken > Toepassen

Bij een voetbalwedstrijd heeft een speler vanaf de punt van het strafschopgebied een vrije schietkans op doel. De keeper komt uit zijn doel om het scoren te bemoeilijken. Hoe moet hij uitlopen? In de Wikipedia: voetbalveld vind je de afmetingen van een voetbalveld.

Opgave 14: Parallellogram

Gegeven is een parallellogram 𝐴𝐵𝐶𝐷 met 𝐴𝐵 = 6 cm en 𝐴𝐷 = 4 cm. Verder is ∠𝐵𝐴𝐷 = 50°.

a Teken dit parallellogram.

b Leg uit, hoe je met behulp van F-hoeken de andere hoeken van dit parallellogram kunt berekenen.

(33)

Opgave 1

Hiernaast zie je een klok met een minutenwijzer (de lange wijzer) en een urenwijzer. De klok staat op 2:00 uur.

a Hoe groot is de hoek die de minutenwijzer en de urenwijzer met elkaar maken?

b Eigenlijk zijn er twee antwoorden mogelijk. Hoe zit dat?

c Op welke tijdstippen is de kleinste hoek tussen beide wijzers 90°?

Opgave 2

Het berekenen van de hoeken tussen de minutenwijzer en de urenwijzer van een klok is nog niet zo heel eenvoudig.

Probeer de hoek te berekenen tussen beide wijzers als het 5 over 3 is.

Uitleg

Het is niet altijd verstandig om hoeken te meten.

Meten levert namelijk onnauwkeurigheden op.

En soms is meten niet nodig:

> Als twee hoeken samen een rechte hoek vormen en je weet er één dan weet je ook de andere. Ze zijn immers samen 90°.

> Als twee hoeken samen een gestrekte hoek vormen en je weet er één dan weet je ook de andere. Ze zijn immers samen 180°.

> Als twee hoeken samen een volle hoek vormen en je weet er één dan weet je ook de andere. Ze zijn immers samen 360°.

> Een deellijn verdeelt een hoek in twee gelijke hoeken. Weet je er één van, dan weet je ook de andere.

> Overstaande hoeken (X-hoeken) zijn gelijk.

> Als twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn, dan zijn de F-hoeken en de Z-hoeken gelijk.

En zo kun je soms door redeneren de grootte van een hoek te weten komen.

Dat noem je hoeken berekenen.

Opgave 3

Bekijk de situaties die in de Uitleg op pagina 31worden genoemd.

Geef bij elk van die situaties een voorbeeld met een bijpassende ﬁguur.

(34)

Opgave 4

Ayse wil een hoek van 210° tekenen. De geodriehoek gaat maar tot 180°.

a Ayse tekent een hoek van 150°. Leg uit waarom ze nu ook een hoek van 210° heeft getekend.

b Teken een hoek van 310°.

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

De twee hoeken hiernaast vormen samen een gestrekte hoek.

De kleinste hoek is 45°.

De grootte van de andere hoek kun je uitrekenen:

180° − 45° = 135°.

In de tweede ﬁguur zijn de lijnen u� en u� evenwijdig.

Je wilt ∠𝐴₃uitrekenen. Dat kan zo:

> ∠𝐵₁= 90° − 25° = 65°.

> ∠𝐵₂= ∠𝐵1 (overstaande hoeken).

> Dus ∠𝐴3= ∠𝐵2= 65° (F-hoeken).

Opgave 5

Bereken in de volgende ﬁguren de hoek met het vraagteken erin.

Opgave 6

Bekijk de ﬁguur hieronder, u� en u� zijn evenwijdige lijnen.

Bereken de hoek met het vraagteken er in.

(35)

In de ﬁguur hiernaast zie je een voorbeeld van de stelling:

> De som van de hoeken in elke driehoek is 180°.

Er is een lijn door hoekpunt 𝐶 evenwijdig aan zijde 𝐴𝐵 getekend.

Met behulp van Z-hoeken kun je nu laten zien dat de drie hoeken van elke driehoek samen een gestrekte hoek vormen. En daarom zijn ze samen altijd 180°.

Dit betekent dat als je twee hoeken van een driehoek weet je de derde kunt uitrekenen. En dat is soms erg handig als je een driehoek wilt tekenen...

Opgave 7

Bekijk de applet in

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken berekenen > Voorbeeld 2

a Beweeg punt 𝐶. Waarom zijn de drie hoeken bij hoekpunt 𝐶 samen altijd 180°?

Noem de hoeken bij 𝐶 van links naar rechts ∠𝐶1, ∠𝐶2en ∠𝐶3. b Met welke hoek vormt ∠𝐶₁een stel Z-hoeken?

c Met welke hoek vormt ∠𝐶₃een stel Z-hoeken?

d Leg uit waarom de som van de hoeken van deze driehoek 180° is.

e Waarom geldt deze regel voor elke driehoek? (In de applet kun je de punten 𝐴, 𝐵 en 𝐶 verplaatsen.)

Opgave 8

Je wilt een driehoek 𝐴𝐵𝐶 tekenen met ∠𝐴 = 60°, ∠𝐶 = 40° en 𝐴𝐵 = 6 cm.

a Bereken eerst de grootte van ∠𝐵.

b Teken nu Δ𝐴𝐵𝐶.

Opgave 9

Een driehoek met drie gelijke zijden heeft ook drie gelijke hoeken.

Hoe groot zijn die hoeken?

Opgave 10

In een rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷 snijden de diagonalen 𝐴𝐶 en 𝐵𝐷 elkaar in punt 𝑆. Verder is ∠𝐵𝐴𝐶 = 32°.

Bereken de grootte van ∠𝐴𝐶𝐵 en ∠𝐴𝑆𝐵.

(36)

Opgave 11

Je ziet hier een vierhoek 𝐴𝐵𝐶𝐷.

a Hoe kun je de vierhoek in twee driehoeken verdelen?

b Hoeveel graden zijn de hoeken van deze vierhoek samen?

c Op hoeveel manieren kun je deze vierhoek in twee driehoeken verdelen?

d Geef een voorbeeld van een vierhoek die je maar op één manier in twee driehoeken kunt verdelen.

e Zijn er ook vierhoeken die je niet in twee driehoeken kunt verdelen?

f Hoeveel graden zijn de hoeken van elke vierhoek samen?

Verwerken

Opgave 12

Bereken in deze ﬁguur de hoeken die met een vraagteken zijn aangegeven. (De pijltjes geven aan dat de twee horizontale lijnen ook echt evenwijdig zijn.)

Opgave 13

Je ziet hier twee lijnen u� en u� gesneden door derde lijn onder hoeken van 60° en 70°. Het snijpunt van u� en u� ligt buiten beeld.

Welke hoeken maken de lijnen u� en u� in dat snijpunt?

Opgave 14

Teken Δ𝐴𝐵𝐶 met ∠𝐵 = 50°, ∠𝐶 = 100° cm en 𝐴𝐶 = 4 cm.

(37)

Je wilt weten hoeveel graden de hoeken van een vijfhoek samen zijn.

a Teken een vijfhoek 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 en verdeel hem in drie driehoeken.

b Hoeveel graden zijn de hoeken van jouw vijfhoek samen?

c Geldt dit voor elke vijfhoek?

Een regelmatige vijfhoek is een vijfhoek waarvan alle zijden even groot zijn en alle hoeken even groot zijn.

d Hoe groot zijn de hoeken van zo’n regelmatige vijfhoek?

Toepassen

Opgave 16: De wijzers van een klok

Het berekenen van de hoek tussen de minutenwijzer en de urenwijzer op een klok is nog best lastig.

Lees

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken berekenen > Toepassen

Ga er van uit dat onder de hoek tussen de minutenwijzer en de urenwijzer steeds de kleinste hoek tussen beide wordt verstaan.

a Welke hoek maken de minutenwijzer en de urenwijzer met elkaar om 12:25 uur?

b En om 7:35 uur?

c En om 11:19 uur?

d Om 0:00 uur maken de urenwijzer en de minutenwijzer een hoek van 0°. Op welke tijdstippen is dat weer zo? Geef nauwkeurige antwoorden, ook in delen van minuten.

Opgave 17: Honderdhoek

Hoeveel graden is het aantal hoeken van een honderdhoek (een veelhoek met 100 hoekpunten)?

(38)

1.6 Totaalbeeld

Samenvatten

Hoe vaak ga je niet een hoek om of bekijk je iets onder een bepaalde hoek. Het woord ‘hoek’ is normaal spraakgebruik. In de wiskunde moet je iets nauwkeuriger afspreken wat een hoek is. En vervolgens wil je hem kunnen meten, tekenen en berekenen...

De volgende opgaven zijn bedoeld om overzicht over het onderwerp ‘Hoeken’ te krijgen. Dit betreft de onderdelen 1, 2, 3, 4 en 5 van dit onderwerp. Het is nuttig om er een eigen samenvatting bij te maken.

De opgaven hieronder zijn bedoeld om je daarbij te helpen.

Je hebt geleerd

> de begrippen hoek met hoekpunt en benen en scherpe, stompe, rechte, gestrekte en overstrekte hoeken herkennen (Uitleg op pagina 6);

> het begrip graad en het meten van hoeken in graden (Uitleg op pagina 12);

> hoeken tekenen als het aantal graden ervan is gegeven (Uitleg op pagina 19);

> de deellijn (bissectrice) van een hoek tekenen, werken met X-hoeken (overstaande hoeken), F-hoeken en Z-hoeken (Uitleg op pagina 25);

> de grootte van hoeken beredeneren, de som van de hoeken van een driehoek gebruiken ( Uitleg op pagina 31);

Voorkennis

> de namen en basiseigenschappen van de belangrijkste vlakke (rooster)ﬁguren (Figuren);

> oppervlakte en omtrek van vlakke (rooster)ﬁguren bepalen (Oppervlakte en omtrek);

Opgave 1

Teken een ∠𝐴. Zet er op de juiste plaats de woorden ‘hoekpunt’ en ‘been’ (2 ×) bij en zet de letter bij het hoekpunt. Waarom is een boogje in de hoek nodig?

Opgave 2

Hier zie je zes verschillende hoeken. Ze staan ook op het werkblad.

a Schrijf bij elk van de hoeken of hij scherp, stomp, recht, gestrekt of overstrekt is. Zet in de rechte hoek het rechte hoek teken.

b Zet in elke hoek het juiste aantal graden.

Opgave 3

Met een geodriehoek kun je hoeken tekenen.

a Teken ∠𝐴 = 24^∘en ∠𝐵 = 100^∘ b Teken in ∠𝐴 en in ∠𝐶 een deellijn.

(39)

In deze ﬁguur kun je gelijke X-hoeken, F-hoeken en Z-hoeken herkennen.

a Schrijf van elk van deze drie soorten gelijke hoeken één paar op. Geef de hoeken met drie letters aan of met behulp van een genummerde letter.

b De vier hoeken bij punt 𝐶 zijn recht en ∠𝐴₁= 110^∘. Hoe groot is dan ∠𝐶𝐷𝐸?

Opgave 5

Met drie gegevens kun je een driehoek tekenen.

a Teken Δ𝐴𝐵𝐶 met zijden 𝐴𝐵 = 3 cm, 𝐴𝐶 = 2 cm en 𝐵𝐶 = 4 cm.

b Teken Δ𝐾𝐿𝑀 met 𝐾𝐿 = 6 cm, ∠𝐾 = 40^∘en ∠𝑀 = 110^∘.

Testen

De volgende opgaven zijn bedoeld om na te gaan of je de onderdelen 1 tot en met 5 van het onderwerp

‘Hoeken’ voldoende beheerst.

Opgave 6

Deze vier hoeken vind je ook op het werkblad.

a Zet bij elke hoek of hij scherp, stomp, recht, gestrekt of overstrekt is.

b Meet hoe groot de hoeken zijn in graden nauwkeurig.

(40)

Opgave 7

Teken de hoeken ∠𝐴 = 32^∘, ∠𝐵 = 161^∘, ∠𝐶 = 199^∘.

Opgave 8

Teken op het werkblad in deze twee hoeken een deellijn en schrijf in je ﬁguur hoe groot de beide delen van de hoek zijn.

Opgave 9

Beredeneer de grootte van ∠𝐴𝐵𝐶 als ∠𝐴₁ = 112^∘.

Opgave 10

De hoeken 𝐴1 en 𝐴2vormen samen een gestrekte hoek en 𝐴1is vier keer zo groot als ∠𝐴2. Beredeneer de grootte van 𝐴1.

Opgave 11

Teken de volgende driehoeken.

a Δ𝐾𝐿𝑀 met ∠𝐿 = 40^∘, 𝐾𝑀 = 4 en 𝐾𝐿 = 5 cm.

b Δ𝑃𝑄𝑅 met ∠𝑃 = 40^∘, ∠𝑄 = 60^∘en 𝑄𝑅 = 4 cm.

Opgave 12

Bereken de exacte hoek die de wijzers van de klok met elkaar maken als het vijf voor half drie is.

Toepassen

Geef van de volgende opgaven een uitgebreide uitwerking.

Opgave 13: Hoe ver uit de kust?

Een schip vaart ’s nachts evenwijdig aan de (rechte) kust van Noord-Holland. Op een bepaalde positie ziet de stuurman de vuurtoren van Egmond aan Zee onder een hoek van 20^∘ ten opzichte van de vaarrichting van het schip. Na 5 km varen ziet de stuurman diezelfde vuurtoren onder een hoek van 60^∘met de vaarrichting.

Maak een tekening op schaal van deze situatie en bepaal hoe ver de afstand van het schip tot de kust is.

(41)

Het volgende probleem is heel mooi op te lossen met behulp vanGeoGebra.

Boven de snelweg hangen vaak borden om je de weg te wijzen. Die borden hangen zuiver verticaal met hun onderrand 5 m boven het wegdek. Neem aan dat zo’n bord 1,50 m hoog is. Je zit voorin een auto en rijdt onder dit bord door. Je oog zit steeds op 1 m boven het wegdek. De hoek tussen de twee lijnen vanuit je oog naar de onderrand en de bovenrand van het bord verandert daardoor steeds.

Op welke afstand voor het bord is die hoek het grootst?