Voorbeeld 1
Hier zie je het tekenen van een scherpe hoek: ∠𝐴 = 72°.
Opgave 3
Teken de volgende hoeken: ∠𝐴 = 60°, ∠𝐵 = 24° en ∠𝐶 = 87°.
Opgave 4
Hier zie je het begin van een driehoek 𝐴𝐵𝐶. 𝐴𝐵 = 6 cm, ∠𝐴 = 45° en ∠𝐵 = 70 °.
a Teken zelf deze figuur en teken ∠𝐵 in punt 𝐵 zo, dat je Δ𝐴𝐵𝐶 krijgt. b Hoe groot is ∠𝐶?
Voorbeeld 2
Hier zie je het tekenen van een stompe hoek: ∠𝐴 = 113°.
Opgave 6
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 7
Maak de volgende figuur af als ∠𝐷 = 131° en ∠𝐸 = 93°. Gebruik het werkblad.
Opgave 8
Hier zie je het begin van een driehoek 𝐴𝐵𝐶. 𝐴𝐵 = 6 cm, ∠𝐴 = 30° en ∠𝐵 = 100 °.
a Teken de figuur na. Teken ∠𝐵 in punt 𝐵 zo, dat je Δ𝐴𝐵𝐶 krijgt.
b Hoe groot is ∠𝐶?
Verwerken
Opgave 9
Teken de volgende vier hoeken: ∠𝐴 = 65°, ∠𝐵 = 170°, ∠𝐶 = 111° en ∠𝐷 = 14°.
Opgave 10
Hier zie je een plattegrond de kamer van Marieke. Ze krijgt nieuwe vloerbedekking. Dat zijn vloertegels van 50 cm bij 50 cm. Om ze in de juiste vorm te snijden meet ze de hoeken van haar kamer die niet recht zijn.
a Meet alle niet rechte hoeken van Marieke’s kamer. Gebruik het werkblad.
b Teken de vier vloertegels die moeten worden bijgesneden en in de niet rechte hoeken moeten komen.
Van driehoek 𝐴𝐵𝐶 is het begin getekend. ∠𝐶 = 62°. a Maak de driehoek af. Gebruik het werkblad.
b Meet de grootte van ∠𝐴 en ∠𝐵 in graden nauwkeurig. c Hoeveel graden zijn de hoeken van de driehoek samen?
Opgave 12
Een robot beweegt op een groot vlak. Hij begint in punt 𝑆 (het startpunt) in een bepaalde richting vooruit te rijden. Je kunt zijn bewegingsrichting veranderen met een afstandsbediening. Daarmee kun je een hoek instellen. Stel je bijvoorbeeld 10° in, dan draait de bewegingsrichting tegen de wijzers van de klok in met 10°.
a Je laat de robot eerst 5 cm vooruit bewegen, dan 4 cm onder 10°, dan 3 cm onder 20°, dan 2 cm onder 30° en tenslotte 1 cm onder 40°. Teken de baan van de robot.
b Je laat de robot nu rechtstreeks naar het startpunt teruglopen. Hoeveel cm en onder welke hoek moet hij lopen?
c Je laat de robot eerst 4 cm vooruit lopen, dan 4 cm onder 10°, dan 4 cm onder 20°, enzovoorts. Steeds dezelfde afstand, maar een hoek die telkens 10° groter wordt. Komt deze robot weer in het startpunt 𝑆 uit?
d Wat gebeurt er als je de robot eerst 4 cm vooruit lopen, dan 5 cm onder 10°, dan 6 cm onder 20°, enzovoorts. Steeds wordt de afstand 1 cm groter en hoek 10° groter.
Toepassen
Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting.
Opgave 13: Driehoeken tekenen
Een driehoek wordt vaak bepaald door drie gegevens: een zijde en twee hoeken, twee zijden en een hoek, drie zijden. Lees hierover
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken tekenen > Toepassen
a Teken zelf beide driehoeken die worden beschreven.
b Teken Δ𝐾𝐿𝑀 met ∠𝐾 = 60°, ∠𝑀 = 40° en 𝐾𝑀 = 4 cm. Meet vervolgens de grootte van ∠𝐿.
c Teken Δ𝐷𝐸𝐹 met ∠𝐸 = 117°, 𝐷𝐸 = 4 cm en 𝐸𝐹 = 3 cm. Meet vervolgens beide andere hoeken van de driehoek.
d Teken Δ𝐺𝐻𝐼 met 𝐺𝐻 = 5 cm, 𝐻𝐼 = 4 cm en 𝐺𝐼 = 3 cm. (Gebruik je passer.) Meet de drie hoeken van deze driehoek.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 14: Vliegerij
Zoek via Google-maps een deel van een kaart van Nederland rond vliegveld Teuge tussen Apeldoorn en Deventer en druk die kaart af. Zorg dat Teuge ongeveer in het midden ligt en je naar alle kanten ongeveer 10 km kunt vliegen.
Een vliegtuig stijgt op vliegveld Teuge op en vliegt een bepaalde afstand met een bepaalde koers. De afstand geef je in km en de koers in graden. Die koers is steeds een hoek met het Noorden, net al op de kompasroos met de wijzers van de klok mee gemeten. Als je aangeeft dat een vliegtuig vliegt volgens (40°|20) dan bedoel je dat het 20 km vliegt met een koers van 40° ten opzichte van het Noorden. (40°|20) heet de koersvector.
a Teken de vlucht met de koersvectoren (40°|5), (110°|4), (240°|5) en geef aan waar het vliegtuig dan vliegt. b Bereken de koersvector voor de terugvlucht naar vliegveld Teuge.
c Bedenk zelf zo’n rondvlucht vanaf Teuge en laat een medeleerling de vlucht tekenen en de koersvector van de terugvlucht bepalen.
Opgave 1
Hier zie je de tafelbladen van vier hoektafeltjes die precies in de hoeken van Marieke’s kamer passen. Marieke wil elk blad zo schilderen dat er twee gelijke helften ontstaan met een verschillende kleur.
a Hoe krijgt ze dat voor elkaar?
De vier tafelbladen passen tegen elkaar.
b Hoe groot is de hoek die de vier tafelbladen dan maken? c Welke twee tafelbladen maken samen een hoek van 180°?
d Tafelblad I heeft een hoek van 101°. Van welke tafeltje weet je nu ook de hoek?
Uitleg
De lijn die een hoek in twee gelijke hoeken verdeelt, heet de deellijn of bissectrice van die hoek. Zo teken je de deellijn van een hoek:
> Meet hoe groot de hoek is, bijvoorbeeld 64°.
> Deel het aantal graden door twee: 64° / 2 = 32°.
> Pas 32° af en teken de deellijn.
Er zijn nog andere situaties waarin hoeken gelijk zijn. Daarvan zie je er enkele in de voorbeelden. Het gaat om X-hoeken, F-hoeken en Z-hoeken.
Dat hoeken gelijk zijn geef je aan door er hetzelfde tekentje (een boogje, een rondje, een sterretje) in te zetten.
Opgave 2
Hier zie je een hoekpunt 𝐴 met twee hoeken ∠𝐴1en ∠𝐴2die samen een gestrekte hoek vormen.
a Meet ∠𝐴1op en teken de deellijn van ∠𝐴1. Gebruik het werk-blad.
b Hoe groot is ∠𝐴2?
c Teken de deellijn van ∠𝐴2.
d Welke hoek maken de twee getekende deellijnen met elkaar? Moet je die hoek opmeten?
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 3
Teken Δ𝐴𝐵𝐶 met 𝐴𝐵 = 6 cm, ∠𝐴 = 50° en ∠𝐵 = 70°. a Teken de deellijn van ∠𝐴.
b Teken ook de deellijnen van ∠𝐵 en ∠𝐶. c Valt je iets op?
Theorie en voorbeelden
Voorbeeld 1
Deze vier hoeken vormen een volle hoek. Je ziet hoe ze zijn genummerd.
Je ziet dat ∠𝐴1= 53°. Dan is:
> ∠𝐴1en ∠𝐴2zijn samen 180°. Dus ∠𝐴2= 180° − 53° = 127°.
> ∠𝐴3en ∠𝐴2zijn samen 180°. Dus ∠𝐴3= 180° − 127° = 53°.
> Dus ∠𝐴3= ∠𝐴1.
Je noemt ∠𝐴1 en ∠𝐴3 wel overstaande hoeken of X-hoeken.
Ook als ∠𝐴2een andere grootte heeft blijven deze overstaande hoeken gelijk. Op dezelfde manier kun je laten zien dat ∠𝐴2en ∠𝐴4gelijk zijn. Ook dat zijn overstaande hoeken.
Je hebt nu laten zien: Overstaande hoeken zijn altijd gelijk.
Opgave 4
Bekijk de applet in
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Gelijke hoeken > Voorbeeld 1
Je kunt ∠𝐴1 aanpassen door in de applet de rode punten te verplaatsen. a Stel ∠𝐴1in op 37°. Hoe kun je dan de grootte van ∠𝐴2 weten?
b Leg nu uit waarom ∠𝐴3= ∠𝐴1. c Leg ook uit waarom ∠𝐴4= ∠𝐴2.
Bekijk de figuur hiernaast. a Waarom is nu ∠𝐴1≠ ∠𝐴3?
b Stel je voor dat ∠𝐴1 = 56°. Van welke hoek weet je dan ook de grootte? Hoe groot is die hoek?
Voorbeeld 2
Hier zie je nog twee situaties waarin hoeken gelijk zijn. Omdat de lijnen u� en u� evenwijdig zijn, zijn:
> F-hoeken zoals ∠𝐴1en ∠𝐵1gelijk.
> Z-hoeken zoals ∠𝐴2en ∠𝐵4gelijk.
Dat komt omdat lijn u� en punt 𝐵 eigenlijk alleen evenwijdige ver-schuivingen zijn van lijn u� en punt 𝐴. De hoeken verschuiven dan gewoon mee...
De F-hoeken herken je aan de vorm van een (soms omgekeerde) F die ze maken. En zo herken je de Z-hoeken aan de Z-vorm.
Opgave 6
Bekijk de applet in
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Gelijke hoeken > Voorbeeld 2
a Met welke hoek vormt ∠𝐴2een stel F-hoeken? b Met welke hoek vormt ∠𝐴2een stel Z-hoeken? c Leg uit waarom ∠𝐴4= ∠𝐵2.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 7
Bekijk de volgende figuur. De lijnen u� en u� zijn evenwijdig, evenals de lijnen u� en u�.
a Waarom is ∠𝐴1≠ ∠𝐵1? b Waarom is ∠𝐴1= ∠𝐶1? c Waarom is ∠𝐶1≠ ∠𝐷3?
d Welke hoek is ook gelijk aan ∠𝐴1? En waarom?
e Stel dat ∠𝐴1= 60°. Van welke hoeken weet je nu ook hoe groot ze zijn? Schrijf ze allemaal op.
Opgave 8
In deze figuur zijn de lijnen u� en u� evenwijdig. Verder is ∠𝐴1= 43°.
Bereken alle andere genummerde hoeken in deze figuur.
Verwerken
Opgave 9
Hier zie je een plattegrond de kamer van Marieke. Ze krijgt nieuwe vloerbedekking. Dat zijn vloertegels van 50 cm bij 50 cm. Om ze in de juiste vorm te snijden meet ze de hoeken van haar kamer die niet recht zijn.
Waarom hoeft ze maar twee hoeken te meten? Welke twee bijvoorbeeld?
Opgave 11
Teken Δ𝐴𝐵𝐶 met ∠𝐴 = 50°, 𝐴𝐵 = 6 cm en 𝐴𝐶 = 4 cm.
a Laat zien dat de bissectrices van de hoeken van deze driehoek door één punt 𝑆 gaan.
b Om punt 𝑆 zitten nu zes hoeken. Geef met gelijke tekentjes aan welke van die hoeken gelijk zijn.
Opgave 12
Bereken in deze figuur alle hoeken als de lijnen u� en u� evenwijdig zijn en gegeven is: ∠𝐵4 = 40° en ∠𝐵6= 25°.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Toepassen
Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting.
Opgave 13: Doelman
Het uitlopen van de doelman op een doorgebroken speler die op doel wil schieten is een mooi voor-beeld van het toepassen van een deellijn. Lees
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Gelijke hoeken > Toepassen
Bij een voetbalwedstrijd heeft een speler vanaf de punt van het strafschopgebied een vrije schietkans op doel. De keeper komt uit zijn doel om het scoren te bemoeilijken. Hoe moet hij uitlopen? In de Wikipedia: voetbalveld vind je de afmetingen van een voetbalveld.
Opgave 14: Parallellogram
Gegeven is een parallellogram 𝐴𝐵𝐶𝐷 met 𝐴𝐵 = 6 cm en 𝐴𝐷 = 4 cm. Verder is ∠𝐵𝐴𝐷 = 50°. a Teken dit parallellogram.
Opgave 1
Hiernaast zie je een klok met een minutenwijzer (de lange wijzer) en een urenwijzer. De klok staat op 2:00 uur.
a Hoe groot is de hoek die de minutenwijzer en de urenwijzer met elkaar maken?
b Eigenlijk zijn er twee antwoorden mogelijk. Hoe zit dat?
c Op welke tijdstippen is de kleinste hoek tussen beide wijzers 90°?
Opgave 2
Het berekenen van de hoeken tussen de minutenwijzer en de urenwijzer van een klok is nog niet zo heel eenvoudig.
Probeer de hoek te berekenen tussen beide wijzers als het 5 over 3 is.
Uitleg
Het is niet altijd verstandig om hoeken te meten. Meten levert namelijk onnauwkeurigheden op. En soms is meten niet nodig:
> Als twee hoeken samen een rechte hoek vormen en je weet er één dan weet je ook de andere. Ze zijn immers samen 90°.
> Als twee hoeken samen een gestrekte hoek vormen en je weet er één dan weet je ook de andere. Ze zijn immers samen 180°.
> Als twee hoeken samen een volle hoek vormen en je weet er één dan weet je ook de andere. Ze zijn immers samen 360°.
> Een deellijn verdeelt een hoek in twee gelijke hoeken. Weet je er één van, dan weet je ook de andere.
> Overstaande hoeken (X-hoeken) zijn gelijk.
> Als twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn, dan zijn de F-hoeken en de Z-hoe-ken gelijk.
En zo kun je soms door redeneren de grootte van een hoek te weten komen. Dat noem je hoeken berekenen.
Opgave 3
Bekijk de situaties die in de Uitleg op pagina 31worden genoemd. Geef bij elk van die situaties een voorbeeld met een bijpassende figuur.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 4
Ayse wil een hoek van 210° tekenen. De geodriehoek gaat maar tot 180°.
a Ayse tekent een hoek van 150°. Leg uit waarom ze nu ook een hoek van 210° heeft getekend. b Teken een hoek van 310°.
Theorie en voorbeelden
Voorbeeld 1
De twee hoeken hiernaast vormen samen een gestrekte hoek. De kleinste hoek is 45°.
De grootte van de andere hoek kun je uitrekenen: 180° − 45° = 135°.
In de tweede figuur zijn de lijnen u� en u� evenwijdig. Je wilt ∠𝐴3uitrekenen. Dat kan zo:
> ∠𝐵1= 90° − 25° = 65°.
> ∠𝐵2= ∠𝐵1 (overstaande hoeken).
> Dus ∠𝐴3= ∠𝐵2= 65° (F-hoeken).
Opgave 5
Bereken in de volgende figuren de hoek met het vraagteken erin.
Opgave 6
Bekijk de figuur hieronder, u� en u� zijn evenwijdige lijnen.
In de figuur hiernaast zie je een voorbeeld van de stelling:
> De som van de hoeken in elke driehoek is 180°.
Er is een lijn door hoekpunt 𝐶 evenwijdig aan zijde 𝐴𝐵 getekend. Met behulp van Z-hoeken kun je nu laten zien dat de drie hoeken van elke driehoek samen een gestrekte hoek vormen. En daarom zijn ze samen altijd 180°.
Dit betekent dat als je twee hoeken van een driehoek weet je de derde kunt uitrekenen. En dat is soms erg handig als je een driehoek wilt tekenen...
Opgave 7
Bekijk de applet in
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken berekenen > Voorbeeld 2
a Beweeg punt 𝐶. Waarom zijn de drie hoeken bij hoekpunt 𝐶 samen altijd 180°? Noem de hoeken bij 𝐶 van links naar rechts ∠𝐶1, ∠𝐶2en ∠𝐶3.
b Met welke hoek vormt ∠𝐶1een stel Z-hoeken? c Met welke hoek vormt ∠𝐶3een stel Z-hoeken?
d Leg uit waarom de som van de hoeken van deze driehoek 180° is.
e Waarom geldt deze regel voor elke driehoek? (In de applet kun je de punten 𝐴, 𝐵 en 𝐶 verplaatsen.)
Opgave 8
Je wilt een driehoek 𝐴𝐵𝐶 tekenen met ∠𝐴 = 60°, ∠𝐶 = 40° en 𝐴𝐵 = 6 cm. a Bereken eerst de grootte van ∠𝐵.
b Teken nu Δ𝐴𝐵𝐶.
Opgave 9
Een driehoek met drie gelijke zijden heeft ook drie gelijke hoeken. Hoe groot zijn die hoeken?
Opgave 10
In een rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷 snijden de diagonalen 𝐴𝐶 en 𝐵𝐷 elkaar in punt 𝑆. Verder is ∠𝐵𝐴𝐶 = 32°. Bereken de grootte van ∠𝐴𝐶𝐵 en ∠𝐴𝑆𝐵.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 11
Je ziet hier een vierhoek 𝐴𝐵𝐶𝐷.
a Hoe kun je de vierhoek in twee driehoeken verdelen? b Hoeveel graden zijn de hoeken van deze vierhoek samen?
c Op hoeveel manieren kun je deze vierhoek in twee driehoeken verdelen? d Geef een voorbeeld van een vierhoek die je maar op één manier in twee
driehoeken kunt verdelen.
e Zijn er ook vierhoeken die je niet in twee driehoeken kunt verdelen? f Hoeveel graden zijn de hoeken van elke vierhoek samen?
Verwerken
Opgave 12
Bereken in deze figuur de hoeken die met een vraagteken zijn aangegeven. (De pijltjes geven aan dat de twee horizontale lijnen ook echt evenwijdig zijn.)
Opgave 13
Je ziet hier twee lijnen u� en u� gesneden door derde lijn onder hoeken van 60° en 70°. Het snijpunt van u� en u� ligt buiten beeld.
Welke hoeken maken de lijnen u� en u� in dat snijpunt?
Opgave 14
Je wilt weten hoeveel graden de hoeken van een vijfhoek samen zijn. a Teken een vijfhoek 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 en verdeel hem in drie driehoeken. b Hoeveel graden zijn de hoeken van jouw vijfhoek samen? c Geldt dit voor elke vijfhoek?
Een regelmatige vijfhoek is een vijfhoek waarvan alle zijden even groot zijn en alle hoeken even groot zijn.
d Hoe groot zijn de hoeken van zo’n regelmatige vijfhoek?
Toepassen
Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting.
Opgave 16: De wijzers van een klok
Het berekenen van de hoek tussen de minutenwijzer en de urenwijzer op een klok is nog best lastig. Lees
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Hoeken berekenen > Toepassen
Ga er van uit dat onder de hoek tussen de minutenwijzer en de urenwijzer steeds de kleinste hoek tussen beide wordt verstaan.
a Welke hoek maken de minutenwijzer en de urenwijzer met elkaar om 12:25 uur? b En om 7:35 uur?
c En om 11:19 uur?
d Om 0:00 uur maken de urenwijzer en de minutenwijzer een hoek van 0°. Op welke tijdstippen is dat weer zo? Geef nauwkeurige antwoorden, ook in delen van minuten.
Opgave 17: Honderdhoek
1.6 Totaalbeeld
Samenvatten
Hoe vaak ga je niet een hoek om of bekijk je iets onder een bepaalde hoek. Het woord ‘hoek’ is normaal spraakgebruik. In de wiskunde moet je iets nauwkeuriger afspreken wat een hoek is. En vervolgens wil je hem kunnen meten, tekenen en berekenen...
De volgende opgaven zijn bedoeld om overzicht over het onderwerp ‘Hoeken’ te krijgen. Dit betreft de onderdelen 1, 2, 3, 4 en 5 van dit onderwerp. Het is nuttig om er een eigen samenvatting bij te maken. De opgaven hieronder zijn bedoeld om je daarbij te helpen.
Je hebt geleerd
> de begrippen hoek met hoekpunt en benen en scherpe, stompe, rechte, gestrekte en over-strekte hoeken herkennen (Uitleg op pagina 6);
> het begrip graad en het meten van hoeken in graden (Uitleg op pagina 12);
> hoeken tekenen als het aantal graden ervan is gegeven (Uitleg op pagina 19);
> de deellijn (bissectrice) van een hoek tekenen, werken met X-hoeken (overstaande hoeken), F-hoeken en Z-hoeken (Uitleg op pagina 25);
> de grootte van hoeken beredeneren, de som van de hoeken van een driehoek gebruiken ( Uitleg op pagina 31);
Voorkennis
> de namen en basiseigenschappen van de belangrijkste vlakke (rooster)figuren (Figuren); > oppervlakte en omtrek van vlakke (rooster)figuren bepalen (Oppervlakte en omtrek);
Opgave 1
Teken een ∠𝐴. Zet er op de juiste plaats de woorden ‘hoekpunt’ en ‘been’ (2 ×) bij en zet de letter bij het hoekpunt. Waarom is een boogje in de hoek nodig?
Opgave 2
Hier zie je zes verschillende hoeken. Ze staan ook op het werkblad.
a Schrijf bij elk van de hoeken of hij scherp, stomp, recht, gestrekt of overstrekt is. Zet in de rechte hoek het rechte hoek teken. b Zet in elke hoek het juiste aantal graden.
Opgave 3
Met een geodriehoek kun je hoeken tekenen. a Teken ∠𝐴 = 24∘en ∠𝐵 = 100∘
In deze figuur kun je gelijke X-hoeken, F-hoeken en Z-hoeken herkennen.
a Schrijf van elk van deze drie soorten gelijke hoeken één paar op. Geef de hoeken met drie letters aan of met behulp van een genummerde letter.
b De vier hoeken bij punt 𝐶 zijn recht en ∠𝐴1= 110∘. Hoe groot is dan ∠𝐶𝐷𝐸?
Opgave 5
Met drie gegevens kun je een driehoek tekenen.
a Teken Δ𝐴𝐵𝐶 met zijden 𝐴𝐵 = 3 cm, 𝐴𝐶 = 2 cm en 𝐵𝐶 = 4 cm. b Teken Δ𝐾𝐿𝑀 met 𝐾𝐿 = 6 cm, ∠𝐾 = 40∘en ∠𝑀 = 110∘.
Testen
De volgende opgaven zijn bedoeld om na te gaan of je de onderdelen 1 tot en met 5 van het onderwerp ‘Hoeken’ voldoende beheerst.
Opgave 6
Deze vier hoeken vind je ook op het werkblad.
a Zet bij elke hoek of hij scherp, stomp, recht, gestrekt of overstrekt is. b Meet hoe groot de hoeken zijn in graden nauwkeurig.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > HOEKEN
Opgave 7
Teken de hoeken ∠𝐴 = 32∘, ∠𝐵 = 161∘, ∠𝐶 = 199∘.
Opgave 8
Teken op het werkblad in deze twee hoeken een deellijn en schrijf in je figuur hoe groot de beide delen van de hoek zijn.
Opgave 9
Beredeneer de grootte van ∠𝐴𝐵𝐶 als ∠𝐴1 = 112∘.
Opgave 10
De hoeken 𝐴1 en 𝐴2vormen samen een gestrekte hoek en 𝐴1is vier keer zo groot als ∠𝐴2. Beredeneer de grootte van 𝐴1.
Opgave 11
Teken de volgende driehoeken.
a Δ𝐾𝐿𝑀 met ∠𝐿 = 40∘, 𝐾𝑀 = 4 en 𝐾𝐿 = 5 cm. b Δ𝑃𝑄𝑅 met ∠𝑃 = 40∘, ∠𝑄 = 60∘en 𝑄𝑅 = 4 cm.
Opgave 12
Bereken de exacte hoek die de wijzers van de klok met elkaar maken als het vijf voor half drie is.
Toepassen
Geef van de volgende opgaven een uitgebreide uitwerking.
Opgave 13: Hoe ver uit de kust?
Een schip vaart ’s nachts evenwijdig aan de (rechte) kust van Noord-Holland. Op een bepaalde positie ziet de stuurman de vuurtoren van Egmond aan Zee onder een hoek van 20∘ ten opzichte van de vaarrichting van het schip. Na 5 km varen ziet de stuurman diezelfde vuurtoren onder een hoek van 60∘met de vaarrichting.
Maak een tekening op schaal van deze situatie en bepaal hoe ver de afstand van het schip tot de kust is.
Het volgende probleem is heel mooi op te lossen met behulp vanGeoGebra.
Boven de snelweg hangen vaak borden om je de weg te wijzen. Die borden hangen zuiver verticaal met hun onderrand 5 m boven het wegdek. Neem aan dat zo’n bord 1,50 m hoog is. Je zit voorin een auto