Wiskunde voor 1 havo/vwo

(1)

Wiskunde voor

1 havo/vwo

Deel 1

Versie 2013

Samensteller

(2)

Het auteursrecht op dit lesmateriaal berust bij Stichting Math4All. Math4All is derhalve de rechtheb- bende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie.

Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal

Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0).

Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via info@math4all.nl.

Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

(3)

Inhoud

Voorwoord 3

1 Figuren 5

1.1 Lijn, lijnstuk, punt 6 1.2 Afstanden 12

1.3 Passer en cirkel 17 1.4 Vlakvulling 23 1.5 Vlakke ﬁguren 28 1.6 Plaatscodes 35 1.7 Coördinaten 42 1.8 Totaalbeeld 50

2 Rekenen 57

2.1 Decimale getallen 58 2.2 Optellen en aftrekken 63 2.3 Vermenigvuldigen en delen 68 2.4 Afronden 73

2.5 Schatten 77

2.6 Voorrangsregels 82 2.7 Totaalbeeld 87

3 Omtrek, oppervlakte, schaal 91 3.1 Omtrek 92

3.2 Lengtematen 99 3.3 Oppervlakte 105 3.4 Oppervlaktematen 113 3.5 Schaallijnen 119 3.6 Totaalbeeld 126

4 Breuken 131

4.1 Wat is een breuk? 132

4.2 Van breuk naar decimaal getal 138 4.3 Breuken vergelijken 143

4.4 Breuken optellen en aftrekken 148 4.5 Breuken vermenigvuldigen 153 4.6 Breuken delen 157

4.7 Totaalbeeld 162

5 Ruimtelijke ﬁguren 167 5.1 Ruimtelijke ﬁguren 168

5.2 Grensvlakken, ribben en hoekpunten 175 5.3 Ruimtelijke ﬁguren tekenen 182

5.4 Uitslagen 188 5.5 Inhoud 195

(4)

5.6 Inhoudsmaten 201 5.7 Diagonaalvlakken 207 5.8 Totaalbeeld 214

6 Verhoudingen en procenten 219 6.1 Verhoudingstabellen 220

6.2 Rekenen met verhoudingstabellen 225 6.3 Procenten 229

6.4 Rekenen met procenten 234 6.5 Procenten eraf en erbij 241 6.6 Totaalbeeld 248

Register 252

(5)

Voorwoord

Het lesmateraal in dit boek is gebaseerd op het materiaal dat je kunt vinden op de website www.math4all.nl. In de tekst staan dan ook regelmatig verwijzingen naar die website. Waar je precies moet zijn op die website kun je zien in de kopregel van iedere pagina.

Bij bestudering van het lesmateriaal kom je in de tekst ook aanwijzingen tegen. Je ziet dan bijvoorbeeld in de tekst:

Bekijk eerst:

www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Afstanden > Toepassen

Je kunt met de muis elk deel van de wereld bekijken en er op inzoomen.

Als zo’n aanwijzing in een opgave staat, kun je die opgave waarschijnlijk alleen maar maken als je inderdaad op de website hebt gekeken.

Ieder hoofdstuk bestaat uit een aantal paragrafen en wordt steeds afgesloten met een paragraaf To- taalbeeld waar de leerstof wordt samengevat en/of herhaald. Iedere paragraaf is ingedeeld in vaste rubrieken die houvast geven bij de bestudering van het lesmateriaal.

> Verkennen

> Uitleg

> Theorie en Voorbeelden

> Verwerken

> Toepassen

Indien er in het lesmateriaal wordt verwezen naar werkbladen dan kun je deze terugvinden op de website.

(6)

(7)

1 ^Figuren

Lijn, lijnstuk, punt 6 Afstanden 12

Passer en cirkel 17 Vlakvulling 23 Vlakke ﬁguren 28 Plaatscodes 35 Coördinaten 42 Totaalbeeld 50

(8)

1.1 Lijn, lijnstuk, punt

Verkennen

Opgave 1

Je ziet hier een plaatje van spoorrails van een modelspoorbaan. De rails zijn bevestigd op dwarsliggers.

a Hoe liggen de rails ten opzicht van elkaar?

b Hoe liggen de dwarsliggers ten opzicht van elkaar?

c Hoe liggen de dwarsliggers ten opzichte van de rails?

Uitleg

In de wiskunde zijn afspraken gemaakt over wat een lijn, een punt en een lijnstuk zijn. Je geeft lijnen aan met kleine letters en punten met hoofdletters.

> Een lijn is altijd recht en heeft geen beginpunt en geen eindpunt:

u� en 𝐴. Punt 𝐴 kan ook op lijn u� liggen.

> Lijnstuk 𝐴𝐵 wordt begrensd door de punten 𝐴 en 𝐵.

> De lijn u� door 𝐴 en 𝐵 heet ook wel lijn 𝐴𝐵.

Lijnstuk 𝐴𝐵 ligt op lijn 𝐴𝐵. Punt 𝑆 is het snijpunt van u� en u�.

Opgave 2

Bekijk de eerste ﬁguur van de Uitleg op pagina 6.

a Er staat geen omschrijving van wat een punt nou precies is. Waarom is dat, denk je?

b Je zou kunnen zeggen dat een punt iets is zonder afmetingen. Maar hoe zit het dan met "punt" 𝐴?

c Kan een punt op een lijn liggen?

d Bestaat een lijn uit allemaal punten?

e Hoe kun je met twee lijnen een punt bepalen?

Opgave 3

(9)

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FIGUREN

b Hoe zou je het snijpunt van twee lijnen in woorden omschrijven?

c Wanneer heeft lijnstuk 𝐴𝐵 een snijpunt met lijn u�?

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

u� en u� snijden elkaar in punt 𝐴.

Punt 𝐴 heet het snijpunt van u� en u�.

u� en u� snijden elkaar loodrecht.

Je schrijft: u�⊥u�.

Spreek uit: ‘u� staat loodrecht op u�’.

In de ﬁguur zet je een klein haakje bij 𝐵. Dit haakje staat ook wel andersom.

Loodrechte lijnen kun je tekenen met je geodriehoek.

Opgave 4

Bekijk de ﬁguur hiernaast.

a Welke twee lijnen staan loodrecht op elkaar? Waaraan zie je dat?

b Hoe kun je dit met je geodriehoek zelf controleren?

c Welk punt is het snijpunt van de twee loodrechte lijnen?

Opgave 5

Teken op een stukje papier een lijn en een punt dat niet op die lijn ligt. Noem de lijn u� en het punt 𝑃.

a Teken met je geodriehoek een lijn door 𝑃 loodrecht op u�. Noem die nieuwe lijn u�.

b Teken nu een lijn door 𝑃 en loodrecht op u�. Noem die nieuwe lijn u�.

c Wat weet je van de lijnen u� en u�?

(10)

Voorbeeld 2

u� en u� snijden elkaar niet. Deze lijnen lopen evenwijdig.

Je schrijft: u� u�.

Spreek uit: ‘u� loopt evenwijdig aan u�’.

Je zet vaak in evenwijdige lijnen een pijltje.

Evenwijdige lijnen kun je tekenen met je geodriehoek.

Opgave 6

Bekijk de ﬁguur hiernaast. Hij staat ook op een werkblad.

a Welke twee lijnen zijn evenwijdig?

b Hoe kun je dit met je geodriehoek zelf controleren?

c Teken een lijn u� door punt 𝐴 en loodrecht op u�.

d Staat lijn u� ook loodrecht op u�? En op u�?

Opgave 7

Teken op een stukje papier een lijn en een punt dat niet op die lijn ligt. Noem de lijn u� en het punt 𝑃.

a Teken met je geodriehoek een lijn door 𝑃 evenwijdig aan u�. Noem die nieuwe lijn u�.

b Teken nu een lijn door 𝑃 en loodrecht op u�. Noem die nieuwe lijn u�.

c Wat weet je van de lijnen u� en u�?

Opgave 8

Neem een blanco stuk papier en teken dit kruispunt na.

Ga er van uit dat lijnen die evenwijdig lijken dat ook zijn en dat lijnen die loodrecht op elkaar lijken te staan dat ook doen.

(11)

Verwerken

Opgave 9

Iemand heeft een aantal lange dunne staafjes op tafel gegooid. Sommige staafjes liggen precies evenwijdig aan elkaar, andere liggen loodrecht op elkaar.

a Welk(e) staafje(s) ligt (liggen) evenwijdig met staafje 7?

b Welk(e) staafje(s) ligt (liggen) loodrecht op staafje 7?

Opgave 10

Teken een lijn u� met een punt 𝑃 op die lijn. Teken een punt 𝑄 dat niet op u� ligt.

a Teken een lijn door 𝑃 loodrecht op lijn u�. Noem die lijn u�.

b Teken een lijn door 𝑄 loodrecht op lijn u�. Noem die lijn u�.

c Wat weet je nu van de lijnen u� en u�?

d Het snijpunt van de lijnen u� en u� noem je 𝑅. Teken een lijn door 𝑅 evenwijdig lijnstuk 𝑃𝑄. Noem die lijn u�.

(12)

Opgave 11

Een rooster kan je helpen bij het tekenen van evenwijdige en loodrechte lijnen.

a Laat zien hoe je met het rooster lijn u� door punt 𝐶 evenwijdig aan lijn 𝐴𝐵 tekent.

b Laat zien hoe je met het rooster lijn u� door punt 𝐶 loodrecht op lijn 𝐴𝐵 tekent.

Opgave 12

De spoorrails van een modelspoorbaan liggen 4 cm uit elkaar en zijn 2 mm dik. Ze liggen op dwarsliggers van 6 cm lang en 0, 5 cm dik.

Teken een stuk van deze modelspoorbaan.

Toepassen

Maak bij elk van de volgende opgaven zorgvuldige tekeningen.

Opgave 13: Schaakspel

Bekijk eerst

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Lijn, lijnstuk, punt > Toepassen

Neem een stuk blanco papier en teken daarop een klein schaakbord van 8 cm bij 8 cm. Maak loodrechte en evenwijdige lijnen.

Opgave 14: Optische illusies

Bekijk deze ﬁguren en ga na of de getekende lijnen evenwijdig zijn.

(13)

Opgave 15: Beeldmerken

Ontwerpers van beeldmerken voor instellingen en bedrijven maken veel van evenwijdigheid en loodrechte stand gebruik. Hier zie je twee heel erg bekende beeldmerken. Weet je waar ze van zijn?

Probeer ze nauwkeurig te tekenen op blanco papier.

(14)

1.2 Afstanden

Verkennen

Opgave 1

Je ziet hier een plaatje van spoorrails van een modelspoorbaan. De rails zijn bevestigd op dwarsliggers en liggen precies 4 cm van elkaar.

a Hoe groot is de afstand tussen de rails dus?

b Neem een punt 𝐴 op de onderste rail. Is er een punt 𝐵 op de bovenste rail dat een afstand van 5 cm tot 𝐴 heeft?

c Is er een punt 𝐶 op de onderste rail dat 5 cm van 𝐴 ligt?

d Is er een punt 𝐷 op de bovenste rail dat een afstand van 3 cm tot 𝐴 heeft? En op de onderste rail?

Opgave 2

Hoe groot is de afstand van jouw huis tot aan school?

Leg uit hoe je die afstand kunt meten.

Is er veel verschil met de hemelsbrede afstand van jouw huis tot aan school?

Uitleg

In de wiskunde versta je onder afstand altijd de lengte van de kortste verbinding.

De afstand tussen twee punten 𝐴 en 𝐵 is de lengte van het lijnstuk 𝐴𝐵 tussen die punten. Iedere andere verbinding tussen beide punten is langer.

Bekijk de applet: Afstand tussen twee punten.

Je krijgt de kortste verbinding tussen punt 𝐶 en lijn u� krijgt als 𝐶𝑆 loodrecht staat op u�. De lengte van 𝐶𝑆 is dan de afstand van punt 𝐶 tot lijn u�. De lijn 𝐶𝑆 is dan de loodlijn door 𝐶 op u�.

Bekijk de applet: Afstand tussen punt en lijn.

(15)

Opgave 3

Bekijk de eerste ﬁguur van de Uitleg op pagina 12.

a Teken zelf twee punten 𝐴 en 𝐵 zo, dat hun onderlinge afstand 3 cm is.

b Is de afstand tussen 𝐴 en 𝐵 in de ﬁguur in de uitleg ook 3 cm?

c Leg uit waarom de wiskundige afstand van je huis tot de school altijd kleiner is dan de afstand die je zelf aﬂegt.

Opgave 4

Bekijk de tweede ﬁguur van de Uitleg op pagina 12.

a Ga na dat 𝐶𝑆 loodrecht op u� staat. Ga na, dat 𝐶𝑆 de kortst mogelijke verbinding is tussen 𝐶 en een punt 𝑆 op lijn u�.

b Teken zelf op een blanco blad een lijn u� en een punt 𝑃 dat precies 3 cm van die lijn af ligt.

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Lijnstuk 𝐷𝐸 staat loodrecht op lijn u� en op lijn u�. De lengte van 𝐷𝐸 is de afstand tussen deze twee evenwijdige lijnen.

Bekijk de applet: Loodrechte stand

Opgave 5

Bekijk de ﬁguur hiernaast, hij staat ook op het werkblad. u� en u� zijn evenwijdige lijnen.

a Teken de afstand van punt 𝑄 tot lijn u�.

b Waarom is de lengte van het lijnstuk bij a gelijk aan de afstand tussen u� en u�?

c Meet de afstand tussen de lijnen u� en u� in mm nauwkeurig.

Opgave 6

Bekijk de ﬁguur van (het werkblad bij) de vorige opgave nog eens.

a Hoe groot is de afstand tussen de lijnen u� en u�?

b Bepaal de afstand van 𝑄 tot u� in mm nauwkeurig.

c Teken alle punten die evenver van u� liggen als punt 𝑄.

(16)

Voorbeeld 2

De afstand tussen Groot-Brittannië en het Europese vasteland is ongeveer 30 km. Dit is de kortste afstand van een punt van Groot-Brittannië naar een punt van het Europese vasteland.

Opgave 7

Bekijk op het werkblad deze kaart van een deel van het Nederlandse Waddengebied. (Bron: Goog- le-Maps)

Je ziet de Waddeneilanden Texel, Vlieland, Terschelling, Ameland en een stuk van Schiermonnikoog.

a Hoeveel bedraagt de (kortste) afstand van Ameland naar Texel?

b Kunnen twee punten op Ameland en Texel 80 km van elkaar liggen?

c Bepaal de afstand van Terschelling tot de Friese kust.

Opgave 8

Gebruik nog eens het kaartje van het Waddengebied. Een schip bevindt zich op de Noordzee, op 10 km van Texel en op 10 km van Vlieland. Geef de positie van dit schip zo goed mogelijk op de kaart aan.

Opgave 9

Hoeveel liggen deze ﬁguren van elkaar af? Geef je antwoord met behulp van het werkblad in mm nauwkeurig.

(17)

Opgave 10

Bekijk deze ANWB paddenstoel. Dergelijke paddenstoelen zijn bedoeld voor ﬁetsers en geven afgeron- de afstanden aan.

a Hoeveel bedraagt de afstand over de weg van deze paddenstoel tot Nijemirdum of zijn hoogst? En op zijn minst?

b Betekent dit dat de wiskundige afstand tot Nijemirdum ook zoveel bedraagt?

Verwerken

Opgave 11

Neem een blanco blaadje papier en teken daarop twee evenwijdige lijnen u� en u� met een punt 𝐴 dat niet op één van die lijnen ligt. Werk samen met een medeleerling.

a Laat die medeleerling de afstand van 𝐴 tot u� in mm nauwkeurig opmeten. Controleer het antwoord.

b Laat die medeleerling de afstand van u� tot u� in mm nauwkeurig opmeten. Controleer het antwoord.

c Teken een lijn u� die 3 cm van 𝐴 ligt, maar niet evenwijdig is aan u� en u�. Laat je tekening controleren.

d De lijnen u� en u� snijden elkaar in 𝑆. Laat degene waarmee je samenwerkt de lengte van 𝐴𝑆 bepalen in mm nauwkeurig. Controleer zelf het antwoord.

Opgave 12

Hier zie je een ANWB wegwijzer.

a Hoe ver is het over de weg naar Steenbergen op zijn hoogst?

b Hoe ver is het over de weg op zijn minst naar Dinteloord?

Opgave 13

Leontine is wielrenster. De wielerbaan is 400 m lang. Ze ﬁetst 20 volle rondjes, start en ﬁnish zijn op dezelfde plaats.

a Hoeveel meter heeft Leontine in totaal afgelegd?

b Hoe groot is de (wiskundige) afstand tussen beginpunt en eindpunt van haar ﬁetstocht?

(18)

Opgave 14

Hier zie je de kaart van het Zeeuwse eiland Schouwen-Duiveland volgens Google-Maps. Hij staat ook op het werkblad.

a Als je het hebt over de afstand tussen twee dorpen op de kaart, wat bedoel je dan precies?

b Hoeveel is de afstand van Zierikzee naar Bruinisse (ongeveer)?

c Hoeveel bedraagt de grootste afstand van de Noordzeekust tot de uiterste punt bij Bruinisse?

d Waar is Schouwen-Duiveland op zijn smalst? Hoeveel km is die afstand?

e Een automobilist rijdt over de N59 van Burg Haamstede naar Bruinisse. Geef op de kaart aan waar hij het dichtst bij Brouwershaven zit.

Toepassen

Opgave 15: Google-maps

Bekijk eerst

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Afstanden > Toepassen

Je kunt met de muis elk deel van de wereld bekijken en er op inzoomen. Door op het woord Google linksonder op het kaartje te klikken krijg je de complete Google-Maps waarop ook een afstandsbalkje staat.

a Kies maar eens een paar plaatsen waar je de afstand tussen zou willen weten (bijvoorbeeld tussen Moskou en Leningrad). En bepaal dan die afstand met Google-Maps. Hoe nauwkeurig lukt dit?

b Met behulp van een routeplanner kun je de afstand over de weg tussen twee plaatsen in Nederland bepalen. Vergelijk die afstand eens met de wiskundige afstand tussen beide plaatsen.

c Wanneer verschillen beide afstanden bij b weinig? En wanneer veel? (Geef voorbeelden)

(19)

1.3 Passer en cirkel

Verkennen

Opgave 1

Op de foto hiernaast wordt met behulp van een passer een cirkel getekend.

a Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

b Teken een punt 𝑀 en zet daarin de stalen punt van de passer.

c Teken nu een cirkel om 𝑀.

Opgave 2

Yin en Yang zijn Chinese begrippen. Het zijn de twee tegengestel- de en complementaire (elkaar aanvullende) waarden waarmee het universum zich toont. Dit symbool duidtYin en Yangaan.

Probeer het exact na te tekenen.

Uitleg

Je ziet hier een cirkel met middelpunt 𝑀.

Het middelpunt 𝑀 ligt zelf niet op de cirkel.

Een straal is een lijnstuk vanuit het middelpunt naar de cirkel, bijvoorbeeld 𝑀𝐴 (of 𝑀𝐵).

Lijnstuk 𝐴𝐵 deelt de cirkel in twee gelijke delen. De lengte van lijnstuk 𝐴𝐵 heet de diameter. De diameter is twee keer de straal.

Lijnstuk 𝐴𝐵 is een middellijn van de cirkel.

Een cirkel teken je met een passer.

De afstand tussen beide passerpunten is de lengte van de straal.

In de foto in opgave 1 op pagina 17zie je hoe dat gaat.

Bekijk de applet: Cirkel.

(20)

Opgave 3

Je ziet in de Uitleg op pagina 17een cirkel met middelpunt 𝑀 en straal 2 cm.

a Hoe lang is 𝑀𝐴?

b Hoe lang is 𝐴𝐵?

c Zijn 𝐴 en 𝐵 punten van de cirkel?

d Is 𝑀 een punt van de cirkel?

Opgave 4

Teken een cirkel met middelpunt 𝑀 en een diameter van 5 cm.

Opgave 5

Bij het boogschieten is het doel vaak een roos zoals die hieronder. Hij bestaat uit 10 cirkels met het- zelfde middelpunt. De diameter van de binnenste cirkel is 10 cm. De straal van elke cirkel is steeds 5 cm groter dan de straal van grootste cirkel die er binnen ligt.

Hoe groot is de straal van de buitenste cirkel?

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Bekijk

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Passer en cirkel > Voorbeeld 1 op de computer of de iPad. Je ziet hoe je met cirkels een smiley tekent.

Opgave 6

Teken zo’n smiley. Kies geschikte afmetingen voor je cirkels.

(21)

Opgave 7

Dit is het symbool van de Olympische Spelen: vijf ringen die de vijf werelddelen verbeelden. Teken zelf dit symbool, kijk eerst hoe de ringen zijn geschakeld.

Voorbeeld 2

Bekijk

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Passer en cirkel > Voorbeeld 2

op de computer of de iPad. Je ziet hier hoe je met een passer en een liniaal (dus zonder de rechte hoek van je geodriehoek te gebruiken) een loodlijn door gegeven punt op een gegeven lijn kunt tekenen.

Opgave 8

Teken deze ﬁguur zelf (ongeveer) na en teken de loodlijn door 𝑃 op lijn u� met behulp van passer en liniaal. Controleer na aﬂoop met je geodriehoek of de hoek echt recht is geworden.

Opgave 9

Je en op het werkblad ziet hier een stuk van een snelweg. De radiozender bij 𝑅 heeft een bereik van 150 km. De zender staat 100 km van deze snelweg af. Kleur het stuk snelweg waarop je deze radiozender kunt ontvangen.

(22)

Verwerken

Opgave 10

Een cirkel u� heeft een straal van 4 cm en middelpunt 𝑀.

a Teken deze cirkel. Kies zelf de plaats van het middelpunt.

b 𝐴 en 𝐵 zijn punten op de cirkel. Hoeveel bedraagt de afstand tussen 𝐴 en 𝐵 op zijn hoogst?

c Teken de punten 𝐴 en 𝐵 zo, dat hun afstand 3 cm is.

Opgave 11

Teken de cirkel uit de vorige opgave nog een keer.

a Teken een lijn u� door het middelpunt 𝑀 van de cirkel.

b Teken alle punten op de cirkel die precies 3 cm van deze lijn af liggen.

c Teken een punt 𝑃 op de cirkel. Teken vervolgens de lijn door 𝑀 die een afstand van 2 cm tot punt 𝑃 heeft.

Opgave 12

Hier en op het werkblad zie je een kaartje van Nederland en omgeving volgens Google-Maps.

In Utrecht woont de fervente zendamateur Jos van der Wierick. Hij heeft een zendinstallatie met een bereik van 85 km. Geef op de kaart aan waar in Nederland hij te horen is.

(23)

Opgave 13

Je kunt met cirkels leuke ﬁguren maken. Probeer de volgende ﬁguur met de passer na te maken.

Opgave 14

Dit is een afbeelding van een geldstuk van 2 euro. Het heeft de vorm van een cirkel.

Leg uit hoe je het middelpunt van deze cirkel bepaalt.

Toepassen

Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting van je werkwijze.

Opgave 15: Plaats van een schip bepalen

Bekijk eerst

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Passer en cirkel > Toepassen

Je ziet hier hoe je de plaats van een schip op zee kunt bepalen.

Bekijk vervolgens op het werkblad deze kaart van een deel van het Nederlandse Waddengebied. (Bron:

Google-Maps)

(24)

Je ziet de Waddeneilanden Texel, Vlieland, Terschelling, Ameland en een stuk van Schiermonnikoog. De Brandaris (de vroegere vuurtoren van Terschelling) staat op deze kaart bij de c van West-Terschelling.

Vanaf die toren kun je 30 km ver kijken. Verder zie je een stuk van het Friese vasteland met plaatsen als Harlingen en Leeuwarden.

a Geef op de kaart het stuk van de Waddenzee aan dat je vanaf de Brandaris kunt zien.

b Vanaf de kade bij Harlingen kun je maar 10 km ver kijken. Een zeilboot is zowel vanaf de Brandaris als vanaf de kade in Harlingen te zien. Geef op de kaart aan waar die zeilboot zich kan bevinden.

c Hoeveel km uit de kust van het Friese vasteland ligt deze zeilboot hoogstens?

Opgave 16

Gebruik nog eens het kaartje van het Waddengebied. Een schip bevindt zich op de Noordzee, op 20 km van de noordelijkste punt van Texel en op 20 km van de Brandaris.

a Geef de positie van dit schip op de kaart aan.

b Hoeveel km van Vlieland ligt dit schip?

Opgave 17: Rond terras

Iemand wil in zijn tuin een rond terras maken met een diameter van 4 m. De achterdeur van zijn huis is 1 m breed, bomen en struiken kunnen worden verplaatst, de heg om de tuin moet blijven.

a Teken op het werkblad zo’n terras in deze tuin.

b Hoe maak je zo’n cirkel met een diameter van 4 m in werkelijkheid?

c Op welke plaatsen kan het middelpunt van zijn terras worden gemaakt? Geef dit gebied in je ﬁguur aan.

(25)

1.4 Vlakvulling

Verkennen

Opgave 1

Bij het schoolvak wiskunde werk je meestal op papier met daarop een rooster van vierkantjes van 1 cm bij 1 cm.

a Waarom is het gebruik van dergelijk roosterpapier handig?

b Waarom is zo’n rooster een voorbeeld van een vlakvulling?

c Dit rooster bestaat uit vierkantjes. Wat is een vierkant precies?

Opgave 2

Er bestaan ook andere soorten roosterpapier. Hier zie je er een paar.

I II III

a Vlakvulling I bestaat uit vierkantjes. Hoe kun je dat door meten controleren?

b Vlakvulling II bestaat uit rechthoekjes. Wat is het verschil tussen een rechthoek en een vierkant?

c Vlakvulling III bestaat uit driehoekjes. Wat voor bijzonders hebben deze driehoekjes?

Uitleg

Een vlakvulling is een oneindig voortgezet patroon, opgebouwd uit steeds dezelfde basisﬁguren. Het eenvoudigste voorbeeld is wel een een vlakvulling van allemaal vierkantjes, of allemaal rechthoekjes.

Het ‘ruitjespapier’ waarop je vaak werkt bij wiskunde is een deel van zo’n vlakvulling.

En hoewel dat ‘ruitjespapier’ heel handig is, is het ook nogal saai.

Er zijn leukere vlakvullingen.

I II III

(26)

Vlakvullingen worden ook tegenwoordig nog volop onderzocht.

Bekijk dezewebquest over vlakvullingen Opgave 3

Je ziet in de Uitleg op pagina 23een vlakvulling die is opgebouwd uit twee verschillende basisﬁguren.

a Teken zelf een stukje van deze vlakvulling.

b De éne basisﬁguur is een achthoek. Hoe zou je de andere basisﬁguur noemen?

Je kunt met dezelfde achthoeken en iets grotere vierkanten ook een andere vlakvulling maken. Je ziet er hier een stukje van.

c Maak een groter deel van deze vlakvulling.

d Hoe kun je nameten dat het vierhoekje op zijn punt ook echt een vierkant is?

Opgave 4

Bekijk de vlakvulling uit de Uitleg op pagina 23.

a Kun je een vlakvulling maken die alleen uit achthoeken zoals die in de Uitleg op pagina 23bestaan?

b Kun je een achthoek ontwerpen waarmee je wel een vlakvulling kunt maken?

Opgave 5

Maak een vlakvulling die alleen uit gelijke zeshoeken bestaat.

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Beroemde Arabische vlakvullingen vind je in het ‘Alhambra’ in Granada in Spanje. Linksonder een voorbeeld.

(27)

Ook de Nederlandse kunstenaarM.C. Eschermaakte veel vlakvullingen. Rechtsboven zie je een voorbeeld.

Opgave 6

Deze twee vlakvullingen zijn afkomstig vankleurrijkewiskunde.nl. Ze bestaan uit ruitjes en driehoekjes.

I II

a Welke van beide vlakvullingen bestaat alleen uit ruitjes?

b Omschrijf wat een ruit is. Leg bijvoorbeeld uit wat het verschil is met een vierkant.

c Verzin zelf een vergelijkbaar patroon met ruitjes en driehoekjes.

Opgave 7

Bij de vlakvullingen die je in Voorbeeld 1 op pagina 24aantreft is het vaak nog lastig om de basisfigu- ren te ontdekken, laat staan ze een naam te geven. Zoek afbeeldingen van minstens drie vlakvullingen die je hiervoor niet bent tegengekomen en geef daarin de basisfigu(u)r(en) aan. Als dat mogelijk is geef dan de naam van die basisfigu(u)r(en).

Voorbeeld 2

Je kunt ook zelf vlakvullingen maken. Je ziet een aantal manieren waarop dit kan via

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Vlakvulling > Voorbeeld 2

> Tijdschrift Pythagoras: Tom Verhoeﬀ over vlakvullingen

> Kleurrijke wiskunde

Opgave 8

Maak zelf zo’n meer ingewikkelde vlakvulling. Dat kan gewoon op papier, maar het kan ook met een eenvoudig tekenpakket als MS-Paint of andere tekenpakketten.

Opgave 9

Er zijn ook andere manieren om vlakvullingen te maken. Zoek maar eens op internet. Bedenk nog een mooie vlakvulling.

(28)

Verwerken

Opgave 10

Hier zie een stukje van twee vlakvullingen.

I II

a Teken de ﬁguren na en maak beide vlakvullingen af.

b Welke van deze twee vlakvullingen bestaat uit ruiten?

c De basisﬁguur van de andere vlakvulling heet vlieger. Wat is het verschil tussen een vlieger en een ruit?

Opgave 11

Bijen maken een honingraat die bestaat uit zeshoekjes.

Maak dit bijenpatroon zo nauwkeurig mogelijk na.

Opgave 12

Ontwerp een vlakvulling die bestaat uit zeshoeken en vierkantjes.

Teken er een gedeelte van.

(29)

Toepassen

Opgave 13: Stenen leggen

Bekijk op

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Vlakvulling > Toepassen

hoe metselaars de stenen in een bepaald patroon leggen. Er zijn diverse namen voor.

a Teken een vlakvulling met stenen van 1 cm bij 2 cm in klezorenverband.

b Wat is het verschil met een halfsteensverband?

Stratenmakers gebruiken nog andere verbanden. Je ziet er hiernaast een voorbeeld van.

c Teken een vlakvulling met dit verband.

d Ontwerp een eigen terras en teken de vlakvulling.

Opgave 14: Betegelingen

Vlakvullingen, vaak betegelingen genoemd, bestaan er in verschillende soorten. Er zijn uniforme betegelingen, periodieke betegelingen, Archime- dische betegelingen en nog veel meer.

De websitekleurrijkewiskunde.nlis een goed begin als hier meer over wilt weten en voorbeelden van verschillende soorten vlakvullingen wilt zien.

Een mooi onderwerp voor een praktische opdracht!

(30)

1.5 Vlakke ﬁguren

Verkennen

Opgave 1

Hier zie je een schilderij van de Nederlandse kunstenaar Bart van der Leck (1876 - 1958).

Hoe heten de ﬁguren die je er allemaal op tegen komt? (Pro- beer ze allemaal een naam te geven.)

Uitleg

Bij het maken van vlakvullingen werk je met vlakke ﬁguren.

De belangrijkste zie je in deze ﬁguur.

Maar waaraan herken je nu precies een vierkant? Of een trapezium?

Welke eigenschappen hebben ze?

Bekijk de voorbeelden 1 en 2 voor een eerste indruk...

(31)

De meeste vlakke ﬁguren zijn veelhoeken. Een veelhoek bestaat uit hoekpunten die verbonden zijn door lijnstukken. Deze lijnstukken noem je zijden.

Opgave 2

Hier zie je een serie vlakke ﬁguren. Ze zijn voor het gemak op een rooster getekend. Je kunt dan beter zien welke lijnstukken even lang zijn, recht op elkaar staan, of evenwijdig zijn.

a Schrijf van elke ﬁguur de juiste naam op.

b Hoeveel hoekpunten en hoeveel zijden heeft elke driehoek?

c De andere ﬁguren zijn vierhoeken, maar hebben toch vaak een speciale naam omdat het bijzondere vierhoeken zijn. Teken een vierhoek die geen bijzondere vierhoek is.

Opgave 3

Teken een vijfhoek. Hoeveel hoekpunten en hoeveel zijden heeft elke vijfhoek?

Opgave 4

Hoeveel hoekpunten heeft een veelhoek met 10 zijden?

(32)

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Een driehoek is een veelhoek met drie hoekpunten en drie zijden. Hier zie je driehoek 𝐴𝐵𝐶. Je schrijft ook wel: Δ𝐴𝐵𝐶.

Een vierhoek is een veelhoek met vier zijden. Onder een diagonaal versta je een lijnstuk dat twee hoekpunten verbindt die niet op dezelfde zijde liggen. De lijnstukken 𝐷𝐹 en 𝐸𝐺 zijn de diagonalen van vierhoek 𝐷𝐸𝐹𝐺. Elke vierhoek heeft twee diagonalen.

Een cirkel heeft geen zijden en geen hoekpunten. Een cirkel heeft een middelpunt en een straal.

Opgave 5

In deze opgave gaat het alleen over driehoeken en vierhoeken.

a Waarom heeft geen enkele driehoek diagonalen?

b Waarom heeft elke vierhoek precies twee diagonalen?

c Teken een vierhoek waarbij niet alle diagonalen binnen de vierhoek liggen.

Opgave 6

Teken een vijfhoek. Teken alle diagonalen er in.

Opgave 7

Hoeveel diagonalen heeft elke vijfhoek? Waarom weet je dat zeker?

Voorbeeld 2

Bijzondere vierhoeken zijn de rechthoek, de ruit, het vierkant, de vlieger en het parallellogram. Zijden met een gelijke lengte hebben een gelijk teken.

> In een rechthoek staan opvolgende zijden loodrecht op elkaar.

> Van een ruit zijn de zijden even lang.

(33)

> In een parallellogram zijn overstaande zijden evenwijdig en even lang.

> Een trapezium heeft één paar evenwijdige zijden.

Opgave 8

Hier en op het werkblad zie je de tekening van allerlei vierhoeken (en één driehoek) nog eens.

a Zet in elke vierhoek zijn naam en geef de eigenschappen er in aan. Evenwijdige lijnstukken kun je aangeven met gelijke pijltjes op de lijnstukken of je zet naast de ﬁguur welke lijnstukken evenwijdig zijn.

b Je kunt bij veel vierhoeken meerdere namen zetten. Je neemt dan de naam die de meeste eigenschappen vertegenwoordigt. Leg uit wat dit voor vierhoek I betekent.

(34)

Opgave 9

Bekijk de vierhoek-applets op

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Vlakke ﬁguren > Practicum

In de eerste applet kun je van een vlieger een ruit maken. Zorg er zoveel mogelijk voor dat de hoekpunten van de ﬁguur op de snijpunten van roosterlijnen vallen.

a Maak een ruit. Leg uit waarom je zeker weet dat deze vlieger nu een ruit is geworden.

b Is elke ruit een vlieger?

c Is elke vlieger een ruit?

d Je kunt ook een vierkant maken. Waar moet je dan voor zorgen?

e Waarom kun je hier geen rechthoek maken?

In de tweede applet begin je met een trapezium.

f Waarom is deze ﬁguur altijd een trapezium?

g Hoe maak je er een parallellogram van?

h Maak ook een vierkant van vierhoek 𝐴𝐵𝐶𝐷. Waarom heb je nu meteen ook een ruit gemaakt?

Opgave 10

Lees de volgende uitspraken. Leg uit of ze waar of niet waar zijn.

a Elk vierkant is ook een rechthoek.

b Elk vierkant is ook een ruit.

c Elke ruit is ook een vierkant.

d In elk vierkant staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

e In elke rechthoek staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

(35)

Verwerken

Opgave 11

Bekijk het schilderij ‘Ruiter te paard’ van Bart van der Leck.

a Hoeveel vierhoeken zitten er in de tekening?

b Hoeveel driehoeken zie je in de tekening?

c Tel alle rechthoeken. Zijn er ook vierkanten bij?

Opgave 12

Hier en op het werkblad zie je vier vlakke ﬁguren.

a Schrijf bij elke ﬁguur de juiste naam.

b Geef in elke vierhoek zijn eigenschappen aan.

Opgave 13

Hoeveel diagonalen heeft elke achthoek? Licht je antwoord toe.

Toepassen

Opgave 14: Driehoek met passer en liniaal

Bekijk de foto en de tekst van

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Vlakke ﬁguren > Toepassen

Bekijk nog niet de animatie van de constructie van een driehoek.

a Probeer uit te leggen waarom je een vierhoek nog kunt vervormen en een driehoek niet.

Als je van een driehoek de drie zijden weet, kun je hem met alleen potlood, liniaal en een passer tekenen.

Neem aan dat van driehoek 𝐴𝐵𝐶 geldt 𝐴𝐵 = 6 cm, 𝐵𝐶 = 4 cm en 𝐴𝐶 = 3 cm.

(36)

b Teken eerst zijde AB.

c Neem dan 4 cm tussen de passerpunten (de lengte van 𝐵𝐶) en maak een cirkel met middelpunt 𝐵.

d Neem vervolgens 3 cm tussen de passerpunten (de lengte van 𝐴𝐶) en maak een cirkel met middelpunt 𝐴.

e Waar vind je nu punt 𝐶 van de driehoek? Maak je driehoek af. (Er zijn twee mogelijkheden, maar dat zijn gelijke driehoeken.)

f Teken nu zelf driehoek 𝐾𝐿𝑀 met 𝐾𝐿 = 5 cm, 𝐿𝑀 = 6 cm en 𝐾𝑀 = 7 cm.

g Oefen het tekenen van driehoeken met een medeleerling. De één geeft drie lengtes van zijden op en de ander tekent de driehoek. Lukt het altijd? Wanneer kun je geen driehoek maken?

h Teken een vierhoek met zijden van 4 cm, 5 cm, 6 cm en 7 cm. Waarom zijn er nu meerdere mogelijkheden?

Opgave 15: Veelhoeken in vlakvullingen

Welke veelhoeken herken je in de volgende vlakvullingen?

I II

Opgave 16: Honderdhoek

Hoeveel diagonalen heeft een honderdhoek? Licht je antwoord toe.

(37)

1.6 Plaatscodes

Verkennen

Opgave 1

Dit is de beginopstelling van de stukken bij schaken. Elk vakje op het schaakbord heeft een code. Naast de acht pionnen heeft elke speler één koning, één koningin, twee lopers, twee paarden en twee torens.

a Op het vakje e1 staat de witte koning. Op welk vakje staat de zwarte koning?

b Een zwarte loper staat op c8. Waar staan de andere lopers?

c Er zijn vier torens. Ze staan op de hoeken van het schaakbord.

Waar staan de twee witte torens?

d De paarden staan naast de lopers. Op welke vakken staan de paarden?

Opgave 2

Een paard maakt gekke sprongen op een schaakbord. Om een paardensprong uit te voeren, ga je met het paard eerst twee vakjes naar voren of naar achteren en daarna een vakje naar links of naar rechts;

maar je mag ook eerst twee vakjes naar links of naar rechts, en dan een vakje naar voren of naar achteren. Het witte paard op b1 kan dus naar a3 en c3. Niet naar d2 want daar staat een stuk van de eigen kleur.

a Naar welke vakken kan het zwarte paard op g8?

b Dit zwarte paard staat nu op f6. Naar welke vakken kan het nu springen als er verder geen zwarte stukken zijn verplaatst?

Uitleg

Met een code schrijf je op een korte manier veel informatie op.

Een plaatscode gebruik je bijvoorbeeld

> om een straat op een kaart aan te geven: in vak C3 ligt de Molenstraat (zie voorbeeld)

> om je plaats in een bioscoop aan te geven: rij 14, stoel 5

> de postcode + huisnummer voor je adres

> om het lokaal waar je les hebt te vinden: D9 is het negende lokaal op de D-verdieping

> om een vakje van een schaakbord weer te geven Maar er bestaan ook andere soorten codes:

> de BARcode op artikelen in winkels

> de PINcode van je bankpas

> Morsecode om berichten te versturen

> de binaire code voor de computer

(38)

Opgave 3

Hier zie je een enkele voorbeelden van codes.

BAR code KIX code Morse code

a De BAR code zie je onder andere op verpakkingen van producten die je in de winkel koopt. Is dit een plaatscode?

b De KIX code wordt door het postorderbedrijf TPG gebruikt om adressen weer te geven. Zo kan 1234 AB huisnummer 56C worden omgezet in KIX code. Teken die KIX code. Is dit een plaatscode?

c Morse code wordt gebruikt om berichten te versturen. Het lijkt niet erg handig met al die puntjes en streepjes. In welke situaties zal Morse code wel handig zijn?

d Morse code is geen plaatscode, maar kan wel worden gebruikt om een plaats door te geven. Licht dit met een voorbeeld toe.

Opgave 4

Hier zie je een bord van het spel GO. Je zet daarbij ronde stenen op de snijpunten van twee roosterlijnen. De éne speler speelt met de witte, de andere met de zwarte stenen.

a Welke plaatscode krijgt de steen met het rode vakje er om?

b Ligt er op p5 een steen? Zo ja, een zwarte of een witte?

c Hoeveel zwarte stenen hebben een plaatscode die begint met een g?

d Hoeveel zwarte stenen hebben een plaatscode die eindigt met 12?

e Vergelijk de plaatscodes van het schaakspel met die van het go-spel. Welke verschillen zijn er?

f Hoeveel stenen kunnen er in principe maximaal op dit go-bord?

Opgave 5

Klas B1C heeft les in lokaal D13.

a Wat betekent die code voor de klas waarschijnlijk?

b Wat betekent die lokaalaanduiding waarschijnlijk?

(39)

d Een schoolgebouw kent vier verdiepingen, namelijk B, I, II en III. Verder zijn er een noordvleugel, een zuidvleugel en een oostvleugel. Daarbinnen zijn alle ruimtes genummerd van 00 tot en met hoogstens 30. Welke code krijgt lokaal 12 in de zuidvleugel van de derde verdieping?

Opgave 6

Van het bekende spel ‘boter, kaas en eieren’ bestaat ook een 3D versie zoals je op de foto ziet. De éne speler heeft zwarte en de andere witte bolletjes. Ze plaatsen ombeurten een bolletje, wit begint. Wie het eerst drie op een rij heeft (mag ook diagonaal) wint.

a Ligt er op C-II-3 een bolletje? Zo ja welke kleur heeft dat?

b Op het onderste bord liggen zeven bolletjes. Geef de posities van de drie zwarte bolletjes.

c Waarom zie je op de foto de eindstand van een spelletje? Wie heeft gewonnen, zwart of wit?

d Geef de plaatscodes van de drie winnende bolletjes.

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Dit is een deel van een kaart van Brouwershaven.

In vak C3 ligt de Molenstraat.

(bron:Stadsraad Brouwershaven)

Opgave 7

Bekijk het kaartje van Brouwershaven.

a In welk vak ligt de Dapperweg?

b In welke vakken liggen de drie kerken?

c Wat tref je vooral aan in vak D3?

(40)

Opgave 8

Je ziet hier een kaartje van het centrum van Deventer.

a In welk vak ligt het NS-station?

b De Kleine Overstraat loopt tussen de Brink en de Lange Bisschopsstraat. In welk vak ligt die straat vooral?

c Het Boreelplein is een nieuw winkelcentrum op het terrein van de vroegere Boreelkazerne. In welk vak ligt dit nieuwe winkelcentrum vooral?

d In vak B2 tref je de naam aan van één van de vroegere toegangspoorten tot de stad Deventer. Hoe heette die poort?

e In welk ander vak is de naam van een andere vroegere toegangspoort tot Deventer te vinden?

f Als je Deventer nadert vanuit het westen zie je de torens van de Lebuïnuskerk en die van de Bergkerk al van grote afstand. Beide kerken zijn op de kaart aangegeven. Waar vind je ze?

g Tussen twee roosterlijnen op de kaart zit een afstand van 200 m. Hoe ver liggen beide kerken van elkaar?

(41)

Verwerken

Opgave 9

Je ziet hier een tabel in het computerprogramma MS-Excel. Dit programma is vooral een rekenblad en bestaat uit cellen. Cel H19 is geselecteerd.

a Wat staat er in cel H19 en wat betekent dit getal?

b In welke cel staat over welke leerlingen het getal in H19 gaat? En in welke cel staat over welk jaar dit getal gaat?

c In welke cel staat het aantal scholen voor basisonderwijs in 2007/2008?

d Hoeveel leerlingen zaten er in 2007/2008 in het basisonderwijs? Hoeveel zijn dat gemiddeld per school?

e Open Excel. De kolommen in Excel zijn aangegeven door A, B, C, ... Tot hoever gaat dit door?

f De rijen in Excel zijn genummerd. Wat is het hoogste nummer?

g Hoeveel cellen heeft Excel?

Opgave 10

Dammen doe je op een bord van 10 bij 10. De stenen liggen alleen op de ‘zwarte’ velden. Om aan te geven op welk veld een damsteen ligt is een nummering bedacht. Op het plaatje hiernaast liggen er zwarte stenen op de velden 11, 12 en 21.

Elke steen mag één plaats vooruit worden geschoven of over een steen van de tegenpartij springen. Heb je een steen naar de overkant van het bord gebracht, dan krijg je een dam (twee stenen op elkaar).

a Leg uit hoe de nummering van de velden gaat.

b Op welk veld ligt de meest vooruitgeschoven zwarte steen?

Waarom weet je zeker dat dit de meest vooruitgeschoven zwarte steen is?

c Op welk veld ligt de meest vooruitgeschoven witte steen?

(42)

Opgave 11

Je ziet hier een stapel gelijke blokken. Je wilt iemand die dit bouwsel niet kan zien mondeling doorgeven hoe het er uit ziet. Je vertelt hem dat je het grondvlak een rechthoek is van 4 bij 3 cm, verdeeld in vakken van 1 bij 1 cm. Van links naar rechts geef je die vakken aan met A, B, C, D en van voor naar achteren met I, II en III.

a Wat betekent dan C-I-0?

b Hoeveel blokken liggen er op A-III? Welke code hoort daar bij?

c Er zijn vier plekken waar de stapel twee blokken hoog is.

Schrijf de bijbehorende codes op.

Toepassen

Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting.

Opgave 12: Zeeslag

Bekijk hierboven hoe het spelletje ‘zeeslag’ gaat.

Bekijk hoe het spelletje ‘zeeslag’ gaat op

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Plaatscodes > Toepassen

Speel een spelletje zeeslag met een medeleerling.

(43)

Opgave 13: Tandarts

Ook de tandarts werkt met codes voor je tanden en kiezen.

Bekijk

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Plaatscodes > Toepassen

Zoek op hoe de internationale tandnummering werkt. Hieronder zie je een gebit.

a Welke codes hebben je vier hoektanden? Zet ze er in het plaatje van het gebit op de juiste plaats bij.

b Is de 2-6 een tand of een kies? Hoort hij in het gebit van een kind dat zijn melktanden nog heeft of in het gebit van een volwassene?

c Geef in de ﬁguur de 3-1 aan. Wat is het voor tand?

d Geef de codes van de verstandskiezen.

(44)

1.7 Coördinaten

Verkennen

Opgave 1

Hier zie je een schoolbord met daarop een rooster.

De roostervakjes zijn 5 cm bij 5 cm.

Hoe zou je op zo’n schoolbord de plaats van een punt kunnen aanduiden?

Opgave 2

Voor het aanduiden van een punt heb je soms één, soms twee en soms nog meer getallen nodig. Bo- vendien moet je een beginpunt kiezen.

a Hoe geef je een punt aan op de getallenlijn?

b Met hoeveel getallen geef je de plaats van een punt aan op een plat vlak zoals dit schoolbord?

c Hoeveel getallen heb je nodig om de plaats van een punt in de ruimte vast te leggen?

d Hoeveel getallen heb je nodig voor de plaats van een punt op het aardoppervlak?

e Kun je een situatie bedenken waarin je vier getallen nodig hebt om de plaats van een punt weer te geven?

(45)

Uitleg

Om de plaats van een punt in een vlak vast te leggen, gebruik je een assenstelsel. Zo’n assenstelsel heeft twee assen: een 𝑥 -as en een 𝑦-as.

Het snijpunt van de assen noem je de oorsprong 𝑂.

De plaats van een punt kun je nu aangeven met twee getallen.

Je noemt die getallen coördinaten: de u�-coördinaat en de u�-coördinaat.

In de ﬁguur zie je de coördinaten van het punt 𝐴: twee getallen tussen haakjes met de u�-coördinaat voorop.

Bekijk de applet: Coördinaten.

Opgave 3

Werk eerst even met de applet in de Uitleg op pagina 43.

Maak daarmee de punten (5, 2), (2, 5), (8, 1), (0, 9), (9, 0), (7, 7).

Opgave 4

Hier zie je een rooster waarop een assenstelsel is getekend. Verder staan er een aantal punten aangegeven.

a Welke coördinaten heeft de oorsprong 𝑂?

b Schrijf de coördinaten van de getekende punten op.

(46)

c Schrijf de coördinaten op van drie punten op de u�-as.

d Schrijf de coördinaten op van drie punten op de u�-as.

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Van een roosterpunt zijn beide coördinaten gehele getallen.

Punt 𝐴 (4, 2) is een roosterpunt.

Punt 𝑂 (0, 0) is ook een roosterpunt.

Punt 𝐵 ligt niet op het snijpunt van twee roosterlijnen.

Punt 𝐵 is dus geen roosterpunt. Je schrijft 𝐵 (2; 1, 7).

Tussen de coördinaten staat een ‘;’ in plaats van een ‘,’.

Opgave 5

Werk weer met de applet in de Uitleg op pagina 43op de Math4allsite.

Maak daarmee de punten (5; 3, 2), (5, 3; 2), (7, 5; 0), (0, 5; 7), (0; 5, 7), (14, 2; 6, 5).

(LET OP: In de applet wordt de decimale punt in plaats van de decimale komma gebruikt. Puntkomma is dan overbodig!)

Opgave 6

Hier zie je een rooster waarop een assenstelsel is getekend. Verder staan er een aantal punten aangegeven.

a Neem de ﬁguur over en schrijf de coördinaten van de getekende punten op.

b Welke van deze punten zijn roosterpunten?

c Teken een lijnstuk tussen de punten 𝐴 en 𝐵. Welke roosterpunten liggen er nog meer op dat lijnstuk?

Schrijf hun coördinaten op.

(47)

Opgave 7

In dit assenstelsel is een deel van rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷 getekend.

a Schrijf de coördinaten van de getekende punten op.

b Maak rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷 af.

c Schrijf de coördinaten op van punt 𝐷.

d Het snijpunt van de diagonalen van deze rechthoek is 𝑆.

Schrijf de coördinaten op van punt 𝑆.

Voorbeeld 2

Hoe teken je de punten 𝑃 (1, 4) en 𝑄 (5, 2) in een assenstelsel?

> Teken de u�-as en de u�-as. Zorg ervoor dat de assen lang genoeg zijn.

> Zet getallen 0, 1, 2, 3, enzovoorts langs de assen.

> Teken de opgegeven punten in het assenstelsel.

De u�-coördinaat zit op de u�-as, dus vanuit de oorsprong naar rechts.

De u�-coördinaat zit op de u�-as, dus vanuit de oorsprong omhoog.

> Zet hoofdletters bij de punten.

Opgave 8

Hier zie je een rooster met een assenstelsel. Neem de ﬁguur over en teken daarop de punten 𝑂 (0, 0), 𝐴 (1, 5), 𝐵 (4, 0), 𝐶 (6¹₂, 4) en 𝐷 (8; 3, 5).

Opgave 9

Neem een stuk roosterpapier.

a Teken daarop een assenstelsel. Zorg er voor dat er punten op kunnen waarvan de u�-cördinaat 20 is en/of de u�-coördinaat 20 is.

b Teken nu de volgende punten en trek steeds een lijnstuk vanuit een punt naar het volgende punt: (2, 2), (4, 2), (4, 4), (6, 4), (6, 2), (10, 2), (7, 4), (8, 6), (8, 12), (10, 8), (8, 10), (8, 12), (6, 14), (4, 14), (2, 10), (3, 4), (2, 2), (3, 4), (1, 8), (0, 6), (2, 16), (2, 18), (4, 19), (6, 18), (8, 18), (5, 17), (6, 18), (8, 18), (6, 16), (5, 17), (6, 16), (8, 12).

(48)

c Zet een dikke stip op (4, 18).

d Wat heb je voor ﬁguur gekregen? Kleur hem in...

Opgave 10

Seyma en Jannes moesten beiden dezelfde ﬁguur tekenen. Hier zie je hun resultaten.

Seyma heeft haar ﬁguur al laten controleren en gehoord dat hij goed is.

Maar wat heeft Jannes dan fout gedaan?

Seyma’s ﬁguur Jannes’ ﬁguur

(49)

Voorbeeld 3

Hoe teken je een veelhoek in een assenstelsel?

> Teken de u�-as en de u�-as. Zorg ervoor dat de assen lang genoeg zijn.

> Zet getallen 0, 1, 2, 3, enzovoorts langs de assen.

> Teken de hoekpunten van de veelhoek in het assenstelsel.

> Verbind de punten in de aangegeven volgorde.

In dit assenstelsel worden de punten 𝑃 (2, 1), 𝑄 (10, 2) en 𝑅 (3, 8) en Δ𝑃𝑄𝑅 getekend.

Opgave 11

Van een vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷 zijn de coördinaten van drie hoekpunten bekend: 𝐴 (1, 2), 𝐵 (6, 1) en 𝐶 (7, 6).

a Teken vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷 in een u�u�-assenstelsel.

b Schrijf de coördinaten van punt 𝐷 op.

c Schrijf de coördinaten van het snijpunt van de diagonalen van dit vierkant op.

d Hoeveel roosterpunten liggen er binnen dit vierkant?

Opgave 12

Gegeven is de ruit 𝐾𝐿𝑀𝑁 door de hoekpunten 𝐾 (2, 0) en 𝐿 (4, 3). Het snijpunt van de diagonalen 𝐾𝑀 en 𝐿𝑁 is punt 𝑆 (2, 3).

a Teken ruit 𝐾𝐿𝑀𝑁 in een u�u�-assenstelsel.

b Schrijf de coördinaten van de punten 𝑀 en 𝑁 op.

c Schrijf de coördinaten op van alle roosterpunten die binnen deze ruit liggen.

d Welke coördinaten hebben de middens van de zijden van deze ruit?

(50)

Verwerken

Opgave 13

Je ziet hier een u�u�-assenstelsel met daarin een aantal punten.

a Punt 𝐴 heeft de coördinaten (4, 3). Leg uit waarom.

b Piet schrijft voor de coördinaten van punt 𝐵 op (0, 4). Welke fout maakt hij?

c Schrijf de coördinaten van punt 𝐶 op.

d Waarom is punt 𝐷 geen roosterpunt? Schrijf de coördinaten van punt 𝐷 op.

Opgave 14

Teken een assenstelsel zoals dat in de voorgaande opgave.

a Teken daarin punt 𝐸 (0, 5) en punt 𝐹 (4, 1).

b Teken ook de punten 𝐺 (1; 2, 5) en 𝐻 (1, 2; 5) in dit assenstelsel.

Opgave 15

Gegeven is de vlieger 𝑂𝐴𝐵𝐶 door de hoekpunten 𝐴 (4, 2) en 𝐵 (4, 5). Punt 𝑂 is de oorsprong van het assenstelsel.

a Teken vlieger 𝑂𝐴𝐵𝐶 in een u�u�-assenstelsel.

b Schrijf de coördinaten van punt 𝐶 op.

c Schrijf de coördinaten op van het snijpunt 𝑆 van de diagonalen van de vlieger.

d Hoeveel roosterpunten liggen er binnen deze vlieger?

Opgave 16

Ten opzichte van een u�u�-assenstelsel zijn gegeven de punten 𝐴 (0, 4), 𝐵 (4, 2) en 𝐶 (3, 5).

u� is de lijn door de punten 𝐴 en 𝐵.

a Teken de gegeven punten en lijn u� in het assenstelsel.

b Noem nog drie andere roosterpunten van lijn u�.

c Teken lijn u� door 𝐶 en loodrecht op u�.

d Ligt het punt 𝑃 (10, 19) op lijn u�? Licht je antwoord toe.

e Ligt het punt 𝑄 (100, 190) op lijn u�? Licht ook nu je antwoord toe.

(51)

Toepassen

Opgave 17: Taz of Tweety

Taz en Tweety zijn twee tekenﬁlmﬁguren uit de vorige eeuw. Zie

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Coördinaten > Toepassen

Je vindt ze daar als coördinatenﬁguur.

Maak één van beide coördinatenﬁguren.

Opgave 18: Coördinaten op het aardoppervlak Ook op het aardoppervlak kun je met coördi- naten werken. Daartoe is de aardbol verdeeld in lengtegraden (meridianen) en breedtegraden.

De breedtegraden zijn cirkels evenwijdig aan de evenaar die als nullijn (horizontale as) dienst doet. De meridianen zijn halve cirkels van de Zuidpool naar de Noordpool van de Aarde. Voor de lengtegraden is als nullijn (verticale as) ge- kozen de meridiaan die door de Engelse plaats Greenwich loopt.

De 0-meridiaan is vanaf de evenaar tot de Noord- pool verdeeld is 90 breedtegraden. De evenaar is naar het Oosten en naar het Westen toe verdeeld in 180 lengtegraden. Op de afbeelding zijn Noord, Oost, Zuid en West aangegeven. De Ne- derlandse plaats Amersfoort ligt bijvoorbeeld ongeveer op 5 graden Oosterlengte en 52 graden Noorderbreedte. Je geeft dat aan met (5 OL , 52 NB).

In een atlas zoals de Bosatlas kun je die coördinaten op het aardoppervlak op kaarten terugvinden.

a Probeer in een atlas te vinden waar (0, 0) ligt. Ligt er een grotere plaats in de buurt?

b Bepaal de kaartcoördinaten van Moskou, Beijing, New York en Buenos Aires. Geef een schatting op hele graden.

c Welke kaartcoördinaten heeft Greenwich ongeveer?

d Réunion is een eiland in de Indische Oceaan. Welke kaartcoördinaten horen er bij?

(52)

1.8 Totaalbeeld

Samenvatten

In de wiskunde heb je veel te maken met ﬁguren. En er zijn nogal wat ﬁguren...

Je moet nauwkeurig afspreken wat je verstaat onder een punt, een lijn, een vlak, loodrecht, evenwijdig, een cirkel, een vierkant, een rechthoek, enzovoorts. Bovendien wil je ze soms tekenen, dus je moet leren omgaan met potlood, passer en geodriehoek. En soms kun je in plaats daarvan werken met een wiskundig tekenprogramma als GeoGebra. En dan is het weer handig om te weten hoe je de plaats van punten en ﬁguren bepaalt.

De volgende opgaven zijn bedoeld om overzicht over het onderwerp ‘Figuren’ te krijgen. Het betreft de onderdelen 1, 2, 3, 4, 5, 6 en 7 van dit onderwerp. Het is nuttig om er een eigen samenvatting bij te maken.

Je hebt geleerd

> de begrippen punt, lijn, lijnstuk, snijden, evenwijdig, loodrecht gebruiken bij het tekenen ( Uitleg op pagina 6);

> afstanden tussen ﬁguren bepalen (Uitleg op pagina 12);

> werken met de passer om cirkels te tekenen en de begrippen middelpunt, straal en diameter (Uitleg op pagina 17);

> werken met vlakvullingen (Uitleg op pagina 23);

> namen en eigenschappen van vlakke ﬁguren (Uitleg op pagina 28);

> werken met plaatscodes (Uitleg op pagina 35).

> werken met coördinaten in een u�u�-assenstelsel (Uitleg op pagina 43).

Voorkennis

> lengtes meten met een liniaal en de lengte-eenheden meter, centimeter en millimeter gebruiken;

> werken met vierkanten en rechthoeken.

Opgave 1

In de plaatjes hieronder en op het werkblad ontbreekt de ﬁguur of de omschrijving.

Maak elk plaatje compleet.

(53)

evenwijdige lijnen loodrecht snijdende lijnen

afstand van een punt tot een lijn

afstand van een punt tot een gebied

de afstand tussen twee evenwijdige lijnen

cirkel met middelpunt 𝑀 en straal 2

Opgave 2

Je ziet hier de punten 𝐴 en 𝐵.

a Teken zelf twee van die punten en een cirkel met middelpunt 𝑀 en 𝐴𝐵 als diameter.

b Hoeveel cm is de straal van de cirkel?

c Gebruik je passer en een liniaal om de cirkel in zes gelijke delen te verdelen.

(54)

Opgave 3

Maak zelf zo’n overzicht en vul het in:

naam ﬁguur

zijden loodrecht op elkaar?

zijden aan elkaar gelijk?

diagonalen loodrecht vierkant

rechthoek ruit

parallellogram trapezium vlieger

Opgave 4

Geef drie voorbeelden van het gebruik van codes, waarvan er minstens één een plaatscode is.

Opgave 5

Hier zie je een assenstelsel.

Teken zelf zo’n assenstelsel en zet de volgende begrippen er op de juiste plaats bij.

> oorsprong 𝑂

> u�-as

> roosterlijn

> roosterpunt

Opgave 6

Bekijk het assenstelsel van opgave 5 op pagina 52.

a Schrijf de coördinaten van punt 𝐴 op.

b Punt 𝐵 is geen roosterpunt. Schrijf de coördinaten van 𝐵 op.

c Teken in het assenstelsel de punten 𝑃 (2, 0), 𝑄 (4, 1) en 𝑆 (0, 4).

d Teken rechthoek 𝑃𝑄𝑅𝑆 en schrijf de coördinaten van punt 𝑅 op.

e Bepaal de coördinaten van het snijpunt 𝑇 van de diagonalen van rechthoek 𝑃𝑄𝑅𝑆.

(55)

Testen

De volgende opgaven zijn bedoeld om na te gaan of je de onderdelen 1 tot en met 7 van het onderwerp

‘Figuren’ voldoende beheerst.

Opgave 7

Teken een stukje spoorrails met dwarsliggers.

Maak gebruik van evenwijdigheid en loodrechte stand.

Opgave 8

Gebruik je ﬁguur van opgave 7 op pagina 53.

a Geef de afstand tussen de rails in de tekening aan.

b Hoe groot is deze afstand op de foto bij opgave 7 op pagina 53?

Opgave 9

In punt 𝐴 staat een zender. De cirkel rondom 𝐴 geeft aan hoe ver de zender te ontvangen is. In punt 𝐵 staat ook een zender, maar met een kleiner bereik. Elk roosterhokje is 20 km bij 20 km.

a Teken een cirkel met een straal van 80 km met 𝐵 als middelpunt. Deze cirkel geeft het bereik van de zender in 𝐵 weer.

b Geef in de tekening het gebied aan waar beide zenders zijn te horen.

(56)

Opgave 10

Hier zie je een stukje van een vlakvulling.

a Hoe heet vierhoek 𝐴𝐵𝐶𝐷?

b Hoe noem je de lijnstukken 𝐴𝐶 en 𝐵𝐷 in vierhoek 𝐴𝐵𝐶𝐷?

c Hoe heet vierhoek 𝐴𝐸𝐵𝐹?

d Welke eigenschap hebben de diagonalen van vierhoek 𝐴𝐸𝐵𝐹?

e Is vierhoek 𝐴𝐸𝐵𝐹 ook een parallellogram? En een trapezium?

Opgave 11

In een hotel zijn de kamers als volgt genummerd: op de eerste verdieping beginnen alle kamers met een 1, op de tweede verdieping met een 2, enzovoort. Als je op de eerste verdieping de gang met kamers in loopt, heeft de eerste kamer aan de rechterkant nummer 101, daar tegenover ligt kamer 102. Op het einde van de gang ligt rechts nummer 129 en links nummer 130. Je logeert een nacht in dit hotel. Je slaapt in kamer 612.

a Wat is het nummer van de kamer tegenover jouw kamer?

b Je staat op de gang en je kijkt naar de deur van je kamer. Wat is het nummer van de kamer links van jouw kamer?

Opgave 12

Bekijk het assenstelsel.

a Maak zelf zo’n assenstelsel en zet bij de oorsprong een 𝑂.

b Schrijf de coördinaten van de punten 𝐴 en 𝐵 op.

c Schrijf de coördinaten van het midden van lijnstuk 𝐴𝐵 op.

(57)

Opgave 13

Gebruik het assenstelsel van opgave 12 op pagina 54.

a Teken er het punt 𝐶 (7, 4) bij in.

b Teken vlieger 𝐴𝐵𝐶𝐷 en schrijf de coördinaten van 𝐷 op.

c Schrijf de coördinaten van het snijpunt van de diagonalen van vlieger 𝐴𝐵𝐶𝐷 op.

d Hoeveel roosterpunten liggen er binnen vlieger 𝐴𝐵𝐶𝐷?

Toepassen

Opgave 14: Klok

Je hebt bij dit onderwerp cirkels getekend en die met behulp van liniaal en passer verdeeld in vier gelijke stukken en in zes gelijke stukken.

Maak daarvan gebruik om een cirkel in 12 gelijke stukken te verdelen. Maak van deze cirkel de wijzer- plaat van een klok.

Opgave 15: Werken met GeoGebra

Voor het tekenen van meetkundige ﬁguren en het werken met een assenstelsel kun je de hulp inroe- pen van het computerprogramma GeoGebra. Zie

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Totaalbeeld > Practicum

a Open GeoGebra. Zet eerst het assenstelsel maar even uit en het rooster aan.

b Maak een roosterpunt. Maak een cirkel van straal 5 met het roosterpunt als middelpunt.

c Maak op deze manier een smiley. Maak de objecten die je niet wilt zien onzichtbaar door er met de rechter muisknop op te klikken en ‘Object tonen’ uit te zetten. Pas lijndiktes en kleuren naar eigen wens aan.

Je kunt GeoGebra heel goed gebruiken voor het nauwkeurig tekenen van meetkundige ﬁguren.

d Teken nauwkeurig een driehoek met zijden van 8, 6 en 5.

e Teken een nauwkeurig een ruit met zijden van 4 en een diagonaal van 4. Hoe lang is de andere diagonaal? (GeoGebra bepaalt dit voor je!)

In GeoGebra kun je gemakkelijk met coördinaten werken.

f Zet het assenstelsel weer aan. Maak nu dezelfde vlieger 𝐴𝐵𝐶𝐷 die je in opgave 13 op pagina 55hebt gemaakt in GeoGebra.

g Laat GeoGebra de coördinaten van het snijpunt van de diagonalen van vlieger 𝐴𝐵𝐶𝐷 bepalen.