Voorbeeld 1
Een driehoek is een veelhoek met drie hoekpunten en drie zijden. Hier zie je driehoek 𝐴𝐵𝐶. Je schrijft ook wel: Δ𝐴𝐵𝐶. Een vierhoek is een veelhoek met vier zijden. Onder een dia-gonaal versta je een lijnstuk dat twee hoekpunten verbindt die niet op dezelfde zijde liggen. De lijnstukken 𝐷𝐹 en 𝐸𝐺 zijn de diagonalen van vierhoek 𝐷𝐸𝐹𝐺. Elke vierhoek heeft twee diagonalen.
Een cirkel heeft geen zijden en geen hoekpunten. Een cirkel heeft een middelpunt en een straal.
Opgave 5
In deze opgave gaat het alleen over driehoeken en vierhoeken. a Waarom heeft geen enkele driehoek diagonalen?
b Waarom heeft elke vierhoek precies twee diagonalen?
c Teken een vierhoek waarbij niet alle diagonalen binnen de vierhoek liggen.
Opgave 6
Teken een vijfhoek. Teken alle diagonalen er in.
Opgave 7
Hoeveel diagonalen heeft elke vijfhoek? Waarom weet je dat zeker?
Voorbeeld 2
Bijzondere vierhoeken zijn de rechthoek, de ruit, het vierkant, de vlieger en het parallellogram. Zijden met een gelijke lengte hebben een gelijk teken.
> In een rechthoek staan opvolgende zijden loodrecht op elkaar.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FIGUREN
> In een parallellogram zijn overstaande zijden evenwijdig en even lang.
> Een trapezium heeft één paar evenwijdige zijden.
Opgave 8
Hier en op het werkblad zie je de tekening van allerlei vierhoeken (en één driehoek) nog eens.
a Zet in elke vierhoek zijn naam en geef de eigenschappen er in aan. Evenwijdige lijnstukken kun je aangeven met gelijke pijltjes op de lijnstukken of je zet naast de figuur welke lijnstukken evenwijdig zijn.
b Je kunt bij veel vierhoeken meerdere namen zetten. Je neemt dan de naam die de meeste eigenschappen vertegenwoordigt. Leg uit wat dit voor vierhoek I betekent.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FIGUREN
Opgave 9
Bekijk de vierhoek-applets op
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Vlakke figuren > Practicum
In de eerste applet kun je van een vlieger een ruit maken. Zorg er zoveel mogelijk voor dat de hoek-punten van de figuur op de snijhoek-punten van roosterlijnen vallen.
a Maak een ruit. Leg uit waarom je zeker weet dat deze vlieger nu een ruit is geworden. b Is elke ruit een vlieger?
c Is elke vlieger een ruit?
d Je kunt ook een vierkant maken. Waar moet je dan voor zorgen? e Waarom kun je hier geen rechthoek maken?
In de tweede applet begin je met een trapezium. f Waarom is deze figuur altijd een trapezium? g Hoe maak je er een parallellogram van?
h Maak ook een vierkant van vierhoek 𝐴𝐵𝐶𝐷. Waarom heb je nu meteen ook een ruit gemaakt?
Opgave 10
Lees de volgende uitspraken. Leg uit of ze waar of niet waar zijn. a Elk vierkant is ook een rechthoek.
b Elk vierkant is ook een ruit. c Elke ruit is ook een vierkant.
d In elk vierkant staan de diagonalen loodrecht op elkaar. e In elke rechthoek staan de diagonalen loodrecht op elkaar.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FIGUREN
Verwerken
Opgave 11
Bekijk het schilderij ‘Ruiter te paard’ van Bart van der Leck. a Hoeveel vierhoeken zitten er in de tekening?
b Hoeveel driehoeken zie je in de tekening? c Tel alle rechthoeken. Zijn er ook vierkanten bij?
Opgave 12
Hier en op het werkblad zie je vier vlakke figuren.
a Schrijf bij elke figuur de juiste naam.
b Geef in elke vierhoek zijn eigenschappen aan.
Opgave 13
Hoeveel diagonalen heeft elke achthoek? Licht je antwoord toe.
Toepassen
Opgave 14: Driehoek met passer en liniaal
Bekijk de foto en de tekst van
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Vlakke figuren > Toepassen Bekijk nog niet de animatie van de constructie van een driehoek.
a Probeer uit te leggen waarom je een vierhoek nog kunt vervormen en een driehoek niet.
Als je van een driehoek de drie zijden weet, kun je hem met alleen potlood, liniaal en een passer tekenen.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FIGUREN
b Teken eerst zijde AB.
c Neem dan 4 cm tussen de passerpunten (de lengte van 𝐵𝐶) en maak een cirkel met middelpunt 𝐵. d Neem vervolgens 3 cm tussen de passerpunten (de lengte van 𝐴𝐶) en maak een cirkel met middelpunt
𝐴.
e Waar vind je nu punt 𝐶 van de driehoek? Maak je driehoek af. (Er zijn twee mogelijkheden, maar dat zijn gelijke driehoeken.)
f Teken nu zelf driehoek 𝐾𝐿𝑀 met 𝐾𝐿 = 5 cm, 𝐿𝑀 = 6 cm en 𝐾𝑀 = 7 cm.
g Oefen het tekenen van driehoeken met een medeleerling. De één geeft drie lengtes van zijden op en de ander tekent de driehoek. Lukt het altijd? Wanneer kun je geen driehoek maken?
h Teken een vierhoek met zijden van 4 cm, 5 cm, 6 cm en 7 cm. Waarom zijn er nu meerdere mogelijk-heden?
Opgave 15: Veelhoeken in vlakvullingen
Welke veelhoeken herken je in de volgende vlakvullingen?
I II
Opgave 16: Honderdhoek
1.6 Plaatscodes
Verkennen
Opgave 1
Dit is de beginopstelling van de stukken bij schaken. Elk vak-je op het schaakbord heeft een code. Naast de acht pionnen heeft elke speler één koning, één koningin, twee lopers, twee paarden en twee torens.
a Op het vakje e1 staat de witte koning. Op welk vakje staat de zwarte koning?
b Een zwarte loper staat op c8. Waar staan de andere lopers? c Er zijn vier torens. Ze staan op de hoeken van het schaakbord.
Waar staan de twee witte torens?
d De paarden staan naast de lopers. Op welke vakken staan de paarden?
Opgave 2
Een paard maakt gekke sprongen op een schaakbord. Om een paardensprong uit te voeren, ga je met het paard eerst twee vakjes naar voren of naar achteren en daarna een vakje naar links of naar rechts; maar je mag ook eerst twee vakjes naar links of naar rechts, en dan een vakje naar voren of naar achteren. Het witte paard op b1 kan dus naar a3 en c3. Niet naar d2 want daar staat een stuk van de eigen kleur.
a Naar welke vakken kan het zwarte paard op g8?
b Dit zwarte paard staat nu op f6. Naar welke vakken kan het nu springen als er verder geen zwarte stukken zijn verplaatst?
Uitleg
Met een code schrijf je op een korte manier veel informatie op. Een plaatscode gebruik je bijvoorbeeld
> om een straat op een kaart aan te geven: in vak C3 ligt de Molenstraat (zie voorbeeld)
> om je plaats in een bioscoop aan te geven: rij 14, stoel 5
> de postcode + huisnummer voor je adres
> om het lokaal waar je les hebt te vinden: D9 is het negende lokaal op de D-verdieping
> om een vakje van een schaakbord weer te geven Maar er bestaan ook andere soorten codes:
> de BARcode op artikelen in winkels
> de PINcode van je bankpas
> Morsecode om berichten te versturen
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FIGUREN
Opgave 3
Hier zie je een enkele voorbeelden van codes.
BAR code KIX code Morse code
a De BAR code zie je onder andere op verpakkingen van producten die je in de winkel koopt. Is dit een plaatscode?
b De KIX code wordt door het postorderbedrijf TPG gebruikt om adressen weer te geven. Zo kan 1234 AB huisnummer 56C worden omgezet in KIX code. Teken die KIX code. Is dit een plaatscode?
c Morse code wordt gebruikt om berichten te versturen. Het lijkt niet erg handig met al die puntjes en streepjes. In welke situaties zal Morse code wel handig zijn?
d Morse code is geen plaatscode, maar kan wel worden gebruikt om een plaats door te geven. Licht dit met een voorbeeld toe.
Opgave 4
Hier zie je een bord van het spel GO. Je zet daarbij ronde stenen op de snijpunten van twee roosterlijnen. De éne speler speelt met de witte, de andere met de zwarte stenen.
a Welke plaatscode krijgt de steen met het rode vakje er om? b Ligt er op p5 een steen? Zo ja, een zwarte of een witte? c Hoeveel zwarte stenen hebben een plaatscode die begint met
een g?
d Hoeveel zwarte stenen hebben een plaatscode die eindigt met 12?
e Vergelijk de plaatscodes van het schaakspel met die van het go-spel. Welke verschillen zijn er?
f Hoeveel stenen kunnen er in principe maximaal op dit go-bord?
Opgave 5
Klas B1C heeft les in lokaal D13.
a Wat betekent die code voor de klas waarschijnlijk? b Wat betekent die lokaalaanduiding waarschijnlijk?
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FIGUREN
d Een schoolgebouw kent vier verdiepingen, namelijk B, I, II en III. Verder zijn er een noordvleugel, een zuidvleugel en een oostvleugel. Daarbinnen zijn alle ruimtes genummerd van 00 tot en met hoogstens 30. Welke code krijgt lokaal 12 in de zuidvleugel van de derde verdieping?
Opgave 6
Van het bekende spel ‘boter, kaas en eieren’ bestaat ook een 3D versie zoals je op de foto ziet. De éne speler heeft zwarte en de andere witte bolletjes. Ze plaatsen ombeurten een bol-letje, wit begint. Wie het eerst drie op een rij heeft (mag ook diagonaal) wint.
a Ligt er op C-II-3 een bolletje? Zo ja welke kleur heeft dat? b Op het onderste bord liggen zeven bolletjes. Geef de posities
van de drie zwarte bolletjes.
c Waarom zie je op de foto de eindstand van een spelletje? Wie heeft gewonnen, zwart of wit?
d Geef de plaatscodes van de drie winnende bolletjes.
Theorie en voorbeelden
Voorbeeld 1
Dit is een deel van een kaart van Brouwershaven. In vak C3 ligt de Molenstraat.
(bron:Stadsraad Brouwershaven)
Opgave 7
Bekijk het kaartje van Brouwershaven. a In welk vak ligt de Dapperweg? b In welke vakken liggen de drie kerken? c Wat tref je vooral aan in vak D3?
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FIGUREN
Opgave 8
Je ziet hier een kaartje van het centrum van Deventer.
a In welk vak ligt het NS-station?
b De Kleine Overstraat loopt tussen de Brink en de Lange Bisschopsstraat. In welk vak ligt die straat vooral?
c Het Boreelplein is een nieuw winkelcentrum op het terrein van de vroegere Boreelkazerne. In welk vak ligt dit nieuwe winkelcentrum vooral?
d In vak B2 tref je de naam aan van één van de vroegere toegangspoorten tot de stad Deventer. Hoe heette die poort?
e In welk ander vak is de naam van een andere vroegere toegangspoort tot Deventer te vinden?
f Als je Deventer nadert vanuit het westen zie je de torens van de Lebuïnuskerk en die van de Bergkerk al van grote afstand. Beide kerken zijn op de kaart aangegeven. Waar vind je ze?
g Tussen twee roosterlijnen op de kaart zit een afstand van 200 m. Hoe ver liggen beide kerken van elkaar?
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FIGUREN
Verwerken
Opgave 9
Je ziet hier een tabel in het computerprogramma MS-Excel. Dit programma is vooral een rekenblad en bestaat uit cellen. Cel H19 is geselecteerd.
a Wat staat er in cel H19 en wat betekent dit getal?
b In welke cel staat over welke leerlingen het getal in H19 gaat? En in welke cel staat over welk jaar dit getal gaat?
c In welke cel staat het aantal scholen voor basisonderwijs in 2007/2008?
d Hoeveel leerlingen zaten er in 2007/2008 in het basisonderwijs? Hoeveel zijn dat gemiddeld per school? e Open Excel. De kolommen in Excel zijn aangegeven door A, B, C, ... Tot hoever gaat dit door?
f De rijen in Excel zijn genummerd. Wat is het hoogste nummer? g Hoeveel cellen heeft Excel?
Opgave 10
Dammen doe je op een bord van 10 bij 10. De stenen liggen alleen op de ‘zwarte’ velden. Om aan te geven op welk veld een damsteen ligt is een nummering bedacht. Op het plaatje hiernaast liggen er zwarte stenen op de velden 11, 12 en 21. Elke steen mag één plaats vooruit worden geschoven of over een steen van de tegenpartij springen. Heb je een steen naar de overkant van het bord gebracht, dan krijg je een dam (twee stenen op elkaar).
a Leg uit hoe de nummering van de velden gaat.
b Op welk veld ligt de meest vooruitgeschoven zwarte steen? Waarom weet je zeker dat dit de meest vooruitgeschoven zwarte steen is?
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FIGUREN
Opgave 11
Je ziet hier een stapel gelijke blokken. Je wilt iemand die dit bouwsel niet kan zien mondeling doorgeven hoe het er uit ziet. Je vertelt hem dat je het grondvlak een rechthoek is van 4 bij 3 cm, verdeeld in vakken van 1 bij 1 cm. Van links naar rechts geef je die vakken aan met A, B, C, D en van voor naar achteren met I, II en III.
a Wat betekent dan C-I-0?
b Hoeveel blokken liggen er op A-III? Welke code hoort daar bij? c Er zijn vier plekken waar de stapel twee blokken hoog is.
Schrijf de bijbehorende codes op.
Toepassen
Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting.
Opgave 12: Zeeslag
Bekijk hierboven hoe het spelletje ‘zeeslag’ gaat. Bekijk hoe het spelletje ‘zeeslag’ gaat op
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Plaatscodes > Toepassen
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FIGUREN
Opgave 13: Tandarts
Ook de tandarts werkt met codes voor je tanden en kiezen. Bekijk
> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Plaatscodes > Toepassen
Zoek op hoe de internationale tandnummering werkt. Hieronder zie je een gebit.
a Welke codes hebben je vier hoektanden? Zet ze er in het plaatje van het gebit op de juiste plaats bij. b Is de 2-6 een tand of een kies? Hoort hij in het gebit van een kind dat zijn melktanden nog heeft of in
het gebit van een volwassene?
c Geef in de figuur de 3-1 aan. Wat is het voor tand? d Geef de codes van de verstandskiezen.
1.7 Coördinaten
Verkennen
Opgave 1
Hier zie je een schoolbord met daarop een rooster. De roostervakjes zijn 5 cm bij 5 cm.
Hoe zou je op zo’n schoolbord de plaats van een punt kunnen aanduiden?
Opgave 2
Voor het aanduiden van een punt heb je soms één, soms twee en soms nog meer getallen nodig. Bo-vendien moet je een beginpunt kiezen.
a Hoe geef je een punt aan op de getallenlijn?
b Met hoeveel getallen geef je de plaats van een punt aan op een plat vlak zoals dit schoolbord? c Hoeveel getallen heb je nodig om de plaats van een punt in de ruimte vast te leggen?
d Hoeveel getallen heb je nodig voor de plaats van een punt op het aardoppervlak?
e Kun je een situatie bedenken waarin je vier getallen nodig hebt om de plaats van een punt weer te geven?
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FIGUREN
Uitleg
Om de plaats van een punt in een vlak vast te leggen, gebruik je een assenstelsel. Zo’n assenstelsel heeft twee assen: een 𝑥 -as en een 𝑦-as.
Het snijpunt van de assen noem je de oorsprong 𝑂.
De plaats van een punt kun je nu aangeven met twee getallen.
Je noemt die getallen coördinaten: de u�-coördinaat en de u�-coördinaat.
In de figuur zie je de coördinaten van het punt 𝐴: twee getallen tussen haakjes met de u�-coördinaat voorop.
Bekijk de applet: Coördinaten.
Opgave 3
Werk eerst even met de applet in de Uitleg op pagina 43. Maak daarmee de punten (5, 2), (2, 5), (8, 1), (0, 9), (9, 0), (7, 7).
Opgave 4
Hier zie je een rooster waarop een assenstelsel is getekend. Verder staan er een aantal punten aange-geven.
a Welke coördinaten heeft de oorsprong 𝑂?
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FIGUREN
c Schrijf de coördinaten op van drie punten op de u�-as. d Schrijf de coördinaten op van drie punten op de u�-as.
Theorie en voorbeelden
Voorbeeld 1
Van een roosterpunt zijn beide coördinaten gehele getallen. Punt 𝐴 (4, 2) is een roosterpunt.
Punt 𝑂 (0, 0) is ook een roosterpunt.
Punt 𝐵 ligt niet op het snijpunt van twee roosterlijnen. Punt 𝐵 is dus geen roosterpunt. Je schrijft 𝐵 (2; 1, 7). Tussen de coördinaten staat een ‘;’ in plaats van een ‘,’.
Opgave 5
Werk weer met de applet in de Uitleg op pagina 43op de Math4allsite.
Maak daarmee de punten (5; 3, 2), (5, 3; 2), (7, 5; 0), (0, 5; 7), (0; 5, 7), (14, 2; 6, 5).
(LET OP: In de applet wordt de decimale punt in plaats van de decimale komma gebruikt. Puntkomma is dan overbodig!)
Opgave 6
Hier zie je een rooster waarop een assenstelsel is getekend. Verder staan er een aantal punten aange-geven.
a Neem de figuur over en schrijf de coördinaten van de getekende punten op. b Welke van deze punten zijn roosterpunten?
c Teken een lijnstuk tussen de punten 𝐴 en 𝐵. Welke roosterpunten liggen er nog meer op dat lijnstuk? Schrijf hun coördinaten op.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FIGUREN
Opgave 7
In dit assenstelsel is een deel van rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷 getekend. a Schrijf de coördinaten van de getekende punten op.
b Maak rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷 af.
c Schrijf de coördinaten op van punt 𝐷.
d Het snijpunt van de diagonalen van deze rechthoek is 𝑆. Schrijf de coördinaten op van punt 𝑆.
Voorbeeld 2
Hoe teken je de punten 𝑃 (1, 4) en 𝑄 (5, 2) in een assenstelsel?
> Teken de u�-as en de u�-as. Zorg ervoor dat de assen lang genoeg zijn.
> Zet getallen 0, 1, 2, 3, enzovoorts langs de assen.
> Teken de opgegeven punten in het assenstelsel.
De u�-coördinaat zit op de u�-as, dus vanuit de oorsprong naar rechts.
De u�-coördinaat zit op de u�-as, dus vanuit de oorsprong omhoog.
> Zet hoofdletters bij de punten.
Opgave 8
Hier zie je een rooster met een assenstelsel. Neem de figuur over en teken daarop de punten 𝑂 (0, 0), 𝐴 (1, 5), 𝐵 (4, 0), 𝐶 (612, 4) en 𝐷 (8; 3, 5).
Opgave 9
Neem een stuk roosterpapier.
a Teken daarop een assenstelsel. Zorg er voor dat er punten op kunnen waarvan de u�-cördinaat 20 is en/of de u�-coördinaat 20 is.
b Teken nu de volgende punten en trek steeds een lijnstuk vanuit een punt naar het volgende punt: (2, 2), (4, 2), (4, 4), (6, 4), (6, 2), (10, 2), (7, 4), (8, 6), (8, 12), (10, 8), (8, 10), (8, 12), (6, 14), (4, 14), (2, 10), (3, 4), (2, 2), (3, 4), (1, 8), (0, 6), (2, 16), (2, 18), (4, 19), (6, 18), (8, 18), (5, 17), (6, 18), (8, 18), (6, 16), (5, 17), (6, 16), (8, 12).
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FIGUREN
c Zet een dikke stip op (4, 18).
d Wat heb je voor figuur gekregen? Kleur hem in...
Opgave 10
Seyma en Jannes moesten beiden dezelfde figuur tekenen. Hier zie je hun resultaten. Seyma heeft haar figuur al laten controleren en gehoord dat hij goed is.
Maar wat heeft Jannes dan fout gedaan?
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FIGUREN
Voorbeeld 3
Hoe teken je een veelhoek in een assenstelsel?
> Teken de u�-as en de u�-as. Zorg ervoor dat de assen lang genoeg zijn.
> Zet getallen 0, 1, 2, 3, enzovoorts langs de assen.
> Teken de hoekpunten van de veelhoek in het assenstelsel.
> Verbind de punten in de aangegeven volgorde.
In dit assenstelsel worden de punten 𝑃 (2, 1), 𝑄 (10, 2) en 𝑅 (3, 8) en Δ𝑃𝑄𝑅 getekend.
Opgave 11
Van een vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷 zijn de coördinaten van drie hoekpunten bekend: 𝐴 (1, 2), 𝐵 (6, 1) en 𝐶 (7, 6). a Teken vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷 in een u�u�-assenstelsel.
b Schrijf de coördinaten van punt 𝐷 op.
c Schrijf de coördinaten van het snijpunt van de diagonalen van dit vierkant op.