LOFAR onder
de Loep
Doctoraalscriptie Econometrie & Operations Research
Rijksuniversiteit Groningen
B. F. Grievink
LOFAR onder
de Loep
Bart Grievink
Augustus 2007
Doctoraalscriptie Econometrie & Operations Research
Faculteit der Economische Wetenschappen
Rijksuniversiteit Groningen
Samenvatting
LOFAR1 is een innovatieve radiotelescoop die in staat zal zijn waarnemingen met grote resolutie en gevoeligheid te doen op lage frequenties. De telescoop wordt ontwikkeld door een consortium onder leiding van ASTRON2. De telescoop zal bestaan uit 25.000 antennes, die groepsgewijs zullen worden geplaatst langs denkbeeldige spiraalvormige armen op een min of meer cirkelvormig grondgebied met een diameter van ongeveer 350 kilometer, waarvan het centrum in Exloo, Drenthe ligt. Via een glasvezelnetwerk zullen de antennes met een centrale computer worden verbonden. Het signaal van de antennes wordt door de computer gecombineerd tot één signaal. Op basis van dit signaal wordt een beeld gevormd van de bron die de straling heeft uitgezonden.
De kwaliteit van de beelden is ondermeer afhankelijk van het aantal antenneclusters en hun locaties ten opzichte van elkaar: hoe meer verschillende onderlinge liggingen van clusters, hoe beter de kwaliteit van de beelden. Het is derhalve noodzakelijk LOFAR zodanig te ontwerpen, dat de kwaliteit van het beeld van de bron wordt gemaximaliseerd. Voor de omgekeerde benadering van dit ontwerpprobleem, waarbij het ontwerp wordt afgeleid van een gewenste beeldkwaliteit, bestaat voor telescopen zoals LOFAR geen oplossing. Daarom is het noodzakelijk met behulp van benaderingstechnieken een goed ontwerp te bepalen.
In ons onderzoek hebben we een aantal ontwerpen voor LOFAR onder de loep genomen met de bedoeling de beeldkwaliteit ervan te bepalen. De kwaliteit van een beeld kan worden vastgesteld aan de hand van UV-verdelingen en Point Spread Functions (PSF). Deze twee functies worden afgeleid van de onderlinge liggingen van antenneclusters. In ons onderzoek zijn maatstaven ontwikkeld, waarmee de kwaliteit van UV-verdelingen en PSF’s wordt beoordeeld. Vervolgens is met ‘trial and error’ technieken gezocht naar een ontwerp voor LOFAR dat beelden van hoge kwaliteit oplevert bij snapshot waarnemingen gericht in zenit.
Hoewel het ontwerp van LOFAR grotendeels is bepaald, is de bouw van de telescoop in de beginfase. Het doel van ons onderzoek is derhalve tweeledig. Enerzijds zoeken we naar een optimaal ontwerp voor LOFAR binnen de flexibiliteit die het verschil tussen ontwerp en daadwerkelijke bouw biedt. Anderzijds voeren we een contra-expertise uit, waarvan de kennis kan worden meegenomen in de ontwikkeling van opvolgers van LOFAR.
Inhoudsopgave
Voorwoord ...vi
lnleiding...1
1. Beslissingsprobleem topologie radio-interferometer ...4
1.1 Radio-interferometrie ...4
1.2 UV-verdeling en Point Spread Function ...6
1.3 Aardrotatie...12
1.4 Beslissingsprobleem topologie...14
1.5 LOFAR...16
2. Literatuuronderzoek naar UV-verdeling en Point Spread Function...18
2.1. Eigenschappen UV-verdeling en Point Spread Function ...19
2.1.1 Optimale UV-verdeling...19
2.1.2 Optimale vorm Point Spread Function...22
2.1.3 Relatie tussen UV-verdeling en Point Spread Function...24
2.2 Maatstaven ...26
2.2.1 Maatstaven ter beoordeling van een UV-verdeling...26
2.2.2 Maatstaven ter beoordeling van de Point Spread Function...29
3. Onderzoeksopzet ...31
3.1 Probleemverkenning en motivatie...31
3.2 Probleemstelling...32
3.3 Afbakening probleemstelling ...33
3.3.1 Afbakening maatstaven ...33
3.3.2 Afbakening onderzoek topologie LOFAR ...34
3.4 Methodiek...36
3.4.1 Methodiek ten aanzien van UV-verdeling ...37
3.4.2 Methodiek ten aanzien van Point Spread Function...40
3.5 Overzicht maatstaven ...41
3.5.1 Overzicht maatstaven ter beoordeling van de UV-verdeling ...41
3.5.2 Overzicht maatstaven ter beoordeling van de Point Spread Function ...42
3.6 Onderzoek topologie LOFAR ...46
3.6.1 Gevariëerde parameters...46
4. Resultaten en evaluatie...50
4.1 Analyse van de maatstaven ...50
4.1.1 Analyse van maatstaven ter beoordeling van de UV-verdeling ...51
4.1.2 Analyse van maatstaven ter beoordeling van Point Spread Function ...55
4.1.3 Conclusie analyse maatstaven ...62
4.2 Analyse van de topologie ...64
4.2.1 Analyse van de topologieën aan de hand van UV-maatstaven ...65
4.2.2 Analyse van de topologieën aan de hand van PSF-maatstaven ...70
4.2.3 Conclusie analyse topologie LOFAR...78
4.3 Evaluatie...84
5. Conclusie...87
Appendix 1: Begrippenlijst ...93
Appendix 2: Overzicht partijen in consortium voor ontwikkeling LOFAR ...97
Appendix 3: Overzicht input parameters topologie simulatie...98
Appendix 4: Tabellen met waarden van maatstaven van analyse topologie LOFAR...100
Appendix 5: Analyse maatstaf gemiddelde ringlobes...111
Appendix 6: Schematisch overzicht resultaten analyse topologie LOFAR ...113
Voorwoord
Ter afsluiting van mijn studie Econometrie & Operations Research aan de Rijksuniversiteit Groningen heb ik het afgelopen jaar onderzoek gedaan bij Prof. dr. G. Sierksma en drs. Lolke P. Schakel. Ik heb onderzoek gedaan naar maatstaven die gebruikt kunnen worden bij de beoordeling van telescoopontwerpen. Met behulp van deze maatstaven heb ik gezocht naar een optimaal ontwerp voor LOFAR. Het onderzoek kwam voort uit het promotie-onderzoek van Lolke Schakel, dat gericht is op LOFAR.
In de afgelopen periode heb ik veel kennis van telescopen en astronomie en in het bijzonder de werking van radio-interferometers opgedaan. Dit had ik niet kunnen doen zonder de begeleiding van Lolke, die mij vertrouwd heeft gemaakt in de wereld van LOFAR. Hij heeft mij veelvuldig en uitvoerig geholpen in de materie te komen en zaken te verhelderen. Bovendien werkte zijn enthousiasme voor het onderzoeksgebied aanstekelijk. Daarnaast heb ik in mijn onderzoek van zijn simulatieprogramma voor LOFAR gebruik kunnen maken. Voor deze hulp en impulsen ben ik hem dankbaar.
Ten tweede wil ik prof. dr. G. Sierksma bedanken voor zijn begeleiding bij het afstuderen. Het contact met hem was verhelderend en stimulerend. Bovendien vond ik het plezierig bij hem af te kunnen studeren, daar ik mijn enthousiasme voor Operations Research voor een groot deel aan zijn colleges heb te danken.
Het afgelopen jaar heb ik zowel inhoudelijk als persoonlijk veel geleerd. Ik heb mij een ander vakgebied eigen moeten maken, wat mij meer tijd kostte dan verwacht. Daardoor heb ik mijn planning noodzakelijkerwijs een paar maal aangepast.
Tenslotte wil ik mijn vriendin, familie en vrienden bedanken voor het beluisteren van en het meedenken met mijn afstudeerproject.
lnleiding
Astronomie richt zich op het verkrijgen van kennis over het universum door waarneming van straling afkomstig uit het universum. Op basis van de straling die een telescoop ontvangt, kan een beeld worden geconstrueerd van de bron die de straling heeft uitgezonden.
Door gebruik te maken van radio-interferometrie is het mogelijk om signalen van verschillende radiotelescopen te combineren tot één signaal (Ryle&Vonberg [1946]). Hierdoor kan een telescoop met een grotere resolutie en gevoeligheid worden gecreëerd, waardoor het mogelijk is scherpere beelden te genereren en waardoor er meer kan worden waargenomen. Dit soort telescopen wordt met de term interferometer aangeduid. De nieuwe generatie radio-interferometers werkt met kleine antennes in plaats van telescopen. Deze antennes kunnen straling uit alle richtingen ontvangen. De antennes worden groepsgewijs geplaatst en de signalen van de groepen worden gecombineerd tot één signaal.
De kwaliteit waarmee een beeld van de bron wordt gevormd, is afhankelijk van het aantal telescopen of groepen antennes dat deel uitmaakt van de interferometer en hun onderlinge afstanden en oriëntaties. Alvorens een radio-interferometer te bouwen, wordt daarom onderzoek verricht naar de beste verdeling van telescopen of groepen antennes over een bepaald gebied. De verzameling van geografische coördinaten van de telescopen of groepen antennes die deel uitmaken van de radio-interferometer wordt de topologie van de telescoop genoemd. Wanneer we als aanvulling op de topologie ook de onderlinge afstanden van de telescopen of groepen antennes van een radio-interferometer en de bij de afstanden horende oriëntaties beschouwen, spreken we over de configuratie van een radio-interferometer. De telescopen of groepen antennes die deel uitmaken van een interferometer zullen we aanduiden als elementen van een radio-interferometer.
Alvorens met de bouw van een radio-interferometer wordt gestart, zal er onderzoek worden verricht naar een geschikte topologie. De vraag wat een goede topologie voor een interferometer is, is een beslissingsprobleem. Optimalisatie van een topologie van een radio-interferometer houdt in dat de kwaliteit van het gevormde beeld van een stralingsbron wordt gemaximaliseerd, terwijl de kosten die gepaard gaan met het bouwen en onderhouden van de telescoop worden geminimaliseerd.
In het onderzoek naar een optimale topologie voor een radio-interferometer kunnen verschillende stappen worden onderscheiden. Walker [1984] beschrijft deze als volgt:
1. Als eerste moeten randvoorwaarden waaraan een mogelijke topologie moet voldoen worden gespecificeerd.
3. waarna mogelijke topologieën kunnen worden onderzocht en 4. een beslissing over de definitieve topologie kan worden gemaakt.
Voorbeelden van de randvoorwaarden die worden genoemd in stap 1 zijn het maximum budget dat aan de telescoop kan worden gespendeerd, de beschikbaarheid van land waarop de telescoop moet worden gebouwd en de mogelijke hinderlijke aanwezigheid van omgevingsgeluiden. In stap 2 dient een methode te worden gekozen met behulp waarvan de topologieën kunnen worden getest en vergeleken. Het testen en vergelijken van topologieën doen wij met behulp van maatstaven. Het kiezen van goede maatstaven is essentieel voor het op een juiste manier kunnen vergelijken van verschillende topologieën. Ter volledigheid en in aanvulling op bovenstaand stappenschema dient, alvorens stap 3 uit te kunnen voeren, een beslissing te worden genomen welk type topologie onderzocht gaat worden.
Naast het vergelijken van topologieën op basis van kwaliteit van het gevormde beeld, kunnen deze ook worden vergeleken op basis van kosten die gepaard gaan met het bouwen ervan. Ook kan een topologie worden beoordeeld op de beschikbaarheid van land waarop de antennes geplaatst moeten worden en de eventuele kosten die verbonden zijn aan het verkrijgen van dat land. In tegenstelling tot deze kwantitatieve waarden, moeten de kwalitatieve waarden van het gevormde beeld eerst gekwantificeerd worden om een topologie in zijn geheel kwantitatief te kunnen beoordelen.
De kwaliteit van het gevormde beeld van een radio-interferometer is af te leiden uit de eigenschappen van twee functies van de configuratie, de UV-verdeling en de Point Spread
Function (PSF). Er bestaat veel kennis over de eigenschappen van deze functies en hun relatie tot kwaliteit van het gevormde beeld3. Op basis van deze kennis zijn kwantitatieve maatstaven ontwikkeld4.
De huidige maatstaven beoordelen echter niet alle relevante eigenschappen van de UV-verdeling en de PSF. Ons onderzoek richt zich op het ontwikkelen van maatstaven die deze relevante eigenschappen kwantificeren. We baseren ons daarbij op de bestaande kennis over de eigenschappen van de UV-verdeling en PSF. Een vereiste voor de maatstaven is dat ze onderscheidend werken. Ze dienen verschillen in de eigenschappen van een UV-verdeling of PSF kwantitatief weer te geven.
De maatstaven gebruiken we in een onderzoek naar de beste topologie voor LOFAR. LOFAR is een nieuw soort radio-interferometer, die in aanbouw is in Nederland. Het wordt de eerste interferometer die gebruik maakt van antennes in plaats van schotelantennetelescopen. Deze
3 Thompson e.a. [1986], Keto [1997], Woody [1999], Woody [2001], Noordam [2001], Phillips&Lonsdale [2003],
Cohanim e.a. [2004] en Webster [2004]
4 Walker [1984], Cornwell [1986], Cornwell [1988], Thompson e.a. [1986], Foster [1994], Keto [1997], Kogan
antennes zijn goedkoper dan schotels, waardoor het mogelijk wordt een interferometer met veel meer elementen te bouwen. Daardoor worden de resolutie en gevoeligheid ten opzichte van huidige radio-interferometers veel groter, hetgeen een goede beeldvorming van bronnen die radiostraling met lage frequenties uitzenden mogelijk maakt. Hieraan ontleent LOFAR zijn naam: Low Frequency Array (lage frequentie telescoop).
In het onderzoek naar een optimale topologie voor LOFAR beoordelen we de topologie op de waarden die hij behaalt op onze maatstaven. Verdere aspecten zoals de kosten van de topologie laten we buiten beschouwing .
De indeling van de scriptie is als volgt. Hoofdstuk 1 behandelt het beslissingsprobleem van het ontwerp van een radio-interferometer. We zullen in dat hoofdstuk nader ingaan op de functies van de configuratie, de UV-verdeling en de PSF, op basis waarvan het beeld van de radiobron kan worden samengesteld. Ook zullen we LOFAR nader toelichten. Hoofdstuk 2 gaat in op relaties tussen eigenschappen van UV-verdeling en Point Spread Function en kwaliteit van het gevormde beeld. Daarnaast wordt een overzicht gegeven van maatstaven voor het kwantificeren van de kwaliteit van een UV-verdeling en PSF. Hoofdstuk 3 gaat over de onderzoeksopzet en zal de probleemstelling en afbakeningen behandelen. De resultaten van het onderzoek worden gegeven in hoofdstuk 4. We geven daarbij een evaluatie van en discussie over de kwaliteit, het nut en de gevolgen van de maatstaven. Tenslotte worden conclusies van het onderzoek gegeven in hoofdstuk 5.
1. Beslissingsprobleem topologie radio-interferometer
In dit hoofdstuk zullen we het beslissingsprobleem betreffende het ontwerp van een topologie voor een radio-interferometer bespreken. Daartoe starten we in paragraaf 1.1 met een beschrijving van de werking en de eigenschappen van een radio-interferometer. Paragraaf 1.2 behandelt de functies van een configuratie, UV-verdeling en Point Spread Function (PSF). Paragraaf 1.3 legt uit hoe een radio-interferometer aardrotatie kan benutten voor betere beeldvorming. Dan zijn we in staat om het beslissingsprobleem te formuleren in paragraaf 1.4. Tenslotte zullen we in paragraaf 1.5 informatie over LOFAR geven.
1.1 Radio-interferometrie
Het doel van een radiotelescoop is een afbeelding te kunnen maken van een bron die straling uitzendt in het radiospectrum. Radiotelescopen ontvangen radiogolven. Dit is elektromagnetische straling met een laag energieniveau. De relatie tussen het energieniveau van de straling en de grootte van de golflengte van de straling is omgekeerd evenredig. Het elektromagnetische spectrum is opgebouwd uit gammastraling, röntgenstraling, ultraviolet, zichtbaar licht, infrarood en radiostraling. Radiogolven met een golflengte groter dan 1 millimeter worden in het algemeen gerekend tot radiostraling (Wiki [2007]).
Figuur 1.1: Weergave van resolutie. Het zwarte punt aan de linkerzijde stelt de aarde voor. Twee hemellichamen,
weergegeven door de overige twee zwarte punten, liggen op afstand d van de aarde. De afstand tussen de hemellichamen is gelijk aan s. De hoek tussen de twee hemellichamen, gezien vanaf de aarde, is gelijk aan α.
De resolutie van een telescoop is evenredig met de diameter van de telescoop en omgekeerd evenredig met de golflengte die wordt ontvangen (Bruyn e.a.[2002], Vogt [2006]). De resolutie van een telescoop kan ongeveer worden bepaald aan de hand van vergelijking 1.1,
D
R≈ λ (1.1)
waarbij R de resolutie in radialen is, λde golflengte van de waar te nemen straling in meters en D de diameter van de telescoop in meters (Wiki [2007]).
De kwaliteit van een afbeelding hangt dus af van zowel de diameter van de telescoop, als van de golflengte van de radiogolven die wordt waargenomen. Om een bepaald gewenst niveau van resolutie te bereiken, zal de diameter van de telescoop moeten toenemen naarmate de golflengte van de te ontvangen straling toeneemt.
Met behulp van de techniek interferometrie is het wel mogelijk om een telescoop met een grote diameter te bouwen. Interferometrie is een techniek die signalen van meerdere (gescheiden) telescopen of antennes combineert tot één signaal. Een dergelijke combinatie van radiotelescopen wordt een radio-interferometer genoemd. Door het combineren van de signalen wordt één telescoop gesimuleerd met een grotere diameter en ontvangstoppervlak dan mogelijk is bij een enkele telescoop. Als gevolg daarvan nemen de resolutie en de gevoeligheid van de telescoop toe. Doordat door simulatie een groter ontvangstoppervlak wordt gecreëerd worden radio-interferometers apertuur synthese telescopen genoemd. De grootste afstand tussen twee telescopen of groepen antennes, die onderdeel zijn van de interferometer, bepaalt zijn resolutie (Vogt [2006]). Voor berekening van de resolutie van een radio-interferometer kan vergelijking (1.1) ook worden gebruikt. In plaats van de diameter van een telescoop (D) moet dan de grootste afstand tussen twee elementen van een radio-interferometer (B) worden genomen. In het vervolg zullen we met (radio)telescoop de radio-interferometer aanduiden.
Onderstaand is in figuur 1.2 de Dwingeloo Radio Telescoop weergegeven. Dit is een voorbeeld van een schotelantennetelescoop. Figuur 1.3 geeft de Westerbork Synthese Radio Telescoop weer. Deze radio-interferometer is samengesteld uit 14 radiotelescopen.
Figuur 1.2: Dwingeloo Radio Telescoop Figuur 1.3: Westerbork Synthese Radio Telescoop
© ASTRON Makoto Tanigawa © ASTRON Nico Vermaas - Harm Jan Stiepel
1.2 UV-verdeling en Point Spread Function
De locaties van N elementen van een niet-globale radio-interferometer kunnen in een horizontaal vlak worden weergegeven waarbij de Cartesische coördinaten van elk i-de element gelijk zijn aan
(xi, yi ). We noemen dit vlak het telescoopvlak. Omdat de radio-interferometer niet-globaal is,
basislijn (dx,dy) wordt gedefinieerd als het lijnstuk tussen twee elementen van een radio-interferometer: )) ( ), (( ) , (dx dy = xi −xj yi −yj (1.2) waarbij i = 1,…, N, j = 1,…, N en i > j.
Het vlak dat loodrecht staat op de richting van de straling van de bron noemen we het UV-vlak. Op dit vlak definiëren we een tweedimensionaal Cartesisch stelsel. Projectie van de locaties van de N elementen van de radio-interferometer op het UV-vlak geven Cartesische coördinaten gelijk aan (xi',yí') voor elk i-de element (zie figuur 1.4). Een lijnstuk tussen twee geprojecteerde elementen in het UV-vlak wordt weergegeven door twee UV-coördinaten. De vectorcoördinaten
) ,
(uij vij worden vastgesteld volgens vergelijking 1.3:
)) ( ), (( ) , (uij vij = x'j −xi' y'j −yi' (1.3) waarbij i = 1,…, N, j = 1,…, N en i ≠ j (Webster [2004]).
Figuur 1.4: Projectie van de Cartesische coördinaten van de elementen van de radio-interferometer in het
telescoopvlak op het UV-vlak. De figuur geeft een doorsnede van beide vlakken door de basislijn (dx, dy) parallel aan de straling. De vermelde coördinaten zijn de coördinaten van het tweedimensionale telescoop- en UV-vlak.
De coördinaten zullen we in het vervolg met punten aanduiden. De verdeling van UV-punten over het UV-vlak noemen we de UV-verdeling.
Een radio-interferometer met N elementen heeft N(N−1)/2 basislijnen. Omdat elke basislijn wordt vertegenwoordigd door twee UV-punten, zullen er dus N(N−1) punten in het UV-vlak worden weergegeven.
De UV-punten kunnen ook in een polair stelsel worden weergegeven. Van elk UV-punt in het UV-vlak kan de hoek die hij maakt met de oorsprong, θ, en de logaritme van zijn afstand tot de oorsprong, r, worden berekend. De UV-punten, die dan worden weergegeven in (θ, log r)-coördinaten, kunnen vervolgens in een tweedimensionaal stelsel worden gezet, met op de horizontale as de hoek in graden en de verticale as de logaritme van de afstand in lengte-eenheden. Deze polaire weergave van het UV-vlak noemen we de UVBIN weergave (Noordam[2001]). Al betreft het hetzelfde vlak en is er slechts sprake van een andere weergave van coördinaten, omwille van onderscheidende terminologie duiden we de UVBIN weergave van het UV-vlak hierna aan met UVBIN-vlak. De verdeling van de (θ, log r)-coördinaten over het UVBIN-vlak noemen we de (θ, log r)-verdeling.
Wanneer er een fijnmazig, gelijkmatig, vierkant rooster, geconcentreerd op de oorsprong, over het UV-vlak wordt gelegd, wordt het vlak opgedeeld in cellen, die we UV-cellen noemen. Een dergelijk rooster noemen we een UV-rooster. Over het UVBIN-vlak kan een soortgelijk rooster worden gelegd, waardoor er UVBIN-cellen ontstaan. Een dergelijk rooster noemen we een
UVBIN-rooster. Bij toepassing van het UV-rooster of UVBIN-rooster op het UV-vlak, respectievelijk UVBIN-vlak, zullen we spreken van een UV-vlak, respectievelijk
rooster-UVBIN-vlak (hierna ook aangeduid met UVBIN). De rooster-UV-verdeling ontstaat wanneer aan elke UV-cel het aantal UV-punten dat de cel bevat als waarde wordt toegekend. De oorspronkelijke locatie van een UV-punt wordt dus niet meegenomen in deze verdeling, waardoor er informatie wordt geaggregeerd. De rooster-UVBIN-verdeling ontstaat analoog aan de rooster-UV-verdeling.
Wanneer er één of meerdere UV-punten in een UV-cel of UVBIN-cel zijn gelegen, noemen we een cel gevuld. Een cel zonder UV-punt is leeg. Een cluster van lege cellen noemen we een gat. Wanneer alle cellen in het rooster-UV-vlak of rooster-UVBIN-vlak zijn gevuld, spreken we van
Figuur 1.5 geeft een UVBIN van een radio-interferometer met 137 elementen weer, waarin de zwarte punten UV-punten zijn. In totaal bevat dit UVBIN-vlak 2 18.632
2 137 = UV-punten. In elke UVBIN-cel die leeg is, is een rode stip geplaatst. In elke UVBIN-cel die maar één UV-punt bevat, is een blauwe stip geplaatst.
De topologie van een radio-interferometer bepaalt welk deel van de bron van radiosignalen kan worden waargenomen en afgebeeld. De afbeelding wordt namelijk samengesteld op basis van de verzameling basislijnen van een radio-interferometer. De oriëntaties van de basislijnen bepalen in welke richtingen de bron kan worden gezien. Een radio-interferometer met een topologie die leidt tot volledige dekking van het rooster-UV-vlak, bij een rooster met geschikte afmetingen, is daarom in staat een radiobron zo goed mogelijk waar te nemen en af te beelden.
De afbeelding van de bron, waarvan de straling door de interferometer is ontvangen, wordt samengesteld op basis van de PSF. De PSF meet de interferometer-respons van de inkomende signalen van de richting waarop de radio-interferometer gericht staat. De PSF kan worden berekend door de (discrete) inverse Fourier getransformeerde van de rooster-UV-verdeling te nemen (AIPS [2007]). In deze verdeling wordt de oorspronkelijke locatie van een UV-punt niet meegenomen, waardoor de informatie wordt geaggregeerd en de inverse Fourier transformatie kan worden versneld. Op de rooster-UV-verdeling wordt een weging van de UV-punten toegepast om een betere PSF te verkrijgen. Uniforme weging bijvoorbeeld kent aan elk UV-punt een gewicht toe dat gerelateerd is aan het totale aantal punten in zijn cel. Wanneer er aan elk UV-punt een gelijk gewicht wordt toegekend, wordt dat de natuurlijke weging genoemd (Schakel [2007]).
Om uit te leggen hoe de PSF wordt samengesteld, volgen we Noordam [2001] in zijn uitleg hiervan ten behoeve van het vormen van een intuïtief begrip van deze samenstelling. Bij de transformatie van de UV-data naar een afbeelding, geeft elk UV-punt een cosinus-golving in het afbeeldingvlak, met een periode en oriëntatie die bepaald wordt door zijn positie in het UV-vlak. De som van deze golvingen in fase produceert de hoofdpiek van de PSF, die genormaliseerd wordt tot de waarde 1. Naarmate de afstand tussen de hoofdpiek en andere golvingen groter wordt, neemt de hoogte van de golvingen af.
Hieronder is in figuur 1.6 de PSF geplaatst die de inverse Fourier transformatie is van de UV-verdeling in figuur 1.5.
Figuur 1.6: De PSF op basis van de UV-verdeling zoals getoond in figuur 1.5. Op de horizontale assen is de
De kwaliteit van de afbeelding van de bron waarvan de straling door de interferometer is ontvangen hangt af van de UV-verdeling en de vorm van de PSF. Daarom kunnen door beoordeling van deze twee functies, conclusies worden getrokken over de kwaliteit van de afbeelding van de bron.
Een systematisch overzicht van de hierboven beschreven stappen die gezet worden van de topologie tot de vorming van de PSF is te vinden in figuur 1.7. Tevens is de totstandkoming van het rooster-UVBIN-vlak erin opgenomen.
Figuur 1.7: Systematisch overzicht van stappen tussen topologie en PSF met als zijsprong de vorming van het
rooster-UVBIN-vlak.
Topologie antennesysteem
Basislijnen
UV-punten in UV-vlak
Rooster-UV-verdeling
Point Spread Function
Rooster-UVBIN-verdeling Projectie op UV-vlak
UV-rooster over UV-vlak
Inverse Fourier transformatie
UV-punten in UVBIN-vlak UVBIN-rooster over UVBIN-vlak Polaire
weergave UV-vlak
1.3 Aardrotatie
Voor de kwaliteit van het gevormde beeld van een radiobron is het belangrijk dat elke UV-cel volledig gevuld is. Elke gevulde UV-cel draagt bij aan de vorming van de PSF en daarmee aan de beeldvorming van het object waarvan de radiostraling is ontvangen. In Thompson e.a. [1986] wordt uitgelegd dat observaties met een geschikte variëteit aan basislijnen de benodigde informatie geven om de ontvangen signalen correct te kunnen interpreteren. In aanvulling hierop stelt Woody [1999] dat de enige manier om verzekerd te zijn van complete en accurate beeldvorming bij een radio-interferometer een volledig gevuld UV-vlak is. Ter illustratie: de Very Large Array (VLA) is een radio-interferometer met 27 telescopen die door middel van apertuur synthese 351 verschillende basislijnen genereert, waardoor de beeldkwaliteit hoog is (Wiki [2007]).
Het aantal te vullen UV-cellen is natuurlijk afhankelijk van de fijnmazigheid van het rooster dat wordt gekozen voor de verdeling. Wanneer er minder punten zijn dan te vullen UV-cellen, kunnen telescopen of antennes worden bijgeplaatst om zo het aantal basislijnen en bijbehorende oriëntaties te vergroten. Er zijn echter goedkopere mogelijkheden. Elementen van een radio-interferometer kunnen verplaatsbaar worden gemaakt, zoals bij de Westerbork Synthese Radio Telescoop het geval is. Daardoor kunnen er meer verschillende basislijnen worden gecreëerd. Een andere manier is om de draaiing van de aarde te gebruiken, een techniek die aardrotatiesynthese wordt genoemd. Door de draaiing van de aarde veranderen de lengten van de geprojecteerde basislijnen en hun bijbehorende oriëntaties (zie figuur 1.8). Door op verschillende tijdstippen te meten is het daardoor mogelijk om meer verschillende UV-punten genereren zonder bijplaatsing van antennes (Thompson [1984]). Uiteraard biedt een combinatie van beide manieren de beste mogelijkheden tot uitbreiding van de verzameling basislijnen en hun oriëntaties.
De lengte van een geprojecteerde basislijn is overigens altijd kleiner dan of gelijk aan de lengte van een basislijn. In vergelijking 1.4 wordt weergegeven hoe de lengte van een geprojecteerde basislijn zich verhoudt tot de lengte van een basislijn.
) sin(α
x
y = (1.4)
a: Projectie van basislijn ((xj−xi),(yj−yi))op UV-vlak op tijdstip 0.
b: Projectie van basislijn ((xj−xi),(yj−yi)) op UV-vlak op tijdstip 1.
Figuur 1.8: In (a) en (b) is een projectie van dezelfde basislijn op het UV-vlak afgebeeld voor verschillende
tijdstippen. De lengte van de geprojecteerde basislijn in (b) is zichtbaar afgenomen. In (a) en (b) wordt een doorsnede van beide vlakken door de basislijn (dx, dy) parallel aan de stralinggegeven. De vermelde coördinaten zijn de coördinaten van het tweedimensionale telescoop- en UV-vlak.
1.4 Beslissingsprobleem topologie
Een heel belangrijk aspect van het ontwerp van een radio-interferometer is dus de wijze waarop de afzonderlijke telescopen of antennes in een interferometer ten opzichte van elkaar liggen. De verzameling van basislijnen, hun lengten en oriëntaties, gezien vanuit het object en gezien over een bepaalde tijdsduur, bepaalt de verdeling van de UV-punten en daarmee de kwaliteit waarmee het beeld van de radiobron kan worden geconstrueerd (Cornwell [1988])
Afgezien van beperkingen zoals kosten en beschikbaarheid van grond, dient het ontwerp van een interferometer daarom zodanig te zijn, dat de kwaliteit van het beeld van de radiobron dat zal worden geconstrueerd, wordt gemaximaliseerd. Daarom zou het logisch zijn een topologie van de telescoop af te leiden uit de gewenste kwaliteit van het te vormen beeld. Voor interferometers waarvan de elementen zijn geplaatst op één lijn is een optimale topologie relatief gemakkelijk te vinden. Echter, voor interferometers die bestaan uit meerdere onverplaatsbare elementen die geplaatst zijn in een tweedimensionaal gebied, is het vinden van een optimale topologie een veel moeilijker probleem (Cohanim e.a. [2004]). Zoals vermeld in paragraaf 1.2 is de UV-verdeling een functie van de onderlinge ligging van de elementen van de interferometer. Het inverse topologieprobleem omvat het afleiden van een topologie uit een optimale UV-verdeling. Helaas bestaat er geen analytische oplossing voor het inverse topologieprobleem (Boone [2001]).
Voor het maximaliseren van de beeldkwaliteit die een tweedimensionale topologie kan genereren, zijn er daarom verschillende technieken toegepast. Cohen[2006] noemt onder andere de volgende:
• Trial and Error • Simulated Annealing • UV-Density & Pressure • PSF Optimization
De techniek Trial & Error bestaat uit het genereren van veel verschillende topologieën, waar vervolgens met maatstaven de prestaties van kunnen worden gemeten. Simulated Annealing, een techniek ontwikkeld in Kirkpatrick e.a. [1983] en toegepast in Cornwell [1988], start met een willekeurige topologie, van waaruit wordt toegewerkt naar een benadering van het globaal optimum. De methode UV-Density & Pressure, ontwikkeld in Boone [2001], zoekt een topologie waarvan de UV-verdeling de optimale UV-verdeling zo goed mogelijk benadert. PSF Optimization is een techniek specifiek voor telescopen en ontwikkeld in Kogan [1997]. Het is een iteratief proces waarmee, door de afgeleide van de PSF naar de locaties van de antennes te nemen, kan worden bepaald, welk element van de radio-interferometer moet worden verplaatst zodat de grootste storing in de PSF vermindert (Cohen [2006]). Voor alle bovenstaande technieken is een maatstaf vereist die de kwaliteit van het gevormde beeld kwantificeert.
Figuur 1.9: Systematisch overzicht van een radio-interferometer.
In figuur 1.9 is een systematisch overzicht weergegeven van een radio-interferometer. “Operationele instellingen” en “Topologie” bepalen samen de werking van de radio-interferometer. Operationele instellingen, hier met O aangeduid, zijn bijvoorbeeld de tijdsduur van waarnemingen en de hoek waaronder wordt waargenomen. De topologie, met T aangeduid, is de manier waarop elementen van de radio-interferometer onderling worden geplaatst. De output van de interferometer bestaat uit de UV-verdeling, U, die een functie is van O en T. De PSF, P, is een functie van de verdeling. De radio-interferometer wordt beoordeeld op zijn UV-verdeling en PSF. De maatstaven, M, die deze beoordeling maken zijn daarom functies van U of P. Deze maatstaven dienen zo te worden gekozen dat de effecten van de keuze van ontwerpparameters O en T op de maatstaven goed tot uitdrukking komen. Daarmee bedoelen we dat wanneer een verandering in de input een verandering tot gevolg heeft voor de output, de verandering in output correct door de maatstaven in kaart moet worden gebracht.
1.5 LOFAR
Maatstaven ter beoordeling van de kwaliteit van het gevormde beeld van een radiobron door een radio-interferometer zijn een hulpmiddel in een onderzoek naar een goede topologie voor een radio-interferometer. Wij zullen maatstaven toepassen in een onderzoek naar een optimale topologie voor LOFAR.
LOFAR is de afkorting van Low Frequency Array, hetgeen lage frequentie telescoop betekent. ASTRON (Stichting Astronomisch Onderzoek in Nederland) is de initiatiefnemer van het LOFAR project, en werkt samen met diverse universiteiten, onderzoeksinstellingen en het bedrijfsleven (ASTRON [2007]). Een overzicht van alle partijen in dit consortium is te vinden in Appendix 2. Het centrum van de telescoop zal worden gebouwd in de provincie Drenthe in Nederland.
Met behulp van LOFAR zal onderzoek worden gedaan naar bronnen van radiostraling met lage frequenties. Om deze frequenties te kunnen waarnemen met een hoge resolutie, is een telescoop benodigd met een grote diameter.
De kosten van een radio-interferometer bestaande uit schotelantennetelescopen, bestaan voor de helft uit kosten voor het staal en de bewegingsstructuur van de interferometer. De kosten voor het bouwen van een radio-interferometer, bestaande uit schotelantennetelescopen, die lage frequenties met voldoende gevoeligheid en resolutie ontvangt, kunnen oplopen tot tientallen miljarden dollars. (ASTRON [2003]).
LOFAR maakt echter gebruik van goedkope antennes in plaats van schotelantennetelescopen. LOFAR is hiermee de eerste telescoop in zijn soort en in staat het laagste frequentiegebied van het radiospectrum te onderzoeken. LOFAR kan daarom radiostraling van objecten uitgezonden vlak na de Big Bang, waar te nemen (ASTRON [2003]).
Figuur 1.10: Twee hoge frequentie antennes Figuur 1.11: Een lage frequentie antenne
© ASTRON © ASTRON
De antennes worden geplaatst in groepen van 96 hoge frequentie en 96 lage frequentie antennes op een stuk grond ter grootte van ongeveer één hectare (Röttgering e.a. [2006], ASTRON [2006b]). Een dergelijk antenneveld zullen we een station noemen. De stations worden via een glasvezelkabelnetwerk verbonden met een centrale supercomputer die de signalen van de groepen van antennes verwerkt. De centrale IBM Stella supercomputer is opgesteld in het rekencentrum van de Rijksuniversiteit Groningen (ASTRON [2005]). De rekenkracht die benodigd is om de signalen te combineren ligt in de orde van grootte van tientallen Tera-FLOPS. Met de huidige technologie is een dergelijke rekenkracht realiseerbaar. De rekenkracht van computers volgt echter grofweg de wet van Moore (ASTRON [2003]). Deze wet schrijft voor dat bij dezelfde hoeveelheid kosten het aantal transistors op een computerchip elke 24 maanden verdubbelt (Moore [1965]). De rekenkracht van computers verdubbelt daarom grofweg elke 24 maanden, waardoor steeds grotere radio-interferometers kunnen worden gerealiseerd.
2. Literatuuronderzoek naar UV-verdeling en Point Spread
Function
De kwaliteit waarmee een radio-interferometer een afbeelding kan maken van een radiobron, kan worden beoordeeld op twee functies van de configuratie: de UV-verdeling en de Point Spread Function (PSF). De eigenschappen van deze functies bepalen de kwaliteit van het gevormde beeld.
Er zijn verschillende manieren om de eigenschappen van een UV-verdeling en een PSF te beschouwen. Walker [1984] noemt als de waarschijnlijk meest vertrouwde methode hiervoor de visuele inspectie. Met de huidige rekencapaciteiten is het echter mogelijk geworden vele topologieën en de daaruit volgende UV-verdeling en PSF in relatief korte tijd te genereren. Inspectie met het oog is een omvangrijke taak geworden door de grote hoeveelheden data. De computer kan deze inspectie zelf uitvoeren en kwalitatieve eigenschappen omzetten in een kwantitatief oordeel. Daarvoor zijn maatstaven benodigd, waarvan de waarde met behulp van de computer kan worden berekend.
Er zijn veel artikelen5 verschenen waarin onderzoek naar een optimaal ontwerp voor een interferometer wordt beschreven. Veel van de maatstaven om de prestaties van die radio-interferometers te kunnen meten zijn ontwikkeld in deze context. De maatstaven zijn gebaseerd op gewenste eigenschappen van de UV-verdeling en de PSF. Opvallend is dat, voor zover we hebben kunnen nagaan, er bijna nooit expliciet onderzoek is gedaan naar de werking van de maatstaven, terwijl ze een doorslaggevende factor zijn voor de resultaten van het onderzoek. Alleen Webster [2004] heeft een artikel gewijd aan onderzoek naar een maatstaf voor de kwaliteit van de UV-verdeling.
Hoewel de PSF de inverse Fourier transformatie van de UV-verdeling is, kunnen niet alle eigenschappen van de PSF worden afgelezen aan de UV-verdeling (Conway [1999]). Daarom is het nodig zowel de PSF als de UV-verdeling te testen op hun eigenschappen. Voor beide functies zijn daarom maatstaven ontwikkeld.
In dit hoofdstuk geven we in paragraaf 2.1 een overzicht van gewenste vormen van UV-verdeling en PSF. In paragraaf 2.2 geven we een overzicht van maatstaven, gebruikt in de astronomische literatuur, voor het beoordelen van UV-verdelingen en PSF’s. Tenslotte zullen we in paragraaf 2.3 de relatie beschrijven tussen afwijkingen van een gewenste UV-verdeling en de gevolgen die de afwijkingen hebben voor de vorm van de PSF.
2.1. Eigenschappen UV-verdeling en Point Spread Function
In deze paragraaf zetten we eerst de kennis op het gebied van de UV-verdeling uiteen, gevolgd door eenzelfde uiteenzetting voor de PSF. Daarna zal de relatie tussen beide functies worden belicht.
2.1.1 Optimale UV-verdeling
Zoals is beschreven in hoofdstuk 1, correspondeert elk UV-punt in het UV-vlak met een basislijn. In Thompson e.a. [1986] wordt uitgelegd dat observaties met een geschikte variëteit van basislijnen de benodigde informatie geven om de ontvangen signalen correct te kunnen interpreteren. In aanvulling hierop stelt Woody [1999] dat de enige manier om verzekerd te zijn van complete en accurate beeldvorming bij een radio-interferometer een volledig gevuld rooster-vlak is. Dit betekent dat, bij een geschikte keuze van het rooster van het rooster-vlak, elke UV-cel mimimaal één basislijn moet bevatten.
Afwijkingen van een volledig gevulde UVBIN worden gevormd door gaten. Gaten in de UV-dekking vertegenwoordigen een gebrek aan informatie, dat kan resulteren in grote fouten in de beeldvorming van de radiobron. Bovendien zijn verstoringen in de beeldvorming als gevolg van onvolledige UV-dekking van andere aard dan verstoringen die optreden als gevolg van ruis (ontvangen radiostraling die de straling van interesse verstoort) (Keto [1997]). Daarnaast speelt de grootte van de gaten in de UV-dekking een rol. De kans op fouten in de beeldvorming is groter wanneer de gaten in de UV-dekking groter zijn (Keto [1997], Webster [2004]). Volgens Woody [1999] kunnen kleine gaten worden gevuld door interpolatie van de omringende UV-punten, waarna er accurate beeldvorming plaats kan vinden. Echter, naarmate het gat dat opgevuld moet worden door middel van interpolatie groter wordt, wordt de verkregen informatie steeds minder betrouwbaar en accuraat (Webster [2004]). Wanneer er geen omringende UV-punten zijn, zal een gat moeten worden opgevuld door extrapolatie. We verwachten dat de gevolgen van extrapolatie voor de betrouwbaarheid en accuraatheid van de verkregen informatie vergelijkbaar of erger zijn dan de gevolgen van interpolatie.
Een UV-cel in het rooster-UV-vlak is niet leeg indien de cel één of meer UV-punten bevat. Een dergelijke cel hebben we een gevulde UV-cel genoemd. Bij een grote hoeveelheid UV-punten in één UV-cel wordt gesproken van een verdichting. De hoeveelheid UV-punten waarbij sprake is van verdichting is subjectief, maar zeker meer dan twee. Wanneer een element van een radio-interferometer defect raakt, dan is dekking van die cel wellicht verzekerd door een ander UV-punt. Verdichtingen in de UV-dekking betekenen een overmaat aan informatie, meer dan benodigd voor goede beeldvorming (Su e.a. [2003]). In Woody [2001] wordt vermeld dat elk merkbaar patroon in de topologie van een radio-interferometer invloed heeft op de hoogte van de
gevolg dan geclusterde verdichte UV-cellen. Daarom dienen verdichtingen te worden geminimaliseerd.
Om de hierboven vermelde redenen dienen dus zowel gaten als verdichtingen in het UV-vlak te worden vermeden. Een logisch gevolg hiervan is dat een optimale verdeling van UV-punten over het UV-vlak uniform is. In dat geval zijn alle beschikbare, op het UV-vlak geprojecteerde, basislijnlengten en hun bijbehorende oriëntaties zo goed mogelijk verdeeld en is er geen sprake van overtollige informatie. Het hangt af van de hoeveelheid UV-cellen, welke een gevolg is van de keuze van de afmetingen van het UV-rooster, en het aantal elementen van de interferometer, die het aantal UV-punten bepalen, of elke UV-cel gevuld kan raken. Indien er meer UV-punten dan UV-cellen zijn, kan er bij de optimale verdeling van de punten over het UV-vlak rekening worden gehouden met een minimale bezettingsgraad van elke UV-cel in de UVBIN. Hierdoor kan het risico van verlies van informatie door het uitvallen van een antennesysteem van de interferometer worden verminderd.
Een uniforme verdeling van UV-punten zorgt voor een optimale beeldvorming. Bij gebrek aan kennis van de structuur van de bron voorafgaand aan een observatie, resulteert deze UV-verdeling in de hoogste signaalruisverhouding (verhouding tussen de kracht van het gewenste signaal en de tegelijkertijd ontvangen ruis) en de hoogste resolutie (Su e.a. [2003]). Dat laatste wordt ook genoemd in Keto [1997], waarin verder wordt vermeld dat een uniforme verdeling van UV-punten beeldvorming oplevert waarbij fouten veroorzaakt door eventuele interpolatie worden geminimaliseerd. Daarin wordt ook de conclusie getrokken, net als in Walker [1984], dat niet-uniforme verdeling van UV-punten een minder complete dekking van het UV-vlak tot gevolg moet hebben. Indien het aantal UV-punten gelijk aan of minder groot is dan het aantal UV-cellen heeft dit tot gevolg dat verdichtingen elders gaten veroorzaken.
Een uniforme verdeling van UV-punten (zie figuur 2.1) over het UV-vlak is dus optimaal met betrekking tot de beeldvorming. Bij het zoeken naar een optimaal ontwerp voor een radio-interferometer wordt daarom gezocht naar een topologie die een dergelijke verdeling genereert. Boone [2001] stelt echter dat er geen oplossing voor het topologieprobleem bestaat die een uniforme UV-verdeling heeft. Een topologie die een complete dekking maar met verdichtingen oplevert, kan daarom te verkiezen zijn boven een topologie zonder verdichtingen, maar met gaten. Overtollige informatie is immers, tot op zekere hoogte, niet erg, een gat in de waarnemingen wel. Er is echter geen informatie bekend over de grootte van verdichtingen en de gevolgen die verdichtingen hebben op de hoogte van de sidelobes, waardoor we niet kunnen stellen dat een verdichting per definitie minder schadelijk is dan een gat.
Veel maatstaven ter beoordeling van een UV-verdeling zijn daarom gericht op het in kaart brengen van gaten in de UV-verdeling en de mate van uniformiteit.
In tabel 2.1 is een overzicht gegeven van eigenschappen van UV-verdelingen en welke factoren door deze eigenschappen worden bepaald.
Tabel 2.1: Overzicht van eigenschappen van UV-verdelingen en de factoren waar de eigenschappen van deze functie
van op invloed zijn.
Eigenschappen UV-verdeling De eigenschap bepaalt:
Volledige dekking rooster-UV-vlak Betrouwbaarheid van gevormde beeld
Uniformiteit Signaalruisverhouding
Gaten in UV-dekking Betrouwbaarheid van gevormde beeld Verdichtingen in UV-verdeling Redundantie van basislijnen
Figuur 2.1: Een voorbeeld van een uniforme verdeling van UV-punten over het rooster-UVBIN-vlak. Op de
2.1.2 Optimale vorm Point Spread Function
Zoals in figuur 2.2, die een doorsnede van een PSF weergeeft, is te zien, valt een PSF op te delen in een hoofdpiek (mainlobe) en de kleine zijpieken (sidelobes) daaromheen. De kleine zijpieken zullen we voortaan aanduiden met sidelobes. Bij cirkelvormige topologieën liggen de sidelobes ringsgewijs van het centrum af. Daarom worden sidelobes in dat geval ook ringlobes genoemd. Naarmate de ringlobes verder van het centrum afliggen neemt hun hoogte af (Bracewell&Thompson [1974]).
De optimale vorm voor de PSF kan volgens bovengenoemd onderscheid worden behandeld. Het ene deel behandelt de hoofdpiek. De breedte van deze piek hangt samen met de resolutie van de telescoop. Een bredere hoofdpiek betekent een afname van de resolutie (Keto [1997]).
Figuur 2.2: Een doorsnede van een PSF met op de horizontale as de resolutie gegeven in arcseconden en op de
verticale as de genormaliseerde antennekracht.
het afbeelden van complexe, verder weg staande objecten negatief beïnvloeden. Sidelobes die juist verder weg staan van het centrum van de PSF hebben de neiging het ruisniveau te verhogen (Phillips&Lonsdale [2003]).
Een optimale PSF heeft dus een smalle hoofdpiek en is glad van vorm, dus zonder sidelobes. Een voorbeeld van een optimale PSF wordt weergegeven in figuur 2.3.
In tabel 2.2 is een overzicht gegeven van eigenschappen van PSF’s en welke factoren door deze eigenschappen worden bepaald.
Tabel 2.2: Overzicht van eigenschappen van PSF’s en de factoren waar de eigenschappen van deze functie van op
invloed zijn.
Figuur 2.3: Een voorbeeld van een optimale PSF, met op de horizontale assen de resolutie weergegeven in
arcseconden. Op de verticale as staat de genormaliseerde antennekracht weergegeven
Eigenschappen PSF De eigenschap bepaalt:
Breedte hoofdpiek Resolutie
2.1.3 Relatie tussen UV-verdeling en Point Spread Function
Nu zowel de eigenschappen van UV-verdelingen en PSF’s zijn behandeld, en is uitgelegd in welke vorm zij de beste (beeldvormende) resultaten opleveren, kunnen we de relatie tussen beide leggen. De PSF wordt immers samengesteld op basis van de verdeling van de UV-punten. We zullen hieronder de gevolgen, die afwijkingen van volledigheid en uniformiteit van een UV-dekking hebben voor de PSF, uiteenzetten.
Uit sectie 2.1.1 kan de conclusie worden getrokken dat gaten in een UV-dekking zorgen voor een PSF met hogere sidelobes. Verder is ook geconcludeerd dat uniformiteit van een UV-verdeling zorgt voor de hoogste signaalruisverhouding. Cohanim e.a. [2004] vermelden dat sidelobes worden geminimaliseerd als geen enkel UV-punt overbodig is, waarbij met overbodig wordt bedoeld dat een UV-punt niet benodigd is voor de beeldvorming omdat er al een vergelijkbare meting (i.e. een vergelijkbaar UV-punt) is.
Bij een complete dekking van het UV-vlak kan door juiste weging van de UV-data een PSF worden geproduceerd met verwaarloosbare sidelobes. Een radio-interferometer met een dergelijke PSF genereert afbeeldingen met een hoge betrouwbaarheid. Volledige dekking van het UV-vlak maakt goede afbeeldingen mogelijk, maar de nauwkeurigheid van deze afbeeldingen wordt beperkt door meer naar het centrum gelegen sidelobes (Woody [2001]). Over de relatie tussen kenmerken van de UV-dekking en de gevolgen die zij hebben voor de sidelobes van de PSF kan het volgende worden gesteld. De “grote schaal” waarop de verdeling van UV-punten kan worden bekeken (de gehele UV-verdeling) bepaalt de meer naar het centrum gelegen sidelobes. De sidelobes die juist wat verder van het centrum vandaan liggen worden veroorzaakt door variaties in de UV-dekking op “kleine schaal” (i.e. variaties in lokale dichtheden) (Woody [2001]).
In Woody [2001] worden ook mogelijkheden genoemd om de hoogte van de sidelobes te verminderen. De in paragraaf 1.2 genoemde weging van UV-punten is een manier om de sidelobes af te vlakken. Dit is echter alleen mogelijk bij voldoende dekking van het UV-vlak, er moeten immers wel UV-punten zijn om te kunnen wegen. Met het toepassen van een edge taper (i.e. de weging waarbij UV-data aan de buitenkant van het UV-vlak minder zwaar worden meegewogen dan naar binnen gelegen UV-data) op de UV-data kunnen de sidelobes die naar het centrum liggen worden beïnvloed. Volgens Noordam [2001] kunnen, wanneer de UV-dekking compleet is, met behulp van een geschikte tapering techniek de sidelobes willekeurig klein worden gemaakt. Weging van de UV-punten ter verbetering van de PSF gaat echter wel ten koste van de signaalruisverhouding (Thompson e.a. [1986]).
sidelobeniveau van een realistische topologie, die een niet-uniforme UV-verdeling tot gevolg heeft, kan vergelijkbaar zijn met dat van een PSF op basis van een uniforme UV-dekking. In Woody [2001] wordt geconcludeerd dat bij radio-interferometers met meer dan 50 elementen verspreid over een groot gebied een centraal geconcentreerde UV-verdeling benodigd is om de sidelobes die meer naar het centrum liggen lager te laten blijven dan de gemiddelde hoogte van sidelobes die verder van het centrum af liggen. Alleen dan is het mogelijk hoge kwaliteit afbeeldingen te maken, zonder weging van de UV-data en het daarbij horende verlies van signaalruisverhouding. In Boone [2002] en Holdaway [1996] worden soortgelijke conclusies getrokken.
In tabel 2.3 zijn de eigenschappen van een radio-interferometer en waar van welke factoren die eigenschappen afhankelijk zijn, weergegeven. Verder is aangegeven of de eigenschap van UV-verdelingen of PSF’s is af te lezen.
Tabel 2.3: Overzicht van eigenschappen waarop een telescoop beoordeeld kan worden. Er is aangegeven van welke
factoren de eigenschap afhankelijk zijn en of de eigenschap is af te lezen van de PSF of de UV-verdeling.
Eigenschap is afhankelijk van: Eigenschap is
af te lezen aan UV-verdeling?
Eigenschap is af te lezen aan PSF?
Resolutie • grootste basislijn nee
(theore-tisch wel)
ja Betrouwbaarheid
gevormde beeld
• spreiding UV-punten over UV-vlak • snelheid van volledige UV-dekking
bij aardrotatiesynthese • signaalruisverhouding • sidelobes ja ja ja nee nee nee nee ja
Gevoeligheid • antenne-ontvangst-oppervlak ja nee
2.2 Maatstaven
De meeste maatstaven ter beoordeling van de kwaliteit van het gevormde beeld zijn ontwikkeld in de context van onderzoek naar een optimale topologie voor een radio-interferometer. De maatstaven zijn zo ontworpen dat ze de mate waarin een radio-interferometer in staat is om een kwalitatief goede afbeelding te maken van de stralingsbron (gekwantificeerd) tot uiting brengen. In secties 2.2.1 en 2.2.2 geven we een overzicht uit de astronomische literatuur van maatstaven ter beoordeling van een UV-verdeling en een PSF.
2.2.1 Maatstaven ter beoordeling van een UV-verdeling
Maatstaven voor de beoordeling van de UV-verdeling zijn grofweg in vier categorieën op te delen, namelijk:
1. volledige UV-dekking; 2. uniformiteit van UV-dekking; 3. gaten in UV-dekking;
4. maximalisatie afstand tussen twee UV-punten. We zullen de maatstaven hieronder per categorie vermelden.
De eerste categorie vertegenwoordigt maatstaven die een UV-dekking testen op volledigheid. Daartoe is in Cornwell [1986], Thompson e.a. [1986], Woody [1999] en Cohanim e.a. [2004] het percentage oppervlaktegebied in het UV-vlak zonder UV-punten gebruikt. In Walker [1984] wordt het testen op volledige UV-dekking vergelijkbaar aangepakt door het aantal gevulde cellen in het UV-vlak te tellen.
De tweede categorie behandelt de uniformiteit van een dekking, welke de verdeling van punten over het vlak betreft. In Su e.a. [2003] wordt een maatstaf gebruikt die het aantal UV-punten per UVBIN-cel telt. Aan de UV-UV-punten wordt vervolgens een gewicht, gerelateerd aan het aantal totale UV-punten in hun cel, toegekend, met behulp waarvan een topologie wordt geoptimaliseerd.
wanneer er sprake is van veel UV-punten, meer tijd om gaten in de UV-dekking te vinden, dan wanneer een discrete verdeling van UV-punten wordt beschouwd. Deze discrete verdeling van UV-punten, de rooster-UV-verdeling, is een aggregatie van informatie en ontstaat door aan elke UV-cel, die ontstaat door een UV-rooster over het UV-vlak te leggen, een getal toe te kennen dat gelijk is aan het aantal UV-punten dat de cel bevat. Zoals in hoofdstuk 1 al is vermeld wordt een gat dan gedefinieerd als een cluster van horizontaal en verticaal aan één grenzende lege cellen.
Figuur 2.4: Figuur 3f uit Webster [2004], met daarin weergegeven het UV-vlak met UV-punten van een
willekeurige topologie waarop de grootste cirkels in die geen UV-punten bevatten zijn aangegeven. Toestemming voor reproductie van Astronomy&Astrophysics.
gemarkeerd zijn met 5 tot en met 8 moeten bevatten. Deze cellen zijn allen leeg en grenzen aan elkaar waardoor ze een cluster van een gebrek aan informatie vormen, die de betrouwbaarheid van de afbeelding kan verminderen.
Het nadeel van het algoritme in Webster [2004] is dus dat de grootte van een gat wordt bepaald door de kleinste afstand tussen twee UV-punten waartussen het gat zich bevindt. Hierdoor kan het voorkomen dat cellen die grenzen aan de cirkel en ook leeg zijn, niet mee worden meegeteld in het gat. Het algoritme geeft dus een goed beeld waar een gat zich bevindt, maar zegt maar ten dele wat over de hoeveelheid lege cellen waarvoor interpolatie weinig betrouwbare of geen resultaten oplevert.
Figuur 2.5: In (a) is een willekeurige topologie in het UV-vlak weergegeven, met een cirkelvormig gat dat het
algoritme in Webster [2004] zou aanduiden als een gat in de dekking. In (b) is er een rooster over het UV-vlak neer gelegd en is het cirkelvormige gat met rode kleur aangegeven. In (c) zijn alle lege cellen in het rooster-UV-vlak rood gekleurd. De cellen die één of meerdere UV-punten bevatten zijn groen gekleurd.
Tot de vierde categorie behoren onderzoeken waarbij de topologie van een radio-interferometer is geoptimaliseerd door de afstanden tussen elk paar UV-punten te maximaliseren. Doordat het aantal UV-punten wordt bepaald door het aantal stations, kan met deze methode zowel de uniformiteit, als de dekking worden gemaximaliseerd. In Cornwell [1988] is van deze methode gebruik gemaakt door de som te nemen van een functie van alle afstanden tussen elk paar UV-punten. De functies die in deze onderzoeken worden gebruikt zijn de som van het logaritme van elke absolute afstand. Verder worden als andere mogelijke functies het gemiddelde van het kwadraat en het geometrisch gemiddelde van de afstanden tussen elk paar UV-punten genoemd. Een andere mogelijkheid die tot de vierde categorie behoort, is het optimaliseren van de topologie van een radio-interferometer door de UV-verdeling van een topologie te vergelijken met een uniforme verdeling. Daartoe wordt de afstand tussen elk topologie-punt en uniform UV-punt geminimaliseerd. In Walker [1984] wordt met behulp van deze maatstaf een topologie met een zo uniform mogelijke dekking gegenereerd.
Als laatste maatstaf ter beoordeling van de UV-verdeling noemen we de signaalruisverhouding. Deze verhouding geeft de verhouding tussen bruikbaar geluid en ruis weer en wordt volgens vergelijking 2.1 berekend: F T T C S A sn = ℜ (2.1)
met ℜ de signaal-ruis-verhouding, Tsn A de kracht van het signaal, TS de kracht van de ruis, F een
factor om te corrigeren voor de variatie in golflengte en duur van waarneming en C een constante (Thompson e.a. [1986]).
2.2.2 Maatstaven ter beoordeling van de Point Spread Function
Maatstaven die de kwaliteit van een PSF beoordelen, delen wij op in twee categorieën. Een categorie behandelt de hoofdpiek, terwijl de andere de sidelobes betreft.
Van de eerste categorie is vooral het Full-Width-Half-Maximum (FWHM) een bekende maatstaf. Deze maatstaf berekent de breedte van de hoofdpiek op de helft van de hoogte van de PSF. Dat is in dit geval 0.5, omdat de PSF is genormaliseerd met piekwaarde gelijk aan 1. Deze maatstaf meet dus de breedte van de hoofdpiek, en daarmee de resolutie waarmee is waargenomen. De maatstaf is zeer gangbaar, ook in andere vakgebieden, en wordt onder andere in Foster [1994] en Conway [1999] gebruikt. In Phillips&Lonsdale [2003] wordt het FWHM principe toegepast in een maatstaf die het FWHM van een topologie voor een radio-interferometer vergelijkt met een nominale vorm.
De andere categorie meet de prestaties van een radio-interferometer af aan de hoogte van de sidelobes. Uit sectie 2.1.2 is bekend dat een lager sidelobeniveau betere kwaliteit van het gevormde beeld tot gevolg heeft. Niet verwonderlijk is dan ook de maatstaf die de gemiddelde hoogte van de sidelobes meet. Deze maatstaf is onder andere gebruikt in Thompson e.a. [1986], Keto [1997], Woody [1999] en Noordam [2001].
Een maatstaf die de grootste piek in de sidelobes meet, brengt de ernst van grote verstoringen in kaart. Onder andere in Thompson e.a. [1986] en Conway [1999] wordt deze maatstaf gebruikt. In Kogan [1997] is op basis van deze maatstaf een algoritme ontwikkeld, waarmee een topologie met de kleinste maximale piek in de sidelobes kan worden gevonden. In Phillips&Lonsdale [2003] wordt van een cirkelvormige symmetrische topologie de maximale piek in ringlobes van op bepaalde afstand van het centrum gemeten.
Bracewell&Thompson [1974] en Cornwell [1986] gebruikt. De RMS voor een verzameling van n elementen wordt volgens vergelijking 2.2 berekend:
∑
= = n i i rms x n x 1 1 2 (2.2)Het RMS sidelobeniveau wordt berekend aan de hand van alle discrete waarden van de PSF. In Phillips&Lonsdale[2003] wordt de RMS van ringlobes gemeten.
3. Onderzoeksopzet
In de eerste drie paragrafen van dit hoofdstuk zetten we onze onderzoeksopzet uiteen. We beginnen in paragraaf 3.1 met een probleemverkenning en motivatie voor ons onderzoek. Daarna zullen we in paragraaf 3.2 de probleemstelling van ons onderzoek opstellen en uitleggen. Vervolgens beschrijven we in paragraaf 3.3 welke afbakeningen we hebben gemaakt. In paragraaf 3.4 geven we een overzicht van de methodiek van ons onderzoek. Paragraaf 3.5 geeft een overzicht van onze ontwikkelde maatstaven en motivatie. In de laatste paragraaf van dit hoofdstuk beschrijven we het onderzoek naar een optimale topologie voor LOFAR met behulp van onze maatstaven.
3.1 Probleemverkenning en motivatie
In hoofdstuk 2 is een overzicht gegeven van de eigenschappen van een UV-verdeling en een Point Spread Function (PSF) die leiden tot een goede beeldvorming van de bron. Bovendien is aangegeven welke gevolgen afwijkingen van deze eigenschappen voor de beeldvorming kunnen hebben. Vervolgens is een overzicht gegeven van maatstaven ter beoordeling van UV-verdelingen en PSF’s. Deze maatstaven werken zodanig, dat ze ongewenste, of juist gewenste eigenschappen van de twee functies van een configuratie van een radio-interferometer in kaart brengen. De maatstaven hebben we ingedeeld in verschillende categorieën, afhankelijk van de eigenschappen die ze meten.
Niet alle relevante kennis van de eigenschappen van UV-verdelingen en PSF’s is verwerkt in maatstaven. Voor de verdeling bestaat er geen enkele maatstaf die verdichtingen in de UV-verdeling meet. Een maatstaf die gaten in de UV-dekking identificeert is door Webster [2004] ontwikkeld, maar deze vindt alleen cirkelvormige gaten. Voor zover we hebben kunnen nagaan is in de astronomische literatuur het idee om een PSF met een optimale PSF te vergelijken niet eerder uitgewerkt in maatstaven. Enkele maatstaven voor een PSF gebaseerd op een vergelijking met een optimale PSF zijn wel eerder genoemd in Sakhaei e.a. [2005]. Eveneens worden in het programma AntConfig (Villiers [2006]) enkele maatstaven gebruikt die gebaseerd zijn op de verschillen tussen een PSF van een topologie en een optimale PSF. Tot slot hebben we geen maatstaf gevonden die gebruikt maakt van een hoogtedoorsnede van de PSF.
leveren. Een alternatief is dat deze stations elders worden geplaatst waardoor ze een gat in de UV-verdeling kunnen opvullen en waarneming betrouwbaarder worden. Een andere reden waarom er niet eerder naar verdichtingen in de UV-verdeling is gekeken, kan te maken hebben met de nieuwe generatie radio-interferometers waar LOFAR deel van uitmaakt. Deze telescopen bestaan uit veel elementen verspreid over een groot gebied. Zoals in sectie 2.1.3 is beschreven, zorgt een centraal geconcentreerde UV-verdeling bij een dergelijk type telescoop voor betere resultaten. Deze concentratie van UV-punten zorgt voor verdichtingen. Radio-interferometers van een eerdere generatie zijn veelal gebouwd met uniforme UV-verdeling, die niet leidden tot concentraties van UV-punten in de UV-verdeling.
Het idee om een PSF, die volgt uit een bepaalde topologie, met een optimale PSF te vergelijken, is gebaseerd op onderzoeken in Woody [2001] en Boone [2002]. In beide is onderzoek gedaan naar een UV-verdeling waarbij de PSF wordt geoptimaliseerd. In Woody [2001] is gezocht naar een topologie die een UV-verdeling oplevert die de optimale PSF het meest benadert. In Boone [2002] is gezocht naar een UV-verdeling op basis waarvan de PSF optimaliteit benadert. Deze UV-verdeling is dus niet geassocieerd met een echte topologie, maar dient ter referentie voor het testen van de UV-verdeling van topologieën. In Walker [1984] is een soortgelijk idee eerder gebruikt. Daarin wordt een UV-verdeling vergeleken met een optimale verdeling en wordt dit concept gebruikt om de uniformiteit van de UV-verdeling te verhogen. Het idee om een PSF, die uit een bepaalde topologie volgt, te vergelijken met zijn optimale corresponderende vorm, heeft de unieke eigenschap dat daarmee bekend wordt hoever de PSF, en daarmee de topologie, af staat van zijn optimale vorm.
Het idee om hoogtedoorsneden van de PSF te bekijken, biedt de mogelijkheid om, naast de al eerder gebruikte ringdoorsneden (Bracewell&Thompson [1974]) en dwarsdoorsneden (Kogan [1997]), op een gedetailleerde manier aan informatie over de PSF te komen.
Ontwikkeling, of keuze, van een maatstaf is een onderdeel van een groter proces. In ons geval is dat het onderzoek naar een geschikt ontwerp voor LOFAR, waarbij verschillende topologieën met elkaar zullen worden vergeleken.
3.2 Probleemstelling
geconcludeerd en moeten onderscheidend zijn. Een maatstaf die onderscheidend is, kan twee, in kwalitatieve zin van elkaar afwijkende resultaten, onderscheiden.
Na ontwikkeling van maatstaven, kunnen deze worden toegepast in een onderzoek naar een optimale topologie voor LOFAR. Dit geheel brengt ons tot de volgende probleemstelling voor ons onderzoek.
Probleemstelling
Ontwikkel onderscheidende maatstaven waarmee de kwaliteit van het gevormde beeld van verschillende topologieën van een radio-interferometer kwantitatief onderling vastgesteld kan worden op het gebied van:
• gaten en verdichtingen in UV-verdelingen, en
• de hoogte van sidelobes van PSF’s en afwijkingen van PSF’s ten opzichte van een
optimale PSF,
zodat met behulp van deze maatstaven een optimale topologie voor LOFAR vastgesteld kan worden op het gebied van:
• het aantal armen,
• de kromming van de armen, en • het aantal stations.
Een optimale topologie is een topologie die de beste waarden haalt op onze maatstaven en daarmee het best in staat is een correct beeld te vormen van een radiobron.
3.3 Afbakening probleemstelling
Om onze onderzoeksvraag concreet uit te kunnen werken, zullen we eerst vaststellen voor welke eigenschappen van UV-verdelingen en PSF’s we de maatstaven zullen ontwikkelen. Daarna bakenen we het onderzoek naar de optimale topologie af.
3.3.1 Afbakening maatstaven
Uit onze probleemstelling blijken al de volgende afbakeningen. Van alle eigenschappen waarop een UV-verdeling en een PSF zijn te beoordelen, zoals volledigheid van de UV-dekking en bijvoorbeeld de resolutie van de PSF, beperken we ons tot gaten en verdichtingen in de UV-verdeling en de hoogte van sidelobes bij de PSF.
maatstaf voor bestaat. Met behulp van deze maatstaven gaan we topologieën voor LOFAR testen door hun waarden voor deze maatstaven te bepalen.
3.3.2 Afbakening onderzoek topologie LOFAR
In Boone [2001] is aangegeven dat bij onderzoek naar een optimale topologie voor een radio-interferometer rekening moet worden gehouden met drie verschillende aspecten. Ten eerste moet bij optimalisatie van de topologie gelet worden op de gewenste duur van waarnemingen van gewenste radiobronnen. Ten tweede moet het ontwerp van de telescoop zijn geoptimaliseerd voor het wetenschappelijke doel van de telescoop, zoals detectie of astrometrie. Als laatste dient er bij het ontwerp rekening te worden gehouden met beperkingen, zoals het maximum besteedbaar bedrag of beschikbaarheid en geschiktheid van grond.
In de toepassing van onze maatstaven in een onderzoek naar een optimale topologie voor LOFAR, beperken we ons onderzoek, met betrekking tot bovenstaande aspecten, tot het vinden van een topologie voor LOFAR voor zenit. Daarnaast optimaliseren we de topologie voor snap-shot waarnemingen. Deze duur van waarneming is zeer klein, gelijk aan een momentopname. Een logisch gevolg is dat we geen rekening houden met de draaiing van de aarde om op die manier het UV-vlak op te vullen, zoals uitgelegd in paragraaf 1.3. De telescoop wordt geoptimaliseerd voor waarnemingen van radiostraling met een frequentie van 100 MHz. Andere beperkingen, zoals het besteedbare budget, zullen we niet meenemen in ons onderzoek. Het wetenschappelijke doel waarvoor het ontwerp van LOFAR wordt geoptimaliseerd valt buiten het bereik van dit onderzoek.
De ontwikkelaars van LOFAR zijn vergevorderd met hun plannen voor de topologie voor LOFAR. De topologieën waar wij onderzoek naar doen, zullen we daarom baseren op hun plannen. Daarom kiezen we voor een ontwerp waarin de stations zullen worden geplaatst volgens een spiraalvorm. Dit type topologie is onderzocht door Conway [1999], Noordam [2001] en Röttgering e.a. [2006]. De kern van de LOFAR-spiraaltopologie wordt gevormd door 32 stations. Deze stations, die we kernstations noemen, worden in een gebied van 2 bij 3 kilometer geplaatst. De coördinaten van de stations in dit centrale gedeelte van LOFAR zijn vastgelegd in ASTRON[2006a]. Deze locaties zullen we in het vervolg als gegeven veronderstellen. Andere stations worden geplaatst op denkbeeldige gekromde spiraalvormige armen en noemen we
