Onderzoek topologie LOFAR

In hoofdstuk 1 hebben we de radio-interferometer LOFAR besproken. In paragraaf 3.3 hebben we het deel van de probleemstelling dat een onderzoek naar een optimale topologie voor LOFAR, met behulp van de ontwikkelde maatstaven, behandeld, afgebakend. We hebben beschreven welke soort topologie we zullen onderzoeken en welke parameters we zullen variëren. In deze paragraaf geven we een overzicht van de waarden van alle topologie-parameters. In sectie 3.6.1 zetten we de waarden van de topologie-parameters die we variëren uiteen en geven we een motivatie voor de keuze van die waarden. In sectie 6.3.2 behandelen we andere belangrijke parameters waarvan de waarde constant zal worden gehouden. Een overzicht van alle parameters, een beknopte uitleg, en de waarden die we tijdens het onderzoek aan deze parameters hebben gegeven, is te vinden in appendix 3.

3.6.1 Gevariëerde parameters

De drie parameters van de topologieën die we zullen variëren zijn het aantal spiraalvormige armen waarop de buitenstations komen te liggen, de hoeveelheid buitenstations per arm en de kromming van de armen. In ons onderzoek naar een optimale topologie voor LOFAR, binnen de gestelde beperkingen, werken we met drie en vijf spiraalvormige armen. We beschouwen enkel oneven aantallen armen, omdat volgens Noordam [2001] een even aantal spiraalvormige armen zorgt voor redundantie van basislijnen en daarmee veel verdichtingen in de UV-verdeling en een minder uniforme UV-verdeling tot gevolg heeft. Daarnaast wordt vermeld dat de UV-dekking bij drie of vijf armen beter is dan bij zeven armen, waarschijnlijk doordat het aantal buitenstations over een kleiner aantal armen hoeft te worden verdeeld en er daardoor meer buitenstations per arm zijn. In Noordam [2001] is op basis van deze informatie de voorkeur gegeven aan drie spiraalvormige armen. In Röttgering e.a. [2006] is aangegeven dat de topologie van LOFAR vijf spiraalvormige armen zal bevatten. Op basis van deze bevindingen zullen wij testen welke hoeveelheid armen de voorkeur verdient.

Het aantal stations dat we variëren zal enkel de buitenstations betreffen. De kern van de topologie bestaat uit 32 stations en de locaties van deze stations zullen wij in ons onderzoek als gegeven beschouwen. LOFAR zal in totaal 25.000 antennes gebruiken (ASTRON [2003]). Elk antenneveld zal 192 antennes bevatten (ASTRON [2006b]), waardoor er uiteindelijk ongeveer 130 antennevelden of stations zullen worden gebouwd. Buiten de 32 kernstations zullen dus naar verwachting ongeveer 100 buitenstations worden gebouwd. In ons onderzoek variëren wij het aantal buitenstations van ongeveer 80 tot en met 120. De reden voor deze aantallen is gebaseerd op het totaal verwachte aantal buitenstations dat zal worden gebouwd en biedt een goede blik op topologieën met aantallen buitenstations in de buurt van honderd. Aangezien de buitenstations evenredig over het aantal spiraalarmen zullen worden verdeeld, dient het aantal buitenstations een veelvoud te zijn van het aantal armen. Dat is de reden dat we bij drie armen de hoeveelheid buitenstations per arm van 27 tot en met 40, en in totaal van 81 tot en met 120, variëren. Bij

topologieën met vijf armen kiezen we voor een minimum van 16 buitenstations en een maximum van 24 buitenstations per arm, dus in totaal 80 tot en met 120 buitenstations. De stapgrootte waarmee we het aantal buitenstations per arm laten toenemen gedurende ons onderzoek zal gelijk zijn aan één.

Tenslotte zullen we de kromming van de armen variëren van 0 tot en met 30 graden. Het aantal graden waarmee de arm kromt, bepaalt de hoek die twee lijnstukken tussen drie opeenvolgende stations op een arm maken. In Röttgering e.a. [2006] is vermeld dat de kromming voor de topologie van LOFAR ongeveer tien graden zal bedragen. Echter, we bekijken een groter bereik van krommingen, omdat uit onze eerste bevindingen is gebleken dat topologieën met grote krommingen vaak goed scoren op onze maatstaven. Uit onze eerste bevindingen is tevens gebleken dat een klein verschil in kromming grote veranderingen in de resultaten van een topologie kan hebben. Daarom hebben we ervoor gekozen de kromming met stapgrootte één te variëren.

3.6.2 Gefixeerde parameters

Naast de in sectie 3.6.1 vermelde parameters die worden gevarieerd in het onderzoek naar een optimale topologie voor LOFAR, beschrijven we hieronder de belangrijkste parameters die we een gefixeerde waarde hebben toegekend.

Wij hebben gekozen voor een fijnmazig UV-rooster van 1024 rijen bij 1024 kolommen. De keuze voor deze grootte is gebaseerd op de maximale afmetingen die het werkgeheugen van de computer, waarmee de simulaties zijn uitgevoerd, kon verwerken. De afmetingen van het UV-rooster bepalen ook de afmetingen van de UV-matrix en de PSF-matrix. De afmetingen van de UVBIN-matrix worden bepaald door de waarden van de variabelen integratie en bandbreedte. De variabele integratie is afgeleid van het astronomische begrip integration time dat staat voor de duur van een observatie. De waarde van integratie bepaalt het aantal kolommen van het UVBIN-rooster en de duur van de waarneming die de kolom representeert, in seconden. Door de waarde van integratie gelijk te stellen aan 2400 seconden, worden er, uitgaand van een maximale waarnemingsduur van 12 uur, 18 kolommen in het UVBIN-rooster gecreëerd. Met deze hoeveelheid kolommen kan snel een volledige dekking worden gerealiseerd, terwijl de fijnmazigheid van het UVBIN-rooster voldoende is om een goede afbeelding te kunnen maken. Een groter aantal kolommen zorgt voor onacceptabel lange rekentijden. Het aantal rijen van het UVBIN-rooster wordt bepaald door de variabele bandbreedte. Deze variabele staat voor de bandbreedte van de frequenties die de telescoop ontvangt. Door de bandbreedte ruimer te maken, wordt de kans op het ontvangen van signalen groter, maar neemt de onnauwkeurigheid ook toe. Door de bandbreedte smaller te maken neemt de kans op het ontvangen van signalen af, maar neemt de nauwkeurigheid toe. Door een goede keuze van de bandbreedte kunnen voldoende signalen met redelijke nauwkeurigheid worden ontvangen. De waarde van de bandbreedte baseren we op Noordam [2001] en bedraagt 10%. Aan de hand van de bandbreedte kan de hoogte

van een rij in het UVBIN-rooster worden berekend en in combinatie met het bereik van de lengten van de basislijnen zorgt dat voor een aantal rijen van 84. Overigens laten we de bovenste vier en de onderste 28 rijen van het rooster-UVBIN-vlak buiten beschouwing in ons onderzoek omdat deze rijen, ongeacht het aantal armen, het aantal buitenstations of de kromming van de arm, nauwelijks UV-punten bevatten.

Met betrekking tot het algoritme dat in een matrix clusters van cellen met een waarde in een bepaald bereik kan vinden, hebben we bepaald dat cellen in een cluster horizontaal of verticaal aan elkaar moeten grenzen.⁶ Dit komt overeen met een waarde voor de maximaal toegestane Euclidische afstand (MA) tussen twee aan elkaar grenzende cellen in een cluster gelijk aan één. Daarnaast hebben we de minimale hoeveelheid cellen die samen een cluster vormen vastgesteld op drie cellen. Dit is de hoeveelheid cellen waarbij een cel grenst aan minstens twee andere cellen met een waarde in hetzelfde bereik. In het geval van een cluster van lege cellen betekent dit voor de middelste cel verminderde betrouwbaarheid wanneer er interpolatie plaatsvindt.

We hebben een verdichte cel gedefinieerd als een cel die tien of meer UV-punten bevat. De keuze voor deze hoeveelheid hebben we gemaakt op basis van de hoeveelheid en de grootte van clusters van verdichtingen die worden gevonden bij tien UV-punten per cel. Als we een verdichte cel zouden definiëren met een kleiner aantal UV-punten per cel, zorgt dat voor clusters van honderden cellen bij honderd of meer buitenstations. Als we een verdichte cel zouden definiëren met een groter aantal UV-punten per cel, heeft dat bij negentig of minder buitenstations tot gevolg dat er geen enkel cluster van verdichting wordt gevonden. De ondergrens van het aantal UV-punten van een verdichte cel moet aan de hoeveelheid buitenstations van een topologie worden aangepast om tot acceptabele uitkomsten te leiden. Een manier om dergelijke aanpassingen te vermijden, is de definitie van een verdichte cel af te laten hangen van het gemiddelde aantal UV-punten per cel in de UV-matrix. Het gevolg is echter dat de resultaten van topologieën dan onvergelijkbaar worden, doordat er per topologie een verschillende definitie van verdichte cel wordt gebruikt.

Zoals we eerder in sectie 3.3.2 hebben vermeld beperken we ons tot snapshot waarnemingen gericht in zenit. De waarden die we voor een spiraalvormige arm definiëren gelden voor alle armen. Daardoor zullen de armen identiek zijn aan elkaar. Daarnaast worden de buitenstations op de spiraalarmen op een zodanige manier geplaatst dat de hoek tussen de armen gelijk is. De hoek die het meest centraal gelegen buitenstation op de meest noordelijke gelegen arm maakt met de noord-zuid-as, wordt de offset genoemd. In ons geval stellen we de offset gelijk aan 0 graden, waardoor het eerste buitenstation op de noordelijkste arm precies naar het noorden is gelegen.

6 Het algoritme wordt gebruikt om clusters van lege cellen (i.e. gaten) in de UV-dekking te detecteren, waarvoor geldt dat interpolatie minder betrouwbare resultaten (i.e. beeldvorming) oplevert. Aangezien wij aannemen dat de betrouwbaarheid van de resultaten als gevolg van interpolatie afhangt van de afstand van de cel waarvoor informatie dmv interpolatie moet worden gewonnen tot de cel die wel informatie bevat, zou een logischer definitie van ‘grenzen aan’ betekenen dat ook de diagonaal grenzende cellen worden meegenomen in de bepaling van een cluster. Hierdoor ontstaan vaak echter heel grote clusters die slechts door één cel diagonaal zijn verbonden. Om dit te vermijden kiezen we een horizontale en verticale ‘grenzen aan’.

Tot de overige waarden van parameters die we constant houden en die hier vermeldenswaardig zijn, behoort de functie waarmee de afstand tot het centrum van de topologie van opeenvolgende stations op een arm toeneemt. De afstand van het eerste station op een arm tot het centrum van de topologie hebben we vastgesteld op 1200 meter, zoals beschreven in Vos [2004]. Vervolgens neemt de afstand tot elk volgend station op een arm exponentieel toe, zodanig dat de afstand van het laatste station op een arm tot het centrum van de configuratie gelijk is aan een aantal kilometers dat ingesteld kan worden door de onderzoeker. Dit aantal kilometers wordt voor een drie-armige en vijf-armige topologie verschillend en zodanig ingesteld, dat de maximale basislijn die gegenereerd wordt, dit is de afstand tussen twee stations in een topologie die het verst van elkaar vandaan liggen, gelijk is aan 360 kilometer. Deze maximale basislijn is gebaseerd op de plannen van LOFAR zoals gespecificeerd in Vos [2004]. Daarin wordt aangegeven dat de maximale afstand van een buitenstation tot de kern van de topologie gelijk zal zijn aan 180 kilometer.