Overzicht maatstaven

In deze paragraaf geven we een overzicht van alle maatstaven die we ter beoordeling van de UV-verdeling en de PSF van een radio-interferometer hebben ontwikkeld. We zullen eerst een overzicht geven van de maatstaven ter beoordeling van een UV-verdeling. Daarna komen de maatstaven voor een PSF aan bod. Voor alle maatstaven geldt dat ze zijn opgesteld volgens de eerder geformuleerde probleemstelling.

3.5.1 Overzicht maatstaven ter beoordeling van de UV-verdeling

In hoofdstuk 2 is een overzicht gegeven van bestaande maatstaven ter beoordeling van een UV-verdeling. Op basis van kwalitatieve kennis van ideale eigenschappen van een UV-verdeling en de verzameling bestaande maatstaven hebben we gaten en verdichtingen in de UV-verdeling aangemerkt als het gebied waarvoor we maatstaven zullen ontwikkelen. Het algoritme waarmee we de gaten en verdichtingen in de UV-verdeling zullen opsporen is besproken in paragraaf 3.4. Het algoritme biedt ons de mogelijkheid het aantal clusters, de gemiddelde grootte van een cluster en het grootste cluster van cellen met een bepaalde waarde op te sporen. Maatstaven ter beoordeling van de kwaliteit van de UV-verdeling en de PSF van een radio-interferometer baseren we op de twee laatstgenoemde uitkomsten van het algoritme dat gaten en verdichtingen in de UV-verdeling vindt: de gemiddelde clustergrootte en het grootste cluster.

We zullen met behulp van dit algoritme de UV-verdeling van een topologie beoordelen op het aantal gaten, de gemiddelde grootte van gaten en het grootste gat in de UV-verdeling. De redenen om de gemiddelde grootte van gaten en het grootste gat in de UV-dekking te meten is gebaseerd op de kennis dat de kans op fouten in de beeldvorming groter is naarmate de gaten in de UV-dekking groter zijn. Een kleinere gemiddelde grootte van gaten in een UV-UV-dekking suggereert een kleinere kans op fouten in de beeldvorming. Het aantal gaten heeft echter wel veel invloed op de gemiddelde grootte. Dat is de reden waarom we naast de gemiddelde grootte van een gat ook naar het aantal gaten kijken. Het beoordelen op de grootte van het grootste gat lijkt op wat in Conway [1999] is gedaan. In dat onderzoek worden topologieën beoordeeld op de afwezigheid van grote gaten. Er worden echter geen duidelijk criteria hiervoor gespecificeerd.

De twee maatstaven die de gemiddelde grootte van een gat en het grootste gat meten, verschillen ten opzichte van een bestaande maatstaf voor gaten in de UV-dekking, het percentage lege cellen, doordat het de grotere kans op fouten in de beeldvorming als gevolg van de grootte van een gat meeneemt. Daarnaast is het verschil ten opzichte van de maatstaf in Webster [2004] die de diameter meet van elke grootste cirkel die geen UV-punt bevat al uitgelegd in sectie 2.2.1.

Met behulp van ons algoritme is het ook mogelijk clusters van verdichte cellen te vinden. Clusters van verdichte cellen, hierna aangeduid als verdichtingen, betekenen redundantie. Een verdichting zelf heeft daarom, in tegenstelling tot een gat, geen invloed op de betrouwbaarheid

van het gevormde beeld. Indien het aantal UV-punten echter gelijk aan of minder groot is dan het aantal cellen in de UVBIN hebben verdichtingen wel tot gevolg dat ze elders in de UVBIN lege cellen veroorzaken. Wanneer het aantal UV-punten groter is dan het aantal UV-cellen, betekent een verdichting dat er door een topologie basislijnen worden gegenereerd die niet nodig zijn. Deze overmaat aan basislijnen kan onvermijdelijk zijn wanneer er veel korte basislijnen zijn gewenst ten behoeve van de gevoeligheid van een telescoop voor zwakke signalen. Een topologie die voor volledige dekking van het UV-vlak kan zorgen en daarbij een minimale overmaat aan basislijnen genereert is echter gewenst. Er kan dan immers met minder telescopen of antennes worden gewerkt, waardoor geld kan worden bespaard.

Zoals in sectie 2.1.1 is beschreven, is er geen directe kennis over de invloed van clusters van verdichte cellen op de kwaliteit van het gevormde beeld. Wel is bekend dat elk merkbaar patroon in de topologie van een radio-interferometer invloed heeft op de hoogte van de sidelobes van de PSF. Clusters van verdichte cellen kunnen het gevolg zijn van patronen in de topologie. Meer gespreide verdichte cellen hebben bovendien een uniformer gespreide UV-verdeling tot gevolg dan geclusterde verdichte UV-cellen. Daarom dienen clusters van verdichte cellen te worden geminimaliseerd. De maatstaven ter beoordeling van verdichtingen in een UV-verdeling zullen, analoog aan de gaten in de UV-verdeling, het aantal verdichtingen, de gemiddelde grootte van verdichtingen en de grootste verdichting zijn. Eveneens gebruiken we het percentage verdichte cellen als maatstaf voor de overmaat aan informatie. Des te kleiner dit percentage, des te beter de verspreiding van UV-punten over het UV-vlak.

Een overzicht van de maatstaven ter beoordeling van een UV-verdeling geven we in tabel 3.1.

Tabel 3.1: Overzicht van aspecten van een UV-verdeling die worden gemeten en met welke maatstaven dat gebeurt.

Aspect UV-verdeling dat wordt gemeten Maatstaf

Gaten in UV-verdeling

• grootste gat

• gemiddelde grootte van gaten • aantal gaten

Verdichting in UV-verdeling

• grootste verdichting

• gemiddelde grootte van verdichtingen • aantal verdichtingen

• percentage verdichte cellen

3.5.2 Overzicht maatstaven ter beoordeling van de Point Spread Function

In paragraaf 3.1 hebben we de motivatie voor ons onderzoek aangegeven. Daarin beschrijven we dat de kwaliteit van het gevormde beeld van een radio-interferometer onder andere kan worden beoordeeld op zijn PSF. Deze functie kan worden beoordeeld op de eigenschappen van zijn hoofdpiek en sidelobes. In de probleemstelling hebben we aangegeven ons te beperken tot het

ontwikkelen van maatstaven ter beoordeling van sidelobes van een PSF en ter beoordeling van afwijkingen van een PSF ten opzichte van een optimale PSF.

In hoofdstuk 2 hebben we geconstateerd dat de hoogte en grilligheid van de sidelobes van invloed is op de beeldvorming. Wanneer het sidelobeniveau daalt, leidt dit tot meer accurate beeldvorming. Door middel van weging van UV-punten kan de PSF gladder kan worden gemaakt. Door toepassing van deze techniek neemt de signaalruisverhouding echter af (Woody [2001]). Daarom is het belangrijk de topologie zodanig te ontwerpen, dat de sidelobes van de PSF worden geminimaliseerd. Wij zullen maatstaven ontwikkelen die het sidelobeniveau op andere manieren benaderen dan nu het geval is.

De maatstaven die we hebben ontwikkeld zijn op te delen in twee categorieën. De eerste categorie maatstaven behandelt de hoogte van de sidelobes gezien vanuit doorsneden van de PSF. De andere categorie kijkt naar de sidelobes vanuit het perspectief van de optimale PSF.

Maatstaven in de eerste categorie baseren we op ring- en hoogtedoorsneden van de PSF. Maatstaven in de tweede categorie baseren we op afwijkingen van een PSF ten opzichte van een optimale PSF.

De eerste maatstaf neemt een hoogtedoorsnede van de PSF. We zullen het percentage cellen in het rooster-UVBIN-vlak vaststellen dat een waarde heeft die groter is dan een bepaalde grens. Een groter percentage cellen bij een vaste grens, betekent dat er meer cellen een hogere waarde hebben. Voordeel van deze maatstaf is dat de hoogtedoorsnede stapsgewijs verlaagd kan worden en de percentages telkens afgelezen kunnen worden. De maatstaf meet voor de hogere hoogtedoorsneden het percentage cellen dat zich in de hoofdpiek bevindt, en zegt daarmee iets over de breedte van de hoofdpiek. Nadeel van deze maatstaf is dat hij bij lagere hoogtedoorsneden niet alleen de sidelobes meet, maar ook de hoofdpiek, en daarmee de hoogte van de sidelobes kan verwarren met de breedte van de hoofdpiek.

De andere maatstaf neemt ringdoorsneden van de PSF. Met een ringdoorsnede bedoelen we dat deel van de PSF dat een afstand heeft ten opzichte van het centrum dat in een bepaald bereik is gelegen. In matrixvorm wordt de ringdoorsnede bepaald door de verzameling van cellen waarvan de afstand tot het centrum, de middelste cellen van de matrix, van de PSF in een bepaald bereik ligt. De afstand van een cel tot het centrum van de matrix wordt bepaald op basis van de coördinaten van een cel. In figuur 3.4 is een voorbeeld gegeven van een afstandenmatrix. Dit is een matrix waarin in elke cel de minimale Euclidische afstand (EA) tot de één van de cellen van het centrum is gegeven. De Euclidische afstand EAivan een cel (x_i,y_j) tot een centrumcel wordt berekend aan de hand van vergelijking (3.2).

2 2 | | | | _{i i} i x y EA = + (3.2)

Met behulp van deze matrix kunnen ringdoorsneden van de PSF in matrixvorm worden gemaakt.

Figuur 3.4: Weergave van het middelste gedeelte van een afstandenmatrix. Boven en links van de matrix zijn de rij-

en kolomnummers gegeven. Onder en rechts van de matrix is de relatieve ligging van elke rij en kolom ten opzichte van het centrum gegeven. Het centrum bestaat uit 2x2 cellen, de afstanden van de cellen om het centrum zijn gelijk aan de Euclidische afstand van de cel tot de dichtstbijzijnde cel die deel uitmaakt van het centrum. Cellen in het centrum hebben waarde 0.

De ringdoorsneden waarvoor geldt dat ze verder van het centrum af liggen dan de ringdoorsnede die vanaf het centrum gezien voor het eerst gemiddelde waarde 0,50 of lager aanneemt rekenen we tot de sidelobes. Vanwege de manier waarop we de sidelobes beschouwen noemen we ze ringlobes. De reden dat we ringdoorsneden met een gemiddelde van hoogte 0,50 en lager beschouwen als ringlobes is afgeleid van de maatstaf voor de hoofdpiek van een PSF die de breedte van de hoofdpiek op hoogte 0,50 (FWHM) meet. Dientengevolge definiëren we alle ringdoorsneden die verder van het centrum af liggen dan de ringdoorsnede die voor het eerst gemiddelde waarde 0,50 of lager aanneemt als ringlobes .

De maatstaf voor een PSF die gebaseerd is op de gemiddelde waarde van elke ringlobe meet het gewogen gemiddelde van de gemiddelde waarden van de ringlobes. Het baseren van de maatstaf op ringdoorsneden houdt verband met de vorm van de PSF. Vanuit de hoofdpiek in het centrum van de functie neemt de hoogte van de functie naarmate de afstand tot de hoofdpiek toeneemt in alle richtingen steeds verder af. Het gewicht dat aan het gemiddelde van een ringdoorsnede wordt toegekend heeft betrekking op de afstand van de ringdoorsnede tot het centrum. Gemiddelden van verder van het centrum afgelegen ringdoorsneden worden zwaarder meegewogen in het totale gemiddelde. De reden hiervoor is dat decentraal gelegen sidelobes meer invloed hebben op de betrouwbaarheid van het gevormde beeld dan de centraler gelegen sidelobes. Deze conclusie

1 0 0 1 2 2 √5 √2 2 1 2 1 √5 √2 √8 √5 √8 √5 √5 2 2 √5 √8 √8 1 √2 0 1 0 1 1 √2 2 √5 2 √5 2 3 4 5 6 1 1 0 0 1 2 2 3 1 2 4 5 6 0 2 1 0 1 2

trekken we op basis van Woody [2001], die beschrijft dat er bij snapshot waarnemingen van radio-interferometers met een groot aantal elementen, geen technieken voor handen zijn om de verstoringen die decentraal gelegen sidelobes in de beeldvorming tot gevolg hebben te verbeteren. Het gewicht waarmee wij elk gemiddelde van een ringdoorsnede zullen meetellen in het uiteindelijke gemiddelde zal gelijk zijn aan de afstand van de ringdoorsnede tot het centrum. Maatstaven in de tweede categorie baseren we op afwijkingen van een PSF ten opzichte van een optimale PSF. De verschillen tussen de PSF op basis van een topologie en een optimale PSF geven weer hoever een PSF van zijn ideale vorm is verwijderd.

Als eerste maatstaf nemen we de root mean square (RMS) van de verschillen tussen PSF van een topologie en een optimale PSF. De definitie van RMS is gegeven in sectie 2.2.2. De tweede maatstaf meet het aantal positieve en negatieve verschillen tussen een PSF en een optimale PSF die groter zijn dan 0,02, 0,05 en 0,10. De positieve deviaties geven de uitschieters boven de ideale vorm aan, die zorgen voor een verhoogd sidelobeniveau. De uitschieters die er onder zitten, verlagen het gemiddelde sidelobeniveau en zijn dus gewenste verstoringen ten opzichte van de ideale vorm. Als laatste maatstaf bekijken we de maximale positieve afwijking tussen de PSF van een topologie en een ideale vorm. Dit idee is gebaseerd op Kogan [1997], en het idee geeft weer dat afwijkingen van een PSF ten opzichte van een optimale PSF moeten worden geminimaliseerd om de beeldvorming te optimaliseren. De RMS van het verschil tussen een PSF van een topologie en een optimale PSF wordt ook gebruikt in het programma AntConf van Villiers [2006], waar eveneens de maximale positieve afwijking tussen een PSF en een optimale PSF wordt berekend. In Sakhaei e.a. [2005] wordt het minimaliseren van het verschil tussen een PSF van een topologie en een optimale PSF als mogelijke doelfunctie voor het optimaliseren van een topologie genoemd.

Een overzicht van de maatstaven ter beoordeling van een PSF geven we in tabel 3.2.

Tabel 3.2: Overzicht van aspecten van een PSF die worden gemeten en met welke maatstaven dat gebeurt.

Aspect PSF dat wordt gemeten

Maatstaf

Hoogte sidelobes

• % cellen met een waarde lager dan een bepaalde hoogtedoorsnede

• gewogen gemiddelde ringdoorsneden

Afwijking van optimale PSF

• RMS van afwijkingen PSF ten opzichte van optimale PSF • # positieve afwijkingen van PSF ten opzichte van optimale

PSF groter dan 0,02, 0,05 en 0,10.

• # negatieve afwijkingen van PSF ten opzichte van optimale PSF groter dan 0,02, 0,05 en 0,10.

• maximale positieve afwijking van PSF ten opzichte van optimale PSF