Limieten en hun eigenschappen
Limieten, type 1
‘De limiet voor x nadert naar a van f (x ) is L’ wordt genoteerd als lim
x →af (x ) = L.
Maar wat betekent dit eigenlijk ?
De functie f is gedefinieerd op een open interval rond a met uitzondering van eventueel het punt a zelf.
(We kunnen aannemen dat dit interval symmetrisch is.)
En verder moet voor alle x met een ‘kleine’ afstand tot a (x 6= a) gelden dat de afstand van f (x ) tot L ‘klein’ is.
Wat betekent het nu dat voor alle x met een ‘kleine’ afstand tot a (x 6= a) geldt dat de afstand van f (x ) tot L ‘klein’ is ?
Voor alle x met 0 < |x − a| ’klein’ is |f (x ) − L| ‘klein’.
De wiskundige definitie van limiet is een nog betere beschrijving hiervan.
Continu¨ıteit wat is dat ? (Definitie) Een functie f heet continu in a als lim
x →af (x ) niet alleen bestaat maar bovendien gelijk is aan f (a).
‘De limiet voor x nadert van rechts naar a van f (x ) is L’ wordt genoteerd als lim
x →a+f (x ) = L.
Maar wat betekent dit eigenlijk ?
De functie f is gedefinieerd op een (open) interval rechts van a met uitzondering van eventueel het punt a zelf.
En verder moet alle x met een ‘kleine’ afstand tot a (x > a) gelden dat de afstand van f (x ) tot L ‘klein’ is.
Wat betekent het nu dat voor alle x met een ‘kleine’ afstand tot a (x > a) geldt dat de afstand van f (x ) tot L ‘klein’ is ? is ?
Voor alle x met 0 < x − a ‘klein’ is |f (x ) − L| ‘klein’.
De wiskundige definitie van limiet is een nog betere beschrijving hiervan.
Rechtscontinu wat is dat? (Definitie) Een functie f heet rechtscontinu in a als lim
x →a+f (x ) niet alleen bestaat maar bovendien gelijk is aan f (a).
Het zal duidelijk zijn dat op analoge wijze de linkerlimiet kan worden gedefinieerd .
Ook kan op analoge wijze een linkscontinue functie worden gedefinieerd.
Er geldt:
lim
x →a+f (x ) = L en lim
x →a−f (x ) = L dan en slechts dan als
x →alimf (x ) = L en natuurlijk ook:
Een functie f is rechtscontinu in a en linkscontinu in a dan en slechts dan als f is continu in a.
Andere notaties
x →alim+f (x ) wordt ook genoteerd als lim
x ↓af (x ) en lim
x →a−f (x ) wordt ook genoteerd als lim
x ↑af (x ).
Limieten, type 2
‘De limiet voor x nadert naar a van f (x ) is ∞’ wordt genoteerd als lim
x →af (x ) = ∞.
Maar wat betekent dit eigenlijk ?
De functie f is gedefinieerd op een open interval rond a met uitzondering van eventueel het punt a zelf.
(We kunnen aannemen dat dit interval symmetrisch is.)
En verder moet voor alle x met een ‘kleine’ afstand tot a (x 6= a) gelden dat f (x ) ‘groot’ is.
Wat betekent het nu dat voor alle x met een ‘kleine’ afstand tot a (x 6= a) geldt dat f (x ) ‘groot’ is?
Als M > 0 dan is f (x ) > M voor alle x met 0 < |x − a|
’klein genoeg’.
De wiskundige definitie van limiet is een nog betere beschrijving hiervan.
Analoog kunnen lim
x →a+f (x ) = ∞ en lim
x →a−f (x ) = ∞ worden gedefinieerd.
Ook kunnen dezelfde drie limieten worden gedefinieerd waarbij de limietwaarde −∞ is in plaats van ∞.
Wat betekent het nu dat voor alle x met een ‘kleine’ afstand tot a (x 6= a) geldt dat f (x ) ‘groot’ is?
Als M > 0 dan is f (x ) > M voor alle x met 0 < |x − a|
’klein genoeg’.
De wiskundige definitie van limiet is een nog betere beschrijving hiervan.
Analoog kunnen lim
x →a+f (x ) = ∞ en lim
x →a−f (x ) = ∞ worden gedefinieerd.
Ook kunnen dezelfde drie limieten worden gedefinieerd waarbij de limietwaarde −∞ is in plaats van ∞.
We noemen de lijn met als vergelijking x = a een verticale asymptoot van de grafiek van f .
Eigenschappen Laat lim
x →af (x ) = L en lim
x →ag (x ) = M, c ∈ R.
Dan geldt 1. lim
x →af (x ) + g (x ) = lim
x →af (x ) + lim
x →ag (x ) = L + M.
2. lim
x →ac · f (x ) = c · lim
x →af (x ) = c · L.
3. lim
x →af (x ) · g (x ) = lim
x →af (x ) · lim
x →ag (x ) = L · M.
4. lim
x →a
f (x ) g (x ) =
x →alimf (x )
x →alimg (x ) = L
M mits M 6= 0.
Gevolg
Als de functies f en g continu zijn in a en c ∈ R dan zijn de functies f + g , cf , f · g ook continu in a.
Is bovendien g (a) 6= 0 dan is de functie f
g ook continu in a.
De volgende stelling wordt al snel gebruikt bij het berekenen van limieten.
Stelling Als lim
x →ag (x ) = b en f is continu in b dan limf (g (x )) = f ( limg (x )) = f (b).
