Limieten en hun eigenschappen
Gevolg (eigenschappen limieten)
Als de functies f en g continu zijn in a en c ∈ R dan zijn de functies f + g , cf , f · g ook continu in a.
Is bovendien g (a) 6= 0 dan is de functie f
g ook continu in a.
De volgende stelling wordt al snel gebruikt bij het berekenen van limieten.
Stelling Als lim
x →ag (x ) = b en f is continu in b dan
x →alimf (g (x )) = f ( lim
x →ag (x )) = f (b).
De insluitstelling
Laat I een open interval zijn en laten de functies f , g en h gedefinieerd zijn op I \{a}.
Laat verder g (x ) ≤ f (x ) ≤ h(x ) voor x ∈ I \{a} en
x →alimg (x ) = lim
x →ah(x ) = L.
Dan geldt lim
x →af (x ) = L.
Toepassing
x →0lim sin x
x = 1
opp(4OAB) ≤ opp(cirkelsegment OAB) 1 sin x
2 ≤ x
2 ππ 12
⇔ sin x x ≤ 1.
opp(cirkelsegment OAB) ≤ opp(4OAC ) x
2 ππ 12 ≤ 1 tan x 2
⇔ cos x ≤ sin x x .
Dus cos x ≤ sin x x ≤ 1
⇔ 1 = lim
x →0+cos x ≤ lim
x →0+
sin x x ≤ 1 zodat lim
x →0+
sin x x = 1.
Omdat lim
x →0−
sin x
x = lim
y →0+
sin −y
−y = lim
y →0+
− sin y
−y =
lim
y →0+
sin y
y = 1
is lim
x →0
sin x x = 1.
y = −x
Definitie
Een functie f : A → R heet continu ‘op’ A als f continu is in elk inwendig punt van A en rechts-en linkscontinu in de eventuele randpunten van A.
Alle machtsfuncties, polynomiale functies, rationale functies, trigoniometrische functies , exponenti¨ele functies en hun eventuele inverse functies zijn continu op hun domein.
Als f een continue functie is op haar domein dan kan de grafiek van f worden getekend ‘zonder de pen van het papier
te halen’.
Tussenwaardestelling
Als f : [a, b] → R continu is op haar domein en f (a) 6= f (b), fmin = min{f (a), f (b)} en fmax = max{f (a), f (b)},
dan bestaat er bij elke fmin< d < fmax een c ∈ (a, b) zodat f (c) = d .
Limieten, type 3
‘De limiet voor x nadert naar ∞ van f (x ) is L’ wordt genoteerd als lim
x →∞f (x ) = L.
Maar wat betekent dit eigenlijk ?
De functie f is gedefinieerd op (a, ∞) voor zeker a ∈ R En verder moet gelden dat hoe ‘groter’ x des te kleiner is de afstand van f (x ) tot L.
Wat betekent het dat hoe ‘groter’ x des te kleiner is de afstand van f (x ) tot L?
Voor alle x met x ‘groot’ is |f (x ) − L| ‘klein’.
De wiskundige definitie van limiet is een nog betere beschrijving hiervan.
Analoog kan natuurlijk lim
x →−∞f (x ) = L worden gedefinieerd.
We noemen de lijn met als vergelijking y = L een horizontale asymptoot van de grafiek van f .
