Zomercursus Wiskunde A 2011 http://www.bliggy.net/cursusA.html
4 Oplossing extra opgaven: afgeleiden
Opgave 4.1.
a. We berekenen de afgeleide van f (x) = x3− 12x + 5 en we vinden de nulpunten:
f0(x) = 3x2− 12 = 0 ⇒ x2= 4 ⇒ x = ±2.
Nu de nulpunten van de afgeleide invullen in de functie zelf om de y-co¨ordinaten te vinden:
f (−2) = −8 + 24 + 5 = 21 en f (2) = 8 − 24 + 5 = −11.
Dus de toppen zijn (−2, 21) en (2, −11).
b. Idem dito met g(x) =√3
x − x = x1/3− x:
g0(x) = 13x−2/3− 1 = 0 ⇒ 13x−2/3= 1 ⇒ x−2/3= 3 ⇒ x−2/3−1
= 3−1
⇒ x2/3=13 ⇒ x2/33/2
= 133/2
⇒ x = 133/2
=√1
33.
Het is natuurlijk niet toevallig dat we kiezen om de twee kanten van de vergelijking tot de macht 32 te nemen, dat is namelijk het omgekeerde van 23, dus 32 ·2
3 = 1 en het verdwijnt in de macht van x. Dus bij een vergelijking xab = c, is in het algemeen x = cab.
Nu de y-co¨ordinaat berekenen:
g
√1 33
=q3
√1 33 −√1
33 =
1 3
3/21/3
− 133/2
= 131/2
− 133/2
= √1
3· 1 −271 = 2726√3 Dus de top ligt in
√1 33, 26
27√ 3
c. Nog een keer met h(x) = 1x+ x2= x−1+ x2:
h0(x) = −x−2+ 2x = 0 ⇒ −1x2 + 2x = 0 ⇒ −1x2 +2xx23 = 0 ⇒ −1+2xx2 3 = 0
⇒ −1 + 2x3= 0 ⇒ x3=12 ⇒ x = √31
2. en:
h
1
√3
2
=√3 2 + √31
22 =√3 2 + √31
4
dus de top is in het punt
1
√3
2
,√3
2 + √31
4
Opgave 4.2. We hebben f (x) = x en g(x) =√
x:
a. De afstand r tussen f en g in x = 49 is
g 49 − f 49 =23−49 = 29.
b. De afstand tussen f en g wordt gegeven door de functie r(x) = g(x) − f (x) =√
x − x. De afgeleide gelijk aan nul stellen geeft:
r0(x) =12x−1/2− 1 = 0 ⇒ 12x−1/2= 1 ⇒ x−1/2= 2
⇒ x−1/2−2
= 2−2 ⇒ x = 14. Dus de afstand is maximaal voor x = 14.
1
