Semantiek 1

Semantiek 1

college 10 Jan Koster

Vandaag

 Vorige keer: conceptuele structuur en semantische decompositie

 Vandaag: inleiding in de formele semantiek

 Gebruikt notaties uit formele logica plus de daar gehanteerde extensionele

semantiek

 Overslaan: 10.8.3 en 10.9.3

Twee soorten semantiek

 Representationele semantiek (conceptuele semantiek): mentale representaties,

gerelateerd aan sprekers en hoorders

 Extensionele semantiek (referentiële,

denotationele semantiek): koppeling van uitdrukkingen aan elementen van de

wereld (“naamgeving”)

Elementen formele semantiek

 Zinnen natuurlijke taal vertalen in formules predikatenlogica

 Domein: bevat dingen waarnaar verwezen wordt (denotata), opgevat als elementen en verzamelingen (verzamelingenleer)

 Koppeling taalelementen en denotata:

door interpretatiefunctie

Vertaling in formules

 Laat je niet imponeren, het is maar een soort steno

 Elementen: constanten , variabelen, predikaten, kwantoren, connectieven

 Zinnen in propositielogica: p, q, r, etc.

 Zinnen in predicatenlogica:

S (j) (= Jan slaapt), x (S (x)) (= iedereen

Constanten en predikaten

 Constanten (termen, argumenten): kleine letters, bv. Jan = j, Marie = m, Piet = p, het boek = b, etc.

 Predikaten: hoofdletters, bv. Slapen = S, Ziek zijn = Z, Lachen = L, etc.

 Zinnen (proposities) Z (p), S (m), L (j)

Meerplaatsige predikaten

 Zinnen (proposities) Z (p), S (m), L (j)

 Dit waren zinnen met één argument (1- plaatsig). Ook zinnen met 2 argumenten (2-plaatsig) of 3 argumenten (3-plaatsig):

L (j, b) = Jan leest het boek (2-pl)

G (p, m, b) = Piet geeft Marie het boek

Variabelen en kwantoren (1)

 Propositionele functies (open zinnen):

S (x) = ongespcificeerde x slaapt

 Is geen propositie, want de

waarheidswaarde kan niet bepaald worden als x niet verder gespecificeerd is

 Proposities: als argumenten constanten zijn of als variabelen gebonden zijn door kwantoren

Variabelen en kwantoren (2)

 Kwantoren zijn vergelijkbaar met

telwoorden: bakenen het toepassingsge- bied (bereik) van een variabele af

 Elementaire kwantoren:

Universele kwantor  (“alle”)

Existentiële kwantor  (“sommige”)

Variabelen en kwantoren (3)

 Kwantoren veronderstellen toepassings-

domein (waarover later) aangegeven door haakjes

 Universeel:

x (S (x)): elke x in bepaald domein slaapt

 Existentieel:

x (S (x)): minstens één x in domein slaapt

Connectieven: zelfde als in propositielogica

 Zinnen: p, q, r...

 Connectieven:

– negatie: “niet”, ¬

– conjunctie: “en”, ^{, &}

– disjunctie: “of”, 

– materiële implicatie: “als...dan”, ^{, }

– equivalentie: “dan en slechts dan”, , 

Voorbeelden proposities

 Negatie:  S (j) = Jan slaapt niet,

x (S (x)) = niet zo dat elke x slaapt

 Conjunctie: S (j)  x (L (x))

 Disjunctie: x (L (x))  y (S (y))

 Materiële implicatie: Z (p)  L (m)

 Equivalentie: x (L (x))  y (S (y))

Samenvatting (1)

 Vocabulair:

Samenvatting (2)

 Recursieve syntaxis:

Recursiviteit

 Griekse letters gebruikt omdat het hier gaat om metataal

 p, q, r...zijn proposities in objecttaal





...

 Bv.



Semantiek

 Tot dusver: syntaxis van predikatenlogica (hoe je formules moet bouwen uit

vocabulair en combinatieregels)

 Semantiek uiterst eenvoudig: precieze

koppeling van formules aan ingrediënten uit verzamelingenleer

 Termen: elementen

 Predikaten: verzamelingen van elementen

 Kwantoren: verdeling elementen domein

Elementaire Verzamelingenleer (1)

 Basis (intuïtief): elementen en grotere gehelen van elementen (verzamelingen)

 Notatie elementen: a, b, c... (constanten), x, y, z... (variabelen) en vele andere

vormen

 Notatie verzamelingen: { }, {a, b, c...}, etc.

Elementaire Verzamelingenleer (2)

 Notatie verzameling van verzamelingen:

{... {...}...}

 Notatie lege verzameling: Ø (niet te verwarren met {Ø} )

 Notatie "element van": a ^Є {..., a, ...}

 Notatie deelverzameling: A  B

Binaire relaties (1)

 Vereniging: A  B, verzameling

elementen die of in A of in B (of in beide) zitten

 Intersectie (doorsnede): A  B,

verzameling elementen die zowel in A als in B zitten

 Verschil: A



Vereniging (AB)

Doorsnede (AB)

Verschil (B - A)

Binaire relaties (2)

 Cartesisch product: A x B, verzameling geordende paren, zodanig dat eerste

element a in A zit en tweede element b in B

 Notatie: <a, b> (vgl. ongeordende verzameling: {a, b}

Relaties en functies

 Binaire relatie (niet per se paren):

verzameling van elementen uit

verzameling A gekoppeld aan elementen uit verzameling B (afbeelding)

 Functie: relatie waarbij elementen uit

verzameling A (domein) unieke afbeelding hebben in verzameling B (codomein)

Meer precieze definitie functie (bron: Wikipedia)

 Definitie: Een functie f is een relatie

tussen twee verzamelingen A en B, met de eigenschap dat aan ieder element a uit A precies één element b uit B wordt

gekoppeld

 Notatie: men noteert de functie als

f: A

B

b

B

f

a

A

Semantisch model

Semantische interpretatie voor de symbolen uit de predikatenlogica:

 Domein (situatie, model): verzameling entiteiten, eigenschappen en relaties

waarop uitdrukkingen van toepassing zijn

 Interpretatiefunctie (denotation

assignment function, naming function):

koppeling uitdrukkingen aan elementen in domein

Denotaties

 Zinnen: waarheidswaarden waar (1) of onwaar (0). Notatie: denotatie van zin p is [p]. In

situatie v, bv.: [p]^v = 1

(de denotatie van zin p in situatie v is waar)

 Termen: individuen (elementen) of verzameling individuen

 Predikaten: verzameling individuen waarvoor predikaat geldt

Voorbeeld

 Domein (D of U): Beatles, manager Brian Epstein, fan Bob

(U van “Universum”)

 U = {John, Paul, George, Ringo, Brian Epstein, Bob}

Interpretatiefunctie (1)

 Constanten:

j, p, g, r, e, b



F(j)



F(p)



F(g)



F(r)



F(e)



F(b)

Interpretatiefunctie (2)

 Predikaten: B (Beatle), M (manager), F (fan), S (sang), G (played guitar), D (played drums), J (joked with), I (idolized)

 F(B) = {John, Paul, George, Ringo}

 F(M) = {Brian Epstein}

 F(F) = {Bob}

 F(S) = {John, Paul}

 F(G) = {John, Paul, George}

 F(D) = {Ringo}

 F(J) = {<John, George>}

 F(I) = {<Bob, John>, <Bob, Paul>, <Bob, George>,

Modeltheoretische semantiek

 Model (situatie): combinatie van domein (= verzameling) en interpretatiefunctie



M

U

F



M



U



F



n

Evaluatie (1)

 [p]^v = 1: zin p is waar in situatie (model)

v

 [S(j)]^M1 = 1 desda [j]^M1 Є [S]^M1

 De zin John sang is waar dan en slechts dan als de extensie (denotatie) van John een element is van de verzameling

gedefinieerd door sang in model M₁

Evaluatie (2)



F

j



F

S

 Is het zo dat: John Є {John, Paul} ? Ja!!

Derhalve:

[S(j)]^M = 1

Connectieven en kwantoren

 Hangt met elkaar samen: evaluatie van kwantoren steunt op wijze van evalueren van connectieven

 Universele kwantor: evaluatue gebaseerd op evaluatie conjunctie

 Existentiële kwantor: evaluatie gebaseerd op evaluatie disjunctie

Logische conjunctie

Logische disjunctie

Het inclusieve “of”: waar als minstens één van p en q waar is

Evaluatie (3)

 Evaluatie van zinnen met connectieven (bv. ):

 [p  q] = 1 desda [p] = 1 en [q] = 1

 [

S

j

S

j

I

b, e

 [

S

j

I

b, e

Evaluatie universele kwantor

Elke jongen (Jan, Piet, Frits) kust Marie

 Jongens [J_x]:

F (J

)

j, p, f

(

F (m)

m

 Kust [K]:

F(K)

 x (K (x, m)) = 1 desda

[K(j,m)] = 1  [K(p,m)] = 1  [K(f,m)] = 1

 [<j,m>] ^Є [K]  [<p,m>] ^Є [K]  [<f,m>] ^Є [K]

Evaluatie existentiële kwantor

Een jongen (Jan, Piet, Frits) kust Marie

 Jongens [J_x]: F (J_x) = {j, p, f}, Marie [m]:

(F (m)) = {m}

 Kust [K]: F(K) = {<j, m>, <p, m>, <f, m>}

 x (K (x, m)) = 1 desda

[K(j,m)] = 1  [K(p,m)] = 1  [K(f,m)] = 1