Uitbreiding
Laat f continu zijn op een gebied D = D1∪ D2 waarbij D1 en D2 gebieden zijn van Type I en /of Type II die ten hoogste een gedeelte van hun rand gemeenschappelijk hebben.
Dan ligt het voor de hand Z Z
D
f (x, y) dA te defini¨eren door Z Z
D1
f (x, y) dA + Z Z
D2
f (x, y) dA.
Als D de beschrijving is van een deelverzameling van R2 in rechthoekige co¨ordinaten en H is de beschrijving van dezelfde deelverzameling in poolco¨ordinaten, f is Riemannintegreerbaar over D dan geldt
Z Z
D
f (x, y) d(x, y) = Z Z
H
f (r cos θ, r sin θ)rd(r, θ)
r is de absolute waarde van de zogenaamde determinant van Jacobi (Jacobiaan).
May 12, 2010 3
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Overgang op poolco¨ ordinaten
Als
x = r cos(θ) y = r sin(θ)
dan heten x en y de rechthoekige (Cartesische) co¨ordinaten van een punt en r en θ de poolco¨ordinaten van hetzelfde punt.
May 12, 2010 2
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Als D de beschrijving is van een deelverzameling van R2 in rechthoekige co¨ordinaten en
H = {(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)} is de beschrijving van dezelfde deelverzameling in poolco¨ordinaten,f is Riemann- integreerbaar over D dan geldt
Z Z
D
f (x, y) d(x, y) = Z β
α
(Z h2(θ) h1(θ)
f (r cos θ, r sin θ)r dr )
dθ
Massa, zwaartepunt en traagheidsmomenten
Laat D een ’vlakke plaat’ zijn met dichtheid ρ (massa per oppervlakte-eenheid). Laten verder
m = Z Z
D
ρ(x, y) d(x, y)
Mx−as = Z Z
D
yρ(x, y) d(x, y)
My−as = Z Z
D
xρ(x, y) d(x, y)
¯
x = My−as
m , ¯y = Mx−as m
May 18, 2010 1
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
Il = Z Z
D
d2l(x, y)ρ(x, y) d(x, y),
waarbij dl(x, y) de afstand is van het punt (x, y) tot de lijn l.
Dan heet m demassavan de plaat, Mx−as, My−as de momenten rond de x − as en y − as, (¯x, ¯y) hetzwaartepuntvan de plaat en Il hettraagheidsmomentvan de plaat ten opzichte van l.
