 Parabool en twee lijnen

(1)

wiskunde B vwo 2021-I

Parabool en twee lijnen

1 maximumscore 8

• f ' x( ) 1 2  x , dus rc_l  f '(0) 1 1

• ( rc rc_l _m  1, dus) rc_m  1 1

•

 

1 1

2 4, invullen in y  x b geeft voor m de vergelijking y  x 34 1

• Uit 3 2 4    x x x volgt 2 3 4 2 0    x x 1

• Exact oplossen geeft 1 2 1  x ( 1 2  x geeft T ) 1

• De oppervlakte van V is gelijk aan









1 2 1 2 1 2 3 4 d    



x x x x 1

• Een primitieve van 2 3 4 2

 x x is 1 3 2 3

3 4

 x x  x 1

• Invullen van de grenzen geeft: de oppervlakte van V is 1

6 1

(2)

wiskunde B vwo 2021-I

Vraag Antwoord Scores

Goniometrische functies

• 2sin( ) sin(2 ) sin(2 )x  x  x herleiden tot sin( ) sin(2 )x  x 1 • Dit geeft x2x k  2 (met k geheel) of x  2x k  2 (met k

geheel) 1

• Hieruit volgt x k  2 (met k geheel) of 1 2

3 3

    

x k (met k geheel) 1

• De x-coördinaten van P en Q zijn 1 3   x en 2 3 1   x (de andere

oplossingen geven punten op de x-as) 1

of

• 2sin( ) sin(2 ) sin(2 )x  x  x herleiden tot sin( ) sin(2 )x  x 1

• Dit geeft sin( ) 2sin( )cos( )x  x x 1

• Dit geeft sin( ) 0x  of 1 2

cos( ) x 1

• De x-coördinaten van P en Q zijn 1 3   x en 2 3 1   x (de andere

oplossingen geven punten op de x-as) 1

• De oppervlakte van V kan berekend worden met ( ( )



b  ( )) d

a

f x h x x (met

1,33

a  en b 2,97) 1

• h x( ) sin(2 ) 1 x  1

• De primitieve van f h is 2cos( ) cos(2 ) x  x x 2

• De gevraagde oppervlakte is 2,6 1

Opmerking

Voor het derde antwoordelement mag voor een niet volledig juist antwoord 1 scorepunt worden toegekend.

•



1 1

3 2

f  



3 en



1



1

3 2

k   3 (en zijn dus gelijk) 1

• f ('x) 2cos(x) _2cos(2x) 1

• 1₂

2cos (x)

k' x( )  (of een gelijkwaardige uitdrukking) 1

• 1

3

f '

 

 2 en k'

 

₃1_{ }₂_{(en zijn dus gelijk) (dus de grafiek van k}

raakt de grafiek van f in een punt met x-coördinaat 1

(3)

wiskunde B vwo 2021-I

Aardbevingen

• Er geldt 6  d

t (of een gelijkwaardige vorm) (waarbij t de tijd is,

waarop de eerste primaire golf bij het meetstation aankomt) 1 • (Voor de secundaire golf geldt) 3,5 _d₁₇

t (of een gelijkwaardige vorm) 1

• Beschrijven hoe dit stelsel kan worden opgelost 1

• Hieruit volgt (d ) 142,8 (of 143) (km) 1

of

• De tijd die de primaire golf nodig heeft is d₆_(seconden) ₁

• De tijd die de secundaire golf nodig heeft is _3,5d _(seconden) ₁

• Er geldt dus _3,5d  ₆d 17 ₁

• Hieruit volgt (d ) 142,8 (of 143) (km) 1

• Voor de coördinaten van het epicentrum geldt

2_ 2 _₂₄₀2

x y en ( 192) ( 128)x 2  y 2 802 1

• Uit het verschil van beide vergelijkingen volgt

2 2 2 2

384 192 256 128x  y 240 80 1

• Herleiden tot y 1,5x408 1

• Invullen (bijvoorbeeld in de vergelijking van de cirkel om S) en

herleiden geeft _3,25_x2 __{1224 108 864 0}_x_ _ ₁

• De oplossingen van deze vergelijking zijn x144 en x232,6... 1 • De gevraagde coördinaten zijn (144,192) en (233, 59) 1 of

• _ST _ _{192 128}2_ 2 __230,75... ₁

• Voor de hellingshoek  van ST geldt 128 192

tan( )  , waaruit volgt 33,69...( )

   1

• Toepassen van de cosinusregel in driehoek STE (met E de plaats van het epicentrum) geeft 802 2402230,75... 2 240 230,75... cos(2    EST) 1

• Algebraïsch oplossen geeft EST 19,44...( ) 1

• De hellingshoek van SE is dus gelijk aan 33,69... 19,44... 53,13...( )  

of gelijk aan 33,69... 19,44... 14,25...( )   1 • Dit geeft voor E (240 cos(53,13...), 240 sin(53,13...))  en

(240 cos(14,25...), 240 sin(14,25...))  , dus de gevraagde coördinaten

(4)

wiskunde B vwo 2021-I

• Voor de coördinaten van het epicentrum geldt

2_ 2 _₂₄₀2

x y en ( 192) ( 128)x 2  y 2 802 1

• Uit de eerste vergelijking volgt _y_ ₂₄₀2__x2 _{; invullen in de tweede}

vergelijking geeft _{( 192)}_x_ 2__{( 240}2__x2 _₁₂₈₎2 _₈₀2 ₁ • Dit geeft 2_{ }_{2 192}_{ }_{192 240}2_ 2_ 2_{ }_{2 128 240}_ 2_ 2_₁₂₈2 _₈₀2 x x x x en hieruit volgt __{256 240}2__x2 __{384 104 448}_x_ ₁ • Herleiden tot 3,25x21224 108 864 0x  1

• De oplossingen van deze vergelijking zijn x144 en x232,6... 1 • De gevraagde coördinaten zijn (144,192) en (233, 59) 1

• Er geldt 4,5 10_ a b 7,5_en_{285,5 10}_ a b 6 ₁

• Het stelsel 7,5 log(4,5) 6 log(285,5)        a b

a b moet worden opgelost 1

• Beschrijven hoe dit stelsel kan worden opgelost 1

• Dit geeft a9,66... en b1,20... 1

• _N _109,66... 1,20... 6,5  _71,5... ₁

• ( 56 15 3,1 1,1 0,3    ) 75,5, dus de voorspelling wijkt ( )4 af 1

Opmerking

Als doorgerekend wordt met waarden van a en b die zijn afgerond op twee decimalen (resulterend in het eindantwoord (-)1) of meer dan twee

(5)

wiskunde B vwo 2021-I

Een vierkant en vier vectoren

8 maximumscore 6 • 1     _    _p CP en 1 1     _    CA 1 •





1 1 1 cos 1 1 1      _  _             _  _      p PCA p 1

• Dit is gelijk aan

2 1 1 2    p p 1 • ( 1 1 p CQ   _{ }    

dus) (p vervangen door 1

p geeft)





 

1 2 1 1 cos 1 2      p p ACQ 1

• Teller en noemer van

 

1 2 1 1 1 2    p p

vermenigvuldigen met p geeft

 

2 2 1 1 1 2   _p   p p 1 • Dit is gelijk aan

2 1 1 2    p

p , (dus cos



ACQ



cos



PCA ,) dus (in

2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1        p p p p p p 1 • Dit geeft 1p2  1₂  1 1 1₂  p21

p p , (en dit is inderdaad aan

elkaar gelijk, dus cos



_ACQ



cos



_{PCA ,) dus (in deze situatie)}



ACQ PCA (dus de hoek tussen de vectoren CP en  CA is gelijk

aan de hoek tussen de vectoren CA en  CQ) 1 of

• De richtingscoëfficiënt van de lijn door C en Q is ₁1 

p

p 1

• Het snijpunt R van de lijn door C en Q en lijnstuk AB heeft dus

y-coördinaat 1 p 1

• PA 1 p, dus PA RA 1

• PAC RAC( 45 )  (want AC is een diagonaal van een vierkant) 1 • Ook geldt CA CA , dus CAP is gelijkvormig met CAR 1 • Uit deze gelijkvormigheid volgt dat ACQ ( ACR ) ACP (dus de

hoek tussen de vectoren CP en  CA is gelijk aan de hoek tussen de

vectoren CA en  CQ) 1

(7)

wiskunde B vwo 2021-I

• OC  1 OP p 1 • 1 1 1  p  OQ OC p 1

• Ook geldt POC COQ, dus OPC is gelijkvormig met OCQ 1 • OQC BCQ (Z-hoeken), dus OCP OQC BCQ 1

• ACP45  OCP en QCA45  BCQ 1

• Dus ACP QCA (dus de hoek tussen de vectoren CP en  CA is 

gelijk aan de hoek tussen de vectoren CA en  CQ) 1

• De coördinaten van M zijn



1 1 1



2 p2 2, 1 •  1₁     _p PB 1 • 12 ₁12 1 2             p _p QM 1

• PB staat loodrecht op QM als 12 ₁12 1

2 1 0 1        _ _    _{ } _  _{ } _ p p p 1 • De vergelijking



1 1 1



1 2 2 2

(1 p) p _p   1 0 moet worden opgelost 1 • Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost 1

• p0,54 (want 0 p 1) 1

of

• De richtingscoëfficiënt van de lijn door P en B is 1

1 p 1

• De richtingscoëfficiënt van de lijn door M loodrecht op PB is p1 1 • De coördinaten van M zijn



1 1 1



2 p2 2, 1

• Hieruit volgt dat een vergelijking van de lijn door M loodrecht op PB is 2 1 2 ( 1) 1     y p x p 1

• Deze lijn gaat door Q als 1 1 2 2

0 ( p  1) _p p 1 1

• Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost 1

• p0,54 (want 0 p 1) 1

(8)

wiskunde B vwo 2021-I

• In dit geval is de lijn door M en Q de middelloodlijn van lijnstuk PB 2 • (Omdat Q op deze middelloodlijn ligt, geldt) PQ BQ 1

• _{ }1 p PQ p en _{ }1 ₁ p AQ 1 • _

 

1 _₁ 2_₁ p BQ 1

• Beschrijven hoe de vergelijking 1 _{ }

 

1 _₁ 2_₁

p p p kan worden

1 2 2 p 2 p  2  2 p 2 p  2  pp

moet worden opgelost 1

• p0,54 (want 0 p 1) 1

of



1 1 1



2 p2 2, 1

•  1₁ 

 

 _p

PB 1

• Een vergelijking van een normaalvector van PB is (1 p x y c)   1 • Invullen van Q

 

1_,0

p geeft voor de normaalvector door Q dat

1

(1p) _p c 1

• De normaalvector moet door M gaan, dus er moet gelden



1 1



1 1

2 2 2

(1 p) p   (1 p) _p (en deze vergelijking moet worden

2

 

1 2 2 2 2 1 (1 ) 1 pp   p   p  p  moet worden opgelost 1

• p0,54 (want 0 p 1) 1

Opmerking

(10)

wiskunde B vwo 2021-I

Limiet van een verhouding

10 maximumscore 4 • t2 a geeft  t a of t a 1 • y_S y

 

 a  a _{2 a} en y_R  y

 

a a 2 a 1 • 2 1 2 2 a ₁ 2      QR a a _a QS a 1 • ( 2 a a

(11)

wiskunde B vwo 2021-I

Gebroken functie met een parameter

• f x₁( )  x 4₂

x 1

• (Als x onbegrensd toeneemt, nadert 4₂

x tot 0, dus) de vergelijking van

de scheve asymptoot is y x 1

• Omdat (4 0 en) x20, geldt x 4₂ x

x (dus ligt de grafiek van f 1

boven de scheve asymptoot) 1

12 maximumscore 5 • Er geldt





 

2 2 3 2 2 3 4 2 ( )     p x x x p x f ' x x 1 • Herleiden tot f ' x_p( ) 1 8₃p x (of 4 48 ( )  p x px f ' x x ) 1

• f ' x_p( ) 0 geeft voor de x-coördinaat van de top 1 3 8  p x 1 • Invullen in x34p geeft 1 3 2 1 x 1

• Dus de y-coördinaat van de top is 12 3 1 2 2 1 1  x x

x (dus de toppen liggen op

de lijn met vergelijking 1 2

1 

y x ) 1

(12)

wiskunde B vwo 2021-I

• Er geldt ( )_{ }4₂ _{ }4 2 p p f x x x px x 1 • f ' x_p( ) 1 8₃p x 1

• f ' x_p( ) 0 geeft voor de x-coördinaat van de top _x_3₈_{p (}

1 3 2p

 ) 1

• Invullen in x34p geeft 12p en invullen in x geeft 2

2 1 2 3 3 2p 4p          ,

dus de y-coördinaat van de top is 13 2 3 12 ₃ 4 p _p p  1

• (Voor elke waarde van p0 geldt)

1 3 1 2 1 3 3 ₁ 2 p p  (of 13 1 13 2 3p 1 2 p ) (dus de toppen liggen op de lijn met vergelijking 1

2

1 

(13)

wiskunde B vwo 2021-I

Absolute natuurlijke logaritme

ln x

 

_C ln x

 

_C q (want ln(x_C)  0 ), dus x_C eq 1 •

_B  q , dus x_B eq ₁

• De vergelijking (eqeq 3_eq_{, dus) }_eq ₄_{e moet worden opgelost}q ₁

• Hieruit volgt e2q 4 1

• Dus 1

2

q  ln(4) (of een gelijkwaardige uitdrukking) 1 of

• Er moet gelden ( x_C x_B 3x_B, dus) x_C  4 x_B 1 • De vergelijking ln( )  ln(4b b) moet worden opgelost, waarbij b de

x-coördinaat van B is 1 • ln( )  ln(b b) (want ln(b)  0 ) en ln(4 )  ln(4b b) (want ln(4b)  0 ) 1 • Uit ln( ) b ln(4b) volgt ln

 

1 __ln(4b) b 1 • 1 _₄ b b , dus 1 4b2 1 • Dit geeft 1 2 b  ( 1 2

b   voldoet niet), dus q  ln(2) (of een

(14)

wiskunde B vwo 2021-I

P

en Pʹ

• De lijn door O en P heeft hellingshoek (180 120 )60 1

• De richtingscoëfficiënt van deze lijn is dus 3 1

• Voor de x-coördinaat van P geldt 3 x 6 x 1

• Een exacte berekening waaruit volgt x12 (x0 voldoet niet) 1

• Dus P (12, 6 12), dus _{OP } ₁₂2__{(6 12)}2 _₂₄ ₁ • Dus x_P'  24 1 of • 6    _ _    _p OP

p en een richtingsvector van OP' is

1 0 

 

 

  (of een andere vector van de vorm

0       a met a0) 1 •





1 0 6 cos 120 1 0 6   _   _{  }  _{  }           _{  }  _{  }   p p p p 1 • Dus 2 1 2 ₃₆     p p p 1

• Een exacte berekening waaruit volgt p12 1

• Dus P (12, 6 12), dus _{OP } ₁₂2__{(6 12)}2 _₂₄ ₁ • Dus x_P'  24 1 of • Als P ( , 6p p , dan is ) _OP_ _p2_₃₆_p ₁ • Dan geldt _{ } 2_₃₆ P' x p p 1

• De lijn door O en P heeft hellingshoek (180 120 )60 1

• De richtingscoëfficiënt van deze lijn is dus 3 1

• Als Q de loodrechte projectie van P op de x-as is, dan geldt PQ p 3; er moet gelden OP2 OQ2PQ2, dus p236p p 23p2; dit geeft

2

3p 36p, dus p12 ( p0 voldoet niet) 1

• Dus OP 12 36 12 242   , dus x_P'  24 1

(15)

wiskunde B vwo 2021-I

• Als ( , 0)P' p , dan is OP p 1

• De lijn door O en P heeft hellingshoek (180 120 )60 1 • Als Q de loodrechte projectie van P op de x-as is, dan is OQP een

1 2  3-driehoek 1

• Hieruit volgt dat 1 2 OQ = p en 1 2 3 PQ = p 1 • Dus 1 1 2 2 6 p p 3 1

• Een exacte berekening waaruit volgt p24 (p0 voldoet niet), dus 24   P' x 1 of • Als P ( , 6p p , dan is ) _OP_ _p2_₃₆_p ₁ • Dan geldt 2 36 0 _ _   _ _    _p _p OP' 1 • 2 2 36 6 0 cos(120 ) 36 6 ₀ p _p _p p p _p _p p    _{ } _                   _ _              1 • Dus 1 ₂ 2 36 2 36       p p p p p 1

• Een exacte berekening waaruit volgt p12 1

• Dus OP 12 36 12 242   , dus x_P'  24 1

of

• Als ( , 0)P' p , dan ligt P op de cirkel met middelpunt O en straal p, en

die heeft vergelijking x2 y2  p2 1

• Invullen van y6 x geeft x236x p 2 voor de x-coördinaat van P 1 • De lijn door O en P heeft hellingshoek (180 120 )60 1

• 1 2 cos(60 ) P x = p   p 1 • Invullen in x236x p 2 geeft

 

1 2 1 2 2 p 362 p p 1

• Een exacte berekening waaruit volgt p24 (p0 voldoet niet), dus 24

 

P'