Tien niet zo bekende eigenschappen van (koorden)vierhoeken
Dick Klingens
Krimpenerwaard College Krimpen aan den IJssel, Nederland
mei 2005
Inleiding
In het onderstaande behandelen we enkele eigenschappen van willekeurige vierhoeken en de gevolgen daarvan voor koordenvierhoeken. De bedoelde eigenschappen zullen we formuleren als tien stellingen.
De te gebruiken hulpstellingen – die natuurlijk ook interessante eigenschappen beschrijven – worden geformuleerd in enkele lemma's.
Aan de orde komen onder meer de negenpuntscirkel van een driehoek – waarvan we de belangrijkste eigenschappen als bekend veronderstellen [i] – en Wallace-Simson-lijnen (ook wel voetpuntsrechten) van een driehoek en een vierhoek. Centraal bij dit alles staat het zogenoemde Euler-punt van een vierhoek.
Eigenschap 1
Bekijk de middens A', B', C', D' van de zijden van een willekeurige vierhoek ABCD en daarbij de middens P, Q van de diagonalen AC, BD van die vierhoek (zie figuur 1).
Figuur 1
Dan geldt:
Stelling 1. De lijnen A'C', B'D' en PQ hebben een gemeenschappelijk snijpunt Z.
Het bewijs van stelling 1 berust op het zogenoemde Varignon-parallellogram A'B'C'D' van ABCD (naar Pierre Varignon, 1654-1722, Frankrijk).
Zij Z het snijpunt van de diagonalen A'C' en B'D' van dat parallellogram (A'B'C'D' is een parallellogram wegens A'B' // AC // C'D' en B'C' // BD // A'D'; middenparallellen).
Ook B'PD'Q is een parallellogram, immers B'P // AB // D'Q en PD' // CD // B'Q. En de diagonaal PQ daarvan gaat door het midden Z van de tweede diagonaal B'D'.
En deze zes middens spelen ook nog een andere rol!
Eigenschap 2
In het hoekpunt A van ABCD komen de lijnstukken DA, CA en BA samen, met opvolgend de middens D', P, A'. Die middens hebben KA als omcirkel (omgeschreven cirkel); zie figuur 2.
De cirkels KB en KC zijn op dezelfde manier bij B en C gevonden. Vanzelfsprekend bestaat er ook een overeenkomstige cirkel KD bij het hoekpunt D.
De cirkels KA en KB snijden elkaar behalve in A' ook nog in het punt M. We zullen aantonen dat ook KC
door M gaat.
Figuur 2 Figuur 3
Diagonaal BD verdeelt de hoek D van ABCD in twee hoeken, d1 en d2. Wegens A'Q // AD en QB' // CD is nu A'QB' = d1 + d2. [ii]
A'QB' en A'MB' zijn omtrekshoeken van KB die op dezelfde boog staan; dus A'MB' = d1 + d2. Wegens A'D' // BD en PD' // CD is A'D'P = d2, zodat A'MP = 180° – d2; immers AA'MP is een koordenvierhoek.
En voorts volgt uit PC' // AD en B'C' // BD dat PC'B' = d1. (1)
Nu is PMB' = 360° – A'MB' – A'MP = 360° – (d1 + d2) – (180° – d2) = 180° – d1. (2) Uit (1) en (2) volgt nu dat B'C'PM een koordenvierhoek is. Het punt M ligt dus ook op de cirkel KC.
En natuurlijk gaat ook de cirkel KD door M.
We hebben dus bewezen (zie figuur 3):
Stelling 2. De cirkels KA, KB, KC, KD (zoals hierboven beschreven) hebben een gemeenschappelijk snijpunt M.
Eigenschap 3, alleen voor een koordenvierhoek
Definitie. Een driehoek die drie hoekpunten van een vierhoek als hoekpunten heeft, heet diagonaaldriehoek (van het vierde hoekpunt) van die vierhoek.
Een vierhoek heeft dus vier diagonaaldriehoeken.
De cirkel KA (resp. KB, KC, KD) kan worden opgevat als de productfiguur van de omcirkel van de
diagonaaldriehoek BCD (resp. CDA, DAB, ABC) van ABCD bij een vermenigvuldiging (homothetie) met factor ½ ten opzichte van het hoekpunt A (resp. B, C, D) van de vierhoek.
Beschouwen we nu een koordenvierhoek ABCD, dan vallen de omcirkels van de diagonaaldriehoeken samen met de omcirkel – middelpunt O, straal R – van de koordenvierhoek. De stralen van de cirkels KA, KB, KC, KD zijn dan dus gelijk aan ½R.
Het punt M is in dit geval het middelpunt van de omcirkel van ABCD (zie figuur 4).
Immers, nu is OA = OB = OC = OD = R, terwijl de cirkels KA, KB, KC, KD, elk met een middellijn met lengte R, opvolgend door A, B, C, D gaan. En dat is alleen mogelijk als O = M.
Figuur 4
Vatten we nu M op als centrum van een vermenigvuldiging met factor ½, dan zijn de beeldpunten A", B", C", D" van A, B, C, D de middelpunten van de cirkels KA, KB, KC, KD. A"B"C"D" is dus eveneens een koordenvierhoek met M als middelpunt van diens omcirkel; de straal daarvan is dan ook gelijk aan ½R.
We hebben dus bewezen:
Stelling 3. De middelpunten A", B", C", D" van de cirkels KA, KB, KC, KD in een koordenvierhoek ABCD – met M als het middelpunt van de omcirkel en R als straal daarvan – zijn de hoekpunten van een koordenvierhoek – met M eveneens als het middelpunt van diens omcirkel en ½R als straal daarvan.
Intermezzo, de Euler-cirkel
Figuur 5
Definitie. De Euler-cirkel (naar Leonard Euler, 1707-1783, Zwitserland) van een koorde van een cirkel met straal R, is de cirkel waarvan het middelpunt het midden van die koorde is en waarvan de straal gelijk is aan ½R; zie
figuur 5.
Dan geldt:
Lemma 1. (a) De middelpunten van de Euler-cirkels van een driehoek (de zijden van de driehoek beschouwend als koorden van de omcirkel van die driehoek) liggen op een cirkel. (b) De Euler-cirkels hebben een gemeenschappelijk snijpunt.
Figuur 6 Figuur 7
Zie figuur 6, waarin stelling 3 in beeld is gebracht. De middelpunten van de Euler-cirkels van driehoek ABC zijn A', B', C'. Uiteraard liggen deze punten op een cirkel, namelijk de omcirkel van driehoek A'B'C' – en die cirkel is de negenpuntscirkel van driehoek ABC. De negenpuntscirkel van ABC ontstaat uit de
omcirkel (middelpunt O, straal R), onder meer, door vermenigvuldiging met de factor – ½ en centrum Z, het zwaartepunt van ABC. De straal van de negenpuntscirkel is dus gelijk aan ½R; zodat:
NA' = NB' = NC' = ½R
Maar de stralen van de Euler-cirkels zijn ook gelijk aan ½R. Het punt N ligt dus op elk van de Euler- cirkels van driehoek ABC.
We kijken vervolgens naar de negenpuntscirkels van de diagonaaldriehoeken van een (willekeurige) vierhoek. In figuur 7 zijn A*, B*, C*, D* de middelpunten van bedoelde cirkels.
En het heeft er alle schijn van dat ook deze cirkels een gemeenschappelijk snijpunt N hebben!
Eigenschap 4
Figuur 8
We hebben in stelling 1 gezien dat het punt Z het centrum is van een puntsymmetrie voor de puntenparen (A', C'), (P, Q) en (D', B').
Door deze puntsymmetrie wordt A' afgebeeld op C', P op Q en D' op B'.
Met andere woorden: de cirkel KA wordt afgebeeld op de cirkel NA die door de middens van de zijden van driehoek BCD, de A-diagonaaldriehoek van ABCD, gaat; en deze cirkel is nu juist de negenpuntscirkel van BCD (zie figuur 8).
En zo gaat cirkel KB via deze puntsymmetrie over in de negenpuntscirkel NB van diagonaaldriehoek CDA, KC in die van DAB, de cirkel NC, en KD in die van ABC, de cirkel ND; zie figuur 9.
Het punt M, het gemeenschappelijk punt van de cirkels KA, KB, KC, KD, wordt dus afgebeeld op een gemeenschappelijk punt N van de negenpuntscirkels van de diagonaaldriehoeken.
Waarmee bewezen is:
Stelling 4. De negenpuntscirkels van de diagonaaldriehoeken van een vierhoek hebben een gemeenschappelijk snijpunt.
Figuur 9 Figuur 10
In figuur 10 staat de configuratie van stelling 4 voor een koordenvierhoek ABCD.
Definitie. Het punt N van een vierhoek ABCD (zoals hierboven vastgelegd) heet het Euler-punt van die vierhoek.
Is ABCD een koordenvierhoek, dan wordt N ook wel het Wallace-punt van die koordenvierhoek genoemd (vooruitlopend op eigenschap 9).
Analytisch (tweede) intermezzo
Een opdracht bij analytische meetkunde zou kunnen zijn:
Bepaal de meetkundige plaats van de hoogtepunten van driehoeken die beschreven kunnen worden in een orthogonale hyperbool.
Dit probleem is door Jean Victor Poncelet (1788-1867, Frankrijk) en Charles Julien Brianchon (1785- 1864, Frankrijk) voor het eerst geformuleerd. De oplossing ervan wordt daarom wel de stelling van Poncelet-Brianchon genoemd (zie [3], pp. 219-220):
Lemma 2. Gaat een orthogonale hyperbool door de hoekpunten van een driehoek, dan ligt het middelpunt van die hyperbool op de negenpuntscirkel van die driehoek.
Figuur 11
We kijken om te beginnen naar het hoogtepunt H van zo'n in een orthogonale hyperbool ingeschreven driehoek PQR (zie figuur 11).
Na schaling van het assenstelsel (met oorsprong Oxy) gaan we uit van de orthogonale hyperbool met vergelijking xy = 1.
Stel de x-coördinaten van de punten P, Q, R zijn opvolgend a, b, c.
De y-coördinaten van die punten zijn dan (in dezelfde volgorde)
1 1 1
, ,
A B C
a b c
= = = .
De richtingscoëfficiënt van de zijde QR is dan B C b c
−
− , of, als we B en C vervangen: 1b 1c 1
b c bc
− = −
− .
De richtingscoëfficiënt van de hoogtelijn op QR is dan bc. Een vergelijking van deze hoogtelijn is dan:
y – A = bc(x – a)
Verder uitgewerkt: ( A)
y abc bc x A bc x
+ = ⋅ + = +bc , met tenslotte:
y + abc = bc(x + ABC) (3)
Eenvoudig is uit (3) een vergelijking van de hoogtelijn op PR af te leiden:
y + abc = ac(x + ABC) (4)
De coördinaten van H (we stellen ze x' en y') voldoen nu aan de vergelijkingen (3) en (4).
Gelijkstelling van de rechter leden geeft dan eenvoudig voor de x-coördinaat van H:
x' = –ABC (5)
Voor de y-coördinaat van H geldt dan:
y' = –abc (6)
Vermenigvuldiging van (5) en (6) geeft dan x'y' = 1.
De coördinaten van het punt H voldoen dus aan de vergelijking xy = 1.
Het hoogtepunt H van driehoek PQR ligt dus op de orthogonale hyperbool.
Hiermee zijn we toe aan het bewijs dat het punt Oxy op de negenpuntscirkel van PQR ligt.
Eerst maar een arbeidsintensief bewijs – een kort bewijs volgt aan het eind van deze paragraaf.
Voor het middelpunt O van de omcirkel van PQR snijden we de middelloodlijnen m(PR) en m(QR) van PR en QR (daarvan kennen we immers de richtingscoëfficiënten):
( ) ( )
2 2
( ) ( )
2 2
A C a c
m PR y ac x
B C b c
m QR y bc x
+ +
− = −
+ +
− = −
…
…
Dit geeft na enig rekenwerk voor de x-coördinaat xO van O:
12( )
xO = a b c ABC+ + +
en op basis daarvan, gezien de symmetrie, voor de y-coördinaat yO:
12( )
yO = A B C abc+ + +
Voor de straal OP van de omcirkel hebben we dan de volgende betrekking:
( ) (
2)
22 1 1
2 2
2 2 2
( ) ( )
4 ( ) ( )
OP ABC a b c a abc A B C A
OP ABC a b c abc A b C
= + + + − + + + + −
= − + + + − + +
Uitwerking van de uitdrukking in het rechter lid geeft dan:
2 2 2 2 2 2 2
4OP = A B C +a b c (7)
In figuur 11 is het punt S het puntspiegelbeeld van H in het punt Oxy. De coördinaten van S zijn dan (ABC, abc). Omdat Oxy het middelpunt is van de hyperbool, ligt het punt S ook op de orthogonale hyperbool xy = 1 (en dat blijkt ook uit het product van de coördinaten van S).
We bewijzen nu dat S ook op de omcirkel van PQR ligt. Hiertoe berekenen we de afstand van S tot het punt O.
We hebben dan:
( ) (
2)
22 1 1
2 2
2 2 2
( ) ( )
4 ( ) ( )
SO ABC ABC a b c abc abc A B C
SO ABC a b c abc A B C
= − + + + + − + + +
= − − − + − − −
En we vinden, weer na uitwerking van het rechter lid:
2 2 2 2 2 2 2
4SO = A B C +a b c (8)
Conclusie uit (7) en (8): SO2 = OP2. Met andere woorden, het punt S ligt op de omcirkel van PQR.
Zoals bekend kan de negenpuntscirkel uit de omcirkel worden verkregen door een vermenigvuldiging met factor ½ en centrum H. Het punt Oxy is het beeld van S bij die vermenigvuldiging, immers Oxy is het midden van HS.
Het punt Oxy, dat het middelpunt is van de hyperbool xy = 1, ligt dus op de negenpuntscirkel.
Korter! Het bewijs van lemma 2 kan – gezien de vorige alinea – echt een stuk korter.
We weten dat het punt H op de hyperbool ligt. De omcirkel van PQR snijdt de hyperbool in een vierde punt S. Bij de puntvermenigvuldiging met centrum H en factor ½ gaat die omcirkel over in de
negenpuntscirkel. S gaat dus over in een punt S' met HS' = ½HS. Zodat S'S = S'H. Maar dan is de lijn HS een middellijn van de hyperbool. En middellijnen van een hyperbool gaan door het middelpunt! Dus valt S' samen met het punt Oxy.
Eigenschap 5 en eigenschap 6
Gaan we uit van een willekeurige driehoek ABC met hoogtepunt H, dan bepalen de punten A, B, C, H en een willekeurig punt D een orthogonale hyperbool. [iii]
Dan geldt, op grond van wat we hebben gevonden in de vorige paragraaf:
Stelling 5. De hoogtepunten van de diagonaaldriehoeken van een vierhoek liggen op een orthogonale hyperbool, waarvan het Euler-punt van de vierhoek het middelpunt is.
In figuur 12 zijn de punten JA, … de hoogtepunten van de diagonaaldriehoeken BCD, … en is N het Euler-punt van vierhoek ABCD.
In die figuur zijn ook de negenpuntscirkels van de diagonaaldriehoeken getekend. Het gemeenschappelijk punt van die cirkels, het Euler-punt van de vierhoek, is het punt N.
Volgens lemma 2 is N het middelpunt van de orthogonale hyperbool door de punten A, B, C, D, JA, JB, JC, JD.
Figuur 12 Figuur 13
Gaan we uit van een koordenvierhoek ABCD met O als middelpunt van de omcirkel (zie figuur 13), dan blijft de in stelling 5 genoemde eigenschap natuurlijk onveranderd. Lemma 2 heeft in dit geval tot gevolg, dat het punt N steeds het midden is van de lijnstukken AJA, BJB, CJC, DJD. Zodat:
Stelling 6. In de koordenvierhoek ABCD is de vierhoek JAJBJCJD (vastgelegd als hierboven) congruent met ABCD.
Dit vanwege de puntsymmetrie met centrum N. Het middelpunt OJ van de omcirkel van JAJBJCJD vinden we dus via puntspiegeling van O in N.
We weten nu ook dat de lijnen AJA, BJB, CJC, DJD middellijnen zijn van de orthogonale hyperbool.
Eigenschap 7, samenhangend met voetpuntsrechten
Figuur 14
Met behulp van koordenvierhoeken kan eenvoudig bewezen worden [iv], dat de voetpunten van de loodlijnen vanuit een punt D, gelegen op de omcirkel van driehoek ABC, neergelaten op de zijden van die driehoek, op dezelfde rechte lijn liggen (zie figuur 14).
Definitie. Deze lijn, in de figuur aangeven met w(D), heet Wallace- Simson-lijn van het punt D ten opzichte van driehoek.
De lijn is genoemd naar William Wallace (1768-1843, Schotland) en Robert Simson (1687-1768, Schotland).
We noemen de lijn hier verder voetpuntsrechte.
De voetpuntsrechten van de hoekpunten van een koordenvierhoek ten opzichte van de 'bij dat hoekpunt behorende' diagonaaldriehoek (de 'overblijvende' diagonaaldriehoek) kunnen in verband gebracht worden met het Euler-punt van die koordenvierhoek.
We bewijzen daartoe eerst enkele (ook al niet zo bekende) eigenschappen van de voetpuntsrechte van een driehoek, leidend tot lemma 3a. Deze eigenschappen zijn vaak als oefeningen opgenomen in wat oudere boeken over vlakke meetkunde (zie daartoe bijvoorbeeld [4] en [6]).
Figuur 15
In figuur 15 hebben we:
- w(D) is de voetpuntsrechte van D, geconstrueerd via A' en B', opvolgend de projecties van D op BC en op CA;
- D' is het tweede snijpunt van DA' met de omcirkel van ABC;
- H is het hoogtepunt van ABC;
- H' is het tweede snijpunt van AH met de omcirkel en Ha is het snijpunt van AH met BC;
- Q is het snijpunt van H'D met BC, R is het snijpunt van AD' met BC;
- N het snijpunt van HD en w(D);
- S is het snijpunt van H'D en w(D).
Een bekend veronderstelde eigenschap is hier dat HHa = HaH'. [v]
Daarmee is driehoek HH'Q een in Q gelijkbenige driehoek. We kunnen nu bewijzen:
Lemma 3a. Het punt N is het midden van het lijnstuk HD.
We leveren het bewijs van dit lemma via achtereenvolgens (i) w(D) // AD', (ii) AD' // HQ, (iii) S is het midden van QD.
(i) C1 = ½ bg(AD) = D'1. Verder is A'CDB' een koordenvierhoek, zodat A'1 = C'1. En dan is dus A'1 = D'1, waaruit volgt dat w(D) // AD' (F-hoeken).
(ii) H'1 = ½ bg(AD) = D'1. De driehoeken HaH'Q en A'RD' zijn dan gelijkvormig (hh), zodat via HaH' // A'D volgt dat R2 = Q2. En dan is AD' // HQ (F-hoeken).
(iii) Nu is driehoek QA'S een gelijkbenige driehoek met QS = SA', terwijl QA'D rechthoekig is in A. S is dan het midden van QD.
(iv) Omdat NS // HQ (in driehoek HQD), is N het midden van HD. Waarmee lemma 3a bewezen is.
En vervolgens:
Lemma 3b. De voetpuntsrechte van het punt D bij driehoek ABC snijdt de negenpuntscirkel van driehoek ABC in het midden van het lijnstuk HD.
Immers – we merkten dat al eerder op – de negenpuntscirkel, met middelpunt E, kan via de
vermenigvuldiging met factor ½ en centrum H worden verkregen uit de omcirkel met middelpunt O; zie figuur 16.
Figuur 16 Figuur 17
En dan is gemakkelijk in te zien dat (zie figuur 17):
Stelling 7. De voetpuntsrechten van de hoekpunten van een koordenvierhoek ten opzichte van de bij zo'n hoekpunt behorende diagonaaldriehoek snijden elkaar in het Euler-punt van die koordenvierhoek.
Voetpuntsdriehoeken
Uiteraard hoeft het punt D uit de definitie van voetpuntsrechte (zie de vorige paragraaf) niet op de omcirkel van ABC te liggen om daaruit loodlijnen op de zijden van die driehoek te kunnen neerlaten. De voetpunten van die loodlijnen vormen dan een driehoek, de zogenoemde voetpuntsdriehoek van D ten opzichte van driehoek ABC.
In figuur 18 is van drie bijzondere punten van ABC de voetpuntsdriehoek getekend: van links naar rechts de voetpuntsdriehoek van het hoogtepunt H, die van het zwaartepunt Z en die van het omcentrum O.
Figuur 18
We definiëren nu bij een willekeurig punt P dat als uitgangspunt dient voor een voetpuntsdriehoek, drie getallen, de zogenoemde voetpuntsproducten van P ten opzichte van de gegeven driehoek ABC (zie [1], pp. 105-109):
pa = |PA| · |BC|, pb = |PB| · |CA|, pc = |PC| · |AB|
En dan geldt:
Lemma 4a. De zijden van de voetpuntsdriehoek van een punt bij een driehoek verhouden zich als de voetpuntsproducten van dat punt.
In figuur 19 is XYZ de voetpuntsdriehoek van het punt P. Nu is AZPY een koordenvierhoek met AP = 2RAZY als middellijn van de omcirkel (RAZY is de straal van de omcirkel van driehoek AZY).
Figuur 19
Toepassing van de sinusregel in driehoek AZY geeft:
sin 2 AZY
YZ R AP
A= =
In driehoek ABC geldt ook 2 sin
BC R
A= , waarbij R de straal is van de omcirkel van ABC. En dat levert door eliminatie van sinA:
2 2
pa
YZ AP BC
R R
= ⋅ =
Evenzo vinden we: ,
2 2
b c
p p
ZX XY
R R
= = zodat YZ : ZX : XY = pa : pb : pc. En ook geldt:
Lemma 4b. De vier voetpuntsdriehoeken van één punt uit A, B, C, D ten opzichte van de driehoek gevormd door de andere punten zijn gelijkvormig.
Figuur 20
In figuur 20 zijn XAYAZA en XDYDZD opvolgend de voetpuntsdriehoeken van A bij DBC en van D bij ACB.
Volgens lemma 4a is dan:
YAZA : ZAXA : XAYA = = (AD · BC) : (AB · CD) : (AC · DB) en
YDZD : ZDXD : XDYD = = (DA · CB) : (DC · BA) : (DB · AC) zodat inderdaad XAYAZA ~ XDYDZD (zzz).
En dit geldt natuurlijk analoog voor de andere voetpuntsdriehoeken.
In figuur 21 zijn de vier voetpuntsdriehoeken weergegeven die mogelijk zijn bij een willekeurige vierhoek ABCD.
Figuur 21 Figuur 22
Als we een koordenvierhoek ABCD bekijken, dan ontaarden de vier voetpuntsdriehoeken (uit figuur 21) in telkens drie samenvallende lijnstukken (zie figuur 22). De voetenpunten liggen dan immers op de voetpuntsrechten van de hoekpunten van die koordenvierhoek.
Of anders gezegd, de omcirkels van de voetpuntsdriehoeken uit figuur 21 – deze omcirkels zijn daarin niet getekend – gaan over in de voetpuntsrechten van elk hoekpunt van de vierhoek bij de overblijvende diagonaaldriehoek.
Zoals we gezien hebben (in stelling 7), is het gemeenschappelijk punt van die voetpuntsrechten het Euler- punt N van de koordenvierhoek. De gelijkvormigheid (zie lemma 4b) blijft uiteraard gehandhaafd.
Het lijkt erop dat in figuur 22 de twaalf punten Xi, Yi, Zi (met i = A, B, C, D) op drie in N concentrische cirkels liggen. We bewijzen dat in de volgende paragraaf als eigenschap 9.
Eigenschap 8 en eigenschap 9
We kijken nog eens, maar nu op een andere manier, naar de punten Xi, Yi, Zi (met i = A, B, C, D); zie figuur 23. Ze vormen hier drie vierhoeken: XAXBXCXD, YAYBYCYD, ZAZBZCZD, die we
voetpuntsvierhoeken zouden kunnen noemen; elke vierhoek wordt namelijk gevormd door de
voetpunten van telkens drie loodlijnen uit de hoekpunten van de vierhoek op de zijden én de diagonaal die niet door zo'n hoekpunt gaan.
Figuur 23
We tonen nu aan:
Stelling 8. De drie voetpuntsvierhoeken van een vierhoek zijn gelijkvormig met die vierhoek.
Figuur 24 Figuur 25
Zie eerst figuur 24. De loodlijnen AZA, BZB, … bepalen, op basis van vier Thales-cirkels waarvan de middelpunten op de zijden van de vierhoek liggen, vier koordenvierhoeken: ABZAZB, BCZCZB, … Nu is:
- in koordenvierhoek BCZCZB: ZCBC = ½ bg(CZC) = ZCZBC, (9) - in koordenvierhoek ABZAZB: ZAAB = ½ bg(ZAZB) = ZAZBB, en voorts:
ZABA + ZAAB = 90°, terwijl ook ZDZBZA + ZAZBB = 90°.
Conclusie: ZABA = ZDZBZA. (10)
Uit (9) en (10) volgt dat ABC = ZAZBZC. En dit geldt dit natuurlijk ook voor de andere hoeken.
De hoeken van ABCD en ZAZBZCZD zijn dus gelijk. Dat is ook het geval met de hoeken die de diagonalen van beide vierhoeken met elkaar maken.
Zodat inderdaad ABCD ~ ZAZBZCZD.
In figuur 25 kan de gelijkheid van de hoeken van de vierhoeken ABCD en XAXBXCXD op dezelfde manier worden aangetoond. Om tot gelijkvormigheid te kunnen besluiten laten we zien dat de zijden van beide vierhoeken dezelfde verhouding hebben.
Zij ϕ de hoek tussen de lijnen AD en BC. Dan is:
B C cos
X X =BC⋅ ϕ en X XA D =AD⋅cosϕ
In de omcirkel van de koordenvierhoek AXABXB geldt volgens de sinusregel:
sin 90 sin(90 )
a B
X X AB
= ϕ
° ° − ,
waaruit volgt dat:
A B cos
X X = AB⋅ ϕ
Op dezelfde manier vinden we: X XC D =CD⋅cosϕ. Ook hier is dan ABCD ~ XAXBXCXD.
En voor ABCD ~ YAYBYCYD kunnen we op dezelfde manier te werk gaan.
Lemma 5. De voetpuntsrechten van twee hoekpunten van een koordenvierhoek maken gelijke hoeken met de lijn door de beide andere hoekpunten.
Figuur 26
In figuur 26 zijn w(A) en w(D) de voetpuntsrechten bij opvolgend de diagonaaldriehoeken BCD (met voetpunten XA
en ZA) en ABC (met voetpunten XD en ZD).
We willen bewijzen dan w(A) en w(D) gelijke hoeken maken met de lijn BC.
Nu zijn AXABZA en CDZDXD koordenvierhoeken (met het midden van AB en van CD als middelpunten van de omgeschreven Thales-cirkels).
Nu is:
- ABD = DCA in koordenvierhoek ABCD;
- ABZA = ABD = AXAZA = ½ bg(AZA) in AXABZA; - DCZD = DCA = DXDZD = ½ bg(DZD) in CDZDXD. Uit AXAZA = DXDZD volgt dan NXAXD = NXDXA.
Driehoek NXAXD is dus gelijkbenig met top N. Met andere woorden: NXA = NXD.
En hieruit volgt dan – we hebben dit reeds aangekondigd aan het einde van de vorige paragraaf:
Stelling 9. De twaalf punten Xi, Yi, Zi (met i = A, B, C, D) liggen op drie in N concentrische cirkels.
Figuur 27
Eigenschap 10, een voetpuntsrechte bij een koordenvierhoek
We kunnen de resultaten van het hierboven verrichte 'onderzoek' gemakkelijk uitbreiden naar andere koordenveelhoeken.
We gaan nu uit van een koordenvierhoek ABCD en kiezen op de omcirkel daarvan een willekeurig punt P (zie figuur 28).
De lijnen p(A), p(B), p(C), p(D) zijn de voetpuntsrechten van P ten opzichte van de diagonaaldriehoeken BCD, CDA, DAB, ABC van ABCD. Op deze voetpuntsrechten liggen telkens drie voetpunten uit de rij Pa, Pb, …, Pf (met e en f worden de diagonalen van ABCD aangegeven).
Figuur 28
We tekenen nu de vier loodlijnen uit P op de 'bijbehorende' voetpuntsrechten en bekijken de voetpunten A', B', C', D', van die loodlijnen: de projectie van P op p(A) is A', die van P op p(B) is B', …
De punten Pa, Pd en Pe liggen op de cirkel met middellijn PA (Thales-cirkel). Er bestaat dus een voetpuntsrechte w(P) van P ten opzichte van driehoek PaPdPe: dit is de lijn door D', B' en C'.
Door een analoge beschouwing kan ook worden aangetoond dat A' op w(P) ligt.
We hebben dan:
Stelling 10. Is P een punt van de omcirkel van koordenvierhoek ABCD, dan liggen de voetpunten van de loodlijnen uit P op de voetpuntsrechten van P bij de diagonaaldriehoeken van ABCD op een rechte lijn w(P).
We zouden de lijn w(P) de voetpuntsrechte van P ten opzichte van de koordenvierhoek ABCD kunnen noemen.
Overigens, dit proces kan naar believen worden voortgezet: in figuur 29 staat de voetpuntsrechte w(P) van P bij een koordenvijfhoek ABCDE. Daarbij zijn de punten A', B', C', D', E' de voetpunten van de loodlijnen uit P op de voetpuntsrechten van P ten opzichte van de vijf koordenvierhoeken die kunnen worden gevormd met telkens vier van de hoekpunten van ABCDE (een en ander conform stelling 10).
En ook hier liggen A', B', C', D', E' op dezelfde rechte lijn!
Figuur 29
Noten
[i] De negenpuntscirkel (ook wel Feuerbach-cirkel genoemd) van een driehoek ABC is de cirkel door de middens van de zijden, door de voetpunten van de hoogtelijnen en door de middens van de lijnstukken AH, BH, CH, waarbij H het hoogtepunt is van de driehoek. Zie bijvoorbeeld [5].
Deze cirkel kan op twee manieren worden opgevat als productfiguur van de omgeschreven cirkel van de driehoek bij een vermenigvuldiging (homothetie): (1) met de factor ½ en centrum H en (2) met de factor -½ en centrum Z (het zwaartepunt van de driehoek).
[ii] Bij de aanduiding van hoeken laten we het hoekteken, zoals in ∠XYZ of XYZ , weg als er geen verwarring kan ontstaan met driehoek XYZ.
[iii] Een kegelsnede wordt bepaald door vijf punten. Uitgaande van de stelling van Pascal en het gebruik van oneigenlijke punten kan het omgekeerde van lemma 2 bewezen worden: een kegelsnede die gaat door de hoekpunten van een driehoek én door het hoogtepunt van die driehoek, is een orthogonale hyperbool. Zie bijvoorbeeld [5].
[iv] In de configuratie van figuur 14 moet dan bewezen worden dat AB'C' = A'B'C.
[v] Snijdt de hoogtelijn uit A in driehoek ABC de zijde BC in Ha en de omcirkel in H', en snijdt de hoogtelijn uit B de zijde AC in D, dan is H'BHa = H'AC (omtrekshoeken op dezelfde boog) en HaBH = DAH (hoeken in twee driehoeken die al twee gelijke hoeken hebben). En daaruit volgt direct het gestelde.
Literatuur
[1] O. Bottema: Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. Utrecht: Epsilon Uitgaven (1997).
[2] N.A. Court: College Geometry. New York: Barnes & Noble, Inc. (1952).
[3] Heinrich Dörrie: 100 Great Problems of Elementary Mathematics. New York: Dover Publications, Inc. (1965, reprint)
[4] Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover Publications, Inc. (1960, reprint).
[5] Dick Klingens: Homepage. Over de negenpuntscirkel: www.pandd.demon.nl/feuerbach.htm; over de orthogonale hyperbool: www.pandd.demon.nl/conics/orthodrie.htm.
[6] R. Lachlan: An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. Londen: MacMillan and Co. Ltd.
(1927).
