Gewone differentievergelijkingen met niet-constante coëfficiënten en partiële differentievergelijkingen: (Vervolg Ter discussie no. 84.10)

Tilburg University

Gewone differentievergelijkingen met niet-constante coëfficiënten en partiële

differentievergelijkingen

van Mier, J.

Publication date:

1984

Document Version

Publisher's PDF, also known as Version of record

Link to publication in Tilburg University Research Portal

Citation for published version (APA):

van Mier, J. (1984). Gewone differentievergelijkingen met niet-constante coëfficiënten en partiële

differentievergelijkingen: (Vervolg Ter discussie no. 84.10) . (blz. 58-123). (Ter Discussie FEW). Faculteit der

Economische Wetenschappen.

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim.

CBM

R

7627

1984

32

TIi~3M'RIFTENBUP.E AU

Bestem~ing ~I13T;t''mf-i`ï -I'

iC?t;ï.rr--.,. T~--:t~_{, .:. .,,,..} ~ ~ HOGt~::~~:: : -à'.~ ~

TI?~c,~ k~C::

subfa~

iiiiiiuNiiiniiiiiiiiuiuuiiiiiiiuiiuiiiii

~Fr.

CGO

Gewone differentievergelijkingen met niet-constante coéfficiënten en partiële diffe-rentievergelijkingen

(vervolg R.T.D. 84,10)

jvm58

-Intermezzo II

Factoriële machten, parametervoorstelling, elimineren.

In verband met het komende is het wenselijk nog enige aanvullingen te geven betreffende factoriële machten.

Uitgaande van de bekende definitie

xQX) - xQX-1)(x-(n-1)4x) x (0) - 1 ~x valt op te merken: (jvm) nEIN a. x(k) (x-k~x) (R) - x(kfQ) k~ Q E IN (k) b. x(R) -(x-kOx) (k-lC) als x(R) ~ 0 k, R E INg, k~ R x - 1(R,-k) als x(2) ~ 0 k,Q EINg, k ~ Q (x-k~x)

c. Met xi E Il2, i- 1,2,...,k en ~xi - ~x2 -... - ~xk is

(xl,x2 ... xk) (R) - xiJC)x2Q) ... ~R,) k EIN~ Q EINO.

d. (xk) (R,) -(x (R) )k _{k E IN , Q E INO}

waarin volgens def. 3.2 op blz. 19

(xk) (k) - xk(x-~x)k ... (x-(R-1)~x)k.

e. (x(k) ) (R) - (x(k) ) (k) k,R E IN

met (x (k) ) (SC) - x (k) (x-~x) (k) . . . (x- (R-1) ~x) (k) .

In deze opsomming volgen a. en b. onmiddellijk uit de definitie.

(xlx2 . . . ~) (k )

-- xlx2 ... xk x

x (xl-~x)(x2-~x) ... (xk-~x) x

x (xl-(R-1)~x) (x2-(R.-1)Ox) ... (xk-(Q-1)~x)

-- x11t) x2~) . . . ~Q) .

Hieruit volgt d voor

xi - x2 - ... - xk - x. In e. is (x (k) ) ( k) x (k) (x~x) (k) . . . (x ( k1) ~x)(k) -- x (x--~x) . . . (x- (k-1) ~x) x x (x-dx) (x-2~x) . . . (x-Ox- (k-1) ~x) x x (x- ( R,-1) ~x) (x- ( ~,-1) ~x-~x) . . . (x ( k1) ~x (k1) ~x) -- x(R) (x~x) (k) ... (x(k1)~x) (Q) -- (x(R,) ) (k) .

Verder zij per definitie: (jvm)

- (k) 1

x - (k) k E INO

x

(Men verwarre dit niet met

1

(xt~x) ... (xtk~x)

zie: ~-vergelijkingen en operatoren.)

jvmó0

-f. (xk) -(R) - 1

-(xk)(k)

1 1 k - (R) k

(x(k) )k - (x(R) ) - (x )

waarbij tweemaal de definitie en eigenschap d. gebruikt zijn. g- (x(k) ) - (R) - (x(R,) ) - (k) want (jvm) k,R E IN (x (k) ) - (!C) - 1 - 1 - (x (R,) ) - (k) . (x(k) ) (1C) (x (R) ) (k} h. (x-(k) ) (R) - (x(k) ) -(R) omdat k,k EIN (x- (k) ) (R) - ( 1 ) (R,) - ₁ - (x (k) ) - (Q) . x (k) (x (k) ) (k) i. (x- (k) ) - (R) - (x (k) ) (R) wegens (x-(k) ) - (R) - 1 - 1 _{- (x}(k) ) (k) (x- (k) } (JC) (x (k) ) - (k)

resp. m.b.v. de definitie, eigenschap h. en weer de definitie.

j- _{(x~x) ) kdx -} x~xR) x E IR, x~ kk~x k, k E]N. immers (x(k)) (Q) - x(k) (x-kOx) (k) ... (x-(R-1)k~x) (k) -_{~x kOx ~x} ~x ax (kR) - x~ x

m.b.v, de definitie en herhaalde toepassing van eigenschap a.

Hiervan gebruikmakend volgen nu enige voorbeelden, waarin parametervoorstellin-gen worden gevormd.

(2)

Met y- t is x - t(2) , dan is {y - t _{t E Vt ,~t}

0

een parametervoorstelling waarin t~ en ~t vrij gekozen kunnen worden. 2. 'Lij gegeven x3 - y (2) . Zeg dit - (t3) (2) - (t (2) ) 3.

Met eigenschap d. vindt men dus dat het le en 4e lid geven: x- t(2)

en het 2e en 3e lid: y- t3. ₂

Hiermee is dan gevonden de parametervoorstelling {x - t3 t E V _~t

met t0 en ~t vrij te kiezen. 3, x2y (3) - c, c E Il2} constant.

Schrijf y(3) - 2 en zeg - (t-2) (3) -(t(3))-2. x

Het le en 3e lid geven y- t-2, het 2e en 4e lid geven 2 - (3) 2, dus

x- f~.t(3), zodat als parametervoorstelling wordt x (t ) gevonden: (jvm)

x - f ~.t(3)

- t-2 t E VtO~~t met tg en ~t vrij te kiezen.

Y

4. ~cgcve.. zi j r:u X(3) y(4) - c met c E Il2 constant. Schrijf y ( 4) - ₍₃₎c , zeg - (t(4) ) - (3) - (t-(3) ) (4) .

x

Het le en 4e lid geven y- t-(3) en het 2e en 3e lid x(3) -(t(4))(3) '

x - 3~ t (4)

dus ~- t-(3)

t E Vt~,Ot , t0 en ~t vrij te kiezen. Y

immers als x- au (a constant), dan is bijv.

x(3) - (au) (3)

-- au (au--e (au) (au--2~ (au) ) -- a3u ( 3) .

jvmó2

-(xfp~x) ( m) - (t(n) ) (m)

(Ytq~Y) ( n) - (t (m) ) (n)

Dit is mogelijk want (t (m) ) (n) - (t (n) ) (m) . Is nu x f pOx - t(n)

Y f q~Y - t(m)

dan luidt een parametervoorstelling (jvm)

x - (t-p~t) (n) Y - (t-q~t) (m) (4) t E Vt ~~t _{t~ en ~t vrij te kiezen.} 0 (3)

geeft het bovenstaande Voor (y-2~y) - (xt5~x)

x - (t-5~t) (4)

t E V

y - (tt2~t) (3) t~,~t

Elimineren we nu een parameter.

(4) (2) (3) x - y y . 3. x - t (t-dt) y - t t(t-Ot)(t-2at) of t E Vt~,4t ~ x - t(2) ~ Y - f t(3) t E Vt6,~t Schrij f (3)

dan is x(3) -(t y)(2) ofwel x(3) -(~ 1)2yZ), zodat het resultaat luidt

(3) (2)

x - y .

Relatieve differenties

Op blz. 26 is gedefinieerd wat we verstaan onder de relatieve differentie. Stel de relatieve differenties van x en y E IIt en ~ 0 verhouden zich als 2 en 3. Wat zijn x en y?

x en y moeten worden opgelost uit: ~x : ~ - 2 : 3 x y of (jvm) 3~x - 2~ x y

Men kan deze differentievergelijking oplossen op verschillende wijzen.

(1)

Vemienigvuldig in (1) teller en noemer van het le en 2e lid, resp. met (xt2~x)(2) en yf~y, dan is

3 (xt2~x) (2)~ x 2 (yt~y) Dy

. (xf20x) (3) - (yf~y) (2)

ofwel als u - (x~2~x) (3) en v ~ (yfay) (2) .

~u ~v

jvmó4

-met de algemene oplossing v- cu, dus (Yt~Y) (2) - c (xt20x) (3)

met c EIR constant en ~ 0.

Met

3~

luidt de oplossing in parametervorm (j~)

y } Qy - t(3) 1 x f 2x - - t (z) x - 1 (t-2~t) (2) Il~ 3~ t E Vt ,Ot ` y - (t-~t) (3) 0 Inderdaad is en dus 3. ? (t-2~t) ~t 3~x 3~ 6~t x - _{1 (t-2~t) ( 2) - t-3~t} 3~ 2~ - 2. 3(t-~t) (2) Ot 6~t Y - t-Ot) (3) - t-3~t 3~x - 2~ x - y '

Oplossing I voldoet. Men kan ook als volgt te werk gaan. Stel

3~x - 2~ - ~t

x - y - t

Het le en 3e lid geven QX - X t- 0

u- 1 is een sommerende factor, zodat de oplossing van (5) luidt

(xt3~x)(3) t (3) - cl ~ t - cl (xf2~x) (3) . (xf2~x) (2) (3) (4) (S)

t - c2 (Y-F.~Y) (z) c

Met c- 1_c2 geeft dit hetzelfde resultaat als in (2).

Is daarentegen 36x - 2~ - ~u x y dan is 1 3 u 4x - lx- 0~ x- c e 1 _u Y ~

~u- 2y-~ y-c2E1

2 Du

waarmee we als oplossing hebben de parametervoorstelling (jvm)

II ` 1 Ill u y c e2 1 3 u r ~ I A- yl V3 ~u

Schrijft men voor (1) ~x-~-~v

2x - 3y

u E Vu IQu met u~ en ~u vrij te kiezen, 0

dan is de oplossing

2v

J

2pv

III ` 3v u E Vv Ov met v~ en ~v vrij te kiezen.

Ily-d2e ~.

3~v

jvmóó -2v e 2~ v 3v E 3~ v

Met u- óir blijken II en III equivalent te zijn en met t- e~u zijn I en II equivalent. (jvm)

VII. Lineaire differentievergelijkingen van de tweede en hogere orde

De lineaire differentievergelijking van de tweede orde 2

~x2(eQxy) - 12x(2)

is niet zo moeilijk op te lossen,

Tweemaal achtereenvolgens sommeren naar x geeft het gewenste resultaat

e~x y- x (4) t clx f c2

(7. 1)

(7.2)

waarin cl en c2 willekeurig te kiezen reële constanten zijn.

Omgekeerd geeft eliminatie van c1 en c2 uit (7.2) differentievergelijking (7.1) terug.

Getracht zal worden enige algemene methoden te geven om deze differentieverge-lijkingen op te lossen.

O.a. zullen de volgende onderwerpen ter sprake komen: (jvm)

1. Het begrip orde van differentievergelijkingen in de ~- en E-notatie. 2. Enige algemene stellingen over differentievergelijkingen van de tweede en

hogere orde.

3. Vergelijkingen waarbij ëén oplossing bekend is van de bijbehorende homogene vergelijking.

4. Vergelijkingen waarbij men twee oplossingen kent van de bijbehorende homo-gene vergelijking.

5. Oplossingen van differentievergelijkingen waarvoor ~k ~ 1 is.

6. Het oplossen van vergelijkingen m.b.v. ontbinding in factoren van de diffe-rentie-operator.

7. Variatie van constanten. 8. Sommerende factoren.

Nog enige opmerkingen:

- Dit alles geschiedt voor differentievergelijkingen van het Q- en E-type met niet-constante coëfficiënten.

- Zoals al in 6. enigszins gesuggereerd is, zal vrij vaak gebruik worden ge-maakt van operatoren.

- Vaak zal het gaan om differentievergelijkingen van de tweede orde. De gebruik-te methoden zijn echgebruik-ter bijna altijd gebruik-te generaliseren voor vergelijkingen van een orde hoger dan de tweede.

j vm6 8

-Def. 7.1.

Een lineaire differentievergelijking van de orde n en van het ~-type is van de gedaante

~ny } Pi~n-ly

f... f Pn-1~Y f PnY - Q n EIN (7.3)

waarin ~- ÓX met y- y(x); Pi, i- 1,2,...,n en Q zijn functies van x E]R.

Def. 7.2.

Een lineaire differentievergelijking van de orde n en van het E-type is van de gedaante (jvm)

Eny } p1En-ly

t... f Pn-lEY t PnY - Q n EIN (7.4)

of

yktn } Plyktn-1 t"'} Pn-lykfl } pnyk - Q k,n E IN

waarin E de shifting-operator is met differentie ~x, yk - y(xfk~x); Pi, i- 1,2,...,n en Q zijn functies van x E IIt.

De coéfficiënten van ~ny, resp. Eny, de leidende coëfficiénten, zijn gelijk aan 1. Door ev. te delen, kan hier steeds voor gezorgd worden.

Vaak zullen (7.3) en (7.4) genoteerd worden in de kortere en meer compacte schrijfwijze

F(~)y - Q en F(E)y - Q (7.3a) (7.4a)

met de operatoren

F(4) - ~n t Pipn-1 ~... f pn-1~ f Pn en

F(E) _{- En f plEn-1 ~... f Pn-lE f Pn .}

(7.3b)

(7.4b)

- De orde van een differentievergelijking,

In het reeds vaker genoemde discussiestuk: "~-vergelijkingen en operatoren" is de orde van een differentievergelijking van het E-type gedefinieerd als het verschil van de grootste en kleinste index der y., die in de differentieverge-_i lijking voorkomen.

diffe-rentiequotiénten Oly met ~~y - y. Om te beginnen, is het misschien beter deze laatste definitie op de volgende wijze te redigeren wegens een mogelijke dub-belzinnigheid die ik meen te bespeuren.

Def. 1.3.~

Onder de orde van een differentievergelijking van het ~-type verstaat men de hoogste orde der differentiequotiènten ~ly die in de vergelijking voorkomen. Van vergelijking

~2yk f 3~Yk ~ 2Yk - Q k E IN (7.5)

is volgens def. 1.3 de orde 2.

Geschreven als vergelijking van het E-type vindt men m.b.v. ~- E-1 (E-1) 2yk f 3(E-1)yk f 2Yk - Q

ofwe 1 2 E Yk f EYk - Q d.i. Ykt2 } Yktl - Q met de orde 1.

Men kan algemeen bewijzen: Stelling 7.1.

De orde van differentievergelijking (jvm) (~n } pl~n-1

f... ~ Pn-1~ t Pn)y - Q met ~- ~x

is dan en slechts dan ~ n als

n

E(-1) lPi (nx)1 - o, Po - 1.

i-o

Deze stelling zal eerst verderop bewezen worden nadat het oplossen van diffe-rentievergelijkingen m.b.v, ontbinding in factoren van de differentie-operator aan de orde is geweest.

In differentievergelijking (7.5) is inderdaad

1- P1 t P2 - 1- 3 t 2- 0

jvm70

-Het is wenselijk bij een differentievergelijking van het ~-type steeds de orde erbij te vermelden. Zo niet, dan kan ev. door herhaald _{stelling 7.1 toe te}

pas-sen, toch de orde bepaald worden.

- Enige algemene stellingen

Stel de differentievergelijkingen (7.3) en (7.4) hebben als oplossingen de functies (jvm)

y(1) - y(1) íx). Y(2) - Y(2) (x),... resp. de rijen Y1 {Y(1)k}. Y2 -{y(2)k}~... De rijen yl.y2..-. x E Il2 k EIN

kan men interpreteren als vectoren met oneindig veel componenten, dus als vec-toren van een oneindig-dimensionale vectorruimte ~2~.

Voor deze vectoren zijn op de gebruikelijke wijze de optelling en de scalaire ver-menigvuldiging gedefinieerd.

Als x- {~}, y- {yk} E~~ en a E Il2 dan is

x f y - {~fyk}

en

ax - {axk},

terwijl 0-{Ok}, de rij met oneindig veel nullen is. Def. 7.3.

De functies ( met n E II~1)

Y(1) ~y(2) ~..., y(n) x EIR

en de vectoren

~ y1.Y2...., yn EIR

(7.3c)

(7.4c)

alle nul zijn, zó dat

aly(1) f a2y(2) f... f

any(n) - 0 resp.

al~,l f a2y2 t... f any~ - 0 .

Functies en rijen die niet lineair afhankelijk zijn, heten lineair onafhanke-lijk. (jvm)

Als (7.3c) en (7.4c) de oplossingen zijn van de homogene vergelijkingen van de ne orde, horend bij (7.3a) en (7.4a)

F(~)y - 0 en F(E)y - 0 (7.3d) (7.4d)

dan geldt: Stelling 7.2.

Alle oplossingen van (7.3d) en (7.4d) zijn lineaire combinaties van de onafhan-kelijke oplossingen (7.3c) en (7.4c), nl.

y- cly (1) f c2y (2) f... f cny (n) en

yk - cly(1)k f c2y(2)k t"' f

cny(n)k

met c. EIR, i- 1,2,...,n

i

Zij vormen beide een vectorruimte met resp.

{y (i) ,y ( 2) , . . . ,Y (n) } en {y1,Y2,...,~} (7.3e) (7.4e) als basis.

In een n-dimensionale ruimte zijn nfl vectoren onherroepelijk afhankelijic, zo ook geldt:

Stelling 7.3.

Elk (nfl)tal oplossingen van (7.3d) en (7.4d) is lineair afhankelijk.

jvm72

-Stelling 7.4a.

Elke homogene lineaire differentievergelijking van de orde n en van het ~-type heeft voor elke x E II2, waarvoor y, Dy,...,~n-ly voorgeschreven waarden hebben, precies één oplossing.

Stelling 7.4b.

Elke homogene lineaire differentievergelijking van de orde n en van het E-type heeft voor elke m E IN met n voorgeschreven opeenvolgende beginwaarden

ymf 1' Ymf 2~.... Ymfn precies één oplossing. (jvm)

Def. 7. a.

Met de functies

Y(1) ~Y(2)'Y(3) ~...,y(n)

Zij gedefinieerd de determinant

C C(Y(1) ~Y(2) ~...,Y(n))

-met ~ - ~

~X

y (i) - y (i) (x) . x E IR, n E IN

Y(1) Y(2) Y(3) . . . Y(n)

~y(1) ~y(2) ~y(3) ~y(n)

~2y(1) 42y(2) 42Y(3)

n-1 n-1 . . . n-1

~ Y(1) ~ y(2) ~ Y(n)

en ook als x- k, k E a1 voor de rijen _{yl, y2,...,yn}

C-{Ck}metCk-Ck(yl,y2....,y ) ~

(n)

y(1)k Y(2)k ~" y(n)k Y(1)k-~-1 Y(2)kfl '" y(n)kfl

y(1)kfn-IY(2)kfn-1 "- y(n)kfn-J

We noemen deze determinanten de determinanten van Cassorati.

(7.5)

(7.6)

Stelling 7.5. De oplossing

y(1)'y(2)'"''y(n} van (7-3c)

en ook _{y(1)k'y(2)k'"'y(n)k} van (7,4c)

zijn dan en slechts dan onafhankelijk als

C~ 0 resp. C~ 0

Stelling 7.6.

Als y- y(x) resp. yk - y(k) oplossingen zijn van de volledige vergelijkingen

F(~)y - Q en F(E)y - Q (7.7)

en z- z(x) resp. zk - z(k) voldoen aan de homogene differentievergelijkingen

F(~) y- 0 en F(E) y- 0

dan zijn ook y f z resp. y~ ~- z~

oplossingen van de volledige vergelijkingen (7.7).

Hieruit volgt dat elke oplossing van (7.7) wordt gevonden door de oplossingen van de homogene vergelijkingen (7.8) te vermeerderen met een particuliere op-lossing van de volledige vergelijking (7.7).

De oplossingsverzamelingen van (7.7) vormen dus lineaire variëteiten met een particuliere oplossing van (7.7) als steunvector. (jvm)

A1 deze eigenschappen gelden zowel voor differentievergelijkingen van het ~-als E-type al dan niet met constante coéfficiënten. De bewijzen van deze stel-lingen voor beide typen lopen parallel.

Dit alles wordt bekend geacht voor vergelijkingen van het E-type. Voor het 4-type vervange men 0- E-1.

- Oplossen door ontbinden, variatie van constanten.

Bij differentievergelijkingen die lineair zijn, van de orde n en met constante coëfficiënten

jvm74

-kan, zoals bekend is, de operator F(E) ontbonden worden in lineaire factoren

F(E) - (E-À1) (E-a2) ... (E-an)

waarin a,, i- 1,2,...,n de nulpunten zijn van het karakteristieke polynoom i

F (a) .

Zo ook zullen we trachten bij lineaire differentievergelijkingen van de 2e orde

Ykt2 } Piykfl } P2yk - Q of

(E2 f P1E f P2)yk - Q k EIN (7.8)

de operator te ontbinden in factoren.

Hierbij is verondersteld dat P1, P2 en Q functies zijn van k en E de bekende shifting-operator met ~k - 1.

Indien de ontbinding lukt, kan (7.8) geschreven worden als

(EfA) (EfB)

Yk - Q

waarin A en B zekere functies van k zijn, immers P1 en P2 zijn functies van k. Als een lineaire differentievergelijking van de n-de orde kan geschreven worden in de gedaante

(EfAl) (E-fA2) ... _{(E~1-An)yk - Q}

waarin Ai, i- 1,2,...,n functies van k zijn en stelt men (jvm)

(EfA2) ... (E~-An)yk - zk

dan wordt (7.9)

(EfAl ) zk - Qr

(7.9)

(7.10)

d.i. een lineaire differentievergelijking van de le orde, waaruit met de beken-de methobeken-den steeds zk kan worbeken-den opgelost.

Substitueert men deze oplossing zk in (7.10), dan krijgt men een vergelijking van de orde n-1 die op analoge wijze weer kan worden opgelost, etc.

Men noemt dit oplossen door reductie van de orde.

We beperken ons tot lineaire differentievergelijkingen van de 2e orde van het E-type:

y(xf2~x) f Ply (xt~x) f P2y (x) - Q

of

(E~x f P1EQX f P2)y - Q

hierin zijn P1, P2 en Q functies van x.

(7.11)

(7.12)

Vooraf eerst enige veelgebruikte eigenschappen.

Stelling 7.7.

Als A- A(x) , B - B(x) _{en C- C(x) functies zijn van x E IR en E- EQx is de} shifting-operator met differentie ~x ~ 0, dan is (jvm)

a. ACE t BC - C(AEfB) (buiten de haken halen)

b. (AEtB) C- CX ( AE f B})

C_x ~ _{(::oor de haken halen)}

c. C (AE-1-B) - (AE f BC) C-C- x

x Immers, met y- y(x) is

(ACEtBC) y (x) - ACy (xt~x) f BCy (x) C (Ay (xf~x) f By (x)) -- C (AEfB) y (x) ,

waaruit dan a volgt. Verder is

(AEfB) Cy (x) ACXy (xt~x) f BCy (x)

-- CX (Ay (xf4x) t B} y (x) ) -C x - Cx (AE f B}) y (X) . C X

jvm7ó

-C(AEfB) y(x) - ACy (xf~x) ~- BCy (x) -- AE (Cxy (x) ) f BCy (x)

-- (AE f BC) CXY (X) .

C

X

In het vervolg zal stelling 7.7 vaak worden gebruikt zonder er apart naar te verwijzen.

Stelling 7.8.

De operator E2 f P1E f P2

van differentievergelijking (jvm)

Y(xf2ax) f P ly (xfOx) t P2Y (x) - Q,

waarin P1, P2 en Q functies van x zijn en E- EQx de shifting-operator met dífferentie Ax ~ 0, heeft dan en slechts dan de ontbinding

(EfA) (EfB)

als er functies A- A(x) en B- B(x) bestaan zó, dat

A t BX - P1 én AB - P2.

Bewijs:

Stel E2 f P1E f P~ heeft de ontbinding (EfA) (EfB) , dan is

E2 f P1E -F P2 -{EfA) E-1- (EfA)

B-2 f

- E f AE f B E f AB

-x

- E2 t(AfB}) E f AB.

x

Het eerste en laatste lid geven

A f BX - P1 én AB - P2.

Omgekeerd, als in

2

E ~- P 1 E -~ P 2

E2 t P1E t P2 E2 t( AfBX)E f AB -- (EZtAE) t (BtE t AB)

-x

- (EtA) E t (EtA) B -- (E-FA) (EtB) ,

waarmee de stelling volledig bewezen is. (jvm)

Wil men dus E2 t P1E t P2 ontbinden in factoren, dan moet P2 gesplitst worden in twee factoren zó, dat de eerste factor vermeerderd met de "verschoven" (of ev. "verhoogde") tweede factor P1 oplevert.

Bij het neerschrijven dient men de volgorde der factoren in acht te nemen, want operatoren met niet-constante termen zijn niet commutatief, bijv.

(Et2k) (Etk) ~ (Etk) (Et2k) .

Gemakkelijk zijn nu, gebruikmakend van de stellingen 7.7 en 7.8, de volgende

.,, , o„ ~o ,.,,,,t,-„~ o,-o„ rmo,-

A.,

gc.~.~~,.... ~~ ...,....~.,~..~.... , .... - - , , --- - - ~--- -- ,-- ---. .

a. EZ t 2PE t P(2) -(EtP)(EtPx)

Beschouwt men E als een constante, dan kan men ook schrijven:

E2 t 2PE t P(2) -(EtP) (2)

b. E2 - P(2) -(EtP)(E-P-) (t en - evt. verwisseld)

x

c. E2 t(atb) PE t abP (2) -(EtaP) (EtbPx)

d. aE2 t bPE t cP(2) - a(E-xiP)(E-x2Px)

met a,b EIR en hun volgorde willekeurig

met a,b,c E IR en waarin xl en x2 de wortels zijn van

ax2 t bx t c - 0 (a ~ 0) (xl en x2 E C wordt verderop afzonderlijk beschouwd.)

e. E3 t 3PE2 t 3P (2) E t p(3) -(EtP) (3)

f. E3 - P (3) - (E-P) (E2 t P-E t (P-) (2) ) of

x x

` (E~tPEtp(2)) (E-Px(2))

jvm78

-Dit al correspondeert wonderwel met de bekende ontbindingen in factoren waar-bij men gebruik maakt van factoriéle machten.

Vaak zal het bovenstaande gebruikt worden als de differentievergelijkingen gede-fínieerd zijn over IN, dus van de vorm (jvm)

ykf2 } Plykfl } P2yk - Q

of evt.

(E2 f P1E f P2)yk - Q k EIN.

We geven nog enige voorbeelden die soms iets meer moeite geven.

1. Ontbind k(2) E2 t(k3-1) E f k3 k E IN . Deel links door k (2) .

2 2

Stel E2 f k}k}1 E f kkl heeft de ontbinding (EfA)(EfB), dan moeten A en B

2 2

voldoen aan A f Bk - k fktl é n p,g - kkl .

Schrijf AB-kxkkl. MetA-kenB-kk1 is

A f B} - k f kfl - k2-i-kfl

k k k , zodat

k(2)E2 f(k3-1)E f k3 - k(2) (Efk) (E f kkl) . 2. kE2 - 2E f kl l- k(E2 - k E f ~2)) - k(E - k) (2)

k

3. E2 t (2kf1)E f (k2-1) - (Etkfl) (Efk-1)

4. E2 -2 (k-5)E f (k-5) (2) - (E-kt5) (2) 5. E2 f (3k-1)E f (2k2-3kt1) - (Et2k-1)(Efk-1) 6. E2 - _{(k-3) (k-4)}k(k-1) -(E t _k-3k)(E - k-1)_k-4 2 k (2) _{(3) k (3) k-1 (3)} 7. E - ( _{(2) ) - (E-(k-1) )} (Ef(k-2) ) ~ (k-1)

Lossen we nu nog enige differentievergelijkingen volledig op.

Voorbeeld 7.1.

Los op de differentievergelijking

Schrijf (E2 - 3kE f 2k (2) )yk - 0 ,

dan is (E-2k) (E- (k-1) ) yk - 0.

Deze vergelijking is equivalent met het stelsel ((E-(k-1))Yk - zk

~ (E-2k) zk - 0

Los eerst (7.14) op. Met sommerende factor u- k is 2 k: zk - c.2k-1(k-1): c E Il2 constant. (7.13) wordt dan (E- (k-1) )yk - c.2k-1 (k-1) : De homogene vergelijking (E- (k-1) yk - 0 heeft de oplossing (jvm) yk - d(k-2): (7.13) (7.14) (7.15) (7. 16)

We passen nu toe wat variatie van constanten wordt genoemd. (Verderop gaan we hier dieper op in.)

Verondcrstel dat d in (7.16) een functie van k is. Substitueer yk - dk(k-2): in (7.15), dan is

(k-1) : ~dk - c. 2k-1 (k-1) : ~dk - c.2k-1

dus

dk - c.2k-lf d d constant

zodat met (7.16) de oplossing van de gegeven differentievergelijking luidt

jvm80

-Voorbeeld 7.2.

Los op: ykt2-(2k-1)Ykfl}(k2-2k)yk -(kf2): k E IN of

(E2- (2k-1) E f k (k-2) ) Yk - (kf2) :

Met A--k en B--k t 2 is

(E-k) (E- (k-2) )yk - (kf2) :

Stel (E-(k-2))yk - zk, dan is (jvm)

(E-k) zk - (kt2) :

Homogene vergelijking (E-k)zk - 0 heeft de oplossing zk - c(k-1): Met c - ck wordt (7.19)

k: ~ck - (kf2) :

~ck - (kf2) (2) ck - 3 (k~2) (3) ~ c

dus de oplossing van (7.19) is

zk - (k-1) : (3 (kt2) (3) fc) .

Nog op te lossen blijft (zie (7.18))

(E- (k-2) ),Yk - 3 (kf2) : t c (k-1) : (E-(k-2))yk - 0 heeft als algemene oplossing

yk - d (k-3) ;

Met d- dk wordt dan (7,20)

en als 2 c; c, dan is de algemene oplossing van (7.17)

yk -(k-3) :(18 (kt3) í6) t c(k-1) (2) t d) of

yk - 18(kt3): t c(k-1): t d(k-3): c en d constant.

In dit voorbeeld is tot tweemaal toe variatie van constanten toegepast.

Beschouwen we nu nader voorbeeld d van blz. 77 als P- P(k) k E1N, Zij dus gegeven differentievergelijking

aykt2 t bP t cP(2)yk - 0 yktl

k E IN met a~ g,b~c E~ (7.22)

en b2 - 4ac ~ 0,

of (aE2 t bPE t cP (2))yk - 0 (7.23)

Blijkbaar is yk deelbaar door (P(k-2)):~)

Stel yk -(P(k-2)):zk voldoet aan (7.22) ev. aan (7.23), dus

(P (k) ): _{(azkt2 t bzktl t czk) - 0.}

Nog op te lossen is (jvm)

azkt2 t bzktl t czk - 0,

d.i. een lineaire vergelijking van de tweede orde met constante coéfficiénten. Stel al en a2 zijn de hier complexe wortels van de karakteristieke vergelijking

aa2 t ba t c- 0, dus voldoet

(P (k-2) ) ; ak-2 i - 1 ,2

i

aan (7.22). De algemene oplossing van (7.22) luidt daarmee

yk - (P(k-2)): (clai-2 t c2a2-2) (7.24)

jvm82

-voor willekeurige cl en c2 E C.

al - a2. Zij x- lall - la2l en t cp hun argument.

Kiest men de constanten zó, dat cl - c2 dan kan men (7.24) herschrijven als

Yk - (P (k-2) ) !rk-2 ( acos (k-2) cp t Ssin (k-2) cq)

voor k E IN en ~ 2 en voor elke keuze van de constanten a, ~ E~2. Voorbeeld 7.3.

Gegeven zij de differentievergelijking

Ykf2 - 2kylcfl t 2k (2) yk - 0 k E IN of

(E2-2kE f 2k(2))Yk - 0

Dit is vergelijking (7.22) met

P-k, a- 1, b--2 en c- 2.

(7.25)

De wortels van x2 - 2x f 2- 0 zijn x- 1 t i, met r - ~ en argument cp - t 4.

De algemene oplossing is dus k-2

2 k-2) ~r (k-2) ~r

yk -(k-2) ! 2 (acos 4 f bsin 4 ) k E IN en ~ 2; a,b E IR.

Bij het voorgaande was steeds op een enkele uitzondering na P2 deelbaar door P (2)

1

Bij de meeste vergelijkingen zal dit vaak niet zo zijn. Ontbinden geeft dan indien mogelijk meer moeite.

Voorbeeld 7.4.

Zij gegeven

ykf2 -(k}3) Ykfl } 2kyk - 0 k E IN Met A- 2 en B- k is de ontbinding

(E-2) (E-k)yk - 0

De algemene oplossing luidt (jvm)

k-1 2i yk -(k-1) !(c E i! f d)

í-1 Voorbeeld 7.5.

k E IN en ~ 2 met c en d EIR constant

Deel links door kfl, dan is 2 k2fkfl k-1 (E - k~l E } kfl)yk - 0 Bepaal A en B zó, dat

l

Met A-- k}1 en B--(k-1) is A f _{Bk --(kfl }} k) -- k k}il , dus voor de diffe-rentievergelijking kan geschreven worden

(kf 1) (E - kf1) (E- (k-i ) Yk - 0 of ev.

((kfl)E-i) (E-(k-1))yk - 0

iLet all~C1LC11C V~11U551111) ,~ V1L~

k-1

yk - (k-2) : (c E _{i: (i-1) ; }} d) i-1

k EIN en ~ 2 met c, d E Il2 constant.

Dit alles geschiedde in de veronderstelling dat 4k - 1. Echter blijkt dit lang niet altijd het geval te zijn.

We demonstreren dit aan de hand van enige voorbeelden.

Om te ontbinden is een werkwijze gebruikt die mogelijkerwijze een methode kan zijn voor vele ontbindingen.

Voorbeeld 7.6.

Zij gegeven _{Ykt2 - 2ykfi -} k(k-2)yk - 0, schrijven we (E2 - 2E - k (k-2) ) yk - 0 en bepalen we a, b en ~k ~ 0 zó, dat

E2 - 2E - k (k-2) - (EQk t (kfa) ) (E~k- (kfb) ) ,

dan moet voldaan zijn aan

jvm84

-(a) en (R) geven a - -42~k en b - -2k . Met (Y) geeft dit

(4-Ok)~k - 0

dus ~k - 4 of ~k - 0(dit laatste voldoet niet).

Voor Ok - 4 is a- 0 en b--2, zodat de ontbinding is

(E4fk) (E4- (k-2) ) yk - 0 Voorbeeld 7.7. Gegeven vergelijking (jvm) 2k (kt2)_{Ykt2 - 3kykfl } yk - 0} Schrijf (k(kf2)E2-2kt2)yk - 0 . Stel

k(kf2) E2 - 2 kE f 2 -((kfa) E-b) ((k~p) E-q)

en bepalen we a, b, p, q en ~k ~ 0 zó, dat a t p f ~k - 2 ( a) ' (kfa) (kt~kfp) - k (kf2) a (pf~k) - 0 ( R) (kta) q f b(ktp) - 2 k of ' bfq - 2 _{( Y)} b - 1 aqfbp-0 (d) q 2 bq - 2 ( e )

Uit (Y) en (E) volgt b - 1, q- 2 of b- 2, q- 1

1 b - 1, g - 2

( s) wordt 2 a t p- 0~ p-- 2 a dan geeft (a)

Samenvattend is dus b q 1 ~ a p ~k 0 0 2 2 -1 1 0 0 2 2 -4 4

(7.27) geeft dan de ontbindingen

(kE2-1) (kE2 - 2)yk - 0

( (kf2)E1-1) ( (k-1)E1 - 2)Yk - 0 (kE2- 2) (kE2-1)yk - 0

((k~2)E4 - 2)((k-4)E4-1)yk - 0

Nu riist de vraaQ hoe men verQeliikinq (7.26) en die van (7.28) oplost. Als we kunnen oplossen (jvm)

(7.28)

(ER-ak) yk - 0 Q- ~k : k, k, E IN

dan kunnen we door reductie van de orde ook bovenstaande vergelijkingen oplossen. Dus zij gevraagd:

Los op: yk}~ - akyk - 0 met ~k - R, ak - a(k), k, Q E IN (7.29)

YkfR ~c

Schrijf - i .

yk

Zet hierin teller en noemer voort (met Ok -~. ~ 1)

(afl)

ykfR, - ak akak-Ralc-2R, " ' - ' " ~ ~ (ak) R _{voor zekere}

expo-1 - ... - (a)

yk a1c-k~c-2k _{(~-Q) ~, nent a E INg}

Bepalen we a.

Stel k- R,-voud fm met 0 ~ m ~ Q.

jvm8ó

-Dit is echter niet juist (zie onderstaand voorbeeld), immers voor elk van de

waarden

k - R.ptl, Qpt2,...,R.(pfl)

verwachten we dezelfde exponent a.

Echter is a- [~ ]- p als Rp ~ k ~ R(pfl) - pfl als k - ~, (pfl) Daarentegen voor de rij

k-1 - Qp, 2,pf1,...,R.(Pfl)-1

P EINO

geldt a- [kR i] - p als Qp ~.k-1 ~ R, (pfl )-1

dus a-[kRl] _{heeft voor elke k uit (7.30) dezelfde waarde} Daarmee is (jvm) ykfQ ( [~ (kfQ-1)] ) (ak) R yk ( [Q ( k-1) ] ) (alc-~,) k voor alle k E IN en (7.30)

mogelijk kan dit _{zijn voor alle k E IN en ~ k, als ak gedefinieerd is voor k- 0.} Blijkbaar is yk deelbaar door (ak-Q) R) met a-[ Q(k-1)] .

Stellen we dus

yk - zk . (_{ak- ~, )R}

([~(k-1)] )

waarin zk een nader te bepalen functie van k is. Hiermee wordt (7.29)

( [~ (kfk-1)] ) ( [R (k-1)] ) zkfQ (ak) Q - ak.zk_{(alc-R,) Q}

of omdat [ ~ (k-1) ] t 1 - [ R (kf~,-1) ]

( [~ (kfR-1)] )

(ak) Q (zkf~,-zk) - 0 .

P.

- 0

We hebben nog te voldoen aan

zkf~, - zk - 0 .

D~zk - 0 met de oplossing zk-c en daarmee is yk - c (ak-Q) ~, c E IR constant ( ~R (k-1) ~ )

Bij wijze van voorbeeld zij

k,Q E IN en k~ Q (7.31) Ok - Q- 5 met k E IN en 10 ~ k ~ 16. k 10 11 12 13 14 15 16 ykfQ yk a10a5 a5 ak -allaóal a6a1 a12a7a2 a7a2 a13a8a3 a8a3 a14a9a4 a9a4 a15a10a5 a10a5 alóallaóal allaóal k ~ ~~ -2 2 2 2 3 1 2 2 2 2 2 3

~! en ~e~e moeten resp. 1 en "l zijn.

We trachten (7.31) iets eenvoudiger te schrijven.(jvm) Def. 7.5.

jvm88

-kQk! - k(k-Ok)~k! k ~ ~k

k4k !- k 0 ~ k ~ ~k

OQk ! - 1 k - 0 .

10f2-1 Dus 102! - 10.8.6.4.2 met aantal factoren [ 2]- 5

163! - 16.13.10.7.4.1 [16}3-1] - 6

26f4-1

264! - 26.22.18.14.10.6.2 [ 4 ] - 7.

(7.32)

k~k! is een gedurig product dat niet noodzakelijk met de factor 1 eindigt. Het aantal factoren in k~k: is [k}4k-1]'

Def . 7.6.

Voor elke keuze van Ok - k E IN is voor alle k E IIV ([1(kf~,-1)] )

(ak) Q: - (ak) ~ Q .

Blijkbaar is dan: (jvm)

( ak ) !C ' - ~`]c ( als- R ) R ' k ? R

- ak 0 ~ k ~ k

- 1 k- 0 als a0 gedefinieerd is,

immers voor k- 0 is m.b.v. def. 7.6:

(ak) ~! - (a0) QO) - 1 .

Voor ak - k en Q- ~k vindt men (7.32) terug. Voor ak - k en !C - 1 is

k (k) - k! - k (k-1) ! k EIN

0! - 1

(Als k- 1 voldoet aan 0 ~ k ~ 1 geen enkele k E IN.) Dus (7.31) kan geschreven worden als

~

yk - c _{(ak-R, Q'} kEINen~k .

(E3-k)Yk - 0

de algemene oplossing yk - c(k-3)3: voor alle k E IN en ~ 3. Het resultaat van blz. 86~87 geldt ook voor ~k E Q en ~ 0.

Zij om te beginnen Qk - m, m en n E PI. Gevraagd de oplossing van vergelijking

(Em - ak) yk - 0 k E IN en ~ n

of van

n

yk } m - akyk - 0 n

Voor n- 1 is ~k - m E IN zodat dan blz. 86~87 geldt. Is nu 4k - n, m en n E II~1, n~m ( n geen deler van m) . Zij voor zekere k E II~I:

k- n' p}r p E INO' g~ r~ n dan is zodat ofwel Zij dus en nk - mp f rn rn - 0,1,2,... of m-1 1 2 m-1 r-0,n,n,..., n . k-m.pf1, m.pt?,...,m(pfl) n n n n n k- 1- m. Pr m- Pf 1 r... , m(pfl)-1_{n n n n n} dan is (jvm) a -m n

- p voor alle k uit (7.34).

p EINO

Voor n- 1 geeft dit hetzelfde resultaat als op blz. 86~87. Zij nu ~k ~ 0 dus ~k --n , m en n E IN.

(7.33)

(7.34)

jvm90 -of Schrijf ev. (E m - ak) Yk - 0 n y m - akyk - 0 . k--_n 1 - 0 Yk - ~ Yk - m n 1 - 0 y m-a 'yk kfn kfm_n k,m,n E 7IV

Dit is vergelijking (7.33) waarin ak vervangen is door á 1

De oplossing van (7.35) is met m,n E IN

voor R- n: yk - c( a m) m: k E IN en ~ n k---n k---n en van (7.35) voor R--n : yk -(ak~m; k E ~I en ~ m._n n Samengevat is dus (jvm) Stelling 7.9.

De oplossing van differentievergelijking

(ER-ak)yk - 0 luidt en ~ yk - c(ak-R R-yk c

(ak) I Q I ~

Voor Q E Q en ~ 0 dus IRI - n, m,n E IN is het aantal factoren van

(ak)I~I~

gelijk aan

Voorbeeld 7.8.

(E2-k)yk - 0 k EIIJ

3

heef t de algemene oplossing

yk - c(k - 3) 2: met k E IN en ~ 3. 3 Controle (E2-k)yk - y 2-kyk - ck2: - k.c(k-3)2: - 0. 3 k}3 3 3 4f3-3

Het aantal factoren van 42: is [ 2 J- 6.

3 3

Inderdaad is 4;- 12 10 8 6`1 2 met zes factoren.

2 3~ 3' 3" 3' 3' 3

3

Voorbeeld 7.9.

De algemene oplossing van

is (E 1- k) yk - 0 k E IN 2 c yk - kl. . 2 Inderdaad is (jvm) (E 1- k) yk - y 1- kyk - 1 - k. kc - 0 -2 k-2 (k-2)1: 1' Voorbeeld 7.10. Differentievergelijking (2k (kf2) E2 - 3kE f 1)yk - 0 2 2

heeft vier ontbindingen (zie voorbeeld 7.7). Lossen we van deze de eerste op, nl.

(kE2-1) (kE2 - 2)yk - 0 Met (kE2_{- 2) yk -} zk is

(kE2-1)zk - 0

jvm92

-(E2 - k) zk - 0

met oplossing zk

-Er blijft nu nog op te lossen

1 c

(kE2 - 2)Yk - (k-2) 2:

De oplossing van de homogene vergelijking (kE2 - 2) Yk - 0

is

Yk - k-2

2 2 (k-2) 2:

Zij d- dk, dan geeft substitutie van (jvm)

k yk - k-2 2 2 (k-2) 2: in (7.36) c (k-2) 2: ' 1 a k ' ~2 k 22 (k-2) 2: 02 k c (k-2) 2' k Daarmee wordt (7.37) k c.2~ k c.22 f d d constant k yk - k-2 1 (c.22 f d) voor alle k E IN en ~ 2

2 2 (k-2) 2: met c,d EIR constant

N.B.: Men dient zorgvuldig onderscheid te maken tussen de vergelijkingen

Ykf2 } akyk - ~ Daarom schrijven we liever

met ~k - 1 of Ok - 2.

(7.36)

(7. 37)

en

(E2 } ak)yk - 0 (7.39)

een 2e orde en een le orde vergelijking met resp. de oplossingen

en

yk -(ak-2) 2: (cl cos 2 k~r f c2 sin 2 k~r) k E IN en ~ 2

~2~ yk - c (-1)

(àk-2) 2 ~ k EIN en ? 2 ,

Hierin zíjn c, cl en c2 E II2 constant en a0 gedefinieerd. Van nu af zullen we gebruik maken van de volgende afspraak.

Def. 7.7.

Een p-adische differentievergelijking is een vergelijking gedefinieerd op Q} met Ok - p, p E Q`{0} .

I.h.b. als Ok - 1, 2 of 3 spreken we van een monadische (gewone), diadische of triadische vergelijking, dus (EZ- P1E2-f-P2)yk - Q is diadisch.

Dei. 7.ó.

Een zuiver p-adische differentievergelijking van de n-de orde is een vergelijking van de gedaante (EP - ak) yk - 0 p E Q`{ 0}, k E Q , k~ 0, p~ 0, n E N.

(7.38) is monadisch van de 2e orde. (7.39) is diadisch van de 1e orde.

Stelling 7.10.

Een zuiver p-adische differentievergelijking van de n-de orde is altijd volledig oplosbaar voor elke p E Q`{0},

Gegeven zij voor n- 1 vergelijking (jvm)

(Ep - ak) yk - 0 P,k E Q , p~ 1.t

De oplossing yk is deelbaar door (ak- ):

P P Stel

~ yk - ak-p)p. zk

dan moet nog voldaan worden aan

(ak)p: zk}p - ak.(ak-p)p: zk - 0 dus aan zk} - zk - 0.

jvm94

-Dit is een gewone differentievergelijking van de orde 1. Zij haar oplossing

zk - c c E IR constant

dan is

yk - c (ak-p) p: voor alle k E IIV en ~ p.

Gegeven is (EQ - ak)yk - 0 met Q- ~k E Q}. De oplossing loopt als volgt:

~

yktnQ ak)nk'

~

yk - k - (alc-nQ) nR, ~

dus is deelbaar door ( ): _{Stel dus y- z(a ):}

yk ~c-nR, nQ k k k-nR nk

Substitueer dit in de gegeven R,-adische vergelijking van de orde n:

(ak) nk' (E~ - 1) zk - 0 . 2~ri ~

zk(m) - cm e nR

met cm E C constant, m- 1,2,3,...,n voldoet, want

n

(ER-1) zk - _{zkfnR. zk}

-- c ( e2nQ_m m (kfnQ) - e2nIC ~) - 0 . De algemene oplossing luidt:

n yk - m~ 1 zk (m) dus n ~ yk - alc-nR nR' m~ 1 2~ri c enk.mk m met c_m E C k E IN en ~ nJL

die voor zekere keuzen van c reëel is. m

Voor het voorbeeld (jvm)

(E1 - ak)yk - 0 5

k E IN, _{ap - a(P) P E Q}

Stel yk - zk(a 3)3! en substitueer dit in de gegeven vergelijking: k-5 5 (ak) 3: (Ei - 1) zk - 0 5 5 2~ri mk

met oplossingen zk - R,3,5 met m- 0, t 1, dan is de algemene oplossing

yk -(a 3) 3! (cl t c2 cos lo k~r f c3 sin 10 kn) k E IN k-5 5

met ci, i- 1,2,3 reéle constanten.

Voorbeeld 7.11.

Gegeven is de diadische differentievergelijking van de 2e orde.

(E2 - k (kf2) ) yk - 0 k EIN .

Blijkbaar is yk deelbaar door (k-2)2: als k~ 2. Substitueer

yk - (k-2) ~! zk (7.40)

dan is

(kf2)2'

(zkt4-zk) - 0 met ~k - 2. zk moet dus voldoen aan

(E2 - i) zk - 0

met de algemene oplossing ~ 2~

zk - cl f c2 (-1) ,

zodat de algemene oplossing van de gegeven vergelijking is (jvm)

~ 2)

yk -(k-2) 2! (cltc2 (-1) ) k E IN en ~ 2.

- Ontbinding van de operator van lineaire differentievergelijkingen van het ~-type.

Het ontbinden van bedoelde vergelijkingen gaat vaak zeer moeizaam. Practischer is met ~- E-1 vergelijkingen van het E-type te vormen. Voorbeeld 7.12.

jvm9ó

-~2yk - (k(2)~1)yk - 0,

Met ~- E-1 is dit

(E2-2E-k(2 ) ) Yk - 0 . Zij de ontbinding van de operator

(EQk f (kfa)

(E~k - (ktb) ) dan moeten a, b en ~k ~ 0 voldoen aan

(kfa) - (ktOktb) - -2 (kfa) (kfb) - k (2) a-b - -2 t ~k (a) of afb - -1 (b) ab - 0 (c) (a) en (b) geven a- -32~k en b- 12~k . Gesubsidieerd in (c) moet dan

(-3 t 4k) (1 - ~k) - 0

d.i. 4k - 3 of ak - 1

met a-0 a--1

b--1 b-0 Samengevat is dus ~k a b 1 3 -1 0 0 -1

De mogelijke ontbindingen zijn dan (jvm) (Elf(k-1)) (E1-k)Yk - 0

(E3tk) (E3- (k-1) )Yk - 0 of als vergelijkingen van het ~-type

We zullen hier niet verder op ingaan. Terugbrengen tot vergelijkingen van het E-type is de eenvoudigste weg.

Ons rest nog te bewijzen Stelling 7.1: De orde van differentievergelijking

(4n } P10n-1

}... t _Pn-10 f Pn) y- Q met ~- _~x (7.41)

waarin P., i- 1,2,3,...,n en Q functies van x zijn en n E IN, is dan en slechts i dan ~ n als n E(-1)1Pi (~x) 1- 0 , P~ - 1. i-0 Bewijs: Differentievergelijking (~n f pl~n-1 ~. ... f _Pn-1~ f Pn) y- Q met ~- _~x

is van een orde ~ n als men in staat is te schrijven

(Qx)n } P1 (4~x)n-1 _{t... t}

Pn-1 ' ~x } Pn

-- ~lx ((Qx)n--1 } Q1(4~x)n--2 ~

... f Qn-1) (Otl)

met 4- E-1 voor zekere Q., i- 1;2,...,n-i. i

Immers dan is (jvm)

~x ((~X)

n-1 } Q1 (Q2) n-2

~... f _{Qn-1) y(x}f ~x) - Q en dit is een differentievergelijking hoogstens van de orde n-1.

jvm98

-hQl - hPl - 1

h2Q2 - h2P2 - hPl f 1

h3Q3 - h3P3 - h2P2 t hPl -1

hn-1Qn-1 - hn-lpn-1 } ... f (-1)n-2hP1 f (-1)n-1 zodat met hnPn - hn-iQn-1 geldt

n

E(-1)1Pihl - 0 met P~ - 1 en h- ~x .

i-0

Omgekeerd, als (7.43) geldt, is

1 n n-1 2 n-2 n-1 n-2 n-1 - n{p t(hQltl)p t(h Q2thQ1)p t...t (h _{Qn-lth Qn-2)pth} Qn-1}-(px) - 1n {(pnt pn-1) t hQ1 (pn-1 t pn-2) t... t hn-2Qn-2 (p2tp) t hn-lQn-i (ptl) }-(px) - plx {(Qx) n-1 t Q1 (~x) n-2 t... t Qn-2 ' px t Qn-1 }(p t 1) i

waarin h1Qi - h1Pi - hi-1Pi-1 t.. . t(-1)i- ~ (-1) i-jPjh~ , PD - 1. j-0

Voorbeeld

Van vergelijking (jvm)

a2p2yk t a(ktl)pyk t kyk - 2k k E IN a E1R en ~ 0 constant

is

ktl k

P1 - á en P2 - 2

a en met pk - 1(want k E IN) is

1- ~ nU t n rntii 2- ~- ktl f k - n al G a- 1 ~ 1...~ 2 . . , a 2 a dus voor a- 1: orde is 1 voor a~ 1: orde is 2.

Bijvoorbeeld voor a - 2 : 4ykt2 t 2(k-3) yktl -(k-2) yk - 2k

terwijl _{voor a - 1: ykt2 t(ktl)Yktl -} 2k'

- Vergelijkingen van het p-type waarbij één oplossing bekend is

Zij gegeven de differentievergelijking

p2y t P1py t P2Y - Q

met bijbehorende homogene vergelijking p2y t P1py t P2y - 0

waarin p- QX en P1,P2,Q,y zijn functies van x E II2. Kent men nl. van (7.45) de oplossing v- v(x)~,dus met

p2v t P1pv t P2v - 0 ~

(7.44)

(7.45)

(7.46)

- jvm100-f

Dy - ~v.z f v ~z x

42y - 02v.z f 2~vX . ~z f _{vX(2) ~2z}

Substitueer dit in ( 7.44), dan is

Irie t V x( 2)

-(~7x ) x

(~2v.z t 24vX ~z t vX (2) ~2z) t P1 (Ov. z f vX ~z) f P2vz - Q

of

(42v t P14v t P2v) z t(2~vX f P1vX) ~z f vX (2) ~2z - Q Nu geldt (7.46) dus met

~z - p en 42z - ~p wordt (7.47)

(2~vX-F P1vX)p t

vX(2)4P - Q

Dit is een lineaire differentievergelijking die steeds oplosbaar is.

p - bz - 5 (x-2~x)1 (2) f c (xf~x)(3)

zodat _{z- 15 (x-20x)} (3) - (2) f d

2X

dus y- x(15 (x-2~x) (3) - ~2) f d) c en d E]R constant 2x

- Vergelijkingen van het ~-type waarbij twee oplossingen bekend zijn. Variatie van constanten.

Kent men twee oplossingen van (7.44), zeg u- u(x) en v- v(x), dus is (jvm)

~2u t Pl~u f P2u - 0 ~2v f P14v t P2v - 0

(7.49)

dan is,indien u en v onafhankelijk oplossingen zijn,de algemene oplossing van

(7.45)

- Ti 1 R~i

y - " (7.50)

met A en B constant.

We passen nu variatie van constanten toe.

Veronderstel daartoe dat A en B beide functies van x zijn, A- A(x) en B- B(x), dan is Dy - A ~u -1- B Ov f uX DA f vX OB . Zijn A en B zd, dat dus en u} ~A t v} ~B - 0 x x 4y - A 4u f B ~v

p2y - A ~2u f B ~2v f ~u} . ~A t ~v} . ~B_{x x}

Substitueer nu (7.50), (7.52) en (7.53) in (7.44), dan is

(A ~2u f B ~2v t ~uX DA t ~vX OB) f P1 (A 4u t B 4v) f P2 (Au f Bv) - Q Met (7.49) wordt dit

jvm102

-A en B moeten dus voldoen aan (7.51) en (7.54):

Dit geeft ~uX DA f OvX ~B - Q DA ~B Q f - f - f v -u (Du. v - u 4v) x x x (7.55)

Hieruit kunnen A en B worden opgelost, van x bekend.

Voorbeeld 7.14.

Gegeven differentievergelijking (j~)

want 4A en 4B zijn expliciet als functies

(xfOx)(2)42y - 2x~y f 2y -(xt2~x) Ex waarin ~- ~

~x ' ~x

met homogene vergelijking

(xfOx) (2) ~2y - 2x0y f 2y - 0

Blijkbaar zijn u- x en v- x(2)hiervan twee oplossingen, zoals gemakkelijk is te

controleren.

Stel y- Ax f Bx (2) .

Met A- A(x) en B- B(x) wordt dan (7.55):

of dus ~A 4B (xf20x) E~x (xf4x) (2) - -(xf~x) - (l.x(2) - x.2x)} x x ~A ~B e0x X--1 - -1

~A --x e~x ~ A - -x e~x t e~X~x f a

~B - eÓx ~ B- e~x t b ,

De oplossing luidt dus

y- x(-x E~x t eÓX~x f b) f x(2) _{(E~x } b)}

y- ax f bx (2j f x eÓx a,b E II2 constant .

- Vergelijkingen van het E-type waarbij één of twee oplossingen bekend zijn,

Heeft men van het E-type de vergelijking

ykt2 } Plykfl t P2Yk - Q

met yk - y(k); P1, P2 en Q functies van k E IN. De bijbehorende homogene vergelijking is

ykf2 t Plyktl } P2yk - 0

Herschrijf (~2 f (Plf2)0 f _{(1-P1}P2) )yk - Q}

(7.56)

(7.57)

(7.58)

Zij yk - vk een bekende oplossing van (7.57), dus ook van (7.58) met Q- 0. Substitueer yk - vkzk in (7.58), dan is na enige herleiding

~- i-i-- ~ n.. ~. n2 n ~vkf2 t rlvkfl T r2~k~ `k T ~`Vkf2 T `1 ~kfl~"`k , ~kf2 " `k - x met vkt2 } Plvkfl } P2vk - 0 is dan (jvm) (2vkf2 } Plvkfl)~zk t vkf2 ~2zk - Q , of inet _{Ozk - pk'} (2vkf2 } Plvkfl)pk f vkf2 ~pk - Q

waaruit pk en met ~zk - pk ook zk bepaald kan worden. Voorbeeld 7.15.

Zij gegeven differentievergelijking

(ktl)Ykt2 - 3(kf2)Ykfl } 9 yk - k: k EIN Homogene vergelijking

(kfl)Ykf2 - 3(kf2)Yktl f 9 yk - 0 k

heeft de oplossing vk - 3.

Stel yk - 3kzk en substitueer in de gegeven vergelijking

jvm104

-(ktl)3kt2zkt2 - 3(kt2)3ktlzktl t 9.3kzk - k:

Deel door (ktl)3kt2, dan is

2 kt2 1 1 (E - ktl E t kt1) zk - 3kt2 _{(kti) :} (E - ktl) (E-1) zk - kt2 1 3 (ktl) : Met 4zk - pk is _(E -ktl)pk - kt2 1 3 (kt 1) : Homogene vergelijking (E- ktl)pk - 0

geeft pk - k: . Met c - ck geeft (7.60)

(ktl): ~ck - 3kt2(ktl): 1 4ck - 3kt2 1 1 ck -- _{2' 3kf 1} t d dus ( j vm) zodat ~zk - _{Pk - k: (-}6. lk t d) 3 1 k-1 3-i k-1 1 zk -- 6 E i~ t d E 1- t c i-0 i-0 yk 3kzk -(7.60) k-1 -i k-1 --~. 3k-1 ~ _{31. t d3k E i, t c3k c en d E IR constant} i-0 i-0

Zijn van vergelijking (7.57) twee onafhankelijke oplossingen bekend, zeg uk en vk, dan is

ukt2 t Plulctl t P2uk - 0

~kt2 t Pl~ktl t P2~lc - 0

yk - A uk f B vk, A en B constant, is de alqemene oplossing van (7.57). lij nu A- Ak en B- Bk en zij ( 7.56) weer geschreven als in (7.58).

Als

yk A uk t B vk, dan is

Ayk - A ~ uk t B a _{vk }~cf 1} ~ A f vkf₁ 0 B

(hierbij zijn ~A en ~ B gebruikt om een overdaad aan indices te vermijden) Stel A en B zijn zó, dat

~cf10A } vkf1~B - 0

dan is

Dyk - A ~ uk f B 0 vk

en

42yk - A 42 uk t B ~2 vk f 4 ukfl 4 A t ~ vkfl 0 B.

Substitueer nu (7.62), (7.63) en (7.64) in (7.58), dan wordt dit

(A42ukfB~2vkt~u]ct1~A fOvkfl~B) }(Plf2)(A~ukfB~vk) t

(7.62) (7.63) (7.64) t (1fP1tP2) (AukfBvk) - Q of (jvm) A(0 uk f(Plf2) ~ uk t(1-~P1fP2) uk) t B(~2 vk t(P1-F-2) ~ vk f(1tP1fP2) vk) t t0~f10Af~vktlOB - 4

Met (7.61) wordt dit dan

~~cf10AtOvkfl~B - Q

A- Ak en B - Bk moeten dus voldoen aan

jvm106

-met de oplossing

(7.65) vkfl -~cfl ~f2~kf1 - ~fl~kf2

waaruit A en B berekend kunnen worden. Voorbeeld 7.16.

Gegeven zij vergelijking (jvm)

(k-1)Ykf2- (3k-2)Ykfl } 2kyk - 3kk(2) k E1N.

De bijbehorende homogene vergelijking heeft de oplossingen uk - 2k en vk - k.

Stel yk - A.2k f B.k.

Met A- Ak en B- Bk (dus met variatie van constanten) geeft (7.65)

~ A ~ B 3kk (2) kfl - -2kt1 - _(k-1) (2kt2 (kfl)-2kf1 _{(kf2) )} dus 4A- 2(kfl) (2)k en A- (2)k(kfl) - 2(2)kfl} c ~ B- -3k B -- 2. 3k f d , zodat yk - 2k ((2) k(kfl) - 2(~)kfl } _{c) f k(- 2. 3k t d)}

dus luidt de oplossing

yk - 2. 3k f c.2k f d.k c,d E Il2 constant.

De homogene differentievergelijking van de 2e orde 1. _{van het ~-type: 02y f Pl~y f p2y - 0, x E~}

met !1 - ~nx, _{P1 en P2 functies van x heeft dan en slechts dan}

2. van het E-type:

Ykf2 } Plyktl } P2yk - 0 k E 1N

met yk - y(k), P1 en P2 functies van k heeft dan en slechts dan oplossing yk - k(m) , m- 1 v 2 als (kf2) (m) f P1 (ktl) (m) f P2k(m) - 0

m E~1 en ~ 2 (kt2) (2) f P1 (kfl) (k-mt2) f P2 (k-mf2) (2) - 0

ak , a E IR} a2 f aP 1 f P2 - 0

We bewijzen dit voor 1, het le geval:

y- x is dan en slechts dan oplossing van ~2y t Pl~y f P2y - 0 als Plf P2x - 0.

- Indien y- x oplossing is... (~);is duidelijk.

- Omgekeerd zij gegeven ~2y t Plpy f P2y - 0 en P1 t P2x - 0 (~ - ~X) Gevraagd is y.

Uit het gegeven volgt

~2y - Dy - ~ 0 1 x of Í 42y - 0 (1) i l ~ y - X (Z)

(1) geeft y- cx f d, c en d E IIt constant.

Substitueer in (2) dan c- cxXd, dus c is willekeurig ~ 0 en d- 0. Voor c- 1 is de oplossing y- x.

De overige gevallen bewijst men op analoge wijze.

Samenvatting

Gegeven zij de vergelijking van het ~-type

~2y } P1~ y} P2y - Q ' ~- px ' P1, P2 en Q functies van x EIR

met homogene vergelijking (jvm) 02yfP10yfP2y-0.

- als één oplossing v bekend is van de homogene vergelijking, dan geldt met y - vz:

z voldoet aan (2~ vX f PlvX) Oz t ~2z - Q

- als twee oplossingen u en v bekend zijn van de homogene vergelijking, dan geldt met y- Au f Bv:

-

jvm108-~ A - ~ B - Q .

f f f

v -u (0 u.v - u.0 v)

x x x

Gegeven zij de vergelijking van het E-type

ykf2 } P1Ykf1 } P2yk - Q y- Y(k); P1, P2 en Q functies van k EIN

met homogene vergelijking (jvm)

ykf2 } P1Ykt1 } P2yk - 0.

- als één oplossing vk bekend is van de homogene vergelijking, dan geldt met Yk -

~kzk-zk voldoet aan

(2vkf2 } Pl~kfl) 0 zk } ~2 zk - Q

- als twee oplossingen uk en vk van de homogene vergelijking bekend zijn, dan geldt met yk - A uk f B vk : A- Ak en B- Bk voldoen aan ~kf 1 -~cf 1 ~cf2~kf 1-~cf l~kf2 Transformatie y - uv, Transformeren we nu p2y f P1 G y f P2Y - Q (7.66)

waarin G- ÓX met P1, P2 en Q functies van x EIR m.b.v. y- uv, u- u(x) en

v - v (x) . Als y - uv is, f dan is ~y - G u.v f ux ~ v en G2y - 42u.v f 2 0 uX . ~ v f uX (2) 02v . Substitueren we dit in (7.66): of me t

(02u.vt 20 uX~ vf uX(2) ~2v) fPl (~ u.vf uX4 v) t P2uv - Q

42v f P1 ~ v f P2 v- Q

P1 - }1 (2 ~ uX f P1 uX) ux (2)

(7.67)

p2 - }1 (02u f P1 ~ u t P2u) ux (2) 1 Q - } Q. ux ( 2 ) (7.69) (7.70)

We hebben nu de volgende mogelijkheden:

1. P2 - 0, dus ~2uf P1~ u f P2u - 0, d.i. u is een oplossing van de homogene ver-gelijking

~2yfPl~yfP2y-0

dan is

~2v t P1 0 v- Q ,

hetgeen een lineaire differentievergelijking van de le orde in 6 v is. 2. P1 - 0, dan is 2 4 uX -E PluX - 0.

Hieruit kan u opgelost worden. (jvm)

Nu is 4u-- 2(P1)xu en ~2u -- 2 a(P1)x,u - 2 P1 ~ u zodat P2 - }1 ( 2 ~(P1) X u f 2 P1 ~ u t P2 u) -ux (2) u 1 (2) 1 ~(P1)x f (p2-4 P1 -2. ~x ). ux(2) Is PZ - A constant, dus t 1 (2) 1 ~(P1) x ux (2) P2 - 4 P1 } 2 ~ x } A u dan wordt (7.67) 2 ~ v ~ Av - Q OX2

een lineaire vergelijking van de 2e orde met constante coëfficiënten.

Interessanter is dit al echter voor de differentievergelijkingen van het

jvm110

-Ykf2 } Plyktl } P2y - Q met P1, P2 en Q functies van k. Herschrijf dit met E- ~ t 1, dan is

(~2 f(Plt2) ~ t(1 f P1 f P2) )Yk - Q

k E ~1

Zij nu als boven yk - ukvk met uk oplossing van (7.72) dus ukt2 } Pl~fl t P2uk - 0 .

Substitueer yk - ukvk in ( 7.71), dan is

~cf2 vkf2 } P1 ~ctl vkfl } P2 ulc vk - Q

waarin

ulcf2 } P1 ulcfl }P2 uk - 0 . Elimineer uk}1 uit (7.73), dan is

dus of u]cf2 vkt2 -(~ct2 } P2 ~c) vkfl } P2 ~c vk - Q ukf2 ~ vktl - P2 ulc vk - 4 (E - P K) ~ v - Q 2 ~cf2 k ukt2 (7.71) (7.72) (7.73)

waaruit vk kan worden opgelost. (jvm)

Deze vergelijking is steeds oplosbaar. Ze is feitelijk vergelijking (7.59). P1 - 0 van b1z.109 wordt hier met (7.72)

2

~~ctl }(P1 f 2)ulcfl - 0

of

2 ~cf2 } P1 uktl - 0

Zij nu gegeven vergelijking

Ykf2 } P1 yktl } P2 yk - Q k E 7N

waarin uk voldoet aan 2~ct2 } Plulctl - 0 Achtereenvolgens is dan ~ct2 vkf2 } P1 ulcfl vkfl } P2 uk vk - Q en ukf2 ~kt2 - 2ulct2 vkfl } P2 uk vk - Q ofwel 2 - Q

uJct2 ~ vk }(P2uk - ulcf2) vk

~2 v f(P2~ - 1) v - S2

k ~ct2 k ukt2

Met (7.74) is (jvm)

P2~ - ~c ulctl P2 P- .

ukt2 l ulcfl . ukt2 - 4 Pil~

P

Is 1~Z) - A f 1 constant, dan wordt (7.75) 4 P1

~ 2vk f A vk - Q

~f2

en deze vergelijking is steeds oplosbaar. P

Is 1~Z) - Ak t 1 een functie van k, dan wordt (7.75) 4 P1

( E 2- 2E t Ak ) vk --u,~ .

Kf2

(7.74)

(7.75)

Dit is vaak oplosbaar door ontbinding in factoren van de operator E2 - 2E - Ak. Zij nogmaals gegeven

ykf2 } Plyktl } P2yk - Q

Stel we hebben een oplossing uk van

, ukf2 } PlU}ctl } P2uk - 0

1~

~~

2ulct2 } Pl~cfl - 0

Met yk - ukvk wordt (7.75)

k EIN (7.76)

(7.77) (7.78)

jvm112

-Volgens (7.77) ontbreekt in (7.79) de term met vk en met (7.78) vervalt de term met

vkf 1 '

Als uk voldoet aan (7.77) én (7.78) verwacht men dat (7.79) is van de gedaante

Dit is inderdaad zo.

Volgens (7.77) en (7.78) is (J~)

( -ukt2 f P2 uk - 0 ~ 2~t2 } P1 ~cfl - 0

Substitueer (7.77a) en (7.78a) in (7.79) , dan is ukf2 vkt2 - 2 ukf2 vktl } ukf2 vk - S2 of

u)cf 2

Uit (7.77a) en (7.78a) volgt

dan is of 4l vk - Q ukf2 ~cf2 P1 - P en -Uk 2 ~cf 1 2 P1 (P1) k P2 - - 2 . - 2 1 (2) P2 - 4 P1

omgekeerd als (7.80) geldt, is 1 P2 - 2 (P1)k-1 1 -2P1 dan is P1 - -2_Akfl (2) P2 - A ktl en daarmee wordt (7.76): A~ (2)

ykf2 - 2 Alct 1 ykf 1} kf 1 Yk - Q

- 1 zeg - Ak (mogeli~k constant)

(7.77a) (7.78a)

(7.80)

(7.81) Blijkbaar is yk deelbaar door

Stel yk - (~-1)!vk dan wordt (7.81)

(~c-~1) ! (~kf2 - 2vkf1 } ~k) - Q

2 Q

~ _vk

-(~fl) !

Hieruit kan vk worden opgelost en is yk dus bekend.

Is Ak - ak, a EIR constant dan is (7.81):

Ykf2- 2a(kfl)Yktlf a2(ktl) (2) Yk - Q

met uk - ak-1(k-i)! als oplossing stelt men yk - ak-1(k-1)!vk

Dan is Q 2 ~ ~k - kf 1 Daarmee is gevonden Stelling 7.11. Gegeven vergelijking ykt2 } Plyktl } p2 yk - Q

Zij uk een oplossíng van het stelsel

~ ykf2 t P1 Ykfl } P2 Yk - 8

~ 2ykf2 } P1 ykfl - g Met yk - ukvk voldoet vk aan

42v_k - Q ukf2

dan en slechts dan als (jvm) 1 (2)

P2 - 4 P1 ~

k EIN

- Nogmaals determinanten van Cassorati, elimineren, sommerende factoren

Een lineaire differentievergelijking van de n-de orde kan gevormd worden door n parameters te elimineren. Zij n- 3. Gegeven is

yk - c12k f c2k(3) ~ c3(kfl) (2) (7.82)

jvm114

-dan is

pyk - c12k f 3c2k (2) f 2c3 (ktl) p2yk - c12k f óc2k f 2c3 p3yk - c12k f 6c2 .

Eliminatie van ci, c2, c3 en -1 uit (7.82) en (7.83) geeft: 1 2k k (3) (ktl) (2) yk 2k 3k (2) 2(kfl) p yk 2k 6k 2 _p2yk 2k 6 ₀ p3yk - 0 (7.83) (7.84)

Ontwikkeling naar de laatste kolom geeft een lineaire vergelijking van de 3e orde, waaraan voldaan wordt door de drie oplossingen

u(1) - 2k~ u(2) - k(3) en u(3) -(kti) (2)

De leidende coéfficiënt is de determinant van Cassorati

C - C(u(1) ~u(2) ~u(3) ) .

(We gebruikten hier en ook in (7.84) en zullen dat ook in het vervolg doen de p-vorm van de determinant van Cassorati; zie blz. 72).

Voor we verdergaan, volgt eerst nog een stelling. Stelling 7.12.

Als de homogene vergelijkingen van de n-de orde (jvm)

pny } plpn-ly

f... t

Pn-lpy } Pny - 8 (7.85)

n n-1

p Y f Qlp _{Y f... f Qn-1pY } QnY - 0} (7.86)

dezelfde n onafhankelijke oplossingen hebben, dan zijn ze identiek en stemmen dus term voor term overeen.

Immers:

De n gemeenschappelijke oplossingen van (7.85) en (7.86) voldoen ook aan

(P1-Q1)pn-ly } ... f _{(Pn-1-Qn-1)py } (Pn-Qn)Y - C'}

Vergelijkingen (7.85) en (7.86) hebben dezelfde leidende coëfficiënt. Ze zijn dus identiek.

Stel vergelijking

F(4)yk - ~3yk f P102yk f P2~y f P3y - 0

en (7.84) hebben dezelfde oplossingen (jvm)

u(1)' u(2) en u(3) dan zijn (7.87) en vergelijking

C(u(1)'u(2)'u(3) ~Y) - 0 C(u(1)'u(2)'u(3) )

(7.87)

(7.88)

identiek volgens stelling 7.12.

Daarmee is dan vergelijking (7.87) geschreven met behulp van determinanten. Dit alles is gemakkelijk te generaliseren. Er is nog een tweede wijze om (7.87) te schrijven m.b.v. determinanten (en zo ook elke willekeurige lineaire verge-lijking).

Van (7.87) zijn als gezegd drie onafhankelijke oplossingen u(1)' u(2) en u(3) '

Vorm de determinant van Cassorati C

-C(u(1)'u(2)'u(3)~ en hieruit de determinant

C(i) (y) - C(i) (u(1)'u(2)'u(3) ~Y)

door in C(u(1),u(2),u(3)) de oplossing u(i), i- 1, 2 of 3 te vervangen door de veranderlijke y.

Dus

C(1) (Y) - C(1) (Y~u(2)'u(3))' C(2) (Y) - C(2) (u(1)'Y'u(3)) en

C(3) (Y)

-C(3) (u(1)'u(2)'Y) -Als nu

y- u(i) dan is C(i) (ui) - C

y- u(j) , j~ i dan is C(i) (u(j)) - 0

dus breuk

jvm116

-en

Y

~(C(iC )- 0 _{met ~- 4x ~ ev. ~k .}

Aan (7.87) en (7.88a) voldoen dezelfde oplossingen u(1) , u(2) en u(3) .

(7.8tia)

Ontwikkel nu in (7.88a) C(i)(y) naar de i-de kolom. Laat hierbi~ A dc c~-(i) j

factor van ~~-ly zijn voor 1 ~ j ~ n en A(i)1 die van D~y - y als j- 1. In ons geval is n- 3, dan is

~( C(i) (Y)) - ~(A(i)3~2yfA(i)2~y}A(i)1 y) .

C C

waarin na de differentie genomen te hebben, de leidende coéfficiënt is

dus

Y

~ (C (lC ) - A (1) } k F (~) y . Ck

Vermenigvuldiging van F(0)y met (7.89) maakt dit een exacte uitdrukking. (7.89) is de bij oplossing u(i) horende sommerende factor

ui.

Er zijn evenveel ui als er onafhankelijke oplossingen u(i) zijn. Bij een n-de orde vergelijking dus n, waarvan men kan bewijzen dat ze lineair onafhankelijk zijn, (jvm)

Nu geldt:

A B C

Als de elementen van de determinant D E F functies van x zijn, dan is

(met ~- ~X) : G H I 4( voor n - 3, (7.89) ) -~- -~ t A B C x x x f ~A DE ~F G H I f ~G ~H ~I

Met C- C(u(1) ,u(2), (u(3) ), dus voor n- 3, waarin u(i) , i- 1,2,3 functies van x(of k) zijn, is zoals gemakkelijk is in te zien

u(1) u(2) u(3)

4C - ~(

ev.

0 u(1) ~ u(2) ~ u(3)

2 2 2

~ u(1) ~ u(2) ~ u(3)

~C - D C met operator D-t

)

-f t t

u(1)x u(2)x u(3)x

f t t

~

u(1)x ~ u(2)x ~ u(3)x

3 3 3

dan

L1mC - DmC m E II`1

Van een determinant van Cassorati neemt men de differentie door de differentie te nemen van de elementen van de laatste rij en

x-~ x f ~x te maken.

voor alle overige elementen

Dit alles kan natuurlijk weer eenvoudig gegeneraliseerd worden.

Is als boven u(1) - 2k, u(2) - k(3) en u(3) -(kfl) (2) dan is C -2k k (3) (ktl) (2) 2k 3k (2) 2 (kfl) 2k 6k 2 Voor i - 1 is (jvm) Y ~ y C (y) 2 ~( (lC ) - ~( ~ k (3) (kfl) (2) 3k (2) 2 (kfl) 6k 2 j) -C I k(3) (kfl) (2) - ~ ( 3k (2) 2 (ktl) C dus Gi₁ - (A(1)3)} -_{C k} (ktl) (2) k (3) 2 6k D~y f k(Z) (kf1) (2) 3k(2) 2(kfl) C )k ~3y f ... (kf1) (3) (kf2) (2) 3 (kfl) (2) 2 (kt2) 2kf1 _{(kfl) (3) (kf2)} (2) 2k}1 3 (ktl) (2) 2 (kf2) 2k}1 6 (kfl) 2 ~y f 3k (2) 2 (kti) 6k 2 y)

jvm118

-- Sommerende factoren.

Op b1z.16 is aandacht besteed aan het begrip sommerende factor van de lineaire differentievergelijking van de le orde

dus een factor U zó, dat (jvm)

U(~X f Py) - ~X (ux y)

en waarmee dan de vergelijking een exacte vergelijking wordt. Voor lineaire differentievergelijkingen van de 2e orde

~2y f P1 0 y f P2Y - Q. (7.90)

waarin 4- ÓX is en P1, P2 en Q functies van x E1R zijn, zoeken we op analoge wijze een sommerende factor u zó, dat

u(~2y f P1 ~ y f P2y) - ~X (ux z)

voor een nog nader te bepalen functie z van x, y en ~X .

Daarmee wordt dan (7.90) een exacte vergelijking. Voor (7.91) schrijven we

ou-u(~2y t P1 0 y f P2y) - ~xx . z f U ~x ~

Zij z- a ~x f by met a- a(x), b- b(x), dan wordt (7.92) met ~- ~X : ~U

U(42y f P1 ~ y t P2y) -(a _{Ox } bY)} ~ X f u ~X (a ~x t by)

--(a ~ y f by) ~Xx f u(QX , 4y t _{ax ~2y } ~x ~ y} bx ~ y)}

-ou-

ou-- u ax ~2y }(a ~xx } u 4x } u bx) ~ y}(b ~xx }u ~) y '

Vergelijk het eerste en laatste lid, dan moeten U, a en b voldoen aan

Met U~ 0 geeft (7.93) aX - 1, dus a- 1 constant.

Hiermee moeten u en b nog voldoen aan:

ou

De sommerende factor u moet dus voldoen aan (j~)

Q - Q2

uP2 - Ox (u Pl) x} ~x2 ~X (2) - 0 Verder geeft (7.96)

ou

ux b - (l~Pl - OXx) X

zodat hiermee en met a- 1

ou

- ~x (ux ~ y} (UP1 - 4xx) x y}

(7.96)

(7.97)

Daarmee hebben we dus gevonden:

Als u een sommerende factor is van de lineaire differentievergelijking van de 2e orde

p2y t P1~ y t P2y - Q _{~- 4x}

dan voldoet u aan

en is

~x(ux z) - ~X (ux (a ~ y t by)

)-~ - 02

uP2 - ~x ( ~P1) x } ~x2 ux (2) - 0

~~-u(~2y t P1 ~ y f P2y) - _{Ox (Ux ~ y}(~P1 - Oxx) x y)}

Zij nu omgekeerd v een of andere oplossing van (7.97) dan is dus nv

4 x

-vP2 - _{~X (vPl - 4x ) x}

jvm120

-

~v-v(~2y f P1 ~ y f P2y) - v02y f vPl 4 y f QX (vPl - ~Xx) x

y-4v ~v -(v_{dx (~y) } ~xx ~y) f(vPl - ~xx) Ox } ~x (vPl - ~xx) x. y} ~v-- ~x (vx 0 y) } 4x ((vPl ~Xx) x y) - ~v-- ~X (vx ~ y) }(vPl ~v-- ~xx) x y) , dus geldt Stelling 7.13a

u is dan en slechts dan een sommerende factor van vergelijking 42y f P1 ~ y f P2y - Q' waarin ~- ÓX is en P1, P2 en C,~ functies van x EIR zijn, als U voldoet aan

~ - ~2

uP2 - Ox (uP 1) x} 4x2 ux (2) - 0.

Dan wordt de vergelijking na vermenigvuldiging met u ~U

~X (ux ~ Y t(uPl - Oxx) x Y) - u Q.

Als de differentievergelijking van het E-type is, dus ykf2} Plykfl } P2yk - Q k EIN ,

dan herschrijft men dit als

p2yk f(Plt2) 0 yk f(1 f P1 f P2)Yk -

Q-Is u- uk een sommerende factor, dan is volgens het voorgaande (jvm)

Vk (~2yk t(Plf2) ~ yk f(1 t P1 f P2)Yk

-- ~(U ~ Y f(u (P f2) - ~u )- y ) kf 1 k k 1 k-1 k k

dan en slechts dan als uk voldoet aan

Uk (1 f P1 f P2) - ~(uk (Plf2) )k t _{42uk-2 -} 0

Na enige herleiding geeft (7.98)

Uk (ykf2 } Plykfl } P2yk) -~(Uk-1 ykfl }(Uk P1 } uk-1) k yk) en (7,99)

~v-(7.98)

(7.99)

Daarmee geldt voor lineaire differentievergelijkingen van de 2e orde van het

E-type.

Stelling 7.13b.

uk is dan en slechts dan een sommerende factor van vergelijking (jvm)

ykt2 t P1Ykt1 } P2Yk - Q

waarin yk - y(k) en P1, P2 en Q functies van k E IN zijn, als Uk voldoet aan

ukP2 } (UkPl)k } (ukPO)k(2) - 0 Pg - 1

Dan geeft de vergelijking na vermenigvuldiging met uk ~(u_k-1 Y_kfl }(u_k P₁ fu_{k-1 k})- Y) - u_{k k} Q.

Stellingen (7.13a) en (7.13b) zijn vrij eenvoudig algemeen te maken voor lineaire differentievergelijkingen van elke orde door gebruík te maken van partiéle som-matie uit de S-rekening. Hier is echter van afgezien om onnodige complicaties te

vermijden-Als u een sommerende factor is van de vergelijking

~2y f P1 ~ y t P2y - Q ~- ÓX _{, y- y(x),} x E IR ,

dan is U zó, dat

u(~2Y f P1 ~ y t P2y) - QX(ux z) waarin z een functie is van x, y en ~ y.

Nu is 4z (ux z) p.xl (ux z)

oX (uE uX) Z

zodat de operator van bovengenoemde vergelijking 42 f P1~ t P2 links deelbaar is door

jvm122

-Als een 2e orde vergelijking een sommerende factor heeft, is de differentie-operator van de vergelijking te ontbinden in factoren.

Algemeen kan bewezen worden:

Als een lineaire vergelijking van de orde n een sommerende factor u heeft, dan is de operator van de vergelijking links deelbaar door

1

oux

~ } u

~x

~

Zover voor vergelijkingen van het 4-type. (jvm)

Voor lineaire vergelijkingen van het E-type als hun orde 2 is, kan men analoog te werk gaan.

Is uk een sommerende factor van vergelijking

ykf2 } Plykfl } P2Yk - Q k E~,

dan is uk zó, dat

uk (ykf2 } Plykfl } P2yk) - ~(uk-1 zk) ' waarin zk een functie is van k, yk en

Yktl ' ~ (uki zk) (E 1) (uk1 zk) -- _{(uk E uk1) zk} -- uk (E - u~-1) zk . k dus

Blijkbaar is de operator E2f P1E f P2 links deelbaar door E- u . k

Stellen we E2 f P1E f P2 -(E-P)(E-Q) met P- uu-1 en Q nog onbekend, dan k

moeten P en Q voldoen aan f

P f Qk - -P 1

uk (Ykt2 } Plyktl }P2yk) - uK lE - uukl) zk .

PQ - P2

(7.100) geeft

Q - -(P1-FP)k .

Dit gesubstitueerd in (7.101) geeft dan

uk-1

(7.100) (7.101)

Nu was

P - uk-i dus

Uk

- uukl (Pi f uukl)k - P2 ,

waaruit volgt

ukP2 } (uk P1)k } uk-2 - 0 als in stelling 7.13b.

Algemeen geldt dat de lineaire vergelijking van het E-type een operator heeft die links deelbaar is door

E - uk-i uk ,