Gewone differentievergelijkingen met niet-constante coefficienten en partiele differentievergelijkingen (vervolg R.T.D. 83.31)

Tilburg University

Gewone differentievergelijkingen met niet-constante coefficienten en partiele

differentievergelijkingen (vervolg R.T.D. 83.31)

van Mier, J.

Publication date:

1984

Document Version

Publisher's PDF, also known as Version of record

Link to publication in Tilburg University Research Portal

Citation for published version (APA):

van Mier, J. (1984). Gewone differentievergelijkingen met niet-constante coefficienten en partiele

differentievergelijkingen (vervolg R.T.D. 83.31). (blz. 26-57). (Ter Discussie FEW). Faculteit der Economische

Wetenschappen.

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim.

7627

-1984 ~ ~THOLIEKE HOGESCHOOL TILBURG

~ ~!~'Jï'l~il JOL

TiLBURG

UNNIIIfllllllilil9114~IiII;IIIIIIUIINNWI

No. 84.10

Gewone differentievergelijkingen met niet-constante coëfficiënten en partiële

differentievergelijkingen (vervolg R.T.D. 83.31)

April 1 yti4 REEKS "TER DISCUSSIE"

~ . van iíieï

jvm2ó -IV De logarithmen in de Differentierekening.

We gaan na of voor zeker reëel grondtal a~ 0 en ~ 1

pX (a log x) x:.- R en ~ 0 (4.1)

kan berekend worden en zo ja, wat dan een geschikte keuze (jvm) voor het grond-tal a is.

M.b.v. de definitie van differentiequotiënt is

p(a log x) - a log (xtpx)-a log x- x a log (1 t px).1 (4.2)

pX pX pX X X

We voeren nu in het begrip relatieve differentie. Def. 4.1

Onder de relatieve differentie van een getal x t R en ~ 0 verstaat men het quotiënt

px

X

waarin px de gebruikelijke differentie is. Met ~x - pt wordt (4.2)_x

ofwel

~x(a log x) - ~t a log (ltpt).X

px(a log x) - a log ~pt'x

Voor elke constante pt ~-1 en ~ 0 bestaat in (4.3)

a log ept

en is ook weer een constante.

Daarmee is voor die x ~ R en x~ 0 waarvoor pX - pt met pt ~-1 en ~ 0_x

px(a log x) - c.X

(4.3)

zodat dus op een constante factor na het differentiequotiënt van a log x ge-lijk is aan 1

c - a log EDt

Bij gegeven ~t ~-1 en ~ 0 kiezen we a- E~t dan is c- 1 en

E

X( ~t

log X) - X.

Daarmee is gevonden

Stelling 4.1a

Voor die x È R, x~ 0 waarvoor de relatieve differentie Xx - ~t constant is met ~t ~-1 en ~ 0, geldt

e

OX(-~t log X) - X. (4.4)

Nu is lim E~t - e en voor ~t ~ 0 geldt Ox -Y 0, als x~ 0, zodat uit (4.4) volgt dé~bekende formule

áx (e log x) - x

en wel voor die x ~ R, x~ 0 waarvoor ax - dt dit is voor x- ceL, t c R en c x

constant, dus voor alle positieve reéle getallen x.

Voor welke x~ gt, x~ 0 is de relatieve differentie gelijk aan een gegeven re-ele waarde Ot ~-1 en ~ 0?

M.a.w. los x op uit de differentievergelijking (jvm)

of uit

Dit is een lineaire differentievergelijking van de le orde met de algemene op-lossing

t

x- c E~t t E Vt ,Qt, c constant.

U'

Kiest men c- 1 dan is

t

x- E~t t c

Vt~,4t

jvm28 -Stelling 4.1b

Als voor het gegeven constante getal Ot ~-1 en ~ 0 geldt x- EQt, t~ Vt ,~t

dan is ~

e

Ox( ~t

log x) - X. (4.5)

Opm. In verzameling Vt ~~t zijn alle elementen t aequidistant 3us ~X constant; echter bij toenemende ~ neemt ook ~x toe, vandaar de aanduiding relatieve

dif-ferentie (p x is dus geen constante meer). 1

EQt -(lfpt)0 t is voor verschillende waarden van ~t gemakkelijk te berekenen.

Bijv. is

pt 1_{2 - 3}1 ₃1 ₂1 1 2

4 8 27 4 2 3 .... etc.

Zij t ~

N~t' e

Voor x- e,t en ~( ~t log x) - 1 krijgt ( jvm) men

pt px x t x 1 X 0 pt 2pt 3~t 1 lfpt (ltpt)2 (lfpt)3 1 1 1 1 lfpt (ltpt)2 (lf~t)3 ...., etc. (4.6)

Kortweg schkijven we voor de rij {1, (ltpt), (lfpt)2,...} -{xk}k F. NO met xk - (1}pt) .

IE

q~

O

e

~

F

Zij bij gegeven 4t (zie fig. 3) tga - ~t met LAOA1 - a. Als OA - 1 en AA1 1 Oi1 met AA1 - 1, ligt a vast.

Cirkel vanuit A om AA1: B-(1t~t,0).

Trek BBllr,-as ( B~ op OA1): BB1 -(ltpt)~t. Cirkel vanuit B om BB1: C-((lt~t)2,0).

Trek CCllx-as (C1 op OA1): CC1 -(lti-Ot)2~t. enz.

Daarmee is vastgelegd rij

{xk}k c N' Uit (4.6) leest men onmiddellijk af~ voor x0 - 1 is tgal - i- 1 1 1 xl - lT~t _{tga2 - lf~t - lt~t tgal} x2 -(lf~t)2 tga3 - 1 2- 1 4t tga2 (lt~t) E l

waar ai}1 de richting is van de gezochte (jvm) kromme y- ~t log x in xi, i E N0. Algemeen is tgan - ltpt tgan-1' met tgal - 1. n E N, n~ i E

Om de grafiek y- ~t log x te vinden gaat men als volgt te werk.

Ga vanuit A(1,0) in richting al tot rechte x- 1T~t: B2. Vanuit B2 in richting a2 tot rechte x-(lf~t)2: C4. Vanuit C4 in richting a3 tot rechte x-(ltpt)3: D4, etc.

Vorm vierkant ABB2B1 dan is tgal - 1. (fig. 3)

Trek AB2 en A1B2 tot rechte x-(lt~t)2, snijpunten resp. C2 en C3. Bepaal op C C_{2 3} punt C₄ met C4C3 -_{C3C2 lf~t'}1 Met LC B C_{3 2 4} - a:₂

1 1

tga2 - 1tOt C3C2 - lf~t tgal'

~~~ trck B r r„r x- Itf~t)3: DL en Ds.

'1'reic C:4D3 évCiïwi julg x-as, _'ly4

jvm30

-Fig. 4. LPSR - ari, LPSQ - an, _{an - an-1'}

Immers m.b.v. fig. 4 is

1 , 1

tgan - lfpt tgan - ltpt tgan-1

want met Q op PR zó dat

PR - i ~t is

1

PQ - Itpt ' PR 1 PR 1 , 1

tgan - PS - PS - itpt'PS - ltpt tgan - ltpt tgan-1'

Dit is (4.7) voor n- 2 en (4.8) voor n- 3. E

Zo voortgaande (jvm) kan men voor t E IV~t dan y- pt log x puntsgewijs con-strueren.

Nu analoog voor t: W- Zpt u{0}. Vorm dus t x 1 X 0 -pt -2pt -3pt 1 1 1 1 1Tpt (ltpt)2 (ltpt)3 1 lfpt (ltpt)2 (lfpt)3

Hier heeft men de rij

enz.

1 1

E

ot

t

Fig. 5. y- _{log x, x- eQt, t E W.}

Zie fig. 5 (jvm) .

Trek in A(1,0) en B(1t~t,0) rechten AA2 en BB3 1 x-as. Maak BB3 - 1(- OA) en met A2 op

OB3' `~2 - 1 ~t'

Trek A2A3 evenwijdig aan de x-as (A3 op y-as). Cirkel OA3 - _{1 ~t} om vanuit O: P-((lf~t)-1,0). Trek PP1 1 x-as, met P1 op OB3: PP1 - 1 2.

(1 ~~t~ Trek P,P~ evenwijdiq aan de x-as (P~ op y-a ).

1 7 :~

Cirkel OP5 - 1 _{2 om vanuit O: Q-((lt~t)-2,0).} Trek QQ1 1 x-ás,4mét Q op OB3: QQ1 _{- 1}

3' (lt~t) Trek Q1Q5 evenwijdig aan de x-as (Q5 op y-as). Cirkel QQ5 - 1 _{3 om vanuit Q: R-((lf~t)-3,0).}

(it~t)

jvm32 -Zover {xk}k E W' xk - (1Tpt)k. Met LBOB3 - S is tg~ - _{1 pt~} Als x0 - 1 is tg(30 - tgal - 1 x-1 - 1 pt tgRl - (ltpt)tgRO x-2 - 1 2 tgR2 - (ltpt)tgsl (ltpt)

---waarín ntsi de richting is van de gezochte grafiek in x-i -(ltpt)-l, i` N0. Algemeen is

tgRn -(ltpt) tgsn-1' n E N

met (4.9)

tgRO - 1

E

Om nu de kromme y- pt log x te vinden voor x ~ 1 als volgt (zie fig. 5): Ga vanuit A(1,0) in richting ntsl tot rechte x- _{1 pt' p3'}

Ga vanuit P₃ in richting nfs tot rechte x- 1 - Q

2 _{(1-~Ot) 2.} 4.

Ca vanuit ~4 in richting ni (33 tot rechte ;: - _{1 3' R4'}

--- (l~pt) enz. 1 PP3 P3 ligt op x- 1}pt zó dat -- ltpt. PP2 Q Q Q4 ligt op x- 1 2 zó dat 2 4- 1Tpt. (lfpt) Q2Q3 R R R ligt op x- 1 zó dat 2 4- ltpt. 4 (ltpt)3 R2R3 enz. dan is tgs2 - (ltpt)tgsl tg~3 - (lfpt)tgR2 --- als in (4.9). PR

immers ( zie fig. 6): met pQ - lfpt is (jvm)

PR (lfpt)PQ PQ

tgsn - PS - ps -(ltpt) ps -(lt4t)tgRn -(lfpt)tgsn-1 voor alle n E N,

~ .' ,

Fig. 6. LPSQ - Bn, LPSR - Bn' Sn - Sn-1'

Daarmee kan zo voortgaande de grafiek geconstrueerd worden voor x ~ 1.

E

jvm34

-In fig. 7 zijn de beide delen van de grafiek van y- EDt log x voor x ~ 1 en x~ 1 aaneengevoegd (allebei natuurlijk met dezelfde 4t).

De grafiek van

y- E~t log x, x - E~t, t t Z~t

wordt gevormd door de puntenverzameling

{..., R4, Q4, P3, A, B2, C4, D4, ...}. In fig. 8. horen de punten

A, B, C, D, E, en F

tot de puntenverzameling bepaald door (j~) E

y- _{~t log x, x EÓt voor t E VO~~t} -Z~t.

iz

~z

(4.10)

E

Beschouw nu de kromme bepaald door

y- e~t log x, x E R en x~ 0. Deze kromme gaat door de punten (j~)

A, B, C, D, E en F.

Kies een punt (xg,yg) met xg ~ k~x, k E Z dat voldoet aan (4.11), dan is y~ -~~t log xg of x8 - e ~~ .

Vorm de rij

, x~(lt~t)-1, x~, x~(1;-4t), x~(lf~t)2,... . Kortweg

{xk}k E~ Z met xk - x8(lf~t)k.

Voor yk E V Ot dus voor yk - y~ ~ k~t, k ~ Z is nu y0' ~

y y tk4t

s4t - EDgt - x0-E~tt - xg(it~t)k - xk. Eerste en laatste lid geven

e

yk - 4t log xk.

De punten (xk,yk), k~ Z voldoen dus alle aan

e

y - ~t log x~

(4.11)

(4.12)

zodat dan alle punten (xk,yk), k E Z voor elke keuze van (x~,y~) op (4.11) lig-gen ook die waarvoor xk - k~x en dus x~ - 0 is.

Bij gegeven 4t is de verzameling der punten (xk,yk), k c Z voor elke keuze van (x~,y~) op (4.11) niet moeilijk te tekenen (zie fig. 8).

Teken eerst de rij punten op de x-as

jvm3ó

-Snijdt elk der rechten xk - x~(lt~t)k, k t Z met (4.11).

V Omhullende krommen.

Starten we met een simpel voorbeeld. Zij gegeven de differentievergelijking

2x~x - ~y - 0, x E Z~x

met de algemene oplossing

y- x(2) t c, x E- Z, c constant. Voorlopig kiezen we c- 0.

De grafiek van y- x(2) voor alle x ~ R is een parabool (met vaste Ox ~ 0).

Voor de punten (zie fig. 9)

(5.1)

(5.2)

A, B, O, C, D en F (5.3)

van y- x(2), x E Z~x geldt (jvm) ~y - 2x._~z

De punten (5.3) behoren tot de verzameling

{(x,x(2))~x t Z~x}

(5.4)

jvm38

-~ c- V

~~az

~ti ~~

.~ ~e~~~~~

~

~-~

`` ~

~~c'k,,~.,~-e~

Beschouw naast (5.2) met (5.5.) als oplossing ook de kromme (alles bij vaste (jvm) 4x en c - 0)

y- x(2) , x E: R. _(5.6)

Oplossingsverzameling (5.5) voldoet geheel aan (5.6).

De oplossing (5.2) is een discrete puntenverzameling; (5.6), d.i. oplossing (5.2) met lopend gemaakte x, is een continue puntenverzameling.

We noemen (5.6) de omhullende kromme van de oplossingsverzameling (5.2) van dif-ferentievergelijking (5.1).

Def. 5.1.

Zij {y - F(x)Ix E Z~x} de oplossingsverzameling van differentievergelijking.

voor zekere waarde c van de constante, dan heet de kromme y- F(x), x ~ R de omhullende kromme van deze oplossingsverzameling.

Zij nu y- F(x), x É Z~x een oplossingsverzameling met omhullende kromme (voor zekere c).

Zij nu y- F(x) , x E R.

Is (jvm) hierop (x~,yp) een willekeurig punt dan vormt y- F(x), x E Vx _~x 0' een oplossingsverzameling (zie verderop stelling 5.1).

Uitgaande van de omhullende kromme kan men nu gemakkelijk voor willekeurige x~

de oplossingsverzameling tekenen.

Evenzo kan men te werk gaan voor elke andere waarde c~ R van de constante. Op deze wijze kan men overzichtelijk alle oplossingsverzamelingen van een ge-geven differentievergelijking ordenen en is men niet gedwongen om een oplossings-verzameling te tekenen door deze punt voor punt te berekenen.

Wij bewijzen nu (voor elke willekeurige constante c E R): Stelling 5.1.

Zij y- F(x), _{x: Z~x bij gegeven 4x ~ 0 oplossingsverzameling van de} differen-tievergelijking

~x - f (x) .

Als _{(x~,y~) voldoet aan y- F(x), x E R dan is y- F(x), x E R de omhullende} kromme van alle oplossingsverzamelingen

y- F(x), x~ Vx ~~x voor elke xg.

0

Bewijs:

In punt (x~,y0) is y~ - F(xU). Verder is 44xx) - f(x).

Vorm de rij {xk}k ~ Z met xk - x~tk4x. Als nu yk :- F(xk) dan is DYk ~F(xk) 4F(xk) ~xk ~x - Ox - ~xk ' ~x ~xk - f(xkj wanL ~x - í, Dy zodat QX - f(xk) is.

In (xk,yk) is dus voor alle k ~ Z voldaan aan

jvm40 -Stelling 5.2.

De omhullende kromme is de vereniging van de oplossingsverzamelingen met begin-waarden (x0,y0) voor alle x0 met c ~ x~ ~ ~x (bij gegeven ~x en c).

Bewijs:

Zij y- F(x), x C ZOx de oplossingsverzameling voor x0 - 0 met omhullende krom-me y- F(x), x E R. Bedenk verder dat R- X Vx ~~x, 0 ~ x0 ~ ~x.

0

y F(x), x ~ Z~x ligt geheel op de omhullende kromme door (x0,y0) met y0 -F(x0) , x0 S~

Z~x-Alle omhullende krommen hebben volgens stelling 5.1 dus dezelfde oplossingsver-zameling

y- F(x) , x L ZQx

gemeenschappelijk en (jvm) vallen dus samen. Voorbeeld 5.1.

Gegeven vergelijking ~X - 2x.

Zij y- x(2)fc,x E Z~x, c E R een oplossing. Maak x lopend.

y- x(2)fc, x E R. Kies (x0,y0) met

y0 - x~2) c, x0 E IR met x0 ~ k x, k E Z.

Vorm de rij {xk}k ` Z met xk - xOfk~x. Met yk :- xk2)}c is dan

waarin

en

(xk,Yk ) - (xOtkOx, (xOtk~x)(2)tc) (xOfk~x) (2) - (xOtk~x) (xOf(k-1)~x) ~yk (xOf(ktl)~x) (2)-(xOtk~x) (2) In (xk,yk) is dus voor alle k E Z voldaan aan

- 2 (x tk4x) - 2x .

Voorbeeld 5.2.

n

Gcgeven vergclijking QX - y.

De algemene opl. is (jvm)

Kies ( x~,y~) zo dat y~ - cE~~ met x~ ~` k~x, k E Z. Vorm rij {xk} met xk - x~ t

kOx. _x

Zij yk :- cE~X dan is

Exktl Exk E~xk

~~ - C Ox - c ~x Exk ~x - 1 ~ xk

Ox ~x - c ~x Ox cEOx - yk

Daarmee voldoet voor alle k E Z

x~ ~

yk - cE~X aan QX - Y.

Dus y- cEÓx, x E R is omhullende kromme en dit voor elke c E R. Voorbeeld 5.3.

Als derde voorbeeld zij verwezen naar blz. 35.

y- E~t log x, x E R en x~ 0. Dit is de omhullende kromme van

E

y- ~t log x, x- E~t voor t E

Vx_0'~x'

(op blz. 35 was

jvm42

-VI Differentievergelijkingenen van de le orde maar niet van de le graad.

Het handelt hier om vergelijkingen van de soort f(x,y,p) - 0 waarin kortheids-halve ~X - p geschreven is (ev. f(k,yk,pk) - 0 met ~yk - pk voor k E Z).

Verder geldt steeds p~n) - p(n-1)(p-(n-1)pp), n E N. p (0) - 1 .

Achtereenvolgens (jvm) zullen besproken worden: 1. vergelijkingen die oplosbaar zijn naar p,

2. vergelijkingen waarin of x of y ontbreekt, dus van de vorm f(x,p) - 0 of f(Y,P) - 0,

3. vergelijkingen waaruit x of y kunnen worden opgelost, daarna zijn ze dus van de gedaante x- f(y,p) of y- f(x,p),

4. vergelijkingen lineair in x en in y, 5. vergelijkingen van Clairaut.

- Vergelijkingen oplosbaar naar p. Ze zijn van de gedaante

pntalpn-1 }... t _{an-lp } an -} 0, n E N (6.1)

waarin a., i- 1,2,...,n al dan niet functies zijn van x en y.

i

Beschouwd worden die vergelijkingen ( 6.1) waarvan het le lid te ontbinden is in lineaire factoren:

(P-F1)(p-F2) ... _{(P-Fn) - 0}

waarin F. - F.(x,y), i- 1,2,...,n functies kunnen zijn van x en~of y._{i i} Men heeft dan op te lossen n lineaire vergelijkingen van de le orde. Voorbeeld 6.1. Vergelijking p2-5ptó - 0, p - ~ Ox~ (6.2) dan is p- 2 of p- 3. Is p- 2 dan is y- 2xtc. . Voor p- 3 is y- 3xtc, c constant.

De oplossingen van differentievergelijkingen zijn verzamelingen discrete waar-den. In genoemde oplossingen geldt x E VX ~X voor elke keuze van x~ en ~x.

(y-2x-c)(y-3x-c) - 0 x E Vx~,~x x~ en ~ x Vrij te kiezen. Voorbeeld 6.2. Vergelijking p(2)-3p - 0. p- ~y_~x P(P-~p-3) - 0 dus p- 0 of p-~p-3 - 0. Voor p- 0 is y- c.

Zij p-~p-3 - 0. Als ~p - 2 is p- 5 dus y- 5xfc, zo voor elke keuze van ~p. Zeg ~p - a, a E R dan is y-(af3)xtc.

De oplossing is voor constante c:

(y-c)(y-(at3)x-c) - 0, x E Vx ~~x, x~ en ~x vrij voor elke keuze van 0

~p - a E R.

Voorbeeld 6.3.

Ver eli'kin9 J 9 (P-x(2) )(P-xY) (p-y(2))- 0, p- ~X dan is p- x~ (2) v p xy v p -r~i

Y

Als (jvm) p- x(2) dan is y- 3x(3)tc.

Is p- xy, schrijf dan y- x~x. Stel dit 3 ~t, dan is ~- ~t ~ y- cle~t en Y

x~x - ~t ~ t- 2(2)fc2 (constante c2 is niet strikt nodig) zodat y- cE~t met t - lx(2) .₂

Voor p- y( 2) is ~x -~- 0~ x f Ó - c.

Y Y- y

De oplossing luidt

(y-3x(3)-c) (y-c~~t) (xt ~ -c) - 0 met t - 2 (2)

Y- Y

x E Vx ~~x, x~ en 4x vrij. 0

De vergelijkingen van de laatste dríe voorbeelden waren alle Van het ~-type. Ze kunnen echter ook van het E-type zijn.

Voorbeeld 6.4. Vergelijking

k(k2f1)Yktl -(a(k2t1)tk2)Yktlyk _{} akyk - 0, a E R, k E N.}

Deze vergelijking heeft ontbinding

jvm44

-((k-1)!yk - cak)((k2-2kt2)(k-1)yk - c(k-1)!) - 0, k~ 1.

Bovenstaande vergelijking kan eventueel omgeschreven worden tot een van het 4-type.

- Vergelijkingen van de gedaante f(x,p) - 0 of f(y,p) - 0.

Is het mogelijk naar p op te lossen dan kan men te werk gaan als hierboven. Soms kan men x of y oplossen als functie van p.

Zij bijv. x - ~(p).

Met ~y - p~x is 4y - p~'(p)~p (waarin ~'(p) - 0~-~).

Hieruit kan y opgelost worden als functie van p. Met x-~(p) heeft men dan de oplossing in parametervorm.

Parameter p elimineren is vaak moeilijk, zo niet onmogelijk. Voorbeeld 6.5. Zij de vergelijking x- p(3)tl. Dus ~y - p~x - p.3p(2)pP - 3((P}~P)(3) - p(2)~p)~p. zodat y- 4(pf~p)(4) - p(3)~p t c.

De oplossing in parametervorm is dan (jvtn)

x - p(3) t 1

y-~(p}~p)(4) _{- p(3)Op } c, p E Vp ~~p voor elke keuze van p0 en ~p.} 0

Met p~ - 0 en ~p - 1 geeft dit x - p(3) t 1 y- 3(Ptl) (4) - p(3)₄ t c of eventueel p E Z, c constant x - p (P-1) (P-2 ) f 1 y- 4(ptl)p(p-1)(P-2) - p(p-1)(p-2) t c Inderdaad is met Op - 1: ~y 3 4(Ptl) (3) - 3p(2) ~-~- 4~ ~x ~x Op 3p(2)

pEz.

of

~'(p)

~x - p ~p (met V~' (P) - ~~P~) .

Ook hier vinden wij de oplossing met p als parameter. Voorbeeld 6.6. Zij a Y - pt~p Men heeft a E R is constant. 1 a~p p. -(p}2~p) (2) ?nr7at sr -a Op (P}2~p)(3) a 2 (p}~p) (2) t

r-De algemene oplossing luidt a x- t c c constant 2 (p7~p) (2) a Y- p}~p p E Vp ~~p met p~ en ~p vrij. 0

Voor Op -; 0 worden de differentievergelijking en de oplossing resp. py - a met p- dy dx en 2 ~ x - 2 t c 2p (a)

waarbij _{(b) de oplossing is van (a) . (j~)} - Vergelijkingen van de gedaante y- f(x,p).

Kan vergelijking f(x,y,p) - 0 opgelost worden naar y, dan is ze te schrijven als

jvm4ó

-~)

Ze kunnen opgelost worden door in beide leden de differentie naar x te nemen.

t

df sfx ~

p - dx } dp ' Ox

Dit is een vergelijking van de le orde.

Lost men deze op dan vindt men F(x,p,c) - 0 als oplossing en hieruit p - cp(x,c)

Gesubstitueerd in (6.3) is dan y f (x,~P)

-(6.4.)

Men krijgt de oplossing door p te elimineren uit (6.3) en (6.4).

Men kan mogelijk (6.4) oplossen naar x, dan krijgt men samen met (6.3) een parametervoorstelling in p Van de algemene oplossing.

Deze manier van doen blijkt heel vaak de eenvoudigste te zijn.

Aldus kan men (jvm) ook te werk gaan als de differentievergelijking geschreven kan worden in de vorm

x f (Y,P)

-Het differentiequotiënt nemend naar y is dan t

1 df } afx ~

P - bY dP ~ ~Y

en verder te handelen als in het voorgaande. Voorbeeld 6.7. Gegeven zij y - 2xp - y(Pf4p)(Z). Los op naar x: 2x - y t y (pf~p) . P (6.5) (6.6)

Neem van beide leden de differentie naar y: of 2 1 _Yt~Y ~ t (PtOP) } (Y}~Y) ~ p - p - (P}OP)(2) . ~Y ~Y (1 - (P}~P) ) (1 t ~Y ~P-) - 0 P P}~P ~ ~Y en als (pt~p)(2) ~ 0 is P- (P}OP) - 0 v 1 f p~~ . ~y - 0.

Om te beginnen geeft het tweede gedeelte

p~f y~ - 0

met algemene (jvm) oplossing

(pt~p)v - c c constant

of

c y - p}~p.

Substitutie in (6.6) geeft als algemene oplossing van (6.5):

c c x - 2 (ptOp ) ( 2 ) } 2 c Y - pt~p (6.7) p E V voor alle p en ~p. (6.8) PD.~P ~

Het eerste gedeelte van (6.7) geeft:

(pt~p)(2) - 1 ~ p - -~P t (~P)2t4 2

Substitutie in (6.5) geeft voor pp - a, a E R:

y- 2(-a t ~a2f4)x x E VxO~Qx, x8 en px vrij.

Dit zijn twee oplossingen van (6.5) zonder constanten. We noemen dit singuliere oplossingen omdat ze voor geen enkele waarde van c uit de algemene oplossing

jvm48 -- Vergelijkingen die lineair zijn in x en i~ Algemeen zijn ze van de gedaante

- ~

y- x~ `P) t~U (P) ~ _{p- ~x} (6.9)

waarin ~ en ~ functies zijn van p alleen.

Voorbeeld 6.7 is hiervan een bijzonder geval. Zij worden opgelost op de vol-gende wijze.

Neem in (6.9) van beide leden het differentiequotiént naar x:

P - ~(P) t {(xt~x)Ó } 0 ~xP P~

Zijn p-~(p) en ~x beide ~ 0, waarover straks meer, dan kan men schrijven

~x - ~'(p) _{(xt~x) - ~~(~} ~P P-~(P) p-~(P) met ~~ (P) - ~p en V~~ (P) - ~p. Of inet xt~x - X: ~X _~~ ( ) V~ (P) ~P - P-~ (P) X - p-~ (P) (6.10) (6.11) (6.12) Dit is een lineaire differentievergelijking van de le orde met X als (jvm)

functie van p.

We lossen X op dan is ook x}~x bekend en met (6.9) ook y~eventueel in parame-tervorm.

Zij nu p - ~(p) - 0.

Hieraan wordt voldaan door een aantal constante waarden van p, zeg P1. P2. P3, .

Voor elke van deze waarden is ~- 0 dus voldoen deze constante waarden van p alle aan (6.10). Worden ze gesubstitueerd in (6.9) dan krijgt men een aan-tal oplossingen die, meetkundig gezien, rechte lijnen zijn. Allen zijn het singuliere oplossingen. Ze zijn niet begrepen in de algemene oplossing. Voorbeeld 6.8.

Gegeven zij

y - xp(2) - p(3) .

Neem de differentie naar x: p - p(2) t {2 (xtpx)p - 3p(2) }~ Voor p~ 2) - p ~ 0 is (2) -~ ~ ~p t (2) _{(xt~x) - 3} (2) P -P P -P Of inet X - xt~x: ~X } 2 X - 2 (P-~P) ~p p-~p-1 p-Op-1

De homogene oplossing van (6.15) is

X - c (P-2~p-1)(2) Stel c- c(p) en substitueer (6.16) in (6.15): -1C 1 L~C cC .~., ~~ u"~_{~r- r ~} (P-~p-1) (3) } (P-Op-1) (2) ~P } (P-Op-1) (3) - p-~p-1 Oc -3(P-~P)(P-2~p-1) ~p of ~p - 3 (P-~p) (2) - 3 (P-OP) dus c- (p-~p) (3) - 2(p-~p) (2) f c~~ ~

Daarmee wordt (6.16) (c weer vervangend door c) met X- xtpx:

(p-~p) (3)- 3(p-~p) (2)tc xt~x -en 2 (P-2~p-1)(2) 2(p-24p)(3)-3(p-20p)(2)f2c x -2 (p-3~p-1) In (6.13) is dan (2) y - _{2p(5)-3p(4)f2cp(2)} - p(3) . 2(p-3~p-1) (2) (6.14) (6.15) (6.16)

jvm50 x -~ - 2(p-2~p) (3) -3(P-2~p) (2)t2x 2(P-3~p-1) y - 2p(5)-3p(4)t2c ) - p(3) 2(p-30p-1) (2)

p E Vp ~Op voor alle p0 en ~p. 0

Is p(2)-p - 0 dus p-0 of p-Op-1 - 0 dan is gesubstitueerd in (6.13) voor p- 0 de oplossing y- 0, een singuliere oplossing.

Voor p-~p-1 - 0, bijv. met ~p - 5 is

p- 6, p(2) - 6.1 - 6 en p(3) - 6.1,- 4--24 dus y- 6x-24. Singuliere oplossing voor Op - 5, x E V Intermezzo

Alvorens verder te gaan eerst iets uit de Differentie-rekening. Overbekend is de eigenschap: (jvm)

2

(A) ax t bx t c- 0, a~ 0 heeft dan en slechts dan twee gelijke wortels als b2-4ac - 0.

Het analogon van deze eigenschap uit de Differentie-rekening luidt:

(B) ax(2) t bx t c- 0, a~ 0 heeft dan en slechts dan twee wortels die Ox ver-schillen als b2áÓx - 4ac - 0.

Het bewijs is als volgt.

Stel ax(2) t bx t c- 0, a~ 0 heeft de wortels xl en x2 met xl-x2 - ~x. (~x is gegeven).

We moeten nu xl en x2 elimineren uit

xl - x2 - ~x (1) b-a~x xl t x2 - - a c xlx2 - á (1) en (2) geven xl -- 2á t ~x en x2 -- 2á.

Substitueer dit in (3) dan is - 2a (- 2á t ~x) - á

of

b2á~x - 4ac - 0.

Omgekeerd zij gegeven ax(2j _{t bx t c- 0, a~ 0 met b2áÓx - 4ac - 0.} Elimineer c:

4a2x(2) t 4abx t b2á0X - 0.

Na enige herleiding wordt dit

(2axtb)(2a(x-4x)tb) - 0.

De wortels zijn -2a en - 2a t ~x, verschillen inderdaad ~x. Daarmee is de eigenschap volledig bewezen.

Opm. Voor ~x ~ 0 gaat eigenschap (B) over in eigenschap (A). Vervolgens geven we nog de volgende definitie:

Getallen a en b E VXO~~x heten opeenvolgend als la-bl - ~x.

Stelling (B) is een bijzonder geval van de meer algemene stelling: (jvm)

(C) In VX ~~x heeft functie f(x) dan en slechts dan twee opeenvolgende nulpun-ten aQs stelsel

~fX (X). _{- ~}

een gemeenschappelijke wortel heeft. Bewijs:

Stel f(x) heeft de opeenvolgende nulpunten xl en x1tOx dan hebben f(x) en fx(x) nulpunt x1tOx gemeenschappelijk immers als

f(x) -(x-xl)(x-xl-Ox)g(x), g(x) willekeurige functie, met nulpunten xl en xlt~x.

dan is

fx(x) -(x-xl-Ox)(x-xl-2~x)gX(x), met nulpunten xlt~x en xlt2~x.

Dan hebben dus

jvm52 -nulpunt xlt~x gemeenschappelijk dus stelsel

f (x) - 0

- 0

heeft een gemeenschappelijke wortel.

~f-(x)

Stel omgekeerd f(x) en ~x hebben het gemeenschappelijke nulpunt xl, dan is f(x) - 0 én f(x) - fx (x) - 0 voor x- xl .

Dus is ook voor x- xl

f(x) - 0 én f- (x) - 0 x zodat f(xl )- 0 én f(xlt~x) - 0 Daarmee is dan f(x) - 0 voor x- xl en x - x1fOx.

Tenslotte definiéren we nog:

In V_xg,~x raken een kromme en een rechte elkaar als ze twee opeenvol-_~)

gende punten gemeen hebben.

(Raken is snijden in opeenvolgende punten.) Een rechte als boven bedoeld is een raaklijn.

Voor ~x -~ 0 worden twee opeenvolgende punten in VxO~Qx twee samenvallende pun-ten in ~t. Raken heeft dan weer zijn gebruikelijke betekenis.

- Vergelijkingen van Clairaut.

Oorspronkelijk uit de theorie van de Differentiaalvergelijkingen, komen analo-ge Differentieveranalo-gelijkinanalo-gen ook voor.

Zij zijn van de gedaante y - xp f f(P)

dus een bijzonder geval van (6.9) met (jvm) nl.

(6.17)

~ (P) - p.

Neemt men in (6.17) van beide leden het differentiequotiént naar x dan is

p - p f { (xfOx) f _~}-Ox~~

Hieraan is voldaan als

of als

~- 0~ p- c met c constant

Ox

~f (P) ~~p

(xtpx) t Qp - 0 dus indien x t ~p - 0.

Uit (6.17) en (6.18) volgt de algemene oplossing

y - cx t f (c) x E V met c E IR constant. x0,~x

(6.18) (6.19)

(6.20) Eliminatie van c m.b.v. (C) komt neer op het bepalen van de kromme die door

(F.2n) _{;., tWPP nnePnvolgende punten wordt gesneden; d.i. de kromme waaraan elk} der rechten (6.20) raakt.

Als men in V uit (6.17) en (6.19) p elimineert krijgt men de kromme die P ~~P

gesneden word~ in telkens twee opeenvolgende punten.

p elimineren uit (6.17) en (6.19) geeft hetzelfde resultaat als bij eliminatie van c(met a0 - c0 en ~p - ~c) (jvm)

y - cx t f (c)

pf-(c) c E Vc ~Qc voor alle c0 en pc

x t c_pc - 0 0

(6.21)

Dit resultaat geeft de omhullende kromme van de oplossingsverzameling, nl. voor c E IR bij vaste c.

Men kan van de omhullende kromme een parametervoorstelling vormen met (6.17) en (6.19), nl. . F- I ~. ` ~ `~ ~ Op ~f- (P) y - -p.--Q- t f (P) p E R.

jvm54

-De kromme die men krijgt door p te elimineren uit (6.17) en (6.19) of m.b.v. (C) constante c uit (6.20) is niets anders dan de omhullende kromme van het stelstel

y- cx f f(c), x E Vx ~~x, c i- Vc ~~c bij elke vaste keuze van c0 en ~c.

0 0 Voorbeeld 6.9. Vergelijking y- xp-p(2; p- ~y. ~x De algemene oplossing is y- cx - c(2) x E Vx ~Qx, c~ Vc ~~c voor elke c0 en ~c. 0 0

Eliminatie van c uit

c(2) - xc t y- 0 2 (c-pc) - x - 0

(6.21)

(6.22)

geeft ~uccessievelijk2c(2) - xc - 0 door vermenigvuldiging met c in (6.22). 1

Substitutie in (6.21) geeft dan y- 2 x. Met (6.21) is dan y- c(2) .

De parametervoorstelling van de omhullende (jvm) kromme luidt dus I x - 2 (c-~c)

1

of na eliminatie van c: y- 1x2, d.i. de omhullende horend bij de

differenti-2 4 ~

aalvergelijking y- xp - p, p- _{~x ~}

Voorbeeld 6.10.

Zij gegeven de differentievergelijking

16(yt3~y)(3)p2 - 4xp t y- 0~ p-~

~x' (6.23)

Vermenigvuldig daartoe in (6.23) beide leden met (yf3~y)(3).

(4(yf30y) (3)p)2 - 4x(yt3~y) (3)p t (Yt3~y) (4) - 0 Stel nu (yt30y)(4) - u dan is

v - ~ - 4(yt34Y) (3)P

Substitueer dit in (6.24):

2 ~u

u - xv - v v

-~x '

Dit is een vergelijking van Clairant met algemene (jvm) oplossing u - cx - c

of

2

(yf3~y)(4) - cx-c2 x E Vx ~~, c:: Vc ~ ~c constant.

0 0

Deze oplossing kan eventueel geschreven worden in parametervorm. Zij daartoe y t 30y - t dan is x- 1 t(4) t c c~ 0. c De parametervoorstelling luidt: x- 1 t(4) f c_c y- t- 3~t

t E Vt ~Ot met t0 en ~t vrij te kiezen 0 Voorbeeld 6.11. Vergelijking y - xp - p2 ~ p - ~ 4x (6.24) (6.25) (vergelijk met voorbeeld 6.9)

jvm5ó -p - -p t {(xt-px) - (2-pt-p-p)~, ~x - 0 b p- c of (xtpx) - ( 2PtOp) - 0. Substitueer ( 6.26) in ( 6.25): dan is y- cx - c2 c~ V c~,~c (6.27) geeft x-(2p-~p) - 0 dus ~p - 2px dan is p- 2(x t Z~x).

Substitueer het gevondene in (6.25):

of y- 2x (x t 2~x) - 4(x t 2~x)2 (6.26) (6.27) (6.28) y- 4x2 - 16(Ox)2 x E R. Dit is de omhullende kromme.

Eventueel kan ook:

(6.27) geeft x - 2p - Op.

Gesubstitueerd in (6.25): (jvm)

y- p(2P-~p) - p2 of y- p(2)

De parametervoorstelling van de omhullende kromme is x - 2p - ~p

Y - P(2)

p ~ R.

Met ~p - 24x (zie (6.28)) krijgt men p- 2(xt~p) - 2(x t 20x)

(6.29)

dus

y- 2(x t 2~x) (2 (x f 2~x) - Z~x) y - 4x2 - 16(~x)2

IN 1983 REEDS VERSCHENEN O1. F. Baekema L. Verhoef 02. R. H. Veenstra J. Kriens 03. J. Kriens J.Th. van Lieshout J. Roemen P. Verheyen 04. P. Meys 05. H.J. Klok 06. J. Glombowski M. Kriiger 07. G.J.C.Th. van Schijndel 08. F. Boekema L. Verhoef 09. M. Merbis 10. J.W. Velthuijsen P.H.M. Ruys 11. A. Kapteyn H. van de Stadt S. van de Geer 12. W.J. Oomens 13. A. Kapteyn T.R, Alnoant~b ~-~~ Enterprise Zones.

Vormen Dereguleringszones een ade-quaat instrument van regionaal sociaal-economisch beleid?

Statistical Sampling in Internal Control Systems by Using the A.O.Q.L.-System.

Management Accounting and Operational Research. Het autoritair etatisme.

De klassieke politieke economie geherwaardeerd.

Unemployment benefits and Goodwin's growth cycle model.

Inkomstenbelasting in een dynamisch model van de onderneming.

Local initiatives: local enterprise agency~trust, business in the

community.

On the compensator, Part II, Corrections and Extensions. Profit-non-profit: een wiskundig economisch model.

The Relativity of Utility: Evidence from Panel Data. Economische ínterpretaties van de statistische resultaten van Lydia E. Pínkham.

The impact of weather on the income and rnns~annti~n ~f farm households in India:

A new test of the permanent income hypothesis? jan.

jan.

14. F. Boekema _{Wordt het milieu nu echt ontregeld?}

ii

IN 1983 REEDS VERSCHENEN (vervolg) 15. H. Gremmen

Th. van Bergen De universitaire economen over hetregeringsbeleid. april 16. M.D. Merbis

17. H.J. Klok 18. D. Colasanto

A. Kapteyn J. van der Gaag 19. R.C.D. Berndsen H.P. Coenders 20. B.B. v.d. Genugten J.L.M.J. Klijnen 21. M.F.C.M. Wijn 22. P.J.J. Donners R.M.J. Heuts 23. J. Kriens R.H. Veenstra 24. M.F.C.M. Wijn 25. A.L. Hempenius 26. B.R. Meijboom 27. P. Kooreman A. Kapteyn 28. B.B. v.d. Genugten K. v.d. Sloot M. Koren B. de Graad 29. W. de Lange

On the compensator, Part III, Stochastic Nash and Team Problems. Overheidstekort, rentestand en groei-voet; terug naar een klassieke norm voor de overheidsfinanciën?

Two Subjective Definitions of

Poverty: Results from the Wisconsin Basis Needs Study.

Is ínvesteren onder slechte

omstandigheden en ondanks slechte vooruitzichten zinvol?

Een Markovmodel ter beschrijving van de ontwikkeling van de rundvee-stapel ín Nederland.

Enige fiscale-, juridische- en be-drijfseconomische aspecten van goodwill.

Een overzicht van tijdsvariërende parametermodelspecificaties in regressieanalyse.

Steekproefcontrole op ernstige en niet-ernstige fouten.

Mislukken van ondernemingen. Relatieve Inkomenspositie,

Individuele en Sociale Inkomens-bevrediging en Inkomensongelijkheid. Decomposition-based planning

procedures.

The Systems Approach to Household Labor Supply in The Netherlands Computergebruik bij propedeuse-colleges econometrie

Korter werken of Houden wat je hebt

Tendenzen, feiten, meningen

IN 1983 REEDS VERSCHENEN (vervolg)

30. A. Kapteyn _{The impact of changes in íncome}

S. van de Geer and family composition on

H. van de Stadt _{subjective measures of well-being okt.}

31. J. van Mier Gewone differentievergelijkingen

met niet-constante coëfficiënten

en partiële differentievergelijkingen nov.

32. A.B. Dorsman _{Een nieuwe marktindex voor de}

J. van der Hilst Amsterdamse effectenbeurs

De Tam 33. W. van Hulst

nov. Het vervangingsprobleem bij duurzame

produktíemiddelen en de

ondernemings-doelstelling volgens J.L. Meij dec.

34. M.D. Merbis _{Large-Scale Systems Theory for the}

Interplay Model dec.

35. J.P.C. Kleijnen Statistische Analyse:

IN 1984 REEDS VERSCHENEN O1. P. Kooreman A. Kapteyn 02. Frans Boekema Leo Verhoef 03. J.H.J. Roemen 04. M.D. Merbis 05. R.H. Veenstra J. Kriens 06. Th. Mertens 07. P. Bekker A. Kapteyn T. Wansbeek 08. B.R. Meijboom 09. J.J.A. Moors

IIIIaN~pIRVVQÍnÍIIÍIÍ~ÍInÍ~~ÍYnIV

Estimation of Rationed and Unrationed Household Labor Supply Equations Using Flexible Functional Forms

Lokale initiatieven; Sleutel voor werk-gelegenheidsontwikkeling op lokaal en regionaal niveau

In- en uitstroom van melkvee in de Nederlandse rundveesektor geschat m.b.v. een "Markov"-model

From structural form to state-space representation

Steekproefcontrole op ernstige en niet-ernstige fouten

(gecorrigeerde versie)

Kritiek op Habermas' communicatie-theorie: een evaluatie van het Gadamer-Habermas-debat en van Ha-bermas' interpretatie van de taal-handelingstheorie. Een onderzoeks-verslag

Measurement error and endogeneity in regression: bounds for ML and IV-estimates

An input-output like corporate model including multiple technologies and "make-or-buy" decisions

On the equivalence between