Gewone differentievergelijkingen met niet-constante coëfficiënten en partiele differentievergelijkingen (vervolg R.T.D. 84.32)

Tilburg University

Gewone differentievergelijkingen met niet-constante coëfficiënten en partiele

differentievergelijkingen (vervolg R.T.D. 84.32)

van Mier, J.

Publication date:

1986

Document Version

Publisher's PDF, also known as Version of record

Link to publication in Tilburg University Research Portal

Citation for published version (APA):

van Mier, J. (1986). Gewone differentievergelijkingen met niet-constante coëfficiënten en partiele

differentievergelijkingen (vervolg R.T.D. 84.32). (blz. 124-196). (Ter Discussie FEW). Faculteit der Economische

Wetenschappen.

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim.

Q

CBM

R

subfaculteit der econometrie

~--"~- ~,~7~' il..~ ; . tr:~

~ ;1, ~,~i;;', : H: .." r~,'. .w.'t'S

!

;ii

~~ `

P1o. 86.02

Gewone differentievergelijkingen met niet-constante coëfficiënten en partiële diffe-rentievergelijkingen

(vervolg R.T.D. 84.32)

S~~ ~j

Intermezzo III

Totale differenties

Op blz. 12 was reeds gedefinieerd het begrip totale differentie van functies met twee veranderlijken.

Dit is gemakkelijk uit te breiden tot functies (jvm) met drie variabelen.

Voor elke functie u- u(x,y,z), x,y,z IR vindt men

exyz u u( xf ex, yf ey, zfez) u( x, y, z)

-~

- u

u

-xyz

(u~z uxy)}f (uxy uX) f ( X u)

--d~ezfaayeyfáZex.

De volgorde der termen omkerend is dan de totale differentie van u- u(x,y,z)

du dx dux

exyZU - dx ex -~ dy ey f~ ez

In regel (III.1) waren tussengevoegd de termen u en u~.

x xy

Dit was een volledig willekeurige keuze. Er zijn 3! - 6 keuzen mogelijk, nl.

f -~--F f ~--F -F ~ u_x en u_xy, u_y en u_yz, u_z en u , zx -~ ~--F f ~-f- f ~-F uz en uzy, uy en uyx, ux en uxz~

Men krijgt dan afgezien van (III.2) nog

auyz

du ~

eyzxu - dx ex f dy ey } 8z ez

~- i--F

e

_zxy

u- auZ ex t du2X ey } au ez

_dx

_dy

dz

~-f-

f

- ~

du

d-Y...

eyxz"

dx ex f áy ey } az ez

du~

du

exZyu - áX ex f dyZ ey f dZ eZ

In de schrijfwijze e_xyzu, e_yzxu, etc. is aangegeven (van links naar rechts) de volgorde waarin (jvm) de verschillende partiéle differentiequotiënten genomen zijn.

Voorbeelden III.1. 1. Zij u- xyz dan is

exyZU - yzex t(x-~ex)zey f(xfex) (yfey) ez

en

eyXZU - (y~-eY) zex f xzey -~- (x-~ex) ( y-Fey) ez.

2. Met u- x(2)y(3)(zfa)(4), a E IR constant, is

eyzx" - 2x(yfey)(2)(zfezta)(``)ex ~ 3x(2)y(2)(z~a)(4)ey -~

~ 4x(2)(Yfey)(3)(zfa)(3)ez.

3. Voor u- e3Óxy(2)z vindt men

eZyxu - 3E3ex(yfey)(2)(zfez)ex -~ 2e3exy(zfez)ey f

} c3exy(2)ez.

Dit alles is probleemloos uit te breiden tot elk aantal veranderlijken, echter met n variabelen zijn er n! mogelijke volgorden.

(III.2) t~m (III.7) zijn allen van de gedaante

e

u- Pex f Qey t Rez,

waarin ... een of andere der 6 mogelijke volgorden aanduidt en P, Q en R

func-ties zijn van x, y en z.

(x-y-z) betekent: de volgorde der veranderlijken, waarnaar achtereenvolgens de differentiequotiënten zijn genomen, is x, y en z.

Voor (y-x-z) is de volgorde y, x en z, enz.

Voorlopig zullen we ons praktisch alleen bezighouden met de volgorde (x-y-z).

Zij gegeven u- f(x,y,z), dan is

met

exyzu exyzf(x~y~z) -- Pex f Qey f Rez

P- df

_{dfx en R-}

dfxY

sx' Q - dy

dz

Blijkbaar is

dP

d2f

d2f

dQx

áy - dydx - dxdy - dx

dQx

d2f

d2f - dRXy

dz - dzdy - dydz -

dy

dRXY - _{d2f - d2f - dP}

dx dxdz dzdx dz'

Wanneer zijn nu uitdrukkingen als

Pex ~- Qey en

Pex

f Qey f

waarin P en Q resp. P, Q en R functies zijn van x en y ofwel x, y en z, totale differenties?

We (jvm) zullen de volgende stellingen bewijzen. Stelling III.1.

Voor volgorde (x-y) is Pex f Qey met P- P(x,y) en Q- Q(x,y) dan en slechts

dan een totale differentie als

en

Stelling III.2.

Voor volgorde (x-y-z) is Pex f Qey ~- Rez met P- P(x,y,z), Q- Q(x,y,z) en R-R(x,y,z) dan en slechts dan een totale differentie als

dQ

dRxy

dz

dy

x r

dx - dz'

Hieruit kan men ook de stelling snel formuleren voor andere (jvm) volgorden, waarover echter eerst later meer.

Is in stelling III.1

Pex

f Qey

een totale differentie voor ( x-y) dan i s er een functie u- f(x,y), zó dat f

df Pex t Qey - exyu - áX ex f dy eY,

df}

dus is P- áX en Q- dy.

Hiermee is dan

dP

d2f

d2f

dQx

dy - dydx - dxdy -

dx'

Zij omgekeerd gegeven uitdrukking

Pex f Qey,

waarvoor geldt

dP dQx _(III.9)

Stel we hebben een functie F- F(x,y) zó dat

dan is m.b.v. (III.9)

Uit het eerste en vierde lid volgt dF - P áx

d2F

d2F

dP

d4x

dxdy - dydx - dy -

dx

áx (áy - 4x) - o

waarin c een constante i s t.a.v. x.

I.h.a. is c hooguit een functie van y alleen, zeg c-~(y). Zij nu verder f- f(x,y) een functie van x en y zó dat

f- F f iy met Qy -~.

dan is m.b.v. (III.10)

df dF - P

áx - 6x

want ~ is een functie van y alleen, en

df

dF

~ - dF

-áy - -áy } oy

dy }~- Qx

met (III.12), (III.11) en c-~(y). Hiermee is dan

df}

P~x f Q~y - áX ex f _{dy eY - ~xyf .}

een totale differentie, waarmee stelling III.1 volledig bewezen is.

(III.12)

Zij Pex f Qey f Rez een totale differentie dan is er een functie f- f(x,y,z) zó dat voor volgorde (x-y-z) geldt

Pex -F Qey f Rez - e

f-xyz df} df~ - áX ex f dy ey i- áZ~ ez. Dus is P- Sf, Q-dx

i dP - dQx

dy

dx

az

ay

dR y

_dP

dfX

df~

dy en R- dZy, waaruit volgt

i

I

aQx - d-~

x

dx

dz

(III.13)

Zij (jvm) omgekeerd gegeven Pex f Qey f Rez waarin P, Q en R voldoen aan

(III.13).

dQ

Omdat geldt

_{dy -}

_dx

Pex f Qey - e F xy

(zie stelling III.1),

dus is

- Q.

Uit (III.14) volgt gebruikmakend van (III.13)

b2F

d2F

dP

dRxy

dxdz - dzdx - 8z -

dx

(III.14)

(III.15)

d2F

d2F

dQx

dRXY

dydz - dzdy -

dz -

dy '

zodat uit de eerste en vierde leden resp. volgt

dx (dz - Rxy) - ~

Dus is

áy (ái - Rxy) - 0.

dF

--dz- Rxy- ~ (III.16)

waarin ~ hooguit een functie van z alleen i s, zeg ~-~(z). Zij nu f- f(x,y,z) zb, dat

f- F f ~r met ez -~ dan is en df _{dF - P met (III.14)} dx - dx áf - áF - Qx met ( III.15) Y Y df dF } ~~, - dF ~~-R- met (III.16). dz - áz ~z áz xy Daarmee is dan

df

dfX

dfX

P~x ~- Q~y -h ROz - dx ~x f dy Dy f~ ~z - Oxyzf ,

een totale differentie. Hiermee is ook stelling III.2 volledig bewezen.

N.B. Gebruil~akend van volledige inductie is dit op volkomen analoge (jvm)

wijze gemakkelijk te generaliseren.

Men zorge er dan wel voor dat de voorwaarden in een geschikte volgorde staan. Bijvoorbeeld voor vier variabelen.

aP

a4x

áy - ax

~aP aRXy aQX a X~

OG - aX ~ aZ - ay

aP

asXyz aQX

asXyZ aRxy

asXyZ

au - aX ~ au -

ay ~

su -

aZ '

enz. als in het bewijs van stelling III.2. Er zijn (jvm) nu dus 6 voorwaarden.

(i.h.a. zijn er bij n veranderlijken ~n(n-1) voorwaarden)

Andere volgorde. Zij gegeven

P~x t Q~y (III.17)

waarin P- P(x,y) en Q- Q(x,y) voldoen aan

6y -

ax'

Blijkbaar geldt (x-y).

Is het mogelijk in (III.17) over te stappen op de volgorde (y-x)? Kan men dus (III.17) schrijven als

P~x f Q~y met

dP

-~ - ~

ay

dx

voor zekere p- p(x,y) en Q- Q(x,y)?

Wegens (III.18) is (III.17) een totale differentie. Er bestaat dus een functie f- f(x,y) en dus is

Schrijf nu

e f f~ f

-xy xy

- (fXy - fy) f (fy - f)

df}

- áX ex -~ áy ey - eyXf

en dit is (III.19) als

df}

P- áXenQ- ay.

Vergelijk dit met (III.21) dan is

P- P} en Q- Q-. y x Verder is Q-d.~- aP- dx-~

dy

dy

dx

dx

zodat ook voldaan i s aan (III.20).

Voorbeeld III.2.

dQ

Wat wordt yex f xey met blijkbaar áy - dx bij de volgorde (y-x)?

df}

Met P- áX- y is P- áX- Py- yf ey

f

Q- ddx-x

Q- sy- QX-x-ex

y

dus yex f xey voor ( x-y) wordt

(yfey)ex f( x-ex)ey

Zij (jvm) gegeven

Pex -t- Qey f Rez met

(III.22)

Er is dan een functie u- f(x,y,z) waarvoor

Pex

t qey f Rez - e

u.

Blijkbaar is de volgorde (x-y-z). Wat krijgt men bij volgorde (z-x-y)? Voor (x-y-z) is

df

-

8f

--

df

P- dx' Qx - dy' Rxy - dz

Stel (III.22) wordt voor (z-x-y)

Pex

f Qey f

Rf}

f

-

,

--

or

f

dus Pex f Qey f Rez - P}ex f Q}ey f R-ez als ( z-x-y).

z z xy

Als f(x,y,z) - xyz, dan i s voor ( x-y-z) exyZxyz - yzex f(xfex)zey f(xfex) (yfey) ez Met P- yz, Q- (xfex)z en R- (xfex) (yfey) is

-~

--P- Pz - y(z-i-ez) , Q- QZ -(x~i-ex) ( z-~-ez) en R- Rxy - xy.

Men vindt dan

yzex f (xfex)zey f (xfex) (y~ey) ez

-- y(zfez)ex f(xfex)(zfez)ey f xyez -- ezXyf

df~

VIII. Gewone differentievergelijkingen met drie veranderlijken

Op blz. 12 e.v. was sprake van gewone differentievergelijkingen met twee vari-abelen van de gedaante Mex f Ney - 0 waarin M- M(x,y) en N: N(x,y) is.

Bij deze symmetrísche schrijfwijze is blijkbaar in het midden gelaten (jvm) welke der veranderlijken onafhankelijk dan wel afhankelijk is. We willen het bovenstaande nu uitbreiden tot vergelijkingen met drie veranderlijken

Pex f qey t Rez - 0

(8.1)

waarin P- P(x,y,z), Q- Q(x,y,z) en R- R(x,y,z) functies zijn van drie reële veranderlijken x, y en z. Ook hier is niet te onderscheiden welke der variabe-len onafhankelijk zijn en welke afhankelijk is.

Daarnaast zullen wij beschouwen de simultane vergelijkingen ex - ~ - ez

P Q R

(8.2)

waarin P, Q en R ook functies zijn van de drie veranderlijken x, y en z E IR. Wij zullen een beroep doen op het begrip richtingscosinus.

In de onderstaande figuur zij A een punt met rechthoekige coárdinaten (x,y,z). Span met A als hoekpunt een rechthoekig blok op waarvan de ribben

ex, ey en ez evenwijdig zijn met de positieve richtingen der coórdinaatsassen. B is het punt met coSrdinaten (xfex, yf-ey, zfez).

Noem de hoeken die lijnstuk AB met de positieve richtingen der assen maakt

resp. a, g en Y. cos a, cos B, cos Y heten de richtingscosinussen. Met ÁB - r is blijkbaar

ex - ~ - ez - r _(8.3)

waarbi j ( ex) 2 f ( ey) 2 f ( ez) 2- r2. Verder i s cos2a f cos2s f cos2Y - 1

en ex.cos a f ey.cos s f ez.cos Y- r

zoals gemakkelijk te bewijzen is. zij gegeven de ruimtekromme

- ~1(t)

- ~2(t)

_{t E Vt et}

o~

- ~3(t).

(8.4)

Dit is feitelijk een puntenverzameling in IR3, zoals we die reeds in IR2 heb-ben beschouwd.

Evenals in IR2 is een raaklijn aan ruimtekrommen (8.4) een rechte die met de ruimtekromme twee opeenvolgende punten gemeen heeft, dus bijv. de twee punten voor t- tl en t- tl f et.

ex ey ez

(ét' et' ót)

is het drietal dat zich verhoudt als de richtingscosinussen in een punt

(x,y,z) van ruimtekromme (8.4).

De verhouding der richtingscosinussen is (jvm)

ex : ey : ez - cos a: cos S: cos Y. Achtereenvolgens zullen o.a. ter sprake komen

l. De oplossing van de simultane vergelijkingen eP - Q- ~R.

2. Het gebruik van multiplicatoren om hiermee deze vergelijkingen op te los-sen.

3. De meetkundige interpretatie van de differentievergelijking Pex f Qey f Rez - 0.

4. Een methode om deze te sommeren als de oplossing niet voor de hand ligt. 5. De nodige en voldoende voorwaarde voor sommeerbaarheid van vergelijking

Pex f Qey t Rez - 0.

- Simultane differentievergelijkingen

Zij

~x ~y ~z

P- Q- R~

(8.5)

P, Q en R zijn functies van de reële veranderlijken x, y en z. (8.5) geeft aanleiding tot drie vergelijkingen

QOx - PDy, R~y - Qez, P~z - ROx (8.6)

Elk van deze vergelijkingen volgt uit de beide andere en omgekeerd.

Dus (8.5) is equivalent met elk tweetal vergelijkingen dat men uit (8.6) kan kiezen. Er zijn nu drie mogelijkheden.

Van (8.6) zijn twee, een of geen der vergelijkingen sommeerbaar. (jvm) We gaan elk van deze mogelijkheden na.

a. Twee vergelijkingen zijn sommeerbaar. Geven deze vergelijkingen resp.

g(x,y,z) - cl en h(x,y,z) - c2 cl, c2 E IR constant (8.7)

als algemene oplossingen, dan vormen beide samen de meest algemene oplossing van (8.5).

Meetkundig geeft dit een ruimtekromme. Door elk punt van IR3 gaat precies één enkele van deze krommen; immers gegeven een willekeurig punt (x0, y0, z~) dan zijn met (8.7) cl en c2 eenduidig bepaald. De gezochte ruimtekromme is de ge-meenschappelijke doorsnijding van beide voor deze waarden van cl en c2.

Voorbeeld 8.1

Los op de simultane vergelijkingen ex - ~ - ez

-x - xfy 1'

eX - ei is sommeerbaar en heeft de algemene oplossing

(8.8)

Ook vergelijking ~X - X}y is sommeerbaar en heeft als algemene oplossing

X(2) f 2(x- eX)y - c2.

De algemene oplossing van het stelsel is dus -z

x

-cle-ez

x(2) f 2(X- eX)y - c2

cl, c2 E IR

Dit is tevens de meest algemene oplossing van (8.8)

b. Van (8.6) is slechts één der vergelijkingen sommeerbaar. Zeg deze vergelijking heeft de algemene oplossing g(x,y,z) - c.

Hiermee kan men vervolgens uit de niet-sommeerbare vergelijkingen één der on-bekenden elimineren en dan het zo verkregen resultaat verder (jvm) oplossen. Voorbeeld 8.2

Los op

ex

ey

e2

X - X-f-Z - -Z'

Hierin is alleen ~x - ~z sommeerbaar._{x -z} De oplossing hiervan luidt

(x-ex)z - cl.

Elimineer hiermee z uit ex -_{x xfz'}ey

Substitueer hierin cl -(x-ex)z dan is

x-y-z - c2.

De algemene oplossing van het stelsel luidt daarmee

(x-ex)z - ci

cl, c2 E IR constant.

c. Van ( 8.6) is géén der vergelijkingen sommeerbaar.

In (jvm) dit geval breiden we het aantal vergelijkingen van

ex

ey

ez

P - Q - R

uit m.b.v. een bekende eigenschap over evenredigheden x-y-z - c2

ex - ~ - ez - ~lex-~mleyi-nlez - Q2exfm2eyfn2ez

P Q R- 1C1P f m1Q f n1R k,2P f m2Q f n2R

waarin R,i, mi en ni, i- 1,2 willekeurige functies van x, y en z zijn en waar-bij dan QiP f miQ f niR, i- 1,2 al dan niet gelijk is aan nul.

De factoren Qi, mi, ni noemen we multiplicatoren.

Door een geschikte keuze van deze multiplicatoren kan men mogelijk sommeerbare vergelijkingen krijgen, bijv. van de gedaante:

e Qiexfmieyfniez R.lexfmley-Enlez ~,2ex~-m2eyfn2ez

Q- kiP f miQ f niR of JC1P f m1Q f n1R - R2P f m2Q f n2R~

Is R,iP f miQ f niR - 0 voor zekere multiplicatoren dan is ook l~iex f miey f nlez - 0.

- De oplossing van simultane vergelijkingen m.b.v. multiplicatoren

De methode wordt toegelicht aan de hand van enige voorbeelden.

In de voorbeelden is geen der gegeven vergelijkingen sommeerbaar hoewel dit niet noodzakelijk is.

Zij om te beginnen !CP f mQ f nR ~ 0. Voorbeeld 8.3

Gegeven zij de vergelijking

ex - ~ - ez

y-z z-x y-x'

Inderdaad is geen der mogelijke vergelijkingen sommeerbaar. Met f~ - m- 1, n- 0 is

ez -

~ex ~ mey f nez

- exfey

y-x - k(Y-z) f m(z-x) f n(y-x) - y-x waaruit als oplossing volgt

x f y- z- cl

Hiermee wordt _y-zex -~ als men z elimineert_z-x

ex ~ cl-x - y-cl ofwel (Y-cl)ex ~- (x-cl)ey - 0 met oplossing (x-ex-cl)(y-cl) - c2

Elimineren we weer cl met (8.10) dan is

(z-ez-yfey) ( z-x) - c2

(8.10) en (8.11) vormen samen de algemene oplossing van (8.9). (jvm) Met ICP f mQ f nR - 0 geven we

(8.9)

(8.10)

Voorbeeld 8.4

~x 0 rOz

q-r yz - r-p zx - ~q~

waarin geen twee der constanten p, q, r E IR gelijk zijn.

In (8.12) is elk van de breuken gelijk aan (jvm) kpOx f mq~y f nr~z

R(q-r)yz f m(r-p)zx f n(p-q)xy~ We bepalen ~, m en n zó dat

1C(q-r)yz f m(r-p)zx f n(p-q)xy - 0. Schrijf om te beginnen (8.14) in de gedaante

q(Qyz-nxy) f r(mzx-kyz) f p(nxy-mzx) - 0 dan is hieraan voldaan door R,, m en n met

!C . m. n- x . y. z

zodat voor f~ - x, m- y en n- z uit (8.13) volgt

px~x f qy~y f rz~z - 0

met oplossing

Px(2) } qY(2) f rz(2) - c.₁

Ook kan men voor (8.14) schrijven

z(~,qy-mpx) f y(npx-Qrz) f x(mrz-nqy) - 0 met k. m. n- px . qy . rz.

(8.12)

(8.13)

(8.14)

(8.15)

p2xex f q2yey f r2zez - o

met oplossing

p2x(2) f q2y(2) f r2z(2) - c.

₂

(8.15) en (8.16) vormen samen de algemene oplossing van (8.12).

(8.16)

Multiplicatoren kunnen natuurlijk ook gebruikt worden als één of ineer der si-multane vergelijkingen sommeerbaar zijn.

Voorbeeld 8.5

ex

ey

ez

y - -x - 2x-3y'

Hierin geeft ~y - ~X de oplossing

x(2) f y(2) - cl.

Verder is 3(y) f 2(-x) f 1.(2x-3y) - 0, dus een tweede oplossing is

3x -F 2y f z- c2.

De algemene oplossing luidt

x(2) -~ y(2) - cl

cl, c2 E IR constant 3x f 2y f z- c2.

- De meetkundige interpretatie van vergelijking Pex f qey -f- Rez - 0

(8.17)

P, Q en R zijn drie functies van x, y en z. (jvm)

Vergelijking Pex f Qey f Rez - 0 drukt uit dat de raaklijn aan een kromme

loodrecht staat op een zekere rechte, waarbij de richtingscosinussen van de

De begrippen kromme, raaklijn, (jvm) enz. (reeds eerder gebruikt in een IR2) worden steeds gehanteerd in de zin der differentierekening, zo niet dan wordt dit telkenmale vermeld.

Een kromme y- f(x) is een discrete puntenverzameling {(x,f(x))~x E V_x0,ex} met ex ~ 0, een raaklijn is een rechte die met een kromme twee opeenvolgende

punten gemeen heeft, enz. ( zie o.a. blz. 10, 52). Een oppervlak z- f(x,y) is eveneens een discrete puntenverzameling

{(x~Y~f(x~Y))Ix E VxO,ex' y E VyO~ey} met ex en ey ~ 0.

De vergelijking van een raakvlak in een punt ( x,y,z) aan een oppervlak

z-f(x,y) luidt

df}

Z- z- áX (X-x) f dy (Y-y)

(8.18)

Op blz. 51 waren reeds gedefinieerd de begrippen opeenvolgende getallen en

opeenvolgende punten in R. Algemeen zij nu

Def. 8.1

In IRn, n E IN, heten twee punten opeenvolgend als één van hun coórdinaten een

paar opeenvolgende getallen zijn terwijl de overige n-1 coSrdinaten gelijk

zijn.

Voor n- 1 vindt men de definitie van blz. 51. Wij zullen hier de definitie gebruiken voor n- 2 en 3.

In IR2 zijn dus (x,y) en (x~-ex, y) maar ook (x,y) en (x, yfey) opeenvolgende punten als x, y IR en bij gegeven ex en ey.

In de differentierekening wordt een oppervlak z- f(x,y) gedefinieerd op

v2 -{(x,y)(x E vx ,ex, y E v

} met ex, ey ~ o

o

yo'ey

Def. 8.2

Drie punten in V2 heten naburig als precies twee van de drie paren, die men hieruit kan vormen, opeenvolgende puntenparen zijn.

In V2 zijn de punten

(x,y), (xtex,y) en (xfex,yfey)

(8.19)

naburige punten evenals

(x,y), (x,y-~ey)

Raakvlak ( 8.18) heeft met oppervlak z- f(x,y) drie naburige punten gemeen. Met (8.19) zijn dit

(x,y,z), (xfex,y,zl) en (xtex,yfey,z2)

met z - f(x,y), zl - zfezl - f(xtex,y) en

z2 - zfezl f ez2 - f(xfex,ytey)

zodat dus

en

ezl - fX - f- _{dx ex} f df

ez2 - fXy - fX - dy ey.

Is ez - ezl t ez2 dan is (zie (jvm) onderstaande figuur)

Verdrijft men in (8.20) (jvm) eventueel aanwezige breuken dan is het uiteinde-lijke resultaat van de gedaante

P~x f Q~y t R~z - 0

(8.21)

P(X-x) f Q(Y-y) f R(Z-z) - 0 is de vergelijking van het raakvlak in punt

(x,y,z) aan een oppervlak z- f(x,y) waarin f

df P df x - s

dx -- R en dy - R~

Het raakvlak in een punt A is bepaald door de rechten AB en BC resp. met rich-tingscoëfficiënten (zie de figuur op blz. 143)

f

df dfx

dx en _dy

Ook rechte AC ligt in dit vlak, want zij heeft er twee punten mee gemeen. De richtingscosinussen van AC verhouden zich als

P . Q . R .

x ~ xy

We zagen reeds dat

ex - ~ - ez

P Q R

(s.22)

uítdrukt dat de raaklijn in een punt (x,y,z) aan een kromme evenwijdig is aan een rechte met richtingscosinussen

P, Q en R,

kortweg met rechte

(P, Q, R).

We hebben dus te doen met twee verzamelingen, nl. horend bij (8.21) en (8.22). Als nu twee krommen, van elk van deze verzamelingen één, elkaar snijden doen ze dit loodrecht.

A. Vergelijking Pex f Qey f Rez - 0 is sommeerbaar. Dit betekent dat door

ieder punt ( x~, y~, z~) E IR3 van elk van bovengenoemde verzamelingen één

exemplaar gaat, díe dan in dit punt ( x0, y0, z~) elkaar loodrecht snijden. In feite kan men in dit geval een oneindig aantal oppervlakken bepalen, die

het tweevoudig oneindig stelsel krommen loodrecht snijdt, analoog aan het

snijden van equipotentiaalvlakken en krachtlijnen in de electro-statica.

B. Vergelijking Pex f Qey -~ Rez - 0 is niet sommeerbaar. Er is niet zo'n stel-sel oppervlakken te vinden dat loodrecht staat op de krommen bepaald door de simultane vergelijkingen ( 8.22). Voorbeeld 8.6 Vergelijking

ex f ey f ez - o

ex - ~ - eZ

1

1

1

geven een stelsel evenwijdige lijnen x-a-~b- z

1 1 1

a, b E IR

(8.24)

De stelsels (8.23) en (8.24) zijn blijkbaar orthogonaal. Voorbeeld 8.7

xex ~ yey f zez - o

geef t

x(2) } y(2) } z(2)

- c, c E IR,

een stelsel (jvm) concentrische bollen met middelpunt

Simultane vergelijkingen

ex

ey

ez

x y z

a, b E IR

(8.26)

Als ex gegeven is, geeft (8.26)

ey - aex en ez - bex

(ex, ey, ez) voldoet dan aan (8.26), dus (jvm) middelpunt (~ex, ~ey, ~ez) ligt op (8.26) zodat (8.25) en (8.26) onderling orthogonaal zijn.

Deze voorbeelden waren zodanig dat de oplossingen der betrokken vergelijkingen direct zijn op te schrijven. Dit is natuurlijk in de meeste gevallen niet mo-gelijk.

- Methode van sommatie als de oplossingen niet voor de hand liggen

Als een sommeerbare vergelijking

Pex f Qey f Rez - 0

niet op een voor de hand liggende wijze kan worden opgelost zoeken we eerst

een oplossing door een van de veranderlijken constant te veronderstellen,

bijv. z, dan is ez - 0.

Wij demonstreren dit aan de hand van een voorbeeld. Voorbeeld 8.8

Zij gegeven de differentievergelijking

(y-ey)(z-2eZ)ex f 2(xfex)(z-2ez)ey - 3x(y-ey)ez - o

(8.2~)

(Y-ey)ex -~ 2(xfex)ey - o

met oplossing xy(2) - c.

Nu is (jvm) constante c i.h.a. een functie van z, zeg c- f(z), dan is

xy(2) - f(z),

waaruit volgt

y(2)ex f 2(xfex)yey - óz.ez - 0

(8.28)

(8.29)

Wil (8.28) voor zekere functie f(z) een oplossing zijn, dan moeten (8.27) en (8.29) identiek zijn dus

(2) - ef

Z(xfex) ez

y-ey) z-2ez) - 2 xtex) z-2ez) --3x y-ey

d.i. als voldaan is aan

ef

~ - Y ez

z-2ez - z-2ez - 3x y-ey)

waaruit m.b.v. (8.28) volgt of zodat ef - 3xy(2) 3z(2)f ~z - z-2ez - ~3T z ez(3) ef ~~ - f z f- c z(3), c E IR.

De oplossing van (8.27) luidt daarmee

xy(2) - cz(3)

(8.30)

Verderop zal bewezen worden dat deze methode steeds succes heeft bij elke som-meerbare differentievergelijking

P~x t Q~y f Rdz - 0.

- De nodige en voldoende voorwaarde waarvoor P~x f Q~y f R~z - o sommeerbaar is bij de volgorde (x-y-z)

De nodi e voorwaarde.

Als vergelijking POx f Q~y f R~z - 0 bij de volgorde ( x-y-z) de oplossing

f(x,y,z) - c heeft dan is (jvm)

8f}

df~

áxoxf dyeyf~oz-o.

Stel

2

2

dy(UP) - dydx - dxdy - dx(UQ)x

'

2

2

dz(UQ)x - dz6y - dydz - dy(UR)xy

2

2

dx(UR)xy - dxdz - dzdx - dz(UP)

Voor U- 1 heet de vergelijking exact, anders sommeerbaar. Er bestaat dan een functie f- f(x,y,z) zó dat

U (Pex -~- Q~y ~- R~z) - ~xyzf .

(8.31)

(8.32)

Stelling 8.1

aP

áy - ax

Voor een bewijs dat dit juist i s, zij verwezen naar blz. 127 e.v. Voorbeeld 8.9.

Differentievergelijking

y(2)z(3)ex f 2(xtex)yz(3)ey f 3(xfex)(y~ey)(2)z(2)ez - 0

is bij volgorde (x-y-z) exact immers met

geldt

P- y(2) Z(3) , Q- 2(x~ex)yz(3) en R- 3(xfex) (y}ey) (2) z(2)

( aP

(3) - aQx

áy - 2yZ

ax

az

y

ay

aR

-ax

y

a~x - 6x z(2)

- dRXY

~ - 3 (2)z(2) - aP~

(8.33)

Veronderstellen we nu dat u willekeurig is. We schrijven (8.32) in de E-nota-tie om moeilijkheden te vermijden.

Dit geeft (jvm)

(A(1)EexEey

f B(1)Eex ~ c(1))ux - 0

(A(2)EeyEez f B(2)Eey f C(2))uxy - 0

(A(3)EexEeyEez f B(3)EexEey f C(3)Eex f D(3))uxy - 0

(8.34)

f

-- ~

P ~.

~

A(1)

ey' B(1) --(éy ~ ex)' ~(i) - éx

-f

--A(2) - oez~ B(2) --(oZ } áy), ~(2) - Réy

f

-Pz P --Y -~

a(3) - ez, B( 3) -- ez, C(3) -

ex, D( 3) -

ex.

(jvm) (met haakjes in de indices om verderop geen verwarring te krijgen) We zullen dit nagaan voor de eerste der voorwaarden (8.32).

Voorwaarde

áy uP) - áX(uQ)x geeft

(uP)y - uP uQ - (uQ)x

ey

-

ex

é.uy-(ey}~)u}éXux-o

(8.35)

(8.36)

(8.37)

wat (8.35) oplevert.

Omgekeerd is dit ook juist. Substitueer (8.35) in de eerste regel van (8.34) dan vindt men achtereenvolgens

~-Q

(ey EexEey - (ey } ~)Eex } ex)ux - 0

ey

ex

en dit is de eerste voorwaarde van (8.32). Evenzo kan men de tweede en derde voorwaarde van (8.32) nagaan.

Conclusie: (8.32) en (8.34) zijn equivalent. Uit (8.35), (8.36) en (8.37)

leest men bovendien af f

~

- P

-g

Qx

-(ey Eey

_{ey)u -( eX Eex - éx)ux - o}

- 0

jvm151

dP

dQX

( A(1) -~ B(1) f c(1) - áy - dX

A(2) t

B(2) } C(2)

dz

dy

~

- d~x - d y

(8.38)

Delen we voor de voorwaarden (8.34) resp. door A(1), A(2) en A(3) (alle ~ 0, anders is het probleem niet erg interessant).

Wij krijgen dan

B(1)

C(1)

-' (EOxEOy } A(1) Eox ~ A(1))ux - 0

I B

₍₂₎

₍₂₎

-(EeyEOZ t A(2) Eoy } A(2))uxy - 0

B(3) C(3) D(3)

--(E~xEDyE~z }

A(3) EexF~y } A(3) E~` } A(3))uxy - 0.

(8.39)

Willen nu de voorwaarden (8.39) een gemeenschappelijke oplossing u hebben dan moet de derde voorwaarde van (8.39) verminderd met Eex maal de tweede (jvm)

identiek zijn met de eerste voorwaarde, zodat dus de vergelijkingen

B

C

B(3)

B(2) f

C(3)

C(2) ~-

D(3)

-((A

- (A

_{)x)EexEOy } (A}

_{- (A}

_{)x)Eex } A}

_{)uxy - 0}

(3)

(2)

(3)

(2)

(3)

(EOxEOy } A(1) Eox } A(1))ux - 0

identiek moeten zijn.

(8.40)

Als men de eerste van deze vergelijkingen links met Eey vermenigvuldigt en

deze factor vervolgens door de haken haalt dan krijgt men

(EOxEey } (A(1))yEex } (A(1))y)uxy - 0

(1) (1)

B(3) B(2) f C(3) C(2) f D(3)

-((A

- (A

)x)EOxEOy ~-i(A

- (A

)x)Eex f A

)uxy - 0

(3)

(2)

(3)

(2)

(3)

De vergelijkíngen van (8.41) zijn identiek~) als

B(3)

B(2) f

C(3)

C(2) f

D(3)

- (

)

- (

)

A(3) ~~ x A(3) A(2) x A(3)

1 - ( (1) )- - (C(1))-A(1) Y A(1) Y ofwel (jvm)

B

-A

(B(2))}

C

-A

(C(2))}

(3)

(3) A(2) x

(3)

_{(3) A(2) x}

_D

(3)

Nu is elk van de breuken van (8.42) gelijk aan

B(2)

C(2) f

B(3)tC(3)fD(3)-A(3)(A(2) t A(2))x

(A(1)fB(1)fC(1))Y

zodat dus voldaan moet zijn aan

C (1)Y

(A(3)fB(3)fC(3)tD(3)) -

A(3} (A(2)fB(2)fC(2))x

A(2)x

D(3)

(1)Y

(8.42)

D- (3)(A fB fC )-f A(3)(A fB fC )}-(A fB fC fD )-0

C (1) (1) (1) Y A } (2) (2) (2) x (3) (3) (3) (3)

(1)Y (2)x

(8.43)

Met (8.35), (8,36) en (8.37) is

f

D(3) - ~ en A(3) - Pz~

f f

~(1)y Qxy A(2)x Qz

Hiermee en met (8.38) wordt dan (8.43)

Qxy Qz

R~(aP--- dy

(8.44)

Voor het eerste lid van (8.42) vindt men met gebruikmaking van (8.35), (8.36) en (8.37) ~2~ f B(3)-A(3)(A(2))x A

_(1)y

- ez } ez ( -f)x(ez } ey)x

~

( ey) y

Qz

Het tweede lid van (8.42) geeft op analoge wijze dezelfde waarde. M.b.v. het derde lid van (8.42) is dan

f

R_{z -} R_xY

f -

-QZ

~xy

zodat hiermee (8.43) wordt (jvm)

Pz(ddz - d

-áy~)X ~- QZ(d~ - áZ) } RZ(áy - daX)y - o

(8.45)

Vergelijk dit met de gegeven vergelijking

Pex f Qey -~ Rez - 0 of inet

PZex f QZey f RZez - 0,

aaX)y }

Pf (ddz - aá~)X -~ (d~ - áZ) - 0

ex

dus met x -~ x-ex

ey

áz - dy

dx

dz x

(áy

-dy x

dx - áz

áy - dx y

d4x

dRxy

dRxy

dP -

dP

dQx

(8.46)

Nu dient voldaan te zijn aan

Pex f Qey f Rez - 0

dus (ex, ey, ez) loodrecht (P, Q, R) zodat ~P - Q- eR en (8.46) twee

onder-ling loodrechte stelsels moeten zijn.

Evenzo kan men ook zeggen dat de stelsels gegeven door ex - ey - ez P Q x en ex R

(

d4x

dRxy

dRxy

dP

dP

d4x

-~-~y

~- dz

~y-

dx

onderling loodrecht moeten zijn. (zie ook blz. 144) Dit is het geval als

x x x dP - dP x

QQ

dR

dR

dQ

P( dz -

dyy) } Qx( dxy - áZ) } Rxy(áy - dx) - o

(8.47)

waarmee gevonden is Stelling 8.2

Als vergelijking Pex f Qey f Rez - 0, waarin P, Q en R functies van (jvm) x, y en z zijn, sommeerbaar i s voor de volgorde (x-y-z) dan is

dQx

dRxy

- dRxy

P( dz -

dy )} Qx( dx

- -)

De voorwaarde is ook voldoende.

Om te bewijzen dat (8.47) ook voldoende is zullen we aantonen dat de methode van voorbeeld 8.8 op blz. 146 e.v. als voldaan i s aan (8.47) altijd succesvol

is. Vooraf zullen we eerst de volgende hulpstelling bewijzen.

Stelling 8.3

Als (jvm) vergelijking P~x f Q~y f R~z - 0 sommeerbaar is voor (x-y-z) dan

voldoen met P, Q en R ook P-~P, Q- aQ, R-~R waarin 1~ een willekeurige

f unctie van x, y en z i s, aan (8.47).

Pex f Qey f R~z - 0 i s voor ( x-y-z) sommeerbaar dus is er een functie

F-F(x,y,z) zó dat

dF bFX dFX

dxlP -

dylQ -

dzyl R' zeg - u

dus is

u(P~x f Q~y f Rez) - OxyzF

(8.48)

Is P- aP, Q- aQ en R- aR voor een willekeurige functie ~-~(x,y,z) ~ 0 dan is

uP - a(uP) ~ uQ -~(uQ) en uR -~(uR) dus met (8.48) is

dF aFX dFX

uP - a ax~ uQ - a dy, uR -~~

zodat

~(POx f QDy f R~z) - ~xyzF

Vergelijking POx f Q~y f R~z - 0 is dus sommeerbaar met de factor ~, dus P, Q en R voldoen aan

dQ

dR

8R

P(-sz - syy) } Qx( axy

dQ

- ái) f Rxy(áy - aX) - 0

Voorbeeld 8.10

Zij gegeven vergelijking

met

dan is

zodat

yzeX - xzey - x(y~-ey) ez - o

P- yz, Q--xz en R--x(yf ey),

dP

dP

áy - Z

áz - y

dQX

d 7{

dX - -z

dZ -

-(X-eX)

dx

dy

-dz

dy

x dx

dz

xy dy

ax

- yz(-(x-ex)f(x-ex)) - (x-ex)Z(-y-y) - (x-ex)y(z}z) - o.

Voor (x-y-z) voldoen dus P, Q en R aan (8.47). Met a - (xfex)(z-ez) is

P - (x~i-ex)yz(2), Q - -(xfex)(2)z(2) en R - -(xfex)(2)(ytey)(z-ez)

en dus is (jvm)

dP

áy - (xfex)z(2)

_{dz - 2(xfex)yz}

dáX - -2xz(2)

daZ - -2x(2)z

dR

-~ - -2xy( z-ez)

dx

ddxy - -x(2)(z-ez)

_y

jvm157

- (xtex)yZ(2)(-2x(2)z f x(2)(Z-eZ)) f

-x(2)Z(2)(-2xy(Z-ez) - 2(xfex)yz) f

-x(2)y(z-ez)((xfex)z(2) } 2xZ(2)) - o

Met P, Q en R voldoen dus ook P, Q en R aan ( 8.47). Zij nu gegeven vergelijking

Pex ~- Qey -} Rez - 0

waarin bij de volgorde ( x-y-z) P, Q en R voldoen aan (jvm)

p( ddz - d~) .} Qx( dd ~- dz)

t Rxy(áy - d~) - o

Veronderstel i n (8.49) dat z constant i s, dus ez - 0, dan is

Pey f Qey - o

Voldoet hieraan de oplossing F(x,y,z) - a dan i s voor (x-y) dF} dx,P - dylQ. Zeg - U

Zij nu

(8.49)

(8.50)

(8.51)

(8.52)

De constante a van de oplossing F(x,y,z) - a i s i.h.a. een functie van z. Is a- f(z), dan luidt de oplossing

Dit is identiek met (8.49) als

(8.54)

Blijkbaar is met (8.54)

~--F dF

8z

F-f)xy - ~ - ez - uR

Verder is met (8.51) met f- f(z)

dx(F-f) - áX - uP

dF}

~F-f)X -

dy - uQ

zodat

e (F-f) - u(Pex f Qey f Rez) - 0

xyz

waaruit volgt dat de oplossing van (8.49) is F(x,y,z) - f(z) - 0

Op blz. 147 (zie (8.30)) vonden we

ef - 3xy(2) - 3z(2)

~z z-2ez z(3) '

waarin x en y geëlimineerd worden met (8.28) zodat

ef 3z(2)ez

f - ~ z

een vergelijking i s in f en z alleen. We moeten nog aantonen dat

dF~ G - ~ - R

(8.55)

Dit zal alleen dan het geval zijn als

d(F,Gx )

s x,y

- o

voor alle x en y, d.i. als

d(F,Gxy)

-a(x,y)

áx

áy

sc-

ac--~

XY

ax

ay

(8.56)

(8.57)

zoals men kan vaststellen m.b.v. Functionaaldeterminanten uit de differentie-rekening.

Wegens stelling 8.3 geldt voor (8.49) met (8.52)

P(daz - a~)

~ Rxy(áy - daX) - o

~-f- ~--F p( ddz - d d~ - ~z)xy) f QX( ( a~ - ~z)xy - gz) f ~ dFxY ~f -- dP

dQ

(8.58)

) - 0

(8.59)

Trekken we (8.59) af van (8.58) dan dient dus voldaan te zijn aan (jvm)

Verder is ook

dy(~z) - dx(~z) - 0~ want f is alleen afhankelijk van z. Daarmee wordt (8.60)

dF

d dF

--

dF

d dF

---dx'dy(dz - Rxy) - dy'dx(dz - Rxy - 0

en dit is precies (8.57) voor alle x en y dus inderdaad is d(F,Gxy)

d(x~y)

- 0.

dF~

G-~- R is m.b.v. F(x,y,z) - f(z) te schrijven als (jvm) een functie van F en z alleen, zeg ~(F,z).

(8.54) kan dus geschreven worden als Of

Oz - ~ ( f ~ z)

Is hiervan de oplossing f-~,(z) dan is

F(x~Y~z) - V~(z)

de oplossing van vergelijking

P~x ~- Qpy f R~z - 0,

waarmee bewezen is dat deze vergelíjking sommeerbaar is als P, Q en R voldoen aan (8.47).

Een sommeerbare vergelijking

P~x f Q~y f R~z - 0

is dus steeds oplosbaar als op blz. 146 e.v. Met stelling 8.2 samengenomen i s nu bewezen: Stelling 8.4

Voor de volgorde (x-y-z) is differentievergelijking

waarin P, Q en R functies van x, y en z zijn, dan en slechts dan sommeerbaar als P, Q en R voldoen aan

P(dQx - dRXY) } Q-(dxxy - dP)

_{f R-(aP - dQx) - o.}

dz

dy

x

dx

áz

xy sy

dx

- Vergelijking Pex f Qey f Rez - 0 i s niet sommeerbaar. Door vergelijking

Pex f Qey f Rez - 0,

(8.61)

waarin P, Q en R weer functies zijn van x, y en z,wordt ook nu weer een verza-meling krommen bepaald die loodrecht staan op de elementen van de verzaverza-meling die voldoet aan

ex-~- ez

P- Q- R'

(8.62)

echter is er in dit geval geen verzameling oppervlakken die loodrecht staan op de krommen bepaald door (8.62).

Men kan echter wel een oneindíg aantal krommen vinden die op een willekeurig

gegeven oppervlak liggen en voldoen aan vergelijking (8.61) om het even of

deze vergelijking sommeerbaar (jvm) is of niet. Voorbeeld 8.11

Differentievergelijking

yex f (z-y)ey } xez - o

is niet sommeerbaar, i mmers met

en

p(ddz - ddxy) } 4 x(d~ - dz)_Y t Rxy(dy - ddx)

-- y(1--o) t (z--y)(1--o) f ( x--ex)(i--o) ~ o

De vergelijking is niet sommeerbaar althans voor de volgorde (x-y-z). Ook is ze niet sommeerbaar voor andere volgorden. We komen hier later op terug.

We bepalen nu de krommen die voldoen aan vergelijking (8.63) en gelegen zijn in het vlak

2x- y- z- 1

(8.64)

Elimineren we é~n der variabelen met zijn differentie uit (8.63) en (8.64),

bijv. z en ez. ~

(8.64) geeft z- 2x-y-1 en ez - 2ex - ey.

Substitueer dit in (8.63) dan is

(2xfy)ex f (x-2y-1)ey - o

met oplossing

x(2)f(x-ex)y-y(2)-y - c,c E IR constant (8.65)

De krommen liggen in vlak (8.64) en op de hyperbolische cylinders (8.65) en voldoen alle aan (8.63).

Men zou dit op de volgende wijze uit kunnen drukken:

(8.65) is de projektie op het xy-vlak van de krommen die voldoen aan vergelij-king (8.63) en die alle in vlak (8.64) liggen.

Voorbeeld 8.12

Laat zien dat vergelijking

ez - 2yex f (xfex)ey

(s.66)

niet sommeerbaar is.

(jvm) Bewijs verder dat de krommen die in vlak

liggen en voldoen aan de differentievergelfjking ook liggen op de cylinders c (x-1)(2)(2y-1) - c, c E IR. Met P- 2y, Q- x-~~x en R--1 is (jvm)

dP

dP

dy - 2

áz - 0

dQ

sX - 1

dq

-o

dR

dR

X~- 0

XY- 0

dx

dy

-- 2y(0--0) f x(0--0) -- 1(2--1) ~ 0.

~z - px -~ ~y

(8.68)

Trek van (8.66) en (8.68) de overeenkomstige leden af, dan is

(2y-i)ex f (x-ex-i)ey - o

Vermenigvuldig met 2(x-1):

(2y-1)~(x-1)(2) f (xfex-1)(2)e(2y-1) - o

met de oplossing

(x-1)(2)(2y-1) - c, c E IR.

Voorbeeld 8.13

Bepaal de orthogonale projectie op het xy-vlak van de krommen die liggen op de paraboloide

3z - x(2) f y(2)

(8.69)

en voldoen aan de vergelijking

2ez - (xfz)ex f yey.

Bedoelde krommen liggen op (8.69) en moeten dus voldoen aan

3ez - 2xex f 2yey.

Elimineer hieruit en (8.70) y en ey dan is (jvm)

ez - 2zex

waaruit volgt

x- c e~ ~x ~c E IR.

(8.70)

(8.71)

Dit zijn cylinders loodrecht op het xy-vlak (tenminste bij orthogonale coórdi-naten).

(8.71) is dan tevens de orthogonale projektie op het x~vlak. Voorbeeld 8.14

Bepaal de vergelijking van de cylinder door punt (2,1,-1) waarvan de beschrij-venden evenwijdig zijn aan de y-as, die gaat door een kromme gelegen op de bol

x(2) f y(2) f z(2) - 1

terwijl tevens voldaan moet zijn aan de vergelijking

(xyf2xz) ex f y2ey f(( x~ex) ( 2)fyz) ez - o

(8.72)

(8.73)

waarbi j x E V en y E V .

Schrijf voor (8.73)

y(xexfyeytzez) f (2xzexf(xfex)(2)ez) - o.

met (8.72) wordt dit

2xzex t (x~ex) (2) ez - o,

waaraan voldoet

x(2)z - c, c E IR.

Gevraagd wordt de cylinder door (2,1,-1) dus moet gelden

2(2-ex).-1 - c.

Voor ex - 4 en ey - 3 is dan c- 4. De gevraagde oplossing is dan

x(x-4)z - 4,

inderdaad een cylinder met beschrijvenden evenwijdig aan de y-as.

- Andere volgorden

Tot nu toe hebben we alleen de volgorde (x-y-z) beschouwd. Zoals afgesproken symboliseert (x-y-z) het feit dat men bij het bepalen van de totale differen-tie van een funcdifferen-tie F- F(x,y,z) de partiële differendifferen-tiequotiënten achtereerr volgens (jvm) naar x, naar y en dan naar z neemt, dus

f

~

dF

dFx

dFx

exyZF - axex t dyey t~ez

Zoals we reeds zagen op blz. 124 zijn er met drie variabelen zes volgorden, nl.

1. (x-y-z)

4. (z-y-x)

2. (y-z-x)

5. (y-x-z)

3. (z-x-y)

6. (x-z-y).

Dit zijn alle mogelijke permutaties van x, y en z.

Zij nu F(x,y,z) - c, c E IR, de algemene oplossing van vergelijking

P~x f Qey f R~z - 0,

(8.75)

waarin, P, Q en R zekere functies zijn van x, y en z. Is y sommerende factor van (8.75) dan is bij volgorde (x-y-z)

dF dFX dFX

UP - dx~ uQ - dy~ uR -~.

Bij volgorde (x-y-z) verschijnen in (jvm) de voorwaarde voor sommeerbaarheid

p(ddz - d~) f Qx(dá~ - dz) f Rxy(áy - d~) - 0

achtereenvolgens

P, Qx en Rxy.

Bij volgorde 2 in (8.74), d.i. bij ( y-z-x), is

dFyz

_dF

_~

DyzxF -

dx ~x f dy~y } dz~z

(8.76)

(8.77)

Voldoet F(x,y,z) - c aan (8.75) dan wordt (8.76) zoals men gemakkelijk inziet.

Q(~ - ddzz) f Ry(d~ -~) f Pyz(~ - á)- 0

Nu verschijnen

Q, Ry en Pyz.

(8.78)

(8.79)

(8.79) ontstaat uit (8.77) door cyclische verwísseling van x, y en z en

ge-lijktijdig van P, Q en R.

Bij de volgorden 1, 2 en 3 moeten x, y, z en gelijktijdig P, Q, R cyclisch

De overgang van volgorde 1 naar volgorde 4 wordt gekarakteriseerd door

x~ z en P~ R y~ y en Q~ Q.

Uit 4 ontstaan weer 5 en 6 door cyclische verwisseling van z, y en x en ge-lijktijdig R, Q en P(in deze volgorde).

Zodoende krijgt men

volgorde 1. (x-y-z) 2. (Y-z-x) 3. ( z-x-y) 4. (z-y-x) s. (Y-X-z) 6. (x-z-y)

X

y

Z

(8.fi0)

Qm vast te stellen met welke der zes volgorden men te doen heeft zoeke men i.h.a. in de differentievergelijking twee termen die eenzelfde deler hebben.

f ~

dF dF

Dit i.v.m. de formules ~x zF - áX~x f Sx~y ~- ~~z, etc.

Y Y

Is deze deler bijv. xf~x, dan heeft men te doen met de volgorde

(x-y-z) of (x-z-y)

(zie (8.74)). (jvm)

In deze beide termen moet na deling door deze gemeenschappelijke factor nog vastgesteld worden of inen te doen heeft met de volgorde (y-z) of (z-y), het-geen over het algemeen niet veel moeilijkheden zal opleveren.

Voorbeeld 8.15

Gegeven vergelijking

(y-ey)(Z-zoZ)ox f 2(xfox)(z-2ez)ey - 3x(y-ey)ez - o

(s.Ri)

De eerste en tweede term van (8.81) zijn beide deelbaar door z-2ez (ev. kan men de eerste en derde term beschouwen die beide deelbaar zijn door y- ey). Na de deling door z-2ez resteert in de eerste en tweede term

(Y-eY)ex f 2(xfex}GY

Híerin blijkt de volgorde te zijn (x-y). De volgorde van (8.81) is dus (z-x-y).

In de voorwaarde voor sommeerbaarheid komen volgens (8.80) voor

Pz' Qzx en R. De voorwaarde luidt Q - Q

-R( dPz - d zx)

_{-P P ( d zX -}

dR) } Q-( dR - dPz

)- 0

dy

dx

z

dz

dy

zx dx

dz

(8.82)

Volgens ( 8.81) is

P-(Y-eY)(z-2ez), Q- 2(xfex)(z-2eZ) en R--3x(Y-eY)

dus

dP

dP-sy - z-3ez

dZ - y-ey

- 2(z-3ez)

áx - -3(y-ey)

áy - -3x

Substitueer dit in (8.82) dan krijgt (jvm) men

-3x(y-ey) ( (z-3ez)-2(z-3ez) ) f (y-ey) (z-3ez) (2xf3x) f

f 2x(z-3ez)(-3(Y-eY)-(Y-eY)) - o

De vergelijking is sommeerbaar voor de volgorde (z-x-y).

y(2)(z-2ez)ex f (xfex)(z-2ez)ey(2) - 3xy(z)ez - o

Hiervoor kan men schrijven

(z-2ez)e(xy(2)) - 3(xy(2))ez - 0

Na nogmaals vermenigvuldigen, nu met z(2), is dan (jvm)

z(3)e(xy(2)) - (xy(2))ez(3) - 0

- Verschillende volgorden en voorbeelden

Het antwoord op de vraag aan welke voorwaarde P, Q en R moeten voldoen als

Pex -F~ Qey f Rez - 0

sommeerbaar is kan, zoals al gebleken i s, in zes gedaanten verschijnen afhan-kelijk van de volgorden der partiële differentiequotiënten.

Deze gedaanten zijn: 1. Bij volgorde (x-y-z)

p(dQx - dRxY) } Q-(dRx~ - dP)

-~ R-(ap - dQx) - 0

dz

dy

x

dx

dz

xy dy

dx

2. Bij volgorde (y-z-x)

dR

dP--

dP--

dR

Q (-Y - --YZ ) -~ R (~Z - ~) f P-- (~ - ~) - 0

_dx

_dz

_y

_dy

_dx

_{yz 6z}

_dy

3. Bij volgorde (z-x-y)

Q - Q

-R(dPz - a zx) _f P-(d zx - dR) } Q--(dR - dPz)

- 0

Met x~ z en P~ R vindt men uit 1:

4. Bij (jvm) volgorde (z-y-x)

R(Sdx - S~) f Qz(dá~ - dx) f Pzy(dy _{- d dz) - ~}

Y

Vervolgens met cyclische verwisseling van z, y, x en R, Q, P

5. Bij volgorde (y-x-z)

dP- dR - dR -

dP-Q (-~ - -~-) f P- (---~X - ~) f R - (~ - -~) - 0_{dz dx y dy dz yx 8x dy}

6. Bij volgorde (x-z-y)

SRx dQ 6Q 6R

P(

_{ay - aZZ)}

} Rx(

axZ - sy)

We geven nu nog enige voorbeelden. Voorbeeld 8.16

Vergelijking 3(y(2)fz(2))~x -P 2(xf~x)y~y f 2(xf~x)z~z - 0. Volgorde (x-y-z) of ev. (x-z-y).

Met P- 3(y(2)fz(2)), Q- 2(xf~x)y en R- 2(xi-~x)z is

sy - 6y

_{sZ - 6Z}

y~

4~4

- zy

De vergelijking i s sommeerbaar en heeft de oplossing x(3)(y(2),~z(2)) - c, c E IR.

Voorbeeld 8.17

Vergelijking yzex f(xfex)zey f(xfex)(yfey)ez - o. Volgorde ( x-y-z).

Blijkbaar i s met P- yz, Q- (xfex)z en R(xfex)(yfey)

dP dQX sy - Z - dX aQx d~.

áz - x - sy

ax

y - áz~

De vergelijking i s exact en heeft de oplossing xyz - c, c E IR. Voorbeeld 8.18

Vergelijking

3(yfey) (zfez) ex f 2(x-2ex)zey f(x-2ex) (yfey) ez - o.

Volgorde ( y-z-x).

Hier is P- 3(yfey)(zfez), Q- 2(x-2ex)z en R-(x-2ex)(yfey) dus is (jvm)

~ - 2(x-2ex) dR dR á - y sy - x-2ex

dP

dP

~ - 3z

~ - 3y.

2(x-2ex)z(y-3y) f(x-2ex)y(3z-2z) f 3yz(2(x-2ex) -(x-2ex)) - 0.

De vergelijking i s sommeerbaar.

- Overgang naar elke andere volgorde bij exacte vergelijkingen We beginnen met twee variabelen.

Zij gegeven met de volgorde (x-y)

P~x

f Qoy - o,

waarin P en Q functies van x en y zijn.

Omdat de vergelijking exact is bestaat er een functie F- F(x,y) zó dat

P- dxenQ-Hieruit volgt f 8F_x f f - ~ - dF Py - Sx en Qx - ay.

Wordt bij overgang naar volgorde (y-x) de vergelijking P~x f QDy - 0 dan is blijkbaar

- -F -

-P- Py en Q- Q_x

Overzichtelijk geschreven heeft men dus

volgorde (x-Y) (y-x) x P Q f P

y

(8.83)

Bij drie (jvm) variabelen is met F- F(x,y,z)

f ~

dF dFx dFx

~xyzF - dx4x f d y~y f~~z

~

f

dF

dF

~XZyF - áX4x

~ dyZey f aZoz

(8.84)

Is nu bij volgorde ( x-y-z) de gegeven exacte vergelijking POx f Q~y f R~z - 0, dan i s voor zekere F- F(x,y,z)

met

P~x -t- Q~y ~- ROz - ~XyzF - _~...F - P~x f QDy f R~z

f ~-t

dF SFX dFXY

P- áX, Q- a yenR- dz .

(8.85)

~ F duidt aan de totale differentie van F voor een of andere (jvm) volgorde. ...

Is bijv. deze volgorde (x-z-y) als in (8.84) dan is

P- dx' Q-d F~_xz

en R - 6F}x

sy

az

Vergelijk ( 8.85) met ( 8.86) dan is

ofwel

P- P, Q-(QX)X en R-(Rxy)X f

P- P, Q- Qz en R- Ry

Op dezelfde wijze kan men ook bij de overige volgorden te werk gaan. Uitgaande van (x-y-z) krijgt men dus

volgorde (X-y-z) (y-z-X) ( z-X-y) ( z-y-x) ( y-X-2) ( x-z-y)

X

y

y

~

y

f

y

Zij nu omgekeerd bij volgorde (y-x) gegeven de exacte vergelijking

(8.86)

(8.87)

Is F- c met F- F(x,y) hiervan de oplossing dan is

dF}

- -~ dF

P- dx en Q- áx.

Gaat Pex f Qey - 0 voor ( y-x) over in

Pex

f Qey - o

f P- Py en Q- Qx.

Overzichtelijk wordt dit

volgorde x

P

y

Q

Q}x

(8.88)

Men kan dus overgaan van (8.83) naar (8.88) en omgekeerd met behulp van de

tekentransformatie (jvm)

f

Dit geldt ook voor drie variabelen.

Zij gegeven voor bijv. (z-y-x) de exacte vergelijking

Pex -~ Qey f Rez - 0.

Is de oplossing F(x,y,z) - c dan is

~--F f

dFzY dFz

en dus is

f 1--F

dF -- dFx -f aFxy ~--F

dx - Pzy' dy - Qzx' dz - Rxy

Dus als P~x f Qey f R~z - 0 voor ( z-y-x) overgaat in P~x f QDy f R~z - 0 voor

-f ~-F

( x-y-z) dan i s P- _{Pzy, Q- Qzx, R- Rxy.}

Vergeleken met (8.87) geldt ook (jvm) hier de tekentransformatie f~- als men van volgorde ( z-y-x) overgaat op volgorde ( x-y-z).

Zo kan men dit nagaan voor alle volgorden.

Was oorspronkelijk ( 8.87) bedoeld voor overgang van (x-y-z) naar een andere

volgorde dan kan blijkbaar ( 8.87) ook gebruikt worden in omgekeerde richting m.b.v. de tekentransformatie

f ~ -

(8.90)

Elke exacte gewone differentievergelijking met twee of drie veranderlijken kan steeds geschreven worden als een exacte vergelijking met volgorde

(x-y) resp. (x-y-z).

- Verandering van volgorde bij sommeerbare vergelijkingen Tot nu toe spraken we alleen over exacte vergelijkingen.

Sommeerbare vergelijkingen zijn op een factor na exact; ze komen daarom ook ter sprake.

Zij dus vergelijking

POx f Q~y f ROz - 0, ggd(P,Q,R) - 1

sommeerbaar voor een of andere volgorde dan is er bij een zekere factor u- u(x,y,z) een functie F- F(x,y,z) te vinden zó dat

u(P~x f QDy f R~z) - ~ F

Nu is voor alle volgorden

(8.91)

~-~-F

~ F- ~ F- F - F

~ F kan geschreven worden als xyz

~ F- a(P~x f Q4y f R~z), ggd(P,Q,R) - 1 (8.92)

voor elke andere volgorde dan de oorspronkelijke. Uit (8.91) en (8.92) volgt a- u.

We hebben dus (jvm) Stelling 8.4

Een sommeerbare vergelijking

P~x t Q~y f R~z - 0, ggd(P,Q,R) - 1

behoudt bij overgang van de ene naar een andere volgorde steeds dezelfde som-merende factor en steeds dezelfde oplossing.

Immers met sommerende factor u is er een F- F(x,y,z) zó dat ~-~-F

u(P~x f Q~y f R~z) - Fxyz - F.

Omdat ggd(P,Q,R) - 1 is u de ggd van de termen van het eerste lid. Dan is u ook de ggd van de termen van het tweede lid.

Was dit niet zo dan komt men tot strijdigheden.

~-i--~

)

u - dmax(Fxyz' F

Hierin is d (F~, F) de deler van F~ en F met het maximale aantal

gemeen-maX Xy2 XyZ

schappelijke factoren van F~ en F nadat ze beide eventueel vooraf gelijkna-xyz

mig gemaakt zijn.

Krijgt men bij overgang naar een andere volgorde a(P~x f Qpy f R~z) - F~ - F

waarbij ggd(P,Q,R) - 1 dan i s evenzo

a - d (F~, F)

Blijkbaar is a- u voor elke volgorde met steeds dezelfde oplossing

F(x,y,z) - c, c E IR.

(2)--(4)

N.B. We schreven dmax i .p.v. ggd immers voor F(x,y,z) - ~-r- is

z

~-~- (xfex)(2)(Y}ey)(4) x(2)y(4)

dmax(Fxyz' F) - dmax( _(zfez) (5) ' _z(5) )

-- d_max((xf ex)(2)( e)(4)(z-4ez) x(2) (4)(zf ez))

-(zfez) 6) ~ (zfez) 6

(3)

xy

d

( (xfex) (ytey) (z-4ez) , (x-ex) (y-3ey) (z~ez) )

( zfez) (6)

max

xy(3) (zfez)(6)

In de gebruikelijke zin van het woord is echter

(2) (4) (2) (4) (3) d (xfex) _{(YfeY) x Y X~}

gg (

(zfez)(5)

'

z(5)

) -

z(4)

(a) en (b) geven blijkbaar niet hetzelfde antwoord. ( a) is goed, want bedenk

voor n IN geldt

ez( (n)) - -n(~1) met z~ z-~ez en n~ n-F1.

z (zfez)

Voorbeeld 8.19

Dit is juist, immers vermenigvuldig (8.81) met u- y(4) dan krijgt men

achtereenvolgens (zf pz)

d.i.

zodat

y(2)(3)~x f 2(x~~y - 3xy(2)(4)~z - 0

(z~-oz)

(zfez)

(zfoz)

1

(2)

(2)

1

Daarmee hebben bewezen en met een voorbeeld gedemonstreerd Stelling 8.5

De sommeerbare vergelijking

POx f Q~y f R~z - 0

heeft de sommerende factor ~-F-F u - dmax(Fxyz~ F)

waarin F(x,y,z) - c, _{c E IR de oplossing is van de vergelijking en dmax de}

deler met het maximale aantal gemeenschappelijke factoren van F~ en F nadat xyz

ze zonodig vooraf gelijknamig gemaakt zijn.

Jammer genoeg is deze stellíng níet bruikbaar bij de bepaling van sommerende factoren, wel echter bij het bewijzen van eigenschappen.

Stel men heeft

F(x, y) - c, c E IR

waarin F- F(x,y) een functie i s bestaande uit één enkele term, bijv.

x(2)y(3) - c, c E IR

~(xY ) } (xY )a(~) - 0

Dit is de oplossing van de exacte vergelijking

2xy(3)ex ~- 3(xfex)(2)y(2)ey - o

of na deling door xy(2) van

2(y-2ey)ex f 3(xfex)ey - o

Exacte vergelijking ( 8.94) i s van de gedaante

Pex f Qey - o

bij de volgorde (x-y).

Voor de volgorde ( y-x) wordt (8.96)

f

-Pyex

~ Qxey - o

(8.94)

(8.95)

(8.96)

(zie (8.83)). Dit is weer een exacte vergelijking met dezelfde oplossing. (8.94) wordt dan nu

Zx(y~ey)(3)ex f 3x(2)y(2)ey - o

of na deling door xy(Z)

2(yfey)ex -~ 3(x-ex)ey - o

In het nu volgende zullen we vaak gebruik maken van (jvm) Def . 8.3

Voor functie u- u(x), x E IR en eE {O,f,-} is voor alle e

s e e

ux(n) - (ux(n-1))x n E IN e

ux(~) - u n - 0.

Blijkbaar is

Voor e- 0 is u~(~) - u

E - }

X(3) -

u(xf3ex)

e - -

uX(2) - u(x-2ex)

Verder i s met u- u(x) en v- v(x), x E IR, voor alle e (ufv)X(n) - uX(n) f vX(u) als n E IN~.

Is nu (8.95) gegeven dan kan men hiervan uitgaande voor (8.98) schrijven

2(y-2ey)y(3)ex f 3(xfex)x(2)ey - 0

waarin dan met def. 8.3

(y-Zey)y(3) - y-~ey en (xfex)X(2) - x-ex.

Omgekeerd kan men uitgaande van (8.98) voor (8.95) schrijven f

2(yfey)y(3)ey f 3(x-ex)x(2)ey - 0

Algemeen heeft men dus zoals gemakkelijk is na te gaan het volp,ende. Als gegeven is de sommeerbare vergelijking (jvm)

kPex

~ QQey - o

waarin k, k E IN, ggd(k,l~) - 1, P en Q zijn eentermen van x en y die geen con-stante factor meer bevatten terwijl ggd(P,Q) - 1, dan is

kPy(Q)ex f ~,Qx(k)ey - 0 voor (y-x).

Omgekeerd is onder dezelfde voorwaarden voor kPex f kQey - o met (y-x) te

schrijven

kPy(R)ex f ~,QX(k)ey - 0 met (x-y).

Op analoge wijze gaan we te werk met drie variabelen.

1. Zij x(2)y(3)z(4) - c, c E IR.

a. Voor ( x-y-z) is dit de oplossing van vergelijking

2(y-2ey)(z-3ez)ex f f 3(x~ez)(z-3ez)ey f 4(xfex)(yfey)ez ~ 0 b. Voor ( y-z-x) is voldaan aan

2(yfey)(zfez)ex t 3(x ex)(z-3ez)ey f 4(x-ex)(ytey)ez - o

2. Gegeven eÓxy(2)z(3j- c, c E IR. a. Voor ( x-y-z) is dan voldaan aan

(y-ey)(z-2ez)ex

t 2(lfex)(z-2ez)ey t 3(lfex)(yfey)ez - o

b. Voor ( z-x-y) voldoet dit aan

(y-ey)(ztez)ex f 2(i~ex)(zfez)ey f 3(y-ey)ez - o

c. Voor ( z-y-x) is daarentegen voldaan aan

(yfey)(zfez)ex ~ 2(zfez)ey f 3(y-ey)ez - o

Voor voorbeeld l.b vindt men uitgaande van l.a op dezelfde wijze als reeds

voor twee veranderlijken is gedaan

2(y-2ey)y(3)(z-3ez)Z(4)exf3(xfex)X(2)(z-3ez)ey{-4(xtex)x(2)(ytey)ez-0

Schrijft men voor l.a

2Pex f 3Qey f 4Rez - 0 voor (x-y-z)

dan wordt l.b

2Py(3)Z(4)ex f 3Qx(2)ey f 4Rx(2)ez - 0 voor (y-z-x)

We zullen verder nog gebruik maken van (jvm) Def. 8.4.

Voor ex ~ 0 en n E IN is

(lfnex)x - 1 en lX(n) - 1-~ nex.

Men kan nu voor 2.b schrijven uitgaande van 2.a als (x-y-z) overgaat in ( z-x-y)

(8.99)

Is weer 2.a voor (x-y-z)

Pex f 2Qey t 3Rez - o

dan wordt 2.b voor (y-z-x)

f f

-Pz(3)ex f 2Qz(3)ey f 3Rx(1)y(2)ez - 0

Zo kan men voor 2.c schrijven m.b.v. 2.a als (x-y-z) overgaat in (z-y-x)

(y-ey)}

_y(2)

(z-2ez)}

_z(3)

ex f 2(lfex)-

_x(1)

( z-2ez)}

_z(3)

ey

~-f 3(l~-f ex)x(1)(y}ey)y(2)ez - 0.

Als 2.a voor (x-y-z) geschreven is

Pex f 2Qey f Rez - 0

dan is 2.c voor ( z-y-x)

f f - f

-Py(2)z(3)ex f

2Qx(1)z(3)ey f 3Rx(1)y(2)ez - 0

In aanvulling op def. 8.4 merken we nog het volgende op. Vergelijking

ex f( lfex) ey - 0

geldt blijkbaar voor (x-y).

Voor (y-x) is dan met def. 8.4 (jvm)

ly(1)ex f (lfex)x(1)ey - 0 d.i.

( lfey) ex f 1 ey - o

(8.100)

(s.lol)

De oplossing voor (8.100) luidt

eQxeé - c, c E IR.

y

Samengevat hebben we nu tot zover

Zij k, R., m E IN, ggd(k,Q,m) - 1, P, Q, R ééntermen ( jvm) in x, y en z E IR,

ggd(P~Q~R) - 1.

Gaat nu kPOx f kQ~y f mR~z - 0 over i n kP~x i- ~,Q~y f mR~z - 0 A. als ( x-y-z) overgaat in (y-z-x) dan is

f f

-P- Py(Q)z(m), Q- Qx(k) en

R-RXCk) B. als ( x-y-z) overgaat in (z-x-y) dan is

- f - f - -

-P- Pz(m), Q- Qz(m) en

R-RX(k)y(Q) C. als ( x-y-z) overgaat in (z-y-x) dan is

f f - - f - -

-P- Py(~)z(m), Q- Qx(k)z(m) en

R-RX(k)Y(Q)~ (Vergelijk dit resultaat met (8.87))

Zij algemeen een gewone differentievergelijking met drie variabelen van de gedaante

kPOx f kQ~y - f- mR~z - 0

met k, !C, m E IN, ggd(k,R,m) - 1; P, Q, R ééntermen van x, y, z E IR,

ggd(P~Q~R) - 1.

Indien nu (x-y-z) vervangen wordt door een willekeurig andere volgorde en

wordt van de functies P, Q en R o.a.

P -~ PEle2E3

X y Z

en zo ook Q en R met E1, e2, s3 E{0, -F, -}.

Zijn één of ineer der ei - 0, i- 1,2,3 dan wijzigen de betreffende verander-lijken niet. Zo is bijv.

-Of

-f

OOf

}

PxyZ - Pxz~ PxyZ - PZ

Daarmee geldt dan:

gaat over in

el c2 e3 - 0

kPx(k)Y(1C)z(m)ex f ...

Voor de resterende termen gaat men analoog te werk. Tot zover als (x-y-z) overgaat naar een andere volgorde. Nu omgekeerd.

Schrijft men l.b in de gedaante

2Pex t 3Qey f 4Rez - 0

dan gaat deze vergelijking bij overgang van de volgorde (y-z-x) naar (x-y-z) over in

met

2Pex f 3Qey f 4Rez - 0

- -- - - f - f

P- Py(3)z(4), Q- Qx(2) en R- Rx(2).

Men kan dit resultaat vinden uit A op de vorige pagina m.b.v. de tekentrans-formatie f ~ -.

Zo ook B en C zoals gemakkelijk is na te gaan. Dit is analoog het (jvm) resul-taat voor exacte vergelijkingen.

Algemeen heeft men Stelling 8.4

In elke sommeerbare gewone differentievergelijking met twee of drie variabelen waarin P en Q resp. P, Q en R eentermen zijn

kPex f kQey - 0 of

kPex

f ~.Qey }

kan men van volgorde (x-y) resp. (x-y-z) overgaan naar elke andere volgorde en omgekeerd m.b.v. tabel (8.83) resp. (8.87) en de tekentransformatie f~-. Ter adstructie nog het volgende.