Gewone differentiaalvergelijkingen
Getekend zijn het lijnelementenveld bij de differentiaalvergelijking dy
dx =√ x · y
en oplossingen van de differentiaalvergelijking die voldoen aan y (0) = 0.
Getekend zijn het lijnelementenveld bij de differentiaalvergelijking dy
dx =√ x · y
en de oplossing van de differentiaalvergelijking die voldoet aan y (0) = 1.
Stelling (over existentie en ´ e´ enduidigheid)
Als p, g : (α , β) → R continue functies zijn op (α , β), α < t0< β en y0∈ R, dan heeft de differentiaalvergelijking
dy
dt + p(t)y = g (t)
precies ´e´en oplossing y = φ(t) op (α , β) die voldoet aan y (t0) = y0
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
18 november 2018 1
Stelling (over existentie en ´ e´ enduidigheid)
Laten de functies f en ∂f
∂y continu zijn op
D = {(t, y ) | α < t < β, γ < y < δ} en (t0, y0) ∈ D.
Dan bestaat er een h > 0 zodat het beginwaardeprobleem
dy
dt = f (t, y ) y (t0) = y0
precies ´e´en oplossing heeft op I = (t0− h, t0+ h) waarbij α ≤ t0− h < t0+ h ≤ β.
Laplacetransformaties
Inleiding
Veel praktische problemen waarmee ingenieurs te maken krijgen zijn van mechanische aard of zijn problemen waarin elektrische circuits een rol spelen. Men krijgt dan te maken discontinue krachten of krachten met een impulsief karakter.
Deze problemen zijn moeilijk op te lossen met de theorie uit Hoofdstuk 3 (Stewart, Hoofdstuk 17).
Inleiding
We gaan gebruik maken van Laplacetransformaties om een probleem in een onbekende functie f te vertalen in een eenvoudiger,
algebra¨ısch, probleem in een functie F . We lossen dit probleem op en vinden f door de inverse Laplace getransformeerde van F te bepalen.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
18 november 2018 2
Definitie
Laat f een functie zijn die gedefineerd is op [0 , ∞) en die voldoet aan een aantal voorwaarden die later zullen worden geformuleerd.
Dan wordt de Laplace getransformeerde van f gedefinieerd door
∞
Z
0
e−stf (t)dt (1)
Notatie
Als D = {s ∈ R | De oneigenlijke integraal (1) is convergent } dan definieert (1) op D een functie van s die wordt genoteerd als L{f (t)}
of als F .
Opmerking
Voordat we voorwaarden kunnen formuleren waaronder de Laplace getransformeerde van een functie, eventueel met een discontinu of impulsief karakter, bestaat is het nodig aandacht te besteden aan stuksgewijs continue functies en oneigenlijke integralen (Stewart, Hoofdstuk 7, §7.8).
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
18 november 2018 4
Definitie
Een functie f : [α, β] → R heetstuksgewijs continuop [α, β] als er α = t0< t1< · · · < tn = β bestaan zodat:
f continu is op (ti −1, ti) en lim
t→ti −1+
f (t), lim
t→ti−
f (t) bestaan voor i = 1, 2, · · · n.
Stelling
Is f stuksgewijs continu op [α, β] dan is f Riemann-integreerbaar over [α, β] en
Z β α
f (t)dt =
n
X
i =1
Z ti ti −1
f (t)dt
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
18 november 2018 6
Definitie
Laat f een stuksgewijs continue functie zijn op [a, A] voor elke A > a.
Als lim
A→∞
Z A a
f (t)dt bestaat als eindig getal dan heet f Riemann-integreerbaar over [a, ∞) en we schrijven
Z ∞ a
f (t)dt = lim
A→∞
Z A a
f (t)dt
Definitie
Als lim
A→∞
Z A a
f (t)dt bestaat als eindig getal dan heet Z ∞
a
f (t)dt convergenten anders divergent.
Stelling
Laten f en g stuksgewijs continue functies zijn op [a, A] voor elke A > a. Dan geldt:
als |f (t)| ≤ g (t) voor t ≥ M ≥ a en Z ∞
M
g (t)dt is een convergente integraal dan is
Z ∞ a
f (t)dt ook een convergente integraal.
als f (t) ≥ g (t) ≥ 0 voor t ≥ M ≥ a en Z ∞
M
g (t)dt is een
divergente integraal dan is Z ∞
a
f (t)dt ook een divergente integraal.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
18 november 2018 8
