Gewone differentiaalvergelijkingen

Gewone differentiaalvergelijkingen

dy

Terminologie

Definitie

Een gewone differentiaalvergelijking kan altijd geschreven worden als:

F (t, y , y⁽¹⁾, · · · , y⁽ⁿ⁾) = 0 (1) Wij zullen er ook vanuit gaan dat (1) geschreven kan worden als:

y⁽ⁿ⁾ = f (t, y , y⁽¹⁾, · · · , y⁽ⁿ⁻¹⁾) (2) Een functie φ : (α, β) → R heet een oplossing van (2) als:

φ⁽ⁿ⁾(t) = f (t, φ(t), φ⁽¹⁾(t), · · · , φ⁽ⁿ⁻¹⁾(t)) voor α < t < β.

Definitie

De differentiaalvergelijking:

a0(t)y⁽ⁿ⁾ + a1(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + an(t)y = g (t) voor zekere continue functies a0, a1, · · · , an en g op (α, β) heet lineair en van de orde n.

a0(t)y⁽ⁿ⁾ + a1(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + an(t)y = 0 heet de bijbehorende homogene vergelijking.

Definitie

De verzameling van alleoplossingen van een differentiaalvergelijking heet dealgemene oplossingvan deze differentiaalvergelijking.

In de algemene oplossing van een n-de orde differentiaalvergelijking komen n constanten voor.

Deze constanten kunnen worden vastgelegd door n begin- of randvoorwaarden op te leggen.

Definitie

Een n-de orde differentiaalvergelijking tesamen met n begin- of randvoorwaarden heet een begin- of randwaardeprobleem.

Eerste orde differentiaalvergelijkingen

Een eerste orde differentiaalvergelijking kan geschreven worden als:

dy

dt = f (t, y ) (3)

Zonder de oplossingen hiervan te kennen kan hierover toch informatie worden verkregen door een zogenaamdrichtingsveldte tekenen.

Als φ een oplossing is van (3) op (a, b) dan heeft de grafiek van φ in het punt (t, y ) = (t, φ(t)) (a < t < b) een helling

f (t, y ) = f (t, φ(t)).

Definitie

Tekenen we in elk punt (t, y ) waarvoor f (t, y ) bestaat een (gericht) lijnsegmentje met helling f (t, y ) dan ontstaat zo een richtingsveld bij de differentiaalvergelijking (3).

Opmerking

Twee verschillende oplossingen van de differentiaalvergelijking (3) snijden niet.

Eerste orde, lineaire differentiaalvergelijkingen

Iedere eerste orde, lineaire differentiaalvergelijking kan dus geschreven worden als:

dy

dt + p(t)y = g (t) (4)

De algemene oplossing van (4) kan op twee verschillende manieren worden gevonden.

Door een integrerende factor te bepalen.

Door eerst de bijbehorende homogene vergelijking op te lossen en vervolgens de methode van variatie van een constante toe te passen.

Het zoeken van een integrerende factor

We vinden de algemene oplossing van dy

dt + p(t)y = g (t)

door deze vergelijking met een functie µ van t te vermenig- vuldigen. Dit geeft

µ(t)dy

dt +µ(t)p(t)y = µ(t)g (t) Omdat d(µ(t)y )

dt = µ(t)dy

dt + dµ(t)

dt y willen we de functie µ zo kiezen datµ(t)p(t) = dµ(t)

dt .

De functie µ moet dus een oplossing zijn van de differentiaalvergelijking dµ

dt = p(t) µ.

Deze differentiaalvergelijking kan eenvoudig worden opgelost (door de variabelen te scheiden). Is P een primitieve van p dan vinden we µ(t) = e^P(t).

Dus d(e^P(t)y )

dt = e^P(t)g (t). Waarmee voor niet al te ingewikkelde rechterleden y te bepalen valt.

Separabele differentiaalvergelijkingen

Kiezen we x als onafhankelijke variabele en veronderstellen we dat de differentiaalvergelijking van de orde 1 is dan kan zij geschreven worden als:

dy

dx = f (x , y ) of als:

m(x , y ) + n(x , y )dy

dx = 0 (5)

Veronderstellen we dat n onafhankelijk is van y en dat m onafhankelijk is van x dan heet (5) separabelen kan geschreven worden als:

m(x ) + n(y )dy

dx = 0 (6)

Is M een primitieve van m en N een primitieve van n dan is:

M(x ) + N(y ) = c (c ∈ R) de algemene oplossing van (6).

Voegen we aan (6) de beginvoorwaarde y (x₀) = y₀toe dan c = M(x₀) + N(y₀) en dus

M(x ) − M(x0) + N(y ) − N(y0) = 0 ofwel Z x

x₀

m(s)ds + Z y

y₀

n(s)ds = 0

Stelling (over existentie en ´ e´ enduidigheid)

Als p, g : (α , β) → R continue functies zijn op (α , β), α < t₀< β en y₀∈ R, dan heeft de differentiaalvergelijking

dy

dt + p(t)y = g (t)

precies ´e´en oplossing y = φ(t) op (α , β) die voldoet aan y (t0) = y0

Stelling (over existentie en ´ e´ enduidigheid)

Laten de functies f en ∂f

∂y continu zijn op

D = {(t, y ) | α < t < β, γ < y < δ} en (t0, y0) ∈ D.

Dan bestaat er een h > 0 zodat het beginwaardeprobleem





 dy

dt = f (t, y ) y (t0) = y0

precies ´e´en oplossing heeft op I = (t0− h, t0+ h) waarbij α ≤ t₀− h < t0+ h ≤ β.