• No results found

voor n ≥ 1. (Je mag gebruiken dat (1 + n 1 ) n < e voor n ∈ N.)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "voor n ≥ 1. (Je mag gebruiken dat (1 + n 1 ) n < e voor n ∈ N.)"

Copied!
2
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

Discrete Wiskunde 1 voorjaar 2009

Huiswerk week 1

Opgave 1. (Cameron: Chapter 2, opgave 3) (i) Bewijs met inductie dat n! > n e  n

voor n ≥ 1. (Je mag gebruiken dat (1 + n 1 ) n < e voor n ∈ N.)

(ii) Het meetkundig gemiddelde van n niet-negatieve getallen x i is gegeven door M (x 1 , . . . , x n ) := ( Q n

i=1 x i )

n1

. Het rekenkundig gemiddelde van n getallen x i is gegeven door R(x 1 , . . . , x n ) := n 1

P n

i=1 x i . Er geldt dat M (x 1 , . . . , x n ) ≤ R(x 1 , . . . , x n ) met gelijkheid alleen maar als x 1 = x 2 = . . . = x n .

Gebruik deze ongelijkheid om aan te tonen dat n! < ( n+1 2 ) n voor n > 1.

Concludeer dat n! < e n 2  n

voor n ≥ 1.

Opgave 2. (Cameron: Chapter 2, opgave 11)

Zij B een systeem van b verzamelingen B ⊆ {1, . . . , n}. Stel dat geldt:

• iedere verzameling B ∈ B bevat precies k elementen;

• voor iedere i ∈ {1, . . . , n} is i in precies r verzamelingen B ∈ B bevat.

Laat zien dat bk = nr.

Geef een voorbeeld van zo’n systeem B voor de parameters n = 6, k = 3, b = 4, r = 2.

Opgave 3. (Cameron: Chapter 3, opgave 3)

Het is een gebruikelijke conventie dat n k  = 0 gedefinieerd wordt, als k < 0 of k > n.

Bewijs de volgende identiteiten voor binomiaalco¨effici¨enten:

(i) n k  k l  = n l

 n − l k − l .

(ii) P k

i=0 m

i

 n

k − i  = m+n k .

(iii) P k

i=0 n+i

i  = n+k+1 k .

(iv) P n

k=1 k n k  = n2 n −1 . (v) P n

k=0 (−1) k n k  2

=

( 0 als n even;

(−1) m 2m m 

als n = 2m.

Opgave 4. (Cameron: Chapter 3, opgave 7)

Een (ouderwetse) computer moet binomiaalco¨effici¨enten berekenen. Het groot- ste natuurlijke getal dat de computer kan verwerken is 32767 = 2 15 − 1.

De volgende vier manieren worden voorgesteld (waarbij de computer steeds van

links naar rechts werkt, zo dat er alleen maar gehele getallen voorkomen):

(2)

(a) n k  = (n!/k!)/(n − k)!;

(b) n k  = n(n − 1) . . . (n − k + 1)/k!;

(c) n 0  = 1, n k  = k n

−1  · (n − k + 1)/k! voor k > 0;

(d) n 0  = n n  = 1, n k  = n k −1

−1  + n −1 k  voor 0 < k < n.

Voor welke waarden van n en k laat zich n k  met de verschillende methodes berekenen?

Geef ook een afschatting van de benodigde operaties (vermenigvuldigen/delen, optellen) voor de verschillende technieken.

Webpagina: http://www.math.ru.nl/∼souvi/dw1 09/dw1.html

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

• U mag gebruik maken van de cursus Wiskunde I en van een rekenma- chine (grafisch is toegestaan, een symbolisch niet).. • Schrijf de antwoorden duidelijk leesbaar op in

Pluralisme veronderstelt een groot aantal verschillend georiënteerde instellingen; tevens moeten hiertoe open structuren bestaan, in het kader waarvan de overheid

res aux Comptes&#34; en alle andere stukken, die aan de aandeelhouders- vergadering worden voorgeIegd, tevoren aan !'let comité over te leggen. Het comité kan de

Luister naar wat je leerkracht opnoemt.. Heb jij

26 januari 2016 Portefeuillehouder De Klein zegt toe dat de (zodra het weer het toelaat) berm hersteld zal wodenen dat er gekeken wordt naar een structureel goede oplossing

Laat zien dat het aantal perfecte matchings in G gelijk is aan het aantal permutaties zonder vaste punten (derangements) op n punten.. Geef het aantal perfecte matchings in

Uitwerking van het deeltentamen I Fouriertheorie 10 november

• Hier ligt meer dan 50% onder het gemiddelde (dus is hier geen sprake. van een normale verdeling)