Schrijf een van de drie oplossingen op in gewone vorm

(1)

1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 2018-2019 1ste zittijd 5 november 2018

Wiskundige Technieken

1. Beschouw het vectorveld

~v(x, y, z) = (2z² + 3 − 2x²)~u₁− (2y²− 2z²)~u₂+ f (x, y, z)~u₃,

waarbij f : R³ → R een scalaire functie is. Bepaal alle scalaire functies f waarvoor geldt dat ~∇ · ~v = 0 en ~∇ × ~v = ~0.

2. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen:

a) 3y⁰− y = 2x²

b) y⁰⁰+ 2y⁰+ y = 8e^x(x²+ 1)

3. Bepaal alle z ∈ C die voldoen aan de vergelijking z³+ 2 = 2i.

Schrijf deze oplossingen op in goniometrische. Schrijf een van de drie oplossingen op in gewone vorm. Bepaal de derde machtswortels uit 1, en gebruik deze om ook de andere oplossingen in gewone vorm te schrijven.

(2)

4. Voor een punt A in het vlak of in de driedimensionale ruimte noteren we ~a = ~OA.

Beschouw een driehoek met hoekpunten A, B en C. Een zwaartelijn van de driehoek is een rechte die een van de hoekpunten verbindt met het midden van de overstaande zijde.

(a) Stel de vectorvergelijking van elk van de drie zwaartelijnen op;

(b) Toon aan dat de drie zwaartelijnen mekaar snijden in het punt

~a + ~b + ~c

3 ,

genaamd het zwaartepunt van de driehoek ABC.

Neem nu vier punten P, Q, R en S in de driedimensionale ruimte. We maken volgende veronderstellingen:

• de vier punten zijn niet coplanair, d.w.z. ze liggen niet in een vlak;

• als we drie van de vier punten nemen, dan zijn die niet collineair, d.w.z. ze liggen niet op een rechte.

Elk drietal bepaalt dus een vlak; het ruimtelichaam begrensd door deze vier vlakken noemen we de tetra¨eder of het viervlak met hoekpunten P, Q, R en S.

(c) Bepaal de vectorvergelijking van de vier rechten die gevormd worden door een hoekpunt te verbinden met het zwaartepunt van de driehoek bepaald door de overige drie hoekpunten.

(d) Laat zien dat deze vier rechten elkaar snijden in het punt

~

p + ~q + ~r + ~s

4 .

Het examen duurt 3 uur. Het gebruik van de cursus, cursusnota’s en rekenmachine is niet toegelaten. Punten- verdeling: vragen 1 en 3: 8 punten, vragen 2 en 4: 12 punten.

Gelieve elke vraag op een apart blad op te lossen!

Veel succes!

2

(3)

Oplossingen

1. Er is gegeven dat

∇ · ~v = −4x − 4y +~ ∂f

∂z = 0, en

∇ × ~v =~

~u₁ ~u₂ ~u₃

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

2z²+ 3 − 2x² −2y²+ 2z² f

= (∂f

∂y − 4z)~u₁+ (4z − ∂f

∂x)~u₂ = ~0.

We hebben dus

∂f

∂x = 4z ; ∂f

∂y = 4z ; ∂f

∂z = 4x + 4y.

Hieraan is voldaan als f (x, y, z) = 4xz + 4yz + c.

2a. 3y⁰− y = 2x²

Homogene vergelijking: 3y⁰− y = 0. Scheiding der veranderlijken geeft 3y⁰ = y ⇒

Z dy y =

Z dx 3 . Dus y_h = ce^x³.

Particuliere integraal: Stel yp = c(x)e^x³. Dan is y⁰_p = c⁰(x)e^x³ + e^x³^c(x)₃ . Invullen in de vergelijking geeft:

3c⁰(x)e^x³ + c(x)e^x³ − c(x)e^x³ = 2x²

⇒c⁰(x) = 2x²

3 e⁻^x³ ⇒ c(x) =

Z 2x²

3 e⁻^x³dx.

Met behulp van parti¨ele integratie vinden we 2

3 Z

x²e⁻^x³dx = −2e⁻^x³x²+ 4 Z

e⁻^x³xdx

= −2e⁻^x³x²− 12e⁻^x³x + 12 Z

e⁻^x³dx = −2e⁻^x³x²− 12e⁻^x³x − 36e⁻^x³ zodat yp = −2x²− 12x − 36.

Alternatief: neem y_p = Ax²+ Bx + c. Invullen in de vergelijking geeft

−Ax²+ (6A − B) + (3B − C) = 2x² waaruit volgt dat A = −2, B = −12 en C = −36.

De algemene integraal is y = ce^x³ − 2x²− 12x − 36.

2b. y⁰⁰+ 2y⁰+ y = 8e^x(x²+ 1)

Homogene vergelijking: y⁰⁰+ 2y⁰+ y = 0. De karakteristieke vergelijking is λ²+ 2λ + 1 = 0, met als oplossing λ = −1 met multipliciteit 2. Dus yh = c1e^−x+ c2xe^−x.

1

(4)

Particuliere integraal: Neem yp = e^x(Ax²+Bx+C), dan is y_p⁰ = e^x(Ax²+Bx+C)+2Axe^x+Be^x en y⁰⁰_p = e^x(Ax²+ Bx + C) + 2Axe^x+ Be^x+ 2Ae^x+ 2Axe^x+ Be^x. Invullen geeft:

4e^x(Ax² + Bx + C) + 8Axe^x+ 4V e^x+ 2Ae^x= 8e^x(x²+ 1).

Oplossen naar A, B en C geeft: A = 2, B = −4 en C = 5. Dus yp = e^x(2x²− 4x + 5).

De algemene integraal is y = c₁e^−x+ c₂xe^−x+ e^x(2x²− 4x + 5).

3.

z³ = −2 + 2i = 2√

2−1 + i

√2 =√ 2³e^3πi⁴ . zodat

z =√

2e⁽¹⁴⁺^2k³^)πi. met k = 0, 1, 2:

z₀ =√

2e^πi⁴ =√

2(cosπ

4 + i sinπ

4) = 1 + i ; z₁ = e^11πi¹² ; z₂ = e^19πi¹² De derdemachtswortels uit 1 zijn 1 en ¹₂(−1 ±√

3). We vermenigvuldien deze met z₀: z₁ = (−1 +√

3)(1 + i) = 1

2(−1 + i√

3 − i −√ 3) = 1

2(−(√

3 + 1) + i(√

3 − 1)) z₂ = (−1 −√

3)(1 + i) = 1

2(−1 − i√

3 − i +√ 3) = 1

2((√

3 − 1) − i(√

3 + 1))

4a. De vectorvergelijking van de zwaartelijn door het hoekpunt A en het midden van de zijde BC is

~

x = ~a + λ ~b + ~c 2 − ~a

! .

Op precies dezelfde manier vinden we de vectorvergelijking van de andere twee zwaartelijnen:

~x = ~b + λ

~a+~c 2 − ~b

~x = ~c + λ

~a+~b 2 − ~c

4b. Als we λ = 2/3 stellen in elk van de vergelijkingen, dan zien we dat de drie zwaartelijnen door het punt (~a + ~b + ~c)/3 gaan.

4c. De vectorvergelijking van de rechte door het punt P en het zwaartepunt van driehoek RSQ wordt gegeven is:

~x = ~p + λ ~r + ~s + ~q 3 − ~p

Op analoge wijze vinden we de vergelijking van de drie overige rechten:

~x = ~q + λ

~ r+~s+~p

3 − ~q

~x = ~s + λ

~ r+~p+~q

3 − ~s

~x = ~r + λ

~ s+~p+~q

3 − ~r

4d. Als we λ = 3/4 stellen in elk van de vergelijkingen, dan zien we dat de vier rechten door het punt (~r + ~s + ~p + ~q)/4 gaan.

2