Sturm-Liouvilletheorie van differentievergelijkingen.
Sturm-Liouvilleproblemen voor differentiaalvergelijkingen zijn eigenwaardeproblemen van de volgende vorm:
0
waarbij y voldoet aan zekere homogene en lineaire randvoorwaarden in x=a, x=b en waarbij p,q continu resp. continu differentieerbare functies zijn op een interval [a,b] en w een op (a,b) positieve continue en op [a,b]
integreerbare functie is. Waarden van µ waarvoor er een oplossing y≠0 bestaat heten eigenwaarden en de bijbehorende oplossingen heten de eigenfuncties van het Sturm-Liouvilleprobleem. Eigenschappen van deze eigenwaarden en eigenfuncties zijn welbekend: zo zijn eigenfuncties behorend bij verschillende eigenwaarden orthogonaal t.a.v. een zeker inwendig product. Voor speciale p,q en w vormen de eigenfuncties een volledig stelsel van orthogonale polynomen. Eigenfuncties van Sturm- Liouvilleproblemen vormen orthogonale bases van een Hilbertruimte H en functies in H kunnen worden ontwikkeld in termen van deze orthogonale basis. Verder is er een bekend resultaat van Sturm over de nulpunten van de n-de eigenfunctie.
Homogene lineaire differentievergelijkingen van tweede orde zijn van de vorm
0
waarbij , , , rijen reële getallen zijn.
Ook voor differentievergelijkingen kunnen we Sturm-Liouvilleproblemen definiëren. Doel van het onderzoek is om na te gaan wat de
overeenkomsten en verschillen zijn met het “continue geval”. Ook hier is er weer een versie van orthogonaliteit en voor speciale waarden van de
coëfficiënten vinden we als eigenfuncties analoga van orthogonale
polynomen en andere speciale functies. Deze vormen orthogonale bases van een vectorruimte. Tevens hebben we weer een versie van de
nulpuntenstelling van Sturm.
De discrete variant van de Sturm-Liouvilleproblemen kan worden
onderzocht m.b.v. lineaire algebra op eindig-dimensionale vectorruimten.
Robert-Jan Kooman, december 2008.
