Orthogonale projecties
De loodrechte projectie op een lijn
Laat u ∈ Rn\{0} en L = Span({u}).
Dan kan iedere vector y ∈ Rn kan op precies ´e´en manier geschreven worden als y = ˆy + z waarbij ˆy ∈ L en
z = y − ˆy ∈ L⊥.
De loodrechte projectie op een lijn
ˆ
y = cu en z = (y − ˆy)⊥u dus
(y − ˆy) ru = 0 ⇔
y ru − c(u ru) = 0 ⇔
Orthogonale verzamelingen vectoren
Definitie
Als S = {u1, u2, · · · , up} een verzameling vectoren is in Rn dan heet deze verzameling orthogonaal als ui ruj = 0 voor 1 ≤ i , j ≤ p, i 6= j .
Stelling
Als S = {u1, u2, · · · , up} een verzameling orthogonale vectoren is in Rn\{0} dan is S een verzameling lineair onafhankelijke vectoren.
S spant dus een p-dimensionale deelruimte van Rn op.
Voorbeeld
De vectoren
3 1 1
,
−1 2 1
en
−12
−2
7 2
staan lood- recht op elkaar.
Definitie
Is B = {u1, u2, · · · , up} een basis voor een deelruimte W van Rn, bestaand uit orthogonale vectoren, dan heet B een orthogonale basis voor W .
Stelling
Als B = {u1, u2, · · · , up} een basis is voor een deelruimte W van Rn dan kan iedere vector y ∈ W precies op ´e´en manier geschreven worden als y = c1u1 + c2u2 + · · · + cpup.
Is B bovendien een orthogonale verzameling vectoren dan
cj = y ruj uj ruj
(1 ≤ j ≤ p)
Opmerking
Als B = {u1, u2, · · · , up} een orthogonale basis is voor een deelruimte W van Rn dan kan iedere vector y ∈ W precies op ´e´en manier geschreven worden als y = c1u1 + c2u2 + · · · + cpup. waarbij
cj = y ruj
uj ruj
(1 ≤ j ≤ p)
Met andere woorden: iedere vector y ∈ W kan op ´e´en manier
geschreven worden als som van de loodrechte projecties op de dragers van u1, u2, · · · , up
Figuur:y = yru1
u1ru1u1+ yru2
u2ru2u2= ˆy1+ ˆy2 geschreven als de som van twee projecties.
§6.2, opgave 9
u1=
1 0 1
, u2=
−1 4 1
, u3=
2 1
−2
en x =
8
−4
−3
.
Toon aan dat {u1, u2, u3} een orthogonale basis is voor R3 en schrijf x als lineaire combinatie van de u’s.
Het is gemakkelijk om na te gaan dat de u’s orthogonaal zijn.
x = 5 2u1−3
2u2+ 2u3.
Opgave
§6.2, opgave 13
Laat y =
"
2 3
# en u =
"
4
−7
#
. Schrijf y als de som van twee vectoren, ´e´en vector in Span{u} en de ander orthogonaal met u.
y = −1 5
"
4
−7
# +2
5
"
7 4
#
Opgave
§6.2, opgave 15
Laat y =
"
3 1
# en u =
"
8 6
# .
Bereken de afstand van y tot de drager van u.
De orthogonale projectie ˆy van y op de drager van u is ˆy =3 5
"
4 3
#
z = y − ˆy =1 5
"
3
−4
#
en ||z|| = 1.
De formule y = c1u1 + c2u2 + · · · + cpup. waarbij
cj = y ruj uj ruj
(1 ≤ j ≤ p)
wordt eenvoudiger wanneer alle noemers van c1, c2, . . . , cp gelijk zijn aan 1.
Definitie
Een verzameling S = {u1, u2, · · · , up} in Rn vectoren heet
orthonormaal als ui ruj =
0 als i 6= j 1 als i = j
i , j = 1, 2, . . . , p
Voorbeeld
De vectoren
3 1 1
,
−1 2 1
en
−12
−2
7 2
staan loodrecht op elkaar zagen we eerder.
Ze vormen een orthogonale basis van R3.
Hiermee kan een gemakkelijk een orthonormale basis van R3worden gevonden door te delen door de lengte van de vectoren.
Dit levert de volgende vectoren op: 1
√11
3 1 1
, 1
√6
−1 2 1
en
√2
−12
−2
.
Het is eenvoudig om te controleren of de verzameling vectoren S = {u1, u2, · · · , up} in Rn orthogonaal of orthonormaal is.
Laat U = [u1u2· · · up].
De kolommen van U zijn alleen maar
orthogonaal als UTU een p × p diagonaalmatrix is, orthonormaal als UTU = Ip.
Voorbeeld
Als U =
3 −1 −12
1 2 −2
1 1 72
dan UTU =
11 0 0
0 6 0
0 0 664
en als
U =
√3
11 −√1
6 −√1
66
√1 11
√2 6 −√4
66
√1 11
√1 6
√7 66
dan UTU =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
Wat valt er op aan de drie rijen van de laatste matrix?
Definitie
Een n × n matrix U heet orthogonaal als de kolommen van U een orthonormale verzameling vectoren vormen.
Pas op: deze naamgeving is uiterst verwarrend!
Als U een n × n orthogonale matrix is dan UTU = In
Maar dan is U inverteerbaar en U−1= UT.
Waar natuurlijk weer uit volgt dat UUT = (UT)TUT = Inzodat de rijen van U (kolommen van UT) ook orthonormaal zijn.
Stelling
Als B = {u1, u2, · · · , up} een orthogonale basis is voor een deelruimte W van Rn dan is
ˆ
y = c1u1 + c2u2 + · · · + cpup
waarbij
cj = y ruj uj ruj
(1 ≤ j ≤ p)
de loodrechte projectie van y op W . ˆy is dus de som van de loodrechte projecties op de dragers van u1, u2, · · · , up
(a)De loodrechte projectie ˆy van y op W .
(b)En geschreven als de som van twee loodrechte projecties.
Figuur:W is een vlak in de ruimte (R3)
Iedere vector y kan op precies ´e´en manier geschreven worden als y = ˆy + z waarbij ˆy ∈ W en z ∈ W⊥.
Opgaven
§6.3, opgave 3
y =
−1 4 3
, u1=
1 1 0
en u2=
−1 1 0
.
Controleer dat {u1, u2} een orthogonale verzameling vectoren is en bepaal de loodrechte projectie van y op Span{u1, u2}
y =
−1 4 3
, u1=
1 1 0
en u2=
−1 1 0
.
u1 ru2= 1 · (−1) + 1 · 1 + 0 · 0 = 0 en dus is {u1, u2} een orthogonale verzameling vectoren. Laat W = Span{u1, u2}. Dan
projW(y) = y ru1
u1 ru1u1+ y ru2
u2 ru2u2= 32u1+52u2
= 1
2(3u1+ 5u2) =1 2
−2 8 0
=
−1 4 0
.
§6.3, opgave 9
y =
4 3 3
−1
, u1=
1 1 0 1
, u2=
−1 3 1
−2
en u3=
−1 0 1 1
.
Laat W = Span{u1, u2, u3} enschrijf y als de som van een vector in W en een vector in W⊥.
y =
4 3 3
−1
, u1=
1 1 0 1
, u2=
−1 3 1
−2
en u3=
−1 0 1 1
.
y = projW(y) + z waarbij projW(y) = 63u1+1015u2−23u3=
2 4 0 0
en
z = y − projW(y) =
2
−1 3
−1
. z ⊥ u1, u2, u3dus z ∈ W⊥.
Definitie
Als W een deelruimte is van Rn en y ∈ Rndan is de afstand van y tot W gelijk aan min{dist(y, v) | v ∈ W }
Notatie
dist(y, W )
dist(y, ˆy) ≤ dist(y, v) voor alle v ∈ W .
Dus dist(y, W ) = dist(y, ˆy).
Voorbeeld (§6.3, opgave 15)
y =
5
−9 5
, u1=
−3
−5 1
, u2=
−3 2 1
Bepaal de afstand van y en het vlak opgespannen door u1en u2.
u1 ru2= (−3)2− 5 · 2 + 1 · 1 = 0 dus projW(y) = y ru1
u1 ru1u1+ y ru2
u2 ru2u2= 3535u1−2814u2= u1− 2u2=
3
−9
−1
zodat dist(y, W ) =p(5 − 3)2+ (−9 + 9)2+ (5 + 1)2= 2√
10
Opgave
§6.3, opgave 13
z =
3
−7 2 3
, v1=
2
−1
−3 1
en v2=
1 1 0
−1
Bepaal de vector van de vorm c1v1+ c2v2die z het ‘best’ benaderd.
z =
3
−7 2 3
, v1=
2
−1
−3 1
en v2=
1 1 0
−1
Laat W = Span{v1, v2} dan is projW(z) de vector in W die z het ‘best’
benaderd.
projW(z) =1015v1−73v2=13(2v1− 7v2) = 13
−3
−9
−6 9
=
−1
−3
−2 3
.
Stelling
Als B = {u1, u2, · · · , up} een orthonormale basis is voor een deelruimte W van Rn dan is
ˆ
y = c1u1 + c2u2 + · · · + cpup
waarbij
cj = y ruj (1 ≤ j ≤ p) de loodrechte projectie van y op W .
Er geldt dus ˆ
y = (y ru1)u1 + (y ru2)u2 + · · · + (y rup)up
= u1(y ru1) + u2(y ru2) + · · · + up(y rup)
= u1(u1 ry) + u2(u2 ry) + · · · + up(up ry)
= u1(uT1y) + u2(uT2y) + · · · + up(uTpy)
= (u1uT1)y + (u2uT2)y + · · · + (upuTp)y
= (u1uT1 + u2uT2 + · · · + upuTp)y
Maar ook ˆy = UUTy waarbij U = [u1u2 . . . up]
