De determinant van een n × n matrix
Tussentoets
Op vrijdag 7 oktober wordt de tussentoets afgenomen in MyMathLab.
De opgaven in deze toets dekken de stof die is behandeld gedurende de afgelopen 4 weken. Deelname aan de tussentoets is niet verplicht en de behaalde score levert geen punten op voor het tentamen. De toets zal op 10 oktober beschikbaar zijn van 11 tot 16 uur. Het maken van de toets zal gemiddeld ongeveer 1,5 uur a 2 uur duren. Probeer de toets zonder onderbrekingen in n sessie te maken. Als je een onderbreking nodig hebt dan kun je gebruik maken van de optie ”Save for Later”(maar dat moet je dan niet vergeten, anders moet je helemaal opnieuw beginnen). Maak de opgaven die rekenwerk vereisen eerst netjes op papier voordat je een antwoord invoert in het digitale systeem. Bij elke opgave kun je maximaal drie keer een antwoord invullen. Veel plezier en succes bij het maken van deze toets!
Ondermatrices en cofactoren van een matrix
Voorbeeld (§3.1, opgave 3)
Gegeven is de matrix A =
2 −2 3
3 1 2
1 3 −1
.
Wat is de ondermatrix A23 van a23? En de bijbehorende cofactorC23? Dezelfde vragen voor a32.
A23=
"
2 −2
1 3
#
en C23= (−1)5|A23| = −8
A32=
"
2 3 3 2
#
en C32= (−1)5|A32| = 5
Voor de definities van de begrippen ondermatrix en cofactor zie de video.
Ondermatrices en cofactoren van een matrix
Definitie
Als A een 3 × 3 matrix is dan is A inverteerbaar als het volgende getal ongelijk 0 is:
∆ = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32
− a11a23a32− a12a21a33− a13a22a31
Dit getal heet de determinant van A en wordt op de gebruikelijke wijze genoteerd namelijk als det(A) of |A| (zie de inleiding van §3.1).
Merk op dat elke term het product is van matrixelementen die in een verschillende rij en kolom staan en verder dat elk matrixelement in precies twee termen voorkomt.
Wat is de structuur van deze formule?
Kies een rij of kolom en haal de elementen van deze rij of kolom buiten haakjes:
Rij 1
det(A) = a11a22a33+ a12 a23a31+ a13a21a32
− a11 a23a32− a12a21a33− a13a22a31
= a11(a22a33− a23a32) − a12 (a21a33− a23a31) + a13 (a21a32− a22a31)
= a11(−1)1+1det(A11) + a12(−1)1+2det(A12) + a13 (−1)1+3det(A13)
= a11C11+ a12C12+ a13 C13
Kolom 2
det(A) = a11 a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32
− a11a23a32 − a12 a21a33− a13 a22a31
= − a12 (a21a33− a23a31) + a22(a11a33− a13a31)
− a32(a11a23− a13a21)
= a12 (−1)2+1det(A12) + a22 (−1)2+2det(A22) a32 (−1)3+2det(A32)
= a12 C12+ a22C22+ a32C32
Stelling
Laat A een 3 × 3 matrix zijn. Dan geldt:
det(A) = ai 1(−1)i +1det(Ai 1) + ai 2(−1)i +2det(Ai 2) + ai 3(−1)i +3det(Ai 3)
= ai 1Ci 1+ ai 2Ci 2+ ai 3Ci 3 i = 1, 2, 3 en det(A) = a1j(−1)1+jdet(A1j) + a2j(−1)2+jdet(A2j)
+ a3j(−1)3+jdet(A3j)
= a1jC1j+ a2jC2j+ a3jC3j j = 1, 2, 3
Dit heet de cofactor ontwikkeling van det(A) langs rij i en kolom j .
Opgave
§3.1, opgave 3
Bereken
2 −2 3
3 1 2
1 3 −1
door te onwikkelen langs rij 1 en kolom 2
2 −2 3
3 1 2
1 3 −1
= 2(−1 − 6) + 2(−3 − 2) + 3(9 − 1) = 0 en
2 −2 3
3 1 2
1 3 −1
= 2(−3 − 2) + (−2 − 3) − 3(4 − 9) = 0
Definitie
Als A een n × n matrix is dan wordt de determinant van A gegeven door:
det(A) = a11det(A11) − a12det(A12) + · · · + a1n(−1)1+ndet(A1n)
= a11C11+ a12C12+ · · · + a1nC1n
Stelling
Als A een n × n matrix is dan kan det(A) worden berekend met een cofactorontwikkeling langs een willekeurige rij of kolom.
det(A) = ai 1(−1)i +1det(Ai 1) + ai 2(−1)i +2det(Ai 2) + · · · + ain(−1)i +ndet(Ain)
= ai 1Ci 1+ ai 2Ci 2+ · · · + ainCin i = 1, 2, . . . , n en det(A) = a1j(−1)1+jdet(A1j) + a2j(−1)2+jdet(A2j) + · · ·
+ anj(−1)n+jdet(Anj)
= a1jC1j+ a2jC2j+ · · · + anjCnj j = 1, 2, . . . , n
Opgave
§3.1, opgave 9
Bepaal met zo min mogelijk berekeningen
4 0 0 5
1 7 2 −5
3 0 0 0
8 3 1 7
4 0 0 5
1 7 2 −5
3 0 0 0
8 3 1 7
= 3
0 0 5
7 2 −5
3 1 7
= 3 · 5
7 2 3 1
= 3 · 5 · 1 = 15
Opgaven
§3.1, opgave 37
Laat A =
"
3 1 4 2
#
Is det(5A) = 5 det(A)?
Nee, det(5A) = 52det(A)
Definitie
Laat A een n × n matrix zijn.
Als aij= 0 voor
j > i j < i
en (1 ≤ i , j ≤ n) dan heet A een onder-en bovendriehoeksmatrix.
Voorbeeld
2 0 0
3 1 0
1 3 −1
en
2 −2 3
0 1 2
0 0 −1
Stelling
De determinant van een onder-of bovendriehoeksmatrix is het product van de elementen op de hoofddiagonaal.
Stelling
Laat A een n × n matrix zijn. Dan geldt:
a. Als A een nulrij heeft dan det(A) = 0.
b. Als de matrix B wordt verkregen door twee rijen van A te verwisselen dan det(B) = − det(A).
c. Als A twee gelijke rijen heeft dan det(A) = 0.
d. Als de matrix B wordt verkregen door ´e´en rij van A met een factor k te vermenigvuldigen dan
det(B) = k det(A).
e. Als de matrix B wordt verkregen door een veelvoud van ´e´en rij bij een andere rij op te tellen dan det(B) = det(A).
Opmerking
Als in deze stelling rijen door kolommen worden vervangen dan blijft zij geldig. Dit is een gevolg van het feit dat det(AT) = det(A).
Opgaven
§3.2, opgaven 5, 7
Bepaal de determinant van de volgende matrices door rij-reductie.
5
1 5 −4
−1 −4 5
−2 −8 7
7
1 3 0 2
−2 −5 7 4
3 5 2 1
1 −1 2 −3
1 5 −4
−1 −4 5
−2 −8 7
=
1 5 −4
0 1 1
0 2 −1
=
1 5 −4
0 1 1
0 0 −3
= −3.
1 3 0 2
−2 −5 7 4
3 5 2 1
1 −1 2 −3
=
1 3 0 2
0 1 7 4
0 −4 2 −5
0 −4 2 −5
Twee gelijke rijen dus is de determinant 0.
Een n × n matrix A kan door rij-operaties uit te voeren (geen vermenigvuldiging met factoren!) overgaan in een
bovendriehoeksmatrix U. Is r het aantal uitgevoerde rijverwisselingen dan det(A) = (−1)rdet(U)
Is de laatste rij van U een nulrij dan is A niet inverteerbaar omdat niet elke matrixvergelijking Ax = b oplosbaar is.
Verder is det(A) = (−1)rdet(U) = (−1)r (product van de elementen op de hoofddiagonaal van U).
Heeft U als laatste rij een nulrij dan volgt hieruit dat det(A) = 0.
Stelling
Een n × n matrix A is inverteerbaar alleen maar als det(A) 6= 0.
Opgave
§3.2, opgave 21
Bepaal de determinant van de matrix
2 6 0 1 3 2 3 9 2
om te achterhalen of zij inverteerbaar is.
2 6 0
1 3 2
3 9 2
= −
1 3 2
2 6 0
3 9 2
= −
1 3 2
0 0 −4
0 0 −4
= 0
want de laatste determinant heeft twee gelijke rijen.
