H7: Goniometrische functies

Hoofdstuk 7: Goniometrische functies. V_1. V_2. a. b. x , x0, x, x2 en x3 c. 1 1 2 2 ( ) 1 2 f x  voor x  en x  d. 1 1 2 2 ( ) 1 1 f x   voor x   en x  e. De periode is 2 1 2 V_3. a. b. 3 1 1 3 4 , 4 , 4 4 x   x   x  en x  c. f x( ) 1 voor x , x0 en x d. 1 1 2 2 ( ) 1 f x   voor x   en x  e. De periode is 2 2  V_4. blauw: 1 2

2cosx2sin(x ) f x( ) rood: cos3xcos 3(x)k x( )

groen: 1

2

sin 2x sin(x )h x( ) zwart: cos 2xcos( 2 )x m x( )

V_5.

a. g(x) ontstaat uit de

grafiek van f(x) door een

lijnvermenigvuldiging toe te passen t.o.v. de x-as met factor 3. De grafiek van h(x) ontstaat door op f(x)

een lijnvermenigvuldiging toe te passen t.o.v. de y-as met factor 1 3.

b. De grafiek van m(x) ontstaat uit die van k(x) door de grafiek van k(x) 2 omhoog te

verschuiven. Als je de grafiek van k(x) 2 naar links verschuift, krijg je de grafiek van n(x).

V_6.

a. Lijnvermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 1

6. Amplitude: 1 en periode: 26 13 . b. Lijnvermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 5. Amplitude: 1 en periode: 2

0,2 10 . c. Een verschuiving van 0,22 naar links. Amplitude: 1 en periode: 2

graden 0 30 45 60 90 120 135 150 180 radialen 0 1 6 14 13 12 23 34 56  x y 0,5  1,5 2 2,5 3 -0,5 - 0,5 1 1,5 -0,5 -1 -1,5

( ) sin

f x



x

x y 0,5  -0,5 - 0,5 1 1,5 -0,5 -1 -1,5

( ) cos 2

f x



x

x y  - 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y  - 1 2 3 4 5 -1 -2 g(x) h(x) f(x) m(x) n(x) k(x)

x y 0,5  1,5 -0,5 - 0,5 1 1,5 -0,5 -1 -1,5

d. Een lijnvermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 5 en een lijnvermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 1

4 . Amplitude: 5 en periode: 24 12.

e. Een lijnvermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor –2 en een verschuiving van 1 naar boven. Amplitude : 2 en periode: 2 .

f. Een lijnvermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 1

, een lijnvermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 10 en een verschuiving van  naar rechts. Amplitude: 10 en periode: 2 ₂

  . V_7. periode: amplitude: a. f x( ) 1 2sin  x 2 1 2 2 b. 1 3 ( ) 2cos g x  x 1 3 2 _6 2 c. h x( ) sin 0,3 x 2 2 0,3 63 1 d. k x( ) 5 3cos 2  x 2 2 1 3 e. l x( ) 5cos (  x) 2 ₂   5 f. m x( ) 3 sin(2 0, 4 )   x 2 0,4 5 1 V_8.

a. De grafiek van f is symmetrisch in de lijn 1 2

x  . b. De grafiek van f is puntsymmetrisch in (0, 0). c. De grafiek van f is puntsymmetrisch in ( , 0).

1. a. De periode van u is 2 1 880  440s. b. 1 frequentie periode c. 1 600 2 sin sin1200 u_ t_{ }t 2. a. 2 500 1 250    _{Hz. c. 2} 256 1 128    _Hz. b. 2 150 300 1 47,75     Hz. d. 2 12 1 6    Hz. 3. a. De periode is 2 1

4  2. De frequentie van deze trilling is 1 2

1 2    . Deze wordt verdubbeld tot 4

. Dan wordt de periode 4

1 4    _en 4 2 ₈ B   .

De nieuwe formule wordt: u6sin 8t

b. De frequentie wordt dan _1,5 2 3     . De periode wordt 3 1 3    _en 3 2 ₆ B   .

De nieuwe formule wordt: u6sin 6t.

4. frequentie van 20 Hz: de periode is 1

20 en 1 20

2 ₄₀

B_  _{ }

frequentie van 20.000 Hz: de periode is 1

20.000 en 1 20.000

2 _40.000

B_  _{ }

5.

a. Voor zowel u als v is de amplitude 3, de periode 2 1 40 20

B 



  en de frequentie 20. b. De grafiek van v is 0,01 naar rechts verschoven t.o.v. de grafiek van u.

c. Dat is het 0,01 1

0,05 5 deel van een periode.

6. a. De periode is 2 1 80 40 B     en de amplitude 0,5 b. De grafiek van u is 0,005 naar rechts verschoven

t.o.v. die van v. Het faseverschil is 1 40

0,005_{0, 2}

c. Dezelfde frequentie en dus ook dezelfde periode; dus sin 80 t . Amplitude is 0,8; dus 0,8sin 80 t . Het faseverschil is 0,3. De verschuiving:

1

400,3 0,0075; 0,8sin 80 (  t0, 0075)

De verschuiving van w t.o.v. 0,0025. Het faseverschil is 1 40 0,0025 _0,1 t u 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 -0,01 -0,02 0,5 1 -0,5 -1

7.

a. De periode van f en g is 2 . De verschuiving 1

2 , het faseverschil is 14.

b. De periode van k en l is  , de verschuiving 1 4 en het faseverschil is ook 1

4.

c. Het faseverschil tussen m en n is ook 1 4.

8.

a.

b. maximum is 2 en het minimum  2: amplitude is 2 en de evenwichtsstand y0. De periode is 2 en de horizontale verschuiving 1

4 naar rechts. Dus 1

4 2 sin( )

y x  .

c. maximum is 2 en het minimum  2: amplitude is 2 en de evenwichtsstand y0. De periode is 2 en de horizontale verschuiving 3

4 naar rechts. Dus 3

4 2 sin( )

y x  .

d. De verschuiving tussen f en g is 1

2 ; dat is een faseverschil van 1 4. 9. a. De amplitude is 1 2 en de periode van f is  . b. maximum: 1 2 en minimum: 12 , dus 1 1 2 2 1 2 2 A    en 1 1 2 2 2 0 D   , _B 2 ₂    en C0 1 2 ( ) sin 2 f x  x c. Als f x( )g x( ), dan is f x( )g x( ) 0 en ( ) 1 ( ) f x g x  .

d. Ja, ze vallen samen.

10.

a. Het maximum (1) en het minimum (0) is voor beide functie gelijk; 1 0 1 2 2 A_  _{ en} 1 0 1 2 2 D_  _{ .} De periode van g(x) en h(x) is  ; _B 2 ₂    . Voor g(x) is de verschuiving 1 4 en voor h(x) is de verschuiving 3

4 . Dus g x( ) 12 12sin 2(x41) en h x( ) 12 21sin 2(x43) b. Het faseverschil is 1 2. c. _{s x( ) sin} 2_xcos2_x1 x y  2 0,5 1 -0,5 -1 x y  2 1 -1 sin x cos x x y  2 3 1 2 -1 -2

sin

cos

y



x



x

x y  2 3 1 2 -1 -2

11. De cirkel is een eenheidscirkel, dus OP r 1.

Voor een punt P (bij een booglengte van x) op de eenheidscirkel geldt: sinx PQ PQ

OP

  en cosx OQ OQ OP

  .

Driehoek OPQ is rechthoekig, dus er geldt de stelling van Pythagoras:

2 2 2 2 2 1 (cos ) (sin ) 1 OQ PQ OQ x x      12. a. -b. maximum 1 en minimum –1: A1 en D0

periode is :B2 en de horizontale verschuiving : 1 4 1 4 ( ) sin 2( ) f x  x  13. a. b. Voor 1 1 1 1 2 2 2 2 1 , , 1 x   x   x  en x  is de noemer (cosx) gelijk aan 0 en de teller (sinx) niet. De functie f heeft voor die waarden dus verticale asymptoten. c. f x( ) 0 sin 0 0 : 2 , , 0, 2 x x k Ofwel x x x x en x                 d. De periode is  . 14. a. b. f x( ) 4

Voer in: y1 1 tanx en y2 4

intersect: x1, 25  x1, 25  4,39 c. f x( ) 0



1 4 3 3 1 1 1 1 2 4 2 4 2 4 1 tan 0 tan 1 ( ) 0 , , 1 ,1 x x x f x voor                  _ _ d. g x( ) 4 intersect: x0,95  x2,52 1 4 1 1 8 2 5 3 1 1 8 4 8 4 ( ) 0 tan 2 1 2 ( ) 0 , , g x x x k x k g x voor                  _ _ x y  2 1 2 -1 -2 x y 0,5  1,5 -0,5 - 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y 0,5  -0,5 - 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x y 0,5  1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

16.

a. asymptoten van f(x): asymptoten van g(x): sin 0 0 , 0, 2 x x k x x x en x              1 2 1 1 1 2 2 2 cos 0 , 1 x x k x x en x              b. f x( ) 2 1 2 5 1 6 6 5 1 6 6 sin ( : 2 ) x x x periode x x            

c. De periode van h is gelijk aan de gemeenschappelijke periode van f en g: 2 De verticale asymptoten van h zijn dezelfde als die van f en g.

d. maxima: 3 1 4 4 ( , 2 2) en (1 , 2 2) en minimum: 1 4 ( , 2 2) e. h is dalend voor 3 1 1 1 1 1 1 4, 2 2,0 0,4 14,12 12 , 2        17.

a. Voor n3is de periode 2 en voor n4 is de periode  . b. maximum: 1 minimum: 0 M.a.w: 1

2

A en 1

2

D ; de periode is  , dus B2 Verschuiving: 1

4 periode naar rechts: C 14

1 1 1

2 2sin 2( 4 )

y  x  . Als je deze tekent zie je dat de grafiek niet klopt.

18.

a. Voer in: y10, 25 sin 3 (  x2) en y2  0, 25 en lees af: 8 snijpunten. b. intersect: x0,39 en x0, 61 c. De periode is 2 2 3  3 Dus: 2 3 0,39 1 1, 06 x    en 2 3 0,39 2 1,72 x    en 2 3 0,39 3 2,39 x    en: 2 3 0, 61 1 1, 28 x    en 2 3 0,61 2 1,94 x    en 2 3 0,61 3 2,61 x    19. a. De gemeenschappelijke periode p is 2 .

b. De periode van f past daar twee keer in en is  en die van g is 2

3 en past 3x in p. c. De periode van h is 2 1 4  2 en de periode van k is 26 13 . De gemeenschappelijke periode is  . 20. a. 1 2 2 2 1 4 , 2 f g p _  _{ } p _  _{ } : de gemeenschappelijke periode is 4 . b. 1 2 2 1 2 1 4 2 , 1 13 f g p _  _{ } p _  _{ } : de gemeenschappelijke periode is 4 . c. 2 3 2 _2, 2 ₃ f g p  p        _{: de gemeenschappelijke periode is 6.} d. 1 2 3 3 2 3 , 3 f g p _{ } _ p _  _{ } : de gemeenschappelijke periode is 3 .

21. a. pf 4 , pg 6 : de gemeenschappelijke periode is 12 b. Voer in: 1 1 3sin2 y  x en 1 2 2 cos3 y  x intersect: x1,30 x7,37 x11, 48 17,55 24,65 31,90 x x x 22.

a. De periode van ycos( 2 )x is  en die van ysinx is 2 . De gemeenschappelijke periode is 2 .

Voer in: y1cos(2 )x en y2 sinx intersect: x 12  x161  x165

Op





1 1 5 1 1 5 2 6 6 2 6 6 0, 4 : x , x1 , x1 , x2 , x3  en x3 , b. De periode van 1 2 sin y x is 4 en die van 1 3 cos y x is 6. De gemeenschappelijke periode is 12. Voer in: 1 1 sin2 y  x en 1 2 cos3 y  x intersect: x 4, 2  x 1,8  x0, 6 3 5, 4 x  x .

c. Op één periode hebben de functies 5 snijpunten.

Het interval



60,120



beslaat 15 perioden, dus er zijn 15 5 75  snijpunten.

23. a. De periode van f is 1 2 1  , dus 1 2 2 1 3 1 1 A     _.

b. De periode van g is bijvoorbeeld 2 3 3 ( ( ) cosg x  x) of  ( ( ) cos 2 )g x  x 24. a. Op



 , 2



: x 1,89  x1, 25  x4,39 b. sinx3cosx sin 3cos cos cos tan 3 1, 25 x x x x x x   

De periode is  , die mag je dus willekeurig vaak bij 1,25 optellen of aftrekken. c. asinx b cosx waarin a en b willekeurige getallen zijn.

sin cos cos cos tan tan b a a x b x x x a x b x    25.

a. Voer in: y1sinx en de afgeleide y0 nDeriv y x x( , , )1 . b. f x'( ) cos x c. h x'( ) sinx x y 2 4 6 8 10 12 1 2 3 -1 -2 -3 g(x) f(x)

26. a. f x'( ) 5sinx b. g x'( ) cos x c. k x'( ) 1 cos  xsinx d. Met de kettingregel: 1 3 '( ) sin l x   x 27. a. 1 2 '( ) 2 sin 2 sin 2 k x    x  x b. 2 2 1 2 5 5 5 5 '( ) 3cos (2 ) 1 cos (2 ) u x     x    x

Hoe verzinnen ze het! Met de volgende twee functies wordt je niet populair. c. twee keer de kettingregel: _{u x( ) 5 , ( ) sin x v u  u en h v( ) 2 v}3

2 2

'( ) 5 cos 6 30cos(5 ) sin (5 )

h x   u v  x  x d. u x( ) 1 3sinx en r u( ) 1 u    2 2 2 1 1 3cos '( ) 3cos '( ) : '( ) 3cos (1 3sin ) (1 3sin ) x u x x en r u r x x u x x           28.

a. _{f x( ) sin} 2 _{x(sin )x} 2 _{sinxsinx} '( ) 2sin cos '( ) 2sin cos '( ) f x x x g x x x f x     

b. s x'( ) f x'( )g x'( ) 2sin cos x x2sin cosx x0 dus s x( )c _(sin2_xcos2_x1) c. v x'( ) f x'( )g x'( ) 2sin cos x x2sin cosx x4sin cosx x

d. v x'( ) 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 sin 0 cos 0 0 1 ( : 2 ) ( , 1), ( ,1), (0, 1), ( ,1), ( , 1), (1 ,1) (2 , 1) x x x x x x periode en                           29. a. periode 2 0,4 5   s b. p t'( ) 0, 4 20cos 0, 4t 8 cos 0, 4 t '(1) 7,766

p   . De afgeleide is negatief, de luchtdruk daalt, dus de persoon ademt uit. c. Maximale snelheid is 8 (amplitude van p'(t)) en komt voor op de tijdstippen t0, 5,10, ...

30. a. f x( ) 0 1 2 2sin 3cos tan 1 0,98 ( ) 2,16 5,30 x x x x periode x x           x y 0,5  1,5 2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

b. f x'( ) 2cos x3sinx

"( ) 2sin 3cos (2sin 3cos ) ( )

f x   x x  x x  f x

c. f "( ) 0x  voor dezelfde x-waarden waarvoor f x( ) 0 d. g x( )asinx b cosx

'( ) cos sin

"( ) sin cos ( sin cos ) ( )

g x a x b x

g x a x b x a x b x g x

 

       

Ja die eigenschap geldt voor al die functies.

31. a. u x( ) sin x en f u( ) u 1 1 cos '( ) cos '( ) : '( ) cos 2 2 sin 2 sin x u x x en f u f x x u x x     

b. De afgeleide bestaat niet voor sinx0 sin 0 0 x x x     

Tussen deze x-waarden is sinx groter dan 0.

c. In die punten heeft de grafiek van f een verticale raaklijn.

32. a. f_a'(0) 3 b. 3 5 5 a en b '( ) cos '(0) cos 0 3 a a f x ab bx f ab ab     33. a. f x'( )abcos (b x c )

b. c en d hebben te maken met een verschuiving, dus niets met de afgeleide. De amplitude van

de afgeleide functie wordt ab.

c. 1. d valt weg bij de afgeleide, waardoor de evenwichtsstand van f’(x) gelijk wordt aan 0. 2. de periode van f en f’ is 2 b . 34. a. g x'( ) 3cos3 x b. 1 3 ( ) sin 3 F x  x 35. a. b. 12 0 (3sin x dx) 6  



. De oppervlakte onder de grafiek van f tussen de grenzen 0 en  is 6 (gekleurde vlakdeel) x y  2 3 - 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

c. 1 2 (3sin x dx) 0   



. De oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de x-as, de grafiek van

36. a. 3 4 ( ) cos 4 sin( ) F x   x x c. 1 2 2 ( ) cos( ) H x   x b. 1 2 ( ) 2 1 sin(4 2 ) G x  x  x d. 1 2 ( ) cos(2 ) K x   _ x 37. a. 0 sinx dx 2  



2 0 sinx dx 0  



0 sinx dx 2    



b. Elk deel ingesloten door de grafiek van f en de x-as heeft een oppervlakte van 2.

38. a. De snijpunten zijn: 1 1 1 1 4 2 4 2 ( , 2) en (1 , 2) b.





1 4 1 4 1 4 1 4 1 1 _{1 1 1 1} 2 2 2 2

(sin cos ) cos sin ( 2 2) ( 2 2) 2 2

Opp x x dx x x     



           39. a. 2 12 12 3 12 '( ) 8sin ( 14) sin ( 14) T t _{  }  t_{   }  t_ '(14) 0 T  b. 18 6 ( ) 172,93 Opp

_

T t dt c. 172,93 18 6 14, 41 C  _ 

d. De gemiddelde temperatuur tussen 6 uur ’s morgens en 6 uur ’s avonds.

40. a. 1 2 0 sinx dx 1  



1 2 0 sin 2x dx 1  



1 2 1 3 0 sin 3x dx  



1 2 0 sin 4x dx 0  



b. Het gebied ingesloten door de grafiek van f en de x-as is boven de x-as even groot als onder de x-as.

c. a 4 k met k een geheel getal.

41. a. 4 5 (1 , 0.97) P 0,97 1,8 : 0,54 OP y x x 1,8 0 (sin 0,54 ) 0,35 Opp



x x dx b. f x'( ) cos x 4 5 4 5 '(1 ) 0, 23 0, 23 0,97 0, 23 1 1,38 0, 23 1,38 f y x b b b y x              

c. 0, 23x1,38 0 1 2 0, 23 1,38 6,1 (6,1 1,8) sin(1,8) 2,1 PQR x x Opp        d. f p'( ) cos p cos y p x b 

e. De lijn gaat door punt ( , sin )p p : f. y0 sin cos

sin cos

cos sin cos ( )cos sin

p p p b b p p p y p x p p p x p p p             sin cos sin cos ( ) cos sin p p p p x p p p x p x p         42.

a. Omdat de functie h x( ) 2sin x als afgeleide h x'( ) 2cos x heeft.

b. 2

( ) sin ( )

u x  x x en g u u

'( ) 1 cos '( ) 2 : '( ) (1 cos ) 2( sin )

u x   x en g u  u g x   x  x x

c. 2 2 2

( ) ( sin ) ( sin )( sin ) 2 sin sin

g x  x x  x x x x x  x x x

2 2

2 sinx x x sin x g x ( )

d. (2 sin ) ' 2x x  x2sin cosx x g x '( )

2x2sin cosx x2(x x cosxsinxsin cos ) 2 cosx x  x x2sinx 43. a. _x2_{cosx x} 2 2 2 2 2 2 2 cos (cos 1) 0 0 cos 1 0 2 ( 2 , 4 ) (0, 0) (2 , 4 ) x x x x x x x x x k                    b.  1 cosx1 2 2 2 cos x x x x   

c. Verticale asymptoot: x0 en horizontale asymptoot: y0

44. a. y0 b. _5t2_{50 sint  0} 2 1 2 3 5 50 sin 5 25 3 0 5 ( 5 3) 0 0 5 3 8,66 sec t t t t t t t t                5 ( 10sin ) 0 0 10sin t t t t         c. x50 10sin cos   500sin cos 

T_1. a. periode 1 2 2 ₄    b. periode is 1 3s: 1 3 2 ₆ B_  _{ } 2sin 6 w t T_2.

a. f en g hebben dezelfde periode: 4. Dus 2 1

4 2 b_  _{ } 1 2 ( ) sin g x  x b./c. 4 0, 25 v f   1 2 1 ( ) 0,5 0,3sin ( 1) v f x  x      T_3. a. b. f x( ) 0 f. f x( ) 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 cos 0 1 ( ) 1 x x x periode x x x                

_

₁

_

₁ 4 4 cos 1 sin sin cos ( ) 1: , 1 , 2 x x x x f x         c. sinx0 1 1 4 14 x   x  0 2 x   x  x  x  d. sin cos cos 1 1 ( ) sin x tan x x f x x x    e. Voer in: 1 cos sin x y x  en y2 2 intersect: x0, 46  x3,61 T_4. a. De periode van f is 2 1 4  2 en van g is 2 3 2 3 4 2  _{ } . De gemeenschappelijke periode is 1 2 1  . b. Op één periode zijn er 6 snijpunten. Op het interval



0,1200 passen 800 perioden, dus op



dit interval zijn er 6 800 4800  oplossingen.

T_5.

a. f x'( ) 3 2cos3(  x0, 25 ) 6cos 3(  x0, 25 )

b. kettingregel: g x'( ) 1  sin(5 2 ) 2 1 2sin(5 2 ) x      x

c. twee keer kettingregel: _{u x( ) 3 x en v u( ) sin u en h v( ) 0,5 v}4

3 3 3

'( ) 3 '( ) cos '( ) 2 : '( ) 3cos 2 6sin 3 cos 3

u x  en v u  u en h v  v h x  u v  x x

d. en nog zo’n rampgeval: 2

3 ( ) 5 ( ) cos ( ) u x x en v u u en k v v    3 3 3 6 6 30sin 5 '( ) 5 '( ) sin '( ) : '( ) 5sin cos 5 x u x en v u u en k v k x u v v x           x y 6 0 -0,5 -1 -1,5 x y  2 - 2 4 -2 -4

T_6. a. 1 2 ₁ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 ₀ 8 2 2 8 0 (2 x 2sin 4 )x dx 2x x cos 4x ( ) ( )           _   _       



b. 2 2 1 2 1 1 2 3 ₁ 1

(sinx2cos 3x dx)  _{ }cosx _sin 3x_     _{  }



c. 1 2 ₁ 2 2 1 1 1 2 ₀ 2 2 0

(2sin cosx x sin 2 )x dx sin x cos 2x 0      _  _   



T_7. a. Voer in: 1 1 3cos12 y  x en 1 2 2sin2 y  x intersect: x0,86  x3, 61  x4,95 b. De perioden zijn 1 2 2 1 3 1 1  _{ } en 1 2 2 _4 . De gemeenschappelijke periode is 4 . Op _ : x0,86 k 4 , x3, 61 k 4 , x4,95 k 4 , x7,14 k 4 , 9,90 4 11, 24 4 x  k  en x  k  c. 3,61 1 1 2 2 0,86 (2sin x3cos1 x dx) 8,01



T_8. a. De periode is 2

200 0,01 s. Dat betekent 100 trillingen per seconde. b. u x'( ) 200 0,3cos 200t60 cos 200 t '(0) 60 u   mm/s T_9. a. f x( ) 0 2 2 sin( ) 0 0 0 x x x x k x x k x k               Op



0, 4 :



x 0 x   x 2  x 3  x 4 en x 5 b. 2 2 '( ) sin( ) 2 2 sin( ) F x   p x  x  px x 2 2 1 2 2 sin( ) sin( ) 2 1 px x x x p p       c. 2 1 2 1 1 2 ₀ 2 2 0 sin( ) cos( ) 1 Opp x x dx x  _   



 _{ }    

T_10. De periode van f is  en die van g is 2.