Hess, Michiel, Ontwerponderzoek, Algemene Economie

EINDPAPER ONTWERPONDERZOEK

Naam auteur(s) Michiel Hess

Vakgebied Algemene Economie

Titel Dieper begrip van kansberekening in 4 havo Algemene Economie

Onderwerp De invloed van een verandering van het examenprogramma havo wiskunde A op _{prestaties bij economie in domein risico en informatie} Opleiding Interfacultaire Lerarenopleidingen, Universiteit van Amsterdam

Doelgroep 4 Havo

Sleuteltermen Kansberekening, verwachtingswaarde, rendement, wiskunde, economie

Links

Bibliografische

referentie Hess, M. (2018). Dieper begrip van kansberekening in 4 havo Algemene Economie. Amsterdam: Interfacultaire Lerarenopleidingen UvA.

Studentnummer 11643102

Begeleider(s) Wim van Kleef

Datum 11 juni 2018

INHOUDSOPGAVE

EINDPAPER ONTWERPONDERZOEK 1

1

Probleembeschrijving 4

1.1 Survey 4

1.2 Oefentoets 6

1.3 Korte interviews 6

1.4 Conclusie: de ontwerpvraag 6

2

EMPIRISCHE VERKENNING 7

2.1 Wat is het zichtbare probleem? 7

2.1.1 Geen dieper begrip van kansberekening 7

2.1.2 Een trucje in plaats van begrijpen 7

2.1.3 Slechte resultaten 7

2.2 Wat zijn de mogelijke onderliggende oorzaken? 7

2.2.1 Kansberekening uit het wiskundeprogramma 7

2.2.2 Te weinig context bij wiskunde 8

2.2.3 Gebrekkige transfer tussen wiskunde en economie 9

2.2.4 Term ‘verwachte opbrengst’ niet goed 9

3

OPLOSSINGEN 10

3.1 Wiskundeles over kansberekening 10

3.2 Context van kansberekening creëren 10

3.3 Term ‘verwachte opbrengst’ aanpassen 10

3.4 Conclusie 11

4

ONDERZOEKSVRAAG 11

5

ONTWERPHYPOTHESE & ONTWERPREGELS 11

5.1 Ontwerphypothese 11

5.2 Ontwerpregels 11

6

ONDERZOEKSOPZET 12

7

ONDERBOUWING ONTWERPLESSEN 14

7.1 Les #1: CASINO 14

7.1.1 Beschrijving 14

7.1.2 Lesdoelen 14

7.2 Les #2: WISKUNDELES 14

7.2.1 Beschrijving 14

7.2.2 Lesdoelen 14

7.3 Les #3: DATA-ANALYSE 14

7.3.1 Beschrijving 14

7.3.2 Lesdoelen 15

8

ONDERBOUWING EFFECTMETING 15

9

EVALUATIE 16

9.1 Evaluatie interventielessen 16

9.2 Evaluatie dataverzameling 16

10

RESULTATEN 17

10.1

Voormeting 17

10.2

Nameting 17

10.3

Correlatie 18

10.4

Kwalitatieve analyse 18

10.5

Foutpercentages per vraag 19

11

CONCLUDEREND 20

11.1

Conclusie 20

11.2

Alternatieve verklaringen 20

11.3

Overwegingen 20

11.4

Suggesties voor herontwerp 21

10

GERAADPLEEGDE LITERATUUR 22

BIJLAGE 1A: LESPLAN LES #1 24

BIJLAGE 1B: NOTATIELIJST KANSSPELEN 25

BIJLAGE 1C: POWERPOINT UITLEG CASINO (LES #1) 26

BIJLAGE 1D: LESPLAN LES #2 29

BIJLAGE 1E: POWERPOINT WISKUNDELES (LES #2) 30

BIJLAGE 1F: SOCRATIVE LES #2 37

BIJLAGE 1G: LESPLAN LES #3 40

BIJLAGE 1H: POWERPOINTS LES #3 41

BIJLAGE 2: SURVEY ERVARING ONDERWERPEN 4H 46

BIJLAGE 3: TOETS RISICO EN INFORMATIE (5H) 48

BIJLAGE 4: EXIT CARDS & KORTE INTERVIEWS 54

BIJLAGE 5: OEFENTOETS NAMETING 55

1

PROBLEEMBESCHRIJVING

Dit ontwerponderzoek wil ik zo veel mogelijk laten samenvallen met de studiewijzers die gelden voor het laatste tertiaal van mijn klassen. Ik geef les aan de klassen 3, 4 en 5 havo. De examenklas heeft in het laatste tertiaal (vanaf april) geen reguliere lessen meer, enkel herhaling voor het examen. Daarom wil ik de lessenserie op de andere klassen richten, wat betekent dat ik een beperkte keuze heb uit economische onderwerpen waar ik onderzoek naar kan doen. Binnen deze onderwerpen wil ik iets kiezen waarbij leerlingen aangeven moeite mee te hebben. Dit samen vormt het praktische kader voor mijn onderzoek. Om erachter te komen wat over het algemeen de meest problematisch onderwerpen van de 3 en 4 havoklassen zijn heb ik een vooronderzoek verricht onder de 5 havoklassen. De stof van het derde tertiaal 4 havo wordt in het tweede tertiaal in 5 havo nadrukkelijk herhaald. Dat gaf mij de kans om tijdens de lessen van 5 havo te onderzoeken hoe de stof in 4 havo eigenlijk werd ervaren. In een aantal stappen ben ik tot een probleem gekomen dat erkend is door de leerlingen en specifiek genoeg is voor verkenning van een oplossing. Ik heb daarvoor de volgende stappen doorlopen: • Survey onder 5 havoleerlingen om te bepalen wat over het algemeen als het moeilijkste onderwerp in 3 en 4 havo wordt ervaren (1.1 en bijlage 2). • Oefentoets onder 5 havoleerlingen met oplopende moeilijkheidsgraad om binnen het gekozen onderwerp een specifieker probleem te bepalen (1.2 en bijlage 3). • Interviews met een aantal leerlingen uit de desbetreffende 5 havoklas om bij het specifiekere probleem nog beter te duiden wat het diepere, onderliggende probleem is (1.3 en bijlage 4). Hieronder licht ik toe wat de belangrijkste uitkomsten waren van dit vooronderzoek. 1.1 Survey Met een online survey onder alle huidige leerlingen van 5 havo heb ik proberen vast te stellen of er een onderwerp is dat zij in 4 havo als het moeilijkst hebben ervaren. De centrale vraag was dat ook: “Wat vond je in 4 havo het lastigste onderwerp van Algemene Economie?” Om leerlingen niet het antwoord in de mond te leggen was de eerste vraag een open vraag: “Vul in wat je de moeilijkste drie onderwerpen bij Economie in 4 havo vond. Omschrijf het onderwerp kort en schrijf erbij waarom je het moeilijk vond.” Dit was natuurlijk best lastig om te bepalen voor 5 havoleerlingen. Zij wisten op dat moment niet meer precies wat de onderwerpen waren in het jaar daarvoor. Bovendien kon het zo zijn dat ze zich alleen de onderwerpen ‘herinnerden’ die in de herhaling in 5 havo zijn langs gekomen. Toch was het interessant om te zien wat voor soort onderwerpen er door de leerlingen zelf werden bedacht. Ik voorzag ook dat de analyse van de antwoorden lastig zou zijn, omdat de onderwerpen waarschijnlijk allemaal verschillend omschreven zouden worden. Daarbij kon het ook zo zijn dat er alleen maar onderwerpen werden gegeven die niet meer in het derde tertiaal van 4 havo langs zouden komen. Dat zou een praktisch probleem zijn voor mijn ontwerponderzoek. In het tweede deel van de survey heb ik daarom een rij onderwerpen onder elkaar gezet die langs komen in het derde tertiaal van 3 en 4 havo. Bij elk onderwerp moesten de leerlingen aangeven op een schaal van ‘Echt makkelijk’ tot ‘Supermoeilijk’ hoe lastig zij dit onderwerp vonden. Op deze manier spitste ik de uitkomst toe op de onderwerpen in het derde tertiaal. Daarbij kon ik de uitkomst van de verschillende leerlingen veel beter met elkaar vergelijken.

De antwoorden van de open vraag heb ik na analyse kunnen categoriseren tot een aantal richtantwoorden. Deze kon ik in volgorde zetten en een score geven hoe vaak het betreffende probleem als antwoord was gegeven. De uitkomsten van het tweede deel heb ik direct gescoord. Ook die antwoorden kon ik op volgorde zetten. De uitkomsten van beide vragen heb ik onderzocht op duidelijke overeenkomsten en verschillen om te zien of ze elkaar ondersteunen. Antwoorden open vraag Percentage van gegeven antwoorden Markt: TO, GTK, MO, MK, lijnen etc. 27% Prijselasticiteit 16% Gevangenendilemma 16% Risico en rendement 13% Boekhouden 9% Verzekeren 7% Surplussen 4% Indexcijfers, reëel, nominaal 4% Wisselkoersen 2% Vraag- en aanbod 2% Tabel 1.1: percentages van gegeven gecategoriseerde antwoorden op de vraag “Wat vond je in 4 havo het lastigste onderwerp van Algemene Economie?” Antwoorden gesloten vragen Percentage van totaalscore Rendement en risico op investeringen berekenen 9,2% Kapitaalmarkt (aandelen en obligaties) 7,9% Risico berekenen 7,6% Verzekeren (begrippen) 7,6% Opbrengstenmatrix 7,5% Eigen vermogen & Vreemd vermogen 7,5% Kans op schade berekenen 7,4% Verzekeren (berekeningen) 7,4% Negatieve en positieve externe effecten 7,0% Averechtse selectie, Moral hazard, Informatie-asymmetrie 6,6% Eigen risico 6,6% Indexcijfers 6,1% Progressief belastingstelsel (boxen) 5,8% Gevangenendilemma 5,7% Tabel 1.2: Rangorde van gescoorde antwoorden op gesloten vraag naar ervaren moeilijkheid per onderwerp. De onderstreepte onderwerpen in tabel 1.1 komen aan bod in het derde tertiaal van 3H en 4H. Uit de open vraag komt duidelijk naar voren dat de onderwerpen markt en de elasticiteiten als moeilijkst worden ervaren. Daarna volgen vier onderwerpen die wel onderdeel zijn van het derde tertiaal. Van die onderwerpen wordt het gevangenendilemma het vaakst als moeilijk genoemd. Dit is opmerkelijk wanneer je het vergelijkt met de uitkomsten van de gesloten vragen (tabel 1.2). Daar is het gevangenendilemma als minst moeilijk gescoord van de onderwerpen uit het derde tertiaal. De gesloten vraag laat ook duidelijk zien dat drie centrale onderwerpen die onderdeel zijn van de module Risico en rendement van het

lesboek Praktische Economie (Hinloopen) dat ik gebruik als probleem worden ervaren. Deze module behandelt eigenlijk het hele Domein G: concept risico en informatie (Economie havo, syllabus CE). Met de uitkomst van deze survey ben ik verder gaan onderzoeken naar wat het probleem in domein risico en informatie precies is. 1.2 Oefentoets Om het probleem concreter te krijgen wil ik antwoord op de vraag waar het precies mis gaat binnen het domein risico en informatie. Om hierachter te komen heb ik een oefentoets voor dezelfde 5H-klas opgesteld waarin de belangrijkste rekenonderwerpen van het domein worden bevraagd. De vragen staan in min of meer oplopende volgorde van moeilijkheid. Op deze manier kan ik vaststellen waar de meeste leerlingen ‘afhaken’. Dit geeft direct een duidelijke focus op waar ik het probleem precies moet zoeken. In bijlage 3 staan de desbetreffende toets en toelichting. Ik heb per opdracht aangegeven hoeveel van de leerlingen de opdracht goed hadden voltooid. Bij de opgaven waar de verwachte opbrengst uitgerekend moest worden gingen overtuigend veel leerlingen de fout in. Het lijkt erop dat het combineren van een investering, een succeskans en een mislukkingskans voor de meesten net een brug te ver is. Dit terwijl de enkelvoudige kansberekening van risico juist over het algemeen wel goed werd gedaan. 1.3 Korte interviews Na de nabespreking van de oefentoets heb ik door de leerlingen een multiple choice exit card laten invullen (bijlage 4), met de specifieke vraag waarom zij zelf denken dat dit onderwerp op een bepaald punt te moeilijk is. Over het algemeen werd er geantwoord: “ik weet het wel, maar heb gewoon een rekenfoutje gemaakt.” De leerlingen in 5H hebben vaker de neiging om dingen die ze moeilijk vinden te bagatelliseren. Gesteund door de uitkomsten van de survey en de oefentoets voelde ik dat hier een dieperliggend probleem lag. Daarom heb ik in individuele gesprekken doorgevraagd naar het mogelijke ‘pijnpunt’ van kansberekening binnen domein risico en informatie. De antwoorden van diverse leerlingen duiden erop dat zij niet precies weten wat het deel kansberekening in dit domein inhoudt. Ze geven aan dat ze het trucje wel kunnen onthouden. Maar wanneer ik doorvroeg over de optelsom van de succeskans en de mislukkingskans tot 1 of 100%, werd ik glazig aangekeken. Een leerling vertelde me dat zij geen kansberekening meer krijgen bij wiskunde. Deze opmerking kreeg bijval in gesprek met andere klasgenoten. Dit bracht me op het spoor van de recente veranderingen in het examenprogramma wiskunde A voor de havo. 1.4 Conclusie: de ontwerpvraag Tijdens de behandeling van het domein risico en informatie ga ik ervan uit dat de leerlingen bij wiskunde hebben geleerd hoe kansberekening werkt. Ik ben in de veronderstelling dat ik enkel de transfer van het vak wiskunde naar de economische context hoef te stimuleren. Ik licht de wiskunde achter deze kansberekening niet uitgebreid toe. Er lijkt echter een probleem te zijn met het kennisniveau van de leerlingen op het vlak van wiskunde. Ik wil onderzoeken of het wiskundige begrip achter kansberekening, specifiek gericht op het berekenen van de verwachtingswaarde, beter zou moeten worden aangeleerd zodat de prestaties op toetsing van economische vraagstukken over investering, verwachte opbrengst en rendement beter worden.

2

EMPIRISCHE VERKENNING

2.1 Wat is het zichtbare probleem?

2.1.1 Geen dieper begrip van kansberekening

Het probleem wordt zichtbaar bij de vragen waarbij (ogenschijnlijk simpele) kansberekening nodig is: berekening van verwachte opbrengst. Hierbij moeten zowel succeskans als mislukkingskans met bijbehorende opbrengsten worden gebruikt. Als ik doorvraag bij de leerlingen naar aanleiding van hun foute antwoorden dan kunnen ze ook in tweede instantie het gebruik van deze kansberekening niet goed toelichten. Ze tonen geen écht begrip van de relatie tussen succeskans en mislukkingskans. Veel leerlingen weten bijvoorbeeld niet dat deze kansen bij elkaar opgeteld altijd 1 (of 100%) moet zijn.

2.1.2 Een trucje in plaats van begrijpen

Als gevolg hiervan nemen de leerlingen tijdens de lessen economie de wiskunde aan als trucje. Wanneer de succeskans en mislukkingskans beide zijn gegeven met hun bijbehorende opbrengsten dan komen ze vaak een heel eind richting het juiste antwoord. Maar wanneer slechts een van de kansen wordt gegeven, of als de kans wordt omschreven door de spelvorm (‘kop-of-munt’ bijvoorbeeld) dan kunnen ze deze informatie niet toepassen op de berekening van verwachte opbrengst. 2.1.3 Slechte resultaten Het resultaat is dat er slecht gepresteerd wordt op bepaalde opgaven in het domein risico en informatie.

2.2 Wat zijn de mogelijke onderliggende oorzaken?

2.2.1 Kansberekening uit het wiskundeprogramma

Met de methode en de oefentoets in de hand ben ik in gesprek gegaan met drie wiskundedocenten. Zij geven aan dat kansberekening weliswaar wordt behandeld in 3 havo. Maar dat dit zeer kort en niet diepgaand gebeurt. Sterker, door wisselingen in het curriculum valt dit onderwerp in de praktijk vaak van de wagen. Bovendien wordt er de laatste jaren geen verwachtingswaarde (of verwachte waarde) meer behandeld. De docenten bevestigen dat er vanuit het wiskundeonderwijs geen dieper begrip van kansen, kansberekening en verwachtingswaarde wordt overgebracht aan de leerlingen. De wiskundesectie beaamt dan ook dat de ogenschijnlijk gemakkelijke opdrachten in het domein risico en informatie snel een brug te ver zijn voor de leerlingen 4 havo (en 5 havo). De leerlingen leren zich in deze situatie vaak gewoon een trucje aan. Dit is een probleem voor een goed begrip van de berekening van rendement. Verdere verkenning van het examenprogramma Wiskunde A voor havo laat zien dat er in 2017 een wezenlijke verandering is doorgevoerd in de eisen op het gebied van kansrekening. In het vorige examenprogramma uit 2007 komen kansen en kansberekening terug in twee domeinen, als volgt verwoord:

Domein C: Tellen en kansen Subdomein C2: Kansen 10. De kandidaat kan in een tekst beschreven kansproblemen analyseren, visualiseren met een schema en diagram en kansen berekenen. De kandidaat kan: 10.1 empirische kansen berekenen op grond van statistische gegevens, het herhaald uitvoeren van een kansexperiment of een simulatie. 10.2 de overgang beschrijven van empirische kansen naar kansen vanuit een intuïtief begrip van de wet van de grote aantallen. 10.3 in eenvoudige gevallen kansen berekenen op grond van symmetrieveronderstellingen en/of systematisch tellen. Domein G: De binomiale verdeling, subdomein G2: Rekenen met kansen 20. De kandidaat kan kansproblemen vertalen naar een vaasmodel en met behulp van rekenregels (somregel, productregel en complementregel) kansen en verwachtingswaarden berekenen. De kandidaat kan: 20.1 kansexperimenten vertalen in het trekken van balletjes uit een vaas en daarbij onderscheid maken tussen trekken met terugleggen en trekken zonder terugleggen, in het laatste geval al dan niet lettend op de volgorde. 20.2 kansen berekenen in eenvoudige kansmodellen door gebruik te maken van de somregel, productregel en complementregel. 20.3 op grond van kansen of empirische kansen de verwachtingswaarde van een toevalsvariabele berekenen en interpreteren. In het nieuwe examenprogramma zijn al deze onderdelen volledig verdwenen. Sterker, in de Syllabus Centraal Examen 2017 en het Examenprogramma 2017 komt het woord ‘kans’ geheel niet voor. Ook de termen ‘verwachtingswaarde’, ‘toevalsvariabele’ of andere beschrijvingen van gelijke concepten komen niet terug in deze documenten. Klerks en Mantel (2002) benoemen verschillende oorzaken voor het achterblijven van reken- en wiskundevaardigheden bij economie. Deze richten zich op de toepassing, herkenning en transfer van de bij wiskunde geleerde stof in het vak economie. Deze oorzaken worden echter overschaduwd door het gegeven dat de reken- en wiskundevaardigheden in het geval van kansberekening niet meer aangeleerd worden.

2.2.2 Te weinig context bij wiskunde

Uit het gesprek met de wiskundesectie komt ook naar voren dat, als kansberekening al behandeld wordt, er te weinig tijd en ruimte is voor het leren in een bredere context. Een gebrek aan context van de kansberekening kan verklaren waarom leerlingen zichzelf trucjes aanleren. Door Plantinga (2016) is onderzocht dat het bieden van te weinig context kan leiden tot een gebrek aan intuïtieve vaardigheden bij

kansberekening. Leerlingen leren zichzelf vervolgens wel trucjes aan maar missen de kennis waarom ze rekenregels moeten toepassen. Hier hangt mee samen dat het zonder context moeilijk is voor leerlingen om te schakelen van het traditionele rekenen naar realistisch rekenen (Kneppers, 2011). ‘Leren’ is meer dan kennisverwerving (Marzano, 2014). Een leerling is pas echt aan het leren als er met de leerstof wordt gewerkt, verbanden worden gelegd en nieuwe inzichten worden opgedaan. Zonder context zijn leerlingen vooral bezig met reproductie van kennis in plaats van het ontwikkelen van denkvaardigheden. Door het bieden van context wordt ook wiskundige kennis wendbaar gemaakt. De geleerde rekenregels worden niet gekoppeld aan een concrete som maar zijn toepasbaar op meerdere situaties. Hier wordt ook de basis gelegd voor transfer. En dat brengt mij op het volgende punt.

2.2.3 Gebrekkige transfer tussen wiskunde en economie

In het ontwerponderzoek van Nijenhuis (2015) wordt geconcludeerd dat er gebrekkige transfer tussen de vakken wiskunde en natuurkunde plaats vindt, als de wiskundige basis niet voldoende is. Leerlingen behelpen zichzelf door te veel regeltjes uit het hoofd te leren zonder door te hebben wat er precies gebeurt. Dit gebrek aan transfer tussen wiskunde en een ander vakgebied is een algemeen bekend probleem, waar zelfs op de universiteit tegenaan wordt gelopen (Britton, 2002). Nijenhuis beschrijft vervolgens dat leerlingen dit gebrek opvangen door het aanleren van trucjes. “En trucjes zonder inzicht zijn gemakkelijk te vergeten,” aldus Nijenhuis. Dit werkt hetzelfde bij declaratieve en procedurele kennis of vaardigheden. Leerlingen kunnen herkennen dat er om een berekening van kansen wordt gevraagd door het onthouden van bepaalde kernwoorden. Het trucje, de procedurele aanpak, kan worden geleerd door het gebruiken van de juiste strategie, gebruik van ezelsbruggetjes en vooral door te oefenen en te herhalen. (Ebbens 2013, Woolfolk 2013). De kennis wordt alleen pas echt betekenisvol wanneer de leerling weet hoe en waarom deze kennis en vaardigheden te koppelen. We hebben het dan over conditionele kennis. Dit is nodig voor transfer tussen wiskunde en economie. Een gebrek aan transfer van wiskundige vaardigheden wordt ook gesignaleerd door de Commissie Toekomst Wiskundeonderwijs (2007). Zij constateert dat in de huidige situatie wiskundige concepten veelal in andere vakken terugkomen zonder dat leerlingen het verband zien. Dit leidt tot verwarring bij de leerlingen en tot slechtere toepassingen van wiskunde.

2.2.4 Term ‘verwachte opbrengst’ niet goed

Volgens hetzelfde rapport van de Commissie Toekomst Wiskundeonderwijs (2007) is het omgekeerde ook het geval. In de wiskundeles komen contexten uit andere vakken aan de orde, met vaak afwijkende notatie en terminologie. Dit helpt niet bij de herkenning van de juiste termen bij een ander vak. In de oefentoets onder 5 havo gaan de leerlingen vooral de mist in bij het berekenen van ‘verwachte opbrengst’. De gebruikte formule hiervoor is: (Kans op succes x bijbehorende Opbrengst) + (Kans op mislukking x bijbehorende Opbrengst) – Investering. Naast het gebruik van de juiste kansen en bijbehorende opbrengst is een bijkomende onduidelijkheid voor de leerlingen dat de inleg (of kosten of investering) er nog afgetrokken moet worden. In discussie met collega’s van de sectie economie komt naar voren dat ‘verwachte opbrengst’ wellicht geen term is die het begrijpelijker maakt voor de leerlingen. Als er van de opbrengst nog kosten worden afgetrokken dan is het wellicht beter om te spreken van verwachte winst of verwacht resultaat. Dezelfde berekening wordt bij wiskunde ‘verwachte waarde’ of ‘verwachtingswaarde’ genoemd.

3

OPLOSSINGEN

3.1 Wiskundeles over kansberekening

Gezien de veranderingen in het examenprogramma van Wiskunde A lijkt het evident: de leerlingen hebben extra wiskundeles nodig op het gebied van kansberekening. Een betere wiskundige basis op het gebied van kansberekening kan essentieel zijn voor een beter begrip van het rekenwerk bij economie. Ik kan als leraar economie dit stukje wiskunde onderwijzen, gebruik makend van de voorbeelden en opgaven die het economieboek bieden. Voor dit onderzoek lijkt het mij logischer om de wiskundige basis te laten leggen door een docent wiskunde. Een van de oorzaken die Klerks en Mantel (2002) noemen voor achterblijvende reken- en wiskundevaardigheden bij economie is onvoldoende (wiskunde)kennis en/of onvoldoende wiskunde-didactisch verantwoorde presentatie van de docent economie. Om het effect van wiskundeonderwijs te meten is het beter om de stof ook door een wiskundedocent te laten geven. Als alternatief kan ik ook zelf de les geven na grondige voorbereiding met een wiskundedocent. Bijkomend voordeel van deze aanpak is dat de wiskundige begrippen en de economische toepassingen dicht bij elkaar gebracht in een lessenserie waarbij de wiskundedocent en economiedocent samen optrekken. Dit ondervangt nog een aantal van de door Klerks en Mantel aangehaalde mogelijke oorzaken van achterblijvende reken- en wiskundevaardigheden bij economie.

3.2 Context van kansberekening creëren

Volgens Hinloopen en Soetevent (2006) is het zeer effectief om leerlingen in de huid te laten kruipen van economische actoren. Voor leren gericht op langdurige beklijving is het effectief wanneer leerlingen de aangeboden informatie zelf bewerken en zelf toepassen. Als we willen dat de leerling het geleerde ook in een andere context kan inzetten, wendbaar kan gebruiken, dan is het belangrijk om de toepassing centraal te stellen (Ebbens & Ettekoven, 2013). Beredeneerd vanuit het gebrek aan context bij de wiskundeles is een les in de vorm van een experiment of andere context die dicht bij de werkelijkheid staat een goede oplossing. Een of meerdere lessen waar economische en wiskundige context elkaar zo goed mogelijk benaderen kunnen ervoor zorgen dat er zowel betekenisvolle kennis wordt opgedaan als transfer tussen wiskundige en economische kennis plaatsvindt bij de leerlingen. Hoewel motivatie niet als direct probleem in dit onderzoek naar voren komt geniet het de voorkeur om een context te kiezen waarbij de leerlingen automatisch de aandacht erbij hebben. De keuze van de juiste context is van cruciaal belang voor de motivatie én het leerrendement van de leerlingen.

3.3 Term ‘verwachte opbrengst’ aanpassen

Omdat de term ‘verwachte opbrengst’ zoals die gebruikt wordt in de methode Praktische Economie tot verwarring leidt lijkt het logisch om deze term niet meer te gebruiken. Makkelijker gezegd dan gedaan, want het staat per slot van rekening gedrukt in het lesboek dat nog een aantal jaren op mijn school gebruikt gaat worden. Toch is het mogelijk om het gebruik van een dergelijke term om te buigen naar iets anders, mits de hele sectie hierachter staat. Mogelijkheden voor aangepaste term zijn ‘verwachte waarde’ of ‘verwacht resultaat’.

3.4 Conclusie Betekenisvol leren wordt bevorderd door het herhalen van concepten en vaardigheden in steeds verschillende contexten (Kneppers, 2007). Daarbij heeft samenwerking met de docent wiskunde een positieve invloed op de juiste inzet van rekendidactiek ten behoeve van economiesommen (Kneppers, 2010). Daarom heeft een interventie in samenwerking met de wiskundedocent mijn voorkeur. Gezamenlijk ontwikkelen wij een lessenserie waar relevante context als inleiding wordt gebruikt voor een les kansberekening volgens wiskunde-didactiek, teneinde de overdracht te maken naar economische begrippen uit het domein risico en informatie

4

ONDERZOEKSVRAAG

Moet contextrijk onderwijs op het gebied van kansberekening bij Wiskunde A terug in het programma om leerlingen in 4 havo beter te laten presteren in het domein G: concepten Risico en informatie bij Economie?

5

ONTWERPHYPOTHESE & ONTWERPREGELS

5.1 Ontwerphypothese Als leerlingen in 4 havo een aantal lessen wiskunde volgen, ingeleid door een contextrijke toepassing en gericht op het berekenen van de verwachtingswaarde, leidt dit ertoe dat zij beter scoren op een toets economie over investering, verwachte waarde en rendement en een dieper begrip hebben van de kansberekening die nodig is bij het oplossen van deze vraagstukken. 5.2 Ontwerpregels • Ik gebruik 2 klassen voor dit onderzoek. Mijn eigen klas H-4_EconE (de experimentgroep) en een parallelklas H-4_EconD (de controlegroep). • Als voormeting van de wiskundige basis van beide klassen gebruik ik de actuele cijfers voor wiskunde. • De parallelklas H-4_EconD volgt het reguliere lesprogramma volgens het boek. • Klas H-4_EconE krijgt in plaats van het reguliere lesprogramma een interventie van drie lessen: 1. Les #1: contextrijke kansberekening • Gebruiken van intuïtie in verschillende spellen (toepassen) • Toelichten van gemaakte keuzes (begrijpen) • Vergelijken, ontleden en waarderen van de uitkomsten (begrijpen en analyseren) • Afwegen van de gemaakte keuzes (evalueren) 2. Les #2: wiskundeles over verwachtingswaarde • Theorie over kansexperimenten vanuit wiskunde-didactiek • Berekenen van verwachte waarde in wiskundige context

3. Les #3: data-analyse en economische context • Vergelijken van alle uitkomsten van de spellen • Discussiëren over praktijk en theorie van kansberekening • Voorspellen wat het resultaat is van de kansspelen • Nameting d.m.v. oefentoets die ook door 5H is gemaakt in beide klassen. • In zowel de experimentele groep als de controlegroep laat ik vier leerlingen de nameting maken volgens de hardop-denken-methode om inzicht te krijgen in de denkprocessen van de leerlingen.

6

ONDERZOEKSOPZET

Voor dit onderzoek werk ik met een voor- en een nameting bij zowel een experimentele groep als een controlegroep. Deze groepen zijn niet willekeurig ingedeeld, omdat ik gebruik maak van bestaande klassen. Daarom kan je dit zien als een quasi-experimenteel vergelijkende opzet (Stokking, 2016). Als interventie is een lessenserie (onafhankelijke variabele) ontworpen die ik in de praktijk zal toetsen. De voormeting is om te bepalen hoever het startniveau op het gebied van kansberekening bij de groepen uiteen ligt. Hier kan ik rekening mee houden bij de analyse van de nametingen. Ik meet het leerresultaat van de leerlingen middels de score (afhankelijke variabele 1) op een oefentoets met oplopende moeilijkheidsgraad. De uitslag van de toetsen van beide groepen worden vergeleken. Daarbij worden het aantal fouten per vraag ook vergeleken. Hiermee wil ik de hypothese toetsen dat de experimentele groep beter presteert op een toets economie over investering, verwachte waarde en rendement. Om het leergedrag van de groepen te vergelijken wil ik meten of de aanpak van de opgaven (afhankelijke variabele 2) tussen leerlingen in beide groepen verschillen na de interventie. Daarom laat ik van beide groepen twee leerlingen de toets maken volgens de hardop-denken-methode. Hiermee wil ik de hypothese toetsen dat de experimentele groep een dieper begrip heeft van de kansberekening bij het oplossen van vraagstukken economie over investering, verwachte waarde en rendement.

Onderzoeksdesign

Tijdspad:

Groep: Voormeting Interventie Nameting

klas H-4_EconE Startniveau Lessenserie Score toets

nvt Lessenserie Kwalitatieve analyse

klas H-4_EconD Startniveau X Score toets

nvt X Kwalitatieve analyse Tabel 6.1: onderzoeksdesign activiteit wk 19 wk 20 wk 21 wk 22 wk 23 wk 24 Afname voormeting startniveau X Interventieles 1 X Interventieles 2 X Interventieles 3 X Afname nameting oefentoets X Afname nameting oefentoets hardop-denken-methode X X Uitwerken analyse X X Conclusie schrijven/afronden X X Inleveren onderzoek X Tabel 6.2: tijdsplanning

7

ONDERBOUWING ONTWERPLESSEN

7.1 Les #1: CASINO 7.1.1 Beschrijving In deze les spelen we casino. De leerlingen krijgen een stapel casinofiches en mogen daarmee gokken bij drie verschillende kansspelen: roulette, kop-of-munt en dobbelen. De mogelijkheden zijn beperkt, om het spel behapbaar te houden voor een les. De spelregels en mogelijke uitbetalingen zijn gecommuniceerd. De leerlingen mogen zelf bepalen hoeveel ze inzetten. De leerlingen moeten wel elke inzet, met de uiteindelijke opbrengst (positief of negatief), opschrijven op een formulier. Na het spelen van de verschillende spelen moeten de leerlingen hun rendement uitrekenen van elke inzet en van hun totale inzet per spel. Er wordt een korte uitleg gegeven wat rendement is. Tenslotte vullen de leerlingen individueel de win- en verlieskansen per spel in op het formulier. Dit formulier wordt ingeleverd voor latere analyse. Tenslotte worden enkele evaluerende vragen gesteld over de spelbeleving. 7.1.2 Lesdoelen • De leerlingen hebben gevoel voor de betekenis van win- en verlieskans. • De leerlingen kunnen het verschil in risico tussen de kansspelen uitleggen. • De leerlingen kunnen het rendement op een investering uitrekenen. • De leerlingen hebben inzicht in de relatie tussen investering, kans en opbrengst. Zie voor het lesplan en andere materialen bijlage 1a, 1b en 1c 7.2 Les #2: WISKUNDELES 7.2.1 Beschrijving In deze les wordt de wiskundetheorie achter kansberekening uitgelegd. De les wordt gegeven na grondige voorbespreking met een wiskundeleraar. De uitleg en formules om verwachte waarde te berekenen worden toegelicht vanuit de wiskunde en niet vanuit economie. 7.2.2 Lesdoelen • De leerlingen weten wat winkans/succeskans en verlieskans/mislukkingskans is • De leerlingen kunnen de verwachte waarde van een kansspel berekenen. Zie voor het lesplan en andere materialen bijlage 1d, 1e _{en 1f} 7.3 Les #3: DATA-ANALYSE 7.3.1 Beschrijving In deze les gaan de leerlingen in groepjes de informatie analyseren die ze hebben opgeschreven in de ‘casino-les’. De groepjes krijgen een Excel-sheet met álle informatie van de eerste les gecombineerd. De belangrijkste opdracht is het uitrekenen van het gemiddelde rendement, en dus van het gemiddelde resultaat. Daarbij krijgen de groepen de opdracht om bij elk spel het verwachte rendement uit te rekenen, en dus de verwachte waarde of verwachte opbrengst. De definities van risico en rendement is de enige gegeven informatie. De groepen moeten zelf formules construeren die geldig zijn voor het Excel-blad.

Deze formules schrijven ze uiteindelijk op hun eigen papier. Na deze groepsronde worden de groepen herverdeeld. Van elk groepje komt één persoon in een nieuwe groep. De uitkomsten van de eerste ronde neemt iedereen mee. Deze worden vergeleken, mogelijk weer aangepast en tot twee uiteindelijke formules geschreven. Er wordt ook opgeschreven wat de onenigheden waren in de groep. Tenslotte krijgt elke groep een opdracht waarin risico en rendement berekend moet worden. Elk van de (nieuwe) groepen presenteren hun bevindingen doormiddel van het voordoen van de uitwerking van hun opdracht. 7.3.2 Lesdoelen • Leerlingen begrijpen hoe de verwachte waarde van een kansspel wordt berekend. • Leerlingen kunnen uitleggen hoe de werkelijke verwachte waarde van een kansspel zich verhoudt tot de theoretische verwacht waarde. Zie voor het lesplan en andere materialen bijlage 1g en 1f.

8

ONDERBOUWING EFFECTMETING

Tijdens de eerste herhalingsles van de module Risico en rendement, dus na dat ook de andere stof uit de module is onderwezen, krijgen alle leerlingen van zowel de experimentele als de controlegroep een schriftelijke toets. De toets is bijna gelijk aan de oefentoets in het vooronderzoek (zie bijlage 3). Ik zal de toets iets korter maken in verband met de beschikbare tijd. De leerlingen van beide klassen maken de toets zelfstandig en leveren deze in. De gebruikte toets is valide omdat hij alle onderwerpen van de module Risico en rendement omvat. De onderwerpen worden in verschillende graad van moeilijkheid getest. Deze toets is heel bruikbaar als onderdeel van een herhalingsles over de gehele stof. De toepassing ervan is daarom efficiënt. Ik heb een duidelijk correctiemodel van deze toets waardoor de objectiviteit gewaarborgd is. Tenslotte heeft het vooronderzoek bij 5 havo bewezen dat de toets voldoende specifiek is om onderscheid te maken tussen zij die de stof wel en niet kennen. Voor beantwoording van mijn vraagstelling is het de bedoeling om de uitslagen van deze toets op eenzelfde manier te analyseren als in het vooronderzoek. Ik wil graag bepalen of er weer een dergelijk significant grote foutmarge zit bij de vragen die gaan over de verwachte waarde. De foutpercentages per vraag leg ik naast de percentages van de controlegroep. Op basis daarvan kan ik een eerste uitspraak doen over het effect van de interventielessen. Bovendien maak ik een vergelijking van de gemiddelde prestatie van beide groepen en zal ik testen of dit mogelijke verschil significant is. Een viertal leerlingen (twee uit elke klas) zullen de toets maken volgens de hardop-denken-methode. Ik zal daar zelf bij zijn. Mijn aandacht zal zich voornamelijk richten op de rationale van de leerlingen bij de vragen die gaan over het berekenen van risico en rendement. Ik zal de kwalitatieve gegevens van deze observatie achteraf categoriseren in betekenisvolle fragmenten die aangeven of de leerling bezig is met het uitvoeren van een trucje, of dat een leerling duidelijk een dieper begrip heeft van de stof. Deze analyse kan ik enkel achteraf doen.

9

EVALUATIE

9.1 Evaluatie interventielessen De interventielessen verliepen grotendeels volgens plan. De casinoles was een hele goede opwarmer. Tijdens de spellen merkte ik dat een groot aantal leerlingen een begrip hadden van kansberekening zonder dat ze zich daar bewust van waren. Het was interessant om te zien dat de meisjes bij roulette echt veel risicoaverser inzetten dan de jongens. Een leuke klapper was dat er slechts twee keer een enkel getal bij roulette is uitbetaald (35 keer de inzet) en beide keer gebeurde dat bij hetzelfde meisje. What are the odds? En die vraag zette de klas aan het denken en rekenen. De les vanuit wiskunde-didactiek begon voorspoedig. Leerlingen lieten zelfs blijken dat ze het wat te makkelijk vonden. Maar toen de verwachte waarde zijn intrede deed was er toch een flinke groep die ik dreigde te verliezen. Ik merkte bij mezelf dat ik de verwachte waarde graag wilde toelichten vanuit een economische context. Dat zou echter de essentie van deze les vertroebelen. Ondanks de uitgebreide voorbereiding met een wiskundedocent vond ik het wel lastig om een specifieke wiskundedidactiek aan te houden. Door gebrekkige invulling van de overzichten van inzet en opbrengst heb ik de data-analyse van deze les wel moeten aanpassen aan de informatie voorhanden. Het was heel prettig om kansen en opbrengsten te kunnen koppelen aan het casinospel. Dat is toch een stuk meer beeldend dan de loterij-opgaven uit het lesboek. Deze klas is moeilijk te motiveren. Het casino heeft een positieve uitwerking gehad op alle drie de lessen. Hoewel een groot gedeelte van de klas de oefeningen in de laatste les goed maakten was het voor mij toch moeilijk in te schatten of ze verwachte waarde echt begrepen. 9.2 Evaluatie dataverzameling Omdat het een diagnostische toets betreft moest ik wel heel erg ‘trekken’ aan de klassen om de toets serieus te maken. Deze klassen hebben er een handje van om bij de eerste moeilijk opgave op te geven. “Ik heb nog niet geleerd voor de toetsweek” is voor hun een goede verklaring voor het feit dat ze niet precies weten wat ze moeten doen. Ik heb ze wel aardig weten te motiveren. Toch, gedurende dit proces heb ik veel geleerd over de vrij extreme ‘laatste momentopstelling’ van 4havo. Het bleek zelfs lastig om mijn collega-docenten aan de afspraak te houden wanneer zij de toets bij hun klassen zouden afnemen. Ik had bewust gekozen voor twee controlegroepen om het risico te spreiden voor mezelf. En dat is maar goed ook. De data van een van de twee controlegroepen bleken waardeloos omdat de toets niet goed was afgenomen. Bij de andere groep dreigde het ook mis te lopen toen een collega ziek bleek. Ik kwam hier bij toeval achter de dag voor de dataverzameling en heb op eigen aandringen de klas over kunnen nemen op een dag dat ik geen lesgaf. Door afwezigheid van enkele leerlingen waren alle groepen niet zo groot als ik had gehoopt. Daarbij waren er enkele leerlingen die eigenlijk niets hadden ingevuld. Deze heb ik niet meegeteld. Tenslotte heb ik vier zeer leerzame één-op-éénsessies gehad met leerlingen die de toets volgende de hardop-denkenmenthode hebben gehad. De sessies gaven een mooi inzicht in de wijze van beredeneren van de leerlingen. Ik merkte helaas geen enkel verschil in de aanpak tussen de testgroep en de controlegroep.

10 RESULTATEN

H-4_econE (testgroep) H-4_econD (controlegroep)

Aantal lln 26 20

STARTNIVEAU

(voormeting) TOETSRESULTATEN (nameting) STARTNIVEAU (voormeting) TOETSRESULTATEN (nameting)

Gemiddelde cijfer 5,76 5,78 6,07 4,79 Standaarddeviatie 0,847 0,885 0,797 1,799 Variantie 0,920 0,941 0,893 1,341 Effectgrootte (T-test) 0,366 0,744 0,366 0,744 Vrijheidsgraden 26 Alpha 0,05 Overschrijdingskans 1,706 Tabel 10.1: statistische uitkomsten 10.1 Voormeting Om te bepalen of het startniveau op gebied van wiskundekennis gelijk is heb ik het gemiddelde cijfer wiskunde op het moment voor de lessenreeks genomen. Van deze gemiddelden van alle leerlingen heb ik het gemiddelde genomen per klas. De testgroep staat er met een 5,76 iets minder goed voor dan de controlegroep (6,07). Het absolute verschil is niet erg groot. Niet verwonderlijk dat de berekende effectgrootte (0,366) veel kleiner is dan de bepaalde overschrijdingskans van 1,706 (bij 26 vrijheidsgraden en een alpha van 0,05). Het verschil tussen de klassen is dus niet significant. Het startniveau heeft dus geen invloed op de uitkomst van de nameting. 10.2 Nameting De toetsresultaten van de nameting van beide groepen lopen behoorlijk uiteen. De testgroep scoort gemiddeld een 5,78 en de controlegroep een 4,79. Een absoluut verschil van een heel punt. Mijn eerste reactie was dan ook dat de interventielessen een verschil hebben gemaakt. Er is wel een flink verschil te zien in de standaarddeviatie van beide groepen. Bij de testgroep zaten er meer uitschieters naar beneden tussen. De T-test (eenzijdig gemiddelden) wijst echter uit dat de effectgrootte kleiner is dan de overschrijdingskans. Daarom moet ik concluderen dat ook dit verschil niet significant is. De hypothese dat de interventielessen een positief resultaat hebben op de prestaties van 4Havo-leerlingen op een toets over investering, verwachte waarde en rendement moet ik hierbij verwerpen.

10.3 Correlatie In het licht van dit onderzoek is het interessant om te kijken of het startniveau van invloed is op de toetsresultaten. Mat andere woorden: scoren leerlingen die beter zijn in wiskunde hoger op de toets over investering, verwachte waarde en rendement? H-4_econE (testgroep) H-4_econD (controlegroep) Correlatie 0,752 0,518 Correlatie beide groepen 0,462 Tabel 10.2: correlatiecoëfficiënten Bij de testgroep is de positieve relatie tussen een goed cijfer voor wiskunde en het resultaat op de toets overtuigend. De correlatie is sterk te noemen omdat deze een stuk groter is dan 0,5. Bij de controlegroep was de correlatie amper groter dan 0,5. Toch bewijst dit dat een goed cijfer voor wiskunde nog steeds leidt tot betere prestaties bij economie. Opmerkelijk is het verband tussen het startniveau en de nameting van beide groepen gecombineerd. Deze toont met een correlatie van 0,462 een medium verband. Omdat er vooral bij de controlegroep vrij extreme uitschieters naar beneden zitten bij de uitslagen van de toets wordt de correlatie tussen het cijfer voor wiskunde en de uitlag van de toets flink beïnvloed. Voor deze resultaten zijn wel aannemelijke alternatieve verklaringen te vinden. Daar ga ik later op in. 10.4 Kwalitatieve analyse Twee leerlingen van beide groepen hebben de toets gemaakt volgens de hardop-denkmethode. Deze methode heeft mij verrijkt met inzicht in de denkwijze van de leerlingen. Het liefste zou ik dit met alle leerlingen een keer doen. De feedback die ik de leerlingen kon geven op hun aanpak van de vraagstukken was hierdoor erg waardevol. Echter tussen de leerlingen van de testgroep en de controlegroep heb ik geen verschil kunnen vinden in aanpak van de opgaven. Ik heb simpelweg geen betekenisvolle opmerkingen kunnen distilleren die bij de ene groep op een dieper of juist minder diep begrip van kansberekening duidden dan bij de andere groep. Los van slordigheden begrepen alle leerlingen dat de kans van beide uitkomsten (succes/mislukking, kop/munt, schade/geen schade) samen optellen tot 1. Drie van de vier leerlingen lieten blijken dat deze kennis in het onderbewustzijn zit door opmerkingen als “de kans op mislukking, dat is natuurlijk ¾ als de kans op succes ¼ is”. Er werd niet gerekend naar de som van 1, maar de leerlingen ‘zagen’ dit direct.

Drie van de vier leerlingen wisten het risico gemakkelijk te berekenen. Keer op keer herhaalden zij de formule ‘kans op schade keer schade’ en wisten zij de correcte gegevens in te vullen; al werkten zij soms met een doorrekenfout omdat de mogelijke schade soms verkeerd werd berekend. Geen enkele van de vier leerlingen gaven er blijk van te begrijpen wat de relatie is tussen het berekende risico en de minimale premie die een verzekeraar moet vragen. Het geeft aan dat de transfer van de koude berekening naar de context niet succesvol is geweest. Bij alle vier de leerlingen gingen het duidelijk mis bij de opgaven waar de verwachte waarde (of een deel daarvan) berekend moest worden. Geen van de leerlingen kon beredeneren waar het nu eigenlijk om draaide in de opgave. “Die formule ben ik vergeten”, of een variant daarop, geeft aan dat er geen dieper begrip was van de verwachte waarde. Het gevolg was dat alle leerlingen bij deze opgaven gingen ‘jongleren’ met de cijfers. De leerlingen plussen, minnen, delen en vermenigvuldigen de getallen voorhanden totdat er een beetje een logisch getal uitkomt: niet te hoog, niet te laag en geen gekke cijfers achter de komma. Dieper begrip en kennis van zaken is op dat moment ver te zoeken. De belangrijkste conclusie die ik trek uit de sessie hardop-denken is dat leerlingen verbazingwekkend veel jongleren met de cijfers voorhanden, zonder ook maar enige strategie toe te passen in het oplossen van het vraagstuk.

10.5 Foutpercentages per vraag

In bijlage 5 heb ik de foutpercentages per vraag geanalyseerd op dezelfde manier dat ik dat heb gedaan bij de oefentoets in de probleembeschrijving (1.2). Ook in de toets van de nameting komt sterk naar voren dat veruit de meeste fouten worden gemaakt bij de opgaven waar de verwachte waarde berekend moet worden. Er zijn vijf vragen waar de verwachte waarde op verschillende manieren getoetst wordt en bij al deze vragen is zijn de foutpercentages zeer hoog vergeleken met andere vragen. Bij vier van deze vijf vragen zijn de foutpercentages van de testgroep lager dan van de controlegroep. De verschillen zijn echter klein. De vergelijking van deze foutpercentages is geen onderdeel van mijn statistisch onderzoek. De uitkomst van deze analyse onderstreept wel dat de interventielessen niet hebben geleid tot een beter en dieper begrip van de verwachte waarde.

11 CONCLUDEREND

11.1 Conclusie De interventielessen zoals ik deze heb gegeven hebben geen significante invloed gehad op de prestaties van de leerlingen op de toets over risico en rendement. Een hoog cijfer voor wiskunde heeft een positieve invloed op prestaties met kansberekening bij economie. Het berekenen van de verwachte waarde is voor bijna alle leerlingen het grootste struikelblok bij berekeningen in het domein risico en informatie. 11.2 Alternatieve verklaringen Er zijn talloze zaken die van invloed kunnen zijn geweest op de resultaten van dit onderzoek. Bijvoorbeeld de kwaliteit van de lessen van de docent van de controlegroep, de vooropleiding van de leerlingen (VWO, Havo-VWO, doublant), de omstandigheden tijdens de afname van beide toetsen, het aantal lessen buiten de interventielessen om, de intrinsieke motivatie van de leerlingen, het aantal jongens en meisjes in de groepen, en ga zo maar door. Een verklaring voor het niet-significante verschil tussen de prestaties van de groepen die ik zelf geef heeft te maken met de kwaliteit van de interventielessen en het aantal interventielessen. In klassenleergesprekken werkte de casinoles als aanknopingspunt zeer goed. Ook in gesprekken na de interventielessen. Ik heb wel het gevoel dat de wiskundedidactiek meer aandacht en oefening verdient om volledig in te dalen bij de leerlingen. Hoewel ik de les en het geschatte startniveau uitgebreid had voorbesproken met de wiskundedocenten viel het basisniveau van de leerlingen als het gaat over kansen tegen. Eén les was niet voldoende om dit niveau op peil te krijgen. Daardoor is de les waarin de koppeling met de economische begrippen wordt gelegd minder krachtig geweest. 11.3 Overwegingen Uit dit onderzoek wil ik twee dingen meenemen om volgend jaar in mijn lessen, behorende bij dit domein, te verwerken. Ten eerste wil ik de casinoles herhalen. Deze les was een waardevolle opening van alle lessen die volgden. De context van het casino voegt veel toe aan de beschrijvingen in het lesboek. Wellicht dat ik de loterij (ook een voorbeeld dat vaak wordt aangehaald in het lesboek) ook nog ga verwerken in dezelfde les. Tegelijk, hoe waardevol de context ook is, het casino biedt te weinig inzicht in de verwachte waarde. Daarom neem ik als tweede voornemen mee dat ik volgend jaar meer wil oefenen met de sommen waarin de verwachte waarde een rol speelt. Dit hoeft niet vanuit een wiskunde-didactiek en kan vanuit economische context benaderd worden.

Tenslotte, het aandeel van de berekeningen van de verwachte waarde in het totale domein risico en informatie is niet zo groot dat er nog veel meer lessen aan gewijd kunnen worden. Daarom zou ik volgend jaar niet een hele les besteden aan de wiskundedidactiek. De opbrengst is niet-significant gebleken en de tijd is te krap om het uitgebreider te doen.

11.4 Suggesties voor herontwerp

Indien ik eenzelfde onderzoek zou kunnen doen dan zou ik een manier zoeken waarbij de voormeting en de nameting bij beide groepen aan elkaar gerelateerd kunnen worden. In dit onderzoek heb ik de voormeting enkel gebruikt om het startniveau van beide groepen te bepalen. Het is veel interessanter om de relatieve groei van twee groepen te vergelijken. Bovendien zou ik twee lessen over de verwachte waarde echt volledig gegeven vanuit de wiskunde-didactiek proberen te geven. En dan bij voorkeur ook heel duidelijk uit de context van de lessen economie gegeven door een wiskundedocent. Andere wensen voor ene beter herontwerp heb ik wel maar stuiten tegen wat praktische bezwaren, zoals grotere groepen ter vergelijking, analyse van de lessen van de controlegroep, meten van kennis van begrippen uit het domein in plaats van enkel begrip van de sommen, uitgebreidere kwalitatieve analyses met gestructureerde analyse van betekenisvolle fragmenten.

12 GERAADPLEEGDE LITERATUUR

Britton, S. (2012). Are students able to transfer mathematical knowledge? In: Proceedings of the 2nd International Conference on the Teaching of Mathematics. New York: Wiley De Bruijn, I. et al (2014), Moderne Wiskunde 3B VWO (10e _{editie). Groningen: Noordhoff Uitgevers.} Commissie Toekomst WiskundeOnderwijs (2007), Rijk aan betekenis. Visie op vernieuwd wiskundeonderwijs, Utrecht. Hinloopen, J., Adriaansen, P., Praktische Economie – Risico en rendement (zesde druk). ’s Hertogenbosch: Malmberg Klerks, J. & Mantel, A. (2002). Economie en wiskundige vaardigheden; een probleemsignalering, in: Tijdschrift voor Economie onderwijs, VECON. Klerks, J. & Mantel, A. (2003). Probleemoplossen, wiskunde en economie, in: Tijdschrift voor het Economisch Onderwijs, 187-192 Kneppers, H.C. (2007), “Leren voor transfer - een empirisch onderzoek naar de concept- en contextbenadering in het Economieonderwijs”, Graduate School of Teaching and Learning Kneppers, H.C. (2010). Rekenen bij Economie, Amsterdam Marchie Sarvaas, J. du (2016). Transfer van aangeleerde heuristieken bij rekenen met verhoudingen. Amsterdam: Interfacultaire Lerarenopleidingen UvA. Marzano, R. & Miedema, W. (2014). Leren in vijf dimensies. Moderne didactiek voor het voortgezet onderwijs. Assen: Koninklijke van Gorcum. Nijenhuis, N. (2015). Wiskunde bij Natuurkunde : de afgeleide. Amsterdam: Interfacultaire Lerarenopleidingen UvA. Plantinga, S.D. (2016). Ontwikkelen van intuïtieve referentie vaardigheden in de kansrekening. Amsterdam: Interfacultaire Lerarenopleidingen Stokking, K. (2016). Bouwstenen voor onderzoek in onderwijs en opleiding. Antwerpen-Apeldoorn: Garant. Tweede Fase Adviespunt (2005), Zeven jaar Tweede Fase, een balans, Den Haag WISKUNDE A HAVO Syllabus centraal examen 2016 (2014) https://www.examenblad.nl/examenstof/syllabus-2016-wiskunde-a-havo/2016/f=/wiskunde_a_havo_def_versie_2016.pdf Examenprogramma wiskunde A havo (2007) https://www.examenblad.nl/examenstof/wiskunde-a-havo/2016/f=/wisa_havo.pdf

WISKUNDE A HAVO Syllabus centraal examen 2017 (bij het nieuwe examenprogramma) (2014) https://www.examenblad.nl/examenstof/syllabus-2017-wiskunde-a-havo/2017/f=/syllabus_wiskunde_a_havo_2017_2014-17-05_nader_vastgesteld.pdf Examenprogramma wiskunde A havo vanaf CE 2017 (2014) https://www.examenblad.nl/examenstof/wiskunde-a-havo-2/2017/f=/examenprogramma_wiskunde_a_havo.pdf Economie havo, syllabus centraal examen 2017 versie 2 (2015). https://www.examenblad.nl/examenstof/syllabus-2017-economie-havo/2017/f=/economie_havo_2_versie_2017.pdf

BIJLAGE 1A: LESPLAN LES #1

Docent: Michiel Hess Datum: 6/5/2018 Tijd: 8:30 Klas: 4H Aantal lln: 31 Lesonderwerp Kansen in het casino

Beginsituatie

Leerlingen hebben enige voorkennis van kansspelen uit eigen ervaringen. Er is minimale kennis van kansen. Zij begrijpen bijvoorbeeld dat een 50/50 kans betekent dat in 1 van de 2 gevallen de gewenste uitkomst zich voordoet.

Leskern Koppelen van de begrippen risico en rendement aan ervaring en voorkennis. Leerdoelen

• De leerlingen hebben gevoel voor de betekenis van win- en verlieskans. • De leerlingen kunnen het verschil in risico tussen de kansspelen uitleggen. • De leerlingen kunnen het rendement op een investering uitrekenen.

• De leerlingen hebben inzicht in de relatie tussen investering, kans en opbrengst. Docentdoelen • Context geven door het bieden van praktijkproblemen • Zonder al te veel sturing, middels een vrije opdracht, de lln laten uitkomen op

concepten uit het leerboek.

Media, spullen, hulp Speluitleg, resultatentabellen, white board en markers, casino-uitzet (roulettetafel, _{dobbelstenen,} Tijd Les-

fase Leerdoel Wat ik doe en zeg Wat zij doen (werkvorm) Leeractiviteit 3’ 1 Doelen overbrengen Uitleg over komende lessen en doelen voor ogen. Luisteren, evt. vragen stellen Luisteren, interpreteren 5’ 4 Kaders aangeven Regels van deze les en van het spel _{uitdelen en toelichten.} Individueel meelezen, evt. _{vragen stellen} Luisteren, interpreteren,

samenvatten 35’ 5 Kansen en opbrengsten _ervaren Spel begeleiden, rondes aankondigen, aanmoedigen, toezicht en orde houden. Spelen, inzetten, noteren, plezier hebben. Beschrijven, vergelijken, afleiden, als-dan-beredeneren, speculeren 5’ 2 Concepten _introduceren Korte uitleg over concepten risico, _{investering en rendement.}

Luisteren, meeschrijven, vergelijken met hun notatieblad Luisteren, vergelijken, afleiden 2’ 4 & 5 Heuristiek ontwikkelen voor berekening risico

en rendement. Opdracht geven om individueel hun risico en rendement te berekenen. Tijdens uitvoeren van de opdracht meer informatie (formule) geven. Met hun eigen cijfers berekeningen construeren. Mogelijkheden tegen elkaar afzetten. Hardop-denken. Analyseren, aantonen, ontwerpen 10’ 3 & 5 Concepten verbinden Verdere uitleg van concepten en berekeningen. Voordoen berekening. Checken of het is overgekomen. Luisteren en meeschrijven. Vragen stellen. Luisteren, vergelijken, afzetten tegen elkaar. 3’ 6 Afsluiting Innemen notatiebladen. Plan voor volgende les communiceren. Vragen wat ze ervan vonden. Bedanken. Notatieblad checken, vragen stellen, reactie geven, opruimen, vertrekken. Bekritiseren, beoordelen.

BIJLAGE 1B: NOTATIELIJST KANSSPELEN

SP EL : RO U LE TT E / KO P-O F-MU N T / D O BB EL EN Be ur t Inz et Ing ez et op: Op bren gst Re su lta at (w in st of Kans op winst Mo ge lij ke w in st (b ij de ze in ze t) Kans op ve rlie s Mo ge lij k verl ies Ri si co Re nd em en t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 _{10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20}

BIJLAGE 1C: POWERPOINT UITLEG CASINO (LES #1)

WHAT ARE THE ODDS?

Aan het einde van deze les: ... heb je winst of verlies.

CASINO ROYALE

• We spelen ROULETTE, CRAPS en KOP-OF-MUNT • Elke 10 MINUTEN doordraaien (je speelt 2x roulette) • Bij elke ronde moet je je INZET, INGEZET OP, je OPBRENGST en het RESULTAAT opschrijven op je formulier. De andere kolommen komen later. • Iedereen ontvangt €20 aan fiches (ROOD = €5, ANDERE KLEUR = €1) • MAXIMALE INZET: €3 per keer • OP = OP • Speel netjes, duidelijk en volgens de regels per tafel. • De persoon met de grootste winst krijgt…..

ROULETTE

• Leraar is de croupier. Let op zijn aanwijzingen. • Je kan alleen de volgende inzetten doen:

• ROODof ZWART uitbetaling: 1x inzet

• KOLOMvan 12 nummers uitbetaling: 2x inzet

• NUMMER uitbetaling: 35x inzet

CRAPS

• Elke beurt gooit iemand anders met twee dobbelstenen. • Je zet in door je geld op ÉÉN VAKJE te zetten. • Je mag dus niet op meerdere vakjes tegelijk spelen. • Meerdere mensen mogen op hetzelfde vakje inzetten • Je wordt uitbetaald als jouw aantal ogen wordt gegooid. • Er wordt één leerling aangewezen als croupier. Hij/zij mag ook gewoon meedoen. • Na uitbetaling kan de volgende ronde beginnen. OGEN UITBETALING 2 6 x inzet 3 5 x inzet 4 4 x inzet 5 3 x inzet 6 2 x inzet 7 1 x inzet 8 2 x inzet 9 3 x inzet 10 4 x inzet 11 5 x inzet 12 6 x inzet

KOP-OF-MUNT

• Elke beurt gooit iemand anders een muntje op. Het muntje moet minimaal 50 cm de lucht in en flink draaien. Laat het muntje op de grond vallen. Raak het niet aan. • Je zet in door je geld op KOP of MUNT te zetten. • Je inzet wordt 1x uitbetaald als jouw keuze valt. • Er wordt één leerling aangewezen als croupier. Hij/zij mag ook gewoon meedoen. • Na uitbetaling kan de volgende ronde beginnen. Een snel spel.

WINNING STREAK?

• Lik je wonden of tel uit je winst: controleer je ingevulde bedragen. Tel de totalen op. Klopt het met het geld dat je over hebt? • Lever je formulier en je fiches in bij mij. • Iedereen ontvangt €20 aan fiches (ROOD = €5, ANDERE KLEUR = €1) • MAXIMALE INZET: €3 per keer • OP = OP • Speel netjes, duidelijk en volgens de regels per tafel. • De persoon met de grootste winst krijgt…..

BIJLAGE 1D: LESPLAN LES #2

Docent: Michiel Hess Datum: 6/5/2018 Tijd: 8:30 Klas: 4H Aantal lln: 31 Lesonderwerp Kansen in de wiskunde

Beginsituatie Leerlingen hebben kennis van kansen uit ervaring niet uit theorie. Leerlingen weten dat een kans van 1:2 gelijk staat aan 50%.

Leskern Koppelen van de begrippen risico en rendement aan ervaring en voorkennis. Leerdoelen • De lln kunnen de theoretische kans op een gebeurtenis omschrijven in een getal • De lln kunnen de verwachte opbrengst van die gebeurtenis berekenen • De lln kunnen de verwachte waarde van het resultaat van een gebeurtenis berekenen wanneer er ook een inzet wordt gevraagd. Docentdoelen • Kansberekening vanuit wiskundedidactiek uitleggen. • Theoretische stappen voor berekenen van kans en bijbehorende waarde uitleggen. • Toepassing van context casino in wiskunde Media, spullen, hulp Powerpoint, digibord, white board en markers, opdrachtblad, Socrative

Tijd Les- _fase Leerdoel Wat ik doe en zeg Wat zij doen (werkvorm) Leeractiviteit 3’ 1 Doelen overbrengen Uitleg over deze les, de doelen en _{koppeling aan casinoles.} Luisteren, evt. vragen _stellen Luisteren, _{interpreteren} 10’ 3 Wiskunde van kansexperimenten (her)kennen Socrative starten, regels toelichten, aanmoedigen Opdrachten online maken Beredeneren, berekenen, reproduceren 5’ 2 Wiskunde van kansexperimenten (her)kennen Socrative antwoorden bespreken, vragen stellen aan individuele lln, uitlichten herkenbare sommen Luisteren, aantekeningen maken, vragen, antwoorden formuleren Luisteren, vergelijken 7’ 2, 3, 4 Theoretische kans van een gebeurtenis begrijpen Theorie achter dobbelspel en kop-of-muntspel uitleggen, toelichten begrip kansexperiment schema uitdelen, opdracht geven, aan het werk zetten Luisteren, aantekeningen maken, gereed maken voor de opdracht. Oefenen, opzeggen, samenvatten 15’ 5 Theoretische kans bij kansexperiment begrijpen Begeleiden van individuen, vragen

stellen, vragen beantwoorden Opdracht maken, vragen stellen, overleggen

Afleiden, patroon herkennen, verklaren 5’ 2, 3, 4 Verwacht resultaat _begrijpen Korte introductie van video, video starten, samenvatten van video, opdracht uitleggen en toelichten Luisteren en meeschrijven. Vragen stellen. Luisteren, vergelijken, afzetten tegen elkaar. 5’ 5 Verwacht resultaat _{kunnen berekenen} Begeleiden van individuen, vragen _{stellen, vragen beantwoorden} Opdracht maken, vragen _{stellen, overleggen}

Afleiden, patroon herkennen, verklaren 5’ 6 Controle en afronding Verwijzen naar extra video, controlevraag activeren, doelen herhalen, materialen innemen Vragen stellen, controlevraag beantwoorden Samenvatten, aantonen

BIJLAGE 1E: POWERPOINT WISKUNDELES (LES #2)

KANSBEREKENING

Aan het einde van deze les: ... kan je een theoretische kans op een gebeurtenis omschrijven in een getal. … kan je de verwachte opbrengst van die gebeurtenis berekenen met dat getal. ... kan je de verwachte waarde van het resultaat van een gebeurtenis berekenen wanneer er ook een inzet wordt gevraagd.

WAT HEB JE TE VERLIEZEN?

Ga naar

www.socrative.com

Kies de

STUDENT LOGIN

Gebruik de ROOM CODE:

HESS8054

Maak de vragen

zelfstandig

.

KANSEXPERIMENT

Bij het gooien van dobbelstenen en geldstukken speelt toeval een

grote rol. Daarom noem je dit kansexperimenten.

Hoe vaker je een kansexperiment herhaalt, hoe dichter het

resultaat zal komen bij wat je in theorie kunt verwachten.

KOP-OF-MUNT

•

De kans op kop is fifty-fifty (of 0,5 of 50% of 1:2 of ½)

•

Is dat echt zo?

•

Tel op je formulier van de vorige les hoe vaak er kop en hoe vaak

er munt is gegooid in jouw casinogroep.

•

Conclusie: hoe vaker je het kansexperiment herhaalt, hoe dichter

het resultaat zal komen bij wat je in theorie kan verwachten.

KOP-OF-MUNT

• De kans op kop is fifty-fifty (of 0,5 of 50% of 1:2 of ½) • Is dat echt zo? • Tel op je formulier van de vorige les hoe vaak er kop en hoe vaak er munt is gegooid in jouw casinogroep. • Conclusie: hoe vaker je het kansexperiment herhaalt, hoe dichter het resultaat zal komen bij wat je in theorie kan verwachten. Kans = Aantal gunstige uitkomsten Aantal mogelijke uitkomsten

CRAPS

•

Kijk bij een worp met twee dobbelstenen naar de som van de

ogen. Bij een 3 en een 5 gooi je 8 ogen. Maar er zijn meerdere

manieren om 8 te gooien.

•

Vul het uitgedeelde schema in.

•

Bereken daarna de kans op elk aantal ogen. Vul dat in de tabel.

Kans = Aantal gunstige uitkomsten Aantal mogelijke uitkomsten

2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12 Som van de ogen 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Kans _0,0281/36 _0,0561/18 1/12_{0,083 0,111}1/9 _0,1395/36 _0,1671/6 _0,1395/36 _0,1111/9 _0,0831/12 1/18_{0,056 0,028}1/36 Mogelijke opbrengst (bij €1 inzet) Verwachte waarde (na aftrek van inzet)

VERWACHTE WAARDE

• Verwachtingswaarde = verwachte waarde = verwacht rendement = verwachte opbrengst • ' het gewogen gemiddelde van alle mogelijke uitkomsten met als gewichtsfactor de kans dat een bepaalde waarde zich voordoet.’ Som van de ogen 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Kans _0,0281/36 _0,0561/18 1/12_{0,083 0,111}1/9 _0,1395/36 _0,1671/6 _0,1395/36 _0,1111/9 _0,0831/12 1/18_{0,056 0,028}1/36 Mogelijke opbrengst (bij €1 inzet) € 6 € 5 € 4 € 3 € 2 € 1 € 2 € 3 € 4 € 5 € 6 Verwachte waarde (na aftrek van inzet) -€0,83 -€0,72 -€0,67 -€0,67 -€0,72 -€0,83 -€0,72 -€0,67 -€0,67 -€0,72 -€0,83

VERWACHTE WAARDE

CONTROLEVRAAG?

Ga naar

www.socrative.com

Kies de

STUDENT LOGIN

Gebruik de ROOM CODE:

HESS8054

KANSBEREKENING

En: ... kan je een theoretische kans op een gebeurtenis omschrijven in een getal? … kan je de verwachte opbrengst van die gebeurtenis berekenen met dat getal? ... kan je de verwachte waarde van het resultaat van een gebeurtenis berekenen wanneer er ook een inzet wordt gevraagd?

BIJLAGE 1F: SOCRATIVE LES #2

BIJLAGE 1G: LESPLAN LES #3

Docent: Michiel Hess Datum: 13/5/2018 Tijd: 8:30 Klas: 4H Aantal lln: 31 Lesonderwerp Van context naar concept in risico- en rendementberekening

Beginsituatie Leerlingen hebben ervaren hoe kansspelen werken. Lln kunnen wiskundige theorie van kansberekening herhalen. Lln herkennen de begrippen risico en rendement.

Leskern Vanuit ervaring en opgedane kennis (context) zelf de berekening en betekenis van _{en rendement construeren.} risico

Leerdoelen • De leerlingen begrijpen hoe de verwachte waarde van een kansspel wordt berekend. • De leerlingen kunnen uitleggen hoe de werkelijke verwachte waarde van een kansspel zich verhoudt tot de theoretische verwachte waarde. • De leerlingen kunnen aan de hand van het berekende risico en rendement bepalen welke investering ze zouden kiezen. Docentdoelen • Leerlingen in groepen zélf de context laten verbinden aan concepten risico en rendement. • Zonder al te veel sturing, middels een vrije opdracht, de lln laten uitkomen op concepten uit het leerboek. Media, spullen, hulp Resultatentabellen in Excel, white board en markers, groepsopdrachten

Tijd Les- _fase Leerdoel Wat ik doe en zeg Wat zij doen (werkvorm) Leeractiviteit 3’ 1 Doelen overbrengen Uitleg over indeling en doel van deze les Luisteren, evt. vragen stellen Luisteren, interpreteren 5’ 4 Opdracht begrijpen Groepen indelen. Opdracht (en _{kaders) toelichten.}

Meelezen, als groep bij elkaar gaan zitten, evt. vragen stellen Luisteren, interpreteren, samenvatten 35’ 5 Concepten risico en rendement laten definiëren Groepen begeleiden, aanmoedigen, vragen beantwoorden, hulp bij Excel bieden, tijd communiceren Data analyseren, formules opstellen, berekeningen maken Analyseren, afleiden, opstellen, controleren 5’ 2 Uitkomsten controleren en aanpassen. Formule construeren. Nieuwe groepen maken (van elk groepje een iemand), opdracht uitleggen. In nieuwe groep gaan zitten, vergelijken van elkaars uitkomsten. Aanpassen. Luisteren, vergelijken, afleiden, aanpassen 2’ 4 & 5 Overbrengen van _uitkomsten.

Groepen de beurt geven. Presentatie van oplossing (en formule) begeleiden. Presenteren en toelichten van bevindingen en oplossing van het vraagstuk Uitleggen, aantonen 10’ 3 & 5 Koppelen aan theorie in het boek Voorbeeld geven van opgave uit het boek. Term ‘verachte opbrengst’ uitleggen. Luisteren en meeschrijven. Vragen stellen. Luisteren, vergelijken, afzetten tegen elkaar. 3’ 6 Afsluiting Informele nabespreking van de lessen. Uitleggen dat er een tussentoetsje komt. 4 leerlingen uitnodigen voor hardop-denk. Bedanken. Reactie geven, opruimen, vertrekken. Bekritiseren, beoordelen.

BIJLAGE 1H: POWERPOINTS LES #3

WHAT ARE THE ODDS?

Aan het einde van deze les • ... kan je uitleggen wat (economisch) risico is met gebruik van de begrippen ‘kans’ en ‘schade’. • … kan je bepalen en berekenen wat het risico is voor verzekeraars en investeerders. • ... kan je de verwachte waarde van een investering berekenen aan de hand van informatie over kans en opbrengsten. • ... kan je het verwachte rendement van een investering berekenen.

ÉCHT AANWEZIG?

ÉCHT GEFOCUST?

ÉCHT BIJGEWERKT?!

Koppeling economie groepsopdracht 20 min.

Toelichting begrippen presentatie 15 min.

Oefenen zelfstandig opgaven maken 15 min.

TERUG

KIJKEN

NAAR HET CASINO

We gaan het casino én de wiskunde nu koppelen aan economische begrippen. Kijk in duo’s terug naar de casinospellen die jullie gespeeld hebben. Pak je invulformulieren erbij. 1. Bereken van de eerste drie rondes van elk spel de getallen en bedragen die horen in de laatste kolommen (Kans op winst, Mogelijke winst, Kans op verlies, Mogelijk verlies, Risico, Rendement). 2. Probeer een FORMULE op te schrijven voor het berekenen van RISICO, VERWACHTE WAARDE en RENDEMENT. Beantwoord daarvoor PER RONDE de volgende vragen: • Wat is de investering? • Wat is het risico? • Wat is de verwachte waarde (of verwacht resultaat)?

Inves-tering Kans opwinst Mogelijke opbrengst bij winst

Kans op

verlies Mogelijke opbrengst bij verlies Risico Verwachte waarde Rendement Kop-of-Munt inzet op Munt €3 0,5 €6 0,5 €0 Craps inzet op 3 €3 1/18 €18 17/18 €0 Roulette inzet op nr 7 €1 1/37 €36 36/37 €0 Roulette inzet op zwart €2 0,5 €4 0,5 €0 Roulette inzet op kol. 2 €2 12/37 €6 25/27 €0

RISICO

=

KANS OP SCHADE

X

SCHADE

kans op verlies X grootte van verlies

VERWACHT RESULTAAT

=

KANS OP SUCCES

X

OPBRENGST BIJ SUCCES +/+

KANS OP MISLUKKING

X

OPBRENGST BIJ MISLUKKING +/+

-/-

RENDEMENT

=

INVESTERING

(VERWACHT) RESULTAAT

X

100%

(VERWACHT)

RISICO

=

KANS OP SCHADE

X

SCHADE

kans op verlies X grootte van verlies

VERWACHT RESULTAAT =

KANS OP SUCCES

X

OPBRENGST BIJ SUCCES +/+

KANS OP MISLUKKING

X

OPBRENGST BIJ MISLUKKING +/+

INVESTERING

-/-RENDEMENT =

INVESTERING

(VERWACHT) RESULTAAT

X

100%

(VERWACHT)

NU JULLIE

Maak en kijk na: Module 6 Hoofdstuk 3 Blz. 70 opgaven 6, 7, 8 en 9

En?

• ... kan je uitleggen wat (economisch) risico is met gebruik van de begrippen ‘kans’ en ‘schade’? • … kan je bepalen en berekenen wat het risico is voor verzekeraars en investeerders? • ... kan je de verwachte waarde van een investering berekenen aan de hand van informatie over kans en opbrengsten? • ... kan je het verwachte rendement van een investering berekenen?