Wiskunde A voor 4/5 havo

(1)

Wiskunde A

voor 4/5 havo

Deel 2

Versie 2013

Samensteller

(2)

bende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie.

Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal

Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0).

Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via info@math4all.nl.

Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

(3)

Inhoud

Voorwoord 3

1 Tellen 5

1.1 Mogelijkheden 6 1.2 Herhaling of niet 13 1.3 Combinaties 19

1.4 De driehoek van Pascal 25 1.5 Totaalbeeld 33

2 Kansen 39

2.1 Experimenteren 40 2.2 Kansen beredeneren 48 2.3 Kansbomen 54

2.4 Kansverdelingen 62 2.5 Totaalbeeld 69

3 Statistiek 75

3.1 Statistisch onderzoek 76 3.2 Verzamelen en ordenen 84 3.3 Diagrammen gebruiken 92 3.4 Gegevens samenvatten 105 3.5 Uitspraken doen 117 3.6 Totaalbeeld 125

4 Normale verdeling 137 4.1 Normaalkromme 138 4.2 Normale kansen 147

4.3 Standaard normaalkromme 155 4.4 Normaal of niet? 161

4.5 Totaalbeeld 166

5 Kansmodellen 173 5.1 Ja/nee kansen 174

5.2 Binomiale kansverdeling 181 5.3 Niet-binomiaal 188

5.4 Kansmodellen 195 5.5 Totaalbeeld 202

Register 211

(4)

(5)

Voorwoord

Het lesmateraal in dit boek is gebaseerd op het materiaal dat je kunt vinden op de website www.math4all.nl. In de tekst staan dan ook regelmatig verwijzingen naar die website. Waar je precies moet zijn op die website kun je zien in de kopregel van iedere pagina.

Bij bestudering van het lesmateriaal kom je in de tekst ook aanwijzingen tegen. Je ziet dan bijvoorbeeld in de tekst:

Bekijk eerst:

www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Afstanden > Toepassen

Je kunt met de muis elk deel van de wereld bekijken en er op inzoomen.

Als zo’n aanwijzing in een opgave staat, kun je die opgave waarschijnlijk alleen maar maken als je inderdaad op de website hebt gekeken.

Ieder hoofdstuk bestaat uit een aantal paragrafen en wordt steeds afgesloten met een paragraaf To- taalbeeld waar de leerstof wordt samengevat en/of herhaald. Iedere paragraaf is ingedeeld in vaste rubrieken die houvast geven bij de bestudering van het lesmateriaal.

> Verkennen

> Uitleg

> Theorie en Voorbeelden

> Verwerken

> Toepassen

Indien er in het lesmateriaal wordt verwezen naar werkbladen dan kun je deze terugvinden op de website.

(6)

(7)

1 ^Tellen

Mogelijkheden 6 Herhaling of niet 13 Combinaties 19

De driehoek van Pascal 25 Totaalbeeld 33

(8)

Inleiding

Misschien heb je je wel eens afgevraagd hoeveel verschillende postcodes, hoeveel nummerborden, hoeveel PINcodes er zijn. Of hoeveel mogelijkheden er zijn om een dubbel-zes te gooien met twee dobbelstenen in verhouding tot het totaal aantal mogelijkheden. Maar dan moet je wel een idee hebben welke mogelijkheden er zijn. Om daar een goed overzicht over te krijgen kun je het best systematisch te werk gaan. Boomdiagrammen en tabellen helpen er bij.

Je leert in dit onderwerp

> mogelijkheden systematisch tellen en in kaart brengen.

Voorkennis

> werken met tabellen en diagrammen;

> werken met kansen.

Verkennen

Opgave 1

Je werpt vier geldstukken op tafel.

Hier zie je twee keer kop en twee keer munt.

a Leg uit waarom je op verschillende manieren twee keer kop en twee keer munt kunt krijgen.

b Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?

c Bij hoeveel daarvan heb je twee keer kop en twee keer munt?

(9)

WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSBEREKENING > TELLEN

Uitleg

Bij tossen wordt er met een geldstuk geworpen. Het werpen met een geldstuk heeft de uitkomsten

"kop" of "munt". Bij een zuivere munt zijn beide even waarschijnlijk en hebben ze een kans van ¹₂. Gooi je met vier munten dan kun je kijken naar de mogelijkheden

om twee keer ‘kop’ en twee keer ‘munt’ te gooien. Je het houdt het aantal gunstige en het totaal aantal mogelijkheden overzichtelijk bij. Dat kun je doen met een boomdiagram zoals dit.

Alle 16 mogelijkheden zijn even waarschijnlijk.

Er zijn 6 met twee keer ‘kop’ en twee keer ‘munt’.

Je kunt een boomdiagram compacter maken door de takken in één punt te laten samenkomen. Dan krijg je een wegendiagram.

Daarin zie je snel dat er 2 × 2 × 2 × 2 = 16 mogelijkheden in totaal zijn. Alleen zijn de gunstige mogelijkheden nu moeilijker te tellen.

Je kunt natuurlijk ook proberen om alle mogelijkheden gewoon systematisch op te schrijven, maar dat is nog een behoorlijk klus en bovendien vergeet je gemakkelijk een paar mogelijkheden: KKKK, MKKK, KMKK, KKMK, KKKM, enz.

Opgave 2

Bestudeer de Uitleg op pagina 7.

a Wat is het verschil tussen een boomdiagram en een wegendiagram?

b Wat is het voordeel van een boomdiagram?

Opgave 3

Je hebt in een hoge hoed vier kaartjes met daarop de letters A, B, C, D. Je haalt die kaartjes er willekeurig één voor één uit. Hoeveel mogelijke volgordes zijn er? (Maak een boomdiagram!)

Theorie en voorbeelden

Voor het systematisch tellen van mogelijkheden bestaan een aantal hulp- middelen:

> Het wegendiagram:

Een schema (een graaf) waarin je de mogelijkheden weergeeft als ver- bindingslijnen tussen punten. Het totaal aantal mogelijkheden krijg je door de aantallen mogelijkheden om van punt naar punt te komen te vermenigvuldigen.

> Het boomdiagram:

Een schema waarin je alle mogelijkheden weergeeft als vertakkingen vanuit punten.

Dit boomdiagram heeft twee "lagen" met in de eerste laag 2 takken en in de tweede laag 3 takken.

> Systematisch uitschrijven:

Er zijn zes manieren om bij het gooien met vier geldstukken twee keer "kop" en twee keer "munt"

(10)

te krijgen:

KKMM, KMKM, KMMK, MKKM, MKMK, MMKK.

> Een rooster:

Dit rooster laat het aantal even waarschijnlijke mogelijkheden bij werpen met twee geldstukken zien.

Voorbeeld 1

Iemand gooit tegelijkertijd met een munt en met een dobbelsteen.

Hoeveel mogelijke even waarschijnlijke uitkomsten zijn er in totaal?

En bij hoeveel daarvan heb je hoogstens 5 ogen en ‘kop’?

De mogelijke uitkomsten kun je in een wegendiagram weergeven.

Er zijn totaal 2 × 6 = 12 verschillende uitkomsten mogelijk, want je kunt totaal op twaalf verschillende manieren van het beginpunt naar het eind- punt gaan.

Hier zie je hoe je de mogelijke uitkomsten van het gelijktijdig gooien van een munt en een dobbelsteen in een boomdiagram kunt weergeven. Alle 12 mogelijkheden zijn afzonderlijk zichtbaar. Er zijn 5 mogelijkheden met hoogstens (niet meer dan) 5 ogen en kop.

Opgave 4

Iemand heeft dobbelstenen in de vorm van een regelmatig viervlak. Op de grensvlakken staan de cijfers 1, 2, 3 en 4. Elk vlak heeft een gelijke kans om ‘onder’ te komen als je met zo’n dobbelsteen gooit. Er wordt geworpen met drie van die dobbelstenen, een rode, een groene en een witte. We letten op de vlakken die ‘onder’ komen na het werpen. Kijk ook bij Voorbeeld 1 op pagina 8.

a Geef in een wegendiagram alle mogelijke uitkomsten weer. Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?

b Je wilt het aantal uitkomsten tellen waarbij precies één keer het cijfer 3 onder ligt. Waarom zijn er 9 mogelijkheden waarbij alleen bij de rode dobbelsteen de 3 onder ligt?

c Hoeveel mogelijkheden zijn er waarbij bij de rode of de groene dobbelsteen de 3 onder ligt?

d Hoeveel mogelijkheden zijn er waarbij precies één keer de 3 onder ligt?

Voorbeeld 2

Iemand gooit tegelijkertijd met twee dobbelstenen. Als je van te voren het totaal aantal ogen goed raadt, win je het spelletje.

Waarom kun je beter gokken op 7 ogen dan op 2 ogen?

(11)

Omdat je met 2 dobbelstenen werpt, is een rooster een handige manier om alle mogelijkheden in beeld te krijgen.

Je ziet er in totaal 36 even waarschijnlijke mogelijkheden zijn.

En 7 ogen komt veel vaker voor dan 2 ogen.

Je ziet dat 7 ogen het vaakst voorkomt, dus daar moet je op gokken...

Opgave 5

Bij het werpen met twee dobbelstenen kun je de mogelijkheden overzichtelijk weergeven in een rooster.

Zie Voorbeeld 2 op pagina 8.

a Waarom gaat dat bij het werpen met drie dobbelstenen niet?

b Je werpt met twee dobbelstenen.

Op hoeveel manieren kunnen er 9 ogen boven komen?

c Je werpt met drie dobbelstenen.

Op hoeveel manieren kunnen er 9 ogen boven komen?

Opgave 6

Je hebt vier uiterlijk gelijke briefjes met daarop de namen Paul, Anja, Frits en Elly. De briefjes worden in een vaas gedaan, je moet er twee kiezen. Zie ook Voorbeeld 2 op pagina 8.

a Teken bij deze situatie een rooster.

b Laat zien dat een boomdiagram dezelfde mogelijkheden geeft.

c In hoeveel gevallen kies je zowel Paul als Anja?

Voorbeeld 3

Je kunt van A naar B via C of via D.

Je ziet hier alle verbindingen getekend.

Op hoeveel manieren kun je van A naar B?

Je kunt van A naar B via C op 3 × 2 = 6 manieren.

Je kunt van A naar B via D op 2 × 1 = 2 manieren.

In totaal kun je daarom op 6 + 2 = 8 manieren.

Misschien zie je de handige vuistregel dat je bij ‘en’ mogelijkheden verme- nigvuldigt en bij ‘of’ mogelijkheden optelt.

Je gaat van A naar C EN van C door naar D OF van A naar D EN van D door naar B.

Het aantal manieren is dan 3 × 2 + 2 × 1 = 8.

Opgave 7

Bekijk het wegendiagram bij Voorbeeld 3 op pagina 9. Je kunt van C naar D via A of via B, in A en in B moet je dan overstappen.

a Op hoeveel manieren kun je van C naar D via A?

(12)

b Op hoeveel manieren kun je van C naar D via B?

c Op hoeveel manieren kun je van C naar D?

d Hoe heb je hierbij gebruik gemaakt van de vuistregels beschreven in het voorbeeld?

Opgave 8

Bij de PINcode gaat het om een code van vier cijfers (0, 1, 2, .., 9). Ga er van uit dat voor elk cijfer waaruit de PINcode bestaat alle mogelijkheden zijn toegestaan.

a Hoe bereken je met een wegendiagram hoeveel codes van vier cijfers er mogelijk zijn?

b Als het eerste cijfer geen 0 is, hoeveel PINcodes zijn er dan nog mogelijk?

Van je PINcode weet je alleen nog dat de cijfers 1, 7 en 7 erin voorkomen in die volgorde. Het vierde cijfer (voorgesteld door een *) is geen 1 en geen 7, en de plaats er van is niet duidelijk. Mogelijke PINcodes zien er dan zo uit: 1 7 7 * of 1 7 * 7 of 1 * 7 7 of * 1 7 7.

c Hoeveel PINcodes zijn er mogelijk op die manier?

Verwerken

Opgave 9

Een toets bestaat uit 6 meerkeuzevragen. Op elke meerkeuzevraag kun je uit vier antwoorden kiezen;

er is telkens maar één antwoord goed.

a Geef in een wegendiagram alle mogelijkheden weer.

b Hoeveel mogelijke series antwoorden zijn er?

c Je hebt de toets goed voorbereid en je weet 4 antwoorden zeker. Hoeveel mogelijke series antwoorden zijn er nu nog?

d Als je alleen let op ’goed’ of ’fout’, hoveel series antwoorden zijn dan mogelijk?

Opgave 10

Om het cijferslot van een koﬀer open te krijgen moet je een code van vier cijfers onthouden.

a Je weet alleen het eerste cijfer nog. Hoeveel mogelijke codes zijn er dan nog?

b Je weet alle vier de cijfers nog, maar de volgorde niet meer. Hoeveel mogelijke codes zijn er?

Opgave 11

Je werpt met drie gewone dobbelstenen.

a Geef in een wegendiagram alle mogelijke uitkomsten weer.

b Waarom is een boomdiagram niet zo geschikt in dit geval?

c Bij hoeveel mogelijke uitkomsten heb je precies één zes?

d Bij hoeveel mogelijke uitkomsten heb je twee zessen?

e Bij hoeveel mogelijke uitkomsten heb je drie zessen?

f Bij hoeveel mogelijke uitkomsten heb je minstens twee zessen?

g Bij hoeveel mogelijke uitkomsten heb je hoogstens twee zessen?

(13)

Opgave 12

Je bestelt een pizza bij Mario. Je hebt keuze uit een kleine pizza, een gewone pizza en een extra grote pizza. Er zijn twee soorten pizzabodem: de "pizza crossa" en de "pizza classico". Verder zijn er 12 verschillende smaken.

Je kunt de pizza zelf halen of je kunt hem laten bezorgen.

a Uit hoeveel verschillende pizza’s kun je bij Mario kiezen?

b Hoeveel keuzemogelijkheden heb je in totaal als je een pizza van Mario wilt eten?

c Je houdt niet van vis. Daarom vallen er 5 smaken af. Uit hoeveel verschillende pizza’s kun je nu nog kiezen?

Opgave 13

Een fruitautomaat heeft drie vensters waarachter banden met plaatjes draaien. Op elke band staan 20 plaatjes en je brengt ze in beweging door aan een hendel te trekken. Eén druk op de knop en de banden stoppen. Zie je nu drie dezelfde plaatjes dan win je een bepaald bedrag. Van de plaatjes is per band het aantal op die band als volgt aangegeven:

a Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?

b Op hoeveel manieren kun je drie keer BAR krijgen?

c Op hoeveel manieren kun je drie keer ’sinaasappel’ krijgen?

d Op hoeveel manieren kun je drie keer ’twee kersen’ krijgen?

e Hoeveel winstmogelijkheden zijn er?

Testen

Opgave 14

Op vakantie naar de zon neem je vooral luchtige kleding mee. Bijvoorbeeld: 2 paar schoenen, 6 paar sokken, 4 korte broeken en 5 shirts.

a Teken een wegendiagram van alle mogelijke combinaties van schoenen, sokken, broek en shirt.

b Op hoeveel verschillende manieren kun je je zomers kleden?

c Op het strand heb je geen sokken en schoenen aan. Op hoeveel verschillende manieren kun je daar luchtig gekleed vertoeven?

(14)

Opgave 15

Voor cilindersloten worden verschillende soorten sleutels gemaakt. De sleutel die je hier ziet bestaat uit zes gedeelten.

Voor elk gedeelte wordt één van de patronen A, B of C gekozen.

Hoeveel verschillende sleutels van deze soort zijn er mogelijk?

Opgave 16

Een deelnemer aan een tv-quiz krijgt vier kaarten met op ieder een naam van een populaire zangeres.

Zijn opdracht is om deze kaarten onder de foto’s van deze zangeressen te hangen, de juiste naam bij elke foto. Deze deelnemer kent geen van de vier zangeressen en besluit op goed geluk de kaarten neer de hangen.

a Geef in een boomdiagram alle mogelijkheden weer.

b Hoeveel mogelijkheden heeft hij in totaal?

c Op hoeveel manieren heeft hij één kaart goed?

(15)

1.2 Herhaling of niet

Inleiding

Bij het systematisch tellen heb je tot nu toe vooral gewerkt met diagrammen. Eigenlijk gaat dat alleen als het aantal mogelijkheden niet al te groot is. Want gooi je bijvoorbeeld met drie of meer dobbelstenen, dan wordt het aantal even waarschijnlijke uitkomsten al snel zo groot, dat een boomdiagram niet meer te maken is. Wegendiagrammen zijn dan nog wel te maken, maar daarin kun je niet gemakkelijk de afzonderlijke mogelijkheden zien. Kortom: tijd voor het werken aan telsystemen. Daarbij is als eerste belangrijk om onderscheid te maken tussen situaties met herhaling en situaties zonder herhaling.

> werken met machten als je mogelijkheden telt in situaties waarin herhaling optreedt;

> werken met permutaties als je mogelijkheden telt in situaties waarin steeds een mogelijkheid wordt afgestreept.

Voorkennis

> werken met tabellen en diagrammen om mogelijkheden te tellen.

Verkennen

Opgave 1

Gironummers en banknummers bestaan uit een groot aantal cijfers. Neem eens aan dat elk gironummer uit 7 cijfers bestaat en dat op elke positie elk cijfer kan voorkomen.

> Hoeveel gironummers kun je zo maken?

> Het eerste cijfer mag geen 0 zijn. Hoeveel gironummers kun je nu nog maken?

> Hoeveel gironummers zijn er met allemaal verschillende cijfers?

a Hoeveel gironummers kun je zo maken?

b Het eerste cijfer mag geen 0 zijn. Hoeveel gironummers kun je nu nog maken?

c Hoeveel gironummers zijn er met allemaal verschillende cijfers?

Uitleg

Stel je voor dat je wilt berekenen hoeveel verschillende pincodes mogelijk zijn.

De eerste vraag die je kunt stellen: mag ik cijfers herhalen of niet?

Als bij de pincode (van 4 cijfers) herhaling van de cijfers is toegestaan, dan kun je de situatie weergeven in dit wegendiagram:

Het aantal mogelijkheden is: 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴

Hier bereken je het aantal mogelijkheden met behulp van machten.

Dat komt omdat je cijfers mag herhalen.

Maar als je allemaal verschillende cijfers wilt hebben...

Als bij de pincode van 4 cijfers herhaling van cijfers niet is toegestaan dan ziet het wegendiagram met alle mogelijkheden er zo uit:

(16)

Het aantal mogelijkheden is: 10 × 9 × 8 × 7 = 5040

Omdat het berekenen van dergelijke aﬂopende vermenigvuldigin- gen nogal tijdrovend is, hebben wiskundigen daarvoor het begrip faculteit ingevoerd.

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 wordt 10 faculteit genoemd en genoteerd als 10!.

Je rekenmachine beschikt over een functie om faculteiten te berekenen.

Controleer maar eens dat 10! = 3628800.

Ga ook na dat: 6! = 720, dat 1! = 1 en dat 0! = 1.

Je kunt 10 × 9 × 8 × 7 als volgt uitrekenen met behulp van faculteiten:

10 × 9 × 8 × 7 =10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 =^10!_6!

Ga na, dat dit inderdaad 5040 oplevert.

Het werken met faculteiten is vooral handig als het om grote aantallen gaat.

Opgave 2

Bekijk beide pagina’s van de Uitleg op pagina 13.

Je hebt zes verschillende gekleurde kaartjes. Op die kaartjes wil je de letters A, B, C, D, E en F zetten.

a Op hoeveel manieren kan dat als je op meerdere kaartjes dezelfde letter toelaat?

b Op hoeveel manieren kan dat als elk kaartje een verschillende letter moet krijgen?

Opgave 3

Nu gebruik je alle 26 letters van het alfabet. En je hebt nog steeds 6 verschillend gekleurde kaartjes.

a Op hoeveel manieren kun je er letters op zetten als je op meerdere kaartjes dezelfde letter toelaat?

b Op hoeveel manieren kun je er letters op zetten als elk kaartje een verschillende letter moet krijgen?

Theorie en voorbeelden

Als je 4 elementen kiest uit 10 beschikbare elementen en herhaling is toegestaan dan heb je 10⁴mogelijkheden.

Als je 4 elementen kiest uit 10 beschikbare elementen en herhaling is niet toegestaan dan heb je 10 × 9 × 8 × 7 mogelijkheden. Dit heet het aantal permutaties van 4 uit 10 elementen.

Als herhaling niet is toegestaan, dan krijg je te maken met vermenigvuldiging van een rij getallen die steeds met één verminderd. De vermenigvuldiging van de aﬂopende rij opeenvolgende getallen 10 tot en met 1 wordt 10-faculteit genoemd.

(17)

Dit schrijf je als 10!, dus 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Afgesproken is dat 0! = 1.

De rekenmachine heeft een functie om faculteiten te berekenen.

Bij permutaties heb je ook te maken met een aﬂopende rij opeenvolgende getallen. Alleen stopt die rij niet altijd bij 1.

Je rekenmachine heeft een speciale functie om permutaties als 10⋅9⋅8⋅7 = 5040 te berekenen.

Voorbeeld 1

In Nederland bestaat een bepaalde categorie kentekenplaten (op auto’s) uit twee cijfers gevolgd door vier letters. Neem aan dat alle letters en cijfers mogen worden gebruikt.

Hoeveel kentekens kun je dan maken, als herhaling van letters en cijfers is toegestaan?

Dit kun je berekenen met machten. Voor elk kenteken heb je twee cijfers nodig en er zijn 10 verschillende cijfers. Je hebt dan totaal 10²= 100 verschillende mogelijkheden.

Voor elk kenteken heb je vier letters nodig en er zijn 26 verschillende letters. Je hebt 26⁴ = 456976 verschillende mogelijkheden voor de letters.

In totaal zijn er dus 10²⋅ 26⁴= 45697600 mogelijke kentekenplaten.

Dat is meer dan 45 miljoen!

(In werkelijkheid zijn het er minder omdat niet alle letters worden gebruikt en sommige letters alleen voor speciale voertuigen, zie ook bij de site van de RijksDienst Wegverkeer.)

Opgave 4

Zie Voorbeeld 1 op pagina 15.

Nummerborden van een bepaalde generatie auto’s bestaan uit twee letters, weer twee letters en tenslotte twee cijfers. Bijvoorbeeld DB-TR-69. De letters I, O en Q worden niet gebruikt. Ga ervan uit dat verder alle letters en alle cijfers kunnen worden gebruikt.

Hoeveel van deze nummerborden zijn er dan mogelijk?

Voorbeeld 2

In Nederland bestaat een bepaalde categorie kentekenplaten (op auto’s) uit twee cijfers gevolgd door vier letters. Neem aan dat alle letters en cijfers mogen worden gebruikt.

Dit kenteken kent allemaal verschillende tekens, hoeveel van die nummerborden zijn er?

In het voorgaande voorbeeld kun je zien dat er 10²⋅ 26⁴= 45697600 kentekenplaten mogelijk zijn als de tekens ook mogen worden herhaald.

Mogen de tekens niet worden herhaald, dan zijn dat er 10 ⋅ 9 ⋅ 26 ⋅ 25 ⋅ 24 ⋅ 23 = 32.292.000.

Opgave 5

Zie Voorbeeld 2 op pagina 15. Nummerborden van een bepaalde generatie auto’s bestaan uit twee letters, weer twee letters en tenslotte twee cijfers. Bijvoorbeeld DB-TR-69. De letters I, O en Q worden niet gebruikt. Ga ervan uit dat verder alle letters en alle cijfers kunnen worden gebruikt.

Hoeveel van deze nummerborden zijn er mogelijk als je geen letters en cijfers mag herhalen?

(18)

Voorbeeld 3

Tijdens de ﬁnale van de 100 meter hardlopen op de Olympische Spelen strijden 8 lopers om 3 medailles.

De lopers zijn allemaal topatleten. Je neemt aan dat ze volkomen gelijkwaardig zijn.

Op hoeveel manieren kunnen de medailles worden verdeeld?

Stel je een wegendiagram voor. Voor de eerste positie zijn 8 mogelijke kandidaten, voor de tweede dan nog 7 en voor de derde nog 6.

Er zijn 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336 mogelijke uitslagen.

Dit is het aantal mogelijke permutaties van 3 elementen uit 8 elementen.

Je graﬁsche rekenmachine kent hiervoor een speciale functie.

Opgave 6

Uit een aanbod van 40 boeken moet een jury nummer 1, nummer 2 en nummer 3 kiezen. Bekijk Voor- beeld 3 op pagina 16.

Wanneer de jury op goed geluk deze boeken uitkiest, zonder verder naar de inhoud te kijken, hoeveel verschillende keuzes zijn er dan mogelijk?

Opgave 7

Lees in de Theorie op pagina 14na hoe je rekenmachine permutaties kan berekenen. Let goed op het verschil tussen beide.

a Bereken het aantal permutaties van 10 elementen (dus van 10 uit de 10).

b Wat versta je onder het aantal permutaties van 3 uit 10 elementen? Bereken dat aantal.

c Hoeveel bedraagt het aantal permutaties van 5 uit 100 elementen?

Opgave 8

Je maakt getallen met de cijfers 4, 5, 6, 7 en 8.

a Je maakt getallen van vijf cijfers. Hoeveel getallen zijn er mogelijk?

b Je maakt getallen van vijf verschillende cijfers. Hoeveel getallen zijn er mogelijk?

c Je maakt getallen van drie cijfers. Hoeveel getallen zijn er mogelijk?

d Je maakt getallen van drie verschillende cijfers. Hoeveel getallen zijn er mogelijk?

e Je maakt getallen van vijf cijfers boven de 65000. Hoeveel kun je er maken?

f Je maakt getallen van vijf verschillende cijfers boven de 65000. Hoeveel kun je er maken?

(19)

Verwerken

Opgave 9

In Nederland bestaat de postcode uit vier cijfers, gevolgd door twee letters. Neem aan dat alle cijfers op elk van die vier plaatjes mogelijk zijn. Neem ook aan dat elke letter op elk van die twee plaatsen mogelijk is.

Hoeveel postcodes zijn er dan in Nederland in totaal mogelijk?

Opgave 10

De tekens van een graﬁsche rekenmachine bestaan uit puntjes: elk teken past in een rechthoekje van 5 bij 7 puntjes. Een teken wordt gemaakt door deze puntjes ’aan’ of ’uit’ te zetten.

Hoeveel tekens zijn er zo in principe mogelijk?

Opgave 11

Aan de herenﬁnale op de steeple-chase doen bij de Olympische Spelen 15 mannen mee. De nummers 1, 2 en 3 komen op het erepodium.

Op hoeveel manieren kunnen die ereplaatsen theoretisch worden verdeeld?

Opgave 12

Een groep van acht personen heeft kaartjes voor een concert gekocht. Ze zitten alle acht naast elkaar op één rij.

a Hoeveel verschillende volgordes zijn er mogelijk?

b Eén van de acht wil per sé de buitenste van de groep zijn. Op hoeveel verschillende manieren kunnen ze nu nog zitten?

c Twee personen willen per sé naast elkaar zitten. Hoeveel verschillende volgordes zijn er nu nog mogelijk?

Opgave 13

Je werpt met vier dobbelstenen. Je let op het totaal aantal ogen.

Op hoeveel manieren kun je 23 of meer ogen gooien?

Testen

Opgave 14

Je maakt getallen van vijf cijfers.

a Hoeveel verschillende getallen zijn er mogelijk als ieder cijfer op elke positie is toegestaan?

b Hoeveel verschillende getallen zijn er mogelijk als de getallen niet met 0 mogen beginnen?

c Hoeveel van die getallen zijn er nog mogelijk als alle cijfers verschillend moeten zijn?

d Hoeveel getallen zijn er met vijf verschillende cijfers en boven de 43000?

(20)

Opgave 15

Een toets bestaat uit 30 meerkeuzevragen. Op elke meerkeuzevraag kun je uit vier antwoorden kiezen;

er is telkens maar één antwoord goed.

a Hoeveel mogelijke series antwoorden zijn er?

b Je hebt de toets goed voorbereid en je weet 24 antwoorden zeker; de rest moet je gokken. Hoeveel mogelijke series antwoorden zijn er dan nog?

Opgave 16

In de lottomachine zitten balletjes met de nummers 1 tot en met 41. Er worden één voor één zes balletjes uitgehaald. Het eerst getrokken balletje valt in het eerste bakje, het tweede in het tweede bakje, enzovoorts.

a Hoeveel verschillende trekkingen zijn er dan mogelijk?

b Hoeveel van deze trekkingen leveren dezelfde zes getrokken ballen op?

(21)

1.3 Combinaties

Inleiding

Je hebt kennis gemaakt met systematisch tellen, zowel met behulp van diagrammen als met behulp van machten en permutaties. Het aantal permutaties van 3 uit 8 is het aantal manieren om drie verschillende elementen uit een totaal van 8 te halen. Maar vaak heb je niet allemaal verschillende elementen, maar groepjes dezelfde elementen. Daar gaat het nu over...

> het verschil onderscheiden tussen permutaties en combinaties;

> het aantal combinaties van u� uit u� elementen berekenen.

Voorkennis

> werken met tabellen en diagrammen om mogelijkheden te tellen;

> machten en permutaties toepassen bij telproblemen met of zonder herhaling.

Verkennen

Opgave 1

Acht hardlopers doen mee aan een wedstrijd over 100 meter. Ga ervan uit dat hun volgorde van aan- komst uitsluitend van het toeval afhangt.

a Op hoeveel manieren kunnen deze acht hardlopers als eerste, als tweede en als derde aankomen?

b De eerste drie gaan door naar de volgende ronde. Hoeveel mogelijke drietallen zijn dat?

Uitleg

Bij de Olympische Spelen is de 100 m hardlopen een vast onderdeel. In de ﬁnale starten 8 lopers A, B, C, D, E, F, G en H. Ze strijden om goud, zilver of brons. Stel je voor dat alle lopers gelijkwaardig zijn en een even grote kans maken op de medailles.

Hoeveel mogelijke lijstjes met drie medaillewinnaars kun je dan maken?

Het gaat hier om het aantal permutaties van 3 uit 8: 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = ^8!_5! = 336 mogelijkheden.

In de voorrondes is het niet belangrijk of je nummer 1, nummer 2 of nummer 3 bent: de eerste drie gaan door naar de volgende ronde. De lijstjes BDG, BGD, DBG, GBD, DGB en GDB hebben dan allemaal hetzelfde resul- taat. Die tellen dan dus niet als afzonderlijke mogelijkheden, maar vormen samen één mogelijkheid.

En dat geldt ook voor alle andere drietallen: de volgorde binnen die drietallen is niet belangrijk en die 3!

volgordes tellen telkens maar als één mogelijkheid mee. Dit betekent dat er geen 336 mogelijke lijstjes zijn, maar slechts 336 gedeeld door 3!.

(22)

Je spreekt dan van het aantal combinaties van 3 uit 8.

Je schrijft het als (8 3).

Je rekent het aantal combinaties van 3 uit 8 zo uit: (8

3) = ^8⋅7⋅6_3! = 56 mogelijkheden.

De rekenmachine heeft ook hiervoor een speciale functie.

Opgave 2

Bestudeer de Voorbeeld op pagina 19. Bekijk goed wat je verstaat onder het aantal combinaties van 3 uit 8.

a Wat is het kenmerkende verschil tussen de ﬁnale en de voorrondes?

b Waarom werk je in de voorrondes met combinaties als je alle mogelijke eindresultaten wilt berekenen?

c Bereken zelf met de hand het aantal combinaties van 3 uit 8.

d Bekijk bij Practicumhoe je dit met de graﬁsche rekenmachine kunt uitrekenen.

e Bereken eerst met de hand het aantal combinaties van 3 uit 100. Controleer het antwoord met de GR.

Theorie en voorbeelden

Als je 3 verschillende elementen kiest uit 8 beschikbare dan heb je^8!_3! mogelijkheden.

Dit heet het aantal permutaties van 3 elementen uit 8 elementen.

Als je 3 elementen kiest uit 8 beschikbare en hun onderlinge volgorde is NIET van belang dan heb je (8

3) =^8⋅7⋅6_3! mogelijkheden.

Dit heet het aantal combinaties van 3 elementen uit 8 elementen.

Voorbeeld 1

In een klas van 24 personen wordt door loting een groep van 4 personen samengesteld. Deze vier personen krijgen elk een andere taak.

Op hoeveel manieren kan dit als er per taak wordt geloot?

En op hoeveel manieren kan dit als deze vier personen pas na de loting hun taken onderling verdelen?

(23)

WISKUNDE A TWEEDE FASE HAVO > STATISTIEK EN KANSREKENING > TELLEN

Nu is de volgorde in de groep die wordt geloot van belang: ben je als eerste ingeloot dan heb je een andere taak dan wanneer je als tweede, of derde of vierde wordt ingeloot.

Het gaat nu dus om het aantal permutaties van 4 uit 24.

Er zijn daarom 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 = 255024 mogelijkheden.

Nu is de volgorde in de groep die wordt geloot niet van belang: ze verdelen pas na de loting onderling hun taken.

Het gaat nu dus om het aantal combinaties van 4 uit 24.

Er zijn daarom (24

4) = 24⋅23⋅22⋅21

4! = 23 ⋅ 22 ⋅ 21 = 10626 mogelijkheden.

Opgave 3

Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 20. Vergelijk de verschillen tussen de antwoorden op de twee vragen!

Je hebt een groep van 20 personen, 8 mannen en 12 vrouwen.

a Uit de groep van 20 worden door loting vijf personen gehaald. Elk van hen krijgt een bepaalde opdracht.

Op hoeveel manieren kan dat als ze de opdrachten na de loting onderling verdelen?

b Uit de groep van 20 worden door loting vijf personen gehaald. Elk van hen krijgt een bepaalde opdracht.

Op hoeveel manieren kan dat als er per opdracht wordt geloot?

Voorbeeld 2

Uit een groepje van 5 meisjes en 4 jongens kies je door loting een drietal.

Hoeveel mogelijkheden zijn er als daar daar minstens 2 meisjes bij zijn?

Minstens 2 meisjes betekent dat er 2 meisjes of 3 meisjes bij moeten zijn.

Als er precies 2 meisjes bij moeten zijn, dan kun je bijvoorbeeld eerst 2 van de 5 meisjes kiezen en vervolgens 1 van de 4 jongens.

De 2 meisjes kies je op (5

2) = 10 manieren.

Bij elk van deze 10 mogelijkheden zijn er nog eens (4

1) = 4 mogelijke keuzes voor één jongen.

Dus zijn er in totaal 10 ⋅ 4 = 40 mogelijkheden om precies 2 meisjes te kiezen.

Als er precies 3 meisjes bij moeten zijn, hoef je alleen maar 3 van de 5 meisjes te kiezen.

Dat kun je op (5

3) = 10 manieren doen.

In totaal zijn er dus 40 + 10 = 50 manieren om minstens 2 meisjes te kiezen.

Opgave 4

Bekijk nu Voorbeeld 2 op pagina 21.

a Reken zelf de in het voorbeeld gevraagde kans nog eens na.

b Op hoeveel manieren kun je door loting uit een groep van 20 met 8 mannen en 12 vrouwen een groep van vijf samenstellen die bestaat uit 3 mannen en 2 vrouwen?

(24)

c Op hoeveel manieren kun je door loting uit een groep van 20 met 8 mannen en 12 vrouwen een groep van vijf samenstellen die bestaat uit hoogstens 3 mannen?

Opgave 5

Ga uit van een systeem met 7 schakelaars die allemaal ’aan’ of ’uit’ kunnen staan.

a Op hoeveel manieren kun je 0 van de 7 schakelaars aanzetten?

b Op hoeveel manieren kun je 1 van de 7 schakelaars aanzetten?

c Op hoeveel manieren kun je 2 van de 7 schakelaars aanzetten?

d Het aantal manieren om 3 van de 7 schakelaars aan te zetten is gelijk aan het aantal manieren om er 4 van de 7 aan te zetten. Leg uit waarom dat zo is.

Opgave 6

Stel je voor dat er 30 schakelaars zijn (die 30 toneellampen bedienen), waarmee je de belichting op een podium kunt regelen. Voor een bepaalde scène moeten er vier van de 30 worden aangezet. Neem eerst aan dat de volgorde waarin ze worden aangezet wel van belang is.

a Op hoeveel manieren kun je de eerste schakelaar kiezen?

b Op hoeveel manieren kun je vier schakelaars kiezen?

Stel je nu voor dat het niet van belang is in welke volgorde de schakelaars worden aangezet, alleen maar welke vier er ’aan’ staan.

c Je moet voor een bepaalde scène de schakelaars 𝑆5, 𝑆7, 𝑆8 en 𝑆9 gebruiken. Op hoeveel verschillende manieren kun je die schakelaars nog ’aan’ zetten?

d Hoe kun je met behulp van de antwoorden op de vragen bij b en c berekenen op hoeveel manieren je vier schakelaars uit de 30 kunt kiezen als de volgorde niet belangrijk is?

e Op hoeveel manieren kun je 6 schakelaars kiezen uit de 30 als de volgorde niet belangrijk is?

Opgave 7

Voor je literatuurlijst moet je uit 40 literaire boeken en 15 thrillers er tien kiezen.

a Op hoeveel manieren kan dat als er verder geen eisen aan je lijst worden gesteld?

b Op hoeveel manieren kan dat als er maximaal 3 thrillers mogen worden gekozen?

Verwerken

Opgave 8

Iemand moet 10 vragen met ’ja’ of ’nee’ beantwoorden.

a Hoeveel lijsten met antwoorden zijn er mogelijk met precies drie keer ’ja’?

b Hoeveel lijsten met antwoorden zijn er mogelijk met precies 9 keer ’ja’?

c Hoeveel lijsten met antwoorden zijn er in totaal mogelijk?

(25)

Opgave 9

Je gooit met vijf verschillende geldstukken en je let op het aantal keren ’kop’.

a Hoeveel verschillende uitkomsten zijn er mogelijk?

b Hoeveel mogelijke uitkomsten met precies twee keer ’kop’ zijn er?

c Je gooit nu met 50 geldstukken. Op hoeveel manieren kun je 20 keer ’kop’ werpen?

Opgave 10

Voor een schaaktoernooi hebben zich 24 deelnemers gemeld. Ze spelen een halve competitie, dus elke deelnemer speelt precies één maal tegen iedere andere deelnemer. Het aantal wedstrijden kan nu worden berekend met behulp van combinaties.

Leg uit waarom dat zo is en bereken het aantal te spelen wedstrijden.

Opgave 11

Een groep bestaat uit 14 meisjes en 12 jongens. Er wordt een groepje van vier door loting uitgekozen.

a Als het groepje uitsluitend uit meisjes moet bestaan, hoeveel verschillende groepjes zijn er dan mogelijk?

b Beantwoord dezelfde vraag als het groepje uit twee jongens en twee meisjes moet bestaan.

Opgave 12

Op hoeveel manieren kunnen 8 verschillende boeken op een rij op een boekenplank worden geplaatst als

a iedere volgorde is toegestaan?

b de drie wiskundeboeken bij elkaar moeten staan?

c de twee woordenboeken op het eind van de rij naast elkaar moeten staan?

d er drie boeken worden uitgekozen om te worden gekaft en dan aan het eind te worden gezet?

Opgave 13

Je werpt met drie dobbelstenen en let op het aantal ogen dat boven komt.

a Hoeveel verschillende uitkomsten zijn er mogelijk?

b Je kunt op verschillende manieren 12 ogen gooien. Bijvoorbeeld door driemaal 4 te gooien, maar ook door een 6 en tweemaal 3 te gooien.

Hoeveel mogelijkheden zijn er om 12 ogen te gooien?

Opgave 14

Op een scholengemeenschap bestaat de medezeggenschapsraad uit 18 personen: 9 personeelsleden en 9 ouders en/of leerlingen. Die medezeggenschapsraad kiest een dagelijks bestuur van vier personen.

a Op hoeveel manieren kan dat als er verder geen eisen aan dat dagelijks bestuur worden gesteld?

b Op hoeveel manieren kan dat als er evenveel personeelsleden als ouders en/of leerlingen in moeten zitten?

c Op hoeveel manieren kan dat als eerst de voorzitter, dan de vice-voorzitter, vervolgens de secretaris en tenslotte de penningmeester in functie worden gekozen?

(26)

Testen

Opgave 15

Een volleybalteam bestaat uit 12 spelers. De coach bepaalt welke spelers worden opgesteld en op welke van de zes posities in het veld.

a Als alle spelers even sterk zijn en op elke positie kunnen spelen, op hoeveel manieren kan de coach dan een team van zes samenstellen?

b Als hij dat team heeft samengesteld, hoeveel verschillende beginopstellingen kan hij dan nog maken?

Opgave 16

Een klas bestaat uit 26 leerlingen.

a Op hoeveel manieren kun je al die leerlingen op een rij zetten?

b Op hoeveel manieren kun je 5 van de 26 leerlingen op een rij zetten?

c Op hoeveel manieren kun je een groepje van 5 uit de 26 kiezen?

d Er zitten 10 meisjes in deze klas. Op hoeveel manieren kun je een groepje van 5 leerlingen kiezen als daar precies twee meisjes in moeten voorkomen?

(27)

1.4 De driehoek van Pascal

Inleiding

Sommige moderne steden hebben een heel regelmatig rechthoekig stratenplan. Steden als Chicago, Denver en ook Manhattan in New York kennen zo’n plattegrond. Je kunt dan op verschillende manieren van het éne punt naar het andere gaan zonder dat je er langer over doet of omwegen maakt. Hoeveel routes kun je kiezen?

> mogelijke routes zonder omwegen tellen in een rooster;

> de driehoek van Pascal gebruiken.

Voorkennis

> werken met tabellen en diagrammen om mogelijkheden te tellen;

> machten en permutaties toepassen bij telproblemen met of zonder herhaling;

> permutaties en combinaties toepassen bij het kiezen van u� elementen uit u� elementen.

(28)

Verkennen

Opgave 1

In de Inleiding op pagina 25zie je een stratenplan van het centrum van Denver, een grote stad in de USA.

Je staat op Larimer Square op de hoek van Larimer Street en 15th Street.

Je hotel is Hyatt Regency.

Uit hoeveel even lange routes (zonder omwegen) kun je kiezen?

Uitleg

In de ﬁguur bij Inleiding op pagina 25zie je een stukje plattegrond van Denver, USA. Je wilt van de hoek van Larimer Street en 15th Street naar de Wynkoop Brewing Co, op de hoek van 18th Street en Wynkoop Street. Hoeveel even lange routes (zonder omwegen) kun je kiezen?

Hieronder zie je een vereenvoudigde vorm van de plattegrond: 4 blokken West en 3 blokken Noord.

Ernaast zie je hoe je ze kunt tellen. Het aantal routes in een punt is telkens het aantal routes dat in het punt eronder en dat er rechts naast bij elkaar komt opgeteld.

In dit geval kun je het aantal routes wel sneller berekenen. Het zijn namelijk allemaal rijtjes van het type WNWWNWN waarin W een blok naar het Westen en N een blok naar het Noorden voorstelt. Je kiest daarbij 3 posities uit de 7 mogelijke posities om een N neer te zetten. Het aantal manieren is: (7

3) = 35 mogelijkheden.

Opgave 2

In de Uitleg op pagina 26zie je hoe je het aantal manieren kunt tellen om in Denver van de hoek van Larimer Street en 15th Street naar de Wynkoop Brewing Co te komen.

a Bekijk de vraag bij Verkennen 1 op pagina 26. Teken een daarbij passend rooster. Laat door tellen in dit rooster zien op hoeveel manieren je van Larimer Square naar het Hyatt Regency kunt komen.

b Op hoeveel manieren kun je van Larimer Square (hoek Larimer Street en 15th Street) naar het kruispunt van Arapahoe Street en 20th Street?

Opgave 3

Op hoeveel manieren kun je van Larimer Square (hoek Larimer Street en 15th Street) naar het kruispunt van Arapahoe Street en 20th Street via het Hyatt Regency?

(29)

Theorie en voorbeelden

Hier zie je een rooster van 6 bij 3. Er zijn in elk roosterpunt twee keuzes: je gaat richting ‘wel’ of richting ‘niet’.

Je kunt het aantal routes zonder omwegen tellen van het punt linksonder naar dat rechtsboven.

Elke route (zonder omwegen en vanaf linksonder) bestaat uit een rijtje als NWNNWNWNN, 3 keer ‘wel’ en 6 keer ‘niet’.

Het aantal routes naar een punt is telkens het aantal routes dat in het punt eronder en dat er links naast bij elkaar komt opgeteld.

Het is de som van de routes van de twee voorgangers.

Je kunt dat in de ﬁguur gemakkelijk natellen als je bedenkt dat je (kortste routes) alleen naar rechts en omhoog kunt bewegen over de roosterlijnen.

Dit telpatroon staat bekend als de driehoek van Pascal.

Je kunt het aantal rijtjes NWNNWNWNN ook tellen met behulp van combinaties.

Je moet dan 3 uit de 9 posities kiezen om een W neer te zetten, daarbij speelt volgorde binnen het groepje van 3 W’s geen rol. (En binnen het groepje N’en ook niet.)

Je vind dan (9

3) = 84 mogelijkheden.

Voorbeeld 1

Hoeveel mogelijke routes (zonder omwegen) zijn er van 𝑂 naar 𝑃?

En hoeveel daarvan gaan langs punt 𝐴?

Je kunt het aantal routes van 𝑂 naar 𝑃 tellen met de driehoek van Pascal.

Je kunt ook werken met combinaties:

het aantal routes is (9 6) = 84.

Ook de routes langs 𝐴 kun je tellen met de driehoek van Pascal.

Bedenk dan wel dat de roosterpunten rechts van 𝐴 geen routes van onder af erbij krijgen en dat de roosterpunten boven 𝐴 geen routes van links erbij krijgen (anders maak je omwegen).

Ook nu gaat het sneller met combinaties:

> het aantal routes van 𝑂 naar 𝐴 is (5 3) = 10

> en het aantal routes van 𝐴 naar 𝑃 is (4 3) = 4

> Het aantal routes via 𝐴 is 10 ⋅ 4 = 40.

(30)

Opgave 4

Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 27en dan het rooster hiernaast.

a Hoeveel kortste routes zijn er van 𝐴 naar 𝐵?

b Hoeveel kortste routes zijn er van 𝐴 naar 𝑃? En van 𝑃 naar 𝐵?

c Hoeveel kortste routes zijn er van 𝐴 naar 𝐵 via 𝑃?

Opgave 5

Ga uit van een systeem met 7 schakelaars die allemaal ‘aan’ of ‘uit’ kunnen staan.

a Teken een bijpassend rooster om in te tellen.

b Laat in het rooster zien op hoeveel manieren je 0 van de 7 schakelaars kunt aanzetten.

c Op hoeveel manieren kun je 1 van de 7 schakelaars aanzetten?

d Op hoeveel manieren kun je 2 van de 7 schakelaars aanzetten?

e Je hebt de eerste drie schakelaars aangezet. Op hoeveel manieren kun je er nu nog 2 van de resterende 4 aanzetten?

Voorbeeld 2

Hoeveel mogelijke routes (zonder omwegen) zijn er van 𝑃 naar S?

Je hebt vast wel gezien dat er tussen twee roosterpunten geen weg is.

Dus gewoon even het aantal combinaties van 5 uit 9 uitrekenen levert nu niet het goede antwoord...

Je kunt nu eigenlijk alleen maar het aantal routes uittellen met behulp van het telsysteem van de driehoek van Pascal.

Let goed op wat er in de roosterpunten bij de ontbrekende weg gebeurt.

(31)

Opgave 6

Bekijk nu Voorbeeld 2 op pagina 28.

Op hoeveel manieren kun je in dit rooster van 𝐴 naar 𝐵?

Voorbeeld 3

Als je met 5 geldstukken werpt dan zijn er nogal wat mogelijkheden.

Er kan bijvoorbeeld 5 keer "munt" boven liggen, maar dat kan ook 2 keer zijn (of nog wat anders) en dit kan telkens andere geldstukken betreﬀen. Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?

Zo vind je alle 32 mogelijkheden:

> 5 keer M en 0 keer K: (5

5) = 1 mogelijkheid (MMMMM)

4) = 5 mogelijkheden (MMMMK, MMMKM, MMKMM, etc.)

3) = 10 mogelijkheden (MMMKK, MMKMK, MKMMK, etc.)

2) = 10 mogelijkheden (MMKKK, MKKMK, KKMMK, etc.)

1) = 5 mogelijkheden (MKKKK, KKKMK, KKMMK, etc.)

0) = 1 mogelijkheid (KKKKK) Een simpel wegendiagram is nu veel handiger.

Elke munt heeft namelijk 2 mogelijkheden, K of M.

Bij 6 munten zijn er dus in totaal 2⁵= 32 mogelijkheden.

Opgave 7

Bekijk Voorbeeld 3 op pagina 29.

Teken hierbij een rooster om in te tellen. Geef er in aan hoe je het aantal mogelijkheden kunt vinden met drie keer ‘munt’.

(32)

Opgave 8

Oudere computers werkten met een 8-bits codesysteem. Elk teken (‘byte’ genoemd) werd daarin voorgesteld door een code van acht nullen en énen. Bijvoorbeeld werd de hoofdletter A (het 65e teken) voorgesteld door: 01000001.

a Hier zie je een byte. Geef het teken aan met nullen en énen in de juiste volgorde.

b Hoeveel bytes zijn er met precies vier nullen?

c Hoeveel bytes zijn er met meer dan vier nullen?

d Hoeveel bytes kun je in totaal maken?

Verwerken

Opgave 9

Je gooit met 10 geldstukken en let op het aantal keren ‘kruis’ dat boven komt.

a Op hoeveel manieren krijg je 3 keer ‘kruis’?

c Op hoeveel manieren krijg je minstens 8 keer ‘kruis’?

d Op hoeveel manieren krijg je hoogstens 8 keer ‘kruis’?

Opgave 10

Het bestuur van een sportclub bestaat uit 6 leden. Als ze vergaderen geven sommigen elkaar vooraf een hand.

a Teken een rooster om alle mogelijkheden te tellen voor iemand die twee willkeurige personen de hand wil schudden.

b Hoeveel mogelijkheden heeft hij?

c Hoeveel mogelijkheden zijn er voor hem in totaal?

Opgave 11

Een vertegenwoordiger moet deze week nog 14 klanten bezoeken. Die klanten zijn allemaal ongeveer even ver van zijn woonplaats verwijderd. Hij besluit de eerste dag bij 4 klanten langs te gaan.

a Op hoeveel manieren kan hij 4 uit de 14 klanten zoeken?

b De tweede dag doet hij maar twee klanten aan, want dan kan hij die dag ook aan zijn administratie werken. Op hoeveel manieren kan hij die uitzoeken?

(33)

Opgave 12

Bij de voetbalwedstrijd Ajax - PEC Zwolle was (lang geleden) de uitslag 6 - 4. Het scoreverloop wordt in de ﬁguur hiernaast weergegeven.

a Schrijf het scoreverloop op door alle tussenstanden achter elkaar te zetten.

b Als je alleen de uitslag weet, hoeveel scoreverlopen zijn dan mogelijk?

c Behalve de einduitslag (6 - 4) weet je ook de stand met de pauze (4 - 1).

Hoeveel scoreverlopen zijn nu nog mogelijk?

Opgave 13

Je ziet hier een tuin met paden en een vijver. Deze plattegrond kun je schematisch weergeven in een rechthoekig rooster, zie de ﬁguur hieronder. Bereken nu met behulp van dit rooster het aantal routes zonder omwegen dat je kunt lopen van de ingang naar de uitgang.

Opgave 14

Je ziet hier het morsealfabet. Elke letter bestaat uit maximaal 4 signalen; elk cijfer bestaat uit precies 5 signalen. Een signaal kan zijn ‘kort’ (aangegeven door - ) of ‘lang’ (aangegeven door −).

a Hoeveel tekens zijn er mogelijk met vijf signalen?

b Hoeveel tekens zijn er mogelijk met maximaal vier signalen?

c Het is ook mogelijk om alle cijfers weer te geven met twee punten en drie strepen. Laat dat zien door alle mogelijkheden systematisch op te schrijven.

(34)

Testen

Opgave 15

Een groep van twaalf personen wordt verdeeld in twee teams van zes. Ze besluiten de verdeling uitsluitend van het toeval te laten afhangen.

Op hoeveel manieren kunnen ze de twee teams samenstellen?

Opgave 16

Speciaal voor blinden en slechtzienden bestaat het Brailleschrift. In het Brailleschrift ontstaat elk teken om van zes mogelijke punten er een aantal in reliëf weer te geven opdat een blinde het aantal en de positie van de punten kan voelen en zo het teken herkennen. Hier zie je het alfabet en de cijfers in Braille.

a Op hoeveel manieren kun je kun je een Brailleteken maken met twee punten in reliëf?

b Op hoeveel manieren kun je kun je een Brailleteken maken met drie punten in reliëf?

c Hoeveel Brailletekens zijn er mogelijk?

d Er zijn Brailletekens die op de kop hetzelfde zijn. Hoeveel Brailletekens met twee punten betreft dit?

Opgave 17

Bepaal in dit rooster het aantal kortste routes van 𝐴 naar 𝐵.

(35)

1.5 Totaalbeeld

Samenvatten

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Tellen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Begrippenlijst

> wegendiagram — boomdiagram — uittellen

> macht — faculteit — permutaties

> combinaties

> driehoek van Pascal

Activiteitenlijst

> mogelijkheden tellen met behulp van diagrammen of uittellen

> machten gebruiken bij herhaling van mogelijkheden faculteiten en permutaties gebruiken

> combinaties gebruiken verschil tussen permutaties en ombinaties herkennen

> combinaties toepassen bij routes in roosters de driehoek van Pascal toepassen

Achtergronden

Hoewel de driehoek van Pascal is genoemd naarBlaise Pascal (1623 - 1662)was deze getallendriehoek al honderden jaren voor zijn geboorte bekend. Waarschijnlijk kende de Chinese geleerde Chia Hsien (omstreeks 1050) de driehoek van Pas- cal al en het is zeker dat de Perzische wetenschapperOmar Khayyam (1048 - 1113)er gebruik van maakte om wortels uit getallen te benaderen. Eén van de eerste weergaves van de driehoek van Pascal is van de Chinees Yang Hui (1261 - 1275).

Pascal schreef er pas over in 1654 in zijn ‘Traité du trian- gle arithmétique’, waarin hij diverse eigenschappen van de getallen in deze driehoek liet zien.

(36)

Testen

Opgave 1

In de Eredivisie spelen 18 voetbalclubs om het landskampioenschap van Nederland. Elk team speelt een keer ‘thuis’ en een keer ‘uit’ tegen elk ander team. Bij winst krijgt een team 3 punten, bij gelijkspel 1 punt en bij verlies 0 punten.

a Uit hoeveel wedstrijden worden er in totaal gespeeld?

b Hoeveel punten kan één team maximaal behalen?

De Toto is een spel waarbij je voetbaluitslagen voorspelt. Bij Toto13 voorspel je van 13 wedstrijden of de thuisclub wint, verliest of gelijkspeelt.

c Hoeveel verschillende Toto13 uitslagen zijn er in totaal mogelijk?

d Hoeveel Toto13 uitslagen zijn er met slechts 2 foute voorspellingen?

e Hoeveel Toto13 uitslagen zijn er met hoogstens 2 foute voorspellingen?

Opgave 2

Bij het dagmenu in een restaurant van de hamburgerketen BurgerChief heb je voor het ‘Chiefmenu’

keuze uit:

> Vooraf: tomatensoep of groentesoep.

> Hoofdgerecht: frites met cheeseburger, frites met dubbele hamburger of frites met beefburger.

> Drinken: cola of sinas.

> Nagerecht: chocoladepudding, vanillepudding of citroenpudding.

a Hoeveel menu’s zijn er dan mogelijk?

b Hoeveel menu’s zijn er mogelijk als iemand beslist een cheeseburger wil en niet van pudding houdt?

Opgave 3

In een vaas zitten zeven balletjes, drie rode en vier witte. Mascha haalt zonder te kijken een balletje uit de vaas, bekijkt de kleur, legt het weer terug en haalt (na schudden) opnieuw zonder te kijken een balletje uit die vaas.

a Geef in een boomdiagram de mogelijkheden weer.

c Hoeveel mogelijkheden zijn er met een wit en een rood balletje?

d Doe hetzelfde nog eens in het geval dat het balletje na de eerste keer niet wordt teruggelegd.

Opgave 4

De cijfers die in het venster van een eenvoudige rekenmachine verschijnen worden gemaakt door een aantal staafjes te laten oplichten. Voor elk cijfer zijn er in totaal zeven van die staafjes.

a Staafje ‘aan’ wordt weergegeven door een 1, staafje ‘uit’ door een 0. Maak een bijpassend rooster voor de mogelijkheden bij zeven staafjes.

b Hoeveel symbolen met drie oplichtende staafjes zijn er te maken?

c Hoeveel symbolen zijn er zo in totaal te maken?

(37)

Opgave 5

Bij tennis wordt vaak het ‘best-of-ﬁve’ systeem gespeeld. Dit betekent dat er maximaal 5 games worden gespeeld. Degene die het eerst drie games heeft gewonnen heeft de partij gewonnen.

A speelt tegen B. Hoeveel mogelijke wedstrijdverlopen zijn er?

Opgave 6

De leerlingenraad bestaat uit 22 personen, verdeeld over diverse jaargroepen. Er zitten 8 leerlingen uit de bovenbouw en 14 leerlingen uit de onderbouw in. Er moet een dagelijks bestuur worden gekozen van vijf personen (voorzitter, secretaris, penningmeester, vice-voorzitter en vice-secretaris).

a Op hoeveel manieren kun je dit dagelijks bestuur kiezen als ze pas achteraf de functies onderling verdelen?

b Op hoeveel manieren kun je dit dagelijks bestuur samenstellen als de leden in functie worden gekozen?

c Op hoeveel manieren kun je het dagelijks bestuur kiezen als het moet bestaan uit twee leerlingen uit de onderbouw en drie uit de bovenbouw?

d Op hoeveel manieren kun je het dagelijks bestuur kiezen als er minstens één onderbouwleerling deel van moet uitmaken?

e Op hoeveel manieren kun je het dagelijks bestuur kiezen als de voorzitter uit de bovenbouw moet komen?

Toepassen

Opgave 7

De driehoek van Pascal is een telsysteem met vele toepassingen.

Hier zie je het telsysteem weergegeven in een rooster. De naam ‘driehoek’ wordt door de ﬁguur duidelijk opgeroepen. Het aantal routes naar één van de punten op de tiende rij is het aantal combinaties van u�

uit 10: (10

u�). Ga dit zelf na!

Om naar een punt op de tiende rij te komen, moet je 10 keer een ‘ja/nee’-keuze maken. Het aantal mogelijkheden om naar een punt op de tiende rij te komen is daarom in totaal 2¹⁰.

Dus: (10

0) + (10

1) + (10

2) + ... + (10

9) + (10

10) = 2¹⁰

a Laat zien hoe je met behulp van combinaties de getallen op de tiende rij van de driehoek van Pascal kunt vinden.

b Laat zien hoe je vanuit de getallen op de tiende rij de getallen op de elfde rij van de driehoek van Pascal kunt vinden.

(38)

Opgave 8: BARcode

Bij het werken met allerlei codes zijn telproblemen voortdurend van belang. Zijn er voldoende pincodes voor iedereen? Zijn er voldoende postcodes voor iedereen? Kun je een goed systeem vinden voor het identiﬁceren van artikelen in de winkel?

Bij het ontwerpen van een bepaald soort barcode (streepjescode) is men uitgegaan van een rechthoek die verdeeld is in 7 stroken.

Iedere strook is zwart of wit. Hiernaast zie je de code voor het cijfer 7.

a Hoeveel codes zijn er in totaal mogelijk voor zo’n rechthoek?

b Hoeveel codes zijn er mogelijk met precies drie zwarte stroken?

Hier zie je een voorbeeld van een streepjescode.

c Uit hoeveel rechthoekjes bestaat dit type barcode?

d Hoeveel verschillende barcodes zijn er van dit type mogelijk als ze uitsluitend uit cijfers bestaan?

Examen

Opgave 9: Vijver

Hier zie je een plattegrond van paden rond een kruis- vormige vijver. Een route van 𝐴 naar 𝐵 moet zo kort mogelijk zijn en mag niet buiten de paden leiden. Hoe- veel routes van 𝐴 naar 𝐵 zijn er mogelijk?

(bron: examen wiskunde A havo 1989, eerste tijdvak)

(39)

Opgave 10: Metro in Boedapest

Als je in Boedapest met de metro wilt reizen, moet je eerst een kaartje kopen.

Zo’n kaartje is voorzien van 9 vakjes met daarin de cijfers 1 tot en met 9 (zie ﬁguur). Zodra je bent ingestapt, moet je je kaartje in een ponsapparaatje steken (volgens de pijlrichting en met de bedrukte zijde boven). Eén of meer (maximaal 9) cijfers worden dan in één keer weggeponst. Daarmee is aan het kaartje te zien in welke trein je reis is begonnen. Hier zie je een afbeelding van een gebruikt kaartje, waarbij de vakjes 1, 6 en 9 zijn voorzien van een gaatje.

a Bereken op hoeveel verschillende manieren er in een kaartje 3 gaatjes kunnen worden geponst.

b In een kaartje worden 2 gaatjes geponst, die niet in dezelfde rij of kolom zitten.

Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er? Licht je antwoord toe.

Het aantal cijfers dat wordt weggeponst, mag variëren van 1 tot en met 9. Op een dag rijden er op het metronet 400 treinen.

c Is het mogelijk dat in elke trein op een verschillende wijze gaatjes in een kaartje worden geponst? Licht je antwoord toe.

(bron: examen wiskunde A havo 1992, tweede tijdvak) Opgave 11: KIX

De KIX (KlantIndeX) is een streepjescode die gebruikt wordt om post machinaal te sorteren. Steeds meer bedrijven drukken op poststukken onder het adres de KIX af. Deze bedrijven krijgen daarvoor een korting op de verzendkosten.

Een adres wordt in Nederland volledig bepaald door de postcode en het huisnummer. De KIX bestaat daarom uit 4 cijfers en 2 letters voor de postcode en daarachter het aantal cijfers dat nodig is voor het huisnummer. In de ﬁguur hiernaast zie je twee voorbeelden van een KIX.

Je ziet als voorbeeld de KIX van postcode 3224 BC met huisnummer 6 en van postcode 3224 BC met huisnummer 108. In de KIX heeft elk cijfer en elke letter een eigen symbool. Er wordt daarbij geen

onderscheid gemaakt tussen hoofdletters en kleine letters. De letters B en b krijgen dus hetzelfde symbool.

Elk symbool bestaat uit vier verticale strepen. Zie de ﬁguur hieronder.

Het middelste stuk van elke streep is altijd zwart. Boven zijn er vier stukken en onder zijn er vier stukken. Elk van die acht stukken kan wit of zwart zijn. Zo zijn er veel verschillende symbolen te maken waarbij het niet uitmaakt hoeveel van de vier bovenste en de vier onderste stukken zwart zijn gemaakt.

a Bereken het aantal verschillende symbolen dat op die manier is te maken.

Bij een KIX-symbool zijn er van de vier bovenste stukken precies twee zwart. Ook van de vier onderste stukken zijn er precies twee zwart.

Bijvoorbeeld: de 3 heeft symbool , de B (of b) heeft symbool .

Zoals je bij de laatste streep van de 3 ziet, mag een streep ook helemaal zwart zijn, als er maar in totaal twee stukken boven en twee stukken onder zwart zijn.

b Hoeveel verschillende KIX-symbolen zijn er op deze manier te maken? Licht je antwoord toe.

(40)

Bij elk adres hoort een huisnummer. Huisnummers beginnen nooit met een 0. Bij sommige adressen komt er na het huisnummer een toevoeging, zoals bij het huisnummer 6A. Soms staat er zelfs een heel woord bij: 73 boven. Bij zo’n toevoeging wordt de KIX na het huisnummer aangevuld met eerst de letter X en daarna de letter(s) en/of cijfer(s) die nodig zijn voor de toevoeging.

De KIX is door het huisnummer (zie ﬁguur hierboven) en door een eventuele toevoeging niet altijd even lang. We vatten dit samen in deze tabel.

altijd soms

postcode huisnummer het scheidingsteken een toevoeging

4 cijfers en 2 letters maximaal 5 cijfers X maximaal 6 tekens (letters en/of cijfers)

vaste lengte variabele lengte vaste lengte variabele lengte

Hier vind je twee voorbeelden van een KIX met 9 symbolen:

bij het adres: Dorsvlegel 108, 3224 BC HELLEVOETSLUIS hoort KIX: 3224BC108

in symbolen:

bij het adres: Wethouder Hekkingstraat 9A, 1234 HV JUINEN hoort KIX: 1234HV9XA

in symbolen:

De postcode 6801 MG vormt het begin van een KIX van 9 symbolen. Er zijn aan de 6 symbolen van de postcode dus nog 3 symbolen toegevoegd.

c Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er om bij postcode 6801 MG een correcte KIX van 9 symbolen te maken? Licht je antwoord toe.

(bron: examen wiskunde A havo 2004, tweede tijdvak)