H2: Functies bewerken

Hoofdstuk 2:

Functies bewerken

V-1. 1. g x( ) x 2. _{q x( )x}3 _{3. k x( )} 2_{log( )x 4. m x( )} 1 x  V-2. a. b.

c. Voor g 1 zijn de grafieken van

f en h stijgend.

d. f h x( ( ))h f x( ( ))x

e. De grafieken van f hebben een horizontale asymptoot: y 0.

De grafieken van h hebben een verticale asymptoot: x0.

V-3. a. b. 1 8 (2) n f  3 3 1 1 8 ₂ 2 2 3 n n       c. Alle grafieken ( ) n n f x x gaan door (1, 1)

d. Als n een even getal is, komt de grafiek niet onder de x-as.

e. Voor negatieve, even waarden van n ligt de grafiek van ( ) n

n

f x x geheel boven de x-as.

V-4. a. derdegraads: _{f x( ) 4 (2 x x x} 2_{) 8 x}2_4x3 _{ 4x}3 _8x2 b. tweedegraads: _{g x( ) (2 x1)(3 7 ) 6 x  x14x}2_{ 3 7x  14x}2_13x3 c. eerstegraads: _{h x( ) (2 x3)}2_4x2 _4x2_{12x 9 4x}2 _{ 12x9} d. tweedegraads: _{k x( ) 2 (1 3 x  x x} 2_{) 2 x}3 _2x6x2_2x3_2x3_6x2_2x V-5.

a. Je mag niet delen door 0: 2x 3 0 1 2 1

x 

b. 20

2x3 wordt nooit 0, dus 7 komt niet als functiewaarde voor.

V-6. a. 20 5 x 0 b. Dg :¡ c. 2x12 0 d. 5 x 0 5 20 4 : , 4 : f f x x D B      ¡ : 2 , g B 





2 12 6 : 6 , : , 14 h h x x D B     5 : , 5 5 , : ,10 10 , k k x D B        x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 f 2 h 2 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 1 3

f

1 3

h

x y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 8 12 16 -4 -8 -12 -16

1. a. 1 2 1 2 2 2 ( ) 3 5 2 g x  x    x  b. 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ( ) ( 2) 3 ( 4 4) 3 2 5 h x  x   x  x   x  x c. 1 2 2 2 ( ) 4 ( 3) 2 12 j x   x   x  d. 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 4 8 ( ) ( ) 3 3 3 k x  x    x   x  2. a.

b. Door de grafiek van k(x) ten opzichte van de x-as te vermenigvuldigen met factor 3.

c. De grafiek van g(x) ontstaat uit de grafiek van

k(x) door de grafiek van k(x) ten opzichte van de

y-as te vermenigvuldigen met factor 1

3. En h(x)

ontstaat door de grafiek van k(x) te

vermenigvuldigen t.o.v. de x-as én de y-as met factor 1

2. 3.

a. _{f x( ) 3} x _{}4naar links_{ y 3}x4_{ }2omhoog _{y 3}x4_2

b. _{f x}( ) 3 x Vy as , 2 _y 312x c. _{f x( ) 3} x Vx as , 2    _{y 2 3}x   4omhoog _{y 2 3}x ₄ 4. a. 1 1 , 1 2 2 ( ) log( ) Vx as 1 log( ) f x  x      y x (spiegelen in de x-as) b. 1 1 , 1 2 2 ( ) log( ) Vy as log( ) f x  x    y x (spiegelen in de y-as) c. 4 1( ) g x  x en 4 4 2( ) ( ) g x  x x

5. _{f x( ) 3} x _{     }spiegelen in x as _{y 3}x 3omhoog en naar rechts5 _{y 3}x5_3 6.

a. _{f x( ) x   }spiegelen in x as _{y x }3omlaag _{g x( )  x 3}

b. _{f x( ) x  }3omlaag _{y x  3} spiegelen in x as _{g x( )  x 3 Anders!}

7.

a. _{g x( ) (2 x)} 2_{ }1naar rechts _{y (2(x1))}2 _(2x2)2_1omlaag_{ y (2x2)}2_1

b. 2 1 2 1 2 2 2 ( ) 1 (2 1) 1 (2( )) 1 4( ) f x    x    x    x c. 2 12 1 2 , 4 1 2 1 1 2 2 2 2

( ) naar rechts ( ) Vx as 4( ) omlaag 4( ) 1

h x  x  y x   y x  y x  1 , 4 2 1 , 4 2 1 1 , 4 4 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 4 ( ) 4 4( ) 4( ) 1 ( ) 4 4 1 4( ) 1 ( ) 4 1 x as x as x as

V naar rechts omlaag

V omlaag naar rechts

V omlaag naa h x x y x y x y x h x x y x y x y x h x x y x y x                               1 2 2 4( ) 1 r rechts _{y x}     x y  2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 f g h

8. a. _{s x( ) 2} x Vx as , 3  _{y 3 2}x Vy as , 2  _{y 3 2}0,5x b. 10 , 2 ₁ , 1 ₁ 2 2 ( ) naar rechts 10 Vy as 10 Vx as 10 s x  x  y x   y x     y x 2 1 2 10 2 omhoog _{y x}     

c. _{s x( )} 2_{log( )x  }6naar rechts _y 2_{log(x6) }8omhoog _y 2_{log(x6) 8}

d. ,1 _,12 2 7 1 1 1 12 ( ) 7 2 7 2 7 y as _{x as} V _V naar rechts s x y y y x x x x  _           e. ,1 3 6 2 2 2 ( ) _{naar rechts} ( 6) Vy as (3 6) s x x y x  y x        9.

a. _x2 _{0 voor alle waarden van x.}

b. f x( )x voor x0

c. f x( ) x voor x0

d. De helling van het linker deel -1 en van het rechter deel 1.

10. a. b. _x3_{4xx x(} 2_{4) 0} 2 0 4 0 2 2 x x x x x          c. Voor x 2 , 0  2 , zijn de

functiewaarden van g(x) positief en zijn ze gelijk aan die van f(x).

d. _{g x'( ) 3 x}2_{ 4 0} 2 2 1 3 1 1 3 3 3 4 1 1 1 x x x x       De toppen zijn: 2 7 3 9 ( 3, 1 3) en 2 7 3 9 ( 3, 1 3)

e. Door de delen van g(x) die onder de x-as liggen te spiegelen in de x-as. f. De functie f heeft twee extremen waarden: 0 en 7

9

1 3.

g. g'( 2) 8  , g'(0) 4 en g'(2) 8

h. De hellingen van de raaklijnen in de punten (-2, 0) en (2, 0) zijn -8 en 8. De hellingen van de raaklijnen in (0, 0) zijn -4 en 4.

11.

a.

b. De periode van f is  .

c. De extreme waarden zijn 0 (bij x k  ) en 1 (bij

1 2 x    k  ) 12. a. _{g x'( ) 3x}2_{8x  x( 3x8) 0} 2 3 0 2 x  x 

De uiterste waarden zijn: 24 (x0) en 14 27 14 ( 2 3 2 x  ) x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 -1 -2 x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y  2 3 4 5 6 - 1

b. _{g( 2)   ( 2)}3_{  4 ( 2)}2_{24 0} c. 3 2 3 2 3 2 4 24 2 ( ) | 4 24 | 4 24 2 x x voor x f x x x x x voor x           _{ }     

d. De uiterste waarden van f zijn: 0 (x 2), 24 (x 0) en 14 27 14 ( 2 3 2 x ) 13. a.

b. De grafiek heeft een minimum 0 voor x1

c. _2_{log( ) 5x } 2_{log( ) 5x } 2 5 1 32 log( ) 5 2 x x      5 2 32 x   d. 2 1 2 log( ) 1x   2 1 2 log( ) 1x  1 2 2 1 2 1 ₁ 4 log( ) 1 2 2 x x      1 2 1 1 1 2 4 2 2 2 ( ) 1 0 , 2 2 2 , x f x voor x       14. a. b. ( ) 1 | | 1 1 0 1 1 2 0 x x voor x f x x x x x x voor x          _{ }       c. ( ) 2 | | 2 0 2 3 0 x x x voor x g x x x x x x voor x        _{ }     15. a.

b. Als je de functiewaarden van f invult in de formule van g krijg je weer x.

c. ₃... ₂

: 3x 3x 2

f x_{ } _{ en 2} 3_{log(...) 3}

: 2 log( 2)

g x_{  } x _ x_

d. De stappen van f en g zijn elkaars inverse.

16. a. _{2 5 3}... _{2 5 1 2 5} 2 2 5 3 x 1 3 x x_ x_ x_{ }  _{ }  b./c 1 3log(...) 3 5 3 :2 1 13 2 2

1 log( 1) 5 log( 1) 2 log( 1)

x_{  } x _ x_{  } x_{  } x_ 17. a. _x3 _3x5 _3x5 5 :3 1 2 3 3 5 1 x_{  } x x_ b. _x..._{ x  }2 _{2 x x   }2 _{x 2} ...2 _{(x 2)}2 c. ₂... ₃ 2x 2x 3 x_{ } _{ x  }3 _{x 3} 2log(...)_2_log(x3) d. 3_{log(...) 3 4 3} log( ) log( ) 4 x_{} x _ x _{ 4 3}... ₄ 4 3x x_{  } x  e. _{2 5} 2_{log(...) 2} 2 2 5 log(2 5) x_ x_ x_{ } x_ ... 2 5 :2 1 1 1 1 2 2 2 2x 2x 5 2x 2 2x 2 x_{ } _{    }  _ x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 x y 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 f g x 0 1 2 3 x 2 3 1  -1 1 7 f(x ) -1 1 7 25 g(x) -1 0 1 2

18.

a. f_inv( ) (x  x4) 2 2  x8

b.

c. De grafieken van f en de inverse van f zijn elkaars gespiegelde in de lijn y x.

d. ( ) 2x 3

inv

g x  

Ook deze grafieken zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn y  x.

19.

a. Spiegel de lijn y  x 4 in de lijn y  x. b. f_inv( )x  x 4

20.

a.

b. Dan krijg je dezelfde grafiek: de inverse functie van f x( ) 1

x  is weer f_inv( )x 1 x  . c. 5 5 ...1 1 12 12 1 ( ) 1 12 5 5 5 x x g x x x x              1 1 12 ... 1 ₁ 1 12 5 _{( ) 5} 12 12 1 inv 1 x x x g x x x              1 ... 1 1 ... 2 2 5 20 :20 5 1 2 1 20 2 2 5 ( ) 2 5 2 5 20 20 10 5 ( ) 2 20 inv x x x h x x x x x h x x x x                     21. a.

b. Bij de gespiegelde grafiek zijn er waarden van x met twee y-waarden. Bij een functie hoort bij elke waarde van x hoogstens één waarde van

y.

c. Nu heb je alleen de rechtertak van de parabool. De inverse functie is alleen het bovenste deel van de liggende parabool.

d. g_inv( )x   2 x

22.

a. De grafiek is lijnsymmetrisch in de lijn y x. b. Die hebben een richtingscoëfficiënt gelijk aan -1.

c. y   x b en b mag een willekeurig getal zijn.

23. a. 1 1 2 3 3 3 ( ) ( 5) 1 inv f x  x   x en g_inv( )x  3log(x5) x y 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 -4 -6 -8 -10 -12 x y 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 2 4 6 -2 -4 -6 -8

b. y 3x5 c. _{y }3x _5 1 2 3 3 3 5 1 x y x y     3 3 5 log( 5) x _y x y    

d. De inverse functie van een formule waarbij y uitgedrukt is in x is de formule waarbij

x uitgedrukt is in y. 24. 2xy 5y24 2 5 (2 5) 24 24 2 5 xy y y x y x       25. a. 2p3q 12 c. _q3p _4 _{e. p}3_{2q 5} 1 2 2 3 12 1 6 p q p q       3 3 4 log(4 ) p _q p q     3 3 5 2 5 2 p q p q     b. 24 2 1 p q p   d. 5 3 q p   f. 4 7 6 q p    (2 1) 24 2 24 (2 24) 2 24 q p p pq p q p q q q p q             2 2 2 5 3 5 25 3 25 3 p q p q q p q      _{ }      4 4 4 7 6 7 6 7 6 p q p q p q         _  _   26.

a. Met de stroom mee vaart Robert met een snelheid van 4 v km/u. Over 10 km doet hij dan 10

4 v uur. Tegen de stroom in is zijn snelheid 4 v km/u. Dan doet hij er 10

4 v uur over. In totaal is zijn tijd (in uren) dus

10 10 4 4 T v v     .

b. Als het water harder stroomt dan 4 km/u, komt Robert niet tegen de stroom in. Dus 0 v 4. c. 10 10 10(4 ) 10(4 ) 40 10 40 10 80 4 4 (4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 ) v v v v T v v v v v v v v v v                      27. a. _{P 0,5}2_{ R 0,24R b. P I }2 _{20 c. P I R }2 4 R  P 2 1 20 1 1 20 20 I P I P I P      2 P I R  P I R 

28. a. 1 2 2 E  mv b. 1 2 2 E  mv c. v 100 m  2 2 2 2 mv E E m v   2 2 2 E v m E v m   29. a. 1 1 1 15120 v 8 1 1 1 1 7 15 120 120 120 120 120 1 7 177 17,1 v v cm         b. b f 15 1 ₀

v  : het lampje moet dan oneindig ver (?) weg staan.

c. 1 1 1 50 f  v 1 1 1 50 50 50 50 50 50 f f v f f f f       , en dus 50 50 f v f   d. Als v heel groot wordt, gaat 1

v naar 0 toe. Dat betekent dat b steeds dichter bij 10

komt. Het beeld komt dan in het brandpunt te staan.

e. 1 1 1 10 10 10 10 10 10 v v b v v v v       , dus 10 10 v b v   f. b 1,5 v  ofwel b1,5v 2 2 3 10 1,5 10 1,5 ( 10) 10 1,5 25 0,5 (3 50) 0 0 16 v v v v v v v v v v v v            2 3 16 v  en b25 g. 10 1 10 ( 10) 10 b v N v v v v       30. a. ( ) 3 3 2 4 2( 2) f x x x     en ( ) 2 _{4 ( 2)( 2)} x x g x x x x     

b. Je mag niet door 0 delen. Dus D_h:    , 2 2 , 2  2 ,

c. ( ) 3 3( 2) 2 5 6 2( 2) ( 2)( 2) 2( 2)(x 2) 2( 2)( 2) 2( 2)( 2) x x x x h x x x x x x x x x                 d. h x( ) 0 1 5 5 6 0 5 6 1 x x x    

31.

a. Alle grafieken van fp gaan door (0, 1).

b. c. (-1,1): gp( 1)      p 1 p 1 1 d. gp(0)      p 0 p 1 p 1 0 1 p  e. gp(10) p 10  p 1 11p 1 10 9 11 11p 9 p   32. a. _x2_{px x x p(  ) 0} 0 x  x p b. fp'( ) 2x  x p 0 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 2 4 2 ( ) ( ) p x p x p f p p p p p p p          Top: 1 1 2 2 4 ( p, p ) c. 1 2 1 2 2 4 (2 ) ( ) T T y   p   p   x 33. a. f_p(6) p 6p 4 6 2 2 6 4 6 6 4 36 12 18 32 ( 2)( 16) 0 2 16 p p p p p p p p p p p                 b. _,1 2 4 4( ) 4 4 4 4 8 4 8( ) 8 8 4 y as V omhoog f x x  y x f x x            34. a. _{(0) 0}3 _{0 0} a f    a klopt.

b. f x1( )x3x gaat door (1, 0); grafiek 4.

c. Grafiek 1 gaat door (2, 0): _{(2) 2}3 _{2 8 2 0}

a f   a  a 2 8 4 a a   d. f x2( )x32x e. 2 2'( ) 3 2 25 f x  x   2 2 2 '( ) 3 2 '(3) 25 f x x f    2 2 3 27 9 x x   3 3 x    x  : in (-3, -21) is de helling ook 25. f. _{'( ) 3} 2 a f x  x a 2 3 0 0 0 a a a       x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 -1 -2 -3

35.

a. Het punt (2, 0) ligt op de rode grafiek:

1 2 1 2 (2) 2 0 2 4 p f p p p     

Bij de rode grafiek hoort p4 en bij de groene grafiek p 4. b. c. f x_p( ) x p x2 p x2 p x x x x       d. f xp( ) 0 2 2 0 x p x p  

 Deze vergelijking heeft alleen twee oplossingen als p0. e. f_p'( ) 1x p₂ 0 x    2 2 1 p x x p x p x p          

Deze punten bestaat alleen als p0. De uiterste waarden zijn:

( ) p p p 2 p p p f  p    p _{ }    p    _{ }   p en ( ) p p p 2 p p p f p   p _   p    _  p 36. a. b./c. _{p x} 2 _0 2 x p p x p    

d. De stralen zijn resp. 1, 2, 2 en 3. e. De straal is p. 37. a. ₍₂₎ 2_{log(2 2) 4} 2_log(16) a f  a   b. 1 7a 2 0 2 2 16 2 14 7 a a a     1 7 2 14 a a     c. Alle grafieken gaan door (0, 1): ₍₀₎ 2_{log(a 0 2)} 2_{log(2) 1}

a f      38. a. 5x 6 0 1 5 5 6 1 x x   Voor x151 is f x( ) x25x6. x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3

b. Voor 1 5 1 x is _{f x( ) x}2_{(5x6) x}2 _5x6 c. _x2_{5x 6 0 x}2_{5x 6 0} ( 2)( 3) 0 2 3 x x x x        ( 6)( 1) 0 6 1 x x x x         d. 1 5 1 5 2 5 1 '( ) 2 5 1 x voor x f x x voor x           1 2 2 5 0 2 5 2 x x x        1 2 2 5 0 2 5 2 x x x     

f(x) heeft een maximum 1

4 12 voor 1 2 2 x  ; een minimum 11 25 1  voor 1 5 1 x  en een maximum 1 4 voor x212. 39. a. _{5x x} 4 _{0 b. cx x} 4 _{0 c.} 1 3 4 c  1 3 4 3 3 5 (5 ) 0 0 5 0 5 x x x x x x x x          



1 3 1 3 3 ( ) 0 0 : 0 , c f x c x x x c D c        3 4 64 c   d. 4 31 8 4x x  x e. _{cx x} 4 _{ x} 4 31 8 4 1 3 1 8 8 3 1 8 1 2 4 ( ) 0 0 0 x x x x x x x x x x x             1 3 4 4 4 3 3 ( 1) ( ( 1)) 0 0 1 0 (1 ) cx x x x cx x x c x x x c x x c x x c                    40.

a. Voor welke waarden van x heeft _x2_{2x c 0 twee oplossingen?}

4 4 1 0 4 4 1 D c c c          b. _{( 5)} 2_{    2 5 c 0} 25 10 0 15 c c      c. '( ) 2₂ 2 ₂ 1 0 2 2 2 c x x g x x x c x x c          1 x  d. 1 5 1 '(0) c g c   5 25 c c  

41.

a. De volgorde van twee translaties hebben geen invloed op het resultaat

b. _{f x( )} _x Vx as p ,  _{y p x}  b omhoog _{y p x b}

,

( ) b omhoog Vx as p ( )

f x  x   y b x   y p b x pb p x

c. Hier is de volgorde niet van belang.

d. _,1 ( ) Vy as_{q a naar rechts} ( ) f x  x   y qx  y q x a  qx qa 1 , ( ) _{a naar rechts} Vy as_q f x  x  y x a   y qx a

e. De volgorde is niet van belang.

42. a. _{Q a a( ,} 2₎ richtingscoëfficiënt van PQ: 4 2 (2 )(2 ) 2 2 2 a a a a a a         b. PQ y: (2a x b)  c. _x2 _2 2 _{(2 ) 2} 2 2 (2 ) 2 (2 ) 2 2 (2 ) 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a b a a b b a y a x a a x a a x a a a a x a a a a a                                     2 5 2 5 3 5 2 2 ( 2, 2) 2 2 (2 ) 2 1 2 2 2 1 2 2 2 x x T ST a a a                1 3 1 3 2 3 1 a a    43. a. _{12 4 x x} 2 _{0 b. g x'( )}  _{4 2x} ₀ ( 6)( 2) 0 6 2 x x x        2 4 2 x x     De uiterste waarde is 16.

c. Het maximum van f is 2_{log(16) 4}

d. 2_{log(12 4 x x} 2_)q 2 2 1 1 2 2 12 4 2 4 2 12 0 2 16 4(2 12) 2 16 4(2 12) q q q q x x x x x x                   1 1 2 2 2 16 4(2 12) ( 2 16 4(2 12)) 16 4(2 12) 16 4 2 48 4(16 2 ) 2 16 2 q q q q q q PQ                      

e. De grafiek van f heeft twee verticale asymptoten: x 6 en x 2. De maximale afstand van PQ is 8.

0PQ8 f. _{2 16 2} q _4 16 2 2 16 2 4 q q     2 2 12 log12 q q  

Test jezelf.

T-1. a. 4 , 2 ₁ 4 ₁ 4 4 4 2 2 ( ) 100 Vy as 100 ( ) 100 ( ) 6,25 f x  x   y  x   x  x b. ,1 3 4 4 4 4 4 ( ) 100 Vy as 100 (3 ) 100 3 8100 f x x  y x x x         T-2. a. _{f x( )} _x2 ₇ Vx as , 1  _{y x}2  ₇ 4naar rechts _{y (x}₄₎2₇ b. _{f x( )} _x2    ₇ 4naar rechts _{y (x 4)}2 ₇ Vy as , 1     _{y ( x 4)}2 ₇ 2 (x 4) 7     T-3. a. _x3_{12x 0} 2 ( 12) 0 0 2 3 2 3 x x x x x          b. c. _3x2_{12 0} 2 2 3 12 4 2 2 x x x x      

De uiterste waarden zijn 0 (voor x0, x  2 3 en x 2 3 ) en 16 (voor x 2

en x2). d. _x3_{12x 2x x}3_{12x 2x} 3 _{10 (} 2 _{10) 0} 0 10 10 x x x x x x x             3 _{14 (} 2 _{14) 0} 0 14 14 x x x x x x x           ( ) ( ) f x g x voor x , 0  0 , 10  14 , T-4. a. _{9 27} 3_{... 3} 9 9 27 ( ) 9 27 x x  x f x  x 1 3 9 ... 3 27 3 1 3 9 27 ( ) 3 xx  x   g x  x 

b. De grafieken van een functie en zijn inverse zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn y  x_. c. 3_{9x27  x} Voer in: 3 1 9 27 y  x en y2 x intersect: x  3,97 Snijpunt: (-3.97, -3.97) T-5. a. _{x y}2 _{2x y} 2 2 2 2 ( 1) 2 2 1 x y y x y x x x y x       x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 5 10 15 20 -5 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 1 2 -1

c. De noemer wordt nooit 0, dus x mag alle waarden aannemen. d. Voer in: ₁ 2₂ 1 x y x   minimum: y  1 en maximum: y 1. Bereik:



1, 0  0 , 1



T-6.

a. De groene grafiek gaat door (1, 5): fp(1) 2  p 5 p3

De zwarte grafiek gaat door (1, 3): fp(1) 2  p 3 p1

En de blauwe grafiek gaat door (2, 3): 1 4 (2) 4 3 p f   p p 4 b. c. f_p'( ) 2x 2p₃ 0 x    3 3 3 2 2 p x x p x p   

Deze ligt links van de y-as voor p0

d. 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 ( ) 2 2 2 3 3 ( ) p p p y f p p p p p p x p p            T-7. a. 2 2 2 4 _{2 2} (2 4) 2 4 2 ( ) | 2 4 | (2 4) 2 4 2 x x x x voor x f x x x x x x x voor x             _{ }          b. f_a(6) 36 | 12 a | 10    | 12 | 26 12 26 12 26 38 14 a a a a a             T-8. 1 1 ...1 1 27 27 3log(...) ( ) 3log( 27 ) 1 1 1 x x f x x x x            1 1 ... 27 ... 3 1 1 27 27 27 3 3 ( ) 1 3 3 x x x x x    g x   3 3 27 ( ) 1 27 3 1 3 3 1 3 1 3 x x x x g x _{   }  _{  }  _{ }  _ x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 5 10 -5 -10